Шум дискретизации. Преобразование аналог—цифра. Шумы квантования. Шумы неравномерного квантования

Однако логично предположить, что промежуточные участки волны, которые оцифровщику не удалось достоверно отобразить, не могут просто так исчезнуть.

Шумы квантования

Между аналоговым сигналом и его цифровой копией в вашей системе записи существует разница, которая называется ошибками квантования , или шумами квантования .

С помощью несложных математических формул можно вычислить частоту и уровень громкости шумов квантования. Также их характер можно проследить наглядно, если проанализировать отклонения графика оцифрованной волны от оригинальной синусоиды. На рисунке справа показана разница между исходным и оцифрованным сигналом.

Шумы квантования - это неотъемлемая составляющая цифрового звука, они возникают в момент оцифровки. Для минимизации влияния этих шумов на звук в конструкциях конверторов используются специальные фильтры. Покупая оцифровщик с более дорогими характеристиками (например, 24 /192 ), многие не обращают внимания качество этих фильтров, ориентируясь лишь на красивые численные характеристики разрядности и частоты дискретизации.

Чем выше показатели конвертора , тем дороже должны быть фильтры , однако именно на них производители обычно экономят, чтобы сохранить себестоимость на низком уровне и обеспечить себе конкурентоспособность.

Алиасинг

Еще одна неприятная вещь, которая может произойти в процессе семплирования (оцифровки) звука, называется алиасингом. Алиасинг - наложение двух непрерывных сигналов разной частоты друг на друга при семплировании, в результате которого в звуке возникают искажения.

Мы можем представить алиасинг даже визуально. Вспомните вращение колес автомобилей или поездов в старых фильмах. В определенные моменты можно отчетливо заметить, что колеса как бы крутятся в обратную сторону. И это не обман зрения, этот эффект появляется в моменты, когда частота вращения колес приближается к кадровой частоте кинокамеры (обычно это 24 кадра в секунду, но когда-то это значение было на уровне 16-20). Каждая точка колеса, двигаясь по часовой стрелке, успевает пройти почти полный оборот за один кадр, оказываясь с обратной стороны исходной точки, как будто эта точка сдвинулась против часовой стрелки. И мы видим обратное вращение.

В результате алиасинга записанный сигнал отличается от ожидаемого.

В соответствии с теоремой Котельникова , для восстановления сигнала без потерь семплирование должно производиться с частотой, в два раза превышающей самую высокую частоту в записываемом спектре.

То есть, скажем, если максимальная скорость вращения колес составляет 10 оборотов в секунду, то для устранения эффекта алиасинга фиксировать этот движение нужно с частотой не менее 20 кадров в секунду. А кинокамера – этот тот же семплер, только записывающий не звук, а изображение. При указанных значениях, как бы ни крутилось колесо, камера за один его оборот успеет сделать два семпла, а значит обратного вращения мы уже не увидим.

Так что если нам надо записать звук в пределах 20 кГц (верхний порог идентифицируемых человеческим ухом частот), то семплирование должно происходить с частотой дискретизации не менее 40 кГц.

При этом половина частоты дискретизации называется числом Найквиста (Найквист и Котельников – ученые, которые независимо друг от друга занимались исследованиями данной проблемы).

Однако мы знаем, что даже если наше ухо не распознает какие-то частоты, это еще не значит, что их нет. А раз они есть, то семплер (оцифровщик) попытается их зафиксировать, работая при этом на недостаточной для записи этого спектра частоте дискретизации. И возникнет алиасинг.

Чтобы устранить негативный эффект от алиасинга, при семплировании требуется частота дискретизации с запасом более чем в два раза . Кроме того, необходимо на входе оцифровщика применять фильтры , отсекающие нежелательные частоты выше определенного значения.

Именно поэтому используемые в звукозаписи «стандартные» частоты дискретизации выше 40 кГц – 44.1 и 48 кГц: такое семплирование обеспечивает запас для устранения искажений.

