Корреляционный анализ дискретных сигналов. Функции корреляции сигналов Спектральный и корреляционный анализ детерминированных сигналов

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|B su ()|  ||s(t)||||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t- в формуле (6.2.1), получаем:

B su () =s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (-).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B su ()  B su (-), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при  = 0.

Рис. 6.2.1. Сигналы и ВКФ.

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1") наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал  сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B su () = B us (-

Рис. 6.2.2. Взаимноковариационные функции сигналов.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при =0, что и фиксируется функцией B su . Вместе с тем функция B su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака  при увеличения значения  от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B sv на рис. 6.2.2. Если поменять местами выражения функций в (6.2.1), то новая функция B vs будет зеркально повернутой относительно =0 функцией B sv .

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

B su () =s(t) u(t+) dt. B us () =u(t) s(t+) dt. (6.2.1")

Взаимная корреляция зашумленных сигналов . Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (6.1.13) с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

Последние три члена в правой части (6.2.2) затухают до нуля при увеличении . При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:

B uv () → B s 1 s 2 ().

ВКФ дискретных сигналов. Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 6.1.9-6.1.12). В частности, при t = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

B xy (n) =
x k y k-n . (6.2.4)

При нормировании в единицах мощности:

B xy (n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

Оценка периодических сигналов в шуме . Зашумленный сигнал можно оценить по взаимной корреляции с "эталонным" сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной корреляции до максимального значения.

Для сигнала u(k)=s(k)+q(k) при статистической независимости шума и → 0 функция взаимной корреляции (6.2.2) с шаблоном сигнала p(k) при q2(k)=0 принимает вид:

B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + .

А поскольку → 0 при увеличении N, тоB up (k) → B sp (k). Очевидно, что функция B up (k) будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации функции B up (k), можно получить оценку s(k) в виде оптимальной формы p(k).

Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):

 su () = C su ()/ s  v . (6.2.6)

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах  может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах , на которых наблюдаются нулевые значения  su (), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с использованием формулы (6.2.4) имеется вероятность появления значений  su (n)| > 1.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.

Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на прак­тике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы пред­ставление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармо­нические составляющие.

В качестве такой временной характеристики широко используется корреляционная функция сигнала.

Для детерминированного сигнала s (t ) конечной длительности корре­ляционная функция определяется следующим выражением:

где τ - временной сдвиг сигнала.

В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественны­ми функциями времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опу­стить:

. (1.78)

Из выражения (1.78) видно, что B s (t ) характеризует степень связи (корреляции) сигналаs ( t ) со своей копией, сдвинутой на величину т по оси времени. Ясно, что функцияB s ( t ) достигает максимума при τ = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом

, (1.79)

т. е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сиг­нала.

С увеличением τ функция В 8 (τ) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналовs (t ) иs (t + τ) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.

Из общего определения корреляционной функции видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину τ. Поэтому выражение (1.78) можно обобщить следующим образом:

. (1.78)

Это равносильно утверждению, что B s (τ) являетсячетной функцией τ.

Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, оп­ределение корреляционной функции с помощью выражений (1.129) или (1.129") неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения:

При таком определении корреляционная функция приобретает размер­ность мощности, причем B Sne р (0) равна средней мощности периодического сигнала. Ввиду периодичности сигналаs( t ) усреднение произведения
или
по бесконечно большому отрезкуТ должно совпадать с усреднением по периодуT 1 . Поэтому выражение (1.79) можно заменить выражением

Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреля­ционная функция сигнала на интервале T 1 . Обозначая ее через B sTl (τ ), приходим к соотношению

Очевидно также, что периодическому сигналу s(t ) соответствует и пе­риодическая корреляционная функцияB s пер (τ). Период функцииB s пер (τ) совпадает с периодомТ 1 исходного сигналаs( t ). Например, для простейшего (гармонического) колебания
корреляционная функция

При τ=0
есть средняя мощность гармонического колебания с амплитудойА 0 . Важно отметить, что корреляционная функция
не зависит от начальной фазы колебания.

Для оценки степени связи между двумя различными сигналами s 1 ( t ) иs 2 ( t ) используется взаимная корреляционная функция, определяемая общим выражением

Для вещественных функций s 1 (t) иs 2 (t)

Рассмотренная выше корреляционная функция В s (τ) является частным слу­чаем функции
, когдаs 1 ( t ) =s 2 ( t ).

