نشانه گذاری. سیستم های اعداد غیر موقعیتی کدام سیستم های عددی غیر موقعیتی هستند

تست

سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی

سیستم های اعداد مختلفی که در گذشته وجود داشته و امروزه مورد استفاده قرار می گیرند را می توان به غیر موقعیتی و موقعیتی تقسیم کرد. به علائمی که برای نوشتن اعداد استفاده می شود، رقم گفته می شود.

در سیستم های اعداد غیر موقعیتی، موقعیت رقم در نماد اعداد به مقداری که نشان می دهد بستگی ندارد. نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، سیستم رومی است که از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می کند.

در سیستم های اعداد موقعیتی، مقداری که با یک رقم در یک عدد مشخص می شود به موقعیت آن بستگی دارد. تعداد ارقام استفاده شده را پایه سیستم اعداد می گویند. به جای هر رقم در یک عدد، موقعیت می گویند. اولین سیستمی که ما بر اساس اصل موقعیتی می شناسیم، سیکساژزیمال بابلی است. اعداد موجود در آن دو نوع بودند که یکی نشانگر واحدها و دیگری - ده ها بود.

در حال حاضر، سیستم های اعداد موقعیتی گسترده تر از سیستم های اعداد غیر موقعیتی هستند. این به این دلیل است که آنها اجازه می دهند اعداد بزرگ با استفاده از تعداد نسبتاً کمی از کاراکترها نوشته شوند. مزیت مهم‌تر سیستم‌های موقعیتی، سادگی و سهولت انجام عملیات حسابی روی اعداد نوشته شده در این سیستم‌ها است.

متداول ترین سیستم اعشاری هند و عربی است. هندی ها اولین کسانی بودند که از صفر برای نشان دادن اهمیت موقعیتی یک کمیت در رشته ای از اعداد استفاده کردند. این سیستم را اعشاری می نامند زیرا دارای ده رقم است.

تفاوت بین سیستم های اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی به راحتی با مقایسه دو عدد قابل درک است. در سیستم اعداد موقعیتی، مقایسه دو عدد به صورت زیر انجام می شود: در اعداد مورد نظر، از چپ به راست، ارقام در همان موقعیت ها با هم مقایسه می شوند. عدد بزرگتر مربوط به مقدار عدد بزرگتر است. به عنوان مثال، برای اعداد 123 و 234، 1 کوچکتر از 2 است، بنابراین 234 بزرگتر از 123 است. در سیستم اعداد غیر موقعیتی، این قانون اعمال نمی شود. نمونه ای از این مقایسه دو عدد IX و VI است. حتی اگر I کوچکتر از V است، IX بزرگتر از VI است.

پایه سیستم اعدادی که یک عدد در آن نوشته می شود معمولا با یک زیرنویس نشان داده می شود. به عنوان مثال، 555 7 عددی است که در سیستم اعداد اعشاری نوشته شده است. اگر عددی در سیستم اعشاری نوشته شود، معمولاً پایه نشان داده نمی شود. پایه سیستم نیز یک عدد است و در سیستم اعشاری معمول نشان داده می شود. هر عدد صحیح در سیستم موقعیتی را می توان به صورت چند جمله ای نوشت:

Х s =(A n A n-1 A n-2 ...A 2 A 1 ) s =A n ·S n-1 +A n-1 ·S n-2 +A n-2 ·S n- 3 +...+A 2 ·S 1 +A 1 ·S 0

که در آن S پایه سیستم اعداد است، و n ارقام عدد نوشته شده در این سیستم اعداد، n تعداد ارقام عدد است.

به عنوان مثال، عدد 6293 10 به صورت چند جمله ای به صورت زیر نوشته می شود:

6293 10 = 6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

نمونه هایی از سیستم های اعداد موقعیتی:

· باینری (یا پایه 2) یک سیستم عددی موقعیتی (مکانی) عدد صحیح مثبت است که اجازه می دهد مقادیر عددی مختلف با استفاده از دو نماد نمایش داده شوند. اغلب اینها 0 و 1 هستند.

· Octal یک سیستم اعداد صحیح موقعیتی مبتنی بر پایه 8 است. از ارقام 0 تا 7 برای نشان دادن اعداد استفاده می کند. Octal اغلب در مناطقی که شامل دستگاه های دیجیتال است استفاده می شود. قبلاً به طور گسترده در برنامه نویسی و مستندات رایانه ای استفاده می شد، اما اکنون تقریباً به طور کامل با هگزادسیمال جایگزین شده است.

· سیستم اعداد اعشاری یک سیستم اعداد موقعیتی مبتنی بر پایه اعداد صحیح 10 است. رایج ترین سیستم اعداد در جهان. رایج ترین علامت هایی که برای نوشتن اعداد استفاده می شود عبارتند از 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 که اعداد عربی نامیده می شوند.

· اثنی عشر (به طور گسترده در دوران باستان استفاده می شد، در برخی مناطق خاص هنوز هم استفاده می شود) - یک سیستم اعداد موقعیتی با پایه اعداد صحیح 12. اعداد استفاده شده عبارتند از 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B. برخی از مردم نیجریه و تبت هنوز از سیستم اعداد اثنی عشر استفاده می کنند، اما پژواک آن را تقریباً در هر فرهنگی می توان یافت. در روسی کلمه "dozen" وجود دارد، در انگلیسی "dozen"، در برخی جاها به جای "ده" از کلمه دوازده استفاده می شود، به عنوان یک عدد گرد، به عنوان مثال، 12 دقیقه صبر کنید.

