• Линейная функция и её график. Линейная функция Линейная функция y x 3

    Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
    Графиком линейной функции является прямая.

    1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

    Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

    2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
    если k>0, то функция y=kx+b возрастает
    если k
    Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
    если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
    если b
    На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

    Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

    Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

    Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

    На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

    Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

    Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

    Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
    График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
    График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
    График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

    Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
    Если k 0

    Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

    Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

    3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

    Например, график уравнения x=3 выглядит так:
    Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.


    4. Условие параллельности двух прямых:

    График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

    5. Условие перепендикулярности двух прямых:

    График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

    6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

    С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

    С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

    Определение линейной функции

    Введем определение линейной функции

    Определение

    Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

    График линейной функции -- прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

    При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

    Рассмотрим рисунок 1.

    Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

    Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

    \ \

    Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

    \[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]

    С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

    Таким образом, можно сделать следующий вывод:

    Вывод

    Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.

    Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

    Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.

    1. $f"\left(x\right)={\left(kx+b\right)}"=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
    2. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
    3. График (рис. 2).

    Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

    Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

    1. Область определения -- все числа.
    2. Область значения -- все числа.
    3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
    4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

    Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

    1. $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k
    2. $f^{""}\left(x\right)=k"=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
    3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
    4. График (рис. 3).

    Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

    В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .

    Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.

    b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

    Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

    Свойства линейной функции:

    1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

    2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;

    3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .

    a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

    b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

    c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

    d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

    4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

    5) Точки пересечения с осями координат:

    Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

    Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

    Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .

    6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

    a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

    y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,

    y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .

    b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

    y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,

    y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .

    c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

    k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

    7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .

    k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

    k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

    8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.

    Читать еще: