محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل های ابتدایی. تعیین رتبه یک ماتریس محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف

تعریف. رتبه ماتریسیحداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی در نظر گرفته شده به عنوان بردار است.

قضیه 1 در مورد رتبه یک ماتریس. رتبه ماتریسیحداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر یک ماتریس است.

قبلاً در درس تعیین کننده ها به مفهوم صغیر پرداخته ایم و اکنون آن را تعمیم می دهیم. بیایید چند سطر و چند ستون در ماتریس بگیریم، و این "چیزی" باید کمتر از تعداد سطرها و ستون های ماتریس باشد و برای سطرها و ستون ها این "چیزی" باید به همان تعداد باشد. سپس در محل تقاطع چند ردیف و چند ستون، ماتریسی با مرتبه کوچکتر از ماتریس اصلی ما وجود خواهد داشت. تعیین کننده این ماتریس در صورتی که «چیزی» ذکر شده (تعداد سطرها و ستون‌ها) با k نشان داده شود، مرتبه k مینور خواهد بود.

تعریف.جزئی ( r+1)-th order، که در آن مینور انتخاب شده قرار دارد rمرتبه -ام، برای مینور داده شده مرز نامیده می شود.

دو روش متداول پیدا کردن رتبه یک ماتریس. این روش حاشیه سازی خردسالانو روش تبدیل های ابتدایی(به روش گاوس).

روش مرزبندی مینورها از قضیه زیر استفاده می کند.

قضیه 2 در مورد رتبه یک ماتریس.اگر می توان از عناصر ماتریس یک مینور درست کرد rمرتبه ام که برابر با صفر نیست، رتبه ماتریس برابر است با r.

با روش تبدیل های ابتدایی از ویژگی زیر استفاده می شود:

اگر یک ماتریس ذوزنقه ای معادل ماتریس اصلی با تبدیل های ابتدایی به دست آید، رتبه این ماتریستعداد خطوط موجود در آن به جز خطوطی است که کاملاً از صفر تشکیل شده اند.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش مرزبندی مینورها

یک مینور مرزی، یک مینور از مرتبه بالاتر نسبت به مورد داده شده است، اگر این مینور از مرتبه بالاتر حاوی مینور معین باشد.

به عنوان مثال، با توجه به ماتریس

بیایید یک خرده بگیریم

لبه ها چنین خرده هایی خواهند بود:

الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریسبعد.

1. ما مینورهای مرتبه دوم را می یابیم که برابر با صفر نیستند. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود ( r =1 ).

2. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای مرتبه سوم مرزی را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است ( r =2 ).

3. اگر حداقل یکی از مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر نباشد، مینورهای حاشیه آن را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم مرزی صفر باشند، رتبه ماتریس سه است ( r =2 ).

4. تا زمانی که اندازه ماتریس اجازه می دهد ادامه دهید.

مثال 1رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

.

راه حل. جزئی از مرتبه دوم .

ما آن را قاب می کنیم. چهار خردسال مرزی وجود خواهد داشت:

,

,

بنابراین، تمام مینورهای مرتبه سوم مرزی برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس دو است ( r =2 ).

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 1 است، زیرا همه مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند (در این مورد، مانند موارد فرعی حاشیه در دو مثال بعدی، از دانش آموزان عزیز دعوت می شود تا خودشان تایید کنند، شاید با استفاده از قواعد محاسبه دترمینال ها)، و در بین مینورهای مرتبه اول، یعنی در بین عناصر ماتریس، برابر با صفر نیست.

مثال 3رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم این ماتریس است و همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس صفر هستند. بنابراین، رتبه این ماتریس دو است.

مثال 4رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 3 است زیرا تنها مینور مرتبه سوم این ماتریس 3 است.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی (به روش گاوس)

قبلاً در مثال 1 می توان دید که مشکل تعیین رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها مستلزم محاسبه تعداد زیادی از تعیین کننده ها است. با این حال، راهی برای کاهش مقدار محاسبات به حداقل وجود دارد. این روش مبتنی بر استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی است و روش گاوس نیز نامیده می شود.

تبدیل های اولیه یک ماتریس به معنای عملیات زیر است:

1) ضرب هر سطر یا هر ستون ماتریس در عددی غیر از صفر.

2) به عناصر هر سطر یا هر ستون ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر را که در همان عدد ضرب می شود، اضافه کنید.

3) مبادله دو سطر یا ستون از یک ماتریس.

4) حذف ردیف های "تهی"، یعنی آنهایی که همه عناصر آنها برابر با صفر هستند.

5) حذف تمام خطوط متناسب، به جز یک.

قضیه.تبدیل ابتدایی رتبه ماتریس را تغییر نمی دهد. به عبارت دیگر، اگر از تبدیل های ابتدایی از ماتریس استفاده کنیم آبرو به ماتریس ب، آن

>> رتبه ماتریسی

رتبه ماتریسی

تعیین رتبه یک ماتریس

یک ماتریس مستطیل شکل را در نظر بگیرید. اگر در این ماتریس خودسرانه انتخاب کنیم کخطوط و کستون‌ها، سپس عناصری که در محل تقاطع سطرها و ستون‌های انتخاب شده قرار دارند، ماتریس مربعی از مرتبه k‌ام را تشکیل می‌دهند. تعیین کننده این ماتریس نامیده می شود درجه k-ام جزئیماتریس A. بدیهی است که ماتریس A دارای مینورهایی از هر مرتبه از 1 تا کوچکترین اعداد m و n است. در میان تمام مینورهای غیر صفر ماتریس A، حداقل یک مینور وجود دارد که ترتیب آن بزرگترین است. بزرگترین سفارشات غیر صفر مینورهای یک ماتریس معین نامیده می شود رتبهماتریس ها اگر رتبه ماتریس A باشد r، پس این بدان معنی است که ماتریس A دارای مرتبه جزئی غیر صفر است r، اما هر جزئی از ترتیب بیشتر از r، برابر با صفر است. رتبه یک ماتریس A با r(A) نشان داده می شود. بدیهی است که رابطه

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از مینورها

رتبه یک ماتریس یا با مرزبندی خرده‌ها یا با روش تبدیل‌های ابتدایی پیدا می‌شود. هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس به روش اول، باید از مینورهای مرتبه پایین تر به فرعی های مرتبه بالاتر عبور کرد. اگر یک D جزئی غیر صفر از مرتبه k ام ماتریس A پیدا شده باشد، آنگاه فقط مینورهای مرتبه (k + 1) که در مرز D جزئی قرار دارند باید محاسبه شوند، یعنی. حاوی آن به عنوان صغیر. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه ماتریس است ک.