В отличие от
взаимная корреляционная функция не обязательно является чет­ной относительно τ. Кроме того, взаимная корреляционная функцияне обязательно достигает максимума приτ = 0.

Корреляционная функция сигнала – это временная характеристика,

дающая представление о скорости изменения сигнала во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

Различают автокорреляционную и взаимнокорреляционную функции. Для детерминированного сигнала f (t ) автокорреляционная функция определяется выражением

где – величина временного сдвига сигнала.

характеризует степень связи(корреляции) сигнала f (t ) со своей

копией, сдвинутой на величину по оси времени. Построим автокорреляционную функцию (АКФ) для прямоугольного импульса f (t ) . Сигнал сдвинут на в сторону опережения, как показано на рис. 6.25.

На графике каждому значению соответствует свое произведение и площадь под графиком функции . Численные

значения таких площадей для соответствующих τ и дают ординаты функции

С увеличением τ убывает (не обязательно монотонно) и при

Т. е. больше, чем длительность сигнала, равна нулю.

является также периодической функцией с периодом T .

Рассмотрим основные свойства автокорреляционной функции:

1. АКФ является четной функцией , т. е. и с увеличением функция убывает.

2. АКФ достигает max при , так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом максимальное значение АКФ равно энергии

Чем шире спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции, т.е. величина сдвига , в пределах которого корреляционная функция отлична от нуля. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем уже его спектр.

Корреляционная функция может быть использована и для оценки степени связи между двумя различными сигналами f 1 (t ) и f 2 (t ) сдвинутыми на время

В этом случае она называется взаимной корреляционной функцией(ВКФ) и определяется выражением:

Взаимно-корреляционная функция не обязательно является чётной относительно τ и не обязательно достигает максимума при. Построение ВКФ для двух треугольных сигналов f 1 (t ) и f 2 (t ) приведено на рис. 6.26. При сдвиге

сигнала f 2 (t ) влево (t > 0, рис. 6.26, а) корреляционная функция сигнала сначала возрастает, затем убывает до нуля при. При сдвиге сигнала f 2 (t ) вправо (t < 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1 (t)

f2 (t)

0 Т t

0 t -Т Т

f 1 (t ) × f 2 (t + t)

f1 (t)

f2 (t)

0 Т

f 1 (t ) × f 2 (t - t)

6.9. Понятие о модулированных сигналах. Амплитудная модуляция

Для передачи информации на расстояние применяются высокочастотные сигналы. Передаваемая информация должна быть тем или иным способом -за ложена в высокочастотное колебание, которое называется несущим. Выбор ча-

стоты ω несущего сигнала зависит от многих факторов, но в любом случае ω

должна быть намного больше, чем наивысшая частота спектра передаваемого сообщения, т. е.

В зависимости от характера несущей различают два вида модуляции:

– непрерывную – при гармоническом непрерывном во времени переносчике;

– импульсную – при переносчике в виде периодической последовательности импульсов.

Сигнал, несущий в себе информацию, можно представить в виде

Если и – постоянные величины, то это простое гармоническое колебание, не несущее информации. Если и подвергаются принудительному изменению для передачи сообщения, то колебание становится модулированным.

Если изменяется A (t ), то это амплитудная модуляция, если угол – угловая. Угловая модуляция подразделяется на два вида: частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ).

Так как , то и – медленно меняющиеся функции времени. Тогда можно считать, что при любом виде модуляции параметры сигнала

(1) (амплитуда, фаза и частота) изменяются настолько медленно, что в пределах одного периода высокочастотное колебание можно считать гармоническим. Эта предпосылка лежит в основе свойств сигналов и их спектров.

Амплитудная модуляция (АМ). При АМ огибающая амплитуд несущего сигнала изменяется по закону, совпадающему с законом изменения передаваемого сообщения, частота не изменяется, а начальная фаза может быть различной в зависимости от момента начала модуляции. Общее выражение (6.22) можно заменить на

Графическое представление амплитудно-модулирован-ного сигнала приведено на. 6.27. Здесь S (t ) – передаваемое непрерывное сообщение, амплитуда несущего гармонического ы- сокочастотного сигнала. Огибающая A (t ) изменяется по закону, воспроизводящему сообщение

S (t ).

Вид алгоритма оптимального приема, а также качественные показатели системы передачи дискретных сообщений существенно зависят от характеристики

которую будем называть взаимокорреляционной функцией позиции комплексного опорного сигнала и комплексного принимаемого поля, соответствующего позиции, где временной сдвиг между ними, обусловленный несогласованностью во времени.

