نمونه تجزیه و تحلیل فوریه طیفی vb6. سری زمانی در STATISTICA. تحلیل طیفی (فوریه). تبدیل فوریه سریع

روش تحلیل بر اساس سری فوریه بود. این مجموعه با تجزیه یک فرم پیچیده به شکل های ساده شروع می شود. فوریه نشان داد که یک شکل موج پیچیده را می توان به صورت مجموع امواج ساده نشان داد. به عنوان یک قاعده، معادلات توصیف کننده سیستم های کلاسیک به راحتی برای هر یک از این امواج ساده حل می شوند. فوریه در ادامه نشان داد که چگونه می‌توان این راه‌حل‌های ساده را برای ارائه راه‌حلی برای کل مسئله پیچیده خلاصه کرد. (از نظر ریاضی، سری فوریه روشی برای نمایش یک تابع به عنوان مجموع هارمونیک ها - سینوس و کسینوس است، بنابراین تحلیل فوریه به عنوان "تحلیل هارمونیک" نیز شناخته می شود.)

طبق فرضیه فوریه، هیچ تابعی وجود ندارد که نتوان آن را به یک سری مثلثاتی بسط داد. بیایید ببینیم چگونه می توان این گسترش را انجام داد. سیستم زیر از توابع متعامد را در بازه [–π, π] در نظر بگیرید: (1، cos(t)،
گناه (t)
cos (2t)،
sin (2t)
cos (3t)،
sin (3t)، …،
cos(nt)
گناه (nt)،…).

با هدایت این واقعیت که این سیستم از توابع متعامد است، تابع f(t) در بازه [π, –π] را می توان به صورت زیر تقریب زد:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) +…

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

ضرایب α n , β n از طریق حاصل ضرب اسکالر تابع و تابع پایه طبق فرمول هایی که قبلا بحث شد محاسبه می شوند و به صورت زیر بیان می شوند:

α 0 = , 1> =
,

a n = ، cos(nt) >=
,

β n = , sin(nt) >=
.

عبارت (6) را می توان به صورت فشرده به صورت زیر نوشت:

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

و n =
a n =
, (8)

bn=
β n=
. (9)

از آنجایی که در n = 0 cos(0) = 1، ثابت a 0/2 شکل کلی ضریب a n را در n = 0 بیان می کند.

ضرایب a n و b n را ضرایب فوریه می نامند و به نمایش تابع f(t) طبق فرمول (7) بسط در سری فوریه می گویند. گاهی به بسط سری فوریه که به این شکل ارائه می شود، بسط سری فوریه واقعی و ضرایب را ضرایب فوریه واقعی می نامند. اصطلاح "واقعی" برای تشخیص این تجزیه از تجزیه پیچیده معرفی شده است.

اجازه دهید عبارات (8) و (9) را تجزیه و تحلیل کنیم. ضریب a 0 مقدار متوسط ​​تابع f(t) در قطعه [–π, π] یا جزء ثابت سیگنال f(t) است. ضرایب a n و b n (برای n> 0) دامنه های مولفه های کسینوس و سینوسی تابع (سیگنال) f(t) با فرکانس زاویه ای برابر با n هستند. به عبارت دیگر، این ضرایب مقدار مولفه های فرکانس سیگنال ها را تعیین می کنند. به عنوان مثال، وقتی در مورد سیگنال صوتی با فرکانس‌های پایین صحبت می‌کنیم (مثلاً صداهای گیتار باس)، به این معنی است که ضرایب a n و b n برای مقادیر کوچک‌تر n بزرگ‌تر هستند و برعکس - در ارتعاشات صدای فرکانس بالا (مثلا صدای ویولن) مقدار بزرگ‌تر از n است.

نوسان بزرگترین دوره (یا کمترین فرکانس) که با مجموع 1 cos(t) و b 1 sin(t) نشان داده می شود، نوسان فرکانس بنیادی یا هارمونیک اول نامیده می شود. نوسانی با دوره ای برابر با نیمی از دوره فرکانس اصلی، هارمونیک دوم است، نوسانی با دوره ای برابر با 1/n فرکانس اصلی، هارمونیک n است. بنابراین، با گسترش تابع f(t) به یک سری فوریه، می‌توانیم از حوزه زمان به حوزه فرکانس انتقال دهیم. چنین انتقالی معمولاً برای آشکار کردن ویژگی‌های سیگنالی که در حوزه زمان «نامرئی» هستند، ضروری است.

توجه داشته باشید که فرمول های (8) و (9) برای یک سیگنال تناوبی با دوره ای برابر 2π قابل استفاده هستند. در حالت کلی، یک سیگنال تناوبی با دوره T را می توان به یک سری فوریه گسترش داد، سپس قطعه [–T/2، T/2] در بسط استفاده می شود. دوره هارمونیک اول برابر با T است و اجزا به شکل cos(2πt/T) و sin(2πt/T)، اجزای هارمونیک n cos(2πtn/T) و sin(2πtn/T) خواهند بود.

تابع f(t) در بازه [–T/2,T/2] را می توان به صورت زیر تقریب زد:

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…، (10)

a n =
,

bn=
.

اگر فرکانس زاویه ای اولین هارمونیک ω 0 = 2π/T را نشان دهیم، اجزای هارمونیک n به شکل cos(ω 0 nt)، sin(ω 0 nt) و

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

که در آن ضرایب فوریه با فرمول های زیر محاسبه می شود:

a n =
,

b n =
.

هر موجی با شکل پیچیده را می توان به صورت مجموع امواج ساده نشان داد.

جوزف فوریه مشتاق بود که به روش ریاضی چگونگی عبور گرما از اجسام جامد را توصیف کند. سانتی متر.تبادل حرارتی). شاید علاقه او به گرما زمانی که در شمال آفریقا بود شعله ور شد: فوریه ناپلئون را در سفری فرانسوی به مصر همراهی کرد و مدتی در آنجا زندگی کرد. فوریه برای رسیدن به هدف خود مجبور شد روش های ریاضی جدیدی را توسعه دهد. نتایج تحقیقات او در سال 1822 در کار "تئوری تحلیلی گرما" منتشر شد. تئوری تحلیلی د لا چلور، جایی که او نحوه تجزیه و تحلیل مسائل پیچیده فیزیکی را با تجزیه آنها به تعدادی ساده تر توضیح داد.

روش تجزیه و تحلیل بر اساس به اصطلاح بود سری فوریه. مطابق با اصل تداخل، این سری با تجزیه یک شکل پیچیده به شکل های ساده شروع می شود - به عنوان مثال، تغییر سطح زمین به دلیل زلزله، تغییر در مدار یک دنباله دار به دلیل تأثیر جاذبه چندین سیاره، تغییر در جریان گرما به دلیل عبور آن از یک مانع با شکل نامنظم ساخته شده از مواد گرما است. فوریه نشان داد که یک شکل موج پیچیده را می توان به صورت مجموع امواج ساده نشان داد. به عنوان یک قاعده، معادلات توصیف کننده سیستم های کلاسیک به راحتی برای هر یک از این امواج ساده حل می شوند. فوریه در ادامه نشان داد که چگونه می‌توان این راه‌حل‌های ساده را برای ارائه راه‌حلی برای کل مسئله پیچیده خلاصه کرد. (از نظر ریاضی، سری فوریه روشی برای نمایش یک تابع به عنوان مجموع هارمونیک ها-سینوس و کسینوس است، بنابراین تحلیل فوریه به عنوان آنالیز هارمونیک نیز شناخته می شد.)

تا قبل از ظهور رایانه ها در اواسط قرن بیستم، روش های فوریه و مانند آن بهترین سلاح در زرادخانه علمی هنگام حمله به پیچیدگی های طبیعت بودند. از زمان پیدایش روش‌های پیچیده فوریه، دانشمندان توانسته‌اند از آن‌ها برای حل نه تنها مسائل ساده‌ای استفاده کنند که با استفاده مستقیم از قوانین مکانیک نیوتن و دیگر معادلات اساسی قابل حل هستند. بسیاری از دستاوردهای بزرگ علم نیوتنی در قرن 19 در واقع بدون استفاده از روش هایی که برای اولین بار توسط فوریه ارائه شد غیرممکن می شد. در آینده، از این روش ها در حل مسائل در زمینه های مختلف - از نجوم گرفته تا مهندسی مکانیک استفاده شد.

ژان باپتیست ژوزف فوریه
ژان باپتیست ژوزف فوریه، 1768-1830

ریاضیدان فرانسوی. در اوسر متولد شد. در سن نه سالگی یتیم شد. او قبلاً در سنین جوانی برای ریاضیات استعداد نشان داد. فوریه در یک مدرسه کلیسا و یک مدرسه نظامی تحصیل کرد، سپس به عنوان معلم ریاضیات کار کرد. او در طول زندگی خود فعالانه درگیر سیاست بود. در سال 1794 به دلیل دفاع از قربانیان ترور دستگیر شد. پس از مرگ روبسپیر، او از زندان آزاد شد. در ایجاد مدرسه معروف پلی تکنیک (Ecole Polytechnique) در پاریس شرکت کرد. موقعیت او برای او سکوی پرشی برای پیشروی در رژیم ناپلئون فراهم کرد. همراه ناپلئون به مصر، فرماندار مصر سفلی منصوب شد. پس از بازگشت به فرانسه در سال 1801 به فرمانداری یکی از استان ها منصوب شد. او در سال 1822 دبیر دائمی آکادمی علوم فرانسه شد که جایگاهی تأثیرگذار در دنیای علمی فرانسه بود.