В можно поочередно услышать «хорошую» и «плохую» запись пилообразной волны на частотах 440, 880 и 1760 Гц. В первом варианте были применены фильтры, а во втором отчетливо слышен алиасинг.

Сегодня уже никого не удивишь даже значениями 32 бита или 96–192 кГц. С каждым годом производители «улучшают» характеристики приборов. Но поскольку, как я уже говорил, для фильтрации более высоких частот требуются более качественные и дорогие фильтры, нередко получается, что конвертор, работающий в режиме 16/44.1, дает более качественный звук, чем конвертор 24/192. Шумы квантования, алиасинг и отсутствие хороших фильтров делают свое дело. И это мы еще опускаем возможные погрешности, связанные с повышенной нагрузкой на систему при работе с более высокими параметрами звука.

Если статья оказалась полезной, вы можете подписаться на обновления этого блога , чтобы бесплатно получать новые материалы на электронную почту. Или вступайте

Майоров В.П.
Семин М.С.

Цель данной статьи показать как выглядят изображения при различном отношении сигнал-шум. Это отношение является определяющим для оценки качества изображения и чувствительности камеры.

Квантовые шумы, как они есть

Ниже представлены примеры, иллюстрирующие как выглядят изображения при различных освещенностях. Яркость объекта выражена в количестве электронов, которые возникают в ячейке ПЗС матрицы в результате воздействия света. Оценкой качества изображения служит отношение сигнал-шум (S/N), замеренное на светлой части изображения.

В качестве телевизионной системы ввода использовалась система VS-CTT-085-60 изготовленная на основе CCD матрицы SONY ICX085AL . При расчетах принималось значение шума чтения 25 электронов (о шуме чтения см. ниже).

Исходное изображение - центральная часть телевизионной испытательной таблицы. Соотношение сигнал/шум - около 80. Размер этого изображения 256*256 пикселей.

Рис 1. Исходное изображение

Левые изображения - это изображения, учитывающие шум чтения матрицы (25 электронов), правые - это изображения при том же уровне освещенности, но при отсутствии шума чтения как такового. Можно сказать, что правая колонка изображений - это идеальный случай к которому можно приближаться бесконечно долго, но превзойти в принципе невозможно, потому что дальше все упирается в "квантовые шумы".

Уровень сигнала	Изображения при шуме чтения 25 электронов	Изображения без учета шума чтения
Сигнал 25 электронов	S/N=1
Сигнал 52 электрона	S/N=2
Сигнал 108 электронов	S/N=4
Сигнал 234 электрона	S/N=8
Сигнал 547 электронов	S/N=16
Сигнал 1400 электронов	S/N=32

Попробуем все это пояснить.

Шум на изображении, полученный с ПЗС матрицы, можно в упрощенном виде разделить на 2 основных компонента (на самом деле этих компонентов больше, но остальными в данном случае можно пренебречь):

• шум чтения матрицы;
• квантовый шум фотонов.

Шум чтения матрицы - это постоянная величина, которая определяется только схемотехникой CCD. К сожалению, фирма SONY на ПЗС матрицах которой мы производили все наши эксперименты, не сообщает этот параметр. Мы его просто замерили на нашей конкретной камере VS-CTT-085-60 и он получился равным 20-25 электронам. Похожие цифры мы встречали на сайтах зарубежных фирм-изготовителей камер на этой матрице.

Квантовый шум происходит от основополагающих свойствах всего сущего и в частности света. Кванты света распределяются в пространстве и во времени случайным образом. При этом число электронов, накопленное в ячейке, может быть определено с точностью до квадратного корня из их числа (статистика Пуассона).

При небольшом уровне яркости объекта наибольший вклад в шумы вносится шумом чтения матрицы. Этот шум определяет минимально возможный уровень сигнала, который может быть увиден.

