• تبدیل لاپلاس. برای حل معادلات دیفرانسیل خطی از تبدیل لاپلاس Compl لاپلاس مبانی احیا استفاده خواهیم کرد.

    تبدیل لاپلاس.هنگامی که یک سیستم با معادلات دیفرانسیل و انتگرال توصیف می شود، اغلب استفاده از تبدیل لاپلاس برای محاسبه آنها راحت است. در این صورت معادلات جبری می شوند. در این مورد، می توان آن را ساده کرد که PL را به عنوان تجزیه سیگنال به سینوسی و نمایی در نظر گرفت. برای سیگنال های گسسته، PL تبدیل Z نامیده می شود.

    ماهیت تبدیل لاپلاس

    تبدیل فوریه

    توابع مختلف جابجایی های واقعی زمان t PL با توابع جابجایی مختلط p مرتبط هستند و بالعکس.

    تبدیل لاپلاس

    р=σ+jω – عملگر تمایز

    تصویر یک تابع طبق لاپلاس یک صفحه مختلط است که σ در امتداد محور مقادیر واقعی و jω در امتداد محور مقادیر خیالی رسم می شود. علاوه بر این، هر نقطه از صفحه یک کمیت پیچیده است و می تواند در نماد جبری یا قطبی نمایش داده شود. برای یافتن تصویر لاپلاس، سیگنال اصلی در توانای مختلف e -σt ضرب می شود. اگر σ 0 باشد، آنگاه نیم صفحه راست است. برای هر یک از این محصولات، تبدیل فوریه پیدا شده و در امتداد محور ارزش فرضی قرار می گیرد. اگر سیگنال اصلی با یک تابع واقعی نمایش داده شود، نیم صفحه بالا و پایین منعکس می شوند.



    توجه! هر یادداشت سخنرانی الکترونیکی دارایی معنوی نویسنده آن است و فقط برای مقاصد اطلاعاتی در وب سایت منتشر می شود.

    یکی از راه‌های حل معادلات دیفرانسیل (سیستم معادلات) با ضرایب ثابت، روش تبدیل‌های انتگرالی است که اجازه می‌دهد تابع یک متغیر واقعی (تابع اصلی) با تابعی از یک متغیر مختلط جایگزین شود (تصویر کارکرد). در نتیجه عملیات تمایز و ادغام در فضای توابع اصلی به ضرب و تقسیم جبری در فضای توابع تصویر تبدیل می شود. یکی از نمایندگان روش تبدیل انتگرال تبدیل لاپلاس است.

    تبدیل لاپلاس پیوسته- یک تبدیل انتگرالی که تابعی از یک متغیر مختلط (تصویر تابع) را با تابعی از یک متغیر واقعی (تابع اصلی) متصل می کند. در این حالت، تابع یک متغیر واقعی باید شرایط زیر را برآورده کند:

    تابع در کل نیم محور مثبت متغیر واقعی تعریف شده و قابل تمایز است (تابع شرایط دیریکله را برآورده می کند).

    مقدار تابع قبل از لحظه اولیه برابر با صفر است ;

    افزایش تابع توسط تابع نمایی محدود می شود، یعنی. برای تابعی از یک متغیر واقعی چنین اعداد مثبتی وجود دارد م و با ، چی در، کجا ج - آبسیسا همگرایی مطلق (عدد مثبت).

    تبدیل لاپلاس (تبدیل انتگرال مستقیم)تابعی از یک متغیر واقعی را تابعی از شکل زیر می نامند (تابع متغیر مختلط):

    یک تابع را اصل یک تابع و یک تابع را تصویر آن می نامند. متغیر پیچیده عملگر لاپلاس نامیده می شود، جایی که فرکانس زاویه ای و مقداری ثابت مثبت است.

    به عنوان مثال اول، اجازه دهید یک تصویر برای یک تابع ثابت تعریف کنیم

    به عنوان مثال دوم، اجازه دهید یک تصویر برای تابع کسینوس تعریف کنیم . با در نظر گرفتن فرمول اویلر، تابع کسینوس را می توان به صورت مجموع دو نمایی نشان داد. .

    در عمل برای انجام تبدیل لاپلاس مستقیم از جداول تبدیل استفاده می شود که اصل و تصاویر توابع استاندارد را ارائه می دهد. در زیر به برخی از این ویژگی ها اشاره شده است.

    اصلی و تصویر برای تابع نمایی

    اصل و تصویر برای تابع کسینوس

    اصلی و تصویر برای تابع سینوسی

    اصلی و تصویر برای کسینوس در حال فروپاشی نمایی

    اصل و تصویر برای سینوس در حال پوسیدگی نمایی

    لازم به ذکر است که تابع یک تابع Heaviside است که برای مقادیر منفی آرگومان مقدار صفر و برای مقادیر مثبت آرگومان برابر با یک می گیرد.

    ویژگی های تبدیل لاپلاس

    قضیه خطی بودن

    تبدیل لاپلاس دارای خاصیت خطی بودن است، یعنی. هر رابطه خطی بین توابع اصلی برای تصاویر این توابع معتبر است.

    ویژگی خطی یافتن اصلی تصاویر پیچیده را ساده می‌کند، زیرا اجازه می‌دهد تصویر یک تابع به صورت مجموع عبارت‌های ساده نمایش داده شود و سپس اصل هر عبارت ارائه‌شده را پیدا کند.

    قضیه اصلی تمایز کارکرد

    تمایز تابع اصلی مربوط به ضرب

    برای شرایط اولیه غیر صفر:

    در شرایط اولیه صفر (مورد خاص):

    بنابراین، عملیات تمایز یک تابع با یک عملیات حسابی در فضای تصویر تابع جایگزین می شود.

