Функции чувствительности. уравнение цифрового ПИД-регулятора. Прерывистая настройка моделей

Передаточная функция реального объекта P(s) может изменяться в процессе функционирования на величину ДP(s),например, вследствие изменения нагрузки на валу двигателя, числа яиц в инкубаторе, уровня или состава жидкости в автоклаве, вследствие старения и износа материала, появления люфта, изменения смазки и т.п. Правильно спроектированная система автоматического регулирования должна сохранять свои показатели качества не только в идеальных условиях, но и при наличии перечисленных вредных факторов. Для оценки влияния относительного изменения передаточной функции объекта ДP/P на передаточную функцию замкнутой системы Gcl

y(s) = r(s), Gcl(s) = (8)

найдём дифференциал dGcl:

Поделив обе части этого равенства на Gcl и подставив в правую часть Gcl = PR/(1+PR), получим:

Рисунок 17 - Оценка запаса по усилению и фазе для системы с годографом, показанным на рисунке 15

Из (10) виден смысл коэффициента S - он характеризует степень влияния относительного изменения передаточной функции объекта на относительное изменение передаточной функции замкнутого контура, то есть S является коэффициентом чувствительности замкнутого контура к вариации передаточной функции объекта. Поскольку коэффициент S = S(jщ) является частотно-зависимым, его называют функцией чувствительности .

Как следует из (10),

Введём обозначение:

Величина T называется комплементарной (дополнительной) функцией чувствительности , поскольку S + T = 1. Функция чувствительности позволяет оценить изменение свойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна G = PR, а замкнутой Gcl = PR/(1+PR), то их отношение Gcl/G = S. Аналогично для разомкнутой системы передаточная функция от входа возмущений d на выход замкнутой системы равна (см. ) P(s)/(1 + P(s)R(s)), а разомкнутой - P(s), следовательно, их отношение также равно S. Для передаточной функции от входа шума измерений n на выход системы можно получить то же отношение S.

Таким образом, зная вид функции S(jщ) (например, рисунок 18), можно сказать, как изменится подавление внешних воздействий на систему для разных частот после замыкания цепи обратной связи. Очевидно, шумы, лежащие в диапазоне частот, в котором |S(jщ)| > 1, после замыкания обратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, на которых |S(jщ)| < 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены.

Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воздействий) будет наблюдаться на частоте максимума Ms модуля функции чувствительности (рисунок 18):

Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости sm (рисунок 15). Для этого обратим внимание на то, что |1 + G(jщ)| представляет собой расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки на годографе функции G(jщ). Следовательно, минимальное расстояние от точки [-1, j0] до

функции G(jщ) равно:

Сопоставляя (13) и (14), можно заключить, что sm = 1/Ms. Если с ростом частоты модуль G(jщ) уменьшается, то, как видно из рисунка 15, (1- sm) ? 1/gm. Подставляя сюда соотношение sm = 1/Ms, получим оценку запаса по усилению, выраженную через максимум функции чувствительности:

Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности :

Например, при Ms = 2 получим gm ? 2 и? 29°.

Рисунок 18 - Функции чувствительности для системы с годографами, показанными на рисунке 13

Робастность - это способность системы сохранять заданный запас устойчивости при вариациях её параметров, вызванных изменением нагрузки (например, при изменении загрузки печи меняются её постоянные времени), технологическим разбросом параметров и их старением, внешними воздействиями, погрешностями вычислений и погрешностью модели объекта. Используя понятие чувствительности, можно сказать, что робастность - это низкая чувствительность запаса устойчивости к вариации параметров объекта.

Если параметры объекта изменяются в небольших пределах, когда можно использовать замену дифференциала конечным приращением, влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы можно оценить с помощью функции чувствительности (10). В частности, можно сделать вывод, что на тех частотах, где модуль функции чувствительности мал, будет мало и влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы и, соответственно, на запас устойчивости.

