برابری ماتریس، ماتریس های معادل. ماتریس های معادل تبدیل های معادل ماتریس ها

ماتریس های معادل

همانطور که در بالا ذکر شد، مینور یک ماتریس از مرتبه s تعیین کننده ماتریس است که از عناصر ماتریس اصلی واقع در تقاطع هر s ردیف و ستون انتخاب شده تشکیل شده است.

تعریف. در یک ماتریس از مرتبه mn، مینور از مرتبه r در صورتی که برابر با صفر نباشد، پایه نامیده می شود، و همه مینورهای مرتبه r + 1 و بالاتر برابر با صفر هستند یا اصلا وجود ندارند، یعنی. r کوچکترین m یا n است.

به ستون‌ها و ردیف‌هایی از یک ماتریس که دارای پایه مینور هستند، پایه نیز گفته می‌شود.

در یک ماتریس می توان چندین مینور پایه مختلف وجود داشته باشد که ترتیب یکسانی داشته باشند.

تعریف. ترتیب مینور پایه یک ماتریس، رتبه ماتریس نامیده می شود و با Rg A نشان داده می شود.

ویژگی بسیار مهم تبدیل های ماتریس ابتدایی این است که رتبه ماتریس را تغییر نمی دهند.

تعریف. ماتریس هایی که در نتیجه یک تبدیل اولیه به دست می آیند، معادل نامیده می شوند.

لازم به ذکر است که ماتریس های مساوی و ماتریس های معادل مفاهیمی کاملا متفاوت هستند.

قضیه. بیشترین تعداد ستون های مستقل خطی در یک ماتریس برابر است با تعداد ردیف های مستقل خطی.

زیرا از آنجایی که تبدیل‌های ابتدایی رتبه یک ماتریس را تغییر نمی‌دهند، می‌توان فرآیند یافتن رتبه یک ماتریس را به طور قابل توجهی ساده کرد.

مثال. رتبه ماتریس را تعیین کنید.

2. مثال: رتبه یک ماتریس را تعیین کنید.

اگر با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی نمی‌توان یک ماتریس معادل اصلی، اما با اندازه کوچک‌تر پیدا کرد، پس یافتن رتبه ماتریس باید با محاسبه مینورهای بالاترین مرتبه ممکن آغاز شود. در مثال بالا، اینها مینورهای مرتبه 3 هستند. اگر حداقل یکی از آنها برابر با صفر نباشد، رتبه ماتریس برابر با مرتبه این مینور است.

قضیه جزئی پایه.

قضیه. در یک ماتریس دلخواه A، هر ستون (ردیف) ترکیبی خطی از ستون‌ها (ردیف‌ها) است که پایه جزئی در آن قرار دارد.

بنابراین، رتبه یک ماتریس دلخواه A برابر است با حداکثر تعداد ردیف‌ها (ستون‌های) مستقل خطی در ماتریس.

اگر A یک ماتریس مربع و det A = 0 باشد، حداقل یکی از ستون ها ترکیبی خطی از ستون های دیگر است. همین امر در مورد رشته ها نیز صادق است. این عبارت از ویژگی وابستگی خطی با دترمینان برابر با صفر است.

حل سیستم های دلخواه معادلات خطی

همانطور که در بالا ذکر شد، روش ماتریسی و روش کرامر فقط برای آن دسته از سیستم های معادلات خطی قابل استفاده است که تعداد مجهولات آنها برابر با تعداد معادلات باشد. در مرحله بعد، سیستم های دلخواه معادلات خطی را در نظر بگیرید.

تعریف. سیستم معادلات m با n مجهول به طور کلی به صورت زیر نوشته می شود:

که در آن aij ضرایب و bi ثابت هستند. راه حل های سیستم n عدد هستند که با جایگزین شدن آنها به سیستم، هر یک از معادلات آن را به یک هویت تبدیل می کنند.

تعریف. اگر یک سیستم حداقل یک راه حل داشته باشد، به آن سازگار می گویند. اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، ناسازگار نامیده می شود.

تعریف. سیستمی که فقط یک جواب داشته باشد معین و اگر بیش از یک جواب داشته باشد نامعین نامیده می شود.

