مجتمع آموزشی سه شنبه. سیستم های اعداد انتقال از یک سیستم به سیستم دیگر

قانون.برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر، باید عدد اصلی را بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید. ضریب حاصل را دوباره بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کرده و تا آن زمان تقسیم را ادامه دهید. تا زمانی که ضریب از پایه سیستم اعداد جدید کمتر شود. باقیمانده تقسیم حاصل، از آخرین، به ترتیب معکوس نوشته می شود. این ثبت شماره در سیستم شماره جدید خواهد بود.

مثال.عدد 135 را از SS اعشاری به سیستم های اعداد 2 آری، اکتالی و هگزادسیمال تبدیل کنید.

وظیفه 2.

اعداد زیر را به SS باینری، اکتال و هگزادسیمال تبدیل کنید: 1275,973, 172

تبدیل معکوس اعداد از هر SS به اعشاری.

1) برای تبدیل یک عدد از هر SS به SS اصلی (ترجمه معکوس)،باید هر رقم این عدد را در پایه SS اصلی ضرب کنید. از رقم صفر از راست به چپ شروع کنید و محصولات را اضافه کنید. اگر کسری اعشاری را تبدیل می کنید، باید قانون نوشتن اعداد صحیح و کسری عدد را اعمال کنید.

2) ترجمه معکوس اعداد طبق فرمول انجام می شود:

که در آن A یک عدد معین است،

g – پایه SS یک عدد معین (=2 برای 2-ary اس اس،برای سایر SS - مشابه)،

m - تعداد ارقام در قسمت صحیح عدد.

n - تعداد ارقام در قسمت کسری عدد،

الف - مقدار ارقام یک عدد معین (قسمت کسری عدد با رنگ آبی مشخص شده است).

110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10

66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10

13.4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0.5=11.5 10 (این عدد یک کسر اعشاری است)

وظیفه 3.

اعداد زیر را به SS اعشاری تبدیل کنید:

101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2

125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8

A19BA 16 = 2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16

ترجمه اعداد با پایه که توان 2 است و ترجمه معکوس.این سیستم ها شامل سیستم های اعداد باینری، اکتالی و هگزادسیمال می باشند.

قانون. تبدیل از SS باینری به SS اکتال. عدد باینری از انتها به گروه های 3 رقمی (از راست به چپ) تقسیم می شود و هر گروه در یک SS جدید به یک عدد تبدیل می شود.

10.000.101 2 =205 8

111.000.101.100 2 =7054 8

1.011.001.101 2 =1315 8

قانون. برای تبدیل معکوس، هر رقم اکتال به صورت سه گانه نوشته می شود.

قانون. از SS باینری تا SS هگزادسیمال: مشابه، اما هر کدام 4 رقم مجزا

0110.0110.1011 2 = 66B 16

1011.1111.0111 2 =BF7 16

10.1010.0111.0001 2 =2A71 16

قانون. برای تبدیل معکوس، هر رقم هگزا دسیمال به صورت تتراد نوشته می شود.

ترجمه کسرهای مناسب و نامناسب در SS های مختلف.اگر نیاز به تبدیل کسر دارید، ابتدا باید آن را به اعشار تبدیل کنید و سپس قوانین تبدیل کسرهای اعشاری را اعمال کنید.

قانون. تبدیل کسرهای اعشاری کمتر از یک (کسری مناسب).

1) لازم است قسمت کسری را با یک خط عمودی جدا کنید.

2) بخش کسری را بر اساس سیستم اعداد جدید ضرب کنید.

3) نتیجه را دقیقاً زیر عدد اصلی بنویسید و از کمترین رقم شروع کنید. اگر انتقالی به کل قسمت دریافت کردید، آن را در سمت چپ خط بنویسید.

4) ضرب جزء کسری تا زمانی انجام می شود که عددی با دقت مشخص به دست آید یا در سمت راست خط 0 وجود نداشته باشد.

0,728 10 =0,564 8

وظیفه 4.کسرهای مناسب زیر را از SS اعشاری به SS باینری، اکتال، هگزادسیمال تبدیل کنید: .

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر بخش مهمی از محاسبات ماشین است. بیایید قوانین اساسی ترجمه را در نظر بگیریم.

1. برای تبدیل یک عدد دودویی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان مربوط به 2 نوشته و بر اساس قوانین آن محاسبه شود. حساب اعشاری:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های دو راحت است:

جدول 4. قدرت های شماره 2

مثال.