· هگزادسیمال (متداول ترین در برنامه نویسی و همچنین در فونت ها) یک سیستم اعداد موقعیتی مبتنی بر پایه اعداد صحیح 16 است. معمولاً از ارقام اعشاری از 0 تا 9 به عنوان ارقام هگزادسیمال استفاده می شود و از حروف لاتین از A تا F برای نشان دادن استفاده می شود. اعداد از 10 تا 15. به طور گسترده در برنامه نویسی سطح پایین و به طور کلی در مستندات رایانه استفاده می شود، زیرا در رایانه های مدرن حداقل واحد حافظه یک بایت 8 بیتی است که مقادیر آن به راحتی در دو رقم هگزادسیمال نوشته می شود.

· هگزادسیمال (اندازه گیری زوایا و به ویژه طول و عرض جغرافیایی) یک سیستم اعداد موقعیتی است که بر پایه عدد صحیح 60 است. در دوران باستان در خاورمیانه استفاده می شد. پیامدهای این سیستم اعداد تقسیم درجه زاویه ای و قوس (و همچنین ساعت) به 60 دقیقه و دقیقه به 60 ثانیه است.

بیشترین علاقه هنگام کار بر روی رایانه، سیستم های اعداد با پایه های 2، 8 و 16 هستند. این سیستم های اعداد معمولاً برای کارکرد کامل هر دو شخص و رایانه کافی هستند، اما گاهی اوقات به دلیل شرایط مختلف، شما هنوز باید بچرخید. به سیستم های اعداد دیگر، به عنوان مثال به سیستم های اعداد سه تایی، سپتال یا پایه 32.

برای کار با اعداد نوشته شده در چنین سیستم های غیر سنتی، باید در نظر داشته باشید که آنها اساساً هیچ تفاوتی با سیستم اعشاری معمول ندارند. جمع، تفریق و ضرب در آنها طبق همان طرح انجام می شود.

دیگر سیستم‌های اعداد عمدتاً استفاده نمی‌شوند زیرا در زندگی روزمره مردم عادت دارند از سیستم اعداد اعشاری استفاده کنند و نیازی به دیگری نیست. در رایانه ها، از سیستم اعداد باینری استفاده می شود، زیرا کار با اعداد نوشته شده به صورت باینری بسیار ساده است.

سیستم هگزادسیمال اغلب در علوم کامپیوتر استفاده می شود، زیرا نوشتن اعداد در آن بسیار کوتاهتر از نوشتن اعداد در سیستم باینری است. ممکن است این سوال پیش بیاید: چرا برای نوشتن اعداد بسیار بزرگ از یک سیستم اعداد، به عنوان مثال پایه 50 استفاده نمی کنیم؟ چنین سیستم اعدادی به 10 رقم معمولی به اضافه 40 علامت نیاز دارد که با اعداد 10 تا 49 مطابقت دارد و بعید است که کسی بخواهد با این چهل کاراکتر کار کند. بنابراین، در زندگی واقعی، سیستم های اعداد مبتنی بر پایه های بزرگتر از 16 عملاً مورد استفاده قرار نمی گیرند.

مقدمه ای بر فراکتال ها

تابع لگاریتمی در مسائل

مثال 43. حل سیستم معادلات راه حل بیایید با استفاده از تعریف لگاریتم و در نظر گرفتن اینکه عبارت زیر علامت لگاریتم باید کاملاً مثبت باشد، معادله دوم را به سیستم تبدیل کنیم: پاسخ: . مثال 44...

بازی های موضعی

بازی های موضعی

طراحی درس ریاضی با موضوع شماره گذاری با استفاده از ابزارهای نوین آموزشی

سیستم اعداد موقعیتی اولین بار در بابل باستان ظاهر شد. در هند، این سیستم به صورت اعشاری موقعیتی با استفاده از صفر کار می کند؛ ملت عرب این سیستم اعداد را از هندی ها وام گرفته است و به نوبه خود از آنها ...

سیستم اعداد راهی برای ثبت (نمایش) اعداد است. سیستم های اعداد مختلفی که قبلا وجود داشته و در حال حاضر مورد استفاده قرار می گیرند به دو گروه تقسیم می شوند: · موقعیتی، · غیر موقعیتی ...

نشانه گذاری. ثبت اقدامات روی اعداد

سیستم های اعداد مختلفی که در گذشته وجود داشته و امروزه مورد استفاده قرار می گیرند را می توان به غیر موقعیتی و موقعیتی تقسیم کرد. به علائمی که برای نوشتن اعداد استفاده می شود، رقم گفته می شود...

نشانه گذاری. ثبت اقدامات روی اعداد

سیستم اعداد باینری حتی قبل از ظهور رایانه ها (قرن XVII - XIX) توسط ریاضیدانان و فیلسوفان اختراع شد. برخی از ایده های پشت سیستم دوتایی اساساً در چین باستان شناخته شده بودند ...

نشانه گذاری. ثبت اقدامات روی اعداد

رایج ترین سیستم های اعداد باینری، هگزا دسیمال و اعشاری و اکتالی...

1.1 تاریخچه پیدایش سیستم های اعداد مختلف انسان اولیه تقریباً مجبور به شمارش نبود. "یک"، "دو" و "بسیاری" - اینها همه اعداد او هستند. اما ما - مردم مدرن - باید به معنای واقعی کلمه در هر مرحله با اعداد برخورد کنیم...