تعریف. برای یک سیستم معادلات خطی، ماتریس

A = ماتریس سیستم و ماتریس نامیده می شود

A*= ماتریس تقویت شده سیستم نامیده می شود

تعریف. اگر b1، b2، …،bm = 0، سیستم همگن نامیده می شود. یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه یک راه حل صفر دارد.

دگرگونی های ابتدایی سیستم ها

تحولات ابتدایی عبارتند از:

1) جمع هر دو قسمت یک معادله از اجزای متناظر معادله دیگر، ضرب در یک عدد، مساوی صفر نیست.

2) جایگشت معادلات در مکان ها.

3) حذف از سیستم معادلاتی که برای همه x ها هویت هستند.

قضیه کرونکر-کاپلی (شرط سازگاری سیستم).

(لئوپولد کرونکر (1823-1891) ریاضیدان آلمانی)

قضیه: سیستم سازگار است (حداقل یک راه حل دارد) اگر و فقط در صورتی که رتبه ماتریس سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد.

بدیهی است که سیستم (1) را می توان به صورت نوشتاری نوشت

انتقال به یک پایه جدید.

فرض کنید (1) و (2) دو پایه از یک فضای خطی m بعدی X باشند.

از آنجایی که (1) یک مبنا است، می توان بردارهای پایه دوم را برحسب آن گسترش داد:

از ضرایب در، ماتریس را می سازیم:

(4) ماتریس تبدیل مختصات در گذار از مبنا (1) به پایه (2) است.

یک بردار بگذارید، سپس (5) و (6).

رابطه (7) به این معنی است

ماتریس P غیر منحط است، زیرا در غیر این صورت یک رابطه خطی بین ستون‌های آن و سپس بین بردارها وجود خواهد داشت.

عکس آن نیز صادق است: هر ماتریس غیر منحط یک ماتریس تبدیل مختصاتی است که با فرمول (8) تعریف شده است. زیرا P یک ماتریس غیر منحط است، سپس دارای یک ماتریس معکوس است. با ضرب هر دو قسمت (8) در: (9) به دست می آید.

بگذارید 3 پایه در فضای خطی X انتخاب شود: (10)، (11)، (12).

کجا، یعنی (13).

که در صورت تبدیل متوالی مختصات، ماتریس تبدیل حاصل برابر است با حاصلضرب ماتریس های تبدیل های سازنده.

اجازه دهید یک عملگر خطی و اجازه دهید یک جفت پایه در X انتخاب شود: (I) و (II)، و در Y - (III) و (IV).

عملگر A در یک جفت پایه I - III با برابری مطابقت دارد: (14). همان عملگر در یک جفت پایه II - IV با برابری مطابقت دارد: (15). که برای یک عملگر معین A دو ماتریس u داریم. ما می خواهیم بین آنها وابستگی ایجاد کنیم.

فرض کنید P ماتریس تبدیل مختصات در انتقال از I به III باشد.

فرض کنید Q ماتریس تبدیل مختصات در انتقال از II به IV باشد.

سپس (16)، (17). عبارات و از (16) و (17) را به (14) جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:

با مقایسه این برابری با (15)، به دست می آوریم:

رابطه (19) ماتریس یک عملگر را در پایه های مختلف به هم مرتبط می کند. در موردی که فضاهای X و Y بر هم منطبق باشند، نقش پایه III توسط I و IV - توسط II-nd ایفا می شود، سپس رابطه (19) شکل می گیرد: .

کتابشناسی - فهرست کتب:

3. Kostrikin A.I. مقدمه ای بر جبر. قسمت دوم. مبانی جبر: کتاب درسی برای دانشگاه ها، -M. : ادبیات فیزیک و ریاضی، 1379، 368 ص.

سخنرانی شماره 16 (ترم دوم)

موضوع: شرط لازم و کافی برای هم ارزی ماتریس ها.

دو ماتریس A و B با اندازه یکسان نامیده می شوند معادل، اگر دو ماتریس غیر منفرد R و S وجود داشته باشد که (1).

مثال:دو ماتریس مربوط به یک عملگر برای انتخاب های مختلف پایه در فضاهای خطی X و Y معادل هستند.

