Прохождение случайных сигналов через нелинейные цепи. Прохождение случайных сигналов через линейные инерционные цепи. Входной сигнал можно записать в виде

В гл. 6 рассматривалась передача различных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным и выходным сигналами в таких цепях определялась с помощью передаточной функции (спектральный метод) или с помощью импульсной характеристики (метод интеграла наложения).

Аналогичные соотношения можно составить и для линейных цепей с переменными параметрами. Очевидно, что в подобных цепях характер зависимости между входным и выходным сигналами в процессе передачи изменяется. Иными словами, передаточная функция цепи зависит не только от но и от времени; импульсная характеристика также зависит от двух переменных: от интервала между моментом приложения единичного импульса и моментом наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными параметрами) и, кроме того, от положения интервала на оси времени. Поэтому для цепи с переменными параметрами импульсную характеристику следует записывать в общей форме

Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой действует произвольный сигнал s(t) (рис. 10.2), то, основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии с выражением (6.11) можно определить с помощью выражения

(10.12)

Постараемся теперь ввести передаточную функцию для цепи с переменными параметрами. Для этого представим функцию в виде интеграла Фурье:

(10.13)

где - спектральная плотность сигнала s(t).

Тогда выражение (10.13) переходит в следующее:

Рис. 10.2. Параметрический четырехполюсник

Обозначив внутренний интеграл через перепишем последнее выражение следующим образом:

(10.14)

Из (10.14) следует, что функцию определяемую выражением

Электрические цепи являются неотъемлемой составной частью электронных элементов автоматики, выполняющие большое количество различных специфических функций. Основное отличие электрических цепей от электронных состоит в том, что они представляют собой совокупность пассивных линейных элементов, т. е. таких, вольт-амперные характеристики которых подчиняются закону Ома, и они не усиливают входные сигналы. В силу этого электрические цепи электронных устройств чаще называют линейными устройствами преобразования и формирования электрических сигналов.

Функционально линейные устройства формирования и преобразования электрических сигналов можно разделить на следующие основные группы:

Интегрирующие цепи, применяемые для интегрирования сигналов, и иногда для расширения (увеличения длительности) импульсов;

Дифференцирующие (укорачивающие) цепи, применяемые для дифференцирования сигналов, а также для укорочения импульсов (получения импульсов заданной длительности);

Резисторные и резисторно-емкостные делители, применяемые для изменения амплитуды электрических сигналов;

Импульсные трансформаторы, применяемые для изменения полярности и амплитуды импульсов, для гальванической развязки импульсных цепей, для формирования положительной обратной связи в генераторах и формирователях импульсов, для согласования цепей по нагрузке, для получения импульсов с нескольких выходных обмоток;

Электрические фильтры, предназначенные для выделения из сложного по форме электрического сигнала частотных составляющих, расположенных в заданной области, и для подавления частотных составляющих, расположенных во всех других областях частоты.

В зависимости от элементов, на которых выполняются линейные устройства, их можно разделить на RC-, RL- и RLC-цепи. При этом линейные устройства могут включать в себя линейный резистор R, линейный конденсатор С, линейную катушку индуктивности L, импульсный трансформатор без насыщения сердечника. Слово «линейный» подчеркивает, что имеются в виду только те разновидности элементов, которые имеют вольт-амперные характеристики линейного типа, или, иными словами, номинальное значение параметра (сопротивления, емкости и т. д.) у которых постоянно и не зависит от протекающего тока или приложенного напряжения. Например, обычный конденсатор со слюдяными диэлектрическими прокладками в широком диапазоне напряжений считается линейным, а значение емкости pn- перехода зависит от приложенного напряжения, и ее нельзя отнести к линейным элементам. Кроме того, всегда имеются ограничения по амплитуде или мощности сигнала, при которых элемент сохраняет линейные свойства. Например, допустимое напряжение на конденсаторе не должно превышать пробивного значения. Аналогичные ограничения имеются и у других элементов, и их приходится учитывать, относя элемент к тому или иному классу.

Важнейшее свойство линейных устройств заключается в их способности накапливать и отдавать энергию в емкостных и индуктивных элементах и этим преобразовывать входные сигналы во временное изменение интервалов на выходе. Это свойство лежит в основе работы генераторов, устройств подавления импульсных помех и «состязаний» в цифровых схемах, возникающих в процессе прохождения электрического сигнала через цепи с различной временной задержкой.

Следует отметить определенные трудности применения линейных электрических цепей в интегральной технологии. Это связано с наличием ряда технологических трудностей изготовления резисторов и конденсаторов, не говоря уже о катушках индуктивности, в интегральном исполнении.

Частотно независимый делитель напряжения предназначен для уменьшения напряжения источника сигнала до требуемой величины. ДН применяется для согласования входного каскада с источником сигнала по напряжению, для задания рабочей точки транзистора в усилителе, для формирования эталонного (чаще говорят «опорного») напряжения. Схема простейшего делителя напряжения приведена на рисунке чуть выше

При анализе реальных электронных схем, для исключения грубых ошибок, всегда необходимо учитывать электрические характеристики источника сигнала и нагрузки. Важнейшими из них являются:

Величина и полярность ЭДС источника сигнала;

Внутреннее сопротивление источника сигнала (Rг);

АЧХ и ФЧХ источника сигнала;

Сопротивление нагрузки (Rн);

На следующем рисунке представлены разновидности делителей напряжения.