سیستم های اعداد و مبانی رمزگذاری های باینری

در باستانی‌ترین شماره‌گذاری فقط از علامت «|» استفاده می‌شد. برای یک، و هر عدد طبیعی با تکرار نماد واحد به تعداد واحدهای آن عدد نوشته می‌شود...

سیستم های اعداد و مبانی رمزگذاری های باینری

علاوه بر سیستم اعداد اعشاری، سیستم اعداد موقعیتی با هر پایه طبیعی دیگری امکان پذیر است. در دوره های مختلف تاریخی، بسیاری از مردم به طور گسترده ای از سیستم های اعداد مختلف استفاده می کردند.

سیستم های اعداد و مبانی رمزگذاری های باینری

1.5.1 جمع و تفریق در سیستم با پایه i از اعداد 0، 1، 2، ...، c - 1 برای نشان دادن صفر و اولین c-1 اعداد طبیعی استفاده می شود.برای انجام عمل جمع. و با تفریق جدولی برای جمع اعداد تک رقمی تهیه می شود.. .

سیستم های اعداد و مبانی رمزگذاری های باینری

سیستم اعشاری که برای ما آشنا بود برای رایانه ها ناخوشایند بود. اگر در دستگاه های محاسباتی مکانیکی که از سیستم اعشاری استفاده می کنند، کافی است به سادگی از یک عنصر چند حالته (چرخ با نه دندانه) استفاده شود ...

فراکتال ها - شاخه جدیدی از ریاضیات

مفهوم سیستم های L، که ارتباط نزدیکی با فراکتال های مشابه خود دارد، تنها در سال 1968 به لطف آریستید لیندن مایر ظاهر شد. در ابتدا، سیستم های L در مطالعه زبان های رسمی معرفی شدند...

معرفی

موضوع انشا درس انفورماتیک-1 سیستم اعداد می باشد.

هدف از نگارش چکیده: آشنایی با مفهوم سیستم اعداد و طبقه بندی. تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

مفهوم سیستم اعداد سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی

باینری جبری عدد صحیح

سیستم اعداد سیستمی از تکنیک ها و قوانین است که امکان برقراری یک مطابقت یک به یک بین هر عدد و نمایش آن به عنوان مجموعه ای از تعداد محدودی از نمادها را ممکن می سازد. به مجموعه نمادهایی که برای این نمایش استفاده می شود، رقم گفته می شود.

نشانه گذاری:

نمایش مجموعه ای از اعداد (اعداد صحیح و/یا واقعی) را ارائه می دهد.

به هر عدد یک نمایش منحصر به فرد (یا حداقل یک نمایش استاندارد) می دهد.

ساختار جبری و حسابی اعداد را منعکس می کند.

سیستم های اعداد به دو دسته موقعیتی و غیر موقعیتی تقسیم می شوند. در سیستم های غیر موقعیتی، هر عددی به عنوان تابعی از مقادیر عددی مجموعه ارقامی که این عدد را نشان می دهد، تعریف می شود. ارقام در سیستم های اعداد غیر موقعیتی با اعداد ثابت خاصی مطابقت دارند. نمونه ای از یک سیستم غیر موقعیتی، سیستم اعداد رومی است.

از لحاظ تاریخی، اولین سیستم های اعداد، سیستم های غیر موقعیتی بودند. یکی از معایب اصلی دشواری نوشتن اعداد بزرگ است. نوشتن اعداد زیاد در چنین سیستم هایی بسیار دست و پا گیر است و الفبای سیستم فوق العاده بزرگ است.

سیستم های غیر موقعیتی در محاسبات استفاده نمی شوند. 3

اگر یک رقم واحد بسته به عدد رقم این رقم در مجموعه ارقامی که یک عدد معین را نشان می دهد، مقادیر عددی متفاوتی به خود بگیرد، سیستم اعدادی نامیده می شود. نمونه ای از چنین سیستمی سیستم اعداد اعشاری عربی است.

پایه سیستم اعداد موقعیتی نام آن را تعیین می کند. در محاسبات از سیستم های باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال استفاده می شود.

در حال حاضر، سیستم های اعداد موقعیتی گسترده تر از سیستم های اعداد غیر موقعیتی هستند. این به این دلیل است که آنها اجازه می دهند اعداد بزرگ با استفاده از تعداد نسبتاً کمی از کاراکترها نوشته شوند. مزیت مهم‌تر سیستم‌های موقعیتی، سادگی و سهولت انجام عملیات حسابی روی اعداد نوشته شده در این سیستم‌ها است.

در اینجا نمونه هایی وجود دارد که می توانید استفاده از سیستم های اعداد موقعیتی را بیابید:

باینری در ریاضیات گسسته، علوم کامپیوتر، برنامه نویسی؛

اعشاری - در همه جا استفاده می شود.

اثنی عشر - شمارش ده ها؛

هگزادسیمال - مورد استفاده در برنامه نویسی، علوم کامپیوتر؛

sexagesimal - واحدهای زمان، اندازه گیری زوایا و به ویژه مختصات، طول و عرض جغرافیایی.

در حین مطالعه رمزگذاری، متوجه شدم که سیستم های اعداد را به خوبی درک نمی کنم. با این وجود، من اغلب از سیستم های 2-، 8-، 10-، 16 استفاده می کردم، یکی را به دیگری تبدیل می کردم، اما همه چیز به صورت خودکار انجام می شد. با خواندن بسیاری از نشریات، از نبود یک مقاله واحد و به زبان ساده در مورد چنین مطالب اساسی شگفت زده شدم. به همین دلیل تصمیم گرفتم خودم بنویسم که در آن سعی کردم اصول سیستم های اعداد را به صورت در دسترس و منظم ارائه کنم.