Функция является мерой «различия» (или «близости») сигналов с индексами Если в ансамбль сигналов включить и все реализации помехи в канале, то эта функция определит также меру «различия» («близости») между сигналом и помехой, а также между отдельными реализациями помехи. Такая характеристика различимости сигнала и помехи использована в ряде работ, например .

При выводе последних формул учтены соотношения, следующие из равенства Парсеваля:

Функции будем называть соответственно функцией взаимной корреляции принимаемых сигналов и функцией взаимной корреляции сопряженных сигналов в месте приема. Первая из них определяет свойства оптимального когерентного приема, в то время как для характеристики оптимального приема при неопределенной фазе сигнала (некогерентный прием) требуется знание только модуля (огибающей) комплексной функции корреляции

Комплексный опорный сигнал, используемый в схемах оптимального когерентного приема (см. ниже)

где функция, являющаяся решением интегрального уравнения

где корреляционная функция аддитивной помехи. Поскольку корреляционная функция может быть разложена в билинейный ряд по своим собственным функциям

где собственные числа, то решение интегрального уравнения (1.52) можно записать в виде

В том случае, когда помеха является суммой двух частей - сосредоточенной и флуктуационной, некоррелированных между собой, разлагая корреляционную функцию сосредоточенной части помехи в ряд (1.53), получаем

где собственные числа и собственные функции, соответствующие Поскольку корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью для любого ортонормированного базиса представима в виде

(все собственные числа одинаковы и равны N), то

С учетом (1.51) функцию будем также называть взвешенной [с весом комплексной взаимокорреляционной

функцией двух реализаций комплексных сигналов в месте приема Выражение (1.51) можно записать в виде

Предполагай весовую функцию однородной, т. е. можно показать, что и связаны между собой парой преобразований Гильберта. Ансамбли сигналов, для которых

будем называть ортогональными в месте приема при произвольных временных сдвигах Если выполняется условие то будем говорить об ортогональной системе сигналов в месте приема.

Если в (1-47) то будем называть корреляционной функцией принимаемых комплексных сигналов. Фактически можно говорить лишь о приближенном выполнении условия (1.59), так как его строгое выполнение возможно лишь при использовании сигналов, спектры которых нигде не перекрываются, что неосуществимо. На практике условия (1.59) часто выполняются при любых лишь при значениях

В этом случае будем говорить, что при несовпадении индексов выполняется условие узости для взаимокорреляционной функции, а при совпадении индексов - условие узости корреляционных функций.

Введем нормированные корреляционные функции при

Энергетическое отношение (сигнал/помеха) для сигнала в месте приема. Можно показать, что Следовательно, нормированная корреляционная функция (1.61) удовлетворяет условию Аналогично можно показать, что такому же условию удовлетворяет и нормированная функция корреляции сопряженных принимаемых сигналов

При неопределенной фазе сигнала в некоторых случаях свойства приемника характеризуются огибающей (1.50) и соответственно нормированной огибающей

Назовем систему принимаемых сигналов, для которой

ортогональной в усиленном смысле при произвольных временных сдвигах

Очень часто мы имеем дело с системой сигналов, удовлетворяющих условию которую будем, пользуясь терминологией , называть ортогональной в усиленном смысле (в месте приема).

На практике условия (1.64) обычно выполняются лишь в границах (1.60).

Аналогично введенным характеристикам принимаемых сигналов можно ввести взвешенные корреляционные и взаимокорреляционные характеристики передаваемых сигналов:

Это условие обеспечивает также ортогональность принимаемых сигналов в усиленном смысле при произвольных сдвигах во времени.

При определенном фазировании в канале для обычной ортогональности принимаемых сигналов достаточна ортогональность передаваемых сигналов (с тем же весом).

Для однолучевого канала ортогональность и ортогональность в усиленном смысле принимаемых сигналов при любых временных сдвигах эквивалентны соответственно ортогональности и ортогональности в усиленном смысле при любых временных сдвигах передаваемых сигналов с весом

Для узкополосных передаваемых и принимаемых сигналов ортогональность в усиленном смысле при произвольных ненулевых сдвигах равносильна обычной ортогональности при любых сдвигах. Однако для таких сигналов ортгональность в усиленном смысле (при ) не эквивалентна обычной ортогональности.