Prolaz slučajnih signala kroz nelinearne sklopove. Prolaz slučajnih signala kroz linearne inercijalne krugove. Ulazni signal se može napisati kao
U pogl. 6 raspravlja o prijenosu različitih signala kroz linearne sklopove s konstantnim parametrima. Odnos između ulaznog i izlaznog signala u takvim sklopovima određen je prijenosnom funkcijom (spektralna metoda) ili pomoću impulsnog odziva (metoda superpozicijskog integrala).
Slični odnosi mogu se napraviti za linearne krugove s promjenjivim parametrima. Očito je da se u takvim sklopovima priroda odnosa između ulaznih i izlaznih signala mijenja tijekom procesa prijenosa. Drugim riječima, prijenosna funkcija kruga ne ovisi samo o vremenu nego i o vremenu; Impulsni odziv također ovisi o dvije varijable: o intervalu između trenutka primjene jednog impulsa i trenutka promatranja izlaznog signala t (kao za krug s konstantnim parametrima) i, dodatno, o položaju interval na vremenskoj osi. Stoga, za krug s promjenjivim parametrima, impulsni odziv treba napisati u općem obliku
Ako proizvoljni signal s(t) djeluje na ulazu mreže s četiri priključka s impulsnim odzivom (sl. 10.2), tada, na temelju načela superpozicije, izlazni signal, analogno izrazu (6.11), može odrediti pomoću izraza
(10.12)
Pokušajmo sada uvesti prijenosnu funkciju za krug s promjenjivim parametrima. Da bismo to učinili, predstavljamo funkciju u obliku Fourierovog integrala:
(10.13)
gdje je spektralna gustoća signala s(t).
Tada izraz (10.13) postaje sljedeći:
Riža. 10.2. Parametarski četveropol
Označavajući unutarnji integral s, zadnji izraz prepisujemo na sljedeći način:
(10.14)
Iz (10.14) slijedi da funkcija definirana izrazom
Električni krugovi sastavni su dio elektroničkih elemenata automatizacije koji obavljaju veliki broj različitih specifičnih funkcija. Glavna razlika između električnih i elektroničkih sklopova je u tome što su oni skup pasivnih linearnih elemenata, odnosno onih čije su strujno-naponske karakteristike pokorne Ohmovom zakonu i ne pojačavaju ulazne signale. Zbog toga se električni krugovi elektroničkih uređaja često nazivaju linearnim uređajima za pretvorbu i generiranje električnih signala.
Funkcionalno, linearni uređaji za generiranje i pretvaranje električnih signala mogu se podijeliti u sljedeće glavne skupine:
Integracijski krugovi koji se koriste za integriranje signala, a ponekad i za proširenje (povećanje trajanja) impulsa;
Sklopovi za razlikovanje (skraćivanje) koji se koriste za razlikovanje signala, kao i za skraćivanje impulsa (primanje impulsa određenog trajanja);
Otpornici i djelitelji otporničkog kapaciteta koji se koriste za promjenu amplitude električnih signala;
Impulsni transformatori koji se koriste za promjenu polariteta i amplitude impulsa, za galvansku izolaciju impulsnih krugova, za formiranje pozitivne povratne sprege u generatorima i oblikovateljima impulsa, za usklađivanje krugova s opterećenjem, za primanje impulsa iz nekoliko izlaznih namota;
Električni filtri dizajnirani da izoliraju frekvencijske komponente smještene u danom području od složenog električnog signala i da potisnu frekvencijske komponente smještene u svim drugim frekvencijskim područjima.
Ovisno o elementima na kojima su linearni uređaji izvedeni, mogu se podijeliti na RC, RL i RLC sklopove. U ovom slučaju, linearni uređaji mogu uključivati linearni otpornik R, linearni kondenzator C, linearni induktor L i impulsni transformator bez zasićenja jezgre. Riječ "linearni" naglašava da mislimo samo na one tipove elemenata koji imaju volt-ampersku karakteristiku linearnog tipa, odnosno nazivnu vrijednost parametra (otpora, kapacitivnosti itd.) za koju je konstantna i ne ovisi o trenutnoj struji ili primijenjenom naponu. Na primjer, konvencionalni kondenzator s dielektričnim odstojnicima od liskuna smatra se linearnim u širokom rasponu napona, ali vrijednost kapacitivnosti pn spoja ovisi o primijenjenom naponu i ne može se klasificirati kao linearni elementi. Osim toga, uvijek postoje ograničenja amplitude ili snage signala pod kojima element zadržava svoja linearna svojstva. Na primjer, dopušteni napon na kondenzatoru ne smije premašiti vrijednost kvara. Ostali elementi imaju slična ograničenja i ona se moraju uzeti u obzir prilikom dodjele elementa određenoj klasi.
Najvažnije svojstvo linearnih uređaja je njihova sposobnost akumuliranja i otpuštanja energije u kapacitivnim i induktivnim elementima i time pretvaranje ulaznih signala u vremenski promjenjive izlazne intervale. Ovo svojstvo je u osnovi rada generatora, uređaja za potiskivanje impulsa i "utrka" u digitalnim krugovima do kojih dolazi dok električni signal prolazi kroz krugove s različitim vremenskim kašnjenjima.
Treba napomenuti da postoje određene poteškoće u korištenju linearnih električnih krugova u integriranoj tehnologiji. To je zbog prisutnosti niza tehnoloških poteškoća u proizvodnji otpornika i kondenzatora, a da ne spominjemo induktore, u integriranom dizajnu.
Frekvencijski neovisan razdjelnik napona dizajniran je za smanjenje napona izvora signala na potrebnu vrijednost. DN se koristi za usklađivanje ulaznog stupnja s izvorom signala u smislu napona, za postavljanje radne točke tranzistora u pojačalu, za formiranje referentnog (češće nazvanog "referentni") napona. Krug najjednostavnijeg razdjelnika napona prikazan je na gornjoj slici
Pri analizi stvarnih elektroničkih sklopova, kako bi se izbjegle velike pogreške, uvijek je potrebno uzeti u obzir električne karakteristike izvora signala i opterećenja. Najvažniji od njih su:
Veličina i polaritet EMF izvora signala;
Unutarnji otpor izvora signala (Rg);
Frekvencijski odziv i fazni odziv izvora signala;
Otpor opterećenja (Rn);
Sljedeća slika prikazuje vrste razdjelnika napona.
