تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر به صورت آنلاین. تبدیل اعداد به سیستم های اعداد باینری، هگزادسیمال، اعشاری، اکتالی ضرب و تقسیم در سیستم اعداد هگزا دسیمال
هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاین برای اضافه کردن اعداد باینری در کدهای رو به جلو، معکوس و مکمل طراحی شده است.موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:
تبدیل اعداد به سیستم های اعداد باینری، هگزادسیمال، اعشاری، اکتال
ضرب اعداد باینری
فرمت ممیز شناور
مثال شماره 1. عدد 133.54 را به صورت ممیز شناور نشان دهید.
راه حل. بیایید عدد 133.54 را به شکل نمایی نرمال شده نشان دهیم:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
عدد 1.3354*exp 10 2 از دو قسمت تشکیل شده است: مانتیس M=1.3354 و توان 10=2
اگر مانتیس در محدوده 1 ≤ M باشد نمایش یک عدد به شکل نمایی غیرعادی شده.
اگر مانتیس در محدوده 0.1 ≤ M باشد، عدد را به صورت نمایی غیرعادی شده نشان می دهیم: 0.13354*exp 10 3
مثال شماره 2. عدد باینری 101.10 2 را به شکل نرمال شده نشان دهید که در استاندارد IEEE754 32 بیتی نوشته شده است.
جدول درستی
محاسبه حدود
حساب در سیستم اعداد باینری
عملیات حسابی در سیستم دودویی به همان روشی که در سیستم اعشاری انجام می شود انجام می شود. اما اگر در سیستم اعداد اعشاری انتقال و استقراض با ده واحد انجام شود، در سیستم اعداد باینری - توسط دو واحد انجام می شود. جدول قوانین جمع و تفریق در سیستم اعداد باینری را نشان می دهد.- هنگام جمع کردن دو واحد در یک سیستم اعداد باینری، این بیت 0 خواهد بود و واحد به مهم ترین بیت منتقل می شود.
- وقتی یک را از صفر کم می کنیم، یک از بالاترین رقم، جایی که 1 وجود دارد، قرض گرفته می شود. واحدی که در این رقم اشغال شده است، دو واحد در رقمی که عمل محاسبه می شود، و همچنین یک واحد در تمام ارقام میانی می دهد.
جمع کردن اعداد با در نظر گرفتن علائم آنها در ماشین دنباله ای از اقدامات زیر است:
- تبدیل اعداد اصلی به کد مشخص شده؛
- افزودن بیتی کدها؛
- تجزیه و تحلیل نتیجه به دست آمده
هنگام انجام عملیات در کد مکمل دو (مکمل دو تغییر یافته)، اگر یک واحد حمل در بیت علامت در نتیجه جمع ظاهر شود، دور انداخته می شود.
عمل تفریق در کامپیوتر از طریق جمع بر اساس قاعده X-Y=X+(-Y) انجام می شود. اقدامات بعدی به همان روشی که برای عملیات جمع انجام می شود انجام می شود.
مثال شماره 1.
داده شده: x=0.110001; y= -0.001001، کد اصلاح شده معکوس را اضافه کنید.
داده شده: x=0.101001; y= -0.001101، کد اصلاح شده اضافی را اضافه کنید. 
مثال شماره 2. حل مثال هایی در مورد تفریق اعداد باینری با استفاده از متمم 1 و روش حمل چرخه ای.
الف) 11 - 10.
راه حل.
بیایید اعداد 11 2 و -10 2 را در کد معکوس تصور کنیم.
عدد باینری 0000011 دارای کد متقابل 0.0000011 است.
بیایید اعداد 00000011 و 11111101 را جمع کنیم
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
سرریز در رقم دوم (1 + 1 = 10) رخ داد. بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 3 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
انتقالی از بیت علامت رخ داده است. بیایید آن را (یعنی 1) به عدد حاصل اضافه کنیم (به این ترتیب روند انتقال چرخه ای انجام می شود).