2. برای تبدیل یک عدد اکتالی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 8 یادداشت و بر اساس قوانین اعشاری محاسبه کرد. حسابی:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول توان های هشت راحت است:

جدول 5. قدرت های عدد 8

مثال.عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

3. برای تبدیل یک عدد هگزادسیمال به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 16 نوشته و با توجه به عدد 16 محاسبه شود. قوانین حساب اعشاری:

هنگام ترجمه، استفاده از آن راحت است بلیتز از قدرت های شماره 16:

جدول 6. قدرت های عدد 16

مثال.عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

4. برای تبدیل یک عدد اعشاری به سیستم دودویی، باید آن را به ترتیب بر 2 تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده ای کمتر یا مساوی 1 باقی بماند، یک عدد در سیستم باینری به عنوان دنباله ای از نتیجه آخرین تقسیم نوشته می شود و باقیمانده ها از تقسیم به ترتیب معکوس

مثال.عدد را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

5. برای تبدیل یک عدد اعشاری به سیستم هشتی، باید آن را به ترتیب بر 8 تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 باقی بماند. یک عدد در سیستم هشتی به صورت دنباله ای از ارقام حاصل آخرین تقسیم نوشته می شود و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس

مثال.عدد را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

6. برای تبدیل یک عدد اعشاری به سیستم هگزا دسیمال، باید به ترتیب بر 16 تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 باشد. باقی مانده از تقسیم به ترتیب معکوس.

مثال.عدد را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

برچسب ها: سیستم اعداد، ترجمه سیستم اعداد، سیستم های اعداد مرتبط

تغییر پایه برای سیستم های اعداد موقعیتی

در یک سیستم اعداد موقعیتی با پایه q، یک عدد را می توان به صورت چند جمله ای نشان داد

… + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + …

که در آن ضرایب a i ارقام سیستم اعداد با پایه q هستند.

به عنوان مثال، در سیستم اعداد اعشاری

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

تعداد ارقام در یک سیستم اعداد با پایه q برابر است با q و رقم حداکثر q - 1 است. یک رقم نمی تواند برابر با q شود، زیرا در این صورت واحد به یک رقم جدید منتقل می شود.

به عنوان مثال، شما باید حداقل پایه سیستم اعدادی را که در آن عدد 7832 نوشته شده است، پیدا کنید، چون حداکثر رقم 8 است، پس حداقل مقدار q = 8 + 1 = 9 است.

اساس یک سیستم اعداد در اصل می تواند هر عددی باشد: عدد صحیح، منفی، گویا، غیر منطقی، مختلط و غیره. ما فقط پایه های اعداد صحیح مثبت را در نظر خواهیم گرفت.

مورد توجه ویژه ما پایه 2 و پایه هایی هستند که قدرت های دو - 8 و 16 هستند.

در صورتی که پایه با. با. بیش از ده، سپس اعداد جدید به ترتیب از حروف الفبا گرفته می شوند. به عنوان مثال، برای سیستم هگزادسیمال این اعداد 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F خواهد بود.

تبدیل کل قسمت سیستم اعداد اعشاری

اولین راه برای تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد n، تقسیم متوالی عدد بر پایه جدید است.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)

ما به ترتیب معکوس، ابتدا آخرین مقدار (این 0 است)، سپس از بالا به پایین تمام باقیمانده ها را جمع آوری می کنیم. 0A3 = A3 می گیریم

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

با کنار هم قرار دادن آن، به 10723 می رسیم

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

کنار هم قرار دادن: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

ما 01000100001 = 1000100001 جمع آوری می کنیم

ترجمه روی کاغذ معمولاً با تقسیم به یک ستون انجام می شود. تا زمانی که تقسیم به صفر برسد، هر پاسخ بعدی بر مبنای c تقسیم می شود. با. در پایان، پاسخ از باقی مانده تقسیم جمع آوری می شود.

همچنین اغلب امکان تبدیل یک عدد به s دیگر وجود دارد. با. ، اگر از نظر ذهنی آن را به عنوان مجموع توان های پایه مربوطه تصور کنیم که می خواهیم عدد را به آن تبدیل کنیم.

به عنوان مثال، 129 واضح است 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

تبدیل یک جزء صحیح به سیستم اعداد اعشاری

ترجمه با استفاده از نمایش عدد در سیستم اعداد موقعیتی انجام می شود. لازم است A3 12 → X 10 ترجمه شود. معلوم است که A3 3∙q 0 + A∙q 1 است، یعنی 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

ترجمه روی کاغذ معمولاً به شرح زیر انجام می شود. شماره مدرک به ترتیب بالای هر عدد نوشته می شود. سپس تمام شرایط نوشته شده است.