تبدیل فوریه و تحلیل طیفی دیجیتالی کلاسیک.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

معرفی

تجزیه و تحلیل طیفی یکی از روش های پردازش سیگنال است که به فرد امکان می دهد ترکیب فرکانسی سیگنال اندازه گیری شده را مشخص کند. تبدیل فوریه یک چارچوب ریاضی است که یک سیگنال زمانی یا مکانی (یا مدلی از این سیگنال) را به نمایش آن در حوزه فرکانس مرتبط می‌کند. روش‌های آماری نقش مهمی در تحلیل طیفی دارند، زیرا سیگنال‌ها معمولاً در حین انتشار یا اندازه‌گیری تصادفی یا نویزدار هستند. اگر مشخصه های آماری اصلی یک سیگنال به طور دقیق شناخته شده باشند، یا بتوان آن را از بازه محدود این سیگنال تعیین کرد، آنگاه آنالیز طیفی شاخه ای از "علم دقیق" خواهد بود. با این حال، در واقعیت، تنها تخمینی از طیف آن را می توان از یک بخش سیگنال به دست آورد. بنابراین، انجام تحلیل طیفی نوعی هنر (یا هنر؟) با ماهیت نسبتاً ذهنی است. تفاوت بین تخمین‌های طیفی به‌دست‌آمده در نتیجه پردازش یک بخش سیگنال با روش‌های مختلف را می‌توان با تفاوت در مفروضات ایجاد شده در مورد داده‌ها، روش‌های مختلف میانگین‌گیری و غیره توضیح داد. اگر ویژگی های سیگنال از قبل مشخص نباشد، نمی توان گفت کدام یک از تخمین ها بهتر است.

تبدیل فوریه - مبنای ریاضی تجزیه و تحلیل طیفی
اجازه دهید به طور خلاصه انواع مختلف تبدیل فوریه را مورد بحث قرار دهیم (برای جزئیات بیشتر، نگاه کنید به ).
بیایید با تبدیل فوریه یک سیگنال پیوسته زمان شروع کنیم

, (1)

که فرکانس ها و دامنه های آن سینوسی های پیچیده (نمای) را مشخص می کند که برخی از نوسانات دلخواه در آنها تجزیه می شود.
تبدیل معکوس

. (2)

وجود تبدیل فوریه رو به جلو و معکوس (که ما آن را تبدیل فوریه زمان پیوسته - CTFT می نامیم) با تعدادی از شرایط تعیین می شود. یکپارچگی سیگنال کافی - مطلق

. (3)

یک شرط کافی محدودتر، محدود بودن انرژی سیگنال است

. (4)

ما تعدادی از ویژگی های اساسی تبدیل فوریه و توابع استفاده شده در زیر را ارائه می کنیم، با توجه به اینکه پنجره مستطیلی با عبارت تعریف می شود

(5)

و تابع sinc یک عبارت است

(6)

عملکرد نمونه ها در حوزه زمان توسط عبارت تعیین می شود

(7)

این تابع گاهی اوقات تابع ادامه دوره ای نیز نامیده می شود.

جدول 1. ویژگی های اصلی NVPF و توابع

یکی دیگر از ویژگی های مهم توسط قضیه پارسوال برای دو تابع g(t) و h(t) ایجاد می شود:

. (8)

اگر g(t) = h(t) را قرار دهیم، آنگاه قضیه پارسوال به قضیه انرژی تقلیل می یابد.

. (9)

عبارت (9) در اصل فقط فرمول بندی قانون بقای انرژی در دو حوزه (زمان و فرکانس) است. در (9)، انرژی کل سیگنال در سمت چپ است، بنابراین تابع

(10)

توزیع فرکانس انرژی را برای یک سیگنال قطعی h(t) توصیف می کند و بنابراین چگالی طیفی انرژی (SPD) نامیده می شود. اصطلاحات

(11)

می توان دامنه و طیف فاز سیگنال h(t) را محاسبه کرد.

عملیات گسسته سازی و وزن دهی

در بخش بعدی سری فوریه زمان گسسته (DTFT) یا در غیر این صورت تبدیل فوریه گسسته (DFT) را به عنوان یک مورد خاص از تبدیل فوریه زمان پیوسته (CTFT) با استفاده از دو عملیات پردازش سیگنال اولیه - نمونه برداری معرفی می کنیم. گسسته سازی) و وزن کردنبا استفاده از یک پنجره در اینجا ما تأثیر این عملیات روی سیگنال و تبدیل آن را در نظر می گیریم. جدول 2 توابعی را که وزن دهی و گسسته سازی را انجام می دهند فهرست می کند.

با قرائت های یکنواخت با فاصله T ثانیه، فرکانس نمونه برداری F برابر با 1 /T هرتز است. توجه داشته باشید که تابع وزنی و تابع نمونه برداری در حوزه زمان به ترتیب با TW (پنجره بندی زمانی) و TS (نمونه برداری زمانی) و در حوزه فرکانس با FW (پنجره بندی فرکانس) و FS (نمونه برداری فرکانس) نشان داده می شوند.

جدول 2. توابع وزن دهی و گسسته

فرض کنید از یک سیگنال واقعی پیوسته x(t) با یک طیف محدود، که فرکانس بالایی آن برابر با F0 است، نمونه برداری شده است. NITF یک سیگنال واقعی همیشه یک تابع متقارن با عرض کل 2F0 است، به شکل 1 مراجعه کنید.
نمونه های سیگنال x(t) را می توان با ضرب این سیگنال در تابع نمونه ها به دست آورد:

(12)

شکل 1 تصویری از قضیه نمونه برداری در حوزه زمانی برای سیگنال محدود طیف واقعی است:
الف - تابع اصلی زمان و تبدیل فوریه آن؛
ب - عملکرد قرائت ها در زمان و تبدیل فوریه آن.
ج - زمان قرائت تابع اصلی و تبدیل فوریه به طور دوره ای آن برای مورد Fo<1/2T;
d - پنجره فرکانس (فیلتر پایین گذر ایده آل) و تبدیل فوریه آن (تابع سینک).
d تابع زمان اصلی است که با استفاده از عملیات کانولوشن با تابع sinc بازیابی می شود.

با توجه به قضیه پیچیدگی حوزه فرکانس، CTF سیگنال x(t) به سادگی پیچیدگی طیف سیگنال x(t) و تبدیل فوریه تابع نمونه زمانی (TS) است:

. (13)

پیچیدگی X(f) با تبدیل فوریه تابع نمونه‌برداری F (TS)=Y1/T(f) به سادگی X(f) را به صورت دوره‌ای با بازه فرکانسی 1/T هرتز ادامه می‌دهد. بنابراین، XS(f) یک طیف گسترده دوره ای از X(f) است. در حالت کلی، نمونه‌ها در یک ناحیه (مثلاً زمان) منجر به تداوم دوره‌ای در ناحیه تبدیل (مثلاً فرکانس) می‌شوند. اگر فرکانس نمونه برداری به اندازه کافی کم انتخاب شود (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
به منظور بازیابی سیگنال زمان اصلی از قرائت های آن، به عنوان مثال. برای درونیابی مقداری پیوسته بین این نمونه‌ها، می‌توان داده‌های نمونه‌برداری شده را از یک فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل با پاسخ فرکانسی مستطیلی عبور داد (شکل 1d)

. (14)

در نتیجه (نگاه کنید به شکل 1 e) تبدیل فوریه اصلی بازیابی می شود. با استفاده از قضایای کانولوشن در حوزه زمان و فرکانس، به دست می آوریم

. (15)

عبارت (15) یک نماد ریاضی است قضایای نمونه گیری در حوزه زمان(قضیه های Whittaker، Kotelnikov، Shannon - UKSH)، که بیان می کند که با کمک فرمول درونیابی (15)، می توان یک سیگنال واقعی با طیف محدود را دقیقاً بازیابی کرد. توسط یک عدد بی نهایتخوانش زمان شناخته شده با فرکانس F і 2F0. دوگانه به قضیه (15) قضیه است نمونه در حوزه فرکانسبرای سیگنال هایی با مدت زمان محدود
عملیات در حوزه زمان مشابه (14) با عبارت توضیح داده می شود

, (16)

و تحولات مربوطه - توسط عبارات

بنابراین، NITF X(f) یک سیگنال خاص با مدت زمان محدود را می توان به طور واضح از نمونه های مساوی از طیف چنین سیگنالی بازیابی کرد، اگر بازه نمونه فرکانس انتخاب شده شرایط F1/2T 0 هرتز را برآورده کند، جایی که T 0 مدت زمان سیگنال است.