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
نتیجه جمع: 00000001. اجازه دهید آن را به نمایش دهدهی تبدیل کنیم. برای ترجمه یک قسمت صحیح، باید رقم یک عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کنید.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
نتیجه جمع (نماد اعشاری): 1
ب) 111-010 بیایید اعداد 111 2 و -010 2 را در کد معکوس تصور کنیم.
کد معکوس برای یک عدد مثبت همان کد فوروارد است. برای یک عدد منفی، تمام ارقام عدد با متضاد خود (1 در 0، 0 در 1) جایگزین می شوند و یک واحد در رقم علامت وارد می شود.
عدد باینری 0000111 دارای کد متقابل 0.0000111 است.
عدد باینری 0000010 دارای کد متقابل 1.1111101 است.
بیایید اعداد 00000111 و 11111101 را جمع کنیم
یک سرریز در رقم 0 (1 + 1 = 10) رخ داد. بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 1 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
سرریز در رقم 1 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 2 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
سرریز در رقم دوم (1 + 1 + 1 = 11) رخ داد. بنابراین، 1 را می نویسیم و 1 را به رقم 3 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
سرریز در رقم 3 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 4 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
یک سرریز در بیت 4 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 5 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
سرریز در رقم 5 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم ششم منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
یک سرریز در بیت 6 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 7 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
یک سرریز در بیت 7 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 8 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
انتقالی از بیت علامت رخ داده است. بیایید آن را (یعنی 1) به عدد حاصل اضافه کنیم (به این ترتیب روند انتقال چرخه ای انجام می شود).
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
نتیجه اضافه: 00000101
ما عدد 00000101 را به دست آوردیم. برای تبدیل کل قسمت، باید رقم عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کنید.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
نتیجه جمع (نماد اعشاری): 5
جمع اعداد حقیقی ممیز شناور باینری
در رایانه، هر عددی را می توان در قالب ممیز شناور نشان داد. فرمت ممیز شناور در شکل نشان داده شده است:
به عنوان مثال، عدد 10101 را در قالب ممیز شناور می توان به صورت زیر نوشت:
کامپیوترها از یک شکل نرمال شده برای نوشتن یک عدد استفاده می کنند که در آن موقعیت نقطه اعشار همیشه قبل از رقم قابل توجه مانتیس آورده می شود، یعنی. شرط برقرار است:
b -1 ≤|M| شماره عادی شده - این عددی است که یک رقم قابل توجه بعد از نقطه اعشار (یعنی 1 در سیستم اعداد باینری) دارد. مثال عادی سازی:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
هنگام اضافه کردن اعداد ممیز شناور، هم ترازی سفارش به سمت یک مرتبه بالاتر انجام می شود: 
الگوریتم اضافه کردن اعداد ممیز شناور:
- همسویی سفارشات؛
- افزودن آخوندک به کد اضافی اصلاح شده.
- عادی سازی نتیجه
مثال شماره 4.
A=0.1011*2 10، B=0.0001*2 11
1. همسویی سفارشات.
A=0.01011*2 11، B=0.0001*2 11
2. اضافه کردن آخوندک در کد اصلاح شده اضافی.
مد اضافی MA =00.01011
مود اضافی مگابایت =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0.01101*2 11
3. عادی سازی نتیجه.
A+B=0.1101*2 10
مثال شماره 3. در سیستم اعداد باینری یک عدد اعشاری بنویسید و در سیستم اعداد باینری دو عدد اضافه کنید.
با استفاده از این ماشین حساب آنلاین می توانید اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. راه حل مفصل همراه با توضیحات ارائه شده است. برای ترجمه، شماره اصلی را وارد کنید، پایه سیستم اعداد شماره منبع را تنظیم کنید، پایه سیستم اعدادی را که می خواهید شماره را به آن تبدیل کنید تنظیم کنید و روی دکمه "ترجمه" کلیک کنید. قسمت تئوری و مثال های عددی را در زیر ببینید.