    قضیه ادغام اصلی کارکرد

    ادغام تابع اصلی مطابقت دارد تقسیمتصاویری از توابع در عملگر لاپلاس.

    بنابراین، عملیات یکپارچه سازی یک تابع با یک عملیات حسابی در فضای تصویر تابع جایگزین می شود.

    قضیه تشابه

    تغییر آرگومان تابع (فشرده سازی یا بسط سیگنال) در حوزه زمان منجر به تغییر معکوس در آرگومان و ترتیب تصویر تابع می شود.

    افزایش مدت زمان پالس باعث فشرده شدن تابع طیفی آن و کاهش دامنه اجزای هارمونیک طیف می شود.

    قضیه تاخیر

    تأخیر (تغییر، جابجایی) سیگنال با توجه به استدلال تابع اصلی با یک بازه منجر به تغییر در تابع فرکانس فاز طیف (زاویه فاز همه هارمونیک ها) توسط یک مقدار معین بدون تغییر مدول می شود. تابع دامنه) از طیف.

    عبارت به دست آمده برای هر یک معتبر است

    قضیه جابجایی

    تأخیر (تغییر، جابجایی) سیگنال توسط آرگومان تصویر تابع منجر به ضرب تابع اصلی در یک ضریب نمایی می شود.

    از نقطه نظر عملی، قضیه جابجایی در تعیین تصاویر توابع نمایی استفاده می شود.

    قضیه پیچیدگی

    پیچیدگی یک عملیات ریاضی است که برای دو تابع و ایجاد تابع سوم اعمال می شود. به عبارت دیگر، با داشتن پاسخ یک سیستم خطی خاص به یک ضربه، می توانید از کانولوشن برای محاسبه پاسخ سیستم به کل سیگنال استفاده کنید.

    بنابراین، پیچیدگی اصلی دو تابع را می توان به عنوان محصولی از تصاویر این توابع نشان داد. قضیه تأیید هنگام در نظر گرفتن توابع انتقال استفاده می شود، زمانی که پاسخ سیستم (سیگنال خروجی از یک شبکه چهار پورت) زمانی که سیگنالی به ورودی یک شبکه چهار پورت با یک پاسخ گذرا پالس اعمال می شود، تعیین می شود.

    چهارقطبی خطی

    تبدیل لاپلاس معکوس

    تبدیل لاپلاس برگشت پذیر است، یعنی. یک تابع از یک متغیر واقعی به طور منحصر به فرد از تابع یک متغیر مختلط تعیین می شود . برای این کار از فرمول تبدیل لاپلاس معکوس استفاده کنید(فرمول ملین، انتگرال برومویچ) که به شکل زیر است:

    در این فرمول، حدود یکپارچگی به این معنی است که ادغام در امتداد یک خط مستقیم بی نهایت پیش می رود که موازی با محور فرضی است و محور واقعی را در نقطه قطع می کند. با توجه به اینکه عبارت اخیر را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

    در عمل برای انجام تبدیل لاپلاس معکوس، تصویر تابع با روش ضرایب نامشخص به مجموع کسرهای ساده تجزیه می شود و برای هر کسر (مطابق با خاصیت خطی) تابع اصلی از جمله در نظر گرفتن جدول توابع معمولی را در نظر بگیرید. این روش برای نشان دادن تابعی که یک کسر گویا مناسب است معتبر است. لازم به ذکر است که ساده ترین کسر را می توان به صورت حاصل ضرب ضرایب خطی و درجه دوم با ضرایب واقعی بسته به نوع ریشه های مخرج نشان داد:

    اگر یک ریشه در مخرج صفر باشد، تابع به کسری مانند:

    اگر یک ریشه n برابر صفر در مخرج وجود داشته باشد، تابع به کسری مانند:

    اگر یک ریشه واقعی در مخرج وجود داشته باشد، تابع به کسری مانند:

    اگر یک ریشه n برابر واقعی در مخرج وجود داشته باشد، تابع به کسری مانند:

    اگر یک ریشه خیالی در مخرج وجود داشته باشد، تابع به کسری مانند:

    در مورد ریشه های مزدوج پیچیده در مخرج تابع به کسری مانند:

    ∙ به طور کلیاگر تصویر یک تابع یک کسر گویا مناسب باشد (درجه صورت‌گر کمتر از درجه مخرج کسر گویا باشد)، آنگاه می‌توان آن را به مجموع کسرهای ساده تجزیه کرد.

    ∙ در یک مورد خاصاگر مخرج تصویر یک تابع فقط به ریشه های ساده معادله تجزیه شود، می توان تصویر تابع را به مجموع کسرهای ساده به صورت زیر گسترش داد:

    ضرایب ناشناخته را می توان با روش ضرایب مجهول یا روش ساده شده با استفاده از فرمول زیر تعیین کرد:

    مقدار تابع در نقطه ;

    مقدار مشتق تابع در نقطه.

    تبدیل لاپلاس- تبدیل یکپارچه اتصال تابع F(s) (\displaystyle \F(s))متغیر مختلط ( تصویر) با عملکرد f (x) (\displaystyle \f(x))متغیر واقعی ( اصلی). با کمک آن، خواص سیستم های دینامیکی مورد مطالعه قرار گرفته و معادلات دیفرانسیل و انتگرال حل می شود.