На рисунке (а) представлен делитель напряжения на переменном резисторе. Используется для регулирования чувствительности ЭУ. Там же, рисунок б изображает делитель с несколькими выходными напряжениями. Такой ДН используется, например, в каскодном усилителе. В ряде случаев, когда сопротивление Rн мало, его используют в качестве нижнего плеча делителя. Например, при построении усилителя с ОЭ, положение рабочей точки задают делителем, образованным Rб и сопротивлением базового перехода транзистора rбэ.

Важное место в электронике занимают делители напряжения , у которых верхнее или нижнее плечо образовано переменным сопротивлением. Если делитель запитать постоянным стабильным напряжением, и, скажем, в нижнем плече поставить сопротивление, величина которого завит от температуры, давления, влажности и прочих физических параметров, то с выхода делителя напряжения можно снимать напряжение, пропорциональное температуре, давлению, влажности и т.д. Особое место занимают делители, у которых одно из сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения. Они образуют большую группу разнообразных фильтров электрических сигналов.

Дальнейшее усовершенствование делителя напряжения привело к появлению измерительного моста, который состоит из двух делителей. В такой схеме можно снимать сигнал и между средней точкой и общим проводом, и между двумя средними точками. Во втором случае размах выходного сигнала при одинаковом изменении переменных сопротивлений удваивается. Усилители электрических сигналов также представляют собой делитель напряжения, роль переменного сопротивления в котором играет управляемый входным напряжением транзистор

Простейшая интегрирующая цепочка представляет собой делитель напряжения, у которого роль нижнего плеча делителя выполняет конденсатор С

Дифференцирующие линейные цепи

Простейшая дифференцирующая цепочка представляет собой делитель напряжения, у которого роль верхнего плеча делителя выполняет конденсатор С

Интегрирующее и дифференцирующее звенья при воздействии на них непрерывными случайными сигналами ведут себя как, соответственно, фильтры нижних и верхних частот , элементы R1 и C2 образуют фильтр нижних частот, а C1 и R2 – фильтр верхних частот

Цель работы:

изучение процессов прохождения гармонических сигналов и сигналов прямоугольной формы через линейные цепи, такие как дифференцирующая и интегрирующая цепи, последовательный и параллельный колебательные контуры, трансформатор;

изучение переходных процессов в линейных цепях;

получение навыка работы с измерительными приборами;

научиться выполнять расчеты RCL–цепей, используя символический метод;

обработка и анализ полученных экспериментальных данных.

Задачи:

измерить амплитудно-частотные характеристики семи линейных цепей;

измерить фазочастотные характеристики выше перечисленных линейных цепей;

получить и исследовать переходные характеристики семи линейных цепей;

1 Линейные цепи

В радиоэлектронике электрические цепи представляют собой совокупность соединенных схемных элементов, таких как резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы, операционные усилители, источники тока, источники напряжения и другие.

Соединяются схемные элементы с помощью проводов или печатных шин. Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, классифицируются по ряду признаков:

По энергетическим особенностям:

активные (содержащие источники питания);

пассивные цепи (не содержат источников тока и (или) напряжения);

По топологическим особенностям:

планарные (плоские);

непланарные;

разветвленные;

неразветвленные;

простые (одно-, двухконтурные);

сложные (многоконтурные, многоузловые);

По числу внешних выводов:

двухполюсники;

четырехполюсники;

многополюсники;

От частоты измерительного поля:

цепи с сосредоточенными параметрами (в цепях с сосредоточенными параметрами сопротивлением обладает только резистор, емкостью только конденсатор, индуктивностью только катушка индуктивности);

цепи с распределенными параметрами (в цепях с распределенными параметрами даже соединительные провода обладают емкостью, проводимостью и индуктивностью, которые распределены вдоль их длины; наиболее характерен такой подход к цепям в области сверхвысоких частот);

От типа элементов:

линейные цепи, если они состоят из линейных идеализированных элементов;

нелинейные цепи, если в состав цепи входит хотя бы один нелинейный элемент;

В данной работе рассмотрены пассивные цепи, состоящие из трех схемных элементов . Элементы
– называют идеализированными схемными элементами. Ток, протекающий через такие элементы, представляет собой линейную функцию от приложенного напряжения:

для резистора
:
;

для конденсатора :
;

для катушки индуктивности :

Поэтому цепи, состоящие из
элементов, называютсялинейными .

Строго говоря, на практике не все
элементы линейны, но во многих случаях отклонения от линейности невелико и действительный элемент можно принимать как идеализированный линейный. Активное сопротивление можно рассматривать как линейный элемент только в том случае, если текущий через него ток настолько мал, что выделяющееся тепло не приводит к заметному изменению величины его сопротивления. Аналогичные соображения можно высказать в отношении катушки индуктивности и конденсатора. Если параметры
цепи остаются неизменными в течение времени, когда протекает изучаемый электрический процесс, то говорят о цепи с постоянными параметрами.

Поскольку процессы в линейных цепях описываются линейными уравнениями, к ним применим принцип суперпозиции. Это значит, что результат действия в линейной цепи сигнала сложной формы можно найти как сумму результатов действий сигналов более простых, на которые разлагается исходный, сложный сигнал.

Для анализа линейных цепей используется два метода: метод частотных характеристик и метод переходных характеристик.