Slika (a) prikazuje razdjelnik napona koji koristi promjenjivi otpornik. Koristi se za podešavanje osjetljivosti EI. Na istom mjestu slika b prikazuje razdjelnik s nekoliko izlaznih napona. Takav uzorak se koristi, na primjer, u kaskodnom pojačalu. U nekim slučajevima, kada je otpor Rn nizak, koristi se kao donji krak razdjelnika. Na primjer, kada se gradi pojačalo s OE, položaj radne točke postavlja se razdjelnikom koji čine Rb i otpor baznog spoja tranzistora rbe.
Važno mjesto u elektronici zauzimaju razdjelnici napona, kod kojih je nadlaktica ili donja ruka oblikovana promjenjivim otporom. Ako se razdjelnik napaja konstantnim stabilnim naponom, au donjem kraku je, recimo, postavljen otpor čija vrijednost ovisi o temperaturi, tlaku, vlažnosti i drugim fizičkim parametrima, tada se napon proporcionalan temperaturi, tlaku, vlažnosti itd. mogu se ukloniti s izlaza razdjelnika napona. Posebno mjesto zauzimaju razdjelnici, kod kojih jedan od otpora ovisi o frekvenciji napona napajanja. Oni čine veliku skupinu različitih filtara za električne signale.
Daljnje usavršavanje razdjelnika napona dovelo je do pojave mjernog mosta koji se sastoji od dva razdjelnika. U takvoj shemi možete uhvatiti signal i između središnje točke i zajedničke žice i između dvije središnje točke. U drugom slučaju, raspon izlaznog signala se udvostručuje s istom promjenom promjenjivih otpora. Pojačala električnog signala također su razdjelnik napona, u kojem ulogu promjenjivog otpora igra tranzistor kontroliran ulaznim naponom
Najjednostavniji integrirajući lanac je djelitelj napona kod kojeg ulogu donjeg kraka djelitelja ima kondenzator C
Razlikovanje linearnih krugova
Najjednostavniji diferencirajući lanac je djelitelj napona kod kojeg ulogu gornjeg kraka djelitelja ima kondenzator C
Integrirajuće i diferencirajuće veze, kada su izložene kontinuiranim nasumičnim signalima, ponašaju se kao, redom, niskopropusni i visokopropusni filteri, elementi R1 i C2 tvore niskopropusni filtar, a C1 i R2 tvore visokopropusni filtar
Svrha rada:
proučavanje procesa prolaska harmonijskih signala i pravokutnih signala kroz linearne krugove, kao što su diferencirajući i integrirajući krugovi, serijski i paralelni oscilatorni krugovi, transformator;
proučavanje prijelaznih procesa u linearnim krugovima;
stjecanje vještina rada s mjernim instrumentima;
naučiti izvoditi proračune RCL sklopova simboličkom metodom;
obrada i analiza dobivenih eksperimentalnih podataka.
Zadaci:
mjeriti amplitudno-frekvencijske karakteristike sedam linearnih krugova;
mjeriti fazno-frekvencijske karakteristike gore navedenih linearnih sklopova;
dobiti i proučiti prijelazne karakteristike sedam linearnih krugova;
1 Linearni sklopovi
U radioelektronici, električni krugovi su skup spojenih elemenata kruga kao što su otpornici, kondenzatori, induktori, diode, tranzistori, operacijska pojačala, izvori struje, izvori napona i drugi.
Elementi strujnog kruga povezani su pomoću žica ili tiskanih sabirnica. Električni krugovi sastavljeni od idealiziranih elemenata klasificiraju se prema nizu kriterija:
Po energetskim karakteristikama:
aktivan (sadrži napajanje);
pasivni krugovi (ne sadrže izvore struje i (ili) napona);
Prema topološkim značajkama:
ravninski (ravni);
neplanaran;
razgranat;
nerazgranat;
jednostavan (jednostruki, dvokružni);
složen (više krugova, više čvorova);
Po broju vanjskih pinova:
bipolarni;
četveropol;
mreže s više priključaka;
Iz frekvencije mjernog polja:
krugovi s skupnim parametrima (u krugovima s skupnim parametrima samo otpor ima otpor, samo kondenzator ima kapacitet, a samo induktor ima induktivitet);
krugovi s raspodijeljenim parametrima (u krugovima s raspodijeljenim parametrima, čak i spojne žice imaju kapacitet, vodljivost i induktivitet, koji su raspoređeni duž njihove duljine; ovaj pristup je najtipičniji za krugove u mikrovalnom području);
Od tipa elementa:
linearni sklopovi, ako se sastoje od linearnih idealiziranih elemenata;
nelinearni sklopovi, ako sklop uključuje barem jedan nelinearni element;
Ovaj rad ispituje pasivne sklopove koji se sastoje od tri elementa sklopa. Elementi 
– nazivaju se idealizirani elementi sklopa. Struja koja teče kroz takve elemente je linearna funkcija primijenjenog napona:
za otpornik 
:
;
za kondenzator 
:
;
za induktor 
:
Prema tome, lanci koji se sastoje od 
elementi se nazivaju linearni.
Strogo govoreći, u praksi ne sve 
elementi su linearni, ali u mnogim slučajevima odstupanje od linearnosti je malo i stvarni element se može uzeti kao idealizirani linearni. Aktivni otpor se može smatrati linearnim elementom samo ako je struja koja teče kroz njega toliko mala da proizvedena toplina ne dovodi do primjetne promjene u vrijednosti njegovog otpora. Slično se može razmotriti za induktor i kondenzator. Ako parametri 
krugovi ostaju nepromijenjeni tijekom vremena dok se odvija električni proces koji se proučava, tada govorimo o krugu s konstantnim parametrima.
Budući da se procesi u linearnim krugovima opisuju linearnim jednadžbama, na njih je primjenjiv princip superpozicije. To znači da se rezultat djelovanja u linearnom krugu signala složenog oblika može pronaći kao zbroj rezultata djelovanja jednostavnijih signala na koje se rastavlja izvorni, složeni signal.
Za analizu linearnih krugova koriste se dvije metode: metoda frekvencijskog odziva i metoda prijelaznog odziva.