Для оценки влияния больших изменений параметров объекта представим передаточную функцию объекта в виде двух слагаемых:

P = P0 + ДP, (17)

где P0 - расчётная передаточная функция, ДP - величина отклонения от P0, которая должна быть устойчивой передаточной функцией. Тогда петлевое усиление разомкнутой системы можно представить в виде G = RP0 + RДP = G0 + RДP. Поскольку расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки A на годографе невозмущённой системы (для которой ДP = 0) равно |1 + G0| (рисунок 19), условие устойчивости системы с отклонением петлевого усиления RДP можно представить в виде:

|RДP| < |1+G0|,

где T - дополнительная функция чувствительности (12). Окончательно можно записать соотношение:

которое должно выполняться, чтобы система сохраняла устойчивость при изменении параметров процесса на величину ДP(jщ).

Сокращение нулей и полюсов. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы G = RP является произведением двух передаточных функций, которые в общем случае имеют и числитель, и знаменатель, то возможно сокращение полюсов, которые лежат в правой полуплоскости или близки к ней. Поскольку в реальных условиях, когда существует разброс параметров, такое сокращение выполняется неточно, то может возникнуть ситуация, когда теоретический анализ приводит к выводу, что система устойчива, хотя на самом деле при небольшом отклонении параметров процесса от расчётных значений она становится неустойчивой.

Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение полюсов, необходимо проверять устойчивость системы при реальном разбросе параметров объекта.

Рисунок 19 - Пояснение к выводу соотношения (18)

Вторым эффектом сокращения полюсов является появление существенного различия между временем установления переходного процесса в замкнутой системе при воздействии сигнала уставки и внешних возмущений. Поэтому необходимо проверять реакцию синтезированного регулятора при воздействии не только сигнала уставки, но и внешних возмущений.

Безударное переключение режимов регулирования. В ПИД-регуляторах могут существовать режимы, когда их параметры изменяются скачком. Например, когда в работающей системе требуется изменить постоянную интегрирования или когда после ручного управления системой необходимо перейти на автоматический режим. В описанных случаях могут появиться нежелательные выбросы регулируемой величины, если не принять специальных мер. Поэтому возникает задача плавного («безударного») переключения режимов работы или параметров регулятора. Основной метод решения проблемы заключается в построении такой структуры регулятора, когда изменение параметра выполнятся до этапа интегрирования. Например, при изменяющемся параметре Ti = Ti (t) интегральный член можно записать в двух формах:

I(t) = или I(t) = .

В первом случае при скачкообразном изменении Ti (t) интегральный член будет меняться скачком, во втором случае - плавно, поскольку Ti (t) находится под знаком интеграла, значение которого не может изменяться скачком.

Аналогичный метод реализуется в инкрементной форме ПИД-регулятора (см. подраздел «Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора») и в последовательной форме ПИД-регулятора , где интегрирование выполняется на заключительной стадии вычисления управляющего воздействия.

Аннотация: Рассматривается функция чувствительности, порожденная задачей выпуклого программирования, исследуются ее свойства монотонности, субдифференцируемости, замкнутости. Устанавливается связь с парето-оптимальным множеством оценок задачи многокритериальной выпуклой оптимизации. Выясняется ее роль в системах задач оптимизации. Установлено, что решение таких систем часто сводится к минимизации функции чувствительности на выпуклом множестве. Предлагаются численные методы решения таких задач, доказывается их сходимость. Библ. 20.

Ключевые слова: функция чувствительности, свойства функции чувствительности, многокритериальные выпуклые задачи оптимизации, сходимость численного алгоритма.

