احتمال اینکه یک متغیر تصادفی توزیع شده عادی در یک بازه معین قرار گیرد. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه معین احتمال سقوط یک متغیر تصادفی x در یک بازه

اشکال تنظیم قانون توزیع برای متغیرهای تصادفی پیوسته

اشکال تنظیم قانون توزیع متغیرهای تصادفی گسسته

1). جدول (ردیف) توزیع - ساده ترین شکل تنظیم قانون توزیع متغیرهای تصادفی گسسته.

از آنجایی که جدول تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی را فهرست می کند.

2). چند ضلعی توزیع . در نمایش گرافیکی یک سری توزیع در یک سیستم مختصات مستطیلی، تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی در امتداد محور ابسیسا و احتمالات مربوطه در امتداد محور ارتین رسم می‌شوند. سپس نقاط اعمال شده و توسط بخش های خط مستقیم به هم متصل می شوند. شکل حاصل - چندضلعی توزیع - نیز شکلی از مشخص کردن قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته است.

3). تابع توزیع - احتمال اینکه یک متغیر تصادفی X مقداری کمتر از مقدار x داده شده به خود بگیرد، یعنی

از نظر هندسی می توان آن را احتمال برخورد با یک نقطه تصادفی در نظر گرفت ایکسبه قسمتی از محور عددی واقع در سمت چپ نقطه ثابت ایکس.

2) ; ;

وظیفه 2.1.مقدار تصادفی ایکس- تعداد ضربه به هدف با 3 شلیک (به کار 1.5 مراجعه کنید). یک سری توزیع، یک چند ضلعی توزیع بسازید، مقادیر تابع توزیع را محاسبه کنید و نمودار آن را بسازید.

راه حل:

1) سری توزیع یک متغیر تصادفی ایکسدر جدول ارائه شده است

رسم در امتداد آبسیسا ارزش ایکس،و در امتداد محور y - مقادیر و انتخاب یک مقیاس خاص، نمودار تابع توزیع را دریافت می کنیم (شکل 2.2). تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته دارای جهش (ناپیوستگی) در نقاطی است که متغیر تصادفی ایکسمقادیر مشخصی را که در جدول توزیع مشخص شده است می گیرد. مجموع تمام جهش ها در تابع توزیع برابر با یک است.

برنج. 2.2 - تابع توزیع مقدار گسسته

1). تابع توزیع .

برای یک متغیر تصادفی پیوسته، نمودار تابع توزیع (شکل 2.3) شکل یک منحنی صاف دارد.

ویژگی های تابع توزیع:

ج) اگر .

برنج. 2.3 - تابع توزیع یک مقدار پیوسته

2). چگالی توزیع که تعریف میشود مشتق تابع توزیع، یعنی.

منحنی که چگالی توزیع یک متغیر تصادفی را نشان می دهد، نامیده میشود منحنی توزیع (شکل 2.4).

خواص چگالی:

و آنها. چگالی یک تابع غیر منفی است.

ب) یعنی منطقه محدود منحنی توزیع و محور x همیشه 1 است.

اگر تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی باشد ایکسمحصور در داخل آقبل از ب، سپس خاصیت چگالی دوم به شکل زیر در می آید:

برنج. 2.4 - منحنی توزیع

در عمل، اغلب لازم است که احتمال یک متغیر تصادفی را بدانیم ایکسمقداری در محدوده ای مانند از a تا b به خود می گیرد. احتمال مورد نظر برای متغیر تصادفی گسسته ایکسبا فرمول تعیین می شود

از آنجایی که احتمال هر مقدار منفرد از یک متغیر تصادفی پیوسته برابر با صفر است: .

احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی پیوسته ایکسدر بازه (a,b) نیز با عبارت:

وظیفه 2.3.مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع داده می شود

چگالی و همچنین احتمال اینکه در نتیجه آزمون، متغیر تصادفی را بیابید ایکسمقدار محصور شده در بازه را می گیرد.

راه حل:

2. احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی ایکسدر فاصله با فرمول تعیین می شود. گرفتن و، پیدا می کنیم

پراکندگی یک متغیر تصادفی عادی

پراکندگیمتغیر تصادفی انتظار ریاضی مربع متغیر تصادفی متمرکز مربوطه است.