مثال 1رتبه یک ماتریس را با روش مرزبندی مینورها پیدا کنید

.

راه حل.ما با خردسالان مرتبه اول شروع می کنیم، یعنی. از عناصر ماتریس A. اجازه دهید برای مثال، مینور (عنصر) М 1 = 1 واقع در سطر اول و ستون اول را انتخاب کنیم. به کمک سطر دوم و ستون سوم، مینور M 2 = را بدست می آوریم که با صفر متفاوت است. اکنون به خردسالان درجه 3، در مرز M 2 می پردازیم. فقط دو مورد از آنها وجود دارد (شما می توانید یک ستون دوم یا یک چهارم اضافه کنید). ما آنها را محاسبه می کنیم: = 0. بنابراین، همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر بودند. رتبه ماتریس A دو است.

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل های ابتدایی

ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) افزودن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر ضرب در تعدادی.

دو ماتریس نامیده می شوند معادل، اگر یکی از آنها با کمک مجموعه ای متناهی از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت زیر نوشته می شود: A~ ب.

ابتداییماتریس ماتریسی است که دارای چندین 1 در یک ردیف در ابتدای مورب اصلی است (تعداد آنها ممکن است صفر باشد) و تمام عناصر دیگر برابر با صفر هستند، برای مثال،

.

با کمک تبدیل های ابتدایی ردیف ها و ستون ها، هر ماتریسی را می توان به یک ماتریس متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر است با تعداد یک ها در مورب اصلی آن.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A=

و آن را به شکل متعارف برسانید.

راه حل.ردیف اول را از ردیف دوم کم کنید و این ردیف ها را دوباره مرتب کنید:

.

حالا از ردیف دوم و سوم، ردیف اول را به ترتیب در 2 و 5 ضرب کنید:

;

ردیف اول را از ردیف سوم کم کنید. ماتریس را دریافت می کنیم

B = ,

که معادل ماتریس A است، زیرا با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B 2 است و از این رو r(A)=2 است. ماتریس B را می توان به راحتی به ماتریس متعارف کاهش داد. با کم کردن ستون اول، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، تمام عناصر ردیف اول به جز اولین را صفر می کنیم و عناصر سطرهای باقی مانده تغییر نمی کنند. سپس، با کم کردن ستون دوم، ضرب در اعداد مناسب، از همه موارد بعدی، تمام عناصر ردیف دوم به جز دوم را صفر می کنیم و ماتریس متعارف را بدست می آوریم:

.

و همچنین یک کاربرد عملی مهم از موضوع را در نظر بگیرید: مطالعه یک سیستم معادلات خطی برای سازگاری.

رتبه یک ماتریس چقدر است؟

کتیبه طنز مقاله حاوی مقدار زیادی حقیقت است. خود کلمه "رتبه" معمولاً با نوعی سلسله مراتب همراه است، اغلب با نردبان شغلی. هر چه انسان دانش، تجربه، توانایی، ارتباطات و ... بیشتر باشد. - موقعیت و دامنه فرصت های او بالاتر است. در اصطلاح جوانی، رتبه به درجه کلی "سختی" اشاره دارد.

و برادران ریاضی ما نیز بر اساس همین اصول زندگی می کنند. بیایید چند دلخواه قدم بزنیم ماتریس های صفر:

بیایید فکر کنیم اگر در ماتریس است فقط صفرها، پس از چه رتبه ای می توانیم صحبت کنیم؟ همه با عبارت غیررسمی «صفر کل» آشنا هستند. در جامعه ماتریسی، همه چیز دقیقاً یکسان است:

رتبه ماتریس صفرهر اندازه ای صفر است.

توجه داشته باشید : ماتریس صفر با حرف یونانی "تتا" مشخص می شود.

برای درک بهتر رتبه ماتریس، از این پس بر روی مواد ترسیم خواهم کرد هندسه تحلیلی. صفر را در نظر بگیرید بردارفضای سه بعدی ما که جهت خاصی را تعیین نمی کند و برای ساختن بی فایده است پایه وابسته. از دیدگاه جبری، مختصات یک بردار معین در نوشته می شود ماتریس"یک به سه" و منطقی (به معنای هندسی مشخص شده)فرض کنید که رتبه این ماتریس صفر است.

حالا به چند مورد نگاه می کنیم غیر صفر بردارهای ستونیو بردارهای ردیف:


هر نمونه حداقل یک عنصر غیر تهی دارد و این چیزی است!

رتبه هر بردار ردیف غیر صفر (بردار ستونی) برابر با یک است

و به طور کلی - اگر در ماتریس باشد اندازه های دلخواهحداقل یک عنصر غیر صفر دارد، سپس رتبه آن نه کمترواحدها.

بردارهای ردیف و ستون جبری تا حدی انتزاعی هستند، بنابراین اجازه دهید دوباره به ارتباط هندسی بپردازیم. غیر صفر بردارجهت مشخصی را در فضا تعیین می کند و برای ساخت و ساز مناسب است اساس، بنابراین رتبه ماتریس برابر با یک در نظر گرفته می شود.

مرجع نظری : در جبر خطی، بردار عنصری از فضای برداری است (تعریف شده از طریق 8 بدیهیات)، که به طور خاص، می تواند یک ردیف (یا ستون) مرتب از اعداد واقعی با عملیات جمع و ضرب در یک عدد واقعی تعریف شده باشد. برای آنها. برای اطلاعات بیشتر در مورد بردارها به مقاله مراجعه کنید تبدیلات خطی.

وابسته خطی(از طریق یکدیگر بیان می شود). از نقطه نظر هندسی، خط دوم شامل مختصات بردار خطی است ، که موضوع را در ساختمان پیش نبرد پایه سه بعدی، زائد بودن از این نظر. بنابراین، رتبه این ماتریس نیز برابر با یک است.

مختصات بردارها را در ستون ها بازنویسی می کنیم ( ماتریس را جابجا کنید):

چه چیزی از نظر رتبه تغییر کرده است؟ هیچ چی. ستون ها متناسب هستند، به این معنی که رتبه برابر با یک است. ضمناً توجه داشته باشید که هر سه خط نیز متناسب هستند. آنها را می توان با مختصات شناسایی کرد سهبردارهای خطی صفحه، که از آنها فقط یکیبرای ساختن یک پایه "مسطح" مفید است. و این با حس هندسی رتبه ما مطابقت کامل دارد.