В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сигналами и разными цепями, при прохождении сигналов по таким цепям возникают переходные процессы, в результате которых форма передаваемого сигнала может измениться. Большинство устройств содержит в себе совокупность линейных и нелинейных элементов, что усложняет строгий анализ прохождения сигналов. Однако имеется достаточно широкий круг задач, которые успешно можно решать линейными методами, даже если в цепи имеется нелинейный элемент. Это относится к устройствам, в которых сигналы настолько малы по амплитуде, что нелинейностью характеристик нелинейного элемента можно пренебречь, так что его также можно считать линейным.

Большинство методов анализа прохождения сигналов через линейную цепь основано на основополагающем принципе - принципе суперпозиции, при котором реакция цепи на сложное воздействие может быть определена как сумма реакций на более простые сигналы, на которые можно разложить сложное воздействие. Реакция линейной цепи на известное простое (тестовое) воздействие называется системной (т.е. зависящей только от цепи) передаточной характеристикой цепи. Сама передаточная характеристика может быть определена:

а) классическим методом, при котором цепь описывается системой линейных дифференциальных уравнений, в правой части которой записано тестовое воздействие; этим методом чаще всего определяются реакции на единичную ступенчатую функцию или дельта-функцию, так называемые переходная и импульсная характеристики цепи, являющиеся передаточными характеристиками цепи для метода наложения (или метода интеграла Дюамеля); классическим методом при достаточно несложных цепях и воздействиях может быть сразу решена задача анализа, т.е. нахождения реакции цепи на входной сигнал;

б) комплексным методом, если в качестве тестового сигнала используется гармоническое колебание; в этом случае определяется такая передаточная характеристика цепи как частотная характеристика, являющаяся основой частотного метода анализа;

в) операторным методом, при котором используется аппарат преобразования Лапласа, в результате чего определяется операторная передаточная характеристика цепи, так как операторный метод использует сигнал вида e pt , где p =s +jw , то при замене в операторной передаточной характеристике p на jw получается частотная передаточная характеристика, кроме того, как будет показано ниже, оригинал от операторной передаточной характеристики является импульсной характеристикой цепи.

Поэтому можно классифицировать методы анализа прохождения сложных сигналов на

а) частотные , применяющиеся главным образом для анализа установившихся процессов;

б) временные , использующие переходную или импульсную характеристику цепи, применяющиеся в случаях быстро меняющихся (импульсных) сигналов, когда важными являются переходные процессы в цепи.

При анализе прохождения сигналов через узкополосные избирательные цепи эти же методы можно использовать не для мгновенных значений сигнала, а для медленноменяющейся огибающей.

Цель работы : Приобрести первичные навыки в исследовании статистических характеристик случайных сигналов. Экспериментально определить законы распределения случайных сигналов на выходе линейных и нелинейных радиотехнических цепей.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Классификация радиотехнических цепей

Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты. В общем случае, любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала x(t) в выходной y(t), которое символически можно представить в виде

y(t) = T ,

Где Т — оператор, укапывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.

Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора Т и двух множеств X={xi(t)} и Y={yi(t)} сигналов на входе и выходе цепи так, что

{y I (t)} = T{x I (t)} .

По виду преобразования входных сигналов в выходные, то есть по виду оператора Т, производят классификацию радиотехнических цепей.

Радиотехническая цепь, является линейной, если оператор Т таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, то есть справедливы равенства

T = T : T = c T

i I

Где с — константа.

Эти условия выражают суть принципа суперпозиции, свойственного только линейным цепям.

Функционирование линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями c постоянными коэффициентами. Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, то есть не приводит к обогащению спектра сигнала.

Радиотехническая цепь является Нелинейной , если оператор Т не обеспечивает выполнение условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.

Структурно линейные цепи содержат только линейные устройства (усилители, фильтры, длинные линии и др.). Нелинейные цепи содержат одно или несколько нелинейных устройств (генераторы, детекторы, умножители, ограничители и др.)

По характеру временной зависимости выходного сигнала от входного различают инерционные и безынерционные радиотехнические цепи.

Радиотехническая цепь, значение выходного сигнала которой y(t) В момент t=t0 зависит не только от значения входного сигнала x(t) в этот момент времени, но и от значений x(t) в моменты времени, предшествовавшие моменту t0 называется Инерционной цепью. Если значение выходного сигнала y(t) и момент t=t0 полностью определяется значением x(t) в тот же момент времени t0, то такая цепь называется Безынерционной .

2. Преобразование случайных процессов в линейных цепях

Задача преобразования случайных процессов в линейных радиотехнических цепях в общем случае рассматривается в следующей постановке. Пусть на вход линейной цепи c частотной характеристикой K(jw) поступает случайный процесс x(t) с заданными статистическими свойствами. Требуется определить статистические характеристики случайного процесса y(t) на выходе цепи. В зависимости от анализируемых характеристик случайных процессов x(t) и y(t) рассматривают два варианта общей задачи:

1. Определение энергетического спектра и корреляционной функции случайного процесса на выходе линейной цепи.

2. Определение законов распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной цепи.