تبدیل جزء کسری از سیستم اعشاری

هنگام تبدیل یک جزء کسری، اغلب موقعیتی رخ می دهد که یک کسر اعشاری محدود به یک نامتناهی تبدیل شود. بنابراین، معمولاً هنگام ترجمه، دقت لازم برای ترجمه نشان داده می شود. ترجمه با ضرب متوالی قسمت کسری در پایه سیستم اعداد انجام می شود. کل قسمت به عقب تا می شود و به بخشی از کسر تبدیل می شود.

0.625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 - ضرب بیشتر فقط صفرها را تولید می کند
با جمع آوری از بالا به پایین، 0.101 دریافت می کنیم

0.310 → X2 0.3 * 2 = 0.6 (0) 0.6 * 2 = 1.2 (1) 0.2 * 2 = 0.4 (0) 0.4 * 2 = 0.8 (0) 0.8 * 2 = 1.6 (1) 0.6 * 2 (1 = 1. )

0.2 ... کسر تناوبی می گیریم
جمع می کنیم، 0.0100110011001 می گیریم... = 0.0 (1001)

0.64510 → X5 0.645 * 5 = 3.225 (3) 0.255 * 5 = 1.275 (1) 0.275 * 5 = 1.375 (1) 0.375 * 5 = 1.875 (1) 0.875 (1) 0.875 (1) 75 (1) ...

0.3111414… = 0.311(14)

تبدیل جزء کسری به سیستم اعشاری

به طور مشابه ترجمه یک قسمت صحیح انجام می شود، با ضرب رقم رقم در پایه به درجه ای برابر با موقعیت رقم در عدد.

0.101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0.134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

انتقال از یک سیستم اعداد دلخواه به یک سیستم دلخواه

تبدیل از یک سیستم اعداد دلخواه به یک سیستم اعداد دلخواه. با. با استفاده از اعشار انجام شد. با.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

مثلا

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

سیستم های اعداد مرتبط

سیستم‌های اعداد زمانی مرتبط نامیده می‌شوند که پایه‌های آن‌ها توان‌های یک عدد باشند. به عنوان مثال، 2، 4، 8، 16. ترجمه بین سیستم های اعداد مرتبط را می توان با استفاده از جدول انجام داد.

برای تبدیل از یک سیستم اعداد مرتبط به سیستم دیگر، ابتدا باید عدد را به سیستم باینری تبدیل کنید. برای تبدیل به سیستم اعداد باینری، هر رقم از یک عدد با دو (برای چهارتایی)، سه (برای هشت) یا چهار (برای هگزا دسیمال) جایگزین می شود.

برای 123 4، یک با 01، دو با 10، سه با 11 جایگزین می شود، ما 11011 2 را دریافت می کنیم.

برای 5721 8 به ترتیب 101، 111، 010، 001، کل 101111010001 2

برای E12 16 ما 111000010010 2 دریافت می کنیم

برای تبدیل از سیستم باینری، باید عدد را به دو (چهارم)، سه تا (هشتم) یا چهار اعداد (شانزدهم) تقسیم کنید و سپس آنها را با مقادیر مربوطه جایگزین کنید.

وقتی شبکه‌هایی با اندازه‌های مختلف راه‌اندازی می‌کنید و هر روز با محاسبات سر و کار دارید، نیازی به ایجاد این نوع برگه تقلب ندارید، همه چیز بر اساس یک رفلکس بدون قید و شرط انجام می‌شود. اما وقتی خیلی به ندرت در شبکه‌ها جستجو می‌کنید، همیشه به یاد نمی‌آورید که ماسک به صورت اعشاری برای پیشوند 21 یا آدرس شبکه برای همان پیشوند چیست. در این راستا تصمیم گرفتم چندین مقاله کوچک بنویسم - برگه های تقلب در مورد تبدیل اعداد به سیستم های اعداد مختلف، آدرس های شبکه، ماسک ها و غیره. در این قسمت در مورد تبدیل اعداد به سیستم های اعداد مختلف صحبت خواهیم کرد.