U radioelektronici se radi o različitim signalima i različitim strujnim krugovima; kada signali prolaze kroz takve strujne krugove, dolazi do prijelaznih procesa, uslijed kojih se može promijeniti oblik odaslanog signala. Većina uređaja sadrži kombinaciju linearnih i nelinearnih elemenata, što komplicira rigoroznu analizu protoka signala. Međutim, postoji prilično širok raspon problema koji se mogu uspješno riješiti linearnim metodama, čak i ako u krugu postoji nelinearni element. To se odnosi na uređaje u kojima su signali tako male amplitude da se nelinearnost karakteristika nelinearnog elementa može zanemariti, tako da se i on može smatrati linearnim.
Većina metoda za analizu prolaska signala kroz linearni krug temelji se na temeljnom principu - principu superpozicije, u kojem se odgovor kruga na složeni utjecaj može definirati kao zbroj reakcija na jednostavnije signale u koje se složeni utjecaj se može razgraditi. Odziv linearnog kruga na poznati jednostavni (testni) utjecaj naziva se sistemski (tj. ovisan samo o krugu) prijenos karakteristike sklopa. Sama prijenosna karakteristika može se odrediti:
A) klasični metoda u kojoj se strujni krug opisuje sustavom linearnih diferencijalnih jednadžbi, na čijoj desnoj strani je zapisan učinak ispitivanja; ovom se metodom najčešće određuju reakcije na jediničnu koračnu funkciju ili delta funkciju, tzv. prijelazne i impulsne karakteristike sklopa, koje su prijenosne karakteristike sklopa za metodu superpozicije (ili Duhamelovu integralnu metodu); Korištenjem klasične metode, s prilično jednostavnim sklopovima i utjecajima, problem analize može se odmah riješiti, tj. pronalaženje odgovora sklopa na ulazni signal;
b) sveobuhvatan metoda, ako se kao ispitni signal koristi harmonijska oscilacija; u ovom slučaju se prijenosna karakteristika kruga određuje kao frekvencija karakteristika koja je temelj metode frekvencijske analize;
V) operater metoda u kojoj se koristi aparat Laplaceove transformacije, uslijed koje se utvrđuje kontrolna soba prijenosna karakteristika sklopa, budući da operatorska metoda koristi signal oblika e pt, Gdje str=s + jw, zatim pri zamjeni u karakteristici prijenosa operatora str na jw dobiva se frekvencijska prijenosna karakteristika, kao što će biti prikazano u nastavku, izvorna prijenosna karakteristika operatora je impulsni odziv kruga.
Stoga je moguće klasificirati metode za analizu prolaska složenih signala u
A) frekvencija, koristi se uglavnom za analizu stacionarnih procesa;
b) privremeni, koristeći prijelazni ili impulsni odziv sklopa, koristi se u slučajevima brzo promjenjivih (pulsnih) signala, kada su važni prijelazni procesi u krugu.
Pri analizi prolaza signala kroz uskopojasne selektivne sklopove, iste metode se mogu koristiti ne za trenutne vrijednosti signala, već za polagano mijenjanje ovojnice.
Svrha rada: Steći primarne vještine u proučavanju statističkih karakteristika slučajnih signala. Eksperimentalno odrediti zakonitosti raspodjele slučajnih signala na izlazu linearnih i nelinearnih radijskih sklopova.
KRATKE TEORIJSKE INFORMACIJE
1. Klasifikacija radijskih sklopova
Radio sklopovi koji se koriste za pretvorbu signala vrlo su raznoliki po svom sastavu, strukturi i karakteristikama. U procesu njihovog razvoja i analitičkog istraživanja koriste se različiti matematički modeli koji zadovoljavaju zahtjeve primjerenosti i jednostavnosti. Općenito, bilo koji radio sklop može se opisati formaliziranom relacijom koja određuje transformaciju ulaznog signala x(t) u izlazni y(t), koji se može simbolički predstaviti kao
y(t) = T,
Gdje je T operator koji definira pravilo prema kojem se ulazni signal pretvara.
Dakle, skup operatora T i dva skupa X=(xi(t)) i Y=(yi(t)) signala na ulazu i izlazu sklopa može poslužiti kao matematički model radiotehničkog sklopa tako da
(gja(t)) = T(xja(t)).
Prema vrsti transformacije ulaznih signala u izlazne signale, odnosno prema vrsti operatora T, razvrstavaju se radiotehnički sklopovi.
Radio krug je linearan ako je operator T takav da sklop zadovoljava uvjete aditivnosti i homogenosti, odnosno vrijede jednakosti
T = T : T = c T
ja ja
Gdje je c konstanta.
Ovi uvjeti izražavaju bit principa superpozicije, koji je karakterističan samo za linearne sklopove.
Funkcioniranje linearnih sklopova opisuje se linearnim diferencijalnim jednadžbama s konstantnim koeficijentima. Karakteristično je da linearna transformacija signala bilo kojeg oblika nije popraćena pojavom harmonijskih komponenti s novim frekvencijama u spektru izlaznog signala, odnosno ne dovodi do obogaćivanja spektra signala.
Radio krug je Nelinearno, ako operator T ne osigurava ispunjenje uvjeta aditivnosti i homogenosti. Rad takvih sklopova opisuje se nelinearnim diferencijalnim jednadžbama.
Strukturno, linearni sklopovi sadrže samo linearne uređaje (pojačala, filtre, duge vodove itd.). Nelinearni sklopovi sadrže jedan ili više nelinearnih uređaja (generatora, detektora, množitelja, limitera itd.)
Na temelju prirode vremenske ovisnosti izlaznog signala o ulazu razlikuju se inercijski i bezinercijski radijski krugovi.
Radio krug, vrijednost izlaznog signala y(t) u trenutku t=t0 ne ovisi samo o vrijednosti ulaznog signala x(t) u ovom trenutku u vremenu, već io vrijednostima x( t) u trenucima vremena koji prethode trenutku t0 poziva se Inercijalni lanac. Ako je vrijednost izlaznog signala y(t) i trenutka t=t0 potpuno određena vrijednošću x(t) u isto vrijeme t0, tada se takav sklop naziva Bez inercije.