Наиболее простой является, первая задача. Решение ее в частотной области основано на том, что энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи Wy(w) в стационарном режиме равен энергетическому спектру входного процесса Wx(w), умноженному на квадрат модуля частотной характеристики цепи, то есть

Wy (W )= Wx (W ) ∙│ K (Jw )│ A (1)

Известно, что энергетический спектр Wx(w) случайного процесса x(t) с математическим ожиданием mx=0 связан с его ковариационной функцией Вx(t) преобразованиями Фурье, то есть

Wx (W )= В X (T ) E — J W T D T

В X (T )= Wx (W ) Ej W T D W .

Следовательно, ковариационную функцию Вy(t) случайного процесса на выходе линейной цепи можно определить следующим образом:

В Y (T )= Wy (W ) Ej W T D W = Wx (W ))│ K (Jw )│ A Ej W T D W

Ry (T )= В Y (T )+ Mya .

При этом дисперсия Dy и математическое ожидание my выходного случайного процесса равны

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

My = Mx ∙ K (0) .

Где mx — математическое ожидание входного случайного процесса:

К(0) — коэффициент передачи линейной цепи по постоянному току, то есть

K (0)= K (Jw )/ W =0

Формулы (1,2,3,4) представляют собой по сути дела полное решение поставленной задачи в частотной области.

Метода решения второй задачи, который позволял бы непосредственно находить плотность вероятности процесса y(t) на выходе линейной инерционной цепи по заданной плотности вероятности процесса x(t) на входе, в общем виде не существует. Решается задача только для некоторых частных случаев и для случайных процессов с гауссовским (нормальным) законом распределения, а также марковских случайных процессов.

Применительно к процессу о нормальным законом распределении решение упрощается на том основании, что при линейном преобразовании такого процесса закон распределения не изменяется. Поскольку нормальный процесс полностью определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией, то для нахождения плотности вероятности процесса достаточно вычислить его математическое ожидание и корреляционную функцию.

Закон распределения вероятностей сигнала на выходе линейной безынерционной цепи совпадает в функциональном смысле с законом распределения входного сигнала. Изменяются только некоторые его параметры. Так, если линейная безынерционная цепь реализует функциональное преобразование вида y(t) = a·x(t) + b, где а и b — постоянные коэффициенты, то плотность вероятности р(у) случайного процесса на выходе цепи определяется по известной формуле функционального преобразования случайных процессов

P (Y )= =

Где р(х) — плотность вероятности случайного процесса x(t) па входе цепи.

В некоторых случаях приближенно решить задачу определения вероятностных характеристик случайного процесса на выходе инерционных цепей позволяет использование эффекта нормализации случайного процесса инерционными системами. Если негауссовский процесс x(t1) с интервалом корреляции tk воздействует на инерционную линейную цепь с постоянной времени t»tk (при этом ширина энергетического спектра случайного процесса x(t) больше полосы пропускания цепи), то процесс y(t) на выходе такой цепи приближается к гауссовскому по мере увеличения отношения t/tk. Этот результат называется эффектом нормализации случайного процесса. Эффект нормализации проявляется тем сильней, чем уже полоса пропускания цепи.

3. Преобразование случайных процессов в нелинейных цепях

Нелинейные инерционные преобразования рассматриваются в ходе анализа нелинейных цепей, инерционностью которых при заданных воздействиях нельзя пренебрегать. Поведение таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, общих методов решения которых не существует. Поэтому задачи, связанные с исследованием нелинейных инерционных преобразований случайных процессов, почти всегда решают приближенно, пользуясь различными искусственными приемами.

Один из таких приемов состоит в представлении нелинейной инерционной цепи комбинацией линейной инерционной и нелинейной безынерционной цепей. Задача исследования воздействия случайных процессов на линейную цепь рассматривалась выше. Было показано, что в этом случае достаточно просто определить спектральную плотность (или корреляционную функцию) выходного сигнала, но сложно — закон распределения. В нелинейных безынерционных цепях основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. При этом общих методов анализа воздействия случайных сигналов на нелинейные цепи нет. Ограничиваются решением некоторых частных задач, представляющих практический интерес.

3.1. Статистические характеристики случайного процесса на выходе нелинейных цепей

Рассмотрим преобразование случайного процесса с одномерной плотностью вероятности нелинейной безынерционной цепью с характеристикой

Y = f(x) .

Очевидно, что любая реализация случайного процесса x(t) преобразуется в соответствующую реализацию нового случайного процесса y(t), то есть

y(t)= F [ X (T )] .

А. Определение закона распределения случайного процесса y(t)

Пусть известна плотность вероятности р(х) случайного процесса x(t). Необходимо определить плотность вероятности p(y) случайного процесса y(t). Рассмотрим три характерных случая.

1. Функция y= f(x) нелинейной цепи определяет однозначное соответствие между x(t) и у(t). Полагаем, что существует обратная функция х= j(у), которая также определяет однозначное соответствие между y(t) и x(t). В этом случае, вероятность нахождения реализации случайного процесса x(t) в интервале (x0, x0+dx) равна вероятности нахождения реализации случайного процесса y(t)=f в интервале (y0, y0+dу) при y0= f(x0) и y0+dy= f(x0+dx), то есть

P (X ) Dx = P (Y ) Dy

Следовательно,

P (Y )= .

Производная взята по абсолютной величине потому что плотность вероятности р(у) > 0, в то время как производная может быть и отрицательной.

2. Обратная функция х= j(у) неоднозначна, то есть одному значению у соответствует несколько значений х. Пусть, например, значению у1=y0 соответствуют значения х= x1, x2,…,xn.

