Impulsne i prijelazne karakteristike rc sklopova. Prijenosna funkcija i impulsni odziv kruga. Prijelazne i impulsne karakteristike

Akademija Rusije

Zavod za fiziku

Predavanje

Prijelazne i impulsne karakteristike električnih krugova

Orao 2009

Obrazovni i obrazovni ciljevi:

Objasniti studentima suštinu prijelaznih i impulsnih karakteristika električnih krugova, pokazati povezanost između karakteristika, obratiti pozornost na korištenje razmatranih karakteristika za analizu i sintezu električnih krugova, te imati za cilj kvalitetnu pripremu za praktičnu nastavu. trening.

Raspodjela vremena predavanja

Uvodni dio………………………………………………………5 min.

Pitanja za proučavanje:

1. Prijelazne karakteristike električnih krugova………………15 min.

2. Duhamelovi integrali……………………………………………………………...25 min.

3. Impulsne karakteristike električnih krugova. Odnos između karakteristika…………………………………………….………...25 min.

4. Konvolucijski integrali………………………………………….15 min.

Zaključak……………………………………………………5 min.

1. Prijelazne karakteristike električnih krugova

Prijelazni odziv kruga (poput impulsnog odziva) odnosi se na privremene karakteristike kruga, tj. izražava određeni prijelazni proces pod unaprijed određenim utjecajima i početnim uvjetima.

Za usporedbu električnih krugova prema njihovom odgovoru na te utjecaje, potrebno je krugove postaviti u iste uvjete. Najjednostavniji i najprikladniji su nulti početni uvjeti.

Prijelazni odziv sklopa je omjer reakcije lanca na postupni udar prema veličini ovog udara pri nultim početnim uvjetima.

Po definiciji,

Ako je prijelazni odziv kruga poznat (ili se može izračunati), tada iz formule možete pronaći reakciju ovog kruga na postupni učinak na nuli NL

Uspostavimo vezu između prijenosne funkcije operatora sklopa, koja je često poznata (ili se može pronaći), i prijelaznog odziva tog sklopa. Da bismo to učinili, koristimo uvedeni koncept operatorske prijenosne funkcije:

Omjer Laplace-transformirane reakcije lanca i veličine udarca

Stoga .

Odavde se prijelazna karakteristika kruga operatora nalazi korištenjem prijenosne funkcije operatora.

Za određivanje prijelaznog odziva kruga potrebno je primijeniti inverznu Laplaceovu transformaciju:

pomoću tablice korespondencije ili (preliminarno) teorema o dekompoziciji.

Primjer: odredite prijelazni odziv za odziv napona na kapacitet u seriji

Ovdje je reakcija na postupni učinak veličine

odakle dolazi prijelazna karakteristika:

Prijelazne karakteristike sklopova koji se najčešće susreću nalaze se i daju u referentnoj literaturi.

2. Duhamelovi integrali

Prijelazni odgovor često se koristi za pronalaženje odgovora kruga na složeni podražaj. Uspostavimo te odnose.

Složimo se da utjecaj

Postavite utjecaj

Nađimo vrijednost lančane reakcije u nekom trenutku u vremenu

Stepenasti udar s diferencijalom

Efekt infinitezimalnog koraka s razlikom

Prema principu reakcijske superpozicije

Obično u posljednjoj formuli

3. Impulsne karakteristike električnih krugova

Impulsni odziv sklopa naziva se omjer reakcije kruga na impulsno djelovanje prema području ovog djelovanja pod nultim početnim uvjetima.

Po definiciji,

gdje je odgovor kruga na djelovanje impulsa;

– područje udarnog pulsa.

Koristeći poznati impulsni odziv kruga, može se pronaći odgovor kruga na određeni udar: .

Učinak jednog impulsa, koji se također naziva delta funkcija ili Diracova funkcija, često se koristi kao funkcija udara.