معرفی

این یعنی چی؟ به عنوان مثال، شما چندین درخت را در مقابل خود می بینید. وظیفه شما این است که آنها را بشمارید. برای این کار می توانید انگشتان خود را خم کنید، بر روی سنگ (یک درخت - یک انگشت / شکاف) بریدگی ایجاد کنید یا 10 درخت را با یک شی مثلا سنگ و یک نمونه را با چوب مطابقت دهید و آنها را قرار دهید. همانطور که شما می شمارید روی زمین در مورد اول، شماره به عنوان یک رشته انگشتان خم شده یا بریدگی نشان داده می شود، در مورد دوم - ترکیبی از سنگ ها و چوب ها، که در آن سنگ ها در سمت چپ و چوب ها در سمت راست قرار دارند.

سیستم های اعداد به موقعیتی و غیر موقعیتی و موقعیتی به نوبه خود به همگن و مختلط تقسیم می شوند.

غیر موضعی- قدیمی ترین، در آن هر رقم یک عدد دارای مقداری است که به موقعیت (رقم) آن بستگی ندارد. یعنی اگر 5 خط داشته باشید، این عدد نیز 5 است، زیرا هر خط، صرف نظر از جایگاهش در خط، تنها با 1 مورد مطابقت دارد.

سیستم موقعیت- معنای هر رقم به موقعیت (رقم) آن در عدد بستگی دارد. به عنوان مثال، سیستم شماره 10 که برای ما آشناست، موقعیتی است. بیایید عدد 453 را در نظر بگیریم. عدد 4 نشان دهنده تعداد صدها و مطابق با عدد 400 است، 5 - تعداد ده ها و مشابه مقدار 50 و 3 - واحدها و مقدار 3 است. همانطور که می بینید، رقم بزرگتر، مقدار بالاتر است. عدد نهایی را می توان به صورت مجموع 400+50+3=453 نشان داد.

سیستم همگن- برای تمام ارقام (موقعیت) یک عدد مجموعه نویسه های معتبر (ارقام) یکسان است. به عنوان مثال، اجازه دهید سیستم 10 که قبلاً ذکر شد را در نظر بگیریم. هنگام نوشتن یک عدد در یک سیستم 10 همگن، می توانید فقط از یک رقم از 0 تا 9 در هر رقم استفاده کنید، بنابراین عدد 450 مجاز است (رقم اول - 0، 2 - 5، 3 - 4)، اما 4F5 نیست، زیرا کاراکتر F در مجموعه اعداد 0 تا 9 گنجانده نشده است.

سیستم مختلط- در هر رقم (موقعیت) یک عدد، مجموعه کاراکترهای معتبر (ارقام) ممکن است با مجموعه ارقام دیگر متفاوت باشد. یک مثال بارز سیستم اندازه گیری زمان است. در دسته‌ی ثانیه‌ها و دقیقه‌ها، 60 علامت مختلف (از «00» تا «59»)، در رده ساعت‌ها - 24 علامت مختلف (از «00» تا «23»)، در دسته‌بندی روز وجود دارد. 365 و غیره

سیستم های غیر موقعیتی

سیستم شماره واحد

برای راحتی، مردم شروع به گروه بندی چوب ها به قطعات 3، 5 و 10 کردند. در عین حال، هر گروه با علامت یا شیء خاصی مطابقت داشت. در ابتدا از انگشتان برای شمارش استفاده می شد، بنابراین اولین نشانه ها برای گروه های 5 و 10 قطعه ای (واحد) ظاهر شد. همه اینها باعث شد تا سیستم های راحت تری برای ثبت اعداد ایجاد شود.

سیستم اعشاری مصر باستان

چرا به آن اعشاری می گویند؟ همانطور که در بالا گفته شد، مردم شروع به گروه بندی نمادها کردند. در مصر، آنها گروه 10 را انتخاب کردند و عدد "1" را بدون تغییر باقی گذاشتند. در این حالت عدد 10 را سیستم اعداد اعشاری پایه می نامند و هر نماد تا حدی نشان دهنده عدد 10 است.

اعداد در سیستم اعداد مصر باستان به صورت ترکیبی از آنها نوشته می شد
شخصیت هایی که هر کدام بیش از 9 بار تکرار نشدند. مقدار نهایی برابر با مجموع عناصر عدد بود. شایان ذکر است که این روش برای بدست آوردن مقدار مشخصه هر سیستم اعداد غیر موقعیتی است. یک مثال می تواند عدد 345 باشد:

سیستم جنسی بابلی

سیستم شمسی بابلی اولین سیستم عددی است که تا حدی بر اساس اصل موقعیتی بنا شده است. این سیستم اعداد هنوز هم امروزه استفاده می شود، به عنوان مثال، هنگام تعیین زمان - یک ساعت شامل 60 دقیقه و یک دقیقه شامل 60 ثانیه است.