Тогда из того факта, что у0≤ y(t)≤ у0+dy, следует одна из n взаимно несовместимых возможностей

X 1 ≤ X (T )≤ X 1 + Dx , или X 2 ≤ X (T )≤ X 2 + Dx , или … Xn ≤ X (T )≤ Xn + Dx .

Применяя правило сложения вероятностей получаем

P (Y )= + +…+ .

/ X = X 1 / X = X 2 / X = Xn

3, Характеристика нелинейного элемента у= f(x) имеет один или более горизонтальных участков (участки, где y= const.). Тогда выражение

P (Y )=

Следует дополнить слагаемым, учитывающим вероятность пребывания у(t) на интервале, где у= const.

Проще всего этот случай рассмотреть не примере.

Пусть функция у= f(x) имеет вид, представленный на рис.1 и формулой

Рис. 1 Воздействие случайного процесса на двусторонний ограничитель.

При х(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx ,

А плотность вероятности

P1(y) = P1∙δ(y).

Аналогично рассуждая для случая x(t)> b, получаем

Pa= P= P= P(x)dx,

pa (Y ) = Pa ∙ δ (Y — C ).

/ Y = C

Для случая a≤ x≤ b справедлива формула

Pa (Y ) =

/0≤ Y ≤ C

В целом плотность вероятности выходного процесса определяется выражением

P (Y )= P 1 ∙ δ (Y )+ Pa ∙ δ (Y — C )+ .

Заметим, что для получения окончательного выражения необходимо функциональные зависимости р(х) и dy/dx, являющиеся функциями от х, преобразовать в функции от у, используя обратную функцию х= j(у). Таким образом, задача определения плотности распределения случайного процесса на выходе нелинейной безынерционной цепи решается аналитически для достаточно простых характеристик у = f(х).

В. Определение энергетического спектра и корреляционной функции случайного процесса y(t)

Непосредственно определить энергетический спектр случайного процесса на выходе нелинейной цепи не представляется возможным. Существует единственный метод — определение корреляционной функции сигнала на выходе цепи с последующим применением прямого преобразования Фурье для определения спектра.

Если на вход нелинейной безынерционной цепи поступает стационарный случайный процесс x(t), то корреляционная функция случайного процесса y(t) на выходе может быть представлена в виде

Ry (T )= By (T )- My 2 ,

Где By(t) — ковариационная функция;

my — математическое ожидание случайного процесса y(t). Ковариационная функция случайного процесса представляет собой статистически усредненное произведение значений случайного процесса y(t) в моменты t и t+t, то есть

By (T )= M [ Y (T )∙ Y (T + T )].

Для реализаций случайного процесса y(t) произведение y(t)∙y(t+t) является числом. Для процесса как совокупности реализаций это произведение образует случайную величину, распределение которой характеризуется двумерной плотностью вероятности р2 (у1, у2, t), где у1= y(t), ya= y(t+t). Заметим, что в последней формуле переменная t не фигурирует, так как процесс стационарный — результат от t но зависит.

При заданной функции р2 (у1, у2, t) операция усреднения по множеству осуществляется по Формуле

By (T )=У1∙у2∙р2 (у1, у2, T ) Dy 1 Dy 2 = F (X 1 )∙ F (X 2 )∙ P (X 1 , X 2 , T ) Dx 1 Dx 2 .

Математическое ожидание my определяется следующим выражением:

My = Y ∙ P (Y ) Dy .

Учитывая, что p(y)dy = p(x)dx, получаем

My = F (X )∙ P (X ) Dx .

Энергетический спектр выходного сигнала в соответствии с теоремой Винера — Хинчина находится как прямое преобразование Фурье от ковариацинной функции, то есть

Wy (W )= By (T ) E — J W T D T

Практическое применение данного метода затруднено, так как двойной интеграл для By(t) удается вычислить не всегда. Приходится использовать различные упрощающие методы, связанные со спецификой решаемой задачи.

3.2. Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор

В статистической радиотехнике различают широкополосные и узкополосные случайные процессы.

Пусть ∆ fэ — ширина энергетического спектра случайного процесса, определенная по формуле (рис. 2.)

Рис. 2. Ширина энергетического спектра случайного процесса

Узкополосным случайным процессом называется процесс, у которого ∆fэ«f0 , где f0 — частота, соответствующая максимуму энергетического спектра. Случайный процесс, ширина энергетического спектра которого не удовлетворяет этому условию, является Широкополосным .

Узкополосный случайный процесс принято представлять высокочастотным колебанием с медленно меняющимися (по сравнению с колебанием на частоте f0) амплитудой и фазой, то есть

X(t)= A(t)∙cos,

Где A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arctg,

z(t) — функция, сопряженная по Гильберту с исходной функцией x(t), то

z(t)= — D T

Все параметры этого колебания (амплитуда, частота и фаза) являются случайными функциями времени.

Амплитудный детектор, являющийся составной частью приемного тракта, представляет собой сочетание нелинейного безынерционного элемента (например диода) и инерционной линейной цепи (фильтра нижних частот). Напряжение на выходе детектора воспроизводит огибающую амплитуд высокочастотного колебания на входе.