Delta funkcija je funkcija jednaka nuli svugdje osim , a njezina je površina jednaka jedinici ():

.

Do koncepta delta funkcije može se doći razmatranjem granice pravokutnog pulsa visine i trajanja kada (slika 3):

Uspostavimo vezu između prijenosne funkcije sklopa i njegovog impulsnog odziva, za što koristimo metodu operatora.

Po definiciji:

Ako se utjecaj (izvorni) razmatra za najopćenitiji slučaj u obliku umnoška površine impulsa i delta funkcije, tj. u obliku, tada slika tog utjecaja prema tablici korespondencije ima oblik:

.

Zatim, s druge strane, omjer Laplace-transformirane reakcije kruga i površine udarnog impulsa je impulsni odziv operatera kruga:

.

Stoga, .

Da biste pronašli impulsni odziv kruga, potrebno je primijeniti inverznu Laplaceovu transformaciju:

, tj. zapravo .

Generalizirajući formule, dobivamo vezu između operatorske prijenosne funkcije kruga i operatorskih prijelaznih i impulsnih karakteristika kruga:

Dakle, znajući jednu od karakteristika kruga, možete odrediti bilo koju drugu.

Provedimo identičnu transformaciju jednakosti dodavanjem u srednji dio.

Tada ćemo imati .

Od je slika derivacije prijelazne karakteristike, tada se izvorna jednakost može prepisati kao:

Prelazeći na područje originala, dobivamo formulu koja nam omogućuje određivanje impulsnog odziva kruga iz njegovog poznatog prijelaznog odziva:

Ako, onda.

Inverzni odnos između ovih karakteristika ima oblik:

.

Pomoću prijenosne funkcije lako je odrediti prisutnost člana u funkciji.

Ako su snage brojnika i nazivnika iste, tada će dotični izraz biti prisutan. Ako je funkcija pravi razlomak, tada ovaj član neće postojati.

Primjer: odredite karakteristike impulsa za napone i u serijskom krugu prikazanom na slici 4.

Definirajmo:

Koristeći tablicu korespondencije, prijeđimo na izvornik:

.

Graf ove funkcije prikazan je na slici 5.

Riža. 5

Prijenosna funkcija:

Prema tablici korespondencije imamo:

.

Graf dobivene funkcije prikazan je na slici 6.

Istaknimo da se isti izrazi mogu dobiti korištenjem relacija koje uspostavljaju vezu između i.

Impulsni odziv u svom fizičkom značenju odražava proces slobodnih oscilacija i zbog toga se može tvrditi da u stvarnim krugovima uvijek mora biti zadovoljen sljedeći uvjet:

4. Konvolucija (prekrivanje) integrala

Razmotrimo postupak određivanja odziva linearnog električnog kruga na složeni utjecaj ako je poznat impulsni odziv ovog kruga. Pretpostavit ćemo da je utjecaj podjelno kontinuirana funkcija prikazana na slici 7.

Neka se zahtijeva pronaći vrijednost reakcije u nekom trenutku u vremenu. Rješavajući ovaj problem, zamislimo udar kao zbroj pravokutnih impulsa beskonačno malog trajanja, od kojih je jedan, koji odgovara trenutku u vremenu, prikazan na slici 7. Ovaj impuls karakteriziraju trajanje i visina.

Iz prethodno razmotrenog materijala poznato je da se reakcija kruga na kratki impuls može smatrati jednakom proizvodu impulsnog odziva kruga i područja djelovanja impulsa. Prema tome, infinitezimalna komponenta reakcije zbog ovog impulsnog djelovanja u trenutku vremena bit će jednaka:

budući da je površina pulsa jednaka , a vrijeme prolazi od trenutka njegove primjene do trenutka opažanja.

Koristeći načelo superpozicije, ukupna reakcija kruga može se definirati kao zbroj beskonačno velikog broja infinitezimalnih komponenti uzrokovanih nizom impulsa beskonačno male površine koji prethode trenutku u vremenu.