سیستم رومی

روش های تعیین مقدار یک عدد:

1. مقدار یک عدد برابر است با مجموع مقادیر ارقام آن. به عنوان مثال، عدد 32 در سیستم اعداد رومی XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32 است.
2. اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ رقم بزرگتر وجود داشته باشد، این مقدار برابر است با تفاوت بین ارقام بزرگتر و کوچکتر. در عین حال، رقم چپ می‌تواند حداکثر تا یک مرتبه بزرگی کمتر از رقم راست باشد: برای مثال، فقط X(10) می‌تواند قبل از L(50) و C(100) در میان "پایین‌ترین" ظاهر شود. و فقط قبل از D(500) و M(1000) C(100)، قبل از V(5) - فقط I(1); عدد 444 در سیستم اعداد مورد بررسی به صورت CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444 نوشته می شود.
3. مقدار برابر است با مجموع مقادیر گروه ها و اعدادی که در نقاط 1 و 2 قرار نمی گیرند.

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم اعداد اعشاری

مثلاً عدد 503 را در نظر بگیریم. اگر این عدد در یک سیستم غیر موقعیتی نوشته می شد، مقدار آن 5+0+3 = 8 می شد. اما ما یک سیستم موقعیتی داریم و این یعنی هر رقم از عدد باید باشد. ضرب در پایه سیستم، در این مورد عدد "10"، به توانی برابر با عدد رقمی افزایش می یابد. به نظر می رسد که مقدار 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 است. برای جلوگیری از سردرگمی هنگام کار همزمان با چندین سیستم عددی، پایه به عنوان یک زیرمجموعه نشان داده می شود. بنابراین، 503 = 503 10.

علاوه بر سیستم اعشاری، سیستم های 2-، 8- و 16 مستحق توجه ویژه هستند.

سیستم اعداد باینری

سیستم اعداد موقعیتی باینری دارای پایه 2 است و از 2 نماد (رقم) برای نوشتن اعداد استفاده می کند: 0 و 1. فقط یک رقم در هر رقم مجاز است - 0 یا 1.

به عنوان مثال عدد 101 است. این عدد مشابه عدد 5 در سیستم اعداد اعشاری است. برای تبدیل از 2 به 10، باید هر رقم از یک عدد باینری را در پایه "2" ضرب کنید تا به توانی برابر با مقدار مکانی برسد. بنابراین، عدد 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

خوب، برای ماشین‌ها، سیستم شماره 2 راحت‌تر است، اما ما اغلب اعداد را در سیستم دهم روی رایانه می‌بینیم و از آنها استفاده می‌کنیم. پس چگونه دستگاه تعیین می کند که کاربر چه شماره ای را وارد می کند؟ چگونه یک عدد را از یک سیستم به سیستم دیگر ترجمه می کند، زیرا فقط 2 علامت دارد - 0 و 1؟

برای اینکه کامپیوتر با اعداد باینری (کدها) کار کند، باید در جایی ذخیره شوند. برای ذخیره هر رقم جداگانه، از یک ماشه، که یک مدار الکترونیکی است، استفاده می شود. می تواند در 2 حالت باشد که یکی از آنها برابر صفر و دیگری برابر یک است. برای به خاطر سپردن یک عدد واحد، از یک رجیستر استفاده می شود - گروهی از محرک ها، که تعداد آنها با تعداد ارقام یک عدد باینری مطابقت دارد. و مجموعه رجیسترها رم هستند. عدد موجود در رجیستر یک کلمه ماشینی است. عملیات حسابی و منطقی با کلمات توسط یک واحد منطقی حسابی (ALU) انجام می شود. برای سهولت دسترسی به رجیسترها، آنها شماره گذاری می شوند. شماره را آدرس ثبت می نامند. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به اضافه کردن 2 عدد دارید، کافی است شماره سلول ها (رجیسترها) که در آنها قرار دارند را نشان دهید و نه خود اعداد را. آدرس ها در سیستم های هشت و هگزادسیمال نوشته می شوند (در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت)، زیرا انتقال از آنها به سیستم باینری و برگشت بسیار ساده است. برای انتقال از 2 به 8، شماره باید به گروه های 3 رقمی از راست به چپ تقسیم شود، و برای حرکت به 16 - 4. اگر در سمت چپ ترین گروه ارقام تعداد ارقام کافی وجود نداشته باشد، آنها پر می شوند. از سمت چپ با صفرهایی که به آنها پیشرو می گویند. عدد 101100 2 را به عنوان مثال در نظر می گیریم. در هشتی 101 100 = 54 8 و در هگزا دسیمال 0010 1100 = 2C 16 است. عالی است، اما چرا اعداد اعشاری و حروف را روی صفحه می بینیم؟ هنگامی که یک کلید را فشار می دهید، دنباله خاصی از تکانه های الکتریکی به رایانه منتقل می شود و هر نماد دنباله ای از تکانه های الکتریکی (صفر و یک) خاص خود را دارد. برنامه درایور صفحه کلید و صفحه به جدول کد کاراکترها دسترسی پیدا می کند (به عنوان مثال، یونیکد، که به شما امکان می دهد 65536 کاراکتر را رمزگذاری کنید)، تعیین می کند کد به دست آمده با کدام کاراکتر مطابقت دارد، و آن را روی صفحه نمایش می دهد. بنابراین، متون و اعداد در حافظه کامپیوتر به صورت کد باینری ذخیره می شوند و به صورت برنامه نویسی به تصاویر روی صفحه تبدیل می شوند.