نتیجه قبلاً دریافت شده است!
تبدیل اعداد صحیح و کسرها از یک سیستم عددی به هر سیستم دیگر - نظریه، مثال ها و راه حل ها
سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره از آن استفاده می کنیم، موقعیتی است، اما سیستم اعداد رومی اینطور نیست. در سیستم های اعداد موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد بزرگی عدد را تعیین می کند. بیایید این را با استفاده از مثال عدد 6372 در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:
سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
عدد 10 سیستم اعداد را تعیین می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت یک عدد معین به عنوان توان در نظر گرفته می شود.
عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. بیایید آن را از صفر شروع کنیم، موقعیت عدد از نقطه اعشار به چپ و راست:
سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:
C n س n + C n-1 · س n-1 +...+C 1 · س 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
که در آن C n یک عدد صحیح در موقعیت است n، D -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره
چند کلمه در مورد سیستم های اعداد یک عدد در سیستم اعداد اعشاری از ارقام زیادی تشکیل شده است (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، در سیستم اعداد هشتی از ارقام بسیاری تشکیل شده است. (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم اعداد باینری - از مجموعه ای از ارقام (0،1)، در سیستم اعداد هگزادسیمال - از مجموعه ای از ارقام (0،1) ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F) که در آن A,B,C,D,E,F با اعداد 10,11 مطابقت دارد. 12،13،14،15. در جدول Tab.1 اعداد در سیستم های اعداد مختلف ارائه شده است.
| میز 1 | |||
|---|---|---|---|
| نشانه گذاری | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | آ |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | سی |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | اف |
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری
با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.
مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
1 · 2 6 + 0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
مثال2. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
مثال 3 . عدد AB572.CDF را از سیستم اعداد هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- تا 15
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه تبدیل کنید.
بخش صحیح یک عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای SS باینری - بر 2، برای SS 8-اری - بر 8، برای 16) تبدیل می شود. -ary SS - توسط 16، و غیره) تا زمانی که یک باقیمانده کامل، کمتر از CC پایه به دست آید.
مثال 4 . بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
همانطور که در شکل دیده میشود. 1، عدد 159 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 را می دهد. به علاوه، عدد 79 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 و غیره را به دست می دهد. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقی مانده های تقسیم (از راست به چپ)، یک عدد در SS باینری به دست می آوریم: 10011111 . بنابراین می توانیم بنویسیم:
159 10 =10011111 2 .
مثال 5 . بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
هنگام تبدیل یک عدد از یک SS اعشاری به یک SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه، با ساخت یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) به دست می آوریم یک عدد در SS octal: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین می توانیم بنویسیم:
615 10 =1147 8 .
مثال 6 . بیایید عدد 19673 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال تبدیل کنیم.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم پی در پی عدد 19673 بر 16، باقیمانده ها 4، 12، 13، 9 می شوند. عدد هگزادسیمال 4CD9 است.
برای تبدیل کسرهای اعشاری منظم (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به یک سیستم اعداد با پایه s، باید این عدد را به صورت متوالی در s ضرب کرد تا زمانی که جزء کسری دارای یک صفر خالص باشد، یا تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. . اگر در حین ضرب، عددی با جزء صحیح غیر از صفر به دست آید، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب در نتیجه گنجانده می شوند).
بیایید با مثال به موارد بالا نگاه کنیم.
مثال 7 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.392 |
همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به ترتیب در 2 ضرب می شود. و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر حاصل ضرب عددی با جزء صحیح صفر باشد، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. روند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که قسمت کسری به صفر خالص برسد یا تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین عدد مورد نیاز را در سیستم اعداد باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .
بنابراین می توانیم بنویسیم:
0.214 10 =0.0011011 2 .
مثال 8 . بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم.
| 0.125 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.0 |
برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری، این عدد به ترتیب در 2 ضرب می شود. در مرحله سوم، نتیجه 0 است. در نتیجه نتیجه زیر به دست می آید:
0.125 10 =0.001 2 .