Stoga:

.

Ova je formula istinita za sve vrijednosti, pa se obično varijabla jednostavno označava. Zatim:

.

Dobivena relacija naziva se konvolucijski integral ili superpozicijski integral. Funkcija koja se dobije kao rezultat izračuna konvolucijskog integrala naziva se konvolucija i .

Možete pronaći drugi oblik konvolucijskog integrala ako promijenite varijable u rezultirajućem izrazu za:

.

Primjer: pronađite napon preko kapacitivnosti serijskog kruga (slika 8), ako na ulazu djeluje eksponencijalni impuls oblika:

lanac je povezan: s promjenom energetskog stanja... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Prijelazni karakteristika električni lanci je: Odgovor na jedan korak...

Impulsni (težinski) odgovor ili impulsna funkcija lanci - ovo je njegova generalizirana karakteristika, koja je vremenska funkcija, numerički jednaka odgovoru kruga na djelovanje jednog impulsa na njegovom ulazu pod nultim početnim uvjetima (slika 13.14); drugim riječima, to je odgovor kruga bez početne rezerve energije na Diranovu delta funkciju
na svom ulazu.

Funkcija
može se odrediti proračunom prijelaza
ili zupčanik
funkcija kruga.

Izračun funkcije
koristeći prijelaznu funkciju kruga. Neka na ulazu utječe
reakcija linearnog električnog kruga je
. Zatim, zbog linearnosti sklopa s ulaznim djelovanjem jednakim derivaciji
, reakcija lanca će biti jednaka derivatu
.

Kao što je navedeno, kada
, lančana reakcija
, i ako
, tada će biti lančana reakcija
, tj. impulsna funkcija

Prema svojstvu uzorkovanja
raditi
. Dakle, impulsna funkcija kruga

. (13.8)

Ako
, tada funkcija impulsa ima oblik

. (13.9)

Stoga je dimenzija impulsnog odziva jednaka dimenziji prijelaznog odziva podijeljenog s vremenom.

Izračun funkcije
pomoću prijenosne funkcije kruga. Prema izrazu (13.6), pri djelovanju na ulaz funkcije
, odziv funkcije bit će prijelazna funkcija
tip:

.

S druge strane, poznato je da slika derivacije funkcije po vremenu
, na
, jednak je proizvodu
.

Gdje
,

ili
, (13.10)

one. impulsni odziv
lanac jednak je inverznoj Laplaceovoj transformaciji njegovog prijenosa
funkcije.

Primjer. Nađimo pulsnu funkciju kruga čiji su ekvivalentni krugovi prikazani na sl. 13.12. A; 13.13.

Otopina

Prijelazne i prijenosne funkcije ovog kruga dobivene su ranije:

Tada, prema izrazu (13.8)

Gdje
.

Dijagram impulsnog odziva
krug je prikazan na sl. 13.15.

Zaključci

Impulsni odziv
uveden iz ista dva razloga kao i odziv koraka
.

1. Utjecaj jednog impulsa
– nagli i stoga prilično jak vanjski utjecaj za bilo koji sustav ili krug. Stoga je važno znati reakciju sustava ili kruga pod takvim utjecajem, tj. impulsni odziv
.

2. Koristeći neke modifikacije Duhamelovog integrala, možemo, znajući
izračunati odgovor sustava ili strujnog kruga na bilo koji vanjski poremećaj (vidi daljnje odlomke 13.4, 13.5).

4. Impozicija integral (duhamel).

Neka proizvoljna pasivna mreža s dva priključka (sl. 13.16, A) povezan je s izvorom koji se neprestano mijenja od trenutka
napon (Sl. 13.16, b).

Treba pronaći struju (ili napon) u bilo kojoj grani dvopolne mreže nakon što je sklopka zatvorena.

