Как экспериментально снять временные характеристики линейных цепей. Временные характеристики цепи. Передаточная функция в операторной форме

К временным характеристикам цепей относятся переходная и импульсная характеристики.

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения.

Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой функцию включения (единичный скачок) x(t) = 1(t - t 0).

Переходной характеристикой h(t - t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения

Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму -функции

x(t) = d(t - t 0).

Импульсной характеристикой g (t - t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется реакция цепи на воздействие в виде -функции при нулевых начальных условиях/

Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t , а не угловая w или комплексная p частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а характеристики, аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристики цепи H k n (p) можно поставить в соответствие переходную и импульсную характеристики.

(9.75)

При t 0 = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид

Выражения (9.75), (9.76) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, импульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

а по известной операторной характеристики H k n (p) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Используя выражения (9.75) и теорему дифференцирования (9.36), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками

Если при t = t 0 функция h(t - t 0) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи связана с ней следующим соотношением

(9.78)

Выражение (9.78) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t > t 0 , а второе слагаемое содержит произведение d-функции на значение переходной характеристики в точке t= t 0 .

Если функция h 1 (t - t 0) не претерпевает разрыва при t = t 0 , т. е. значение переходной характеристики в точке t = t 0 равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной., импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени

(9.77)

Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи применяют два основных способа.

1) Необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее тока или напряжения в виде функции включения или -функции. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов.

2) На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику H k n (p), соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь x n (t) - реакция цепи y k (t). Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

Следует обратить внимание, что при качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при tÎ] t 0- , t 0+ [ ) цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии, при этом нарушаются законы коммутации. На втором этапе (при t ³ t 0+ ) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Следовательно, импульсная характеристика характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.

Приведенные в предыдущем параграфе выражения (5.17), (5.18) для коэффициентов усиления можно трактовать как передаточные функции линейного активного четырехполюсника. Характер этих функций определяется частотными свойствами параметров Y.

Записав в виде функций , приходим к понятию передаточная функция линейного активного четырехполюсника . Безразмерная в общем случае комплексная функция является исчерпывающей характеристикой четырехполюсника в частотной области. Она определяется в стационарном режиме при гармоническом возбуже-нии четырехполюсника.

Передаточную функцию часто удобно представлять в форме

Модуль иногда называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсника. Аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюсника.

Другой исчерпывающей характеристикой четырехполюсника является его импульсная характеристика , которая используется для описания цепи во временной области.

Для активных линейных цепей, как и для пассивных, под импульсной характеристикой цепи подразумевается отклик, реакция цепи на воздействие, имеющее вид единичного импульса (дельта-функции). Связь между нетрудно установить с помощью интеграла Фурье.

Если на входе четырехполюсника действует единичный импульс (дельтафункция) ЭДС со спектральной плотностью, равной единице для всех частот, то спектральная плотность выходного напряжения равна просто . Отклик на единичный импульс, т. е. импульсная характеристика цепи, легко определяется с помощью обратного преобразования Фурье, примененного к передаточной функции :

При этом необходимо учитывать, что перед правой частью этого равенства имеется множитель 1 с размерностью площади дельта-функции. В частном случае, когда имеется в виду б-импульс напряжения, эта размерность будет [вольт х секунда].

Соответственно функция является преобразованием Фурье импульсной характеристики:

В данном случае перед интегралом имеется в виду множитель единица с размерностью [вольт х секунда]^-1.

В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать функцией , под которой можно подразумевать не только напряжение, но и любую другую электрическую величину, являющуюся откликом на воздействие в виде дельта-функции.

Как и при представлении сигналов на плоскости комплексной частоты (см. § 2.14), в теории цепей широко распространено понятие передаточной функции рассматриваемой как преобразование Лапласа от функции 8

Единичные функции и их свойства. Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция

График функции 1(7 - (0) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна единице (рис. 6.16, а). Скачок такого типа будем называть единичным. При t 0 = Q для единичной ступенчатой функции используют обозначение 1(0 (рис. 6.16, б).

В связи с тем, что произведение любой ограниченной функции времени f(t ) па 1 (t - t 0) равно нулю при t и равно /(0 при t > t 0:

функцию Хевисайда l(f - t 0) удобно использовать для аналитического представления различных внешних воздейст-

Рис. 6.16.