Пусть на вход амплитудного детектора поступает узкополосный случайный сигнал (например с выхода УПЧ, имеющего узкую относительно промежуточной частоты полосу пропускания), обладающий свойствами эргодического случайного процесса с нормальным законом распределения. Очевидно, что сигнал на выходе детектора будет представлять собой огибающую входного случайного сигнала, которая также является случайной функцией времени. Доказано, что эта огибающая, то есть огибающая узкополосного случайного процесса характеризуется плотностью вероятности, называемой распределением Релея и имеющей вид:

Где А — значения огибающей;

Sx2- дисперсия случайного сигнала на входа детектора.

График распределения Релея представлен на рис.3.

Рис.3. График закона распределения Релея

Функция р(А) имеет максимальное значение, равное

При А= sx. Это означает, что значения А= sx и является наивероятнейшим значением огибающей.

Математическое ожидание огибающей случайного процесса

MA = = =

Таким образом, огибающая узкополосного случайного процесса с нормальным законом распределения является случайной функцией времени, плотность распределения которой описывается законом Релея.

3.3. Закон распределения огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного случайного шума

Задача определения закона распределения огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного случайного шума возникает при анализе процесса линейного детектирования в радиолокационных и связных системах, работающих в условиях, когда собственные или внешние шумы соизмеримы по уровню с полезным сигналом.

Пусть на вход приемника поступает сумма гармонического сигнала a(t)=E∙cos(wt) и узкополосного шума х(t)=A(t)∙cos с нормальным законом распределения. Суммарное колебание в этом случае можно записать

N (T ) = S (T )+ X (T )= Е∙со S (Wt )+ A (T )∙ Cos [ Wt + J (T )]=

=[Е+ A (T )∙ Cos (J (T ))]∙со S (Wt )- A (T )∙ Sin (J (T ))∙ Sin (Wt )= U (T )∙ Cos [ Wt + J (T )],

Где U(t) и j (t) — огибающая и фаза суммарного сигнала, определяемые выражениями

U (T )= ;

J (T )= Arctg

При воздействии суммарного колебания u(t) на амплитудный детектор на выходе последнего формируется огибающая. Плотность вероятности p(U) этой огибающей определяется по формуле

P (U )= (5)

Где sxa — дисперсия шума x(t);

I0- функция Бесселя нулевого порядка (модифицированная).

Плотность вероятности, определяемую данной формулой, называют обобщенным законом Релея, или законом Райса. Графики функции p(U) для нескольких значений отношения сигнала к шуму E/sx приведены на рис.4.

В отсутствие полезного сигнала, то есть при E/sx=0, выражение (5) приобретает вид

P (U )=

То есть, огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае по закону Релея.

Рис.4. Графики обобщенного закона распределения Релея

Если амплитуда полезного сигнала превышает среднеквадратический уровень шума, то есть E/sx»1, то при U≃Е можно воспользоваться асимптотическим представлением функции Бесселя с большим аргументом, то есть

≃≃.

Подставив это выражение в (5), имеем

P (U )= ,

То есть, огибающая результирующего сигнала описывается нормальным законом распределения с дисперсией sx2 и математическим ожиданием Е. Практически считают, что уже при Е/sx=3 огибающая результирующего сигнала нормализуется.

4. Экспериментальное определение законов распределения случайных процессов

Одним из методов экспериментального определения функции распределения случайного процесса x(t) является метод, основанный на использовании вспомогательной случайной функции z(t) вида

Где x — значение функции x(t), для которого рассчитывается z(t).

Как следует из смыслового содержания функции z(t), ее статистические параметры определяются параметрами случайного процесса x(t), так как изменения значений z(t) происходят в моменты пересечения случайным процессом x(t) уровня х. Следовательно, если x(t) — эргодический случайный процесс с функцией распределения F(х), то функция z(t) будет также описывать эргодический случайный процесс с такой же функцией распределения.

На рис.5 представлены реализации случайных процессов x(t) и z(t), которые иллюстрируют очевидность соотношения

P [ Z (T )=1]= P [ X (T )< X ]= F (X );

P [ Z (T )=0]= P [ X (T )≥ X ]= 1- F (X ).

Рис.5 Реализации случайных процессов x(t), z(t), z1(t)

Математическое ожидание (статистическое среднее) функции z(t), имеющей два дискретных значения, определяется в соответствии c формулой (см. табл.1)

M [ Z (T )]=1∙ P [ Z (T )=1]+0 ∙ P [ Z (T )=0]= F (X ).

C другой стороны, для эргодического случайного процесса

Таким образом,

Анализируя данное выражение, можно сделать вывод, что устройство для измерения функции распределения эргодического случайного процесса x(t) должно содержать в своем составе дискриминатор уровней для получения случайного процесса, описываемого функцией z(t) в соответствии с выражением (6), и интегрирующее устройство, выполненное, например, в виде фильтра нижних частот.

Метод экспериментального определения плотности распределения случайного процесса x(t) по своей сути аналогичен рассмотренному выше. При этом используется вспомогательная случайная функция z1(t) вида

Математическое ожидание функции z1(t), имеющей два дискретных значения (рис.5), равно

M [ Z 1 (T )]=1∙ P [ Z 1 (T )=1]+0 ∙ P [ Z 1 (T )=0]= P [ X < X (T )< X +∆ X ].

Учитывая эргодичность случайного процесса, описываемого функцией z1(t), можно записать

Таким образом,

Известно, что

P (X ≤ X (T )< X +∆ X ) ≃ P (X )∙∆ X .