Problem ćemo riješiti u dvije faze. Prvo pronalazimo željenu vrijednost pri uključivanju mreže s dva priključka za jednostruki skok napona, što je određeno funkcijom jednog koraka
.

Poznato je da je reakcija kola na jedan skok odziv koraka (funkcija)
.

Na primjer, za
– prijelazna funkcija strujnog kruga
(vidi klauzulu 2.1), za
– prijelazna funkcija napona kruga
.

U drugom stupnju napon se stalno mijenja
zamijeniti funkcijom koraka s elementarnim pravokutnim skokovima
(vidi sliku 13.16 b). Tada se proces promjene napona može prikazati kao uključivanje na
Istosmjerni napon
, a zatim kao uključivanje elementarnih konstantnih napona
, međusobno pomaknuti vremenskim intervalima
i ima predznak plus za rastuću i predznak minus za opadajuću granu dane krivulje napona.

Komponenta željene struje u ovom trenutku od konstantnog napona
jednako je:

.

Komponenta željene struje iz elementarnog napona
, uključen u trenutku vremena jednako je:

.

Ovdje je argument prijelazne funkcije vrijeme
, od elementarnog napona
stupa na snagu privremeno kasnije od zatvaranja ključa ili, drugim riječima, od vremenskog intervala između trenutka početak radnje ovog skoka i trenutak vremena jednaki
.

Elementarni udar struje

,

Gdje
– faktor razmjera.

Prema tome, potrebna komponenta struje

Elementarni udari napona uključeni su u vremenski interval od
do trenutka , za koji se određuje potrebna struja. Stoga, zbrajanje komponenti struje iz svih skokova, pomicanje do granice na
, i uzimajući u obzir komponentu struje od početnog skoka napona
, dobivamo:

Posljednja formula za određivanje struje uz kontinuiranu promjenu primijenjenog napona

(13.11)

nazvao superpozicijski integral ili Duhamelov integral (prvi oblik pisanja ovog integrala).

Na sličan način rješava se i problem spoja kruga i izvora struje. Prema ovom integralu, reakcija lanca, općenito,
u nekom trenutku nakon početka izlaganja
određeno cijelim dijelom udara koji se dogodio prije točke u vremenu .

Zamjenom varijabli i integriranjem po dijelovima možemo dobiti druge oblike zapisa Duhamelovog integrala, ekvivalentne izrazu (13.11):

Izbor oblika pisanja Duhamelovog integrala određen je pogodnošću izračuna. Na primjer, u slučaju
izražena eksponencijalnom funkcijom, formula (13.13) ili (13.14) pokazuje se prikladnom, što je zbog lakoće diferencijacije eksponencijalne funkcije.

Na
ili
Pogodno je koristiti oblik zapisa u kojem član ispred integrala nestaje.

Voljni utjecaj
također se može predstaviti kao zbroj sekvencijalno povezanih impulsa, kao što je prikazano na sl. 13.17.

Za infinitezimalno trajanje impulsa
dobivamo formule za Duhamelov integral slične (13.13) i (13.14).

Iste formule mogu se dobiti iz relacija (13.13) i (13.14), zamjenjujući ih derivacijom funkcije
impulsna funkcija
.

Zaključak.

Dakle, na temelju formula Duhamelovog integrala (13.11) – (13.16) i vremenskih karakteristika kruga
I
mogu se odrediti vremenske funkcije odziva sklopa
na dobrovoljne utjecaje
.

Izvanredna značajka linearnih sustava - valjanost principa superpozicije - otvara izravan put sustavnom rješavanju problema prolaska različitih signala kroz takve sustave. Metoda dinamičke reprezentacije (vidi Poglavlje 1) omogućuje vam da signale predstavite u obliku zbrojeva elementarnih impulsa. Ako je na ovaj ili onaj način moguće pronaći reakciju na izlazu koja nastaje pod utjecajem elementarnog impulsa na ulazu, tada će završna faza rješavanja problema biti zbrajanje takvih reakcija.