سیستم اعداد هشتگانه

نمونه ای از یک عدد اکتالی: 254. برای تبدیل به سیستم دهم، هر رقم از عدد اصلی باید در 8 n ضرب شود که n عدد رقمی است. معلوم می شود که 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

سیستم اعداد هگزادسیمال

بیایید عدد 4F5 16 را به عنوان مثال در نظر بگیریم. برای تبدیل به سیستم هشتی، ابتدا عدد هگزا دسیمال را به باینری تبدیل می کنیم و سپس با تقسیم آن به گروه های 3 رقمی، به اکتال تبدیل می کنیم. برای تبدیل یک عدد به 2، باید هر رقم را به عنوان یک عدد باینری 4 بیتی نشان دهید. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . اما در گروه های 1 و 3 رقم کافی وجود ندارد، بنابراین بیایید هر کدام را با صفرهای اول پر کنیم: 0100 1111 0101. اکنون باید عدد حاصل را به گروه های 3 رقمی از راست به چپ تقسیم کنید: 0100 1111 0101 = 010 011 110 10 بیایید هر گروه باینری را به سیستم هشتگانه تبدیل کنیم، هر رقم را در 2 n ضرب کنیم، جایی که n عدد رقمی است: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

علاوه بر سیستم های اعداد موقعیتی در نظر گرفته شده، موارد دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال:
1) تثلیث
2) کواترنری
3) اثنی عشر

سیستم های موقعیتی به دو دسته همگن و مختلط تقسیم می شوند.

سیستم های اعداد موقعیتی همگن

سیستم های اعداد مختلط

بر اساس این قضیه، می‌توانیم قوانینی را برای انتقال از سیستم‌های P به Q-ام و بالعکس، فرموله کنیم:

1. برای تبدیل از Q-th به P-ام، باید عدد موجود در سیستم Q-ام را به گروه های n رقمی تقسیم کنید که با رقم سمت راست شروع می شود و هر گروه را با یک رقم در سیستم P-ام جایگزین کنید. .
2. برای تبدیل از P به Q ام، باید هر رقم از یک عدد در سیستم P را به Q-ام تبدیل کنید و ارقام گمشده را با صفرهای ابتدایی به استثنای عدد چپ پر کنید تا هر عدد در سیستم با پایه Q از n رقم تشکیل شده است.

سیستم های اعداد مختلط نیز به عنوان مثال:
1) فاکتوریل
2) فیبوناچی

تبدیل از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

تبدیل به سیستم اعداد اعشاری

مثال: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به سیستم های دیگر

1. قسمت صحیح عدد اعشاری را به ترتیب بر پایه سیستمی که به آن تبدیل می کنیم تقسیم می کنیم تا عدد اعشاری برابر با صفر شود.
2. باقی مانده هایی که در حین تقسیم به دست می آید ارقام عدد مورد نظر است. عدد در سیستم جدید با شروع از آخرین باقی مانده نوشته می شود.

1. قسمت کسری عدد اعشاری را در پایه سیستمی که می خواهیم به آن تبدیل کنیم ضرب می کنیم. کل قسمت را جدا کنید. همچنان قسمت کسری را در پایه سیستم جدید ضرب می کنیم تا برابر 0 شود.
2. اعداد در سیستم جدید از بخش های کامل حاصل ضرب به ترتیب مربوط به تولید آنها تشکیل شده اند.

با نوشتن تمام باقی مانده ها از پایین به بالا، عدد نهایی 17 را به دست می آوریم. بنابراین، 15 10 = 17 8.

تبدیل از باینری به اکتال و هگزادسیمال

بیایید عدد 1001 2 را به عنوان مثال در نظر بگیریم: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

برای تبدیل به هگزادسیمال، عدد باینری را به گروه های 4 رقمی از راست به چپ تقسیم می کنیم، سپس مشابه تبدیل از 2 به 8 می کنیم.

تبدیل از هشت و هگزادسیمال به باینری

به عنوان مثال، عدد 45 8 را در نظر بگیرید: 45 = (100) (101) = 100101 2

ترجمه از 16 به 2 - هر رقم از یک عدد هگزادسیمال را با تقسیم بر 2 به یک عدد باینری 4 رقمی تبدیل می کنیم و ارقام بیرونی گم شده را با صفرهای ابتدایی پر می کنیم.

تبدیل قسمت کسری هر سیستم عددی به اعشاری

تبدیل به همان روشی انجام می شود که برای قطعات صحیح انجام می شود، با این تفاوت که ارقام عدد در پایه به توان "-n" ضرب می شوند، جایی که n از 1 شروع می شود.

مثال: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5)، (0 + 0 0.25 + 0.125) = 5.375 10

تبدیل قسمت کسری باینری به 8 و 16

مثال: 1001.01 2 = 001 001، 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1)، (0+2+0) = 11.2 8

تبدیل بخش کسری سیستم اعشاری به هر قسمت دیگر

به عنوان مثال، بیایید 10.625 10 را به باینری تبدیل کنیم:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
با نوشتن تمام باقیمانده ها از بالا به پایین، 10.625 10 = (1010)، (101) = 1010.101 2 به دست می آید.

مفاهیم اساسی

نشانه گذاریمجموعه ای از قوانین برای نوشتن اعداد با استفاده از مجموعه محدودی از نمادها (اعداد) است.

سیستم های اعداد عبارتند از:

• غیر موقعیتی (در این سیستم ها ارزش یک رقم به موقعیت آن بستگی ندارد - موقعیت در رکورد شماره).
• موقعیتی (معنای عدد بستگی به موقعیت دارد).

سیستم های اعداد غیر موقعیتی

مثال: یوناری، رومی، روسی قدیمی و غیره.