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения внешнее воздействие на цепь

где to - момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде

Если при t = ?о в цепь включается источник гармонического тока или напряжения

то внешнее воздействие на цепь можно представить в виде

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t = t§ скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения Х { до другого Х 2 , то

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью t u (рис. 6.17, а ), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков

сдвинутых во времени на? и (рис. 6.17, б, в):

Рис. 6.17.

Рис. 6.18.

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью At и высотой Х/At (рис. 6.18, а). Очевидно, что площадь этого импульса равна единице и не зависит от At. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при At -*? 0 она стремится к бесконечности, но площадь импульса остается равной единице. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна единице, будем называть единичным импульсом.

Функция, определяющая единичный импульс, обозначается 5(t - to) и называется 5-функцией или функцией Дирака". Таким образом,

При? 0 = 0 для 5-функции используется обозначение 5(t). При построении временны х диаграмм функции б(t - to) и 8(t) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком 00 около острия (рис. 6.18, б, в).

Для установления связи между 5-функцией и единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1 /At и устремляя At к нулю, получаем

Таким образом, 8-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция - интеграл от 8-функции.

Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции 1(7: - / 0) и 6(7 - t 0) удобно представить в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. Рассмотрим, например, функцию.гДГ) (рис. 6.19, а), удовлетворяющую условиям

Производная функции X(t) по времени (рис. 6.19, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью At и высотой 1 /Дt:

При At -*? 0 функция X(t) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция dx { (t)/dt - в б-функцию:

откуда следует, что

Рис. 6.19.

При выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации t Q удобно расчленять на три различных момента: ? 0 _ -момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, ? 0 - собственно момент коммутации и? ()+ - момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого из условия (6.98) можно получить

В общем случае

Произведение произвольной ограниченной функции времени /(?) на 8(? - ? 0)

Условиям (6.103) удовлетворяет также произведение f(t 0)6(t - ?о)> следовательно,

Из выражений (6.102) и (6.104) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции /(?) на 6(1: - tg) равен либо значению этой функции при t = to (если точка to принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если точка? 0 не принадлежит интервалу интегрирования):

Таким образом, с помощью 5-функции можно выделять значения функции/(?) в произвольные моменты времени? 0 - Эту особенность 8-функции обычно называют фильтрующим свойством.

Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций но Лапласу. Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем

При t 0 = 0 операторные изображения единичных функций имеют особенно простой вид:

• Более строгое определение 5-функции см., например, в работе .

Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.

Переходная характеристика

Переходная характеристика - h(t) - есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие имеет график:

1(t) - единичное ступенчатое воздействие.

Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:

Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие - напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие - ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.

Пример: найти h(t) для u c при входном воздействии в виде напряжения.

Пример : ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика - g(t) - есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта - функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

д(t) - дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:

Рассчитывать классическим методом g(t) крайне неудобно, но так как д(t) формально является производной, то найти её можно из соотношения g(t)=h(0)д(t) + dh(t)/dt.

Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:

t ф - длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);

t и - длительность импульса;

К этим импульсам предъявляют определённые требования:

а) для переходной характеристики:

T паузы должно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;

T и должно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

T ф должно быть как можно меньше (так, чтобы за t ср состояние цепи практически не менялось);

X m должна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в X m раз (X m =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной характеристики:

t паузы - требования такие же и к X m - такие же, к t ф требований нет (потому что даже сама длительность импульса t ф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса.

Итоги по классическому методу

Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.

Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g(t), и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).

До коммутации, .

Следовательно, по законам коммутации u c1 (0) = 0 и u c2 (0) = 0, но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E= u c1 (0)+u c2 (0).

В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.

Временной характеристикой цепи называется функция вре­мени, значения которой численно определяются реакцией цепи на типовое воздействие. Реакция цепи на заданное типовое воздей­ствие зависит лишь от схемы цепи и параметров ее элементов и, следовательно, может служить ее характеристикой. Временные характеристики определяют для линейных цепей, не содержащих независимых источников энергии, и при нулевых начальных усло­виях. Временные характеристики зависят от вида заданного типо­вого воздействия. Всвязи с этим их делят на две группы: переход­ные и импульсные временные характеристики.