Predviđeni put analize temelji se na vremenskoj reprezentaciji svojstava signala i sustava. Jednako primjenjiva, a ponekad i mnogo praktičnija, je analiza u frekvencijskoj domeni, kada su signali specificirani Fourierovim redovima ili integralima. Svojstva sustava opisuju se njihovim frekvencijskim karakteristikama, koje ukazuju na zakon transformacije elementarnih harmonijskih signala.

Impulsni odziv.

Neka je neki linearni stacionarni sustav opisan operatorom T. Radi jednostavnosti pretpostavit ćemo da su ulazni i izlazni signali jednodimenzionalni. Po definiciji, impulsni odziv sustava je funkcija koja je odgovor sustava na ulazni signal. To znači da funkcija h(t) zadovoljava jednadžbu

Budući da je sustav stacionaran, slična jednadžba će postojati ako se ulazna radnja pomakne u vremenu za vrijednost derivacije:

Treba jasno shvatiti da je impulsni odziv, kao i delta funkcija koja ga generira, rezultat razumne idealizacije. S fizičkog gledišta, impulsni odziv približan je odgovoru sustava na ulazni impulsni signal proizvoljnog oblika s jedinicom površine, pod uvjetom da je trajanje tog signala zanemarivo u usporedbi s karakterističnom vremenskom skalom sustava, za npr. razdoblje vlastitih oscilacija.

Duhamelov integral.

Poznavajući impulsni odziv linearnog stacionarnog sustava, može se formalno riješiti bilo koji problem prolaska determinističkog signala kroz takav sustav. Doista, u pogl. 1 pokazalo se da ulazni signal uvijek dopušta reprezentaciju forme

Izlazna reakcija koja tome odgovara

Uzmimo sada u obzir da je integral granična vrijednost zbroja, stoga se linearni operator T, temeljen na principu superpozicije, može staviti pod znak integrala. Nadalje, operator T “djeluje” samo na veličine koje ovise o trenutnom vremenu t, ali ne i o integracijskoj varijabli x. Stoga iz izraza (8.7) slijedi da

ili konačno

Ova formula, koja je od temeljne važnosti u teoriji linearnih sustava, naziva se Duhamelovim integralom. Relacija (8.8) pokazuje da je izlazni signal linearnog stacionarnog sustava konvolucija dviju funkcija - ulaznog signala i impulsnog odziva sustava. Očito se formula (8.8) može napisati iu obliku

Dakle, ako je poznat impulsni odziv h(t), onda se daljnje faze rješenja svode na potpuno formalizirane operacije.

Primjer 8.4. Neki linearni stacionarni sustav, čija je unutarnja struktura nevažna, ima impulsni odziv koji je pravokutni video puls trajanja T. Impuls se javlja pri t = 0 i ima amplitudu

Odredite izlazni odziv ovog sustava kada se koračni signal primijeni na ulaz

Pri primjeni Duhamelove integralne formule (8.8) treba obratiti pozornost na činjenicu da će izlazni signal izgledati drugačije ovisno o tome prelazi li trenutna vrijednost trajanje impulsnog odziva ili ne. Kad imamo

Ako tada na funkcija nestaje, dakle

Pronađena izlazna reakcija prikazuje se u linearnom grafu po komadima.

Generalizacija na višedimenzionalni slučaj.

Do sada se pretpostavljalo da su i ulazni i izlazni signali jednodimenzionalni. U općenitijem slučaju sustava s ulazima i izlazima, treba uvesti parcijalne impulsne odzive, od kojih svaki predstavlja signal na izlazu kada se delta funkcija primijeni na ulaz.

Skup funkcija tvori matricu impulsnih odgovora

Duhamelova integralna formula u višedimenzionalnom slučaju poprima oblik

gdje je -dimenzionalni vektor; - -dimenzionalni vektor.