واضح است که رابطه ای که بر روی مجموعه همه ماتریس های هم اندازه با استفاده از تعریف فوق تعریف شده است، یک رابطه هم ارزی است.

قضیه 8: برای اینکه دو ماتریس مستطیلی هم اندازه هم ارز باشند، لازم و کافی است که از یک رتبه باشند.

اثبات:

1. بگذارید A و B دو ماتریس باشند که برای آنها منطقی است. رتبه محصول (ماتریس C) بالاتر از رتبه هر یک از عوامل نیست.

می بینیم که ستون k-امین ماتریس C ترکیبی خطی از بردارهای ستون ماتریس A است و این برای همه ستون های ماتریس C صادق است. برای همه. که ، یعنی زیرفضای یک فضای خطی است.

از آنجایی که بعد زیرفضا کمتر یا مساوی با بعد فضا است، رتبه ماتریس C کمتر یا مساوی با رتبه ماتریس A است.

در مساوات (2)، شاخص i را ثابت می کنیم و تمام مقادیر ممکن از 1 تا s را به k اختصاص می دهیم. سپس یک سیستم برابری مشابه سیستم (3) به دست می آوریم:

از مساوات (4) می توان دریافت که ردیف i-امین ماتریس C ترکیبی خطی از ردیف های ماتریس B برای همه i است، و سپس دهانه خطی که توسط ردیف های ماتریس C در دهانه خطی قرار گرفته است در دهانه خطی که توسط ردیف های ماتریس ماتریس پوشانده شده است، قرار می گیرد و سپس اسپری به ابعاد خط B برابر است با ابعاد این خط یا بعد از این خط. ماتریس B، به این معنی که رتبه ماتریس C کمتر یا مساوی با رتبه ماتریس B است.

2. رتبه حاصلضرب ماتریس A در سمت چپ و سمت راست توسط یک ماتریس مربع غیر مفرد Q برابر است با رتبه ماتریس A. (). آن ها رتبه ماتریس C برابر است با رتبه ماتریس A.

اثبات:همانطور که در مورد (1) ثابت شد. از آنجایی که ماتریس Q غیر مفرد است، برای آن وجود دارد: و مطابق با آنچه در عبارت قبلی ثابت شد.

3. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر ماتریس ها معادل باشند، آنها دارای رتبه های یکسان هستند. طبق تعریف، اگر R و S وجود داشته باشد، A و B معادل هستند. از آنجایی که ضرب A از چپ در R و از راست در S به ماتریس هایی با رتبه یکسان منجر می شود، همانطور که در (2) ثابت شد، رتبه A برابر با رتبه B است.

4. بگذارید ماتریس های A و B هم رتبه باشند. اجازه دهید ثابت کنیم که آنها معادل هستند. در نظر بگیریم.

فرض کنید X و Y دو فضای خطی باشند که در آن پایه ها (مبنای X) و (مبنای Y) انتخاب می شوند. همانطور که مشخص است، هر ماتریسی از فرم، عملگر خطی را تعریف می کند که از X تا Y عمل می کند.

از آنجایی که r رتبه ماتریس A است، دقیقاً r بردارهای مستقل خطی در بین آنها وجود دارد. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که - اولین بردارهای r - مستقل خطی هستند. سپس بقیه به صورت خطی بر حسب آنها بیان می شوند و می توانیم بنویسیم:

یک پایه جدید در فضای X به صورت زیر تعریف می کنیم: . (7)

پایه جدید در فضای Y به شرح زیر است:

بردارها، بر اساس فرض، مستقل خطی هستند. اجازه دهید آنها را با برخی از بردارها تا پایه Y تکمیل کنیم: (8). بنابراین (7) و (8) دو پایه جدید X و Y هستند. بیایید ماتریس عملگر A را در این پایه ها پیدا کنیم:

بنابراین، در جفت پایه های جدید، ماتریس عملگر A ماتریس J است. ماتریس A در اصل یک ماتریس مستطیلی دلخواه از شکل، رتبه r بود. از آنجایی که ماتریس های یک عملگر در پایه های مختلف معادل هستند، این نشان می دهد که هر ماتریس مستطیلی شکل رتبه r معادل J است. از آنجایی که با یک رابطه هم ارزی سر و کار داریم، این نشان می دهد که هر دو ماتریس A و B از شکل و رتبه r، که معادل ماتریس J هستند، با یکدیگر معادل هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. Voevodin V.V. جبر خطی. سن پترزبورگ: لان، 2008، 416 ص.