Англоязычная версия:
Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, 51 :12, 2000-2016

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 519.658.4
Поступила в редакцию: 30.05.2011

Образец цитирования: А. С. Антипин, А. И. Голиков, Е. В. Хорошилова, “Функция чувствительности, ее свойства и приложения”, , 51 :12 (2011), 2126-2142 ; Comput. Math. Math. Phys. , 51 :12 (2011), 2000-2016

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AntGolKho11}
\by А.~С.~Антипин, А.~И.~Голиков, Е.~В.~Хорошилова
\paper Функция чувствительности, ее свойства и приложения
\jour Ж. вычисл. матем. и матем. физ.
\yr 2011
\vol 51
\issue 12
\pages 2126--2142
\mathnet{http://mi.сайт/zvmmf9582}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2933399}
\transl
\jour Comput. Math. Math. Phys.
\yr 2011
\vol 51
\issue 12
\pages 2000--2016
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0965542511120049}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000298356400002}
\scopus{http://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84055223604}

Образцы ссылок на эту страницу:

Чувствительностью называется реакция различных устройств на изменение параметров ее компонент.

Коэффициент чувствительности (функция чувствительности или просто чувствительность ) представляет собой количественную оценку изменения параметров устройства (в т.ч. и АЭУ) при заданном изменении параметров его компонент.

Необходимость расчета функции чувствительности возникает при необходимости учета влияния на характеристики АЭУ факторов окружающей среды (температуры, радиации и т.д.), при расчете требуемых допусков на параметры компонент, при определении процента выхода ИМС, в задачах оптимизации, моделирования и т.д.

Функция чувствительности параметра устройства y к изменению параметра компонента определяется как частная производная

Данное выражение получено на основе разложения в ряд Тейлора функции нескольких переменных , где

Пренебрегая частными производными второго и более порядка, получаем связь функции чувствительности и отклонения параметра :

.

Существуют разновидности функции чувствительности:

¨ абсолютная чувствительность , абсолютное отклонение при этом равно ;

¨ относительная чувствительность , относительное отклонение равно ;

¨ полуотносительные чувствительности , .

Выбор вида функции чувствительности определяется видом решаемой задачи, например, для комплексного коэффициента передачи относительная чувствительность равна относительной чувствительности модуля (действительная часть) и полуотносительной чувствительности фазы (мнимая часть):

Для простых схем вычисление функции чувствительности может осуществляться прямым дифференцированием схемной функции, представленной в аналитическом виде. Для сложных схем, получение аналитического выражения схемной функции представляет собой сложную задачу, возможно применение прямого расчета функции чувствительности через приращения. В этом случае необходимо проводить n анализов схемы, что для сложных схем весьма нерационально.

Существует косвенный метод расчета чувствительности по передаточным функциям, предложенный Быховским . Согласно этому методу, функция чувствительности, например, прямого коэффициента передачи равна произведению функций передачи с входа схемы до элемента, относительно которого ищется чувствительность, и передаточной функции "элемент - выход схемы" (рисунок 8.4а).

Так как расчет функции чувствительности сводится к расчету передаточных функций, то для их нахождения возможно применение, например, обобщенного метода узловых потенциалов. Косвенный метод расчета по передаточным функциям позволяет находить функции чувствительности более высоких порядков. На рисунке 8.4б проиллюстрировано нахождение функции чувствительности второго порядка. В общем же существует n! путей передачи сигнала, каждый из которых содержит n+1 сомножителей.

Ниже описывается метод расчета функции чувствительности, сочетающий прямой метод дифференцирования и косвенный по передаточным функциям, позволяющий за один анализ находить чувствительность к n элементам схемы . Рассмотрим данный способ на примерах получения выражений для абсолютной чувствительности первого порядка S-параметров электронных схем, описанных матрицей проводимости [Y].

В матричном представлении характеристики электронных схем, в том числе и параметры рассеяния [S], определяются в виде отношений алгебраических дополнений матрицы [Y] (см. подраздел 7.2). Изменяемый параметр входит при этом в некоторые элементы алгебраических дополнений. Определение функции чувствительности сводится в этом случае к нахождению производных от отношений алгебраических дополнений (или алгебраических дополнений и определителя) по элементам, в которых содержится изменяемый параметр. В случае, когда изменяемый параметр входит в элементы дополнений определителя функционально, чувствительность определяется как сложная производная.

Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано на разложении определителя по Лапласу

.

Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)

.

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения :

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна

Чувствительность системы управления. 2 В промышленных условиях из-за ряда причин (изменение температуры, износ оборудования, снижение активности катализатора, снижение теплопроводности и т.п.) параметры системы управления постепенно изменяются, и их действительные значения всегда отличаются от расчётных. Влияние вариаций параметров системы на её статические и динамические свойства называют параметрическими возмущениями, а возникающие при этом отклонения характеристик системы от расчётных значений параметрическими погрешностями.

Чувствительность системы управления. 3 Под чувствительностью понимается свойство системы изменять свои выходные характеристики (показатели качества) при отклонении тех или иных параметров от своих номинальных (расчётных) значений. Для обозначения противоположного свойства пользуются термином грубость, или робастность. Системы, сохраняющие свои свойства при любых параметрических возмущениях, называют грубыми, или робастными.

Чувствительность системы управления. 4 Количественно чувствительность системы управления оценивается с помощью функций чувствительности. Функции чувствительности представляют собой частные производные i-й координаты системы по j-му параметру:, u =1,2,... (1) или частные производные от используемого критерия качества по j-му параметру: u =1,2,..., (2)

Чувствительность системы управления. 5 где порядок функции чувствительности; 0 индекс, обозначающий номинальный режим, относительно которого определяется функция чувствительности. Наибольшее распространение получили функции чувствительности 1-го порядка.

Функции чувствительности временных характеристик 6 Посредством этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчётных значений на временные характеристики системы управления (пере­ходную функцию, функцию веса и др.). Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчётным значениям и не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение.

Функции чувствительности временных характеристик 7 Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров. Движение её называют варьированным движением. Дополнительным движением называют разность между варьированным и основным движением. Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка: (i=1,..., n) (3)

Функции чувствительности временных характеристик 8 Рассмотрим мгновенные вариации параметров так, чтобы параметры приняли значения. Если изменения параметров не вызывают изменения порядка дифференциального уравнения, то варьирование движения будет описываться совокупностью уравнений: (i=1,..., n) (4) Для дополнительного движения можно записать: (5)

Функции чувствительности временных характеристик 9 При условии дифференцируемости и по параметрам дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора. Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнение первого приближения для дополнительного движения: (6) Частные производные, находящиеся в скобках, берутся при значениях переменных, соответствующих основному движению (то есть при =0).

Функции чувствительности временных характеристик 10 Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (5), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины. При значительных вариациях может оказаться необходимым использование второго приближения с удержанием в ряде Тейлора как линейных, так и квадратичных членов.

Функции чувствительности временных характеристик 11 Дифференцирование исходных уравнений (4) по приводит к уравнениям чувствительности: (7) i=1,2,...,n; j=1,2,...,m. Решение этих уравнений даёт функции чувствительности U ij. Обратимся теперь к линейным системам. Пусть система описывается совокупностью уравнений первого порядка: (i=1,2,...,n), (8)

Функции чувствительности временных характеристик 12 где a ik и b iq постоянные коэффициенты, x i фазовые координаты, а f q (t) внешнее воздействия. Начальные условия в системе: при t=0. Уравнения чувствительности получаются из (8) дифференцированием по варьируемому параметру, от которого могут зависеть коэффициенты a ik и b iq: (i=1,2,...,n), (9) частные производные от коэффициентов системы уравнений (8) по варьируемому параметру.

Функции чувствительности временных характеристик 13 Уравнениям (9) соответствуют начальные условия: (i=1,2,...,n). Если начальные условия не зависят от параметра, то уравнениям (9) соответствуют начальные нулевые условия. Для решения (9) необходимо предварительно решить совокупность уравнений (8) и определить исходное движение (i=1,...,n).