    یکی از ویژگی‌های تبدیل لاپلاس که توزیع گسترده آن را در محاسبات علمی و مهندسی از پیش تعیین کرده است، این است که بسیاری از روابط و عملیات روی نسخه‌های اصلی با روابط ساده‌تر روی تصاویر آنها مطابقت دارد. بنابراین، پیچیدگی دو تابع در فضای تصویر به یک عملیات ضرب کاهش می یابد و معادلات دیفرانسیل خطی به جبری تبدیل می شوند.

    یوتیوب دایره المعارفی

      1 / 5

      ✪ تبدیل لاپلاس - bezbotvy

      ✪ سخنرانی 10: تبدیل لاپلاس

      ✪ ریاضیات عالی -- 4. تبدیل لاپلاس. قسمت 1

      ✪ روش لاپلاس برای حل DE

      ✪ سخنرانی 11: استفاده از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل

      زیرنویس

    تعریف

    تبدیل لاپلاس مستقیم

    lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

    سپس به طور مطلق و یکنواخت برای و یک تابع تحلیلی در همگرا می شود σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- بخش واقعی یک متغیر مختلط s (\displaystyle s)). لبه پایینی دقیق σ a (\displaystyle \sigma _(a))مجموعه ای از اعداد σ (\displaystyle \sigma)، که تحت آن این شرط برآورده می شود، نامیده می شود آبسیسا همگرایی مطلقتبدیل لاپلاس برای تابع.

    • شرایط وجود تبدیل لاپلاس مستقیم

    تبدیل لاپلاس L (f (x)) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\))در موارد زیر به معنای همگرایی مطلق وجود دارد:

    1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): اگر انتگرال وجود داشته باشد تبدیل لاپلاس وجود دارد ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
    2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): تبدیل لاپلاس اگر انتگرال وجود داشته باشد ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx)برای هر متناهی وجود دارد x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)و | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))برای x > x 2 ⩾ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
    3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0)یا σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(که کران بزرگتر است): اگر تبدیل لاپلاس برای تابع وجود داشته باشد تبدیل لاپلاس وجود دارد f ′ (x) (\displaystyle f"(x))(مشتق از f (x) (\displaystyle f(x))) برای σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

    توجه داشته باشید

    • شرایط وجود تبدیل لاپلاس معکوس

    برای وجود تبدیل لاپلاس معکوس، احراز شرایط زیر کافی است:

    1. اگر تصویر F (s) (\displaystyle F(s))- تابع تحلیلی برای σ ⩾ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))و مرتبه ای کمتر از 1- دارد، پس تبدیل معکوس برای آن وجود دارد و برای همه مقادیر آرگومان پیوسته است، و L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)برای t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
    2. اجازه دهید F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi)، بنابراین φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n)))تحلیلی در مورد هر کدام z k (\displaystyle z_(k))و برابر با صفر برای است z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0)، و F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n))، سپس تبدیل معکوس وجود دارد و تبدیل مستقیم متناظر دارای ابسیسا همگرایی مطلق است.

    توجه داشته باشید: اینها شرایط کافی وجود است.

    • قضیه پیچیدگی

    مقاله اصلی: قضیه پیچیدگی

    • تمایز و ادغام نسخه اصلی

    تصویر لاپلاس اولین مشتق اصلی با توجه به آرگومان حاصلضرب تصویر و آرگومان دومی منهای اصل در صفر در سمت راست است:

    L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

    قضایای مقدار اولیه و نهایی (قضیه های حد):

    f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s))، اگر تمام قطب های تابع s F (s) (\displaystyle sF(s))در نیم صفحه سمت چپ قرار دارند.

    قضیه ارزش محدود بسیار مفید است زیرا رفتار اصل را در بی نهایت با استفاده از یک رابطه ساده توصیف می کند. به عنوان مثال، این برای تجزیه و تحلیل پایداری مسیر یک سیستم دینامیکی استفاده می شود.

    • سایر خواص

    خطی بودن:

    L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

    ضرب در عدد:

    L (f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\راست).)

    تبدیل لاپلاس مستقیم و معکوس برخی از توابع

    در زیر یک جدول تبدیل لاپلاس برای برخی از توابع آمده است.

    № تابع حوزه زمان
    x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))     		دامنه بسامد
    X (s) = L ( x (t)) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))     		منطقه همگرایی
    برای سیستم های علی
    1 تاخیر کامل δ (t - τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ ) e - τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
    1a تکانه تکانه δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ ) 1 (\displaystyle 1\ ) ∀ s (\displaystyle \forall s\ )
    2 تاخیر n (\displaystyle n) (t − τ) n n ! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} e - τs (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a قدرت n (\displaystyle n)- مرتبه tnn! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !} 1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a.1 قدرت q (\displaystyle q)- مرتبه t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t)) 1 ثانیه q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a.2 عملکرد واحد H (t) (\displaystyle H(t)\ ) 1 ثانیه (\displaystyle (\frac (1)(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2b عملکرد واحد با تاخیر H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ ) e - τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2c "گام سرعت" t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ ) 1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2d n (\displaystyle n)مرتبه -ام با تغییر فرکانس tnn! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} 1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha)
    2d.1 فروپاشی نمایی e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ ) 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    3 تقریب نمایی (1 - e - α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ ) α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha)(s(s+\alpha)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    4 سینوسی sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    5 کسینوس cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    6 سینوس هایپربولیک s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) α s 2 - α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha)(s^(2)-\alpha ^(2)))) s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
    7 هذلولی-کوزین c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) s s 2 - α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2)))) s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
    8 به طور تصاعدی در حال فروپاشی
    سینوسی    		 e − α t sin⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    9 به طور تصاعدی در حال فروپاشی
    کسینوس    		 e − α t cos⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha)((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    10 ریشه n (\displaystyle n)- مرتبه t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t)) s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\درست)) s > 0 (\displaystyle s>0)
    11 لگاریتم طبیعی ln⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\راست)\cdot H(t)) − t 0 s [ ln⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ]) s > 0 (\displaystyle s>0)
    12 تابع بسل
    نوع اول
    سفارش n (\displaystyle n)     		J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t)) ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\راست)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2))))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
    13
    نوع اول
    سفارش n (\displaystyle n)     		I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t)) ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\راست)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2))))) s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
    14 تابع بسل
    نوع دوم
    ترتیب صفر    		 Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ ) − 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2)))))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    15 تابع بسل اصلاح شده
    نوع دوم،
    ترتیب صفر    		 K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
    16 تابع خطا e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t)) e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    نکات روی میز:
    • H (t) (\displaystyle H(t)\ ) ;
    • α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \بتا\ ), τ (\displaystyle \tau \ )و ω (\displaystyle \omega \ ) - ارتباط با سایر تحولات