مثال 9 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال تبدیل کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| ایکس | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| ایکس | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| ایکس | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| ایکس | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| ایکس | 16 | |
| 4 | 0.224 |
به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد 12 و 11 با اعداد C و B مطابقت دارند. بنابراین، داریم:
0.214 10 = 0.36C8B4 16.
مثال 10 . بیایید عدد 0.512 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.
| 0.512 | ||
| ایکس | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| ایکس | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| ایکس | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.728 |
بدست آورد:
0.512 10 =0.406111 8 .
مثال 11 . بیایید عدد 159.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب بیشتر این نتایج بدست می آوریم:
159.125 10 =10011111.001 2 .
مثال 12 . بیایید عدد 19673.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال تبدیل کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این، با ترکیب این نتایج به دست می آوریم.
نمونه هایی از تبدیل اعداد به سیستم های اعداد مختلف
مثال شماره 1
بیایید عدد 12 را از اعشار به سیستم اعداد باینری تبدیل کنیم
راه حل
بیایید عدد 12 10 را با استفاده از تقسیم ترتیبی بر 2 به سیستم اعداد 2 آری تبدیل کنیم تا ضریب ناقص برابر با صفر شود. نتیجه یک عدد از باقیمانده تقسیم خواهد بود که از راست به چپ نوشته می شود.
| 12 | : | 2 | = | 6 | باقی مانده: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | باقی مانده: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | باقی مانده: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | باقی مانده: 1 |
12 10 = 1100 2
مثال شماره 2
بیایید عدد 12.3 را از سیستم اعداد اعشاری به باینری تبدیل کنیم
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
راه حلبیایید قسمت صحیح عدد دوازدهم 12.3 10 را با استفاده از تقسیم ترتیبی بر 2 به سیستم اعداد 2 آری تبدیل کنیم تا زمانی که ضریب ناقص برابر با صفر شود. نتیجه یک عدد از باقیمانده تقسیم خواهد بود که از راست به چپ نوشته می شود.
| 12 | : | 2 | = | 6 | باقی مانده: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | باقی مانده: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | باقی مانده: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | باقی مانده: 1 |
12 10 = 1100 2
بیایید قسمت کسری 0.3 عدد 12.3 10 را با استفاده از ضرب متوالی در 2 به سیستم اعداد 2-ary تبدیل کنیم تا زمانی که قسمت کسری حاصل صفر شود یا به تعداد اعشار لازم برسد. اگر حاصل ضرب این باشد که جزء صحیح برابر با صفر نباشد، باید مقدار عدد صحیح را با صفر جایگزین کرد. نتیجه یک عدد از قسمت های صحیح آثار خواهد بود که از چپ به راست نوشته می شود.
| 0.3 | · | 2 | = | 0 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.3 10 = 0.010011001100110011001100110011 2
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
مثال شماره 3
بیایید عدد 10011 را از سیستم باینری به سیستم اعشاری تبدیل کنیم
راه حل
بیایید عدد 10011 2 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم؛ برای این کار ابتدا موقعیت هر رقم را در عدد از راست به چپ و از صفر شروع کنید.
هر موقعیت رقمی توان 2 خواهد بود، زیرا سیستم اعداد 2 رقمی است. لازم است هر عدد 10011 2 را به ترتیب در 2 در توان موقعیت مربوط به عدد ضرب کنیم و سپس آن را جمع کنیم و سپس حاصل ضرب عدد بعدی را به توان موقعیت متناظر آن اضافه کنیم.
10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10
مثال شماره 4
بیایید عدد 11.101 را از سیستم باینری به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم
11.101 2 = 3.625 10
راه حلبیایید عدد 11.101 2 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم؛ برای این کار ابتدا موقعیت هر رقم را در عدد یادداشت کنید.