روابط بین تبدیل های پیوسته و گسسته

یک جفت تبدیل برای تعریف معمول تبدیل فوریه گسسته (DFT) یک نقطه N ترتیب زمانی x[n] و N-نقطه مربوطه دنباله های تبدیل فوریه X[k] با عبارات داده می شود

, (18)
. (19)

برای به دست آوردن تخمین های طیفی از نمونه های داده در واحدهای انرژی یا توان متناظر، سری فوریه گسسته (DTFT) را می نویسیم که می تواند به عنوان تقریبی از تبدیل فوریه زمان پیوسته (CTFT) بر اساس استفاده از تعداد متناهی نمونه داده در نظر گرفته شود:

به منظور نشان دادن ماهیت مطابقت با dvrf ( گسستهتوابع در هر دو حوزه زمان و فرکانس) و CTF (توابع پیوسته در حوزه زمان و فرکانس)، ما به دنباله ای از چهار عملیات کموتاسیون خطی نیاز داریم: وزن دهی در حوزه زمان و فرکانس، و نمونه گیری یا نمونه گیریهم در حوزه زمان و هم در حوزه فرکانس. اگر عملیات وزن دهی در یکی از این نواحی انجام شود، با توجه به قضیه کانولوشن، مطابق با اجرای عملیات فیلترینگ (کانولوشن) در ناحیه دیگری با تابع sinc خواهد بود. به همین ترتیب، اگر گسسته سازی در یک منطقه انجام شود، عملیات ادامه دوره ای در ناحیه دیگر انجام می شود. از آنجایی که توزین و نمونه‌برداری، عملیات خطی و جابه‌جایی هستند، روش‌های مختلفی برای ترتیب دادن آن‌ها وجود دارد که نتیجه نهایی یکسان با نتایج میانی متفاوت به دست می‌آید. شکل 2 دو توالی ممکن برای این چهار عملیات را نشان می دهد.

برنج. 2. دو توالی احتمالی از دو عملیات توزین و دو عملیات نمونه‌برداری که NTPF و DTRF را به هم پیوند می‌دهند: FW - کاربرد یک پنجره در حوزه فرکانس. TW - استفاده از یک پنجره در حوزه زمان. FS - نمونه برداری در حوزه فرکانس؛ TS - نمونه برداری در حوزه زمان.
1 - تبدیل فوریه با زمان پیوسته، معادله (1);
4 - تبدیل فوریه با زمان گسسته معادله (22);
5 - سری فوریه با زمان پیوسته معادله (25);
8 - سری فوریه با زمان گسسته، معادله (27)

در نتیجه انجام عملیات توزین و نمونه برداری در گره های 1، 4، 5 و 8، چهار نوع مختلف رابطه فوریه وجود خواهد داشت. گره هایی که تابع در آن هستند دامنه فرکانس پیوسته است، رجوع شود تحولاتفوریه و گره هایی که تابع در حوزه فرکانس است گسستهرجوع شود سری فوریه(برای جزئیات بیشتر رجوع کنید به).
بنابراین در گره 4، وزن دهی در حوزه فرکانس و نمونه برداری در حوزه زمان ایجاد می شود تبدیل زمان گسستهتبدیل فوریه (DTFT)، که با یک تابع تناوبی از طیف در حوزه فرکانس با دوره 1/T هرتز مشخص می شود:

(22)

(23)

توجه داشته باشید که عبارت (22) یک تابع دوره ای خاص را تعریف می کند که با تابع تبدیل شده اصلی مشخص شده در گره 1 فقط در محدوده فرکانس از -1/2T تا 1/2T هرتز منطبق است. عبارت (22) با تبدیل Z دنباله گسسته x[n] توسط رابطه مرتبط است.

(24)

بنابراین DTFT فقط تبدیل Z است که روی دایره واحد محاسبه شده و در T ضرب می شود.
اگر از گره 1 به گره 8 در شکل 2 در امتداد شاخه پایین تر حرکت کنیم، در گره 5، عملیات وزن دهی در حوزه زمان (محدود کردن مدت زمان سیگنال) و نمونه برداری در حوزه فرکانس یک سری فوریه زمان پیوسته (CTSF) ایجاد می کند. با استفاده از خصوصیات و تعاریف توابع ارائه شده در جداول 1 و 2، جفت تبدیل زیر را بدست می آوریم.
(25)
(26)

توجه داشته باشید که عبارت (26) تنها در بازه زمانی 0 تا NT، تابع تناوبی خاصی را تعریف می کند که با تابع اصلی (در گره 1) منطبق است.
صرف نظر از اینکه کدام یک از دو دنباله از چهار عملیات انتخاب شده است، نتیجه نهایی در گره 8 یکسان خواهد بود - سری فوریه گسسته، که مربوط به جفت تبدیل زیر است که با استفاده از ویژگی های نشان داده شده در جدول 1 به دست آمده است.

, (27)

که در آن k=-N/2، . . . ,N/2-1

, (28)

که در آن n=0، . . . , N-1 ,
قضیه انرژی برای این WWRF این است:

, (29)

و انرژی یک دنباله از نمونه داده N را مشخص می کند. هر دو دنباله x[n] و X[k] مدول تناوبی N هستند، بنابراین (28) را می توان به شکل نوشت

, (30)

که در آن 0 n N. ضریب T در (27) - (30) ضروری است تا (27) و (28) در واقع تقریبی از تبدیل انتگرال در حوزه ادغام باشند.

.(31)

بالشتک صفر

از طریق فرآیندی به نام بالشتک صفر، سری فوریه زمان گسسته را می توان برای درون یابی بین مقادیر N تبدیل اصلی تغییر داد. اجازه دهید نمونه های داده موجود x،...،x با مقادیر صفر x[N]،...X تکمیل شوند. TDRF این توالی داده 2N-نقطه‌ای با لایه صفر به وسیله داده خواهد شد

(32)

که در آن حد مجموع بالایی در سمت راست برای قرار دادن داده‌های پوچ اصلاح شده است. اجازه دهید k=2m، بنابراین

, (33)

که در آن m=0,1,...,N-1 مقادیر زوج X[k] را تعریف می کند. این نشان می‌دهد که برای مقادیر زوج از شاخص k، سری فوریه با زمان گسسته ۲N به یک سری زمان گسسته N نقطه کاهش می‌یابد. مقادیر فرد شاخص k مربوط به مقادیر درونیابی TDGF است که بین مقادیر TDGF نقطه N اصلی قرار دارد. همانطور که صفرهای بیشتر و بیشتری به دنباله نقطه N اصلی اضافه می شود، حتی داده های درون یابی بیشتری نیز می توان به دست آورد. در حالت محدود تعداد نامتناهی از صفرهای معرفی شده، DTRF را می توان به عنوان تبدیل فوریه گسسته زمان یک دنباله داده N-نقطه در نظر گرفت:

. (34)

تبدیل (34) مربوط به گره 6 در شکل 2 است.
این تصور اشتباه وجود دارد که لایه صفر باعث بهبود وضوح می شود زیرا طول توالی داده ها را افزایش می دهد. با این حال، همانطور که از شکل 3 نشان داده شده است، بالشتک با صفر بهبود نمی یابدوضوح تبدیل به دست آمده از توالی داده محدود داده شده است. بالشتک صفر به سادگی به شما امکان می دهد یک تبدیل درون یابی به دست آورید شکل پهن تر. علاوه بر این، عدم قطعیت های ناشی از وجود اجزای سیگنال باند باریک را که فرکانس آنها بین N نقطه مربوط به فرکانس های تخمینی TPDF اصلی قرار دارد، حذف می کند. هنگامی که با صفر پر می شود، دقت تخمین فرکانس پیک های طیفی نیز افزایش می یابد. منظور ما از اصطلاح تفکیک طیفی توانایی تمایز بین پاسخ های طیفی دو سیگنال هارمونیک است. یک قانون کلی پذیرفته شده، که اغلب در تحلیل طیفی استفاده می شود، بیان می کند که جداسازی فرکانس سینوسی های قابل تشخیص نمی تواند کمتر از پهنای باند پنجره معادل، که از طریق آن بخش هایی از این سینوسی ها مشاهده می شود.

شکل 3. درونیابی با استفاده از صفر:
الف - ماژول DPRF برای ضبط داده های 16 نقطه ای حاوی سه سینوسی بدون بالشتک صفر (عدم قطعیت قابل مشاهده است: نمی توان گفت چند سینوسی در سیگنال وجود دارد - دو، سه یا چهار).
ب - ماژول TDWF از همان دنباله پس از دو برابر شدن تعداد قرائت های آن به دلیل افزودن 16 صفر (عدم قطعیت ها حل می شود، زیرا هر سه سینوسی قابل تشخیص هستند.
ج - ماژول TDWF همان دنباله پس از افزایش چهار برابری تعداد قرائت های آن به دلیل جمع صفرها.

پهنای باند پنجره معادل را می توان به صورت تعریف کرد
که در آن W(f) تبدیل فوریه گسسته زمان تابع پنجره است، به عنوان مثال، مستطیل شکل (5). به همین ترتیب، می توانید وارد شوید مدت زمان پنجره معادل

می توان نشان داد که مدت زمان معادل یک پنجره (یا هر سیگنال دیگر) و پهنای باند معادل تبدیل آن متقابل هستند: TeBe=1.