سیستم های اعداد موقعیتی

p i = s i

ارقام عدد از راست به چپ شماره گذاری می شوند و کمترین رقم قسمت صحیح (ایستاده قبل از جداکننده - کاما یا نقطه) دارای عدد صفر است. ارقام قسمت کسری دارای اعداد منفی هستند:

تبدیل به سیستم اعداد اعشاری

با تعریف وزن تخلیه

p i = s i
جایی که i عدد رقمی است و s پایه سیستم اعداد است.

سپس با نشان دادن ارقام عدد به صورت i، می‌توانیم هر عددی را که در سیستم اعداد موقعیتی نوشته شده است به شکل زیر نمایش دهیم:

x = a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...

به عنوان مثال، برای یک سیستم اعداد پایه 4:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

پس از تکمیل محاسبات، مقدار عدد اصلی را که در سیستم اعداد اعشاری نوشته شده است (به طور دقیق تر، در چیزی که در آن محاسبات را انجام می دهیم) دریافت می کنیم. در این مورد:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

بنابراین، برای تبدیل یک عدد از هر سیستم عددی به اعشاری، باید:

1. ارقام شماره اصلی را شماره گذاری کنید.
2. مجموع را بنویسید که عبارات آن به عنوان حاصلضرب رقم بعدی با پایه سیستم اعداد به توانی برابر با عدد رقمی به دست می آید.
3. محاسبات را انجام دهید و نتیجه را بنویسید (نشان دهنده پایه سیستم اعداد جدید - 10).

مثال ها:

تبدیل از سیستم اعداد اعشاری

اجازه دهید مثالی از تبدیل سیستم اعداد پایه 4 به اعشاری را به یاد بیاوریم:

1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4

از این می توان دریافت که وقتی 114 بر 4 تقسیم می شود، باقیمانده باید 2 باشد - این کمترین رقم است که در سیستم چهارتایی نوشته می شود. ضریب برابر خواهد بود

(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

با تقسیم آن بر 4 باقیمانده - رقم بعدی (0) و ضریب 1 ⋅ 4 + 3 به دست می آید. با ادامه مراحل، ارقام باقی مانده را به همین ترتیب به دست خواهیم آورد.

به طور کلی، برای تبدیل یک قسمت صحیح یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستمی با پایه دیگر، باید:

1. تقسیم متوالی را انجام دهید با باقی ماندهعدد اصلی و هر ضریب حاصل بر اساس سیستم اعداد جدید.
2. مانده های محاسبه شده را با شروع از آخرین (یعنی به ترتیب معکوس) بنویسید.

مثال ها:

سیستم های اعداد با پایه های متعدد

هنگام کار با رایانه ها، سیستم اعداد باینری به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد (از آنجایی که نمایش اطلاعات در رایانه بر اساس آن است)، و همچنین هشت و هگزادسیمال، ضبط که در آن برای انسان فشرده تر و راحت تر است. از طرف دیگر، با توجه به اینکه 8 و 16 توان های 2 هستند، انتقال بین علامت گذاری در باینری و یکی از این سیستم ها بدون محاسبات انجام می شود.

کافی است طبق جدول هر رقم نماد هگزادسیمال را با چهار رقم (24=16) باینری (و بالعکس) جایگزین کنید.

ترجمه بین سیستم‌های باینری و هشت‌گانه به طور مشابه انجام می‌شود، فقط رقم هشتی مربوط به سه رقم باینری است (8 = 2 3)

حسابی

عملیات حسابی در یک سیستم موقعیتی با هر پایه طبق قوانین مشابه انجام می شود: جمع، تفریق و ضرب "در یک ستون" و تقسیم در "گوشه". بیایید به نمونه ای از انجام عملیات جمع و تفریق در سیستم های اعداد باینری، اکتال و هگزادسیمال نگاه کنیم.

اضافه

سیستم دودویی:

در رقم صفر: 1 + 0 = 0

در رقم اول: 1 + 1 = 2. 2 به بالاترین رقم (2) منتقل می شود و به یک واحد حمل تبدیل می شود. رقم اول 2 - 2 = 0 باقی می ماند.

در رقم دوم: 0 + 1 + 1 (حمل) = 2; به رتبه ارشد منتقل شد

در ادامه محاسبات به دست می آید:

10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2

سیستم اکتال:

ما محاسبات را مشابه سیستم باینری انجام می دهیم، اما 8 را به مهم ترین رقم منتقل می کنیم.

34261 8 + 4435 8 = 40716 8

سیستم هگزادسیمال:

A391 16 + 8534 16 = 128C5 16

منها کردن

سیستم دودویی:

سیستم شماره واحد

نیاز به نوشتن اعداد در زمان های قدیم پس از یادگیری شمارش در بین مردم شروع شد. گواه این امر، یافته های باستان شناسی در مکان های اردوگاه افراد بدوی است که به دوره پارینه سنگی (10 تا 11 دلار هزار دلار قبل از میلاد) باز می گردد. در ابتدا، تعداد اشیاء با استفاده از علائم خاصی به تصویر کشیده می شد: خط تیره، شکاف، دایره های مشخص شده روی سنگ، چوب یا خاک رس، و همچنین گره روی طناب.

تصویر 1.

دانشمندان به این سیستم ثبت اعداد می گویند واحد (یونی)، از آنجایی که عدد در آن با تکرار یک علامت تشکیل می شود که نماد یک است.

معایب سیستم:

هنگام نوشتن یک عدد بزرگ، لازم است از تعداد زیادی چوب استفاده شود.