درجه گسترش مقادیر یک متغیر تصادفی را نسبت به انتظارات ریاضی آن مشخص می کند، به عنوان مثال. عرض محدوده ارزش

فرمول های محاسبه:

پراکندگی را می توان بر حسب دومین لحظه اولیه محاسبه کرد:

(6.10)

پراکندگی یک متغیر تصادفی، درجه پراکندگی (پراکندگی) مقادیر یک متغیر تصادفی را نسبت به انتظارات ریاضی آن مشخص می کند. پراکندگی SW (هم گسسته و هم پیوسته) یک کمیت غیر تصادفی (ثابت) است.

واریانس SW دارای بعد مربع یک متغیر تصادفی است. برای وضوح، مشخصه های پراکندگی از کمیتی استفاده می کنند که ابعاد آن با ابعاد SW مطابقت دارد.

انحراف معیار (RMS) SW ایکسمشخصه نامیده می شود

. (6.11)

RMS در همان واحدهای فیزیکی SW اندازه گیری می شود و عرض محدوده مقادیر SW را مشخص می کند.

خواص پراکندگی

ثابت پراکندگی بابرابر با صفر است.

اثبات: با تعریف واریانس

هنگامی که به یک متغیر تصادفی اضافه می شود ایکسمقدار غیر تصادفی باواریانس آن تغییر نمی کند.

D[ایکس+ج] = D[ایکس].

اثبات: با تعریف واریانس

(6.12)

3. هنگام ضرب یک متغیر تصادفی ایکسبه مقدار تصادفی باواریانس آن ضرب می شود از 2.

اثبات: با تعریف واریانس

. (6.13)

برای انحراف استاندارد، این ویژگی به شکل زیر است:

(6.14)

در واقع، وقتی ½C½>1، مقدار cX دارای مقادیر ممکن (در مقدار مطلق) بیشتر از مقدار X است. بنابراین، این مقادیر در اطراف انتظارات ریاضی پراکنده می شوند. م[cX] بیشتر از مقادیر ممکن است ایکسدور و بر م[ایکس]، یعنی . اگر 0<½с½<1, то .

قانون 3.برای اکثر مقادیر یک متغیر تصادفی، مقدار مطلق انحراف آن از انتظارات ریاضی از سه برابر انحراف استاندارد تجاوز نمی کند، یا به عبارت دیگر، تقریباً تمام مقادیر CV در فاصله زمانی قرار دارند:

[ متر - 3س; متر + 3 s; ].(6.15)

احتمال سقوط به یک بازه معین از یک متغیر تصادفی نرمال

همانطور که قبلا مشخص شد، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری متعلق به بازه را بگیرد برابر با انتگرال معینی از چگالی توزیع است که در محدوده های مناسب گرفته شده است:
.
به ترتیب برای یک متغیر تصادفی توزیع شده عادی، به دست می آوریم:
.
بیایید آخرین عبارت را با معرفی یک متغیر جدید تبدیل کنیم . بنابراین، توان عبارت زیر انتگرال به زیر تبدیل می شود:
.
برای جایگزینی یک متغیر در یک انتگرال معین، هنوز باید دیفرانسیل و حدود انتگرال را جایگزین کرد، زیرا قبلاً متغیر را از فرمول جایگزینی بیان کرده بودیم:
;
;
حد پایین ادغام است.
حد بالایی یکپارچگی است.
(برای یافتن حدود ادغام با توجه به متغیر جدید، و آیا حدود ادغام با توجه به متغیر قدیمی به فرمول تغییر متغیر جایگزین شدند).
همه چیز را در آخرین فرمول برای یافتن احتمال جایگزین کنید:


جایی که تابع لاپلاس است.
نتیجه گیری: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال مقداری متعلق به بازه را بگیرد برابر است با:
,
جایی که انتظار ریاضی است، انحراف معیار متغیر تصادفی داده شده است.

23. توزیع کای دو، دانشجو و فیشر

توزیع نرمال سه توزیع را تعریف می کند که امروزه معمولاً در پردازش داده های آماری استفاده می شود. در بخش های بعدی کتاب بارها با این توزیع ها مواجه شده است.

توزیع پیرسون (کی - مربع) - توزیع یک متغیر تصادفی

که در آن متغیرهای تصادفی X 1، X 2،…، X nمستقل هستند و توزیع یکسانی دارند ن(0.1). در این مورد، تعداد اصطلاحات، یعنی. n، "تعداد درجات آزادی" توزیع کای اسکوئر نامیده می شود.