یک جمله مهم از مثال بالا به دست می آید:

رتبه یک ماتریس بر اساس ردیف برابر است با رتبه یک ماتریس بر اساس ستون. قبلاً در درس مؤثر به این موضوع اشاره کردم روش های محاسبه دترمینان.

توجه داشته باشید : وابستگی خطی سطرها منجر به وابستگی خطی ستون ها می شود (و بالعکس). اما برای صرفه جویی در زمان و از روی عادت، تقریبا همیشه در مورد وابستگی خطی رشته ها صحبت خواهم کرد.

بیایید به آموزش حیوان خانگی عزیزمان ادامه دهیم. مختصات یک بردار خطی دیگر را به ماتریس ردیف سوم اضافه کنید :

آیا او در ساختن یک پایه سه بعدی به ما کمک کرد؟ البته که نه. هر سه بردار در یک مسیر به جلو و عقب حرکت می کنند و رتبه ماتریس یک است. شما می توانید هر تعداد بردار خطی که دوست دارید، مثلاً 100 بردارید، مختصات آنها را در یک ماتریس 100 در 3 قرار دهید، و رتبه چنین آسمان خراشی همچنان یک باقی خواهد ماند.

بیایید با ماتریسی که ردیف های آن آشنا شویم مستقل خطی. یک جفت بردار غیر خطی برای ساخت پایه سه بعدی مناسب است. رتبه این ماتریس دو است.

رتبه ماتریس چقدر است؟ خطوط متناسب به نظر نمی رسند ... بنابراین، در تئوری، سه. با این حال، رتبه این ماتریس نیز برابر با دو است. دو خط اول را اضافه کردم و نتیجه را در پایین نوشتم، یعنی. به صورت خطی بیان شده استخط سوم از دو خط اول. از نظر هندسی، ردیف های ماتریس با مختصات سه مطابقت دارد بردارهای همسطح، و در بین این سه گانه یک جفت رفیق غیر خطی وجود دارد.

همانطور که می بینید وابستگی خطیدر ماتریس در نظر گرفته شده واضح نیست، و امروز ما فقط یاد خواهیم گرفت که چگونه آن را به "آب تمیز" برسانیم.

من فکر می کنم خیلی ها حدس می زنند که رتبه یک ماتریس چقدر است!

ماتریسی را در نظر بگیرید که ردیف های آن مستقل خطی. بردارها شکل می گیرند پایه وابسته، و رتبه این ماتریس سه است.

همانطور که می دانید، هر بردار چهارم، پنجم، دهم فضای سه بعدی به صورت خطی بر حسب بردارهای پایه بیان می شود. بنابراین، اگر هر تعداد ردیف به ماتریس اضافه شود، رتبه آن هنوز سه خواهد بود.

استدلال مشابهی را می توان برای ماتریس هایی با اندازه های بزرگتر (به وضوح، در حال حاضر بدون معنای هندسی) انجام داد.

تعریف : رتبه ماتریس حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی است. یا: رتبه یک ماتریس حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی است. بله، آنها همیشه مطابقت دارند.

یک دستورالعمل عملی مهم از موارد فوق ناشی می شود: رتبه یک ماتریس از حداقل ابعاد آن تجاوز نمی کند. به عنوان مثال، در ماتریس چهار سطر و پنج ستون حداقل بعد چهار است، بنابراین، رتبه این ماتریس مطمئناً از 4 بیشتر نخواهد شد.

نشانه گذاری: در تئوری و عمل جهانی هیچ استاندارد پذیرفته شده ای برای تعیین رتبه ماتریس وجود ندارد، رایج ترین آن را می توان یافت: - همانطور که می گویند، یک انگلیسی یک چیز می نویسد، یک آلمانی چیز دیگر. بنابراین، بر اساس حکایت معروف در مورد جهنم آمریکایی و روسی، بیایید رتبه ماتریس را با یک کلمه بومی تعیین کنیم. مثلا: . و اگر ماتریس "بی نام" است، که تعداد زیادی از آن وجود دارد، می توانید به سادگی بنویسید.

چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از مینورها پیدا کنیم؟

اگر مادربزرگ ما یک ستون پنجم در ماتریس داشت، باید مرتبه چهارم دیگری ("آبی"، "تمشک" + ستون 5) محاسبه می شد.

نتیجه: حداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر سه است، بنابراین .

شاید همه این عبارت را به طور کامل درک نکرده باشند: مرتبه چهارم مینور برابر با صفر است، اما در بین مینورهای مرتبه 3 یک غیر صفر وجود دارد - بنابراین حداکثر مرتبه غیر صفرجزئی و برابر با سه.

این سوال پیش می آید که چرا بلافاصله تعیین کننده را محاسبه نمی کنیم؟ خوب، اولا، در اکثر وظایف، ماتریس مربع نیست، و ثانیا، حتی اگر یک مقدار غیر صفر دریافت کنید، آنگاه کار با احتمال زیاد رد می شود، زیرا معمولاً به معنای یک "پایین به بالا" استاندارد است. راه حل. و در مثال در نظر گرفته شده، تعیین کننده صفر مرتبه 4 حتی به ما امکان می دهد ادعا کنیم که رتبه ماتریس فقط کمتر از چهار است.

باید اعتراف کنم که برای توضیح بهتر روش مرزبندی خردسالان به مشکل تحلیل شده خودم رسیدم. در عمل واقعی، همه چیز ساده تر است:

مثال 2

رتبه یک ماتریس را با روش فرینگ مینورها پیدا کنید

راه حل و پاسخ در پایان درس.

چه زمانی الگوریتم سریعتر اجرا می شود؟ برگردیم به همان ماتریس چهار در چهار . بدیهی است که راه حل در مورد "خوب" کوتاه ترین خواهد بود. خردسالان گوشه ای:

و اگر، پس، در غیر این صورت - .

تفکر به هیچ وجه فرضی نیست - مثال های زیادی وجود دارد که در آن همه چیز فقط به خردسالان زاویه ای محدود می شود.

با این حال، در برخی موارد، روش دیگری موثرتر و ارجح تر است:

چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از روش گاوس پیدا کنیم؟

این بخش برای خوانندگانی است که قبلاً با آن آشنا هستند روش گاوسو کم کم به دستشان رسید.