Переходная характеристика, или переходная функция, опреде­ляется реакцией цепи на воздействие единичной ступенчатой функ­ции. Она имеет несколько разновидностей (табл. 14.1).

Если воздействие задано в виде единичного скачка напряже­ния и реакцией является также напряжение, то переходная харак­теристика оказывается безразмерной, численно равной напряже­нию на выходе цепи и называется переходной функцией или ко­эффициентом передачи K U (t) по напряжению. Если же выходной величиной служит ток, то переходная характеристика имеет раз­мерность проводимости, численно равна этому току и называется переходной проводимостью Y(t). Аналогично при воздействии в виде тока и реакции в виде напряжения переходная функция имеет размерность сопротивления и называется переходным сопро­тивлением Z(t). Если же при этом выходной величиной является ток, то переходная характеристика безразмерна и называется переходной функцией или коэффициентом передачи K I (t) no току.

В общем случае переходную характеристику любого вида обо­значают через h(t). Переходные характеристики легко опреде­ляются расчетом реакции цепи на единичное ступенчатое воздей­ствие, т. е. расчетом переходного процесса при включении цепи на постоянное напряжение 1 В или на постоянный ток 1 А.

Пример 14.2.

Найти временные перехо дные характеристики простой rC-цепи (рис. 14.9, а), если во здействиями являются напряжения.

1. Для определения переходных характеристик рассчитаем переходный про­цесс при поступлении на вход цепи напряжения u(t) - 1 (t). Этому соответствует включение цепи в момент t=0 на источник постоянной э. д. с. е 0 =1 В (рис. 14.9,6). При этом:

а) ток в цепи определяется выражением

поэтому переходной проводимостью является

б) напряжение на емкости

поэтому переходная функция по напряжению

Импульсная характеристика, или импульсная переходная функ­ция, определяется реакцией цепи на воздействие δ(t)-функции. Как и переходная характеристика, она имеет несколько разновид­ностей, определяемых видом воздействия и реакции - напряже­нием или током. B общем случае импульсную характеристику обозначают через a(t).

Установим связь между импульсной характеристикой и пере­ходной характеристикой линейной цепи. Для этого определим сначала реакцию цепи на импульсное воздействие малой длитель­ности t И =Δt, представив его наложением двух ступенчатых функций:

B соответствии с принципом наложения реакция цепи на такое воздействие определяется с помощью переходных характеристик:

При малых Δt можно записать

где S и =U m Δƒ - площадь импульса.

При Δt 0 и U m полученное выражение описывает ре­акцию цепи на δ(t)-функцию, т. е, определяет импульсную харак­теристику цепи:

С учетом этого реакция линейной цепи на импульсное воздей­ствие малой длительности может быть найдена как произведение импульсной функции на площадь импульса:

Это равенство лежит в основе экспериментального определения импульсной функции. Оно тем точнее, чем меньше длительность импульса.

Таким образом, импульсная характеристика представляет про­изводную от переходной характеристики:

Здесь учтено, что h(t)δ(t)=h(0)δ(t), а умножение h(t) на l(t) эквивалентно указанию на то, что значение функции h(t) при t<0 равно нулю.

Интегрируя полученные выражения, легко убедиться, что

Равенства (14.17) и (14.19) являются следствием ра­венств (14.14) и (14.15). Так как импульсные харак­теристики имеют размерность соответствующей переходной харак­теристики, поделенной на время. Для расчета импульсной харак­теристики можно воспользоваться выражением (14.19), т. е. рас­считать ее с помощью переходной характеристики.

Пример 14.3.

Найти импульсные характеристики простой rC-цепи (см. рис. 14.9, а). Решение.

Используя выражения для переходных характеристик, полученные в при­мере 14.2, с помо щью выражения (14.19) находим импульсные характеристики;

Временные характеристики типовых звеньев приведены в табл. 14.2.

Расчет временных характеристик обычно производится в сле­дующем порядке:

определяются точки приложения внешнего воздействия и его вид (ток или напряжение), а также интересующая выходная ве­личина - реакция цепи (ток или напряжение на каком-то ее участке); нужная временная характеристика рассчитывается как реак­ция цепи на соответствующее типовое воздействие: 1(t) или δ(t),