      ارتباطات اساسی

      دگرگونی ملین

      تبدیل ملین و تبدیل معکوس ملین با تغییر ساده متغیرها به تبدیل لاپلاس دو طرفه مرتبط می شوند. اگر در تحول ملین

      G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\چپ\(g(\theta)\راست \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta))\,d\theta )

      بگذاریم θ = e - x (\displaystyle \theta =e^(-x))، سپس تبدیل لاپلاس دو طرفه را بدست می آوریم.

      تبدیل Z

      Z (\displaystyle Z)-تبدیل تبدیل لاپلاس یک تابع شبکه است که با استفاده از تغییر متغیرها انجام می شود:

      z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT))

      تبدیل بورل

      شکل انتگرال تبدیل بورل با تبدیل لاپلاس یکسان است؛ همچنین یک تبدیل بورل تعمیم یافته وجود دارد که با استفاده از تبدیل لاپلاس به کلاس وسیع تری از توابع گسترش می یابد.

      کتابشناسی - فهرست کتب

      • ون در پل بی.، برمر اچ.حساب عملیاتی بر اساس تبدیل لاپلاس دو طرفه. - م.: انتشارات ادبیات خارجی، 1952. - 507 ص.
      • دیتکین V. A.، Prudnikov A. P.تبدیلات انتگرالی و حساب عملیاتی. - م.: تحریریه اصلی ادبیات فیزیکی و ریاضی انتشارات "ناوکا"، 1974. - 544 ص.
      • دیتکین V.A.، Kuznetsov P. I.کتاب حساب عملیاتی: مبانی تئوری و جداول فرمول ها. - م.: انتشارات دولتی ادبیات فنی و نظری، 1951. - 256 ص.
      • کارسلو اچ.، جگر دی.روش های عملیاتی در ریاضیات کاربردی. - م.: انتشارات ادبیات خارجی، 1948. - 294 ص.
      • Kozhevnikov N. I.، Krasnoshchekova T. I.، Shishkin N. E.سری فوریه و انتگرال. نظریه میدان. توابع تحلیلی و ویژه لاپلاس تبدیل می شود. - M.: Nauka، 1964. - 184 ص.
      • Krasnov M. L.، Makarenko G. I.حساب عملیاتی ثبات حرکت. - M.: Nauka، 1964. - 103 p.
      • میکوسینسکی یا.حساب اپراتور. - م.: انتشارات ادبیات خارجی، 1956. - 367 ص.
      • رومانوفسکی پی. آی.سری فوریه. نظریه میدان. توابع تحلیلی و ویژه لاپلاس تبدیل می شود. - م.: ناوکا، 1980. - 336 ص.

    بخش دوم. تجزیه و تحلیل ریاضی

    E. Yu. Anokhina

    تاریخچه توسعه و استقرار نظریه تابع یک متغیر پیچیده (TFCV) به عنوان یک موضوع آموزشی

    یکی از دروس پیچیده ریاضی، درس TFKP است. پیچیدگی این دوره، اول از همه، به دلیل تنوع روابط آن با سایر رشته های ریاضی است، که از لحاظ تاریخی در تمرکز کاربردی گسترده علم TFKP بیان شده است.

    در ادبیات علمی تاریخ ریاضیات، اطلاعات پراکنده ای در مورد تاریخچه توسعه TFKP وجود دارد؛ آنها نیاز به سیستم سازی و تعمیم دارند.

    در این راستا، هدف اصلی این مقاله شرح مختصری از توسعه TFKP و استقرار این نظریه به عنوان یک موضوع آموزشی است.

    در نتیجه مطالعه، سه مرحله زیر در توسعه TFKP به عنوان یک موضوع علمی و آموزشی شناسایی شد:

    مرحله پیدایش و تشخیص اعداد مختلط.

    مرحله انباشت مواد واقعی بر روی توابع کمیت های خیالی.

    مرحله شکل گیری نظریه توابع یک متغیر مختلط.

    اولین مرحله از توسعه TFKP (اواسط قرن 16 - قرن 18) با کار G. Cardano (1545) شروع می شود که کار "Artis magnae sive de regulis algebraitis" (هنر بزرگ یا در مورد قوانین جبری) را منتشر کرد. وظیفه اصلی کار G. Cardano توجیه تکنیک های جبری عمومی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم بود که اخیراً توسط Ferro (1465-1526)، Tartaglia (1506-1559) و Ferrari (1522-1565) کشف شده است. اگر معادله مکعب به شکل کاهش یابد

    x3 + px + d = 0،

    و باید باشد

    وقتی (t^Ar V (|- 70 معادله دارای سه ریشه واقعی و دو تای آنهاست

    با یکدیگر برابر هستند. در صورتی که معادله یک واقعی و دو همسو داشته باشد

    ریشه های پیچیده مزدوج اعداد مختلط در نتیجه نهایی ظاهر می‌شوند، بنابراین جی. کاردانو می‌تواند کاری را که قبل از او انجام می‌داد انجام دهد: معادله را به صورت اعلام کنید.