از نقطه نظر فنی، روش جدید نیست:

1) با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل مرحله ای می آوریم.

2) رتبه ماتریس برابر با تعداد سطرها است.

کاملا واضح است که استفاده از روش گاوس رتبه ماتریس را تغییر نمی دهدو جوهر در اینجا بسیار ساده است: طبق الگوریتم، در جریان تبدیلات ابتدایی، تمام خطوط متناسب غیر ضروری (وابسته خطی) شناسایی و حذف می شوند، در نتیجه یک "بقایای خشک" باقی می ماند - حداکثر تعداد خطوط مستقل خطی

بیایید ماتریس آشنای قدیمی را با مختصات سه بردار خطی تبدیل کنیم:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد.

(2) خطوط صفر حذف می شوند.

بنابراین یک خط باقی مانده است، از این رو . نیازی به گفتن نیست که این بسیار سریعتر از محاسبه 9 صفر مینور درجه 2 و نتیجه گیری است.

این را به خودی خود یادآوری می کنم ماتریس جبریهیچ چیز را نمی توان تغییر داد و تحولات فقط به منظور یافتن رتبه انجام می شود! به هر حال، اجازه دهید دوباره به این سوال بپردازیم که چرا نه؟ ماتریس منبع حامل اطلاعاتی است که اساساً با اطلاعات ماتریسی و ردیفی متفاوت است. در برخی از مدل های ریاضی (بدون اغراق) تفاوت در یک عدد می تواند موضوع مرگ و زندگی باشد. ... یاد معلم های ریاضی مدرسه ابتدایی و راهنمایی افتادم که برای کوچکترین نادرستی یا انحراف از الگوریتم بی رحمانه نمره را 1-2 قطع می کردند. و زمانی که به جای "پنج" به ظاهر تضمین شده، "خوب" یا حتی بدتر شد، بسیار ناامید کننده بود. درک بسیار دیرتر به دست آمد - چگونه می توان ماهواره ها، کلاهک های هسته ای و نیروگاه ها را به شخص واگذار کرد؟ اما نگران نباشید من در این زمینه ها کار نمی کنم =)

بیایید به سمت کارهای معنی دارتر برویم، جایی که، در میان چیزهای دیگر، با تکنیک های محاسباتی مهم آشنا خواهیم شد. روش گاوس:

مثال 3

رتبه یک ماتریس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی پیدا کنید

راه حل: یک ماتریس چهار در پنج داده می شود، به این معنی که رتبه آن مطمئناً بیش از 4 نیست.

در ستون اول، 1 یا -1 وجود ندارد، بنابراین، برای به دست آوردن حداقل یک واحد، مراحل اضافی لازم است. در طول کل سایت، بارها این سوال از من پرسیده شده است: "آیا می توان ستون ها را در طول تحولات ابتدایی مرتب کرد؟". در اینجا - تنظیم مجدد ستون اول یا دوم، و همه چیز خوب است! در اکثر وظایف که در آن روش گاوس، ستون ها را واقعاً می توان دوباره مرتب کرد. اما نکن. و نکته حتی یک اشتباه احتمالی با متغیرها نیست، نکته این است که در دوره کلاسیک تدریس ریاضیات عالی این عمل به طور سنتی در نظر گرفته نمی شود، بنابراین، به چنین رکیکی بسیار کج نگاه می شود (یا حتی مجبور می شود همه چیز را دوباره انجام دهد) .

نکته دوم مربوط به اعداد است. در طول تصمیم گیری، مفید است که با قانون کلی زیر هدایت شوید: در صورت امکان، تبدیل‌های ابتدایی باید اعداد ماتریس را کاهش دهند. در واقع، کار با یک-دو-سه بسیار ساده تر از مثلاً با 23، 45 و 97 است. و اولین اقدام نه تنها به دست آوردن یک واحد در ستون اول، بلکه حذف اعداد نیز انجام می شود. 7 و 11.

ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در 3. و به پشته: خط 1، ضرب در -1، به خط 4 اضافه شد.

(2) سه خط آخر متناسب هستند. خط 3 و 4 حذف شد، خط دوم به رتبه اول منتقل شد.

(3) ردیف اول در 3- ضرب به ردیف دوم اضافه شد.

ماتریسی که به شکل پلکانی کاهش یافته است دارای دو ردیف است.

پاسخ:

حالا نوبت شماست که ماتریس چهار در چهار را شکنجه کنید:

مثال 4

رتبه یک ماتریس را با استفاده از روش گاوسی پیدا کنید

این را به شما یادآوری می کنم روش گاوسبه معنای استحکام بدون ابهام نیست و راه حل شما احتمالاً با راه حل من متفاوت است. نمونه مختصری از تکلیف در پایان درس.

برای یافتن رتبه یک ماتریس از چه روشی استفاده کنیم؟

در عمل اغلب اصلاً گفته نمی شود که از کدام روش برای یافتن رتبه استفاده شود. در چنین شرایطی، باید شرایط را تجزیه و تحلیل کرد - برای برخی از ماتریس ها، انجام راه حل از طریق خردسالان منطقی تر است، در حالی که برای دیگران استفاده از تبدیل های اولیه بسیار سودمندتر است:

مثال 5

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل: راه اول به نوعی بلافاصله ناپدید می شود =)

کمی بالاتر، توصیه کردم که ستون های ماتریس را لمس نکنید، اما وقتی یک ستون صفر، یا ستون های متناسب / مطابق وجود دارد، هنوز ارزش قطع کردن را دارد:

(1) ستون پنجم صفر است، آن را از ماتریس حذف می کنیم. بنابراین، رتبه ماتریس حداکثر چهار است. ردیف اول در -1 ضرب می شود. این یکی دیگر از مشخصه های روش گاوسی است که عمل زیر را به یک پیاده روی دلپذیر تبدیل می کند:

(2) به تمام خطوط، با شروع از دوم، خط اول اضافه شد.

(3) ردیف اول در -1 ضرب شد، ردیف سوم تقسیم بر 2، ردیف چهارم تقسیم بر 3 شد. ردیف دوم ضرب در -1 به ردیف پنجم اضافه شد.

(4) خط سوم ضرب در 2- به خط پنجم اضافه شد.

(5) دو خط آخر متناسب هستند، پنجمین را حذف می کنیم.

نتیجه 4 ردیف است.