2. Transformacija slučajnih procesa u linearnim krugovima
Problem transformacije slučajnih procesa u linearnim radio krugovima u općem slučaju razmatra se u sljedećoj formulaciji. Neka slučajni proces x(t) sa zadanim statističkim svojstvima stigne na ulaz linearnog sklopa s frekvencijskim odzivom K(jw). Potrebno je odrediti statističke karakteristike slučajnog procesa y(t) na izlazu sklopa. Ovisno o analiziranim karakteristikama slučajnih procesa x(t) i y(t), razmatraju se dvije varijante općeg problema:
1. Određivanje energetskog spektra i korelacijske funkcije slučajnog procesa na izlazu linearnog kruga.
2. Određivanje zakona distribucije vjerojatnosti slučajnog procesa na izlazu linearnog lanca.
Najjednostavniji je prvi zadatak. Njegovo rješenje u frekvencijskoj domeni temelji se na činjenici da je energetski spektar slučajnog procesa na izlazu linearnog kola Wy(w) u stacionarnom načinu rada jednak energetskom spektru ulaznog procesa Wx(w) pomnoženom s kvadrat modula frekvencijske karakteristike kola tj
Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)
Poznato je da je energetski spektar Wx(w) slučajnog procesa x(t) s matematičkim očekivanjem mx=0 povezan s njegovom kovarijancijskom funkcijom Bx(t) Fourierovim transformacijama, tj.
Wx(W)= UX(T) E— JWTDT
UX(T)= Wx(W) EjWTDW.
Posljedično, funkcija kovarijance Vy(t) slučajnog procesa na izlazu linearnog lanca može se odrediti na sljedeći način:
UY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW
Ry(T)=BY(T)+ Mya.
U ovom slučaju, varijanca Dy i matematičko očekivanje my izlaznog slučajnog procesa jednaki su
Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw
Moj= Mx∙ K(0) .
Gdje je mx matematičko očekivanje ulaznog slučajnog procesa:
K(0) je koeficijent istosmjernog prijenosa linearnog kruga, tj
K(0)= K(Jw)/ W=0
Formule (1,2,3,4) su u biti cjelovito rješenje problema postavljenog u frekvencijskoj domeni.
Ne postoji opća metoda za rješavanje drugog problema, koja bi omogućila izravno pronalaženje gustoće vjerojatnosti procesa y(t) na izlazu linearnog inercijalnog kruga iz zadane gustoće vjerojatnosti procesa x(t) na ulazni. Problem je riješen samo za neke posebne slučajeve i za slučajne procese s Gaussovim (normalnim) zakonom raspodjele, kao i Markovljeve slučajne procese.
U odnosu na proces s normalnim zakonom raspodjele, rješenje je pojednostavljeno na temelju toga da se tijekom linearne transformacije takvog procesa zakon raspodjele ne mijenja. Budući da je normalan proces u potpunosti određen matematičkim očekivanjem i korelacijskom funkcijom, za pronalaženje gustoće vjerojatnosti procesa dovoljno je izračunati njegovo matematičko očekivanje i korelacijsku funkciju.
Zakon distribucije vjerojatnosti signala na izlazu linearnog beztromnog sklopa podudara se u funkcionalnom smislu sa zakonom distribucije ulaznog signala. Mijenjaju se samo neki njegovi parametri. Dakle, ako linearni krug bez inercije provodi funkcionalnu transformaciju oblika y(t) = a x(t) + b, gdje su a i b konstantni koeficijenti, tada je gustoća vjerojatnosti p(y) slučajnog procesa na izlaz lanca određen je dobro poznatom formulom funkcionalne transformacije slučajnih procesa
P(Y)= =
Gdje je p(x) gustoća vjerojatnosti slučajnog procesa x(t) na ulazu sklopa.
U nekim slučajevima, problem određivanja vjerojatnosnih karakteristika slučajnog procesa na izlazu inercijskih krugova može se približno riješiti korištenjem učinka normalizacije slučajnog procesa inercijskim sustavima. Ako ne-Gaussov proces x(t1) s korelacijskim intervalom tk djeluje na inercijski linearni lanac s vremenskom konstantom t»tk (u ovom slučaju širina energetskog spektra slučajnog procesa x(t) veća je od propusnost lanca), tada se proces y(t) na izlazu takvog lanca približava Gaussovom kako omjer t/tk raste. Taj se rezultat naziva učinak normalizacije slučajnog procesa. Učinak normalizacije je izraženiji što je propusnost kruga uža.
3. Transformacija slučajnih procesa u nelinearnim krugovima
Nelinearne inercijske transformacije razmatraju se u tijeku analize nelinearnih krugova, čija se tromost pod danim utjecajima ne može zanemariti. Ponašanje takvih sklopova opisuje se nelinearnim diferencijalnim jednadžbama, čije opće metode rješavanja ne postoje. Stoga se problemi povezani s proučavanjem nelinearnih inercijskih transformacija slučajnih procesa gotovo uvijek rješavaju približno, korištenjem raznih umjetnih tehnika.
Jedna od tih tehnika je predstavljanje nelinearnog inercijalnog lanca kombinacijom linearnih inercijskih i nelinearnih lanaca bez inercije. Gore je razmotren problem proučavanja utjecaja slučajnih procesa na linearni lanac. Pokazalo se da je u ovom slučaju vrlo jednostavno odrediti spektralnu gustoću (ili korelacijsku funkciju) izlaznog signala, ali teško odrediti zakon raspodjele. U nelinearnim krugovima bez inercije glavna poteškoća je pronalaženje korelacijske funkcije. Međutim, ne postoje opće metode za analizu utjecaja slučajnih signala na nelinearne sklopove. Oni su ograničeni na rješavanje nekih posebnih problema od praktičnog interesa.
3.1. Statističke karakteristike slučajnog procesa na izlazu nelinearnih sklopova
Razmotrimo transformaciju slučajnog procesa s jednodimenzionalnom gustoćom vjerojatnosti nelinearnim lancem bez inercije s karakteristikom
Y= f(x).
Očito je da se svaka realizacija slučajnog procesa x(t) transformira u odgovarajuću realizaciju novog slučajnog procesa y(t), tj.
y(t)=F[ X(T)] .