2. D. V. Beklemishev، دوره هندسه تحلیلی و جبر خطی. مسکو: فیزمتلیت، 2006، 304 ص.

3. Kostrikin A.I. مقدمه ای بر جبر. قسمت دوم. مبانی جبر: کتاب درسی برای دانشگاه ها، -M. : ادبیات فیزیکی و ریاضی، 1379، 368 ص.

سخنرانی شماره 17 (ترم دوم)

موضوع: مقادیر ویژه و بردارهای ویژه. زیرفضاهای خود مثال ها.

اغلب مفاهیم برابری و هم ارزی ماتریس ها وجود دارد.

تعریف 1

ماتریس $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ برابر با ماتریس $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l) $ نامیده می شود اگر ابعاد آنها $(m=k,n=l)$ باشد و عناصر مربوط به ماتریس های مقایسه شده برابر باشند.

برای ماتریس های مرتبه دوم که به شکل کلی نوشته شده اند، برابری ماتریس را می توان به صورت زیر نوشت:

مثال 1

داده های ماتریسی:

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$;

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$;

3) $A=\left(\begin(آرایه)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$.

مساوی بودن ماتریس ها را تعیین کنید.

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$

ماتریس های A و B دارای ترتیب یکسانی برابر با 2$\ برابر 2 دلار هستند. عناصر متناظر ماتریس های مقایسه شده برابر هستند، بنابراین، ماتریس ها برابر هستند.

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$

ماتریس های A و B دارای ترتیب متفاوتی هستند که به ترتیب برابر با 2$\ برابر $2 و 2$\ برابر $1 است.

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$

ماتریس های A و B دارای ترتیب یکسانی برابر با 2$\ برابر 2 دلار هستند. با این حال، همه عناصر متناظر ماتریس های مقایسه شده برابر نیستند، بنابراین ماتریس ها برابر نیستند.

تعریف 2

تبدیل اولیه یک ماتریس تبدیلی است که هم ارزی ماتریس ها را حفظ می کند. به عبارت دیگر، یک تبدیل ابتدایی مجموعه حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) که با ماتریس داده شده نشان داده شده است را تغییر نمی دهد.

تبدیل های ردیف ماتریس ابتدایی عبارتند از:

• ضرب یک ردیف ماتریس در یک عدد $k$ که برابر با صفر نیست (در این مورد، تعیین کننده ماتریس $k$ برابر افزایش می یابد).
• جایگشت هر دو ردیف از ماتریس.
• علاوه بر عناصر یک ردیف از ماتریس عناصر ردیف دیگر آن.

همین امر در مورد ستون‌های ماتریسی نیز صدق می‌کند و تبدیل ستون‌های ابتدایی نامیده می‌شود.

تعریف 3

اگر از ماتریس A با کمک یک تبدیل ابتدایی به ماتریس B منتقل شویم، ماتریس اصلی و حاصل معادل نامیده می شوند. برای نشان دادن هم ارزی ماتریس ها، از علامت "$ \sim$" استفاده می شود، به عنوان مثال، $A\sim B$.

مثال 2

با توجه به یک ماتریس: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\right)$.

تبدیل های ابتدایی ردیف های ماتریس را یک به یک انجام دهید.

ردیف اول و ردیف دوم ماتریس A را با هم عوض کنید:

ردیف اول ماتریس B را در عدد 2 ضرب کنید:

بیایید ردیف اول را با ردیف دوم ماتریس اضافه کنیم:

تعریف 4

ماتریس مرحله ای ماتریسی است که شرایط زیر را برآورده می کند:

• اگر یک ردیف صفر در ماتریس وجود داشته باشد، تمام ردیف های زیر آن نیز صفر هستند.
• اولین عنصر غیر تهی هر ردیف غیر تهی باید دقیقاً در سمت راست عنصر اصلی در ردیفی که بالای این یکی است قرار گیرد.