پاسخ:

ساختمان استاندارد پنج طبقه برای کاوش شخصی:

مثال 6

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

لازم به ذکر است که عبارت "رتبه ماتریسی" در عمل چندان رایج نیست و در اکثر مشکلات می توانید بدون آن کار کنید. اما یک کار وجود دارد که در آن مفهوم مورد بررسی شخصیت اصلی است و در پایان مقاله این کاربرد عملی را در نظر خواهیم گرفت:

چگونه سیستم معادلات خطی را برای سازگاری بررسی کنیم؟

اغلب علاوه بر حل کردن سیستم های معادلات خطیطبق شرط، ابتدا باید از نظر سازگاری بررسی شود، یعنی ثابت شود که اصلاً راه حلی وجود دارد. نقش کلیدی در این راستی آزمایی توسط قضیه کرونکر-کاپلی، که به شکل مورد نیاز فرموله خواهم کرد:

اگر رتبه ماتریس های سیستمبرابر با رتبه سیستم ماتریس تقویت شده، آنگاه سیستم سازگار است و اگر عدد داده شده با تعداد مجهولات منطبق باشد، پس راه حل منحصر به فرد است.

بنابراین، برای مطالعه سیستم از نظر سازگاری، لازم است برابری آن بررسی شود ، جایی که - ماتریس سیستم(اصطلاحات درس را به خاطر بسپارید روش گاوس)، آ - سیستم ماتریس تقویت شده(یعنی ماتریس با ضرایب در متغیرها + ستون عبارات آزاد).

یک ماتریس \(A\) از نوع \((m,n)\) را در نظر بگیرید. اجازه دهید، برای قطعیت، \(m \leq n\). ردیف های \(m\) را انتخاب کنید و ستون های \(m\) ماتریس \(A\) را انتخاب کنید، در محل تلاقی این سطرها و ستون ها یک ماتریس مربعی به ترتیب \(m\) به دست می آوریم که تعیین کننده آن است. تماس گرفت سفارش جزئی ماتریس های \(m\) \(A\). اگر این مینور با 0 متفاوت باشد، نامیده می شود جزئی اولیه و بگویید که رتبه ماتریس \(A\) \(m\) است. اگر این تعیین کننده برابر با 0 باشد، ستون های \(m\) دیگر انتخاب می شوند، در محل تقاطع آنها عناصری وجود دارد که جزئی دیگری از مرتبه \(m\) را تشکیل می دهند. اگر مینور 0 باشد، روش را ادامه می دهیم. اگر در بین همه فرعی‌های احتمالی مرتبه \(m\) هیچ یک غیر صفر وجود نداشته باشد، ردیف‌ها و ستون‌های \(m-1\) را از ماتریس \(A\) انتخاب می‌کنیم، در محل تقاطع آنها یک ماتریس مربعی مرتبه \ (m-1\) ظاهر می شود، تعیین کننده آن مرتبه جزئی \(m-1\) ماتریس اصلی نامیده می شود. در ادامه روش، ما به دنبال یک مینور غیر صفر می گردیم، که از تمام مینورهای ممکن عبور می کند و ترتیب آنها را کاهش می دهد.

تعریف.

یک مینور غیر صفر از یک ماتریس معین با بالاترین مرتبه نامیده می شود جزئی اولیه از ماتریس اصلی، ترتیب آن نامیده می شود رتبه ماتریس های \(A\)، سطرها و ستون هایی که در تقاطع آنها یک مینور اصلی وجود دارد، سطرها و ستون های پایه نامیده می شوند. رتبه یک ماتریس با \(rang(A)\) نشان داده می شود.

ویژگی های ساده رتبه یک ماتریس از این تعریف به دست می آید: یک عدد صحیح است و رتبه یک ماتریس غیر صفر نابرابری ها را برآورده می کند: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\ ).

در صورت خط زدن یک ردیف، رتبه ماتریس چگونه تغییر می کند؟ چند خط اضافه کنم؟

پاسخ را بررسی کنید

1) رتبه می تواند 1 کاهش یابد.

2) رتبه می تواند 1 افزایش یابد.

فرض کنید \(A\) ماتریسی از نوع \((m,n)\) باشد. ستون های ماتریس \(A\) را در نظر بگیرید - اینها ستون هایی از اعداد \(m\) هستند. بیایید آنها را \(A_1،A_2،...،A_n\) نشان دهیم. فرض کنید \(c_1,c_2,...,c_n\) چند عدد باشد.

تعریف.

ستون \[D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] ترکیب خطی ستون‌های \(A_1,A_2,...,A_n\)، اعداد نامیده می‌شود. \(c_1,c_2,...,c_n\) ضرایب این ترکیب خطی نامیده می شوند.

تعریف.

اجازه دهید ستون های \(p\) \(A_1، A_2، ...، A_p\) داده شوند. اگر اعداد \(c_1,c_2,...,c_p\) وجود داشته باشد که

1. همه این اعداد صفر نیستند،

2. ترکیب خطی \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) برابر است با ستون صفر (یعنی ستونی که همه عناصر آن صفر هستند) سپس می گوییم که ستون های \( A_1، A_2، ...، A_p\) به صورت خطی وابسته هستند. اگر چنین اعداد \(c_1,c_2,...,c_n\) برای مجموعه معینی از ستون ها وجود نداشته باشد، ستون ها به صورت خطی مستقل هستند.

مثال. 2 ستون را در نظر بگیرید

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)، \] سپس برای هر عدد \(c_1,c_2\) داریم: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

این ترکیب خطی برابر با ستون صفر است اگر و فقط اگر هر دو عدد \(c_1,c_2\) برابر با صفر باشند. بنابراین، این ستون ها به صورت خطی مستقل هستند.

بیانیه. برای اینکه ستون ها به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که یکی از آنها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

اجازه دهید ستون های \(A_1، A_2،...، A_m\) به صورت خطی وابسته باشند، یعنی. برای برخی از ثابت های \(\lambda _1، \lambda _2،...،\lambda _m\)، که همه آنها 0 نیستند، موارد زیر اجرا می شود: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k =0 \ ] (در سمت راست - ستون صفر). اجازه دهید، برای مثال، \(\lambda _1 \neq 0\). سپس \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] یعنی. ستون اول ترکیبی خطی از بقیه است.

برای هر ماتریس غیر صفر \(A\) زیر درست است:

1. ستون های پایه به صورت خطی مستقل هستند.

2. هر ستونی از یک ماتریس ترکیبی خطی از ستون های اصلی آن است.

(در مورد رشته ها هم همینطور است).