A. Određivanje zakona distribucije slučajnog procesa y(t)
Neka je poznata gustoća vjerojatnosti p(x) slučajnog procesa x(t). Potrebno je odrediti gustoću vjerojatnosti p(y) slučajnog procesa y(t). Razmotrimo tri tipična slučaja.
1. Funkcija y= f(x) nelinearnog lanca određuje korespondenciju jedan na jedan između x(t) i y(t). Vjerujemo da postoji inverzna funkcija x = j(y), koja također određuje korespondenciju jedan na jedan između y(t) i x(t). U ovom slučaju, vjerojatnost pronalaska realizacije slučajnog procesa x(t) u intervalu (x0, x0+dx) jednaka je vjerojatnosti pronalaska realizacije slučajnog procesa y(t)=f u intervalu (y0, y0+du) s y0= f(x0) i y0+dy= f(x0+dx), tj.
P(X) Dx= P(Y) Dy
Stoga,
P(Y)= .
Derivacija se uzima u apsolutnoj vrijednosti jer je gustoća vjerojatnosti p(y) > 0, dok derivacija može biti negativna.
2. Inverzna funkcija x = j(y) je višeznačna, odnosno jedna vrijednost y odgovara nekoliko vrijednosti x. Neka, na primjer, vrijednost y1=y0 odgovara vrijednostima x= x1, x2,…,xn.
Tada iz činjenice da je y0≤ y(t)≤ y0+dy, slijedi jedna od n međusobno nekompatibilnih mogućnosti
X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx, ili X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, ili … Xn≤ X(T)≤ Xn+ Dx.
Primjenom pravila zbrajanja vjerojatnosti dobivamo
P(Y)= + +…+ .
/ X= X1 / X= X2 / X= Xn
3, Karakteristika nelinearnog elementa y= f(x) ima jedan ili više horizontalnih presjeka (presjeka gdje je y= konst.). Zatim izraz
P(Y)=
Treba ga dopuniti članom koji uzima u obzir vjerojatnost da se y(t) nalazi u intervalu gdje je y = const.
Najlakši način za razmatranje ovog slučaja je na primjeru.
Neka funkcija y= f(x) ima oblik prikazan na slici 1 i formuli
Riža. 1 Utjecaj slučajnog procesa na dvosmjerni limitator.
Na x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна
P1= P= P= P(x)dx,
I gustoća vjerojatnosti
P1(y) = P1∙δ(y).
Raspravljajući slično za slučaj x(t)> b, dobivamo
Pa= P= P= P(x)dx,
godišnje(Y) = Godišnje∙ δ (Y— C).
/ Y= C
Za slučaj a≤ x≤ b formula vrijedi
Godišnje(Y) =
/0≤ Y≤ C
Općenito, gustoća vjerojatnosti izlaznog procesa određena je izrazom
P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Godišnje∙ δ (Y— C)+ .
Napominjemo da je za dobivanje konačnog izraza potrebno transformirati funkcionalne ovisnosti p(x) i dy/dx, koje su funkcije od x, u funkcije od y, koristeći inverznu funkciju x = j(y). Dakle, problem određivanja gustoće distribucije slučajnog procesa na izlazu nelinearnog kruga bez inercije analitički je riješen za prilično jednostavne karakteristike y = f(x).
B. Određivanje energetskog spektra i korelacijske funkcije slučajnog procesa y(t)
Nije moguće izravno odrediti energetski spektar slučajnog procesa na izlazu nelinearnog kruga. Postoji samo jedna metoda - određivanje korelacijske funkcije signala na izlazu sklopa i zatim primjena izravne Fourierove transformacije za određivanje spektra.
Ako stacionarni slučajni proces x(t) stigne na ulaz nelinearnog kruga bez inercije, tada se korelacijska funkcija slučajnog procesa y(t) na izlazu može prikazati kao
Ry(T)= Po(T)- Moj2 ,
Gdje je By(t) funkcija kovarijance;
my je matematičko očekivanje slučajnog procesa y(t). Kovarijancijska funkcija slučajnog procesa je statistički prosječni umnožak vrijednosti slučajnog procesa y(t) u trenucima t i t+t, tj.
Po(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].
Za implementacije slučajnog procesa y(t), umnožak y(t)∙y(t+t) je broj. Za proces kao skup implementacija, ovaj produkt tvori slučajnu varijablu čiju distribuciju karakterizira dvodimenzionalna gustoća vjerojatnosti p2 (y1, y2, t), gdje je y1= y(t), ya= y( t+t). Imajte na umu da se u posljednjoj formuli varijabla t ne pojavljuje, jer je proces stacionaran - rezultat ne ovisi o t.
Za zadanu funkciju r2 (u1, u2, t), operacija usrednjavanja skupa provodi se prema formuli
Po(T)=U1∙u2∙r2 (u1, u2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ P(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .
Matematičko očekivanje my dano je sljedećim izrazom:
Moj= Y∙ P(Y) Dy.
Uzimajući u obzir da je p(y)dy = p(x)dx, dobivamo
Moj= F(X)∙ P(X) Dx.
Energetski spektar izlaznog signala, u skladu s Wiener-Khinchinovom teoremom, nalazi se kao izravna Fourierova transformacija kovarijancijske funkcije, tj.
Wy(W)= Po(T) E— JWTDT
Praktična primjena ove metode je teška jer se dvostruki integral za By(t) ne može uvijek izračunati. Potrebno je koristiti različite metode pojednostavljivanja vezane uz specifičnosti problema koji se rješava.
3.2. Učinak uskopojasnog šuma na detektor amplitude
U statističkom radiotehnici razlikuju se širokopojasni i uskopojasni slučajni procesi.
Neka je ∆ fe širina energetskog spektra slučajnog procesa, određena formulom (sl. 2.)
Riža. 2. Širina energetskog spektra slučajnog procesa
Uskopojasni slučajni proces je proces za koji je ∆fe «f0, gdje je f0 frekvencija koja odgovara maksimumu energetskog spektra. Slučajni proces čija širina energetskog spektra ne zadovoljava ovaj uvjet je Širokopojasni.
Uskopojasni slučajni proces obično se predstavlja kao visokofrekventna oscilacija sa sporo promjenjivom (u usporedbi s oscilacijom na frekvenciji f0) amplitudom i fazom, tj.