تبدیل فوریه سریع

تبدیل فوریه سریع (FFT) فقط یکی دیگر از تغییرات تبدیل فوریه نیست، بلکه نام طیفی از تبدیل فوریه است. الگوریتم ها، برای محاسبه سریع سری فوریه زمان گسسته طراحی شده است. مشکل اصلی که در اجرای عملی WWRF بوجود می آید در تعداد زیاد عملیات محاسباتی متناسب با N2 نهفته است. اگرچه مدت‌ها قبل از ظهور رایانه‌ها، چندین طرح محاسباتی کارآمد ارائه شد که می‌توانست تعداد عملیات محاسباتی را به میزان قابل توجهی کاهش دهد، اما با انتشار مقاله‌ای توسط Cooly (Cooly) و Tukey (Tukey) در سال 1965 انقلابی واقعی با یک الگوریتم عملی برای محاسبه سریع (تعداد عملیات Nlog 2 N) TDWF ایجاد شد. پس از آن، بسیاری از انواع، بهبودها و اضافات به ایده اصلی ایجاد شد که کلاسی از الگوریتم‌ها را به نام تبدیل فوریه سریع تشکیل می‌داد. ایده اصلی پشت FFT این است که یک TDGF نقطه N را به دو یا چند TDGF با طول کمتر تقسیم کنیم، که هر کدام را می توان به طور جداگانه محاسبه کرد و سپس به صورت خطی با بقیه جمع کرد تا TDFT دنباله نقطه N اصلی را به دست آورد.
ما تبدیل فوریه گسسته (DTFT) را در فرم نشان می دهیم

, (35)

که در آن مقدار W N =exp(-j2 /N) ضریب چرخشی نامیده می شود (از این پس در این بخش، دوره نمونه برداری T=1 است). از دنباله x[n] عناصر با اعداد زوج و فرد را انتخاب کنید

. (36)

اما از آن زمان
. بنابراین، (36) را می توان به صورت

, (37)

که در آن هر یک از عبارت ها تبدیلی به طول N/2 است

(38)

توجه داشته باشید که دنباله (WN/2) nk تناوبی در k با دوره N/2 است. بنابراین، اگرچه عدد k در عبارت (37) مقادیری از 0 تا N-1 می گیرد، اما هر یک از مجموع برای مقادیر k از 0 تا N/2-1 محاسبه می شود. می توان تعداد عملیات ضرب و جمع پیچیده مورد نیاز برای محاسبه تبدیل فوریه را مطابق با الگوریتم (37)-(38) تخمین زد. دو تبدیل فوریه N/2 نقطه ای طبق فرمول (38) به 2(N/2) 2 ضرب و تقریباً به همان تعداد جمع نیاز دارند. اتحاد دو تبدیل N/2 نقطه ای طبق فرمول (37) به N ضرب بیشتر و N جمع نیاز دارد. بنابراین، برای محاسبه تبدیل فوریه برای همه N مقادیر k، لازم است ضرب و جمع N+N 2/2 انجام شود. در عین حال، محاسبه مستقیم با فرمول (35) به ضرب و جمع N 2 نیاز دارد. قبلاً برای N>2، نابرابری N+N 2/2 است< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

در این حالت، به دلیل تناوب بودن دنباله W nk N/4 در k با دوره N/4، مجموع (40) باید فقط برای مقادیر k از 0 تا N/4-1 محاسبه شود. بنابراین، محاسبه دنباله X[k] با فرمول‌های (37)، (39) و (40) از آنجایی که محاسبه آن آسان است، نیاز به 2N+N 2/4 عملیات ضرب و جمع دارد.
با پیروی از این مسیر، مقدار محاسبات X[k] می تواند بیشتر و بیشتر کاهش یابد. پس از بسط m=log 2 N، به تبدیل فوریه دو نقطه ای شکل می رسیم

(41)

که در آن "تبدیل های تک نقطه ای" X 1 به سادگی نمونه های سیگنال x[n] هستند:

X 1 = x[q]/N، q=0،1،...، N-1. (42)

در نتیجه می‌توانیم الگوریتم FFT را بنویسیم که به دلایل واضحی نامیده می‌شود الگوریتم نازک شدن زمان :

X 2 \u003d (x[p] + W k 2 x) / N،

که در آن k=0.1، p=0.1،...،N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

که در آن k=0.1،...،2N/M -1، p=0.1،...،M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2، (43)

که در آن k=0,1,...,N-1

در هر مرحله از محاسبات، N ضرب و جمع پیچیده انجام می شود. و از آنجایی که تعداد تجزیه های دنباله اصلی به دنباله های نیمه طول log 2 N است، بنابراین تعداد کل عملیات ضرب-افزودن در الگوریتم FFT Nlog 2 N است. برای N بزرگ، صرفه جویی قابل توجهی در عملیات محاسباتی در مقایسه با محاسبه مستقیم DFT وجود دارد. به عنوان مثال، در N = 2 10 = 1024 تعداد عملیات 117 برابر کاهش می یابد.
الگوریتم FFT با کاهش زمان در نظر گرفته شده توسط ما بر اساس محاسبه تبدیل فوریه با تشکیل دنباله های فرعی از دنباله ورودی x[n] است. با این حال، می توان از تجزیه متوالی تبدیل فوریه X[k] نیز استفاده کرد. الگوریتم FFT بر اساس این روش الگوریتم FFT نامیده می شود. کاهش فرکانسبرای مثال می‌توانید در مورد تبدیل فوریه سریع بیشتر بخوانید.

فرآیندهای تصادفی و چگالی طیفی توان

فرآیند تصادفی گسسته x را می توان به عنوان مجموعه یا مجموعه ای از توالی های زمانی (یا مکانی) گسسته واقعی یا پیچیده در نظر گرفت، که هر کدام می توانند در نتیجه آزمایشی مشاهده شوند (n - شاخص زمانی، i - عدد مشاهده). دنباله ای که در نتیجه یکی از مشاهدات به دست می آید با x[n] نشان داده می شود. عملیات میانگین گیری گروه (به عنوان مثال میانگین گیری آماری) با اپراتور مشخص خواهد شد<>. بدین ترتیب، - مقدار متوسط ​​فرآیند تصادفی x[n] در زمان n. خود همبستگیفرآیند تصادفی در دو زمان مختلف n1 و n2 با عبارت r xx = تعیین می شود .

یک فرآیند تصادفی را ثابت در می گویند مفهوم وسیع، اگر مقدار میانگین آن ثابت باشد (به زمان بستگی ندارد) و خودهمبستگی فقط به تفاوت شاخص های زمانی m=n1-n2 (تغییر زمانی یا تاخیر بین نمونه ها) بستگی دارد. بنابراین، یک فرآیند تصادفی گسسته ثابت گسترده x[n] با یک مقدار میانگین ثابت مشخص می شود. =و توالی خودهمبستگی(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

به ویژگی های زیر ACP توجه کنید:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

که برای همه م معتبر است.
چگالی طیفی توان (PSD) به عنوان تبدیل فوریه در زمان گسسته (DTFT) دنباله همبستگی خودکار تعریف می شود.

. (46)

PSD که عرض آن به 1/2T هرتز ± محدود می شود، تابع تناوبی فرکانس با دوره 1/T هرتز است. تابع PSD توزیع فرکانس توان یک فرآیند تصادفی را توصیف می کند. برای تایید نام انتخاب شده برای آن، DTFT معکوس را در نظر بگیرید

(47)

m=0 محاسبه می شود

(48)

خودهمبستگی در شیفت صفر مشخص می شود توان متوسطفرآیند تصادفی طبق (48)، سطح زیر منحنی P xx (f) توان متوسط ​​را مشخص می کند، بنابراین P xx (f) تابعی از چگالی (قدرت در واحد اندازه گیری فرکانس) است که توزیع توان بر فرکانس را مشخص می کند. جفت تبدیل (46) و (47) اغلب نامیده می شود قضیه وینر-خینچینبرای مورد زمان گسسته از آنجایی که r xx [-m]=r* xx [m]، PSD باید کاملاً یک تابع مثبت واقعی باشد. اگر AFC یک تابع کاملا واقعی است، آنگاه r xx [-m]=r xx [m] و PSD را می توان به شکل تبدیل کسینوس فوریه نوشت.

,

که همچنین به این معنی است که P xx (f) = P xx (-f)، یعنی. SPM یک تابع یکنواخت است.
تا کنون، در تعیین مقدار میانگین، همبستگی و چگالی طیفی توان یک فرآیند تصادفی، از میانگین‌گیری آماری بر روی مجموعه استفاده کرده‌ایم. با این حال، در عمل، معمولاً نمی توان مجموعه ای از پیاده سازی های فرآیند مورد نیاز را به دست آورد که این ویژگی های آماری را بتوان از روی آن محاسبه کرد. مطلوب است که تمام خصوصیات آماری از یک نمونه تحقق x(t) به جای y تخمین زده شود. میانگین گروه با میانگین زمانی. خاصیتی که اجازه می دهد چنین جایگزینی انجام شود، ارگودیسیته نامیده می شود. به یک فرآیند تصادفی ارگودیک گفته می شود که با احتمال مساوی یک، بتوان تمام ویژگی های آماری آن را از یک پیاده سازی از مجموعه با استفاده از میانگین زمان پیش بینی کرد. به عبارت دیگر، مقادیر متوسط ​​در طول زمان تقریباً همه تحقق‌های ممکن فرآیند با احتمال یک به همان مقدار ثابت همگرا می‌شوند - مقدار متوسط ​​روی مجموعه.