اجازه دهید، برای قطعیت، \((m,n)\) نوع ماتریس \(A\)، \(rang(A)=r \leq n\) باشد و پایه جزئی در اولین \( قرار دارد. r\) ماتریس های ردیف و ستون \(A\). فرض کنید \(s\) هر عددی بین 1 و \(m\)، \(k\) هر عددی بین 1 و \(n\) باشد. یک مینور از شکل زیر را در نظر بگیرید: \[ D=\left| \begin(array)(cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(آرایه) \right| ، \] یعنی ما ستون \(s-\)امین و ردیف \(k-\)امین را به مینور اصلی اختصاص داده ایم. با تعریف رتبه ماتریس، این تعیین کننده برابر با صفر است (اگر \(s\leq r\) یا \(k \leq r\) را انتخاب کنیم، آنگاه این مینور دارای 2 ستون یکسان یا 2 ردیف یکسان است، اگر \( s>r\) و \(k>r\) - طبق تعریف رتبه، اندازه کوچکتر از \(r\) ناپدید می شود). با بسط این تعیین کننده در خط آخر، به دست می آوریم: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks)A_ (ks)=0. \quad \quad(16) \]

در اینجا اعداد \(A_(kp)\) مکمل جبری عناصر از ردیف پایین \(D\) هستند. مقادیر آنها به \(k\) بستگی ندارد، زیرا با استفاده از عناصر اولین خطوط \(r\) تشکیل می شوند. در این مورد، \(A_(ks)\) یک مینور اصلی غیر از 0 است. \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks)=c_s \neq 0 را نشان دهید \). اجازه دهید (16) را با نماد جدید بازنویسی کنیم: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0، \] یا، تقسیم بر \(c_s\)، \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr)، \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] این برابری برای هر مقدار \(k\) صادق است، بنابراین \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ ( 2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r)، \] \[ .................... . ................................. \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_(m1) + \lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] بنابراین ستون \(s-\)th یک ترکیب خطی از اولین ستون های \(r\) است. قضیه ثابت شده است.

اظهار نظر.

قضیه مینور پایه حاکی از آن است که رتبه یک ماتریس برابر است با تعداد ستون های مستقل خطی آن (که برابر است با تعداد ردیف های مستقل خطی).

نتیجه 1.

اگر تعیین کننده صفر باشد، ستونی دارد که ترکیبی خطی از بقیه ستون ها است.

نتیجه 2.

اگر رتبه یک ماتریس کمتر از تعداد ستون ها باشد، ستون های ماتریس به صورت خطی وابسته هستند.

برخی از تبدیل های یک ماتریس رتبه آن را تغییر نمی دهد. چنین تحولاتی را می توان ابتدایی نامید. حقایق مربوطه را می توان به راحتی با استفاده از ویژگی های تعیین کننده ها و تعریف رتبه یک ماتریس تأیید کرد.

1. بازآرایی ستون ها.

2. ضرب عناصر هر ستون در ضریب غیر صفر.

3. اضافه کردن به ستون هر ستون دیگر، ضرب در یک عدد دلخواه.

4. خط زدن از ستون صفر.

همین امر در مورد رشته ها نیز صادق است.

با کمک این تبدیل ها، ماتریس را می توان به شکل به اصطلاح "ذوزنقه ای" تبدیل کرد - ماتریسی که در زیر مورب اصلی آن فقط صفر وجود دارد. برای یک ماتریس "ذوزنقه ای"، رتبه تعداد عناصر غیر صفر در مورب اصلی است، و مینور پایه، فرعی است که قطر آن با مجموعه عناصر غیر صفر در قطر اصلی ماتریس تبدیل شده مطابقت دارد.

مثال. ماتریس را در نظر بگیرید

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(آرایه)\راست). \] ما آن را با استفاده از تبدیل های بالا تبدیل می کنیم. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(آرایه) \راست) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

در اینجا ما به طور مداوم مراحل زیر را انجام می دهیم: 1) ردیف دوم را دوباره به سمت بالا مرتب می کنیم، 2) ردیف اول را با ضریب مناسب از بقیه کم می کنیم، 3) ردیف دوم را 4 بار از ردیف سوم کم می کنیم، ردیف دوم را به ردیف چهارم اضافه می کنیم. 4) ردیف های صفر را خط بزنید - سوم و چهارم. ماتریس نهایی ما شکل دلخواه را به دست آورده است: اعداد غیر صفر در مورب اصلی، صفرها در زیر مورب اصلی وجود دارد. پس از آن، رویه متوقف می شود و تعداد عناصر غیر صفر روی قطر اصلی برابر با رتبه ماتریس است. در این حالت، مینور اصلی دو سطر اول و دو ستون اول است. در تقاطع آنها ماتریسی از مرتبه 2 با یک تعیین کننده غیر صفر وجود دارد. در همان زمان، با بازگشت در امتداد زنجیره تبدیل ها در جهت مخالف، می توان ردیابی کرد که این یا آن ردیف (این یا آن ستون) از کجا در ماتریس نهایی آمده است، یعنی. سطرها و ستون های اصلی را در ماتریس اصلی تعیین کنید. در این مورد، دو سطر اول و دو ستون اول پایه ماینور را تشکیل می دهند.

برای کار با مفهوم رتبه یک ماتریس، به اطلاعاتی از مبحث "مکمل های جبری و جزئی ها. انواع مینورها و مکمل های جبری" نیاز داریم. اول از همه، این به اصطلاح "ماتریس مینور" مربوط می شود، زیرا ما رتبه یک ماتریس را دقیقاً از طریق مینورها تعیین خواهیم کرد.

رتبه ماتریسیحداکثر ترتیب مینورهای آن را نام ببرید که در میان آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست.

ماتریس های معادلماتریس هایی هستند که رتبه های آنها با یکدیگر برابر است.

بیایید با جزئیات بیشتر توضیح دهیم. فرض کنید حداقل یکی در میان خردسالان مرتبه دوم وجود دارد که با صفر متفاوت است. و تمام مینورها که ترتیب آنها بالاتر از دو باشد برابر با صفر هستند. نتیجه گیری: رتبه ماتریس 2 است. یا مثلاً در بین مینورهای مرتبه دهم حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست. و همه مینورها که ترتیب آنها بالاتر از 10 است برابر با صفر است. نتیجه گیری: رتبه ماتریس 10 است.