X(t)= A(t)∙cos,
Gdje je A(t) = √x2(t) + z2(t) ,
J(t) = arctan,
z(t) je Hilbertova konjugirana funkcija izvorne funkcije x(t), tada
z(t)= —DT
Svi parametri ovog titranja (amplituda, frekvencija i faza) su slučajne funkcije vremena.
Amplitudni detektor, koji je sastavni dio prijamne staze, kombinacija je nelinearnog elementa bez inercije (na primjer, diode) i inercijalnog linearnog kruga (niskopropusni filtar). Napon na izlazu detektora reproducira ovojnicu amplitude visokofrekventnih oscilacija na ulazu.
Neka na ulaz detektora amplitude (npr. s izlaza pojačala, koji ima usku propusnost u odnosu na međufrekvenciju) stigne uskopojasni slučajni signal koji ima svojstva ergodičkog slučajnog procesa s normalnim zakon distribucije. Očito je da će signal na izlazu detektora biti omotnica ulaznog slučajnog signala, koji je također slučajna funkcija vremena. Dokazano je da ovu ovojnicu, odnosno ovojnicu uskopojasnog slučajnog procesa karakterizira gustoća vjerojatnosti koja se naziva Rayleigheva distribucija i ima oblik:
Gdje su A vrijednosti omotnice;
Sx2 je disperzija slučajnog signala na ulazu detektora.
Grafik Rayleighove distribucije prikazan je na slici 3.
sl.3. Graf zakona Rayleieve distribucije
Funkcija p(A) ima najveću vrijednost jednaku
Kada je A = sx. To znači da je vrijednost A = sx i najvjerojatnija vrijednost ovojnice.
Matematičko očekivanje ovojnice slučajnog procesa
M.A.= = =
Dakle, ovojnica uskopojasnog slučajnog procesa s normalnim zakonom distribucije je slučajna funkcija vremena, čija je gustoća distribucije opisana Rayleighovim zakonom.
3.3. Zakon distribucije ovojnice zbroja harmonijskog signala i uskopojasnog slučajnog šuma
Problem određivanja zakona distribucije ovojnice zbroja harmonijskog signala i uskopojasnog slučajnog šuma javlja se pri analizi procesa linearne detekcije u radarskim i komunikacijskim sustavima koji rade u uvjetima u kojima je unutarnji ili vanjski šum usporediv po razini s koristan signal.
Neka ulaz prijemnika primi zbroj harmonijskog signala a(t)=E∙cos(wt) i uskopojasnog šuma x(t)=A(t)∙cos s normalnim zakonom raspodjele. Ukupno osciliranje u ovom slučaju može se napisati
N(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(tež)+ A(T)∙ Cos[ tež+ J(T)]=
=[E+A(T)∙ Cos(J(T))]∙paS(tež)- A(T)∙ Grijeh(J(T))∙ Grijeh(tež)= U(T)∙ Cos[ tež+ J(T)],
Gdje su U(t) i j (t) omotnica i faza ukupnog signala, određene izrazima
U(T)= ;
J(T)= Arctg
Kada ukupna oscilacija u(t) djeluje na detektor amplitude, na izlazu iz potonjeg nastaje ovojnica. Gustoća vjerojatnosti p(U) ove ovojnice određena je formulom
P(U)= (5)
Gdje je sxa varijanca šuma x(t);
I0 - Besselova funkcija nultog reda (modificirana).
Gustoća vjerojatnosti određena ovom formulom naziva se generalizirani Rayleighov zakon ili Riceov zakon. Grafikoni funkcije p(U) za nekoliko vrijednosti omjera signala i šuma E/sx prikazani su na slici 4.
U nedostatku korisnog signala, odnosno kada je E/sx=0, izraz (5) ima oblik
P(U)=
To jest, ovojnica rezultirajućeg signala raspoređena je u ovom slučaju prema Rayleighovu zakonu.
sl.4. Grafovi generaliziranog Rayleighovog zakona distribucije
Ako amplituda korisnog signala premašuje srednju kvadratnu razinu šuma, to jest E/sx»1, tada za U≃E možete koristiti asimptotski prikaz Besselove funkcije s velikim argumentom, tj.
≃≃.
Zamjenom ovog izraza u (5) imamo
P(U)= ,
Odnosno, ovojnica rezultirajućeg signala opisana je normalnim zakonom distribucije s disperzijom sx2 i matematičkim očekivanjem E. U praksi se vjeruje da je već pri E/sx = 3 ovojnica rezultirajućeg signala normalizirana.
4. Eksperimentalno određivanje zakona distribucije slučajnih procesa
Jedna od metoda za eksperimentalno određivanje funkcije distribucije slučajnog procesa x(t) je metoda koja se temelji na korištenju pomoćne slučajne funkcije z(t) oblika
Gdje je x vrijednost funkcije x(t), za koju se izračunava z(t).
Kao što slijedi iz semantičkog sadržaja funkcije z(t), njezini statistički parametri određeni su parametrima slučajnog procesa x(t), budući da se promjene vrijednosti z(t) događaju u trenucima kada slučajni proces x(t) prelazi razinu x. Posljedično, ako je x(t) ergodički slučajni proces s funkcijom distribucije F(x), tada će funkcija z(t) također opisati ergodički slučajni proces s istom funkcijom distribucije.
Slika 5 prikazuje implementacije slučajnih procesa x(t) i z(t), koji ilustriraju očitost odnosa
P[ Z(T)=1]= P[ X(T)< X]= F(X);
P[ Z(T)=0]= P[ X(T)≥ X]= 1- F(X).
Sl.5 Realizacije slučajnih procesa x(t), z(t), z1(t)
Matematičko očekivanje (statistički prosjek) funkcije z(t), koja ima dvije diskretne vrijednosti, određuje se prema formuli (vidi tablicu 1)
M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(X).
S druge strane, za ergodički slučajni proces
dakle,
Analizirajući ovaj izraz, možemo zaključiti da uređaj za mjerenje funkcije distribucije ergodičkog slučajnog procesa x(t) mora sadržavati diskriminator razine kako bi se dobio slučajni proces opisan funkcijom z(t) u skladu s izrazom (6), i integrirajući uređaj, napravljen, na primjer, u obliku niskopropusnog filtra.