. (49)

این حد، اگر وجود داشته باشد، اگر و فقط اگر واریانس میانگین زمانی به صفر برود، به میانگین واقعی همگرا می شود، به این معنی که شرط زیر برقرار است:

. (50)

در اینجا c xx [m] مقدار واقعی کوواریانس فرآیند x[n] است.
به همین ترتیب، با مشاهده مقدار حاصلضرب نمونه‌های فرآیند x[n] در دو نقطه از زمان، می‌توان انتظار داشت که مقدار متوسط ​​برابر با

(51)

فرض ارگودیسیته نه تنها اجازه می دهد تا در طول زمان میانگین، تعاریفی را برای میانگین و همبستگی معرفی کنیم، بلکه تعریف مشابهی را برای چگالی طیفی توان نیز ارائه دهیم.

. (52)

این شکل معادل PSD با میانگین آماری مدول DTFT مجموعه داده های وزنی تقسیم بر طول رکورد داده برای موردی که تعداد نمونه ها تا بی نهایت افزایش می یابد به دست می آید. میانگین‌گیری آماری در اینجا ضروری است زیرا DTFT خود یک متغیر تصادفی است که برای هر اجرای x[n] تغییر می‌کند. برای اینکه نشان دهیم (52) معادل قضیه وینر-خینچین است، مجذور مدول DTFT را به عنوان حاصلضرب دو سری نشان می‌دهیم و ترتیب عملیات جمع‌آوری و میانگین‌گیری آماری را تغییر می‌دهیم:

(53)

با استفاده از عبارت معروف

, (54)

رابطه (53) را می توان به موارد زیر کاهش داد:

(55)

توجه داشته باشید که در آخرین مرحله از اشتقاق (55) از این فرض استفاده کردیم که دنباله خودهمبستگی "تجز می شود"، به طوری که

. (56)

رابطه بین دو تعریف SPM (46) و (52) به وضوح در نمودار نشان داده شده در شکل 4 نشان داده شده است.
اگر عبارت (52) عملیات انتظارات ریاضی را در نظر نگیرد، تخمین PSD را به دست می آوریم.

, (57)

که نامیده می شود طیف انتخابی.

برنج. 4. رابطه بین دو روش برای تخمین چگالی طیفی توان

روش پریودوگرام تخمین طیفی

در بالا، دو روش معادل رسمی برای تعیین چگالی طیفی توان (PSD) معرفی کردیم. روش غیرمستقیم مبتنی بر استفاده از یک توالی داده بی نهایت برای محاسبه یک دنباله خودهمبستگی است که تبدیل فوریه آن PSD مورد نظر را می دهد. روش مستقیم برای تعیین PSD بر اساس محاسبه مربع مدول تبدیل فوریه برای یک دنباله نامتناهی از داده ها با استفاده از میانگین گیری آماری مناسب است. PSD به‌دست‌آمده بدون چنین میانگین‌گیری رضایت‌بخش نیست، زیرا خطای ریشه میانگین مربع چنین برآوردی با مقدار متوسط ​​آن قابل مقایسه است. اکنون روش‌های میانگین‌گیری را در نظر می‌گیریم که تخمین‌های طیفی صاف و پایداری از نظر آماری را در تعداد محدودی از نمونه‌ها ارائه می‌کنند. تخمین های PSD بر اساس تبدیل مستقیم داده ها و میانگین گیری های بعدی پریودوگرام نامیده می شوند. برآوردهای JMP، که تخمین های همبستگی برای آنها ابتدا از داده های اولیه تشکیل می شود، نامیده می شوند همبستگی. هنگام استفاده از هر روش تخمین PSD، کاربر باید تصمیمات مبادله ای زیادی اتخاذ کند تا تخمین های طیفی پایدار آماری را با بالاترین وضوح ممکن از تعداد محدودی از نمونه ها بدست آورد. این مبادلات به ویژه شامل انتخاب پنجره ای برای وزن دادن به داده ها و تخمین های همبستگی و چنین پارامترهای میانگین گیری در حوزه های زمان و فرکانس است که الزامات کاهش لوب جانبی را به دلیل وزن دهی، انجام میانگین گیری موثر و ارائه وضوح طیفی قابل قبول متعادل می کند. روی انجیر 5 نموداری است که مراحل اصلی را نشان می دهد پریودوگرافی روش

برنج. 5. مراحل اصلی تخمین PSD با استفاده از روش پریودوگرام

کاربرد روش با جمع‌آوری N نمونه داده آغاز می‌شود، که در فواصل T ثانیه در هر نمونه گرفته می‌شود، و به دنبال آن (اختیاری) یک مرحله کاهش روند. برای به دست آوردن یک تخمین طیفی از نظر آماری پایدار، داده‌های موجود باید به بخش‌های همپوشانی (در صورت امکان) تقسیم شوند و متعاقباً، طیف‌های نمونه به‌دست‌آمده برای هر بخش باید میانگین شود. پارامترهای این میانگین‌گیری با انتخاب مناسب تعداد نمونه‌ها در هر بخش (NSAMP) و تعداد نمونه‌ها برای جابجایی ابتدای بخش بعدی (NSHIFT) تغییر می‌کند، به شکل. 6. تعداد قطعات بسته به درجه صافی (پراکندگی) مورد نیاز برآورد طیفی و وضوح طیفی مورد نیاز انتخاب می شود. با مقدار کمی از پارامتر NSAMP، بخش‌های بیشتری برای میانگین‌گیری وجود دارد و بنابراین تخمین‌هایی با واریانس کمتر، اما همچنین وضوح فرکانس کمتر، به دست می‌آیند. افزایش طول بخش (پارامتر NSAMP) وضوح را افزایش می دهد، که طبیعتاً به قیمت افزایش واریانس تخمین به دلیل میانگین های کمتر است. فلش عقب در شکل 5 نشان دهنده نیاز به چندین بار عبور مکرر از داده ها در طول ها و تعداد قطعات مختلف است که به شما امکان می دهد اطلاعات بیشتری در مورد فرآیند مورد مطالعه به دست آورید.

شکل 6. تقسیم داده ها به بخش ها برای محاسبه پریودوگرام

پنجره

یکی از مسائل مهمی که در همه روش های کلاسیک تخمین طیفی مشترک است، مربوط به وزن دهی داده ها است. پنجره سازی برای کنترل اثرات لوب های جانبی در تخمین های طیفی استفاده می شود. توجه داشته باشید که راحت است رکورد داده های محدود موجود را به عنوان بخشی از دنباله بی نهایت مربوطه در نظر بگیرید که از طریق پنجره اعمال شده قابل مشاهده است. بنابراین دنباله داده های مشاهده شده x 0 [n] از N نمونه را می توان به صورت ریاضی حاصل ضرب یک دنباله بی نهایت x[n] و یک تابع پنجره مستطیلی نوشت.

X 0 [n]=x[n]rect[n].
این فرض واضح را فرض می‌کند که همه شمارش‌های مشاهده نشده صفر هستند، صرف نظر از اینکه واقعاً چنین است یا خیر. تبدیل فوریه گسسته زمان یک دنباله وزن دار برابر است با کانولوشن تبدیل های دنباله x[n] و پنجره مستطیلی rect[n]

X 0 (f)=X(f)*D N (f) ، که در آن
D N (f) = Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

تابع D N (f)، که تابع سینک گسسته یا هسته دیریکله نامیده می شود، DTFT یک تابع مستطیل شکل است. تبدیل دنباله محدود قابل مشاهده، یک نسخه تحریف شده از تبدیل دنباله نامحدود است. تاثیر یک پنجره مستطیلی بر روی یک سینوسی زمان گسسته با فرکانس f 0 در شکل 7 نشان داده شده است.

شکل 7. تصویر جابجایی تبدیل فوریه گسسته زمان به دلیل نشتی به دلیل وزن دهی داده ها: a, c - توالی های اصلی و وزن دار. b، d - تبدیل فوریه آنها.