توزیع خی دو در تخمین واریانس (با استفاده از فاصله اطمینان)، در آزمایش فرضیه های توافق، همگنی، استقلال، در درجه اول برای متغیرهای کیفی (دسته بندی شده) که تعداد محدودی از مقادیر را به خود می گیرند، و در بسیاری از کارهای آماری دیگر استفاده می شود. تحلیل داده ها.

توزیع تیدانش آموز توزیع یک متغیر تصادفی است

که در آن متغیرهای تصادفی Uو ایکسمستقل، Uدارای توزیع نرمال استاندارد است ن(0،1) و ایکس– توزیع چی – مربع با nدرجه آزادی. که در آن n"تعداد درجات آزادی" توزیع دانش آموز نامیده می شود.

توزیع دانش آموز در سال 1908 توسط آماردان انگلیسی W. Gosset که در یک کارخانه آبجو کار می کرد، معرفی شد. برای تصمیم گیری های اقتصادی و فنی در این کارخانه از روش های احتمالی-آماری استفاده می شد، بنابراین مدیریت آن V. Gosset را از انتشار مقالات علمی به نام خود منع کرد. به این ترتیب، یک اسرار تجاری، "دانش چگونه" در قالب روش های احتمالی-آماری توسعه یافته توسط W. Gosset محافظت شد. با این حال او توانست با نام مستعار «دانشجو» منتشر کند. تاریخچه Gosset-Student نشان می دهد که صد سال پیش، کارایی اقتصادی زیاد روش های احتمالی-آماری برای مدیران انگلیسی آشکار بود.

در حال حاضر، توزیع دانشجویی یکی از شناخته شده ترین توزیع هایی است که در تجزیه و تحلیل داده های واقعی استفاده می شود. در تخمین انتظارات ریاضی، ارزش پیش‌بینی و سایر ویژگی‌ها با استفاده از فواصل اطمینان، آزمون فرضیه‌های مربوط به مقادیر انتظارات ریاضی، ضرایب رگرسیون، فرضیه‌های همگنی نمونه و غیره استفاده می‌شود. .

جایی که - تابع لاپلاس انتگرال، در جدول آورده شده است.

از خواص یک انتگرال معین Ф (- ایکس)= - Ф( ایکس) یعنی تابع Ф( ایکس) عجیب است.

از این فرمول (مشتق) زیر مشتق می شود:

با فرض: الف) d=s

قانون سه سیگما (3s):تقریباً مطمئن است که در یک آزمون واحد، انحراف یک متغیر تصادفی توزیع شده عادی از انتظارات ریاضی آن از سه برابر انحراف استاندارد تجاوز نمی کند.

وظیفه: فرض بر این است که جرم کپورهای آینه ای صید شده در حوضچه یک متغیر تصادفی است. ایکس، که دارای توزیع نرمال با انتظار ریاضی است آ\u003d 375 گرم و انحراف استاندارد s \u003d 25 گرم است. لازم است تعیین کنید:

الف) احتمال اینکه جرم کپور صید شده به طور تصادفی حداقل a=300 گرم و از b=425 g بیشتر نباشد.

ب) احتمال اینکه انحراف جرم مشخص شده از مقدار متوسط ​​(انتظار ریاضی) در مقدار مطلق کمتر از d = 40 گرم باشد.

ج) با استفاده از قانون سه سیگما، حد کمینه و حداکثر جرم تخمینی کپورهای آینه ای را بیابید.

راه حل:

آ)

نتیجه: تقریباً 98 درصد ماهی‌های کپور شناگر در استخر حداقل 300 گرم وزن دارند و بیش از 425 گرم وزن ندارند.

ب)

نتیجه: تقریباً 89 درصد دارای جرم هستند آگهی= 375- 40 = 335 تا آ+ d \u003d 375 + 40 \u003d 415 گرم.

ج) طبق قاعده سه سیگما:

نتیجه: جرم تقریباً همه کپورها (تقریباً 100٪) در محدوده 300 تا 450 گرم قرار دارد.

وظایف برای راه حل مستقل

1. تیرانداز با احتمال 0.8 به هدف می زند. احتمال اینکه با سه شلیک دقیقاً دو بار به هدف بخورد چقدر است؟ حداقل دوبار؟

2. در خانواده چهار فرزند وجود دارد. با در نظر گرفتن تولد یک پسر و یک دختر به عنوان رویدادهای احتمالی یکسان، احتمال وجود دو دختر در خانواده را تخمین بزنید. سه دختر و یک پسر. یک قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی بنویسید ایکسمطابق با تعداد احتمالی دختران در خانواده. محاسبه مشخصات: م(ایکس) s.