Metoda za eksperimentalno određivanje gustoće distribucije slučajnog procesa x(t) u biti je slična onoj koja je gore razmotrena. U ovom slučaju koristi se pomoćna slučajna funkcija z1(t) oblika
Matematičko očekivanje funkcije z1(t), koja ima dvije diskretne vrijednosti (slika 5), jednako je
M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ X< X(T)< X+∆ X].
Uzimajući u obzir ergodičnost slučajnog procesa opisanog funkcijom z1(t), možemo pisati
dakle,
Poznato je da
P(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ P(X)∙∆ X.
Stoga,
Dakle, uređaj za mjerenje gustoće distribucije ergodičkog slučajnog procesa x(t) ima istu strukturu i sastav kao uređaj za mjerenje funkcije distribucije.
Točnost mjerenja F(x) i p(x) ovisi o trajanju intervala promatranja i kvaliteti operacije integracije. Sasvim je očito da u stvarnim uvjetima dobivamo Ocjene zakoni distribucije, budući da je vrijeme usrednjavanja (integracije) konačno. Vraćajući se na izraz (6) i sl. 5. primijetiti da
Z(T) Dt= ∆ T1 ,
Gdje je ∆ t1 1. vremenski interval kada je funkcija x(t) ispod razine x, odnosno vremenski interval kada je funkcija z(t)=l.
Valjanost ove formule određena je geometrijskim značenjem određenog integrala (površina figure ograničena funkcijom z(t) i segmentom (0,T) vremenske osi).
Dakle, možemo pisati
To jest, funkcija distribucije slučajnog procesa x(t) jednaka je relativnom vremenu zadržavanja implementacije procesa u intervalu -¥< x(t) < х.
Sličnim razmišljanjem može se dobiti
Gdje je ∆ t1 1. vremenski interval funkcije x(t) unutar (x, x+∆x).
U praktičnoj provedbi razmatrane metode eksperimentalnog određivanja zakona distribucije slučajnog procesa, slučajni signal x(t) se analizira u rasponu promjena njegovih trenutnih vrijednosti od xmin do xmax (slika 6). Unutar ovih granica koncentriran je glavni skup (u vjerojatnosnom smislu) trenutnih vrijednosti procesa x(t).
Vrijednosti xmin i xmax odabiru se na temelju potrebne točnosti mjerenja zakona distribucije. U ovom slučaju će se ispitati skraćene distribucije tako da
F(Xmin)+<<1.
Cijeli raspon (xmin, xmax) vrijednosti x(t) podijeljen je na N jednakih intervala ∆x, tj.
XMaks— Xmin= N∙∆ X.
Riža. 6. Funkcija distribucije (a), gustoća vjerojatnosti (b) i implementacija (c) slučajnog procesa x(t)
Intervali određuju širinu diferencijalnih koridora u kojima se vrše mjerenja. Određuje se procjena vjerojatnosti
Pi* ≃ P[ Xi-∆ X/2≤ X(T)< Xi-∆ X/2]
Ostanak realizacije x(t) unutar diferencijalnog koridora s prosječnom vrijednošću x(t) unutar njega jednakom xi. Procjena Pi* određena je mjerenjem relativnog vremena zadržavanja implementacije x(t) u svakom od diferencijalnih koridora, tj.
Pi*=1/T Zi(t)dt= ,
I= 1,…,N.
S obzirom na to
Pi* ≃ P1 = P(X) Dx,
Možete odrediti procjene gustoće distribucije u svakom od diferencijalnih koridora
Pi* (X)= Pi*/∆ X.
Koristeći dobivene rezultate, odnosno vrijednosti pi*(x), xi, ∆x, konstruira se stepenasta krivulja p*(x) koja se naziva histogram gustoće distribucije (vidi sl. 7).
sl.7. Histogram gustoće distribucije
Površina ispod svakog fragmenta histograma unutar ∆x brojčano je jednaka površini koju zauzima prava krivulja distribucije p(x) u danom intervalu.
Broj N diferencijalnih hodnika treba biti unutar 10...20. Daljnjim povećanjem njihova broja ne dolazi se do točnijeg zakona p(x), budući da se s povećanjem N smanjuje vrijednost intervala ∆x, što pogoršava uvjete za točno mjerenje ∆ti.
Dobiveni rezultati omogućuju nam izračunavanje procjena matematičkog očekivanja i varijance slučajnog procesa x(t)
Mx* = Xi∙ Pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Pi* .
Pri proračunu Mx* I Dx* Ove formule uzimaju u obzir da ako vrijednost realizacije slučajnog procesa x(t) padne u 1. diferencijalni koridor, tada mu se pripisuje vrijednost i (sredina diferencijalnog koridora).
Razmatrana metoda određivanja zakona distribucije slučajnih procesa čini osnovu za rad statističkog analizatora koji se koristi u ovom laboratorijskom radu.
OPIS LABORATORIJSKE INSTALACIJE
Proučavanje zakona distribucije slučajnih signala provodi se pomoću laboratorijske instalacije koja uključuje laboratorijski model, statistički analizator i osciloskop S1-72 (slika 8).
sl.8. Dijagram laboratorijskog postavljanja
Laboratorijski model generira i transformira slučajne signale, osigurava njihovu statističku analizu, konstruira histograme zakona distribucije i grafički prikazuje te zakone na indikatoru statističkog analizatora. Sadrži sljedeće funkcionalne jedinice:
A. Blok generatora signala. Generira četiri različita nasumična signala.
— Signal x1(t)= A∙sin je harmonijska oscilacija sa slučajnom početnom fazom, čiji zakon raspodjele Uniforma u intervalu 0
P(J)= 1/2
P, 0<
J<2
P.
Gustoća vjerojatnosti trenutnih vrijednosti takvog signala jednaka je — Signal x2(t) — pilasti periodički napon s konstantnom amplitudom A i slučajnim parametrom pomaka q, zakon raspodjele
P(Q)= 1/
T0
; 0<
Q≤
T0
.
Gustoća vjerojatnosti trenutnih vrijednosti takvog signala određena je izrazom — Signal x3(t) je slučajni signal s normalnim zakonom distribucije (Gaussov zakon) trenutnih vrijednosti, tj.