Uvjet fizičke izvedivosti.

Bez obzira na specifičnu vrstu impulsnog odziva fizički izvedivog sustava, najvažnije načelo uvijek mora biti zadovoljeno: izlazni signal koji odgovara radnji impulsnog ulaza ne može se pojaviti do trenutka kada se impuls pojavi na ulazu.

To dovodi do vrlo jednostavnog ograničenja vrste dopuštenih karakteristika impulsa:

Ovaj uvjet zadovoljava, na primjer, karakteristika impulsa sustava razmatranog u primjeru 8.4.

Lako je vidjeti da se za fizički ostvariv sustav gornja granica u Duhamelovoj integralnoj formuli može zamijeniti trenutnom vrijednošću vremena:

Formula (8.13) ima jasno fizičko značenje: linearni stacionarni sustav, obrađujući signal koji stiže na ulaz, provodi ponderirani zbroj svih svojih trenutnih vrijednosti koje su postojale "u prošlosti" na - Uloga funkcije ponderiranja igra se impulsnim odzivom sustava. Temeljno je važno da fizički implementiran sustav ni pod kojim okolnostima ne može raditi s "budućim" vrijednostima ulaznog signala.

Fizički izvediv sustav mora, osim toga, biti stabilan. To znači da njegov impulsni odziv mora zadovoljiti uvjet apsolutne integrabilnosti

Prijelazna karakteristika.

Neka signal predstavljen Heavisideovom funkcijom djeluje na ulazu linearnog stacionarnog sustava.

Izlazna reakcija

obično se naziva prijelazna karakteristika sustava. Budući da je sustav stacionaran, prijelazni odziv je nepromjenjiv u odnosu na vremenski pomak:

Prethodno iznesena razmatranja o fizičkoj ostvarivosti sustava u potpunosti se prenose na slučaj kada sustav nije pobuđen delta funkcijom, već jednim skokom. Stoga je prijelazni odziv fizički ostvarivog sustava različit od nule samo na dok je na t. Postoji bliska veza između impulsa i prijelaznih karakteristika. Doista, od tada na temelju (8.5)

Operator diferenciranja i linearni stacionarni operator T mogu mijenjati mjesta pa

Koristeći dinamičku reprezentacijsku formulu (1.4) i postupajući na isti način kao kod izvođenja relacije (8.8), dobivamo drugi oblik Duhamelovog integrala:

Koeficijent prijenosa frekvencije.

U matematičkom proučavanju sustava od posebnog su interesa oni ulazni signali koji, transformirani od strane sustava, ostaju nepromijenjeni u obliku. Ako postoji ravnopravnost

tada je svojstvena funkcija operatora sustava T, a broj X, u općem slučaju složen, njegova je svojstvena vrijednost.

Pokažimo da je složeni signal na bilo kojoj vrijednosti frekvencije svojstvena funkcija linearnog stacionarnog operatora. Da bismo to učinili, koristimo Duhamelov integral oblika (8.9) i izračunavamo

To pokazuje da je svojstvena vrijednost operatora sustava kompleksan broj

(8.21)

zove frekvencijski dobitak sustava.

Formula (8.21) utvrđuje temeljno važnu činjenicu - koeficijent prijenosa frekvencije i impulsni odziv linearnog stacionarnog sustava međusobno su povezani Fourierovom transformacijom. Stoga, uvijek, znajući funkciju, možete odrediti impulsni odziv

Došli smo do najvažnije točke teorije linearnih stacionarnih sustava - bilo koji takav sustav može se razmatrati ili u vremenskoj domeni koristeći njegove impulsne ili prijelazne karakteristike, ili u frekvencijskoj domeni, postavljajući koeficijent prijenosa frekvencije. Oba pristupa su ekvivalentna i izbor jednog od njih je diktiran pogodnošću dobivanja početnih podataka o sustavu i lakoćom izračuna.