هنگام استفاده از استیک ها می توان به راحتی اشتباه کرد.

بعداً برای آسان کردن شمارش، مردم شروع به ترکیب این علائم کردند.

مثال 1

نمونه هایی از استفاده از سیستم شماره واحد را می توان در زندگی ما یافت. به عنوان مثال، کودکان کوچک سعی می کنند سن خود را روی انگشتان خود به تصویر بکشند یا از چوب های شمارش برای آموزش شمارش در کلاس اول استفاده می کنند.

سیستم واحدکاملاً راحت نیست، زیرا مدخل ها بسیار طولانی به نظر می رسند و نوشتن آنها کاملاً خسته کننده است، بنابراین با گذشت زمان، سیستم های اعداد کاربردی تری ظاهر شدند.

در اینجا چند نمونه آورده شده است.

سیستم اعداد اعشاری غیر موقعیتی مصر باستان

این سیستم اعداد در حدود 3000 سال قبل از میلاد ظاهر شد. در نتیجه این واقعیت است که ساکنان مصر باستان سیستم عددی خود را ارائه کردند که در آن هنگام تعیین اعداد کلیدی $1$,10$,100$ و غیره. از هیروگلیف استفاده می شد که هنگام نوشتن روی لوح های گلی که جایگزین کاغذ می شد راحت بود. اعداد دیگری از آنها با استفاده از جمع ساخته شد. ابتدا عدد بالاترین مرتبه و سپس عدد پایین نوشته شد. مصریان ضرب و تقسیم شدند و پی در پی اعداد را دو برابر کردند. هر رقم می تواند تا 9 دلار بار تکرار شود. نمونه هایی از اعداد این سیستم در زیر آورده شده است.

شکل 2.

سیستم اعداد رومی

این سیستم اساساً تفاوت چندانی با سیستم قبلی ندارد و تا به امروز باقی مانده است. بر اساس علائم زیر است:

$I$ (یک انگشت) برای عدد $1$.

$V$ (کف باز) برای عدد $5$.

X$ (دو کف دست تا شده) به قیمت 10 دلار؛

برای نشان دادن اعداد 100 دلار، 500 دلار و 1000 دلار، از حروف اول کلمات لاتین مربوطه استفاده شده است. Сentum- یکصد، دمیمیل- نیم هزار، میل- هزار).

رومی ها هنگام نوشتن اعداد از قوانین زیر استفاده می کردند:

این عدد برابر است با مجموع مقادیر چندین "رقم" یکسان که در یک ردیف قرار دارند و گروهی از نوع اول را تشکیل می دهند.

اگر عدد کوچکتر در سمت چپ عدد بزرگتر باشد، این عدد برابر است با تفاوت مقادیر دو رقم. در این حالت، مقدار کوچکتر از مقدار بزرگتر کم می شود. آنها با هم گروهی از نوع دوم را تشکیل می دهند. در این حالت، «رقم» سمت چپ می‌تواند با حداکثر 1$ سفارش کمتر از رقم سمت راست باشد: فقط $X(10$) می‌تواند جلوی $L(50)$ و $C(100$) باشد. در میان «پایین‌ترین»ها، فقط X$(10$) می‌تواند جلوتر از $D(500$) و $M(1000$) باشد - فقط $C(100$)، قبل از $V(5) - I( 1) دلار.

این عدد برابر است با مجموع مقادیر گروه و "ارقام" که در گروه $1$ یا $2$ گنجانده نشده است.

شکل 3.

اعداد رومی از زمان های قدیم استفاده می شده است: آنها تاریخ، تعداد جلدها، بخش ها و فصل ها را نشان می دهند. من قبلاً فکر می کردم که اعداد معمولی عربی را می توان به راحتی جعل کرد.

سیستم های اعداد الفبایی

این سیستم های عددی پیشرفته تر هستند. اینها عبارتند از یونانی، اسلاو، فنیقی، یهودی و دیگران. در این سیستم ها، اعداد از 1 دلار تا 9 دلار، و همچنین تعداد ده ها (از 10 دلار تا 90 دلار)، صدها (از 100 دلار تا 900 دلار) با حروف الفبا مشخص می شدند.

در سیستم اعداد الفبای یونان باستان، اعداد $1، 2، ...، 9$ با 9 حرف اول الفبای یونانی و غیره نشان داده می شد. از حروف $9$ زیر برای نشان دادن اعداد $10, 20, ..., 90$ و آخرین حروف $9$ برای نشان دادن اعداد $100, 200, ..., 900$ استفاده شده است.

در میان مردم اسلاو، مقادیر عددی حروف مطابق با ترتیب الفبای اسلاوی ایجاد شد، که در ابتدا از الفبای گلاگولیتیک و سپس از الفبای سیریلیک استفاده می شد.

شکل 4.

یادداشت 1

سیستم الفبایی در روسیه باستان نیز مورد استفاده قرار می گرفت. تا پایان قرن هفدهم، از حروف سیریلیک 27 دلاری به عنوان اعداد استفاده می شد.

سیستم های اعداد غیر موقعیتی دارای تعدادی معایب قابل توجه هستند:

نیاز دائمی به معرفی نمادهای جدید برای ثبت اعداد بزرگ وجود دارد.

نمایش اعداد کسری و منفی غیرممکن است.

انجام عملیات حسابی دشوار است زیرا هیچ الگوریتمی برای انجام آنها وجود ندارد.