Функции чувствительности временных характеристик 14 Для нахождения функции чувствительности и дополнительного движения удобно использовать передаточные функции системы. Пусть, например, регулируемая величина y(t,) связана с задающим воздействием зависимостью: (10) где G(s) изображение задающего воздействия. Функция чувствительности может быть получена из (10) его дифференцированием по параметру: (11)

Функции чувствительности временных характеристик 15 Здесь введена функция чувствительности передаточной функции (12) которая определяет первое приближение дополнительной передаточной функции, равной разности варьируемой и исходной передаточных функций при вариации параметра (13) Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариации параметра не меняют порядка характеристического уравнения системы.

Функции чувствительности временных характеристик 17 Найдём дополнительную передаточную функцию для случая, когда исходная передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов: (15) где и вариации полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Функции чувствительности временных характеристик 19 Составим, например, модель чувствительности для передаточной функции замкнутой системы: (16) при вариации параметра. В соответствии с изложенным находим. Равенство приращений числителя и знаменателя Ф(s) позволяет упростить схему модели.

Функции чувствительности временных характеристик 21 Одной из важнейших характеристик типовой системы управления, состоящей из управляющего устройства (регулятора) W p (s) и объекта W 0 (s), является относительная функция чувствительности: (17) где К 0 коэффициент усиления объекта. Представим и, подставив в (17) передаточную функцию замкнутой системы по задающему воздействию (18)

Функции чувствительности временных характеристик 22 (19) В общем случае, когда передаточная функция зависит от ряда варьирующих параметров, дополнительная передаточная функция: (20) Если к системе приложено несколько внешних воздействий , то следует найти дополнительные передаточные функции для всех исходных передаточных функций, определённых для каждого внешнего воздействия.

Функции чувствительности критериев качества 23 Если в системе произошли изменения ряда параметров, то результирующее изменение некоторой используемой оценки качества: (20) где варьированное значение оценки качества, а её исходное значение, можно подсчитать по формуле полного дифференциала: (21)

Функции чувствительности критериев качества 24 Так как в большинстве случаев известны только вероятностные оценки вариации, то целесообразно использование вероятностных методов. Так, если известны максимальные возможные отклонения, то при их независимости друг от друга можно найти среднеквадратичный максимум отклонения оценки качества: (22) и среднеквадратичный относительный максимум: (23)

Функции чувствительности критериев качества 25 Если заданы дисперсии отклонения параметров и отклонения независимы, то можно найти дисперсию оценки качества: (24) В качестве критерия оценки качества системы могут использоваться, например, максимум ошибки, коэффициенты ошибок, оценки запаса устойчивости и быстродействия, интегральные оценки и т.п.

Пример 26 Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: Требуется определить среднеквадратичный максимум отклонения показателя колебательности, если и, причём изменения параметров независимы. Определим вначале исходное значение показателя колебательности. Для этого необходимо найти максимум модуля частотной передаточной функции (АФХ) замкнутой системы:

2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности" title="Пример 27 Исследование на максимум даёт: при КТ2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности" class="link_thumb"> 27 Пример 27 Исследование на максимум даёт: при КТ2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности 2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности"> 2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности"> 2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности" title="Пример 27 Исследование на максимум даёт: при КТ2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности"> title="Пример 27 Исследование на максимум даёт: при КТ2 Функции чувствительности, если Среднеквадратичный максимум отклонения: Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности">

Контрольные вопросы Каков физический смысл чувствительности? 2. Какова математическая интерпретация чувствительности? 3. Каким образом получают уравнение чувствительности? 4. Каким образом получают начальные условия для решения уравнений чувствительности? 5. Чем обусловлено удобство применения функций чувствительности передаточной функции? 6. Какую информацию получают по модели чувствительности? 7. В чём смысл функций чувствительности критериев качества?