3. یک قالب سه بار پرتاب می شود. احتمال اینکه یک "6" یک بار بیاید چقدر است؟ نه بیشتر از یک بار؟

4. مقدار تصادفی ایکسبه طور یکنواخت در طول بازه توزیع شده است. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی X در بازه قرار بگیرد چقدر است؟

5. فرض بر این است که رشد افراد (برای قطعیت - بزرگسالان، مردان) که در یک منطقه خاص زندگی می کنند از قانون توزیع نرمال با انتظارات ریاضی تبعیت می کند. آ\u003d 170 سانتی متر و انحراف معیار s \u003d 5 سانتی متر. احتمال اینکه قد یک فرد به طور تصادفی انتخاب شده چقدر است:

الف) از 180 سانتی متر بیشتر و از 165 سانتی متر کمتر نخواهد بود؟

ب) از میانگین در مقدار مطلق بیش از 10 سانتی متر انحراف دارد؟

ج) با توجه به قانون «سه سیگما» حداقل و حداکثر قد ممکن را تخمین بزنید.

کنترل سوالات

1. فرمول برنولی چگونه نوشته می شود؟ چه زمانی اعمال می شود؟

2. قانون توزیع دوجمله ای چیست؟

3. کدام متغیر تصادفی توزیع یکنواخت نامیده می شود؟

4. توابع توزیع انتگرال و دیفرانسیل برای یک متغیر تصادفی که به طور یکنواخت در فاصله [ آ, ب]?

5. کدام متغیر تصادفی قانون توزیع نرمال دارد؟

6. منحنی زنگ چگونه به نظر می رسد؟

7. چگونه می توان احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین را پیدا کرد؟

8. قانون سه سیگما چگونه فرموله می شود؟

مقدمه ای بر تئوری فرآیندهای تصادفی

تابع تصادفیتابعی را فراخوانی می کنیم که مقدار آن برای هر مقدار متغیر مستقل یک متغیر تصادفی است.

فرآیند تصادفی (یا تصادفی).تابع تصادفی است که متغیر مستقل آن زمان است تی.

به عبارت دیگر، یک فرآیند تصادفی یک متغیر تصادفی است که در طول زمان تغییر می کند. فرآیند تصادفی ایکس(تی) روی یک منحنی معین است، مجموعه یا خانواده ای از منحنی های معین است x i (t) (من= 1, 2, …, n) در نتیجه آزمایش های فردی به دست آمده است. هر منحنی در این مجموعه نامیده می شود اجرا (یا مسیر)فرآیند تصادفی

مقطع یک فرآیند تصادفیمتغیر تصادفی نامیده می شود ایکس(تی 0) مربوط به مقدار فرآیند تصادفی در یک زمان ثابت است t = t0.

در بسیاری از مسائل مربوط به متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال، لازم است که احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با رعایت قانون نرمال با پارامترها، در بازه از تا تعیین شود. برای محاسبه این احتمال از فرمول کلی استفاده می کنیم

تابع توزیع کمیت کجاست.

اجازه دهید تابع توزیع یک متغیر تصادفی را که طبق قانون نرمال با پارامترها توزیع شده است، پیدا کنیم. چگالی توزیع مقدار برابر است با:

. (6.3.2)

از اینجا تابع توزیع را پیدا می کنیم

. (6.3.3)

اجازه دهید تغییر متغیر را در انتگرال انجام دهیم (6.3.3)

و آن را به فرم زیر بیاورید:

(6.3.4)

انتگرال (6.3.4) بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شود، اما می توان آن را بر حسب تابع خاصی محاسبه کرد که انتگرال معینی از عبارت را بیان می کند یا (به اصطلاح انتگرال احتمال) که جداول برای آن جمع آوری شده است. . انواع مختلفی از این توابع وجود دارد، به عنوان مثال:

;

و غیره. استفاده از کدام یک از این عملکردها سلیقه ای است. ما به عنوان چنین تابعی را انتخاب خواهیم کرد

. (6.3.5)

به راحتی می توان فهمید که این تابع چیزی نیست جز تابع توزیع برای یک متغیر تصادفی معمولی با پارامترها.

ما موافقت می کنیم که تابع را تابع توزیع عادی بنامیم. پیوست (جدول 1) جداول مقادیر تابع را نشان می دهد.