هر موقعیت رقمی توان 2 خواهد بود، زیرا سیستم اعداد 2 رقمی است. لازم است هر عدد 11.101 2 را به ترتیب در 2 در توان موقعیت مربوط به عدد ضرب کنیم و سپس آن را با حاصل ضرب بعدی عدد بعدی به توان موقعیت متناظر آن اضافه کنیم.
11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10
مثال شماره 5
بیایید عدد 1583 را از سیستم اعشاری به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنیم
1583 10 = 62F 16
راه حلبیایید عدد 1583 10 را با استفاده از تقسیم ترتیبی بر 16 به سیستم عددی 16 تبدیل کنیم تا ضریب ناقص برابر با صفر شود. نتیجه یک عدد از باقیمانده تقسیم خواهد بود که از راست به چپ نوشته می شود.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | باقیمانده: 15، 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | باقی مانده: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | باقی مانده: 6 |
1583 10 = 62F 16
مثال شماره 6
بیایید عدد 1583.56 را از سیستم اعشاری به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنیم
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
راه حلبیایید قسمت صحیح 1583 عدد 1583.56 10 را با استفاده از تقسیم ترتیبی بر 16 به سیستم عددی 16 تبدیل کنیم تا زمانی که ضریب ناقص برابر با صفر شود. نتیجه یک عدد از باقیمانده تقسیم خواهد بود که از راست به چپ نوشته می شود.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | باقیمانده: 15، 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | باقی مانده: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | باقی مانده: 6 |
1583 10 = 62F 16
بیایید قسمت کسری 0.56 عدد 1583.56 10 را با استفاده از ضرب متوالی در 16 به سیستم اعداد 16 آری تبدیل کنیم تا قسمت کسری حاصل صفر شود یا به تعداد اعشار لازم برسد. اگر حاصل ضرب این باشد که جزء صحیح برابر با صفر نباشد، باید مقدار عدد صحیح را با صفر جایگزین کرد. نتیجه یک عدد از قسمت های صحیح آثار خواهد بود که از چپ به راست نوشته می شود.
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36، 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16، 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36، 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16، 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36، 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16، 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36، 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16، 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36، 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16، 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15.36، 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12.16، 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0.56 10 = 0.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
مثال شماره 7
بیایید عدد A12DCF را از سیستم هگزادسیمال به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم
A12DCF 16 = 10563023 10
راه حلبیایید عدد A12DCF 16 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم؛ برای این کار ابتدا موقعیت هر رقم را در عدد از راست به چپ و از صفر شروع کنید.
هر موقعیت رقمی توان 16 خواهد بود، زیرا سیستم اعداد 16 رقمی است. لازم است هر عدد A12DCF 16 را به ترتیب در 16 در توان موقعیت مربوط به عدد ضرب کنید و سپس آن را جمع کنید و سپس حاصل ضرب عدد بعدی را به توان موقعیت متناظر آن اضافه کنید.
2
هر موقعیت رقمی توان 16 خواهد بود، زیرا سیستم اعداد 16 رقمی است. لازم است هر عدد A12DCF.12A 16 را به ترتیب در 16 در توان موقعیت مربوط به عدد ضرب کنید و سپس حاصل ضرب عدد بعدی را به توان موقعیت متناظر آن اضافه کنید.
A 16 = 10 10
D 16 = 13 10
C 16 = 12 10
F 16 = 15 10
A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 - 1 ⋅
هر موقعیت رقمی توان 2 خواهد بود، زیرا سیستم اعداد 2 رقمی است. لازم است هر عدد 1010100011 2 را به ترتیب در 2 در توان موقعیت مربوط به عدد ضرب کرده و سپس حاصل ضرب عدد بعدی را به توان موقعیت متناظر آن اضافه کنیم.