    یک ریشه چه زمانی (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

    مورد به اصطلاح تقلیل ناپذیر با یک ویژگی مشخص می شود که تا قرن شانزدهم با آن مواجه نشده بود. معادله x3 - 21x + 20 = 0 دارای سه ریشه واقعی 1، 4، - 5 است که آسان است.

    با جایگزینی ساده تأیید کنید. اما ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; بنابراین، طبق فرمول کلی، x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243. پیچیده، یعنی "نادرست"، معلوم می شود که عدد یک نتیجه نیست، بلکه یک عبارت میانی در محاسبات است که به ریشه های واقعی معادله مورد نظر منجر می شود. جی. کاردانو با مشکل مواجه شد و متوجه شد که برای حفظ کلیت این فرمول، نادیده گرفتن کامل اعداد مختلط ضروری است. J. d'Alembert (1717-1783) معتقد بود که دقیقاً همین شرایط بود که باعث شد G. Cardano و ریاضیدانانی که این ایده را دنبال می کردند به طور جدی به اعداد مختلط علاقه مند شوند.

    در این مرحله (در قرن هفدهم) دو دیدگاه به طور کلی پذیرفته شد. اولین دیدگاه توسط ژیرار بیان شد که این سؤال را مطرح کرد که نیاز به استفاده نامحدود از اعداد مختلط را تشخیص می دهد. دومی توسط دکارت است که امکان تفسیر اعداد مختلط را رد کرد. در مقابل نظر دکارت، دیدگاه جی والیس بود - در مورد وجود یک تفسیر واقعی از اعداد مختلط، دکارت آن را نادیده گرفت. اعداد مختلط در شرایطی که استفاده از اعداد واقعی منجر به یک نتیجه پیچیده می شود، یا نتیجه را نمی توان از نظر تئوری به دست آورد، اما اجرای عملی داشت، شروع به "اجباری" استفاده در حل مسائل کاربردی کرد.

    استفاده شهودی از اعداد مختلط منجر به نیاز به حفظ قوانین و قواعد حسابی اعداد حقیقی برای مجموعه اعداد مختلط شد؛ به ویژه، تلاش هایی برای انتقال مستقیم وجود داشت. این گاهی اوقات منجر به نتایج اشتباه می شد. در این راستا، سؤالاتی در مورد توجیه اعداد مختلط و ساخت الگوریتم هایی برای محاسبات آنها مطرح شده است. این آغاز مرحله جدیدی در توسعه TFKP بود.

    مرحله دوم توسعه TFKP (آغاز قرن 18 - قرن 19). در قرن 18 L. Euler این ایده را بیان کرد که میدان اعداد مختلط از نظر جبری بسته است. بسته بودن جبری میدان اعداد مختلط C، ریاضیدانان را به نتایج زیر سوق داد:

    مطالعه توابع و تجزیه و تحلیل ریاضی به طور کلی تنها با در نظر گرفتن رفتار توابع در یک حوزه پیچیده، کامل و کامل می شود.

    باید اعداد مختلط را به عنوان متغیر در نظر گرفت.

    در سال 1748، L. Euler (1707-1783) در کار خود "مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل بینهایت کوچک" یک متغیر مختلط را به عنوان کلی ترین مفهوم کمیت متغیر با استفاده از اعداد مختلط در بسط توابع به عوامل خطی معرفی کرد. L. Euler به حق یکی از خالقان TFKP در نظر گرفته می شود. در آثار L. Euler، توابع ابتدایی یک متغیر مختلط به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفت (1740-1749)، شرایط برای تمایز پذیری (1755) و شروع حساب انتگرال برای توابع یک متغیر مختلط (1777) ارائه شد. L. Euler عملاً نگاشت conformal را معرفی کرد (1777). او این نقشه‌برداری‌ها را «مشابه در کوچک» نامید و ظاهراً اصطلاح «هم‌نوع» برای اولین بار توسط آکادمیک سن پترزبورگ، F. Schubert (1789) استفاده شد. L. Euler همچنین کاربردهای متعددی از توابع یک متغیر پیچیده را در مسائل مختلف ریاضی به ارمغان آورد و پایه و اساس استفاده از آنها را در هیدرودینامیک (1755-1757) و نقشه برداری (1777) گذاشت. K. Gauss تعریف یک انتگرال در صفحه مختلط را فرموله می کند، یک قضیه انتگرال در مورد تجزیه پذیری یک تابع تحلیلی به یک سری توان. لاپلاس هنگام محاسبه انتگرال های دشوار از متغیرهای پیچیده استفاده می کند و روشی را برای حل معادلات خطی، تفاوت و دیفرانسیل به نام تبدیل لاپلاس توسعه می دهد.

    در آغاز در سال 1799، آثاری ظاهر شد که در آن تفاسیر کم و بیش راحت از اعداد مختلط ارائه شد و اقدامات بر روی آنها تعریف شد. یک تفسیر نظری نسبتاً کلی و تفسیر هندسی توسط K. Gauss تنها در سال 1831 منتشر شد.