Zaključno, napominjemo da se frekvencijska svojstva linearnog sustava koji ima ulaze i izlaze mogu opisati matricom koeficijenata prijenosa frekvencije

Između matrica postoji zakon povezanosti, sličan onom danom formulama (8.21), (8.22).

Amplitudno-frekvencijske i fazno-frekvencijske karakteristike.

Funkcija ima jednostavnu interpretaciju: ako se na ulazu sustava primi harmonijski signal s poznatom frekvencijom i kompleksnom amplitudom, tada je kompleksna amplituda izlaznog signala

Sukladno formuli (8.26), modul koeficijenta prijenosa frekvencije (AFC) je parna, a fazni kut (PFC) neparna funkcija frekvencije.

Puno je teže odgovoriti na pitanje koliki treba biti koeficijent prijenosa frekvencije da bi bili zadovoljeni uvjeti fizičke ostvarivosti (8.12) i (8.14). Predstavimo bez dokaza konačni rezultat, poznat kao Paley-Wienerov kriterij: koeficijent prijenosa frekvencije fizički ostvarivog sustava mora biti takav da postoji integral

Razmotrimo konkretan primjer koji ilustrira svojstva koeficijenta prijenosa frekvencije linearnog sustava.

Primjer 8.5. Neki linearni stacionarni sustav ima svojstva idealnog niskopropusnog filtra, tj. njegov frekvencijski prijenosni koeficijent zadan je sustavom jednakosti:

Na temelju izraza (8.20), impulsni odziv takvog filtra

Simetričnost grafa ove funkcije u odnosu na točku t = 0 ukazuje na neizvedivost idealnog niskopropusnog filtra. Međutim, ovaj zaključak izravno proizlazi iz Paley-Wienerovog kriterija. Uistinu, integral (8.27) divergira za svaki frekvencijski odziv koji nestaje na nekom konačnom segmentu frekvencijske osi.

Unatoč nepraktičnosti idealnog niskopropusnog filtra, ovaj se model uspješno koristi za približno opisivanje svojstava frekvencijskih filtara, uz pretpostavku da funkcija sadrži fazni množitelj koji linearno ovisi o frekvenciji:

Kao što je lako provjeriti, ovdje je impulsni odziv

Parametar, jednak po veličini koeficijentu nagiba faznog odziva, određuje vremensko kašnjenje maksimuma funkcije h(t). Jasno je da ovaj model točnije odražava svojstva implementiranog sustava što je vrijednost veća

U mnogim slučajevima, proračun odziva sklopa može se pojednostaviti ako se ulazni signal predstavi kao zbroj elementarnih utjecaja u obliku kratkotrajnih pravokutnih impulsa. Da biste to učinili, prvo razmotrite vezu između funkcija i prikazanih na sl. 5.8a, 6, što se može napisati u obliku:

Druga funkcija je jedan impuls, što smo razmotrili u odjeljku 2.4. Kao što vidite, funkcija je derivat funkcije, tj. . Provedimo granični prijelaz u ovim funkcijama na. U tom slučaju funkcija će se pretvoriti u jednu funkciju, a funkcija u funkciju. Tada, temeljem jednakosti, slijedi da je jedinični impuls, odnosno - funkcija, derivacija jedinične funkcije.

Za linearni krug zaključujemo da je njegov odgovor na jedan impuls, koji se naziva impulsni odziv kruga, derivat prijelaznog odziva kruga, tj. ili

Dimenzija impulsnog odziva jednaka je dimenziji prijelaznog odziva podijeljenom s vremenom.