Godišnje(X)=
, Gdje su mx, sx matematičko očekivanje i varijanca slučajnog signala x3(t). — Signal x4(t) je nasumični odrezani signal, koji je slijed pravokutnih impulsa konstantne amplitude A i nasumičnog trajanja, koji se javljaju u nasumično odabrano vrijeme. Takav se signal pojavljuje na izlazu idealnog limitera kada na njegov ulaz djeluje slučajni proces s normalnim zakonom raspodjele. Karakteristika transformacije ima oblik Gdje je x razina ograničenja. Dakle, slučajni proces x4(t) uzima dvije vrijednosti (A i - A) s vjerojatnostima
P= P= F3(x); P= P= 1-F3(x); Gdje je F3(x) integralni zakon distribucije slučajnog procesa x3(t). Uzimajući u obzir gore navedeno, gustoća vjerojatnosti odsječenog signala jednaka je
P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A). Slika 9 prikazuje implementacije svakog od slučajnih signala koje generira iterator laboratorijskog izgleda i njihove gustoće vjerojatnosti. Ovi signali, od kojih je svaki karakteriziran vlastitom gustoćom distribucije, mogu se dovoditi na ulaze tipičnih elemenata radiotehničkih uređaja kako bi se pretvorili i proučavali zakonitosti distribucije signala na njihovim izlazima. B. Linearni mikser signala. Generira zbroj dvaju slučajnih signala xi(t) i x1(t) dostavljenih na njegove ulaze u skladu s relacijom
Y(T)=
R∙
Xi(T)+ (1-
R)∙
X1
(T),
Gdje je R koeficijent postavljen gumbom potenciometra unutar raspona 0...1. Koristi se za proučavanje zakona distribucije zbroja dva slučajna signala. U. Utičnice za spajanje raznih četveropolnih mreža - funkcijski pretvarači. Laboratorijski instalacijski komplet uključuje 4 funkcionalna pretvarača (slika 10). Riža. 9. Realizacije slučajnih procesa x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) i njihove gustoće vjerojatnosti Pojačalo - limitator (limiter) s pretvorbenom karakteristikom Gdje su U1, U2 donja i gornja granična razina; k je koeficijent jednak tg kuta nagiba transformacijske karakteristike. Izvodi nelinearnu transformaciju ulaznih signala bez inercije. Uskopojasni filtar (F1) rezonantne frekvencije f0=20 kHz. Koristi se za generiranje uskopojasnih slučajnih procesa sa zakonom distribucije bliskim normalnom. Tipični put prijemnika AM oscilacija (uskopojasni filtar F1 - linearni detektor D - niskopropusni filtar F2). Obavlja formiranje ovojnice uskopojasnog slučajnog signala tijekom linearne detekcije. Strukturno, razmatrani funkcionalni pretvarači izrađeni su u obliku malih zamjenjivih blokova. Kao drugi funkcionalni pretvarač koristi se "idealno" pojačalo - limiter (elektronički ključ), koji je dio bloka generatora signala prototipa. Omogućuje formiranje ograničenog signala, kao nelinearni pretvarač bez inercije ulaznog slučajnog signala. Riža. 10. Funkcionalni pretvarači G. Odgovarajuće pojačalo. Omogućuje koordinaciju između raspona vrijednosti signala koji se proučava i raspona amplitude statističkog analizatora. Koordinacija se provodi pomoću potenciometara “Gain” i “Offset” kada je prekidač P1 (Sl. 8) postavljen na položaj “Calibration”. Prilagođeno pojačalo se također koristi kao funkcionalni pretvarač (osim za četiri gore razmotrena), osiguravajući linearnu pretvorbu bez inercije u skladu s formulom
Y(T)=
A∙
X(T)=
B,
Gdje je a pojačanje postavljeno gumbom "Gena"; b je konstantna komponenta signala, podešena gumbom "Offset". Blok analizatora prikazan na dijagramu na slici 8 kao dio rasporeda nije korišten u ovom radu. Laboratorijska instalacija uključuje korištenje digitalnog statističkog analizatora, dizajniranog kao zaseban uređaj. D. Digitalni statistički analizator koristi se za mjerenje i formuliranje zakona distribucije vrijednosti signala dostavljenih na njegov ulaz. Analizator radi na sljedeći način. Analizator se uključuje u način rada mjerenja pomoću gumba "Start". Vrijeme mjerenja je 20 s. Tijekom tog vremena uzimaju se uzorci vrijednosti ulaznog signala (u nasumično odabranim vremenima), čiji je ukupni broj N 1 milijun uzorkovanih po razini tako da svaki od njih spada u jedan od 32 intervala (koji se nazivaju diferencijalnim koridore, ili vrijednosti uzorka intervala grupiranja). Intervali su numerirani od 0 do 31, njihova širina je 0,1 V, a donja granica 0. intervala je 0 V, gornja granica 31. intervala je +3,2 V. Tijekom vremena mjerenja broji se broj odbrojavanja ni uključen u svaki interval. Rezultat mjerenja prikazuje se u obliku histograma distribucije na zaslonu monitora, gdje je vodoravna os rešetke ljestvice os vrijednosti signala unutar 0...+3,2 V, okomita os je os relativne frekvencije ni/N, i = 0,1...31. Za očitavanje rezultata mjerenja u digitalnom obliku koristi se digitalni indikator, koji prikazuje broj odabranog intervala i pripadajuću frekvenciju (procjena vjerojatnosti) ni/N. Odabir brojeva intervala za digitalni indikator provodi se pomoću prekidača "Interval". U tom slučaju, odabrani interval je označen markerom na ekranu monitora. Pomoću prekidača "Množilac" možete odabrati skalu histograma prikladnu za promatranje duž okomite osi. Prilikom izvođenja ovog rada, prekidač raspona ulaznog napona analizatora (raspon analogno-digitalne pretvorbe) mora biti postavljen na položaj 0...+3,2 V. Prije svakog mjerenja morate naizmjenično pritisnuti tipke "Reset" i "Start". (pritiskom na gumb "Reset" Memorijski uređaj se vraća na nulu, a rezultati prethodnog mjerenja ponovno se upisuju u memoriju skupa, iz koje se mogu pozvati pomoću prekidača "Stranica").
kome Uniforma u intervalu , gdje je T0 period signala, odnosno gustoća vjerojatnosti jednaka je