اجازه دهید تابع توزیع (6.3.3) کمیت را با پارامترها و بر حسب تابع توزیع نرمال بیان کنیم. به طور مشخص،

. (6.3.6)

حالا بیایید احتمال برخورد یک متغیر تصادفی در بخش از تا را پیدا کنیم. طبق فرمول (6.3.1)

بنابراین، ما این احتمال را بیان کرده‌ایم که یک متغیر تصادفی، که طبق قانون نرمال با هر پارامتری توزیع شده است، بر اساس تابع توزیع استاندارد، مطابق با ساده‌ترین قانون نرمال با پارامترهای 0.1، روی نمودار قرار می‌گیرد. توجه داشته باشید که آرگومان های تابع در فرمول (6.3.7) معنای بسیار ساده ای دارند: فاصله ای از انتهای سمت راست بخش تا مرکز پراکندگی وجود دارد که در انحرافات استاندارد بیان می شود. - همان فاصله برای انتهای سمت چپ مقطع و اگر انتهای آن در سمت راست مرکز پراکندگی قرار گیرد این فاصله مثبت و اگر به سمت چپ باشد منفی در نظر گرفته می شود.

مانند هر تابع توزیع، تابع دارای ویژگی های زیر است:

3. - عملکرد غیر کاهشی.

علاوه بر این، از تقارن توزیع نرمال با پارامترهای مربوط به مبدا، نتیجه می‌شود که

با استفاده از این ویژگی، در واقع، می توان جداول تابع را فقط به مقادیر مثبت آرگومان محدود کرد، اما برای جلوگیری از عملیات غیر ضروری (تفریق از یک)، جدول 1 پیوست مقادیری را برای استدلال های مثبت و منفی

در عمل، اغلب با مشکل محاسبه احتمال اینکه یک متغیر تصادفی معمولی توزیع شده در ناحیه ای متقارن در مورد مرکز پراکندگی قرار می گیرد، مواجه می شویم. چنین مقطعی از طول را در نظر بگیرید (شکل 6.3.1). اجازه دهید با استفاده از فرمول (6.3.7) احتمال ورود به این سایت را محاسبه کنیم:

با در نظر گرفتن ویژگی (6.3.8) تابع و دادن فرم فشرده تر به سمت چپ فرمول (6.3.9)، فرمولی برای احتمال یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون نرمال به دست می آوریم. یک مقطع متقارن با توجه به مرکز پراکندگی:

. (6.3.10)

بیایید مشکل زیر را حل کنیم. اجازه دهید بخش های متوالی طول را از مرکز پراکندگی کنار بگذاریم (شکل 6.3.2) و احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در هر یک از آنها را محاسبه کنیم. از آنجایی که منحنی قانون عادی متقارن است، کافی است چنین بخش هایی را فقط در یک جهت به تعویق بیندازیم.

طبق فرمول (6.3.7) در می یابیم:

(6.3.11)

همانطور که از این داده ها مشخص است، احتمال برخورد هر یک از سگمنت های زیر (پنجم، ششم و...) با دقت 001/0 برابر با صفر است.

با گرد کردن احتمال ضربه زدن به بخش ها به 0.01 (تا 1٪)، سه عدد به دست می آوریم که به راحتی قابل یادآوری است:

0,34; 0,14; 0,02.

مجموع این سه مقدار 0.5 است. این بدان معناست که برای یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال، همه پراکندگی ها (تا کسری از درصد) در بخش قرار می گیرند.

این اجازه می دهد تا با دانستن انحراف معیار و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی، محدوده مقادیر عملا ممکن آن را نشان دهیم. این روش برای تخمین محدوده مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی در آمار ریاضی به عنوان «قاعده سه سیگما» شناخته می‌شود. قانون سه سیگما همچنین متضمن روشی تقریبی برای تعیین انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی است: آنها حداکثر انحراف عملی ممکن را از میانگین می گیرند و آن را بر سه تقسیم می کنند. البته این روش تقریبی را تنها در صورتی می توان توصیه کرد که راه های دقیق تری برای تعیین وجود نداشته باشد.

مثال 1. یک متغیر تصادفی، که طبق قانون عادی توزیع شده است، یک خطا در اندازه‌گیری فاصله معین است. هنگام اندازه گیری، یک خطای سیستماتیک در جهت تخمین بیش از حد 1.2 (m) مجاز است. انحراف استاندارد خطای اندازه گیری 0.8 (m) است. این احتمال را بیابید که انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی از 1.6 (m) در مقدار مطلق تجاوز نمی کند.