Следовательно,

Таким образом, устройство для измерения плотности распределения эргодического случайного процесса x(t) имеет такую же структуру и состав, как и устройство для измерения функции распределения.

Точность измерения F(x) и р(х) зависит от длительности интервала наблюдения и качества выполнения операции интегрирования. Вполне очевидно, что в реальных условиях получаем Оценки законов распределения, так как время усреднения (интегрирования) конечно. Возвращаясь к выражению (6) и рис. 5. заметим, что

Z (T ) Dt = ∆ T 1 ,

Где ∆ t1 — 1-й временной интервал пребывания функции x(t) ниже уровня x, то есть временной интервал, когда функция z(t)=l.

Справедливость этой формулы определяется геометрическим смыслом определенного интеграла (площадь фигуры, ограниченной функцией z(t) и отрезком (0,Т) оси времени).

Таким образом, можно записать

То есть функция распределения случайного процесса x(t) равна относительному времени пребывания реализации процесса в интервале -¥< x(t) < х.

Аналогично рассуждая, можно получить

Где ∆ t1- 1-й временной интервал пребывания функции x(t) в пределах (х, х+∆х).

При практической реализации рассмотренного метода экспериментального определения законов распределения случайного процесса анализу подвергается случайный сигнал x(t) в пределах изменения его мгновенных значений от xmin до хmax (рис.6). В этих пределах сосредоточено основное множество (в вероятностном смысле) мгновенных значений процесса x(t).

Значения xmin и хmax выбираются исходя из необходимой точности измерения законов распределения. При этом исследованию будут подвергаться усеченные распределения так, чтобы

F (Xmin )+<<1.

Весь диапазон (xmin, хmax) значений х(t) делится на N одинаковых интервалов ∆х, то есть

х Max — Xmin = N ∙∆ X .

Рис. 6. Функция распределения (а), плотность вероятности (б) и реализация (в) случайного процессе x(t)

Интервалы задают ширину дифференциальных коридоров, в которых производятся измерения. Определяется оценка вероятности

Pi * ≃ P [ Xi -∆ X /2≤ X (T )< Xi -∆ X /2]

Пребывания реализации x(t) в пределах дифференциального коридора со средним значением x(t) в его пределах, равным xi. Оценка Рi* определяется в результате измерения относительного времени пребывания реализации x(t) в каждом из дифференциальных коридоров, то есть

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I= 1,…,N.

Учитывая, что

Pi * ≃ P 1 = P (X ) Dx ,

Можно определить оценки плотности распределения в каждом из дифференциальных коридоров

Pi * (X )= Pi */∆ X .

Пользуясь полученными результатами, то есть значениями pi*(x), xi, ∆x, cтроится ступенчатая кривая р*(х), которая называется гистограммой плотности распределения (см. рис.7).

Рис.7. Гистограмма плотности распределения

Площадь под каждым фрагментом гистограммы в пределах ∆x численно равна площади, занимаемой истинной кривой распределения р(х) на данном интервале.

Количество N дифференциальных коридоров должно быть в пределах 10…20. Дальнейшее увеличение их количества не приводит к получению более точного закона р(х), так как с ростом N уменьшается величина интервала ∆х, что ухудшает условия для точного измерения ∆ti.

Полученные результаты позволяют вычислить оценки математического ожидания и дисперсии случайного процесса x(t)

Mx * = Xi ∙ Pi * ; Dx * = (Xi — Mx * )2∙ Pi * .

При вычислении Mx * и Dx * по этим формулам учитывается, что если значение реализации случайного процесса x(t) попадает в 1-й дифференциальный коридор, то ему приписывается значение и (середина дифференциального коридора).

Рассмотренный метод определения законов распределения случайных процессов положен в основу работы статистического анализатора, используемого в данной лабораторной работе.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Исследование законов распределения случайных сигналов осуществляется с помощью лабораторной установки, в состав которой входят лабораторный макет, статистический анализатор и осциллограф С1-72 (рис.8).

Рис.8. Схема лабораторной установки

Лабораторный макет осуществляет формирование и преобразование случайных сигналов, обеспечивая их статистический анализ, построение гистограмм законов распределения и графическое отображение этих законов на индикаторе статистического анализатора. Он содержит следующие функциональные узлы:

А. Блок генераторов сигналов. Формирует четыре различных случайных сигнала.

— Сигнал x1(t)= A∙sin — гармоническое колебание со случайной начальной фазой, закон распределения которой Равномерный в интервале 0

P (J )= 1/2 P , 0< J <2 P .

Плотность вероятности мгновенных значений такого сигнала равна

— Сигнал x2(t) — пилообразное периодическое напряжение с постоянной амплитудой А и случайным параметром сдвига q, закон распределения
которого Равномерный в интервале , где Т0 – период сигнала, то есть плотность вероятности равна

P (Q )= 1/ T 0 ; 0< Q ≤ T 0 .

Плотность вероятности мгновенных значений такого сигнала определяется выражением

— Сигнал x3(t) — случайный сигнал с нормальным законом распределения (законом Гаусса) мгновенных значений, то есть

Pa (X )= ,

Где mx, sx — математическое ожидание и дисперсия случайного сигнала x3(t).

— Сигнал x4(t) — случайный клиппированный сигнал, представляющий собой последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды А и случайной длительности, возникающих в случайные моменты времени. Такой сигнал появляется на выходе идеального ограничителя, когда на вход его действует случайный процесс с нормальным законом распределения. Характеристика преобразования имеет вид

Где x — уровень ограничения.