1. سیستم های اعداد

زمانی که شما هر کاری مرتبط با شبکه های کامپیوتری و فناوری اطلاعات انجام می دهید، به هر حال با این مفهوم مواجه خواهید شد. و به عنوان یک مرد هوشمند فناوری اطلاعات، باید حداقل کمی این را درک کنید، حتی اگر در عمل بسیار به ندرت از آن استفاده کنید.
بیایید به ترجمه هر رقم از یک آدرس IP نگاه کنیم 98.251.16.138 در سیستم های شماره زیر:

• دودویی
• هشتی
• اعشاری
• هگزادسیمال

1.1 اعشاری

از آنجایی که اعداد به صورت اعشاری نوشته می شوند، از تبدیل اعشاری به اعشاری صرف نظر می کنیم :)

1.1.1 اعشاری → باینری

همانطور که می دانیم، سیستم اعداد باینری تقریباً در تمام رایانه های مدرن و بسیاری از دستگاه های محاسباتی دیگر استفاده می شود. سیستم بسیار ساده است - ما فقط 0 و 1 داریم.
برای تبدیل یک عدد با ده به شکل باینری، باید از مدول تقسیم 2 (یعنی تقسیم عدد صحیح بر 2) استفاده کنید، در نتیجه همیشه یک باقیمانده 1 یا 0 خواهیم داشت. در این حالت، نتیجه از راست به چپ نوشته شده است یک مثال همه چیز را در جای خود قرار می دهد:

شکل 1.1 - تبدیل اعداد از سیستم اعشاری به باینری

شکل 1.2 - تبدیل اعداد از سیستم اعشاری به باینری

من تقسیم عدد 98 را شرح می دهم. 98 را بر 2 تقسیم می کنیم در نتیجه 49 داریم و باقیمانده 0 می شود. بعد تقسیم را ادامه می دهیم و 49 را بر 2 تقسیم می کنیم در نتیجه 24 با باقیمانده 1 خواهیم داشت. و به همین ترتیب به 1 یا 0 در بخش پذیر می رسیم. سپس نتیجه را از راست به چپ می نویسیم.

1.1.2 اعشاری → هشتی

سیستم هشتی یک سیستم اعداد صحیح با پایه 8 است. همه اعداد موجود در آن در محدوده 0 تا 7 نشان داده شده اند و برای تبدیل از سیستم اعشاری باید از مدول تقسیم 8 استفاده کنید.

شکل 1.3 - تبدیل اعداد از سیستم اعشاری به هشتی

تقسیم بندی مشابه سیستم 2 نقطه ای است.

1.1.3 اعشاری → هگزادسیمال

سیستم هگزادسیمال تقریباً به طور کامل جایگزین سیستم اکتال شده است. پایه آن 16 است، اما از ارقام اعشاری از 0 تا 9 + حروف لاتین از A (شماره 10) تا F (شماره 15) استفاده می کند. هر بار که تنظیمات آداپتور شبکه خود را بررسی می کنید با آن مواجه می شوید - این آدرس MAC است. زمانی که از IPv6 استفاده می شود نیز همینطور است.

شکل 1.4 - تبدیل اعداد از اعشار به هگزادسیمال

1.2 باینری

در مثال قبلی، تمام اعداد اعشاری را به سیستم های اعداد دیگری تبدیل کردیم که یکی از آنها باینری است. حالا بیایید هر عدد را از فرم باینری تبدیل کنیم.

1.2.1 باینری → اعشاری

برای تبدیل اعداد از دودویی به اعشاری، باید دو نکته را بدانید. اولی این است که هر صفر و یک دارای ضریب 2 به توان n هستند که در آن n دقیقاً به اندازه یک از راست به چپ افزایش می یابد. دوم اینکه بعد از ضرب باید همه اعداد جمع شوند و عدد را به صورت اعشاری بدست آوریم. در نتیجه فرمولی مانند زیر خواهیم داشت:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…، (1.2.1)

جایی که،
D عدد اعشاری است که ما به دنبال آن هستیم.
n- تعداد کاراکترها در یک عدد باینری؛
الف - یک عدد به شکل دودویی در موقعیت nام (یعنی کاراکتر اول، دوم و غیره).
p – ضریب برابر 2.8 یا 16 به توان n(بسته به سیستم اعداد)

به عنوان مثال، بیایید عدد 110102 را در نظر بگیریم. به فرمول نگاه می کنیم و می نویسیم:

• عدد شامل 5 کاراکتر ( n=5)

a 5 = 1، a 4 = 1، a 3 = 0، a 2 = 1، a 1 = 0

• p = 2 (از آنجایی که ما از باینری به اعشاری تبدیل می کنیم)

در نتیجه داریم:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

برای کسانی که عادت دارند از راست به چپ بنویسند، فرم به این صورت خواهد بود:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

اما، همانطور که می دانیم، تنظیم مجدد شرایط، مجموع را تغییر نمی دهد. حالا بیایید اعداد خود را به شکل اعشاری تبدیل کنیم.