1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10
بیایید عدد 675 10 را با استفاده از تقسیم ترتیبی بر 16 به سیستم اعداد 16 آری تبدیل کنیم تا ضریب جزئی برابر با صفر شود. نتیجه یک عدد از باقیمانده تقسیم خواهد بود که از راست به چپ نوشته می شود.
| 675 | : | 16 | = | 42 | باقی مانده: 3 |
| 42 | : | 16 | = | 2 | باقیمانده: 10، 10 = A |
| 2 | : | 16 | = | 0 | باقی مانده: 2 |
675 10 = 2A3 16 هدف از خدمات. این سرویس برای تبدیل اعداد از یک سیستم شماره به سیستم دیگر به صورت آنلاین طراحی شده است. برای انجام این کار، پایه سیستمی را که می خواهید شماره را از آن تبدیل کنید، انتخاب کنید. می توانید هم اعداد صحیح و هم اعداد را با کاما وارد کنید.
شما می توانید هم اعداد کامل، برای مثال 34 و هم اعداد کسری، به عنوان مثال، 637.333 را وارد کنید. برای اعداد کسری، دقت ترجمه بعد از نقطه اعشار نشان داده شده است.
موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:
راه های نمایش اعداد
دودویی اعداد (دودویی) - هر رقم به معنای مقدار یک بیت (0 یا 1) است، مهمترین بیت همیشه در سمت چپ نوشته می شود، حرف "b" بعد از عدد قرار می گیرد. برای سهولت درک، نوت بوک ها را می توان با فاصله از هم جدا کرد. به عنوان مثال، 1010 0101b.هگزادسیمال اعداد (هگزادسیمال) - هر تتراد با یک نماد 0...9، A، B، ...، F نشان داده می شود. این نمایش را می توان به روش های مختلف تعیین کرد؛ در اینجا فقط نماد "h" بعد از آخرین هگزادسیمال استفاده می شود. رقم به عنوان مثال، A5h. در متون برنامه، بسته به نحو زبان برنامه نویسی، می توان همان عدد را به عنوان 0xA5 یا 0A5h تعیین کرد. یک صفر ابتدایی (0) به سمت چپ مهم ترین رقم هگزا دسیمال که با حرف نشان داده می شود اضافه می شود تا بین اعداد و نام های نمادین تمایز قائل شود.
اعشاری اعداد (اعشاری) - هر بایت (کلمه، دو کلمه) با یک عدد منظم نشان داده می شود و علامت نمایش دهدهی (حرف "d") معمولا حذف می شود. بایت در مثال های قبلی دارای مقدار اعشاری 165 است. برخلاف نماد دودویی و هگزا دسیمال، اعشار برای تعیین مقدار هر بیت از نظر ذهنی دشوار است، که گاهی اوقات ضروری است.
هشتی اعداد (هشتی) - هر سه بیت (تقسیم از کمترین معنی شروع می شود) به صورت یک عدد 0-7 نوشته می شود و در پایان یک "o" وجود دارد. همان عدد به صورت 245o نوشته می شود. سیستم اکتال ناخوشایند است زیرا بایت را نمی توان به طور مساوی تقسیم کرد.
الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر
تبدیل اعداد اعشاری کامل به هر سیستم اعداد دیگری با تقسیم عدد بر پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که باقیمانده عددی کمتر از پایه سیستم اعداد جدید باقی بماند. عدد جدید به عنوان باقیمانده تقسیم نوشته می شود و از آخرین عدد شروع می شود.تبدیل یک کسر اعشاری منظم به PSS دیگر با ضرب کردن بخش کسری عدد در پایه سیستم اعداد جدید تا زمانی که تمام صفرها در قسمت کسری باقی بمانند یا تا زمانی که دقت ترجمه مشخص شده به دست آید، انجام می شود. در نتیجه هر عملیات ضرب، یک رقم از یک عدد جدید تشکیل می شود که با بالاترین عدد شروع می شود.
ترجمه کسر نادرست طبق قوانین 1 و 2 انجام می شود. اعداد صحیح و کسری با هم نوشته می شوند و با کاما از هم جدا می شوند.
مثال شماره 1. 
تبدیل سیستم اعداد 2 به 8 به 16.