Рекомендуемая литература Кривошеев В.П. Основы теории управления: Конспект лекций. Часть 2. Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, – 83 с. 2. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, – 416 с.

30 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.

Знание функций чувствительности этой целевой функции будет весьма полезным для оперативного управления состоянием расчетного счета компании в условиях влияния рисков.

3.3. Виды и свойства функций чувствительности

При расчете функций чувствительности следует различать краткосрочное и долгосрочное воздействие рисковых событий. Соответственно определим два вида функций чувствительности:

Локальная чувствительность – чувствительность при локальном (краткосрочном во времени) влиянии риск-параметра, т.е. когда отклонение имеет место только в течение одного или нескольких периодов существенно меньших общего горизонта планирования (рис.3.2).

Глобальная чувствительность – чувствительность при глобальном (длительном во времени) влиянии риск-параметра, т.е. когда отклонение может иметь место по всему горизонту планирования, начиная с некоторого момента (рис.3.3).

Какой из приведенных вариантов чувствительности следует выбрать, зависит от того, как долго будут действовать те или иные рисковые события в реальной ситуации.

Здесь уместна аналогия с анализом реакции линейных систем на основе импульсных и переходных характеристик последних . Если в качестве единичного воздействия в момент τ используется дельта-

функция Дирака - δ (t-τ), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна импульсной характеристике системы g(t- τ). Если в качестве единичного воздействия в некоторый момент времени используется функция Хевисайда (единичный скачек) - 1(t-τ), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна переходной характеристике системы h(t-τ).

В нашем случае роль дельта-функции может играть локальный во времени скачок риск-параметра LdX(t-τ), тогда реакция инвестиционного проекта будет пропорциональна локальной чувствительность LS(t-τ) на заданное воздействие. Функции Хевисайда 1(t-τ) будет соответствовать глобальное во времени изменение риск-параметра GdX(t-τ), что даст

реакцию пропорциональную глобальной функции чувствительности GS(t- τ). На рис.3.2 приведены соответствующие функциональные аналогии.

Локальная аналогия

Глобальная аналогия

Рис.3.4. Аналогии с линейными системами

Как известно , для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, а именно: реакция системы на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. На основе этого принципа, зная характеристики системы g(t) или h(t) , можно найти как связь между ними, так и реакцию системы на воздействие любого вида. В нашем случае из принципа суперпозиции можно получить связь между глобальными и соответствующими локальными функциями чувствительности. Пусть время меняется дискретно:

t = 0, 1, 2, … n, … N,

где t = N – горизонт планирования;

t = k – момент начала воздействия глобального риска;

t = k+j, (j = 0, 1, … n–k) – моменты существования локальных рисков;

t = n ≥ k+j – произвольный (текущий) момент наблюдения реакции системы на заданное воздействие.

Тогда глобальную чувствительность, описывающую реакцию системы на воздействие глобального рискового события, начавшегося в момент t = k и длящегося вплоть до горизонта планирования, можно выразить как суперпозицию локальных чувствительностей, соответствующих совокупности воздействий локальных (длительностью в один период) рисков, появляющихся в моменты от t = k и до t = k +j, (j = 0, 1, … n – k) , а именно:

Следует заметить, что локальные функции чувствительности всегда быстрее убывают, чем одноименные глобальные функции для всех периодов времени. Это объясняется тем, что локальное действие какоголибо риска длится короткое время, а глобальный риск (равный сумме локальных рисков) действует все время с момента его возникновения и эффект от него накапливается от периода к периоду. Можно говорить, что функции глобальной чувствительности отражают стратегические последствия влияния длительных отклонений параметров на инвестиционный проект. В тоже время локальные чувствительности отражают тактические последствия, краткосрочных изменений во внешней и внутренней среде бизнеса.