    ال. اویلر و معاصرانش میراثی غنی به شکل حقایق انباشته شده، گاهی سیستماتیک، گاهی نه، اما همچنان پراکنده در TFKP برای فرزندان خود به جا گذاشتند. می‌توان گفت که به نظر می‌رسد مطالب واقعی در مورد توابع کمیت‌های خیالی نیازمند نظام‌بندی آن در قالب یک نظریه است. این نظریه توسعه خود را آغاز کرد.

    مرحله سوم شکل گیری TFKP (قرن XIX - قرن XX). دستاوردهای اصلی در اینجا متعلق به O. Couchy (1789-1857)، B. Riemann (1826-1866) و K. Weierstrass (1815-1897) است. هر یک از آنها یکی از جهت های توسعه TFKP را نشان می دهد.

    نماینده اولین جهت، که در تاریخ ریاضیات "نظریه توابع تک ژنی یا متمایز" نامیده می شد، O. Couchy بود. او حقایق پراکنده را در حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع یک متغیر مختلط رسمی کرد، معنای مفاهیم و عملیات اساسی را با مفاهیم خیالی توضیح داد. آثار O. Couchy نظریه حدود و نظریه سری ها و توابع ابتدایی را بر اساس آن بیان کردند و قضیه ای را فرموله کردند که منطقه همگرایی یک سری توان را کاملاً روشن می کند. در سال 1826، O. Couchy اصطلاح: deduction (به معنای واقعی کلمه: باقی مانده) را معرفی کرد. او در آثار خود از 1826 تا 1829 نظریه باقیمانده ها را ایجاد کرد. O. کوشی فرمول انتگرال را به دست آورد. یک قضیه برای وجود بسط تابعی از یک متغیر مختلط به سری توانی به دست آورد (1831). O. Couchy پایه های نظریه توابع تحلیلی بسیاری از متغیرها را بنا نهاد. شاخه های اصلی توابع چند ارزشی یک متغیر پیچیده را تعیین کرد. اولین بار از برش های هواپیما (1831-1847) استفاده شد. در سال 1850، او مفهوم توابع تک‌درومیک را معرفی کرد و دسته‌ای از توابع تک ژنی را شناسایی کرد.

    یکی از پیروان O. Couchy، B. Riemann بود که جهت "هندسی" (دوم) خود را برای توسعه TFKP ایجاد کرد. او در آثارش بر انزوای ایده‌های مربوط به کارکردهای متغیرهای پیچیده غلبه کرد و بخش‌های جدیدی از این نظریه را تشکیل داد که ارتباط نزدیکی با سایر رشته‌ها داشت. ریمان گام بسیار جدیدی در تاریخ نظریه توابع تحلیلی برداشت؛ او پیشنهاد کرد که با هر تابع از یک متغیر مختلط، ایده نگاشت یک دامنه به دامنه دیگر مرتبط شود. او تفاوت بین توابع یک متغیر مختلط و یک متغیر واقعی را مشخص کرد. ب. ریمان پایه و اساس تئوری هندسی توابع را گذاشت، سطح ریمان را معرفی کرد، نظریه نگاشتهای منسجم را توسعه داد، ارتباط بین توابع تحلیلی و هارمونیک را برقرار کرد و تابع زتا را معرفی کرد.

    توسعه بیشتر TFKP در جهت (سوم) متفاوت رخ داد. اساس آن امکان نمایش توابع توسط سری های توانی بود. این جهت در تاریخ نام "تحلیلی" داده شده است. این در آثار K. Weierstrass شکل گرفت که در آن او مفهوم همگرایی یکنواخت را به منصه ظهور رساند. K. Weierstrass یک قضیه در مورد قانونی بودن آوردن اصطلاحات مشابه در یک سری را فرموله و اثبات کرد. K. Weierstrass یک نتیجه اساسی به دست آورد: حد دنباله ای از توابع تحلیلی که به طور یکنواخت در یک دامنه خاص همگرا می شوند، یک تابع تحلیلی است. او توانست قضیه کوشی را در مورد بسط سری توان تابعی از یک متغیر مختلط تعمیم دهد و روند ادامه تحلیلی سری توانی و کاربرد آن را در نمایش راه حل های یک سیستم معادلات دیفرانسیل شرح دهد. K. Weierstrass نه تنها همگرایی مطلق سری، بلکه همگرایی یکنواخت را ثابت کرد. قضیه وایرشتراس در مورد بسط کل یک تابع به یک محصول ظاهر می شود. او پایه‌های نظریه توابع تحلیلی بسیاری از متغیرها را می‌گذارد و نظریه تقسیم‌پذیری سری‌های توانی را می‌سازد.

    اجازه دهید توسعه تئوری توابع تحلیلی در روسیه را در نظر بگیریم. ریاضیدانان روسی قرن نوزدهم. برای مدت طولانی آنها نمی خواستند خود را وقف رشته جدیدی از ریاضیات کنند. با وجود این، می توان نام های متعددی را نام برد که برای آنها بیگانه نبوده و برخی از آثار و دستاوردهای این ریاضیدانان روسی را فهرست می کنیم.

    یکی از ریاضیدانان روسی M.V. اوستروگرادسکی (1801-1861). درباره تحقیق M.V. اطلاعات کمی در مورد اوستروگرادسکی در زمینه تئوری توابع تحلیلی وجود دارد، اما او. کوشی با تمجید از این دانشمند جوان روسی صحبت کرد که انتگرال ها را به کار برد و اثبات های جدیدی از فرمول ها ارائه کرد و فرمول های دیگر را تعمیم داد. M.V. اوستروگرادسکی اثر «اشاره‌هایی درباره انتگرال‌های معین» را نوشت که در آن فرمول کوشی را برای تفریق یک تابع با توجه به قطبی از مرتبه n به دست آورد. او کاربردهای تئوری باقیمانده و فرمول کوشی را در ارزیابی انتگرال های معین در یک دوره سخنرانی عمومی گسترده که در سال های 1858-1859 ارائه شد، تشریح کرد.