مثال 3

ماتریس‌های $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (3) \end(array)\right)$ and $B=\left(\begin(array)(ccc) (1) &\) (3) &\) (3) و (2) & (0) \end(array)\right)$ ماتریس های مرحله هستند.

اظهار نظر

شما می توانید ماتریس را با استفاده از تبدیل های معادل به یک فرم مرحله ای بیاورید.

مثال 4

با توجه به یک ماتریس: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\right)$. ماتریس را به شکل پلکانی تبدیل کنید.

ردیف اول و دوم ماتریس A را با هم عوض کنید:

سطر اول ماتریس B را در عدد 2 ضرب کرده و به سطر دوم اضافه کنید:

سطر اول ماتریس C را در -1 ضرب کنید و آن را به ردیف سوم اضافه کنید:

ردیف دوم ماتریس D را در -2 ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید:

$K=\left(\begin(array)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(array)\right)$ - ماتریس گام.

هدف فوری ما این است که ثابت کنیم هر ماتریسی را می توان با استفاده از تبدیل های ابتدایی به برخی از اشکال استاندارد کاهش داد. در این مسیر، زبان ماتریس های معادل مفید است.

بگذار باشد. ما می گوییم که یک ماتریس n_equivalent (n_equivalent یا معادل) با یک ماتریس است و اگر ماتریس را بتوان از ماتریس با استفاده از تعداد محدودی از سطر (ستون یا سطر و ستون به ترتیب) تبدیل های ابتدایی به دست آورد (یا) نشان می دهیم. واضح است که ماتریس های n_equivalent و n_equivalent معادل هستند.

ابتدا نشان خواهیم داد که هر ماتریسی را می توان تنها با تبدیل ردیف به شکلی خاص کاهش داد که کاهش نامیده می شود.

بگذار باشد. می گویند یک ردیف غیر صفر از این ماتریس اگر عنصری برابر 1 در آن وجود داشته باشد که تمام عناصر ستون به غیر از صفر برابر با صفر باشند، شکل کاهش یافته دارد. عنصر منفرد علامت گذاری شده خط، عنصر اصلی این خط نامیده می شود و آن را در یک دایره محصور می کند. به عبارت دیگر، اگر این ماتریس دارای ستونی از فرم باشد، یک ردیف از یک ماتریس دارای شکل کاهش یافته است

به عنوان مثال، در ماتریس زیر

از آنجا که رشته شکل کاهش یافته دارد. به این نکته توجه کنیم که در این مثال عنصر نیز ادعا می کند که عنصر اصلی رشته است. در آینده، اگر چندین عنصر در خط فرم کاهش یافته وجود داشته باشد که دارای ویژگی های رهبر باشد، تنها یکی از آنها را به صورت دلخواه انتخاب می کنیم.

به ماتریس گفته می‌شود که اگر هر یک از ردیف‌های غیرصفر آن شکل کاهش‌یافته داشته باشد، دارای شکل کاهش‌یافته است. به عنوان مثال، ماتریس

فرم داده شده را دارد.

گزاره 1.3 برای هر ماتریس، یک ماتریس شکل کاهش یافته l_معادل آن وجود دارد.

در واقع، اگر یک ماتریس به شکل (1.1) باشد و پس از انجام تبدیل های اولیه در آن

ماتریس را دریافت می کنیم

که در آن رشته شکل کاهش یافته دارد.

ثانیاً، اگر ردیف در ماتریس کاهش یابد، پس از تبدیل‌های ابتدایی (1.20) ردیف ماتریس کاهش می‌یابد. در واقع، از آنجا که، کاهش یافته است، یک ستون وجود دارد که به گونه ای که

اما سپس و در نتیجه، پس از تبدیل (1.20) ستون تغییر نمی کند، i.e. . بنابراین، خط دارای شکل کاهش یافته است.

اکنون مشخص است که با تبدیل هر ردیف غیر صفر از ماتریس به نوبه خود به روش فوق، پس از تعداد محدودی از مراحل، ماتریسی به شکل کاهش یافته به دست خواهیم آورد. از آنجایی که برای به دست آوردن ماتریس فقط از تبدیل های ابتدایی ردیف استفاده شده است، l_معادل یک ماتریس است. >

مثال 7. یک ماتریس از شکل کاهش یافته، n_معادل ماتریس بسازید.