Моменты

Производящая функция моментов случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y \sim \mathrm{Log}(p) задаётся формулой

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \{X_i\}_{i=1}^n последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots . Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): N \sim \mathrm{P}(\lambda) - Пуассоновская случайная величина. Тогда

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]] .

.[[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: Ошибка Lua: callParserFunction: function "#property" was not found. )]]

Напишите отзыв о статье "Логарифмическое распределение"

Отрывок, характеризующий Логарифмическое распределение

В случае, если все же среди есть отрицательные или нулевые члены, то тогда можно к каждому члену ряда прибавить некоторую константу, например, . По одному из свойств математического ожидания, эта операция не изменит основные статистические характеристики ряда. Эта операция позволяет перейти к логнормальному распределению в указанном случае.

В результате применения операции логарифмирования (36) к исследуемому ряду су-щественно уменьшается разброс между данными. Это можно видеть из рис. 9.16 : очевидно, что .

Функция распределения нового ряда будет равна

(37)

Но тогда

(38)

(39)

И, наконец,

(40)

Формулы (37) – (40) дают связь между логнормальным и исходным распределениями.

Закон распределения Пуассона (закон распределения редких явлений)

Все распределения при достаточно большом числе испытаний стремятся к нормальному закону распределения. Однако, если среди данных есть редкие, исключительные результаты, то распределения этих редких явлений, в то время когда основная масса стремится к нормальному закону, стремится к другому закону – закону распределения Пуассона . Для этого закона характерно, что при вероятности либо стремятся к нулю. В этом случае биноминальное распределение Пуассона переходит в

(41)

Где имеет тот же смысл, что и в нормальном распределении.

Закон распределения Пуассона , задаваемый формулой (41), описывает вероятность появления событий, происходящих через приблизительно равные промежутки времени, при условии, что все события происходят независимо друг от друга и с некоторой интенсивностью, пусть даже очень маленькой, но обязательно постоянной. Число испытаний при этом велико, а вероятность появления ожидаемого события очень мала и равна . Параметр тогда будет характеризовать интенсивность появления ожидаемого события в последовательности испытаний.

В таком случае попытаемся вычислить матожидание.

Характерной особенностью этого вида распределения будут следующие математические соотношения:

Пример 5 . На полигоне было отобрано 150 образцов. В некоторых из них нашли присутствие редкого элемента:

Определить закон распределения искомого элемента.

Решение . Для ответа на вопрос в задаче следует проверить выполнение равенства (45), являющегося характерным признаком распределения Пуассона . Для простоты вычислений будем брать не сотые доли, а числа, увеличенные в 100 раз, т.е.

В связи с тем что , заключаем, что распределение искомого элемента подчиняется закону распределения Пуассона . Теперь, пользуясь соотношениями (42) вычислим через теоретическое , сравним его с исходной частотой , и

Логарифмическое распределение в теории вероятностей - класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины $Y$ задаётся функцией вероятности:

$p\_Y(k)\; \backslash equiv\; \backslash mathbb\{P\}(Y=k)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash ln(1-p)\}\; \backslash frac\{p^k\}\{k\},\backslash ;\; k=1,2,3,\backslash ldots$,

где $0$

Тогда говорят, что $Y$ имеет логарифмическое распределение с параметром $p$. Пишут: $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Log\}(p)$.

Функция распределения случайной величины $Y$ кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

$F\_Y(y)\; =\; \backslash left\backslash \{$

\begin{matrix} 0, & y < 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0

$\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}p\_Y(k)\; =\; 1$.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Log\}(p)$ задаётся формулой

$M\_Y(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\backslash left\}\{\backslash ln\}$,

$\backslash mathbb\{E\}[Y]\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln(1-p)\}\; \backslash frac\{p\}\{1-p\}$, $\backslash mathrm\{D\}[Y]\; =\; -p\; \backslash ;\backslash frac\{p\; +\; \backslash ln(1-p)\}\{(1-p)^2\backslash ,\backslash ln^2(1-p)\}$.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i=1\}^n$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{Log\}(p),\; \backslash ;\; i=1,2,\backslash ldots$. Пусть $N\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{P\}(\backslash lambda)$ - Пуассоновская случайная величина. Тогда

$Y\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^N\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{NB\}$.

Приложения

Напишите отзыв о статье "Логарифмическое распределение"

Отрывок, характеризующий Логарифмическое распределение

Ветер стих, черные тучи низко нависли над местом сражения, сливаясь на горизонте с пороховым дымом. Становилось темно, и тем яснее обозначалось в двух местах зарево пожаров. Канонада стала слабее, но трескотня ружей сзади и справа слышалась еще чаще и ближе. Как только Тушин с своими орудиями, объезжая и наезжая на раненых, вышел из под огня и спустился в овраг, его встретило начальство и адъютанты, в числе которых были и штаб офицер и Жерков, два раза посланный и ни разу не доехавший до батареи Тушина. Все они, перебивая один другого, отдавали и передавали приказания, как и куда итти, и делали ему упреки и замечания. Тушин ничем не распоряжался и молча, боясь говорить, потому что при каждом слове он готов был, сам не зная отчего, заплакать, ехал сзади на своей артиллерийской кляче. Хотя раненых велено было бросать, много из них тащилось за войсками и просилось на орудия. Тот самый молодцоватый пехотный офицер, который перед сражением выскочил из шалаша Тушина, был, с пулей в животе, положен на лафет Матвевны. Под горой бледный гусарский юнкер, одною рукой поддерживая другую, подошел к Тушину и попросился сесть.

Логарифмически нормальная функция распределения нашла широкое применение при анализе надежности объектов техники, биологии, экономики и др. Например, функцию успешно применяют для описания наработки до отказа подшипников, электронных приборов и других изделий.

Неотрицательные случайные значения некоторого параметра распределены логарифмически нормально, если его логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Плотность распределения описывается зависимостью

где М х и σ – параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа:

(4.4)

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности

(4.5)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл. П6.1 приложения 6) в зависимости от значения квантиля

Математическое ожидание наработки до отказа

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно будут равны

Если v x ≤ 0,3, то полагают, что ν x = σ, при этом ошибка составляет не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона распределения в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения

Оценки параметров lg x 0 и σ определяют по результатам испытаний:

Математическое ожидание М х, среднее квадратическое отклонение σ x и коэффициент вариации ν x наработки до отказа соответственно равны

Пример 4.6

Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t = 103 ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t 0 = 3,6; σ = 0,3.

Решение

Найдем значение квантиля и определим вероятность безотказной работы:

Ответ: R (t ) = 0,0228.

Распределение Вейбулла

Функция распределения Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Описываемый ею закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона распределения В. Вейбулл использовал его при описании и анализе экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов электронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в том числе автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью

где α – параметр формы кривой распределения; λ – параметр масштаба кривой распределения.

График функции плотности распределения приведен на рис. 4.4.

Рис. 4.4.

Функция распределения Вейбулла

Функция надежности для этого закона распределения

Математическое ожидание случайной величины х равно

где Г(x ) – гамма-функция.

Для непрерывных значений х

Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле

также верны формулы

Дисперсия случайной величины равна

Широкое применение при анализе и расчетах надежности изделий закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α.

Подбирая нужным образом параметры а и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр λ).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не используются (а значит, медленнее стареют), опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром α < 1.

Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром α > 1. При α = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.

Случайная величина называется логарифмически-нормально распределенной, если ее логарифм подчинен нормальному закону распределения.

Это означает, в частности, что значения логарифмически-нормальной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа взаимно независимых факторов, причем воздействие каждого отдельного фактора «равномерно незначительно» и равновероятно по знаку. При этом в отличие от схемы формирования механизма нормального закона последовательный характер воздействия случайных факторов таков, что случайный прирост, вызываемый действием каждого следующего фактора, пропорционален уже достигнутому к этому моменту значению исследуемой величины (в этом случае говорят о мультипликативном характере воздействия фактора). Математически сказанное может быть формализовано следующим образом. Если - неслучайная компонента исследуемого признака (т. е. как бы «истинное» значение в идеализированной схеме, когда устранено влияние всех случайных факторов), - численное выражение эффектов воздействия упомянутых выше случайных факторов, то последовательно трансформированные действием этих факторов значения исследуемого признака будут:

Отсюда легко получить

где . Но правая часть (6.11) есть результат аддитивного действия множества случайных факторов, что при сделанных выше предположениях должно приводить, как мы знаем (см. п. 6.1.5, а также § 7.3, посвященный центральной предельной теореме), к нормальному распределению этой суммы.

В то же время, учитывая достаточную многочисленность числа случайных слагаемых (т. е. полагая ) и относительную незначительность воздействия каждого из них (т. е. полагая ), можно от суммы в левой части (6.11) перейти к интегралу

Это. и означает в конечном счете, что логарифм интересующей нас величины (уменьшенный на постоянную величину подчиняется нормальному закону с нулевым средним значением, т. е.

откуда дифференцированием по x левой и правой частей этого соотношения получаем

(правомерность использованного при вычислении тождества вытекает из строгой монотонности преобразования

Описанная схема формирования значений логарифмически-нормальной случайной величины оказывается характерной для многих конкретных физических и социально-экономических ситуаций (размеры и вес частиц, образующихся при дроблении; заработная плата работника; доход семьи; размеры космических образований; долговечность изделия, работающего в режиме износа и старения и др.; см., например, , , ).

Пример 6.1. В качестве случайной величины рассматривается душевой месячный доход (в долларах) семьи некоторой совокупности семей. Обследовано n=750 семей.

Таблица 6.1

Таблица 6.2

В табл. 6.1 и 6.2 приведены результаты группировки выборочных данных и их логарифмов соответственно (ширина интервала группирования равна 25 долларам). На рис. 6.1, а, б изображены гистограммы и плотности соответственно логарифмически-нормального и нормального законов распределения.

Рис. 6 1. Гистограмма и теоретическая (модельная) плотность, характеризующие распределение семей по среднедушевому месячному доходу (а) и по логарифму среднедушевого месячного дохода (б)

Ниже приводятся результаты вычисления основных числовых характеристик логарифмически-нормального распределения (в терминах параметров закона а и ):

Из этих выражений видно, что асимметрия и эксцесс логарифмически-нормального распределения всегда положительны (и тем ближе к нулю, чем ближе к нулю ), а мода, медиана и среднее выстраиваются как раз в том порядке, который мы видим на рис. 5.8, причем они будут стремиться к слиянию (а кривая плотности - к симметрии) по мере стремления к нулю величины При этом, хотя значения логарифмически-нормальной случайной величины образуются как «случайные искажения» некоторого «истинного значения» а, последнее в конечном счете выступает не в роли среднего значения, а в роли медианы.