رتبه ماتریس $A$ به صورت زیر نشان داده می شود: $\rang A$ یا $r(A)$. رتبه ماتریس صفر $O$ برابر با صفر، $\rang O=0$ تنظیم شده است. به شما یادآوری می کنم که برای تشکیل یک ماتریس مینور، باید سطرها و ستون ها را خط بکشید، اما نمی توان تعداد سطرها و ستون های بیشتری نسبت به خود ماتریس را خط زد. به عنوان مثال، اگر ماتریس $F$ دارای اندازه $5\ برابر 4$ باشد (یعنی شامل 5 سطر و 4 ستون باشد)، حداکثر ترتیب مینورهای آن چهار است. دیگر امکان تشکیل مینورهای مرتبه پنجم وجود نخواهد داشت، زیرا آنها به 5 ستون نیاز دارند (و ما فقط 4 ستون داریم). این بدان معنی است که رتبه ماتریس $F$ نمی تواند بزرگتر از چهار باشد، یعنی. $\رنگ F≤4$.

در یک شکل کلی تر، موارد فوق به این معنی است که اگر ماتریس حاوی ردیف های $m$ و ستون های $n$ باشد، رتبه آن نمی تواند از کوچکترین اعداد $m$ و $n$ تجاوز کند. $\rang A≤\min(m,n)$.

اصولاً روش یافتن آن از همان تعریف رتبه ناشی می شود. فرآیند یافتن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف را می توان به صورت شماتیک به صورت زیر نشان داد:

اجازه دهید این نمودار را با جزئیات بیشتری توضیح دهم. بیایید استدلال را از همان ابتدا شروع کنیم، یعنی. با مینورهای مرتبه اول مقداری ماتریس $A$.

1. اگر همه مینورهای مرتبه اول (یعنی عناصر ماتریس $A$) برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=0$. اگر در بین مینورهای مرتبه اول حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، آنگاه $\رنگ A≥ 1$ است. ما به تأیید صغار درجه دوم می رویم.
2. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=1$. اگر در بین مینورهای مرتبه دوم حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، آنگاه $\رنگ A≥ 2$ است. ما به تأیید صغار درجه سوم می رویم.
3. اگر همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=2$. اگر در بین مینورهای مرتبه سوم حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، آنگاه $\رنگ A≥ 3$ است. بیایید به بررسی مینورهای مرتبه چهارم بپردازیم.
4. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=3$. اگر حداقل یک مینور غیر صفر از مرتبه چهارم وجود داشته باشد، آنگاه $\rang A≥ 4$ است. ما به تأیید صغار درجه پنجم و غیره می رویم.

در پایان این رویه چه چیزی در انتظار ما است؟ ممکن است در بین مینورهای مرتبه k حداقل یکی وجود داشته باشد که با صفر متفاوت باشد و همه مینورهای مرتبه (k + 1) برابر با صفر باشند. این به این معنی است که k حداکثر مرتبه مینورها است که در بین آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، یعنی. رتبه برابر با k خواهد بود. ممکن است وضعیت متفاوتی وجود داشته باشد: در بین مینورهای مرتبه k حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نباشد و مینورهای مرتبه (k + 1)ام را نمی توان تشکیل داد. در این حالت، رتبه ماتریس نیز برابر با k است. به اختصار، ترتیب آخرین مینور غیر صفر تشکیل شده و برابر با رتبه ماتریس خواهد بود.

بیایید به سراغ مثال‌هایی برویم که در آن فرآیند یافتن رتبه یک ماتریس با تعریف به وضوح نشان داده می‌شود. یک بار دیگر تاکید می کنم که در مثال های این تاپیک فقط با استفاده از تعریف رتبه رتبه ماتریس ها را پیدا می کنیم. روش های دیگر (محاسبه رتبه یک ماتریس به روش مرزبندی مینورها، محاسبه رتبه یک ماتریس به روش تبدیل های ابتدایی) در مباحث زیر در نظر گرفته شده است.

ضمناً ، همانطور که در نمونه های شماره 1 و شماره 2 انجام شد ، اصلاً لازم نیست که مراحل یافتن رتبه از خردسالان کوچکترین مرتبه را شروع کنید. می توانید فوراً به خردسالان درجه های بالاتر بروید (نمونه شماره 3 را ببینید).

مثال شماره 1

رتبه یک ماتریس $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 را پیدا کنید & 0 & 1 \end(آرایه)\راست)$.

این ماتریس دارای اندازه $3\ برابر 5 $ است، یعنی. شامل سه ردیف و پنج ستون است. از اعداد 3 و 5، 3 حداقل است، بنابراین رتبه ماتریس $A$ حداکثر 3 است، یعنی. $\رتبه A≤ 3$. و این نابرابری واضح است، زیرا ما دیگر نمی توانیم مینورهای مرتبه چهارم را تشکیل دهیم - آنها به 4 ردیف نیاز دارند و ما فقط 3 ردیف داریم. بیایید مستقیماً به روند یافتن رتبه یک ماتریس داده شده ادامه دهیم.

در میان مینورهای مرتبه اول (یعنی در بین عناصر ماتریس $A$) موارد غیر صفر وجود دارد. به عنوان مثال، 5، -3، 2، 7. به طور کلی، ما علاقه ای به تعداد کل عناصر غیر صفر نداریم. حداقل یک عنصر غیر صفر وجود دارد - و این کافی است. از آنجایی که حداقل یک غیر صفر در بین مینورهای مرتبه اول وجود دارد، نتیجه می گیریم که $\رنگ A≥ 1$ است و به بررسی مینورهای مرتبه دوم ادامه می دهیم.

بیایید شروع به بررسی خردسالان درجه دوم کنیم. برای مثال، در محل تلاقی ردیف‌های #1، #2 و ستون‌های #1، #4 عناصر جزئی زیر وجود دارد: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (آرایه) \right| $. برای این تعیین کننده، تمام عناصر ستون دوم برابر با صفر هستند، بنابراین خود تعیین کننده برابر با صفر است، یعنی. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (ویژگی شماره 3 را در ویژگی دترمینان ها ببینید). یا می توانید به سادگی با استفاده از فرمول شماره 1 از قسمت محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم این دترمینانت را محاسبه کنید:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

اولین مینور مرتبه دومی که بررسی کردیم برابر با صفر بود. چی میگه؟ در مورد نیاز به بررسی بیشتر خردسالان درجه دوم. یا همه آنها صفر می شوند (و سپس رتبه برابر با 1 خواهد بود) یا حداقل یک مینور در بین آنها وجود دارد که با صفر متفاوت است. بیایید سعی کنیم با نوشتن یک مینور مرتبه دوم که عناصر آن در محل تلاقی ردیف‌های #1، #2 و ستون‌های #1 و #5 قرار دارند، انتخاب بهتری داشته باشیم: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. بیایید مقدار این مینور مرتبه دوم را پیدا کنیم:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

این مینور برابر با صفر نیست. نتیجه گیری: در بین خردسالان مرتبه دوم حداقل یک غیر از صفر وجود دارد. بنابراین $\ رتبه A≥ 2$. لازم است نسبت به مطالعه خردسالان درجه سوم اقدام شود.