    تعدادی از آثار N.I به دهه 1930 برمی گردد. لوباچفسکی که برای تئوری توابع یک متغیر مختلط اهمیت مستقیم دارند. نظریه توابع ابتدایی یک متغیر مختلط در کار او "جبر یا محاسبه متناهی" (کازان، 1834) موجود است. که در آن cos x و sin x در ابتدا برای x واقعی به صورت واقعی و تعیین می شوند

    بخش خیالی تابع ex^. با استفاده از ویژگی‌های مشخص شده قبلی تابع نمایی و بسط قدرت، تمام ویژگی‌های اساسی توابع مثلثاتی به دست می‌آیند. توسط-

    ظاهراً لوباچفسکی به چنین ساختار تحلیلی محض مثلثات، مستقل از هندسه اقلیدسی اهمیت ویژه ای می داد.

    می توان ادعا کرد که در دهه های پایانی قرن نوزدهم. و دهه اول قرن بیستم. تحقیقات بنیادی در مورد تئوری توابع یک متغیر مختلط (F. Klein, A. Poincaré, P. Koebe) شامل این بود که به تدریج روشن شود که هندسه لوباچفسکی در عین حال هندسه توابع تحلیلی یک متغیر مختلط است.

    در سال 1850، استاد دانشگاه سنت پترزبورگ (آکادمیک بعدی) I.I. سوموف (1815-1876) "مبانی نظریه توابع تحلیلی" را منتشر کرد که بر اساس "مبانی جدید" ژاکوبی بود.

    با این حال، اولین محقق واقعی روسی "اصلی" در زمینه تئوری توابع تحلیلی یک متغیر پیچیده، Yu.V. سوخوتسکی (1842-1929). او از پایان نامه کارشناسی ارشد خود "نظریه باقیمانده های انتگرال با برخی کاربردها" (سن پترزبورگ، 1868) دفاع کرد. از پاییز سال 1868، Yu.V. سوخوتسکی دوره هایی را در مورد تئوری توابع یک متغیر خیالی و در مورد کسرهای ادامه دار با کاربردهایی برای تجزیه و تحلیل تدریس کرد. پایان نامه کارشناسی ارشد Yu.V. سوخوتسکی به کاربردهای تئوری باقیمانده‌ها در وارونگی سری‌های توانی (سری لاگرانژ) و به‌ویژه به بسط توابع تحلیلی به کسرهای مداوم و همچنین چند جمله‌ای لژاندر اختصاص دارد. در این کار، قضیه معروف رفتار یک تابع تحلیلی در همسایگی یک نقطه اساساً منفرد، فرمول‌بندی و اثبات شد. در رساله دکتری سوخوتسکی

    (1873) مفهوم انتگرال از نوع کوشی برای اولین بار به صورت بسط یافته معرفی شد: *r/^ & _ که در آن

    a و b دو عدد مختلط دلخواه هستند. فرض بر این است که انتگرال در امتداد یک منحنی خاص ("مسیر") گرفته شده است که a و b را به هم متصل می کند. در این کار، تعدادی از قضایا اثبات شده است.

    آثار N.E نقش بزرگی در تاریخ توابع تحلیلی ایفا کردند. ژوکوفسکی و اس.ا. Chaplygin، که حوزه وسیعی از کاربردهای خود را در هوا و هیدرومکانیک باز کرد.

    در مورد توسعه نظریه توابع تحلیلی، نمی توان از تحقیق S.V. Kovalevskaya، اگرچه اهمیت اصلی آنها فراتر از محدوده این نظریه است. موفقیت کار او به دلیل فرمول بندی کاملاً جدید مسئله از نظر تئوری توابع تحلیلی و در نظر گرفتن زمان t به عنوان یک متغیر مختلط بود.

    در آغاز قرن بیستم. ماهیت تحقیقات علمی در زمینه تئوری توابع یک متغیر مختلط در حال تغییر است. اگر قبلاً بیشتر تحقیقات در این زمینه از نظر توسعه یکی از سه جهت (نظریه توابع کوشی تک ژنی یا متمایزپذیر، ایده های هندسی و فیزیکی ریمان، جهت تحلیلی وایرشتراس) انجام می شد، اکنون تفاوت ها و بر اختلافات مرتبط غلبه می شود، تعداد آثاری که در آنها ترکیبی از ایده ها و روش ها انجام می شود، ظاهر می شود و به سرعت در حال افزایش است. یکی از مفاهیم اصلی که ارتباط و مطابقت مفاهیم هندسی و دستگاه سری های توانی بر روی آن آشکار شد، مفهوم تداوم تحلیلی بود.

    در پایان قرن نوزدهم. تئوری توابع یک متغیر مختلط شامل مجموعه گسترده ای از رشته ها است: نظریه هندسی توابع، بر اساس تئوری نگاشت های منسجم و سطوح ریمان. ما فرم کاملی از تئوری انواع مختلف توابع را به دست آوردیم: عدد صحیح و مرومورفیک، بیضوی و مدولار، خودکار، هارمونیک، جبری. در ارتباط نزدیک با آخرین کلاس توابع، نظریه انتگرال های آبلی توسعه یافت. در مجاورت این مجموعه، نظریه تحلیلی معادلات دیفرانسیل و نظریه تحلیلی اعداد قرار داشت. تئوری توابع تحلیلی با سایر رشته های ریاضی ارتباط برقرار کرد و تقویت کرد.