از شکل می توان دریافت که قله های طیفی تیز DTFT دنباله سینوسی نامتناهی به دلیل کانولوشن با تبدیل پنجره گسترش یافته است. بنابراین، حداقل عرض قله‌های طیفی یک دنباله وزن‌دار پنجره با عرض لوب اصلی تبدیل این پنجره تعیین می‌شود و به داده‌ها بستگی ندارد. لبه های جانبی تبدیل پنجره، دامنه قله های طیفی مجاور را تغییر می دهد (گاهی اوقات به عنوان نشت نامیده می شود). از آنجایی که DTFT یک تابع دوره ای است، همپوشانی لوب های جانبی از دوره های همسایه می تواند منجر به سوگیری اضافی شود. افزایش فرکانس نمونه برداری اثر برهم نهی لوب جانبی را کاهش می دهد. اعوجاج های مشابهی البته در مورد سیگنال های غیر سینوسی مشاهده خواهد شد. نشت نه تنها منجر به ظهور خطاهای دامنه در طیف سیگنال های گسسته می شود، بلکه می تواند وجود سیگنال های ضعیف را نیز پنهان کند. تعدادی دیگر از عملکردهای پنجره را می توان پیشنهاد کرد که می تواند سطح لبه های جانبی را در مقایسه با یک پنجره مستطیلی کاهش دهد. کاهش سطح لوب های جانبی باعث کاهش سوگیری تخمین طیفی می شود، اما این به قیمت گسترش لوب اصلی طیف پنجره است که به طور طبیعی منجر به بدتر شدن وضوح می شود. بنابراین در اینجا نیز باید بین عرض لوب اصلی و سطح لوب های جانبی سازش صورت گیرد. چندین پارامتر برای ارزیابی کیفیت پنجره ها استفاده می شود. معیار سنتی پهنای باند لوب اصلی در نیم توان است. معیار دوم، پهنای باند معادلی است که در بالا وارد شده است. دو شاخص نیز برای ارزیابی ویژگی های لوب های جانبی استفاده می شود. اولی حداکثر سطح آنها است، دومی نرخ پوسیدگی است که مشخص می کند سرعت لوب های جانبی با دور شدن از لوب اصلی کاهش می یابد. جدول 3 تعاریفی را برای برخی از توابع پنجره زمان گسسته معمولاً مورد استفاده ارائه می دهد و جدول 4 ویژگی های آنها را توضیح می دهد.
جدول 3 تعاریف حداکثر پنجره زمانی گسسته N-نقطه معمولی. سطح لوب های جانبی، dB -31.5

. (46)

روش کورلوگرامتخمین PSD به سادگی جایگزینی در بیان (46) از یک دنباله محدود از مقادیر تخمین همبستگی است. همبستگی ها) به جای یک توالی نامتناهی از مقادیر خودهمبستگی واقعی ناشناخته. اطلاعات بیشتر در مورد روش همبستگی تخمین طیفی را می توان در اینجا یافت.

ادبیات

1. Rabiner L., Gould B. نظریه و کاربرد پردازش سیگنال دیجیتال. م.: میر، 1978.

2. مارپل جونیور. S.L. تحلیل طیفی دیجیتال و کاربردهای آن: Per. از انگلیسی. -م.: میر، 1990.

3. گلدبرگ L.M.، Matyushkin B.D.، Polyak M.N.، پردازش سیگنال دیجیتال. - M.: رادیو و ارتباطات، 1990.

4. Otnes R., Enokson L. تحلیل کاربردی سری های زمانی.- M.: Mir, 1982.

1. تبدیل فوریه و طیف سیگنال

برای بررسی اینکه آیا برنامه به درستی کار می کند، آرایه ای از قرائت ها را به عنوان مجموع دو سینوسی sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) تشکیل داده و آن را در برنامه قرار می دهیم. این برنامه موارد زیر را ترسیم کرد:

شکل 1 نمودار تابع زمان سیگنال

Fig.2 نمودار طیف سیگنال

در نمودار طیف دو میله (هارمونیک) 5 هرتز با دامنه 0.5 ولت و 10 هرتز - با دامنه 1 ولت، همه مانند فرمول سیگنال اصلی وجود دارد. همه چیز خوب است، آفرین برنامه نویس! برنامه به درستی کار می کند.

این بدان معنی است که اگر سیگنال واقعی از مخلوط دو سینوسی را به ورودی ADC اعمال کنیم، طیف مشابهی متشکل از دو هارمونیک به دست خواهیم آورد.

مجموع، ما واقعیسیگنال اندازه گیری شده مدت زمان 5 ثانیه، دیجیتالی شده توسط ADC، یعنی نشان داده شده است گسستهحساب می کند، دارد گسسته غیر تناوبیدامنه.

از نظر ریاضی چه تعداد اشتباه در این عبارت وجود دارد؟

Fig.4 طیف عملکرد

یک چیزی درست نیست! هارمونیک 10 هرتز به طور معمول رسم می شود، اما به جای یک چوب 5 هرتز، چندین هارمونیک نامفهوم ظاهر شد. ما در اینترنت نگاه می کنیم، چه چیزی و چگونه ...

در می گویند باید به انتهای نمونه صفر اضافه شود و طیف نرمال رسم شود.

fig.5 صفرهای تمام شده تا 5 ثانیه

Fig.6 ما طیف را دریافت کردیم

هنوز آن چیزی که در 5 ثانیه بود نیست. شما باید با تئوری برخورد کنید. برویم به ویکیپدیا- منبع دانش

2. تابع پیوسته و نمایش آن توسط سری فوریه

(1)، جایی که:

K - تعداد تابع مثلثاتی (تعداد جزء هارمونیک، عدد هارمونیک)
T - قسمتی که تابع در آن تعریف شده است (مدت زمان سیگنال)
Ak - دامنه مولفه هارمونیک k-امین،
?k - فاز اولیه مولفه هارمونیک k-امین

"نمایش یک تابع به عنوان مجموع یک سری" به چه معناست؟ به این معنی که با اضافه کردن مقادیر مولفه های هارمونیک سری فوریه در هر نقطه، مقدار تابع خود را در این نقطه به دست می آوریم.

(به طور دقیق تر، انحراف استاندارد سری از تابع f(x) به سمت صفر میل خواهد کرد، اما علیرغم همگرایی ریشه-میانگین-مربع، سری فوریه تابع، به طور کلی، نیازی به همگرایی نقطه ای با آن ندارد. https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series را ببینید.)

این سریال را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

(2),
که در آن، k-امین دامنه مختلط.

رابطه بین ضرایب (1) و (3) با فرمول های زیر بیان می شود:

توجه داشته باشید که هر سه نمایش سری فوریه کاملاً معادل هستند. گاهی اوقات هنگام کار با سری فوریه، به جای استفاده از سینوس و کسینوس، استفاده از مبدل های استدلال خیالی راحت تر است، یعنی از تبدیل فوریه به شکل پیچیده استفاده می شود. اما استفاده از فرمول (1) برای ما راحت است، که در آن سری فوریه به صورت مجموع امواج کسینوس با دامنه ها و فازهای مربوطه نشان داده می شود. در هر صورت، این نادرست است که بگوییم نتیجه تبدیل فوریه سیگنال واقعی، دامنه های پیچیده هارمونیک ها خواهد بود. همانطور که ویکی به درستی می گوید، "تبدیل فوریه (؟) عملیاتی است که یک تابع از یک متغیر واقعی را به یک تابع دیگر، همچنین از یک متغیر واقعی، نگاشت می کند.

جمع:
مبنای ریاضی تحلیل طیفی سیگنال ها تبدیل فوریه است.

تبدیل فوریه به ما امکان می دهد یک تابع پیوسته f(x) (سیگنال) را که بر روی قطعه (0، T) به عنوان مجموع تعداد نامتناهی (سری نامتناهی) از توابع مثلثاتی (سینوس و/یا کسینوس) با دامنه ها و فازهای معین، که در قطعه (0، T) نیز در نظر گرفته می شود، نشان دهیم. به چنین سریالی سری فوریه می گویند.

ما به نکات دیگری اشاره می کنیم که درک آنها برای استفاده صحیح از تبدیل فوریه در تحلیل سیگنال لازم است. اگر سری فوریه (مجموع سینوسی ها) را در کل محور X در نظر بگیریم، می بینیم که در خارج از قطعه (0، T)، تابع نشان داده شده توسط سری فوریه به صورت دوره ای تابع ما را تکرار می کند.

به عنوان مثال، در نمودار در شکل 7، تابع اصلی بر روی قطعه (-T \ 2، + T \ 2) تعریف شده است، و سری فوریه یک تابع تناوبی تعریف شده در کل محور x را نشان می دهد.

زیرا خود سینوسی ها به ترتیب تابع تناوبی هستند و مجموع آنها تابع تناوبی خواهد بود.

شکل 7 نمایش یک تابع اصلی غیر تناوبی توسط یک سری فوریه

بدین ترتیب:

تابع اصلی ما پیوسته و غیر تناوبی است که در بازه ای از طول T تعریف شده است.
طیف این تابع گسسته است، یعنی به عنوان یک سری نامتناهی از اجزای هارمونیک - سری فوریه - ارائه می شود.
در واقع، یک تابع تناوبی مشخص توسط سری فوریه تعریف می شود که با تابع ما در قطعه (0, T) منطبق است، اما این تناوب برای ما ضروری نیست.

دوره های مولفه های هارمونیک مضربی از قطعه (0, T) هستند که تابع اصلی f(x) بر روی آن تعریف شده است. به عبارت دیگر، دوره های هارمونیک مضربی از مدت زمان اندازه گیری سیگنال هستند. به عنوان مثال، دوره اولین هارمونیک سری فوریه برابر با بازه T است که تابع f(x) بر روی آن تعریف شده است. پریود هارمونیک دوم سری فوریه برابر با بازه T/2 است. و به همین ترتیب (شکل 8 را ببینید).