شکل 1.5 - تبدیل اعداد از سیستم باینری به اعشاری

1.2.2 باینری → اکتال

هنگام ترجمه، باید عدد باینری را به گروه های سه کاراکتری از راست به چپ تقسیم کنیم. اگر آخرین گروه از سه کاراکتر تشکیل نشده باشد، به سادگی بیت های از دست رفته را با صفر جایگزین می کنیم. به عنوان مثال:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

هر گروه از بیت ها یکی از اعداد اکتالی است. برای اینکه بفهمید کدام یک، باید از فرمول 1.2.1 که در بالا نوشته شده برای هر گروه از بیت ها استفاده کنید. در نتیجه بدست می آوریم.

شکل 1.6 - تبدیل اعداد از سیستم باینری به هشتی

1.2.3 باینری → هگزادسیمال

در اینجا باید عدد باینری را به گروه‌های چهار کاراکتری از راست به چپ تقسیم کنیم و به دنبال آن صفرهایی را به بیت‌های از دست رفته گروه اضافه کنیم، همانطور که در بالا توضیح داده شد. اگر آخرین گروه از صفر تشکیل شده باشد، باید آنها را نادیده گرفت.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

هر گروه از بیت ها یکی از اعداد هگزادسیمال است. برای هر گروه از بیت ها از فرمول 1.2.1 استفاده می کنیم.

شکل 1.7 - تبدیل اعداد از باینری به هگزادسیمال

1.3 اکتال

در این سیستم، ممکن است فقط هنگام تبدیل به هگزادسیمال با مشکل مواجه شویم، زیرا بقیه ترجمه به راحتی انجام می شود.

1.3.1 Octal → Binary

هر عدد در سیستم اکتال گروهی از سه بیت در سیستم دودویی است، همانطور که در بالا توضیح داده شد. برای ترجمه، باید از یک برگه تقلب استفاده کنیم:

شکل 1.8 - خار برای تبدیل اعداد از سیستم اکتال

با استفاده از این تبلت اعداد خود را به سیستم باینری تبدیل می کنیم.

شکل 1.9 - تبدیل اعداد از هشتی به باینری

نتیجه گیری را کمی شرح می دهم. عدد اول ما 142 است، به این معنی که سه گروه سه بیتی وجود خواهد داشت. از خار استفاده می کنیم و می بینیم که عدد 1 001، عدد 4 100 و عدد 2 010 است. در نتیجه عدد 001100010 را داریم.

1.3.2 Octal → Decimal

در اینجا ما از فرمول 1.2.1 فقط با ضریب 8 (یعنی p=8) استفاده می کنیم. در نتیجه داریم

شکل 1.10 – تبدیل اعداد از سیستم هشتی به اعشاری

• عدد شامل 3 کاراکتر ( n=3)

a 3 = 1، a 2 = 4، a 1 = 2

• p = 8 (از آنجایی که ما از هشتی به اعشاری تبدیل می کنیم)

در نتیجه داریم:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 اکتال → هگزادسیمال

همانطور که قبلاً نوشته شد، برای ترجمه، ابتدا باید اعداد را به سیستم باینری تبدیل کنیم، سپس از باینری به هگزادسیمال، آنها را به گروه های 4 بیتی تقسیم کنیم. می توانید از اسپور زیر استفاده کنید.

شکل 1.11 - خار برای تبدیل اعداد از سیستم هگزادسیمال

این جدول به شما کمک می کند تا از باینری به هگزادسیمال تبدیل شوید. حالا بیایید اعداد خود را تبدیل کنیم.

شکل 1.12 - تبدیل اعداد از هشتی به هگزادسیمال

1.4 هگزادسیمال

این سیستم در هنگام تبدیل به اکتال نیز همین مشکل را دارد. اما در ادامه بیشتر در مورد آن.

1.4.1 هگز → باینری

هر عدد در هگزادسیمال گروهی از چهار بیت به صورت باینری است، همانطور که در بالا توضیح داده شد. برای ترجمه، می توانیم از برگه تقلب موجود در بالا استفاده کنیم. در نتیجه:

شکل 1.13 - تبدیل اعداد از هگزادسیمال به باینری

بیایید اولین عدد را بگیریم - 62. با استفاده از جدول (شکل 1.11) می بینیم که 6 برابر 0110، 2 ​​برابر با 0010 است، در نتیجه عدد 01100010 را داریم.