اگر برای تشکیل مینورهای مرتبه سوم ستون #2 یا ستون #4 را انتخاب کنیم، آنگاه چنین مینورهایی برابر با صفر خواهند بود (زیرا حاوی یک ستون صفر خواهند بود). باقی مانده است که فقط یک مینور از مرتبه سوم بررسی شود که عناصر آن در تقاطع ستون های شماره 1، شماره 3، شماره 5 و ردیف های شماره 1، شماره 2، شماره 3 قرار دارند. بیایید این مینور را بنویسیم و مقدار آن را پیدا کنیم:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

بنابراین، همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند. آخرین مینور غیر صفر که ما گردآوری کردیم از مرتبه دوم بود. نتیجه گیری: حداکثر ترتیب مینورها که در بین آنها حداقل یکی غیر از صفر وجود دارد برابر با 2 است. بنابراین $\rang A=2$ است.

پاسخ: $\rank A=2$.

مثال شماره 2

رتبه یک ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 را پیدا کنید \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

ما یک ماتریس مربع از مرتبه چهارم داریم. بلافاصله توجه می کنیم که رتبه این ماتریس از 4 تجاوز نمی کند، یعنی. $\رتبه A≤ 4$. بیایید شروع به یافتن رتبه یک ماتریس کنیم.

در میان مینورهای مرتبه اول (یعنی در بین عناصر ماتریس $A$) حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، بنابراین $\رنگ A≥ 1$ است. ما به تأیید صغار درجه دوم می رویم. به عنوان مثال، در تقاطع ردیف های شماره 2، شماره 3 و ستون های شماره 1 و شماره 2، مینور مرتبه دوم زیر را دریافت می کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. بیایید آن را محاسبه کنیم:

$$ \ چپ| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

در میان مینورهای مرتبه دوم، حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، بنابراین $\رنگ A≥ 2$ است.

بیایید به سراغ خردسالان مرتبه سوم برویم. بیایید به عنوان مثال، یک فرعی پیدا کنیم که عناصر آن در تقاطع ردیف های شماره 1، شماره 3، شماره 4 و ستون های شماره 1، شماره 2، شماره 4 قرار دارند:

$$ \ چپ | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

از آنجایی که این مینور مرتبه سوم برابر با صفر است، لازم است یک مینور مرتبه سوم دیگر بررسی شود. یا همه آنها برابر با صفر خواهند بود (سپس رتبه برابر با 2 خواهد بود) یا در بین آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست (سپس ما شروع به مطالعه خردسالان مرتبه چهارم خواهیم کرد). یک مینور مرتبه سوم را در نظر بگیرید که عناصر آن در تقاطع ردیف های شماره 2، شماره 3، شماره 4 و ستون های شماره 2، شماره 3، شماره 4 قرار دارند:

$$ \ چپ| \begin(array) (cccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

حداقل یک مینور غیر صفر در بین مینورهای مرتبه سوم وجود دارد، بنابراین $\rang A≥ 3$ است. بیایید به بررسی مینورهای مرتبه چهارم بپردازیم.

هر جزئی از مرتبه چهارم در محل تلاقی چهار سطر و چهار ستون ماتریس $A$ قرار دارد. به عبارت دیگر، مینور مرتبه چهارم، تعیین کننده ماتریس $A$ است، زیرا این ماتریس فقط شامل 4 سطر و 4 ستون است. تعیین کننده این ماتریس در مثال شماره 2 مبحث "کاهش ترتیب تعیین کننده. تجزیه دترمینان در یک ردیف (ستون)" محاسبه شده است، بنابراین بیایید فقط نتیجه نهایی را بگیریم:

$$ \ چپ| \ آغاز (آرایه) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (آرایه)\right|=86. $$

بنابراین، مینور مرتبه چهارم برابر با صفر نیست. ما دیگر نمی توانیم خردسالان درجه پنجم را تشکیل دهیم. نتیجه گیری: بالاترین مرتبه مینورها که در بین آنها حداقل یکی غیر از صفر وجود دارد، 4 است. نتیجه: $\rang A=4$.

پاسخ: $\rank A=4$.

مثال شماره 3

رتبه یک ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 را پیدا کنید \end(آرایه)\راست)$.

فوراً توجه داشته باشید که این ماتریس شامل 3 ردیف و 4 ستون است، بنابراین $\rang A≤ 3$ است. در مثال‌های قبلی، فرآیند یافتن رتبه را با در نظر گرفتن مینورهای کوچک‌ترین (اول) مرتبه آغاز کردیم. در اینجا ما سعی خواهیم کرد فوراً خردسالان را با بالاترین مرتبه ممکن بررسی کنیم. برای ماتریس $A$، اینها مینورهای مرتبه سوم هستند. یک مینور مرتبه سوم را در نظر بگیرید که عناصرش در تقاطع ردیف های شماره 1، شماره 2، شماره 3 و ستون های شماره 2، شماره 3، شماره 4 قرار دارند:

$$ \ چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

بنابراین، بالاترین مرتبه مینورها، که در میان آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، 3 است. بنابراین، رتبه ماتریس 3 است، یعنی. $\rank A=3$.

پاسخ: $\rank A=3$.

به طور کلی، یافتن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف، در حالت کلی، یک کار نسبتا وقت گیر است. به عنوان مثال، یک ماتریس نسبتاً کوچک $5\ برابر 4 $ دارای 60 مینور درجه دوم است. و حتی اگر 59 عدد از آنها برابر با صفر باشد، ممکن است مینور 60 غیر صفر باشد. سپس باید مینورهای مرتبه سوم را کاوش کنید که این ماتریس دارای 40 قطعه است. معمولاً سعی می شود از روش های کمتر دست و پا گیر استفاده شود، مانند روش مرزبندی مینورها یا روش تبدیل های معادل.