Pronalaženje impulsnog odziva je u većini slučajeva lakše nego pronalaženje koraka. Doista, kao što je prikazano u odjeljku 2.4, spektralna funkcija jediničnog impulsa, a prema tome i za impulsni odziv, koristeći Fourierov integral, dobivamo izraz

Iz ovog izraza slijedi da je spektralna funkcija karakteristike jednaka kompleksnom prijenosnom koeficijentu kruga, tj. ili, koristeći izravnu Fourierovu transformaciju, pišemo:

To jest, impulsni odziv kruga, kao i prijelazni odziv, određen je preko koeficijenta prijenosa, ali za impulsni odziv u većini slučajeva integrand u Fourierovom integralu ispada jednostavniji.

Kao primjer, primijenit ćemo relaciju (5.14) za određivanje spektra impulsnog odziva integrirajućeg kruga, čiji je prijelazni odziv. Za impulsni odziv koji dobivamo

Koristeći ovdje izraz (5.14), potrebno je uzeti u obzir da je prijelazna karakteristika pri identično jednaka nuli, pa će stoga donja granica u integralu izraza (5.14) biti nula. Tada je spektralna funkcija impulsnog odziva jednaka

one. dobili smo koeficijent prijenosa integrirajućeg kola koji odgovara prethodno dobivenom izrazu (3.16).

Poznavajući impulsni odziv, možete pronaći odgovor kruga na utjecaj signala bilo kojeg oblika, bilo tako da prvo nađete prijelazni odziv koristeći relaciju (5.12), a zatim koristeći jedan od izraza Duhamelovog integrala, ili izravno kroz funkciju. U potonjem slučaju, ulazna funkcija, tj. utjecajni signal mora biti predstavljen kao zbroj impulsa, kao što je prikazano na sl. 5.9.

Ovaj prikaz funkcije bit će točniji ako, tj. ako se prikaže zbrojem beskonačno velikog broja impulsa beskonačno malog trajanja koji su ovdje elementarni utjecaji. Ako je elementarna radnja bila jedan impuls, čija je površina jednaka jedinici, tada bi odgovor kruga na takav impuls koji se pojavljuje u trenutku bio impulsni odgovor. U slučaju koji se razmatra, elementarni impuls ima veličinu jednaku trenutnoj vrijednosti funkcije u trenutku i trajanje jednako, tj. njegova površina je jednaka. Tada će odgovor na elementarni udar biti veličina. Odziv sklopa na utjecaj zadan funkcijom bit će zbroj odgovora na sve elementarne utjecaje, čiji vremenski položaj odgovara intervalu od 0 do, tj.

Ovaj izraz, koji je druga vrsta zapisa Duhamelovog integrala, također se naziva konvolucija funkcija. Izgledom se podudara s izvornom konvolucijom slika dviju funkcija u formuli (4.21).

Impulsni odziv sklopa može se dobiti eksperimentalno promatranjem odziva sklopa (izlaznog napona) na elektroničkom osciloskopu. Na ulaz kruga mora se primijeniti impuls vrlo kratkog trajanja. Na primjer, razmotrite impulsni odziv serijskog oscilatornog kruga, pod pretpostavkom da je izlazni napon uklonjen iz kapaciteta C. Gore u paragrafu 1.6, ispitali smo prijelazni proces kada je istosmjerni napon uključen u takav krug. Ako je vrijednost primijenjenog napona jednaka jedinici, tada je napon na kapacitetu, koji je prijelazna karakteristika kruga, jednak, prema (1.33),

Ovaj prijelazni odziv prikazan je na slici 5.10a. Zatim impulsni odziv sklopa

S obzirom da je faktor kvalitete kruga velik, pretpostavljamo da čak i tada možemo zanemariti prvi član:

Ova je karakteristika prikazana na slici 5.10b. Odgovara oscilogramu slobodnih oscilacija u krugu, koji smo razmatrali u paragrafu 1.5.

Dakle, da bi se eksperimentalno promatrao impulsni odziv kruga, potrebno je primijeniti impuls kratkog trajanja na ulaz kruga, tj. (kako je objašnjeno u paragrafu 2.4) tako da njegovo trajanje zadovoljava uvjet.