1.4.2 هگز → اعشار

در اینجا ما از فرمول 1.2.1 فقط با ضریب 16 (یعنی p=16) استفاده می کنیم. در نتیجه داریم

شکل 1.14 - تبدیل اعداد از هگزادسیمال به اعشاری

بیایید عدد اول را بگیریم. بر اساس فرمول 1.2.1:

• عدد شامل 2 کاراکتر ( n=2)

a 2 = 6، a 1 = 2

• p = 16 (از آنجایی که ما از هگزادسیمال به اعشاری تبدیل می کنیم)

در نتیجه داریم.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hex → Octal

برای تبدیل به سیستم هشتگانه، ابتدا باید به باینری تبدیل کنید، سپس آن را به گروه های 3 بیتی تقسیم کرده و از جدول استفاده کنید (شکل 1.8). در نتیجه:

شکل 1.15 – تبدیل اعداد از هگزا دسیمال به هشتی

ما در مورد آدرس های IP، ماسک ها و شبکه ها صحبت خواهیم کرد.

یادداشت 1

اگر می خواهید عددی را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید، بهتر است ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و تنها پس از آن آن را از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری تبدیل کنید.

قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری

در فناوری محاسباتی که از محاسبات ماشینی استفاده می کند، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی ایفا می کند. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) را ارائه می دهیم.

هنگام تبدیل یک عدد باینری به اعشاری، باید عدد باینری را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد $2$ نمایش داده می شود. و سپس باید چند جمله ای را با استفاده از قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

شکل 1. جدول 1

مثال 1

عدد $11110101_2$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول داده شده از توان های $1$ پایه $2$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 16 +3 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10) دلار

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هشتگانه به سیستم اعداد اعشاری، باید آن را به صورت یک چند جمله ای نشان دهید که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه در این نشان داده می شود. مورد 8$ است و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

X_8 $ = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

شکل 2. جدول 2

مثال 2

عدد $75013_8$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول داده شده از توان های $2$ پایه $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

برای تبدیل یک عدد از هگزادسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 16 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

شکل 3. جدول 3

مثال 3

عدد $FFA2_(16)$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول داده شده از توان های $3$ از پایه $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قوانین تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم باینری، باید آن را به ترتیب بر 2 دلار تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 1 دلار باشد. یک عدد در سیستم دودویی به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقی مانده از تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.

مثال 4

عدد $22_(10)$ را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 4.

$22_{10} = 10110_2$

• برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به هشتی، باید به ترتیب بر 8 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باشد. یک عدد در سیستم اعداد اکتالی به صورت دنباله ای از ارقام حاصل آخرین تقسیم و باقی مانده از تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.

مثال 5

عدد $571_(10)$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 5.

$571_{10} = 1073_8$

• برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم هگزا دسیمال، باید متوالی بر 16 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. یک عدد در سیستم هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام حاصل آخرین تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نمایش داده می شود.

مثال 6

عدد $7467_(10)$ را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

برای تبدیل یک کسر مناسب از یک سیستم اعداد اعشاری به یک سیستم اعداد غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد در حال تبدیل را به صورت متوالی در پایه سیستمی که باید به آن تبدیل شود ضرب کرد. کسری ها در سیستم جدید به عنوان بخش های کامل از محصولات نشان داده می شوند که از اول شروع می شود.

به عنوان مثال: $0.3125_((10))$ در سیستم اعداد اکتالی مانند $0.24_((8))$ خواهد بود.

در این حالت، زمانی که یک کسر اعشاری متناهی می تواند با کسری نامتناهی (تناوبی) در سیستم اعداد غیر اعشاری مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این مورد، تعداد ارقام در کسر نشان داده شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح به صورت اعداد صحیح باقی می مانند و کسرهای مناسب در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد باینری به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع شود، در صورت لزوم، صفرها را به سه گانه پیشرو اضافه کرد، سپس هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. مطابق جدول 4.

شکل 7. جدول 4

مثال 7

عدد $1001011_2$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل. با استفاده از جدول 4، عدد را از سیستم اعداد باینری به هشتی تبدیل می کنیم:

$001 001 011_2 = 113_8$

• برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد باینری به هگزا دسیمال، باید آن را به تترادها (چهار رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع شود، در صورت لزوم، صفرها را به مهم ترین تتراد اضافه کرد، سپس هر تتراد را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. مطابق جدول 4.