این سیستم ها مضرب دو هستند، بنابراین ترجمه با استفاده از یک جدول مطابقت انجام می شود (به زیر مراجعه کنید).
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد باینری به سیستم اعداد هشتگانه (هگزادسیمال)، لازم است عدد باینری را از نقطه اعشار به سمت راست و چپ به گروه‌های سه رقمی (چهار رقم برای هگزادسیمال) تقسیم کنیم و گروه‌های بیرونی را تکمیل کنیم. در صورت لزوم با صفر هر گروه با رقم هشتی یا هگزا دسیمال مربوطه جایگزین می شود.
مثال شماره 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
اینجا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
هنگام تبدیل به سیستم هگزادسیمال، باید با رعایت قوانین مشابه، عدد را به قسمت های چهار رقمی تقسیم کنید.
مثال شماره 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010،1011 = 2B12،13 HEX
اینجا 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
تبدیل اعداد از 2، 8 و 16 به سیستم اعداد اعشاری با شکستن عدد به عددهای جداگانه و ضرب آن در پایه سیستم (که عدد از آن ترجمه شده است) به توان مربوط به شماره سریال آن در عدد در حال تبدیل در این حالت، اعداد در سمت چپ نقطه اعشار (عدد اول 0 شماره گذاری شده است) با افزایش و به سمت راست با کاهش (یعنی با علامت منفی) شماره گذاری می شوند. نتایج به دست آمده با هم جمع می شوند.
مثال شماره 4.
نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد باینری به اعشاری.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = 82.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد اعشاری به اعشاری. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هگزادسیمال به اعشاری. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
یک بار دیگر الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به PSS دیگر را تکرار می کنیم
- از سیستم اعداد اعشاری:
- عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم کنید.
- هنگام تقسیم یک عدد صحیح از یک عدد باقیمانده را پیدا کنید.
- تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.
- از سیستم اعداد باینری
- برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، لازم است مجموع حاصل از پایه 2 را با درجه مربوطه از رقم پیدا کنید.
- برای تبدیل یک عدد به هشتی، باید عدد را به سه تایی تبدیل کنید.
به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8 - برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، باید عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم کنید.
به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16
جدول مکاتبات سیستم شماره:
| باینری SS | هگزادسیمال SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | آ |
| 1011 | ب |
| 1100 | سی |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | اف |
جدول برای تبدیل به سیستم اعداد اکتالی
مثال شماره 2. عدد 100.12 را از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد هشتی و بالعکس تبدیل کنید. دلایل عدم تطابق را توضیح دهید.
راه حل.
مرحله ی 1. .
باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس می نویسیم. عدد را در سیستم اعداد هشتم بدست می آوریم: 144
100 = 144 8
برای تبدیل جزء کسری یک عدد، جزء کسری را به ترتیب در پایه 8 ضرب می کنیم. در نتیجه، هر بار کل قسمت حاصل را یادداشت می کنیم.
0.12 * 8 = 0.96 (قسمت صحیح 0
)
0.96 * 8 = 7.68 (قسمت صحیح 7
)
0.68 * 8 = 5.44 (قسمت صحیح 5
)
0.44 * 8 = 3.52 (قسمت صحیح 3
)
شماره را در سیستم شماره هشتم دریافت می کنیم: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
مرحله 2. تبدیل یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد هشتی.
تبدیل معکوس از سیستم اعداد اکتالی به اعشاری.
برای ترجمه یک قسمت صحیح، باید رقم یک عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کنید.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
برای تبدیل قسمت کسری، باید رقم عدد را بر درجه مربوط به رقم تقسیم کنید.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
تفاوت 0.0001 (100.12 - 100.1199) با یک خطای گرد کردن هنگام تبدیل به سیستم اعداد هشتگانه توضیح داده می شود. اگر تعداد ارقام بیشتری بگیرید (مثلاً نه 4، بلکه 8) این خطا را می توان کاهش داد.