Свойства целевых функций модели финансовых потоков

При использовании аналитического аппарата анализа линейных систем следует иметь в виду, что финансовая модель инвестиционного проекта может не быть строго линейной, однако, как показали эксперименты на множестве различных инвестиционных проектов, даже в широких пределах вариаций риск-параметров точность анализа чувствительностей оставалась вполне приемлемой. Однако прежде чем использовать данную методику целесообразно проверить целевую функцию конкретного инвестиционного проекта на линейность по выбранным риск-параметрам. Для этого достаточно проверить выполнение следующего условия пропорциональности:

где а – некоторая произвольная константа.

Рассмотрим ситуации, когда целевая функция будет нелинейной:

1. NPV нелинейно зависит от ставки дисконтирования, т.к. последняя возводится в степень «t ».

2. Целевая функция может нелинейно зависеть от банковской ставки по кредиту в случае, когда имеет место отсрочка уплаты процентов, т.к. при этом проценты будут начисляться по схеме сложных процентов, что приведет к нелинейности.

3. Целевая функция ( NPV , накопленное сальдо финансовых потоков, накопленный чистый финансовый поток и др.) может нелинейно зависеть от цены, реализуемого товара, если натуральный объем продаж этого товара существенно зависит от его цены.

4. Если в начальной стадии реализации проекта чистая прибыль отсутствует (имеют место убытки), то целевые функции будут нелинейными по отношению к риск-параметрам в эти периоды времени, т.к. зависимости чистой прибыли от риск-параметров будут кусочно-линейными функциями. После выхода проекта на

положительную чистую прибыль, указанная нелинейность становится несущественной.

В работе предлагается помимо чувствительностей первого порядка (3.2) использовать чувствительности второго порядка в случаях, когда нелинейность целевой функции по каким-либо риск-параметрам существенна и ею пренебречь нельзя. Ниже в разделе 3.7 этот подход будет рассмотрен более подробно.

Продолжим изучение свойств целевых функций. Если в качестве риск-параметров выбираются цены продаж производимых товаров в ходе реализации инвестиционного проекта, то в каждом периоде планирования целевая функция (например, накопленный чистый финансовый поток в случае двух товаров) будет иметь вид:

Y = a (p1 Q 1 + p 2 Q 2 ) + b

где p 1,2 - цены, а Q 1,2 - натуральные объемы продаж. Если можно пренебречь зависимостью Q(p) , то с помощью (3.2) получаем функции чувствительности для рассматриваемого периода:

Нетрудно видеть, что, отношение этих функций чувствительности будет равно отношению объемов продаж в денежном выражении соответствующих товаров в данном периоде. Следовательно, структура функций чувствительности по ценам будет в точности соответствовать структуре объемов продаж в денежном выражении, т.е.

Это вывод справедлив для любого количества товаров, входящих в ассортимент. Если отдельные группы товаров, имеющиеся в ассортименте, имеют различные ставки НДС, то сделанный выше вывод будет справедлив, если в расчетах чувствительности и в расчетах структуры объемов продаж будут использованы цены без НДС.

Указанное свойство функций чувствительности к ценам позволяет существенно уменьшить объем вычислений последних в случае широкого ассортимента товаров, когда необходимо знать чувствительность по всем ценам.

Если указанной выше зависимостью Q(p) пренебречь нельзя, то в этом случае связь функций чувствительности со структурой продаж сохранится на качественном уровне, т.е. чем больше доля данного товара по сравнению с другими в общей выручке, тем выше его чувствительность к цене.

Далее рассмотрим знак функции чувствительности. Функция чувствительности будет положительной для всех моментов времени, если с увеличением (уменьшением) отклонения риск-параметра значение целевой функции увеличивается (уменьшается) при условии положительности самой целевой функции. Так, например, чувствительности накопленного сальдо финансовых потоков к ценам и натуральным объемам продаж произведенных товаров всегда положительны, а чувствительности той же целевой функции к отклонениям любых издержек, а также к банковским ставкам по кредитам всегда отрицательны. Исключением из этого правила