شکل 8 دوره‌ها (فرکانس‌های) مولفه‌های هارمونیک سری فوریه (در اینجا T = 2؟)

بر این اساس، فرکانس اجزای هارمونیک مضرب 1/T است. یعنی فرکانس های مولفه های هارمونیک Fk برابر است با Fk= k\T که k از 0 تا? است، برای مثال k=0 F0=0. k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (در فرکانس صفر - جزء ثابت).

اجازه دهید تابع اصلی ما یک سیگنال ثبت شده برای T=1 ثانیه باشد. سپس دوره هارمونیک اول برابر با مدت زمان سیگنال ما T1=T=1 ثانیه خواهد بود و فرکانس هارمونیک 1 هرتز است. دوره هارمونیک دوم برابر است با مدت زمان سیگنال تقسیم بر 2 (T2=T/2=0.5 ثانیه) و فرکانس آن 2 هرتز است. برای هارمونیک سوم T3=T/3 ثانیه و فرکانس 3 هرتز است. و غیره.

گام بین هارمونیک ها در این مورد 1 هرتز است.

بنابراین، یک سیگنال با مدت زمان 1 ثانیه را می توان به اجزای هارمونیک (برای بدست آوردن یک طیف) با وضوح فرکانس 1 هرتز تجزیه کرد.
برای افزایش وضوح 2 برابر به 0.5 هرتز، لازم است مدت زمان اندازه گیری را 2 برابر - تا 2 ثانیه افزایش دهید. یک سیگنال با مدت زمان 10 ثانیه را می توان به اجزای هارمونیک (برای بدست آوردن طیف) با وضوح فرکانس 0.1 هرتز تجزیه کرد. هیچ راه دیگری برای افزایش وضوح فرکانس وجود ندارد.

راهی برای افزایش مصنوعی مدت زمان سیگنال با افزودن صفر به آرایه نمونه ها وجود دارد. اما وضوح فرکانس واقعی را افزایش نمی دهد.

3. سیگنال های گسسته و تبدیل فوریه گسسته

طرح معمول برای اندازه گیری و دیجیتالی کردن سیگنال به شرح زیر است.

شکل 9 طرح کانال اندازه گیری

سیگنال از مبدل اندازه گیری در یک دوره زمانی T به ADC می رسد. نمونه های سیگنال (نمونه) به دست آمده در طول زمان T به کامپیوتر منتقل شده و در حافظه ذخیره می شوند.

شکل 10 سیگنال دیجیتالی - N قرائت دریافت شده در زمان T

الزامات پارامترهای دیجیتالی شدن سیگنال چیست؟ دستگاهی که سیگنال آنالوگ ورودی را به یک کد مجزا (سیگنال دیجیتال) تبدیل می کند، مبدل آنالوگ به دیجیتال (ADC، مبدل انگلیسی آنالوگ به دیجیتال، ADC) (ویکی) نامیده می شود.

یکی از پارامترهای اصلی ADC حداکثر نرخ نمونه برداری (یا نرخ نمونه برداری، نرخ نمونه انگلیسی) است - فرکانس نمونه برداری از یک سیگنال پیوسته در زمان در طول نمونه برداری آن. بر حسب هرتز اندازه گیری می شود. ((ویکی))

طبق قضیه کوتلنیکوف، اگر یک سیگنال پیوسته دارای طیف محدود شده با فرکانس Fmax باشد، می توان آن را به طور کامل و منحصر به فرد از نمونه های گسسته آن که در فواصل زمانی گرفته شده است، بازیابی کرد. ، یعنی با فرکانس Fd 2*Fmax، که در آن Fd - نرخ نمونه برداری. Fmax - حداکثر فرکانس طیف سیگنال. به عبارت دیگر، نرخ نمونه برداری سیگنال (نرخ نمونه برداری ADC) باید حداقل 2 برابر حداکثر فرکانس سیگنالی باشد که می خواهیم اندازه گیری کنیم.

و چه اتفاقی می‌افتد اگر خوانش‌هایی را با فرکانس کمتر از آنچه قضیه کوتلنیکف لازم است انجام دهیم؟

در این حالت، اثر "استرابوسکوپی" (معروف به اثر استروبوسکوپی، اثر موآره) رخ می دهد که در آن سیگنال فرکانس بالا پس از دیجیتالی شدن به سیگنال فرکانس پایین تبدیل می شود که در واقع وجود ندارد. روی انجیر 5 موج سینوسی قرمز فرکانس بالا سیگنال واقعی است. موج سینوسی آبی فرکانس پایین یک سیگنال ساختگی ناشی از این واقعیت است که بیش از نیمی از یک دوره سیگنال فرکانس بالا در طول زمان نمونه برداری زمان دارد.

برنج. 11. ظهور یک سیگنال فرکانس پایین کاذب زمانی که نرخ نمونه برداری به اندازه کافی بالا نیست

برای جلوگیری از تاثیر آلیاسینگ، یک فیلتر مخصوص ضد آلیاسینگ در جلوی ADC - LPF (فیلتر پایین گذر) قرار می گیرد که فرکانس های زیر نصف فرکانس نمونه برداری ADC را عبور داده و فرکانس های بالاتر را قطع می کند.

برای محاسبه طیف یک سیگنال از نمونه های گسسته آن، تبدیل فوریه گسسته (DFT) استفاده می شود. ما یک بار دیگر متذکر می شویم که طیف یک سیگنال گسسته "طبق تعریف" توسط فرکانس Fmax محدود می شود که کمتر از نصف فرکانس نمونه برداری Fd است. بنابراین، طیف یک سیگنال گسسته را می توان با مجموع تعداد محدودی از هارمونیک ها نشان داد، برخلاف مجموع نامتناهی سری فوریه یک سیگنال پیوسته، که طیف آن می تواند نامحدود باشد. طبق قضیه کوتلنیکف، حداکثر فرکانس هارمونیک باید به گونه ای باشد که حداقل دو نمونه را به خود اختصاص دهد، بنابراین تعداد هارمونیک ها برابر با نصف تعداد نمونه های سیگنال گسسته است. یعنی اگر N نمونه در نمونه وجود داشته باشد، تعداد هارمونیک های طیف برابر با N/2 خواهد بود.

اکنون تبدیل فوریه گسسته (DFT) را در نظر بگیرید.

مقایسه با سری فوریه

می بینیم که آنها بر هم منطبق هستند، با این تفاوت که زمان در DFT گسسته است و تعداد هارمونیک ها به N/2 محدود می شود - نصف تعداد نمونه ها.

فرمول‌های DFT در متغیرهای عدد صحیح بدون بعد k, s نوشته می‌شوند که k تعداد نمونه‌های سیگنال و s تعداد اجزای طیفی است.
مقدار s تعداد نوسانات کامل هارمونیک را در دوره T (مدت اندازه گیری سیگنال) نشان می دهد. تبدیل فوریه گسسته برای یافتن دامنه ها و فازهای هارمونیک ها به صورت عددی استفاده می شود. "روی کامپیوتر"

بازگشت به نتایج به دست آمده در ابتدا. همانطور که در بالا ذکر شد، هنگام گسترش یک تابع غیر تناوبی (سیگنال ما) به یک سری فوریه، سری فوریه حاصل در واقع با یک تابع تناوبی با دوره T مطابقت دارد (شکل 12).

شکل 12 تابع تناوبی f(x) با دوره Т0، با دوره اندازه گیری Т>T0

همانطور که در شکل 12 مشاهده می شود، تابع f(x) تناوبی با دوره Т0 است. اما با توجه به اینکه مدت زمان نمونه اندازه گیری T با دوره تابع T0 منطبق نیست تابعی که به صورت سری فوریه به دست می آید در نقطه T دارای ناپیوستگی است در نتیجه طیف این تابع دارای تعداد زیادی هارمونیک با فرکانس بالا خواهد بود. اگر مدت زمان نمونه اندازه گیری T با دوره تابع T0 منطبق باشد، آنگاه فقط هارمونیک اول (یک سینوسی با دوره ای برابر با مدت نمونه) در طیفی که پس از تبدیل فوریه به دست می آید وجود خواهد داشت، زیرا تابع f(x) یک سینوسی است.

به عبارت دیگر، برنامه DFT «نمی‌داند» که سیگنال ما «قطعه‌ای از موج سینوسی» است، اما سعی می‌کند یک تابع تناوبی را به‌عنوان یک سری نشان دهد که به دلیل ناهماهنگی تک تک تکه‌های موج سینوسی دارای شکاف است.

در نتیجه، هارمونیک هایی در طیف ظاهر می شوند که در مجموع باید شکل تابع، از جمله این ناپیوستگی را نشان دهند.

بنابراین، برای به دست آوردن طیف "صحیح" سیگنال، که مجموع چندین سینوسی با دوره های مختلف است، لازم است که تعداد صحیحی از دوره های هر سینوسی بر روی دوره اندازه گیری سیگنال قرار گیرد. در عمل، این شرط را می توان برای مدت زمان کافی طولانی اندازه گیری سیگنال برآورده کرد.