    غنای روابط بین TFKP و جبر، هندسه و سایر علوم، ایجاد مبانی سیستماتیک خود علم TFKT و اهمیت عملی زیاد آن به شکل گیری TFKT به عنوان یک موضوع آموزشی کمک کرد. با این حال، همزمان با تکمیل شکل‌گیری پایه‌ها، ایده‌های جدیدی وارد نظریه توابع تحلیلی شد که ترکیب، ماهیت و اهداف آن را به‌طور چشمگیری تغییر داد. تک نگاری ها حاوی ارائه سیستماتیک تئوری توابع تحلیلی به سبکی نزدیک به بدیهیات و همچنین دارای اهداف آموزشی هستند. ظاهراً اهمیت نتایج بدست آمده در مورد TFKP توسط دانشمندان دوره مورد بررسی آنها را تشویق کرد که TFKP را در قالب سخنرانی و انتشار مطالعات تک نگاری از منظر آموزشی رایج کنند. می توان نتیجه گرفت که TFKP به عنوان یک آموزشی پدید آمد

    موضوع. در سال 1856، سی. بریوت و تی. بوکت، خاطرات کوچکی با عنوان «مطالعه توابع یک متغیر خیالی» منتشر کردند که اساساً اولین کتاب درسی بود. مفاهیم کلی در تئوری توابع یک متغیر مختلط در سخنرانی ها شروع به توسعه کردند. از سال 1856، K. Weierst-Rass در مورد نمایش توابع توسط سری های توان همگرا، و از سال 1861 - در مورد نظریه عمومی توابع سخنرانی کرد. در سال 1876، مقاله ویژه ای از K. Weierstrass منتشر شد: "درباره نظریه توابع تحلیلی تک ارزشی" و در سال 1880، "درباره دکترین توابع"، که در آن نظریه توابع تحلیلی او کاملیت خاصی پیدا کرد.

    سخنرانی‌های وایرشتراس سال‌ها به‌عنوان نمونه اولیه کتاب‌های درسی در مورد تئوری توابع یک متغیر مختلط بود، که از آن زمان به بعد اغلب ظاهر می‌شوند. در سخنرانی های او بود که اساساً استاندارد مدرن دقت در آنالیز ریاضی ساخته شد و ساختاری که سنتی شد برجسته شد.

    فهرست کتابشناسی

    1. آندرونوف I.K. ریاضیات اعداد حقیقی و مختلط. م.: آموزش و پرورش، 1975.

    2. کلاین اف. سخنرانی در مورد توسعه ریاضیات در قرن 19th. M.: ONTI، 1937. قسمت 1.

    3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. روش های تئوری توابع یک متغیر مختلط. M.: Nauka، 1987.

    4. مارکوشویچ A.I. تئوری توابع تحلیلی. م.: ایالت. انتشارات ادبیات فنی و نظری، 1950.

    5. ریاضیات قرن 19. هندسه. نظریه توابع تحلیلی / ویرایش. A. N. Kolmogorov و A. P. Yushkevich. M.: Nauka، 1981.

    6. دایره المعارف ریاضی / چ. ویرایش I. M. Vinogradov. م.: دایره المعارف شوروی، 1977. T. 1.

    7. دایره المعارف ریاضی / چ. ویرایش I. M. Vinogradov. م.: دایره المعارف شوروی، 1979. T. 2.

    8. جوان V.N. مبانی آموزه اعداد در قرن 18 و اوایل قرن 19. م.: اوچپدگیز، 1963.

    9. Rybnikov K.A. تاریخچه ریاضیات. M.: انتشارات دانشگاه دولتی مسکو، 1963. قسمت 2.

    نه. لیاخووا منحنی های مسطح را لمس می کند

    مسئله مماس منحنی های مسطح، در موردی که ابسیساهای نقاط مشترک از معادله ای به شکل Pn x = 0 پیدا می شود، که در آن P x مقداری چند جمله ای است، مستقیماً با سؤال مرتبط است.

    در تعدد ریشه های چند جمله ای Pn x. این مقاله گزاره های مربوطه را برای موارد مشخص شدن صریح و ضمنی توابعی که نمودار آنها منحنی است، فرموله می کند و کاربرد این گزاره ها را در حل مسائل نشان می دهد.

    اگر منحنی هایی که نمودار توابع y = f(x) و y = ср x هستند دارای یک نقطه مشترک باشند.

    M() x0; v0، یعنی y0 = f x0 =ср x0 و مماس بر منحنی های نشان داده شده در نقطه M() x0. v0 منطبق نیستند، سپس می گویند که منحنی های y = ثابت) و y - ср x در نقطه Mo xo;Uo قطع می شوند.

    شکل 1 نمونه ای از تقاطع نمودارهای تابع را نشان می دهد.

    برای حل معادلات دیفرانسیل خطی از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم.

    تبدیل لاپلاسنسبت نامیده می شود

    قرار دادن توابع x(t)متغیر واقعی تیتابع تطبیق X(ها)متغیر مختلط s (s = σ+ jω).که در آن x(t)تماس گرفت اصلی، X(s)- تصویریا تصویر لاپلاسو س- متغیر تبدیل لاپلاس.اصل با یک حرف کوچک و تصویر آن با حرف بزرگ به همین نام نشان داده می شود.

    فرض بر این است که تابع ایکس(تی)، تحت تبدیل لاپلاس، دارای ویژگی های زیر است:

    1) عملکرد x(t)تعریف شده و به صورت تکه ای قابل تمایز در بازه )

    بیشتر بخوانید: