Геометрическое изображение функции двух переменных. Поверхности и линии уровня Соотношения на разрыве

Линии разрыва (fault). Данная операция позволяет отрисовать структурную линию, которая в каждой точке имеет две отметки. Такая структурная линия называется линией разрыва. Пример линии разрыва – подпорная стенка и бордюр (борт, для питерцев – поребрик:)). Подписать двойные отметки на бордюре можно специальной командой .

При вызове функции выводится диалоговое окно, где необходимо указать требуемые параметры.

При выборе "Брать фиксированное значение отметки" введите численное значение отметки.

При выборе "Брать по Поверхности" выберите из списка имя существующей поверхности.

Тип линии разрыва – левая или правая.

Совет. При установке флажка «Сохранять значение разности отметок» – отметка верха определяется таким образом: к отметке низа добавляется значение разности, и отметка верха становится нередактируемой. Если же необходимо ее отредактировать, то отключите флажок разностей и включите флажок этой отметки – она станет доступна для редактирования.

Значения отметок и разности можно контролировать и редактировать в диалоговом окне:

Это окно появляется после того, как на запрос программы "Введите первую точку или [оПции(P)]:" указана точка.

Запоминается, в каком из значений был ввод. При следующем вызове окна ввод начинается с запомненного поля.

Имеется возможность отключать отметку, которая неизвестна, – первый столбец флажков.

После ввода всей структурной линии неизвестные отметки рассчитываются исходя из значений известных отметок, если это возможно.

Последний столбец флажков – это базовая отметка для пересчета (имеет смысл привключенных слева флажках).

Если базовая отметка не изменяется, а изменяется одна из небазовых, то пересчитывается другая небазовая. А если базовая нижняя или верхняя и менять ее – меняется средняя; если базовая средняя и менять ее – по умолчанию меняется верхняя.

При выключении одного из флажков в первом столбце смысл базовой отметки теряется.

Имееется ряд радиокнопок, которые предлагают отметку для начального ввода. Если выбрана "Последняя", то предлагается последняя введенная отметка.

Линия разрыва – это специальный объект, геон. Смещение в плане между верхом и низом устанавливается в диалоговом окне "Установки поверхностей" в закладке "Установки структурных линий" в секции "Дополнительные параметры линий разрыва" с помощью параметра "Величина смещения линии разрыва при построении".

В конце отрисовки структурной линии сдвига появляется запрос-подтверждение такого вида:

"Укажите точкой сторону сдвига структурной линии <Линия разрыва (Правая)> или :".

Пользователь либо указывает сторону сдвига структурной линии точкой (для удобства ввода точки появляется резиновая линия от последней введенной точки структурной линии до указываемой точки), либо подтверждает тип сдвига, заданный первоначально (любой другой ввод).

При привязке (например, _Nea) привязка производится к низу структурной линии.

В структурную линию разрыва добавлены следующие возможности:

§ возможность привязки к верхней линии,

§ отображение стороны сдвига,

§ возможность задавать величину сдвига при построении поверхности (достаточно 0.01),

§ при команде _Explode она преобразовывается в две геолинии.

В начертательной геометрии поверхность рассматривают как множество последовательных положений движущейся линии или другой поверхности в пространстве. Линию, перемещающуюся в пространстве и образующую поверхность, называют образующей. Образующие могут быть прямыми и кривыми. Кривые образующие могут быть постоянными и переменными, например закономерно изменяющимися.

Одна и та же поверхность в ряде случаев может рассматриваться как образованная движениями различных образующих. Например, круговой цилиндр может быть образован: во-первых, вращением прямой относительно неподвижной оси, параллельной образующей; во-вторых, движением окружности, центр которой перемещается по прямой, перпендикулярной плоскости окружности; в-третьих, прямолинейным движением сферы.

При изображении поверхности на чертеже показывают лишь некоторые из множества возможных положений образующей. На рис. 8.1 показана поверхность образующей АВ. При своем движении образующая остается параллельной направлению MN и одновременно пересекает некоторую кривую линию CDE. Таким образом, движение образующей AB направляется в пространстве линией CDE.

Линию или линии, пересечение с которыми является обязательным условием движения образующей при образовании поверхности, называют направляющей или направляющими.

На рис. 8.2 показана поверхность, образованная движением прямой AB по двум направляющим – прямой O1 <⅞ (ABE O iO 2) и пространственной кривой FGL, не пересекающей прямую O10 2.

Иногда в качестве направляющей используют линию, по которой движется некоторая характерная для образующей точка, но не лежащая на ней, например центр окружности.

Из различных форм образующих, направляющих, а также закономерностей образования конкретной поверхности выбирают те, которые являются наиболее простыми и удобными для изображения на чертеже поверхности и решения задач, связанных с нею.

Иногда для задания поверхности используют понятие "определитель поверхности", под которым подразумевают совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. В числе условий, входящих в состав определителя, различают геометрическую часть (точки, линии, поверхности) и закон (алгоритм) образования поверхности геометрической частью определителя.

Рассмотрим краткую классификацию кривых поверхностей, принятую в начертательной геометрии.

Линейчатые развертываемые поверхности. Поверхность, которая может быть образована прямой линией, называют линейчатой поверхностью. Если линейчатая поверхность может быть развернута так, что всеми своими точками она совместится с плоскостью без каких-либо повреждений поверхности (разрывов или складок), то ее называют развертываемой. К развертываемым поверхностям относятся только такие линейчатые поверхности, у которых смежные прямолинейные образующие параллельны или пересекаются между собой, или являются касательными к некоторой пространственной кривой. Все остальные линейчатые и все нелинейчатые поверхности относятся к неразвертываемым поверхностям.

Развертываемые поверхности – цилиндрические, конические, с ребром возврата или торсовые. У цилиндрической поверхности образующие всегда параллельны, направляющая – одна кривая линия. Изображение на чертеже ранее показанной в пространстве цилиндрической поверхности (см. рис. 8.1) представлено на рис. 8.3. Частные случаи – прямой круговой цилиндр, наклонный круговой цилиндр (см. рис. 9.17, направляющая-окружность, плоскость которой расположена под углом к оси цилиндра и с центром на его оси). У конических поверхностей все прямолинейные образующие имеют общую неподвижную точку – вершину, направляющая – одна любая кривая линия. Пример изображения конической

поверхности на чертеже – рис. 8.4, проекции вершины G", G", направляющей C"D"E", C"D"E". Частные случаи – прямой круговой конус, наклонный круговой конус – см. рис. 10.10, справа. У поверхностей с ребром возврата или торсовых прямолинейные образующие касательны к одной криволинейной направляющей.

Линейчатые неразвертываемые поверхности: цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость). Поверхность, называемая цилиндроидом, образуется при перемещении прямой линии, во всех своих положениях сохраняющей параллельность некоторой заданной плоскости ("плоскости параллелизма") и пересекающей две кривые линии (две направляющие). Поверхность, называемая коноидом, образуется при перемещении прямой линии, во всех своих положениях сохраняющей параллельность некоторой плоскости ("плоскости параллелизма") и пересекающей две направляющие, одна из которых кривая, а другая – прямая линия (рис. 8.5, см. также рис. 8.2). Плоскостью параллелизма на рис. 8.5 является плоскость π1;

направляющие – кривая с проекциями E"G"F", E"G"F", прямая с проекциями О",0", О" ,0. В частном случае, если криволинейная направляющая – цилиндрическая винтовая линия с осью, совпадающей с прямолинейной направляющей, образуемая поверхность – винтовой коноид, рассматриваемый ниже. Чертеж гиперболического параболоида, называемого косой плоскостью, приведен на рис. 8.6. Образование этой поверхности можно рассматривать как результат перемещения прямолинейной образующей по двум направляющим – скрещивающимся прямым параллельно некоторой плоскости параллелизма. На рис. 8.6 плоскость параллелизма – плоскость проекции яь направляющие – прямые с проекциями M"N", M"N" и F"G", F"G".

Нелинейчатые поверхности. Их подразделяют на поверхности с постоянной образующей и с переменной образующей.

Поверхности с постоянной образующей в свою очередь подразделяют на поверхности вращения с криволинейной образующей, например сфера, тор, эллипсоид вращения и др., и на циклические поверхности, например поверхности изогнутых труб постоянного сечения, пружин.

Поверхности с переменной образующей подразделяют на поверхности второго порядка, циклические с переменной образующей, каркасные. Чертеж поверхности второго порядка – эллипсоида приведен на рис. 8.7. Образующая эллипсоида – деформирующийся эллипс. Две направляющие – два пересекающихся эллипса, плоскости которых ортогональны и одна ось – общая. Образующая пересекает направляющие в крайних точках своих осей.

Плоскость образующего эллипса при перемещении остается параллельной плоскости, образованной двумя пересекающимися осями направляющих эллипсов.

Циклические поверхности с переменной образующей имеют образующую – окружность переменного радиуса, направляющую – кривую, по которой перемещается центр образующей, плоскость образующей перпендикулярна направляющей. Каркасную поверхность задают не движущейся образующей, а некоторым количеством линий на поверхности.

Обычно такие линии – плоские кривые,

плоскости которых параллельны между собой. Две группы таких линий пересекают друг друга и образуют линейчатый каркас поверхности. Точки пересечения линий образуют точечный каркас поверхности. Точечный каркас поверхности может быть задан и координатами точек поверхности. Каркасные поверхности широко используют при конструировании корпусов судов, самолетов, автомобилей, баллонов электронно-лучевых трубок.

Из указанных поверхностей рассмотрим более подробно винтовую.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .

Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .

Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).

Примеры.

Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел
, являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией нескольких независимых переменных
в множествеМ , если каждому набору чисел
из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z . Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f
,z = z
.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z = f (x , y ) , (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z = f(x,y)

M y

Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами
. Например, прис =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М 0 (х 0 , у 0 ) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М 0 множество точек М с координатами
, удовлетворяющими условию

где
- координаты точкиМ 0 . Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f
в точкеМ 0 , если

такое, что | f (M ) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0 .

Обозначения:
.

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f
называетсянепрерывной в точке М 0
, если
(1.2)

Если ввести обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .

Поверхностью уровня поля называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид: или

Кривые безразличия - представляют собой совокупность точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей. Кривая безразличия является графическим отображением набора безразличия

ВОПРОС 36. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Последовательные пределы.

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство

Обозначается предел

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

ВОПРОС 37. Дифференцируемость функции и дифференциал первого порядка, частные дифференциалы и частные производные первого порядка.

ВОПРОС 38.Градиент и производная по направлению.

ВОПРОС 39.Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании таможенных процессов.

Предположим, что функция f"(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f""(x) или y(2), y""(x). Аналогично можно ввести понятие второй, третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y(n) = (y(n-1))". (6)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))(n) = u(n)v+nu(n-1)v"+(n(n-1)/2)u(n-2)v""+...+ uv(n) =

Sk = 0nCnku(n-k)v(k),

Cnk = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = ex(x2-1). Найти y(10). Положим u(x) = ex,

v(x) = (x2-1). Согласно формуле Лейбница

y(10) = (ex)(25)(x2-1)+10(ex)(9)(x2-1)"+(10· 9/2) (ex)(8)(x2-1)"",

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y(10) = ex(x2-1)+10ex2x+(10· 9/2)ex (2) = ex(x2+20x+89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d2y.

Таким образом,

d2y = d (dy)|d x = dx.

Дифференциал dny можно ввести по индукции.

ВОПРОС 40. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных. Экстремальные задачи в моделировании таможенных процессов.

Локальный экстремум .

Пусть дана функция , определенная в открытой области пространства , и пусть точка .

Определение1. Точка называется точкой минимума функции если существует окрестность точки, в которой выполняется неравенство:

Т.е.

(аналогично точка максимума)

ЛИНИЯ РАЗРЫВА

ЛИНИЯ РАЗРЫВА

Прямая, проведенная через точку разрыва параллельно линии боевого пути самолета.

Самойлов К. И. Морской словарь. - М.-Л.: Государственное Военно-морское Издательство НКВМФ Союза ССР , 1941

Смотреть что такое "ЛИНИЯ РАЗРЫВА" в других словарях:

См. Разрыв. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

линия разрыва - sprogimo linija statusas T sritis Gynyba apibrėžtis Tiesė, jungianti pabūklą su sprogimu. atitikmenys: angl. line of burst rus. линия разрыва … Artilerijos terminų žodynas

ЛИНИЯ СДВИГА ВЕТРА - линия разрыва ветра, граница между зонами с различными скоростями или направлением ветра … Словарь ветров

Находящаяся в плоскости кровли или подошвы пласта (слоя, жилы и др. геол. тел) или в плоскости разрыва. к линии простирания; направлена вниз по падению пласта (слоя, жилы) или плоскости разрыва. См. Падение. Геологический словарь: в 2 х томах. М … Геологическая энциклопедия

ЛИНИЯ - (1) общая часть двух смежных областей поверхности; (2) Л. автоматическая комплекс станков и машин, основного и вспомогательного оборудования, автоматически выполняющих в технологической последовательности и с заданным ритмом весь процесс… … Большая политехническая энциклопедия

Линия пересечения кровли или подошвы пласта (слоя, жилы и др. геол. тел) или плоскости разрыва с горизонтальной плоскостью. См. Простирание. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

Прямая линия, соединяющая точку разрыва с точкой сбрасывания. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь

Эта статья или раздел статьи содержит информацию об ожидаемом событии или запланированном объекте инфраструктуры, связанном с метро. Содержание ста … Википедия

- (ВОЛП), Волоконно оптическая линия связи (ВОЛС) волоконно оптическая система, состоящая из пассивных и активных элементов, предназначенная для передачи информации в оптическом (как правило ближнем инфракрасном) диапазоне. Содержание 1 … Википедия

ПЕРЕЛОМЫ - ПЕРЕЛОМЫ, всякое полное нарушение целости твердого предмета (Wegner), в данном случае кости. П., являясь результатом наиболее тяжелых травм, составляют одну из самых серьезных глав травматологии. По статистике Брунса (London Hospital 300 000… … Большая медицинская энциклопедия

Книги

• Литературная классика на экране. Ни шагу назад (4DVD) , Ершов Михаил Иванович, Столпер Александр, Егиазаров Гавриил Георгиевич. 1. БЛОКАДА. ЧАСТЬ 1 (1975 г., 2 фильма, 177 мин.) Киноэпопея по одноимённому роману Александра Чаковского. Награды ВКФ. К лету 1941 года фашистские захватчики подошли к Ленинграду. Только…