راه حل. خطای اندازه گیری یک متغیر تصادفی است که از قانون عادی با پارامترها و . باید این احتمال را پیدا کنیم که این کمیت در فاصله از تا می افتد. با فرمول (6.3.7) داریم:

با استفاده از جداول تابع (ضمیمه، جدول 1)، متوجه می شویم:

; ,

مثال 2. احتمال مشابهی را که در مثال قبل وجود داشت، بیابید، اما به شرطی که خطای سیستماتیک وجود نداشته باشد.

راه حل. با فرمول (6.3.10)، با فرض، در می یابیم:

.

مثال 3. در هدفی که شبیه یک نوار (آزادراه) است که عرض آن 20 متر است، تیراندازی در جهت عمود بر آزادراه انجام می شود. هدف گیری در امتداد خط مرکزی بزرگراه انجام می شود. انحراف معیار در جهت شلیک برابر با m است در جهت شلیک یک خطای سیستماتیک وجود دارد: زیر شلیک 3 متر است احتمال برخورد به آزادراه را با یک شلیک بیابید.

احتمال سقوط به یک بازه معین از یک متغیر تصادفی نرمال

قبلاً مشخص است که اگر یک متغیر تصادفی X با چگالی توزیع f (x) داده شود، احتمال اینکه X مقداری متعلق به بازه (a, b) بگیرد به شرح زیر است:

اجازه دهید متغیر تصادفی X طبق قانون عادی توزیع شود. سپس احتمال اینکه X مقداری متعلق به بازه (a,b) بگیرد برابر است با

بیایید این فرمول را تغییر دهیم تا بتوانید از جداول آماده استفاده کنید. بیایید یک متغیر جدید z = (x-a)/--s معرفی کنیم. بنابراین x = sz+a، dx = sdz. اجازه دهید محدودیت های جدیدی برای یکپارچگی پیدا کنیم. اگر x= a، آنگاه z=(a-a)/--s; اگر x \u003d b، سپس z \u003d (b-a) / - s.

بنابراین، ما داریم

با استفاده از تابع لاپلاس

بالاخره می گیریم

محاسبه احتمال یک رویداد تصادفی

2 قطعه غیر استاندارد در یک دسته 14 قسمتی وجود دارد. 3 مورد به صورت تصادفی انتخاب شده است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X را بنویسید - تعداد قطعات استاندارد در بین موارد انتخاب شده. مشخصه های عددی را پیدا کنید، . راه حل بدیهی است ...

بررسی استحکام کششی نوارهای کالیکو

میگویند...

روش‌های تخمین پارامترهای توزیع ناشناخته

اگر یک متغیر تصادفی X با چگالی توزیع داده شود، احتمال اینکه X مقداری متعلق به بازه را بگیرد به صورت زیر است: اجازه دهید متغیر تصادفی X طبق قانون عادی توزیع شود. سپس احتمال اینکه X مقدار را به خود بگیرد ...

متغیر تصادفی پیوسته

تابع توزیع احتمال F(x) یک متغیر تصادفی X در نقطه x این احتمال است که در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی مقداری کمتر از x به خود بگیرد، یعنی. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-؟)F(x)=0...

متغیرهای تصادفی پیوسته قانون توزیع عادی

با دانستن چگالی توزیع، می‌توانیم این احتمال را محاسبه کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری را که متعلق به یک بازه معین است، بگیرد. محاسبه بر اساس قضیه زیر است. قضیه. احتمال ...

انتظارات ریاضی نهایی mx=5 انحراف استاندارد yx=3 حجم نمونه n=335 احتمال اطمینان r=0.95 سطح معناداری تعداد مقادیر نمونه گیری N=13 شبیه سازی متغیر تصادفی...

مدل سازی سیستم استاتیک

مدل سازی سیستم استاتیک

3. ارزیابی ویژگی های آماری یک فرآیند تصادفی وظایف بر اساس بخش های ...

مدل سازی سیستم استاتیک

توزیع: f(x)=b(3-x)، b>0 محدودیت های توزیع 1

مدل سازی سیستم استاتیک

متغیر تصادفی چیست؟

نظریه احتمال متغیرهای تصادفی قوانین فوق برای توزیع یک متغیر تصادفی تنها در رابطه با مقادیر گسسته معتبر است، با توجه به اینکه ...

عناصر نظریه احتمال

اجازه دهید یک مشکل مهم را از نظر کاربرد عملی در نظر بگیریم. اجازه دهید یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی توزیع وجود داشته باشد. ما به مسئله یافتن چگالی توزیع کمیت مرتبط با رابطه علاقه مندیم: ...