شکل 13 نمونه ای از عملکرد و طیف سیگنال خطای سینماتیکی گیربکس

با مدت زمان کوتاه تر، تصویر "بدتر" به نظر می رسد:

شکل 14 نمونه ای از عملکرد و طیف سیگنال ارتعاش روتور

در عمل، فهمیدن اینکه «مولفه‌های واقعی» کجا هستند و «مصنوعات» کجا هستند که ناشی از تعدد نبودن دوره‌های اجزا و مدت زمان نمونه سیگنال یا «پرش‌ها و شکستن‌های» شکل موج هستند، دشوار است. البته نقل واژه های «مؤلفه های واقعی» و «مصنوعات» بیهوده نیست. وجود هارمونیک های زیاد در نمودار طیف به این معنی نیست که سیگنال ما واقعاً از آنها تشکیل شده است. مثل این است که فکر کنید عدد 7 از اعداد 3 و 4 تشکیل شده است. عدد 7 را می توان به عنوان مجموع اعداد 3 و 4 نشان داد - این درست است.

سیگنال ما هم همینطور است... یا بهتر است بگوییم، نه حتی "سیگنال ما"، بلکه یک تابع تناوبی که با تکرار سیگنال ما (نمونه برداری) کامپایل شده است را می توان به صورت مجموع هارمونیک ها (سینوسوئیدها) با دامنه ها و فازهای معین نشان داد. اما در بسیاری از موارد برای تمرین مهم است (شکل های بالا را ببینید)، در واقع می توان هارمونیک های به دست آمده در طیف را با فرآیندهای واقعی که ماهیت چرخه ای دارند و سهم قابل توجهی در شکل سیگنال دارند، مرتبط کرد.

برخی از نتایج

2. سیگنال با مجموعه ای از مقادیر واقعی و طیف آن با مجموعه ای از مقادیر واقعی نمایش داده می شود. فرکانس های هارمونیک مثبت هستند. این واقعیت که برای ریاضیدانان راحت‌تر است که طیف را به شکل پیچیده با استفاده از فرکانس‌های منفی نشان دهند، به این معنی نیست که «درست است» و «همیشه باید اینطور انجام شود».

3. سیگنال اندازه گیری شده در بازه زمانی T فقط در بازه زمانی T تعیین می شود. آنچه قبل از شروع اندازه گیری سیگنال اتفاق افتاده است و بعد از آن چه اتفاقی خواهد افتاد - این برای علم ناشناخته است. و در مورد ما - جالب نیست. DFT یک سیگنال با زمان محدود، طیف "واقعی" خود را می دهد، به این معنا که، تحت شرایط خاص، به شما امکان می دهد دامنه و فرکانس اجزای آن را محاسبه کنید.

مواد استفاده شده و سایر مواد مفید.

تحلیل طیفی

تجزیه و تحلیل طیفی دسته وسیعی از روش های پردازش داده ها بر اساس نمایش فرکانس یا طیف آنها است. طیف با تجزیه تابع اصلی، بسته به زمان (سری های زمانی) یا مختصات مکانی (مثلاً تصاویر)، بر اساس برخی از تابع های تناوبی به دست می آید. رایج ترین مورد استفاده برای پردازش طیفی، طیف فوریه است که بر اساس سینوسی (بسط فوریه، تبدیل فوریه) به دست می آید.

معنای اصلی تبدیل فوریه این است که تابع غیر تناوبی اصلی یک شکل دلخواه، که نمی توان آن را به صورت تحلیلی توصیف کرد و بنابراین پردازش و تجزیه و تحلیل آن دشوار است، به صورت مجموعه ای از سینوس ها یا کسینوس ها با فرکانس ها، دامنه ها و فازهای اولیه متفاوت نشان داده می شود.

به عبارت دیگر، یک تابع پیچیده به مجموعه ای از تابع های ساده تر تبدیل می شود. هر سینوسی (یا موج کسینوس) با فرکانس و دامنه مشخص که در نتیجه انبساط فوریه به دست می آید، نامیده می شود. جزء طیفییا سازدهنی. مولفه های طیفی تشکیل می شوند طیف فوریه.

از نظر بصری، طیف فوریه به عنوان یک نمودار نشان داده می شود که روی آن فرکانس دایره ای که با حرف یونانی "omega" نشان داده می شود در امتداد محور افقی رسم می شود و دامنه مولفه های طیفی که معمولا با حرف لاتین A نشان داده می شود در امتداد محور عمودی رسم می شود. سپس هر جزء طیفی را می توان به عنوان فرکانس افقی آن نشان داد که با موقعیت افقی آن مطابقت دارد. هارمونیک با فرکانس صفر نامیده می شود جزء ثابت(در نمایش زمان یک خط مستقیم است).

حتی یک تحلیل بصری ساده از طیف می تواند چیزهای زیادی در مورد ماهیت تابعی که از آن مشتق شده است بگوید. به طور شهودی واضح است که تغییرات سریع در داده های اولیه باعث ایجاد مولفه هایی در طیف با بالافرکانس و آهسته با کم. بنابراین، اگر دامنه مولفه های موجود در آن به سرعت با افزایش فرکانس کاهش یابد، تابع اصلی (مثلاً یک سری زمانی) صاف است و اگر طیف شامل اجزای فرکانس بالا با دامنه زیاد باشد، تابع اصلی دارای نوسانات شدید خواهد بود. بنابراین، برای یک سری زمانی، این ممکن است یک جزء تصادفی بزرگ، بی ثباتی فرآیندهای توصیف شده توسط آن، وجود نویز در داده ها را نشان دهد.

دستکاری طیفی بر اساس دستکاری طیف است. در واقع، اگر دامنه مولفه های فرکانس بالا را کاهش دهیم (سرکوب کنیم) و سپس بر اساس طیف اصلاح شده، با انجام تبدیل فوریه معکوس، عملکرد اولیه را بازیابی کنیم، به دلیل حذف مولفه فرکانس بالا، نرم‌تر می‌شود.

به عنوان مثال، برای یک سری زمانی، این به معنای حذف اطلاعات مربوط به فروش روزانه است که به شدت تحت تأثیر عوامل تصادفی قرار می گیرند و روندهای پایدارتری مانند فصلی بودن را ترک می کنند. برعکس، می توانید اجزایی را با فرکانس پایین سرکوب کنید، که به شما امکان می دهد تغییرات آهسته را حذف کنید و فقط موارد سریع را رها کنید. در مورد یک سری زمانی، این به معنای سرکوب مولفه فصلی است.

با اعمال طیف به این صورت می توان به تغییر مطلوب در داده های اصلی دست یافت. رایج ترین هموارسازی سری زمانی با حذف یا کاهش دامنه مولفه های فرکانس بالا در طیف است.

برای دستکاری طیف، از فیلترها استفاده می شود - الگوریتم هایی که می توانند شکل طیف را کنترل کنند، اجزای آن را سرکوب یا تقویت کنند. رئیس ویژگیهر فیلترمشخصه دامنه فرکانس (AFC) آن است که شکل آن به تبدیل طیف بستگی دارد.

اگر فیلتر فقط اجزای طیفی را با فرکانس کمتر از فرکانس قطع مشخص عبور دهد، آن را فیلتر پایین گذر (LPF) می نامند و می توان از آن برای صاف کردن داده ها، پاکسازی آن از نویز و مقادیر غیرعادی استفاده کرد.

اگر فیلتر اجزای طیفی را بالاتر از فرکانس قطع مشخصی عبور دهد، آن را فیلتر بالاگذر (HPF) می نامند. می توان از آن برای سرکوب تغییرات آهسته، مانند فصلی بودن در یک سری داده استفاده کرد.

علاوه بر این، بسیاری از انواع دیگر فیلترها استفاده می شود: فیلترهای میانگذر، فیلترهای تله ای و فیلترهای باند گذر، و همچنین فیلترهای پیچیده تر که در پردازش سیگنال در الکترونیک استفاده می شوند. با انتخاب نوع و شکل پاسخ فرکانسی فیلتر می توان از طریق پردازش طیفی به تبدیل دلخواه داده های اصلی دست یافت.

هنگام انجام فیلتر فرکانس داده ها به منظور صاف کردن و حذف نویز، لازم است که پهنای باند فیلتر پایین گذر را به درستی مشخص کنید. اگر خیلی زیاد تنظیم شود، درجه صاف شدن کافی نیست و نویز به طور کامل سرکوب نمی شود. اگر خیلی باریک باشد، ممکن است همراه با نویز، تغییراتی که حاوی اطلاعات مفید هستند نیز سرکوب شوند. در حالی که در کاربردهای فنی معیارهای دقیقی برای تعیین ویژگی های بهینه فیلترها وجود دارد، در فناوری های تحلیلی باید عمدتاً از روش های تجربی استفاده کرد.

تحلیل طیفی یکی از کارآمدترین و توسعه یافته ترین روش های پردازش داده ها است. فیلتر فرکانستنها یکی از کاربردهای متعدد آن است. علاوه بر این، در تحلیل های همبستگی و آماری، سنتز سیگنال و تابع، ساخت مدل و غیره استفاده می شود.