Таким образом, случайный процесс x4(t) принимает два значения (А и — А) с вероятностями

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Где F3(x) — интегральный закон распределения случайного процесса x3(t).

Учитывая сказанное, плотность вероятности клиппированного сигнала равна

P4(x)= F3(x)∙ D (x+ A)+ ∙ D (x — A).

На рис.9 представлены реализации каждого из случайных сигналов, формируемых итератором лабораторного макета, и их плотности вероятности.

Эти сигналы, каждый из которых характеризуется свойственной ему плотностью распределения, могут быть поданы на входы типовых элементов радиотехнических устройств с целью преобразования и исследования законов распределения сигналов на их выходах.

Б. Линейный смеситель сигналов. Формирует сумму двух случайных сигналов xi(t) и x1(t), подаваемых на его входы, в соответствии с соотношением

Y (T )= R ∙ Xi (T )+ (1- R )∙ X 1 (T ),

Где R — коэффициент, устанавливаемый ручкой потенциометра в пределах 0…1.

Используется для исследования законов распределения суммы двух случайных сигналов.

В. Гнезда для подключения различных четырехполюсников — функциональных преобразователей. В комплект лабораторной установки входят 4 функциональных преобразователя (рис.10).

Рис. 9. Реализации случайных процессов x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) и их плотности вероятности

Усилитель — ограничитель (огр.) с характеристикой преобразования

Где U1, U2 — нижний и верхний уровни ограничения соответственно;

k — коэффициент, равный tg угла наклона характеристики преобразования.

Осуществляет нелинейное безынерционное, преобразование входных сигналов.

Узкополосный фильтр (Ф1) о резонансной частотой f0=20 кГц. Используется для формирования узкополосных случайных процессов с законом распределения, близким к нормальному.

Типовой тракт приемника АМ-колебаний (узкополосный фильтр Ф1 — линейный детектор Д — фильтр НЧ Ф2). Осуществляет формирование огибающей узкополосного случайного сигнала при линейном детектировании.

Конструктивно рассмотренные функциональные преобразователи выполнены в виде сменных блоков небольшого размера.

В качестве еще одного функционального преобразователя используется "идеальный" усилитель — ограничитель (электронный ключ), входящий в состав блока генераторов сигналов макета. Он обеспечивает формирование клиппированного сигнала, являясь нелинейным безынерционным преобразователем входного случайного сигнала.

Рис. 10. Функциональные преобразователи

Г. Согласующий усилитель. Обеспечивает согласование диапазона значений исследуемого сигнала и амплитудного диапазона статистического анализатора. Согласование осуществляется потенциометрами "Усиление" и "Смещение" при установке переключателя П1 (рис.8) в положение "Калибровка."

Согласующий усилитель используется также в качестве функционального преобразователя (кроме четырех, рассмотренных выше), обеспечивая линейное безынерционное преобразование в соответствии с формулой

Y (T )= A ∙ X (T )= B ,

Где а — коэффициент усиления, устанавливаемый ручкой "Усиление";

b — постоянная составляющая сигнала, устанавливаемая ручкой "Смещение".

Приведенный на схеме рис.8 блок анализатора в составе макета в данной работе не используется. Лабораторная установка предусматривает применение цифрового статистического анализатора, выполненного в виде отдельного прибора.

Д. Цифровой статистический анализатор служит для измерения и формирования законов распределения значений сигналов, подаваемых на его вход. Работает анализатор следующим образом.

Включение анализатора в режим измерения осуществляется кнопкой "Пуск". Время измерения равно 20 с. В течение этого времени берутся отсчеты значений входного сигнала (в случайные моменты времени), общее количество N которых равно 1 млн. Отсчеты дискретизируются по уровню так, что каждый из них оказывается в одном из 32-х интервалов (называемых дифференциальными коридорами, или интервалами группирования выборочных значений). Интервалы нумеруются с 0-го по 31-й, их ширина равна 0,1 В, причем нижняя граница 0-го интервала равна 0 В, верхняя граница 31-го интервала равна +3,2 В. В течение времени измерения подсчитывается количество отсчетов ni, попавших в каждый интервал. Результат измерения выдается в виде гистограммы распределения на экран монитора, где горизонтальная ось масштабной сетки является осью значений сигнала в пределах 0…+3,2 В, вертикальная — осью относительных частот ni/N, i = 0,1…31.

Для считывания результатов измерения в цифровой форме служит цифровой индикатор, на котором отображается номер выбранного интервала и соответствующая ему частота (оценка вероятности) ni/N. Перебор номеров интервалов для цифрового индикатора осуществляется переключателем "Интервал". При этом на экране монитора выбранный интервал отмечается маркером.

Переключателем "Множитель" можно выбирать удобный для наблюдения масштаб гистограммы по вертикальной оси.

При выполнения настоящей работы переключатель диапазона входных напряжений анализатора (диапазона аналого-цифрового преобразования) должен быть установлен а положение 0…+3,2 В. Перед каждым измерением необходимо поочередно нажимать кнопки "Сброс" и "Пуск" (при нажатии кнопки "Сброс" обнуляется запоминающее устройство, а результаты предыдущего измерения переписываются в стековую память, из которой их можно вызвать переключателем "Страница").