При изображении составленном из 400-625 электронов, квантовый шум сравнивается с шумом чтения. При сигнале больше этой величины наибольший вклад в общий шум вносится "квантовым шумом фотонов". Изображения из последнего ряда очень близки, а ведь это только 7% (!!!) от максимальной емкости пикселя матрицы ICX085 (20000 э-1).

Заключение

Если продавец говорит Вам, что его супер-пупер камера имеет чувствительность 0.0хххх1 люкс - не забывайте спрашивать - а при каком соотношении сигнал-шум это все замерено?

Посмотрите на изображения и делайте выводы сами! Мы можем еще раз повторить - чудес в повышении чувствительности телекамер ждать не следует.

Если Вы при освещенности близкой к насыщению матрицы получили "шумное" изображение, то искать причину этих шумов в камере смысла не имеет.

Лекция №9

«Эффекты квантования и шумы в цифровых фильтрах»

В реальных устройствах, реализующих алгоритмы цифровой обработки сигналов, необходимо учитывать эффекты, обусловленные квантованием входных сигналов и конечной разрядностью всех регистров. Источниками ошибок в процессах обработки сигналов являются округление (или усечение) результатов арифметических операций, шум квантования, связанный с аналого-цифровым преобразованием входных аналоговых сигналов, неточность реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления их коэффициентов.

Для анализа эффектов, связанных с конечной разрядностью представления данных, необходимо сделать некоторые предположения относительно статистической независимости различных источников шумов, возникающих в цифровом фильтре. Принимается статистическая модель, основанная на следующих предположениях:

1. Любые два отсчета шума от одного и того же источника не коррелированы.

2. Любые два источника шума создают некоррелированные шумы.

3. Шум каждого из источников не коррелирован с входным сигналом.

Эти предположения значительно упрощают анализ процессов, связанных с шумами квантования в цифровых фильтрах, поскольку делают отдельные источники шума статистически независимыми друг от друга и дают возможность проводить анализ для каждого из них отдельно. Однако, принятые предположения справедливы далеко не всегда. Можно привести множество примеров, для которых эти предположения не верны. Например, если входной сигнал является постоянным или синусоидальным, с частотой кратной частоте дискретизации. В первом случае все отсчеты ошибки квантования будут одинаковы, а во втором они образуют периодическую последовательность. Таким образом, в обоих случаях выдвинутые предположения неверны.

Эффекты квантования приводят в конечном итоге к погрешностям в выходных сигналах цифровых фильтров, а в некоторых случаях и к неустойчивым режимам работы. В силу принятых допущений выходная ошибка цифрового фильтра вычисляется как суперпозиция ошибок, обусловленных каждым независимым источником.

Если на вход цифрового фильтра с импульсной характеристикой h (t ) поступает сигнал x (t ), то выходной сигнал фильтра определяется выражением

(9.1).

В результате квантования входного сигнала образуется шум квантования e in (n ), который накладывается на входной сигнал и воздействует на фильтр. В силу линейности фильтра можно вычислить реакцию фильтра e out (n ) на входной шум

(9.2).

При этом подразумевается что все вычислительные устройства и запоминающие устройства фильтра имеют бесконечную разрядность.

Аналогично можно найти ошибку сигнала в любой точке структурной схемы фильтра, обусловленную шумом квантования входного сигнала e in (n ).

(9.3),

где h i (n ) – импульсная характеристика части фильтра от его входа до точки, в которой оценивается ошибка.

Если входной сигнал фильтра квантуется с разрядностью b in , то ошибка квантования входного сигнала при использовании округления ограничена величиной

(9.4),

а ошибка выходного сигнала фильтра, вызванная квантованием входного сигнала может быть оценена как

(9.5).

Таким образом, верхняя граница ошибки, вызванной квантованием входного сигнала, зависит от разрядности квантования и от суммы модулей выборок импульсной характеристики фильтра.

Дисперсия входного шума округления

(9.6),

поэтому дисперсия шума квантования на выходе фильтра в соответствии с (9.3) равна

(9.7).

Согласно равенству Парсеваля

(9.8)

можно записать (9.7) в виде

(9.9),

где - амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра.

Таким образом, по допустимой величине s out 2 и известной АЧХ или импульсной характеристике фильтра можно определить допустимую величину дисперсии ошибки входного сигнала s in 2 , которая в свою очередь определяет требуемую разрядность b in квантования входного сигнала.

Отношение сигнал-шум на выходе фильтра, которое определяется как отношение мощности сигнала к мощности шума в логарифмическом масштабе определяется как

(9.10),

где s s 2 – дисперсия полезного входного сигнала, а b in – разрядность квантования входного сигнала. Следовательно, при увеличении разрядности квантования на один разряд отношение сигнал-шум увеличивается примерно на 6 дБ.

В качестве примера рассмотрим цифровой фильтр первого порядка, описываемый уравнением

(9.11).

Его структурнаясхема представлена на рис.9.1.

Пусть шум квантования входного сигнала имеет дисперсию s in 2 . Импульсная характеристика такого фильтра имеет вид

(9.12).

Согласно (9.7) дисперсия шума выходного сигнала такого фильтра, обусловленного квантованием входного сигнала равна

(9.13).

Для устойчивости фильтра необходимо выполнения условия и, следовательно, , т.е. мощность выходного шума больше мощности входного шума. Чем ближе к единице, тем больше усиление входного шума фильтром.

С использованием теоремы Парсеваля можно определять дисперсию выходного шума фильтра по его АЧХ. Пусть задан фильтр, АЧХ которого представлена на рис.9.2.

Тогда, согласно (9.9) дисперсия выходного шума фильтра, вызванного квантованием входного сигнала будет равна

(9.14).

Выбор оптимальной разрядности квантования входного сигнала определяется необходимой точностью представления информации, заложенной во входном сигнале, наличием в нем предвходящего шума и процедурой, которая применяется для обработки сигнала.

Содержащийся в сигнале шум определяет верхнюю границу числа уровней квантования. Очевидно, нет смысла использовать большое количество разрядов когда в сигнале содержится большой шум, так как в этом случае с большой точностью будет квантоваться шум, а не сигнал. Достаточно выбрать столько уровней квантования, чтобы вклад шума квантования был мал по сравнению с шумом, содержащимся в сигнале.

С другой стороны, минимально допустимое количество уровней квантования должно обеспечивать желаемое качество выходного сигнала. Ухудшение качества входного сигнала может быть вызвано воздействием неидеальностей на этапе предварительной обработки сигнала (шумы и ограниченные частотные характеристики предварительных масштабирующих усилителей и аналоговх фильтров).

До сих пор принималось, что коэффициенты разностного уравнения фильтра заданы с бесконечной точностью. При физической реализации фильтра эти коэффициенты хранятся в элементах электронной памяти (запоминающих ячейках), которые имеют ограниченную разрядность. Это означает, что коэффициенты фильтра также как и входной сигнал подвергаются квантованию.

Квантование коэффициентов фильтра подчиняется тем же закономерностям, что и квантование входного сигнала. В результате квантования коэффициентов фильтра значения полюсов и нулей передаточной функции фильтра в большей или меньшей степени изменяются, что, в свою очередь, приводит к соответствующему изменению частотных характеристик фильтра. Так, кантование коэффициентов фильтра приводит к появлению ошибки

(9.15),

где A (w ) – АЧХ фильтра с неквантованными коэффициентами, A d (w ) – АЧХ фильтра с квантованными коэффициентами. Величина не должна превосходить допустимую величину , определяемую обычно из условия, чтобы отклонения реальной АЧХ от идеальной были в допустимых пределах.

Различные структуры фильтров имеют различную чувствительность к изменению отдельных коэффициентов. Поэтому универсального метода определения требуемого количества разрядов квантования коэффициентов, для всех типов фильтров предложить невозможно. Необходимое количество разрядов в квантованных коэффициентах фильтров можно определить путем вычисления для последовательно возрастающего числа разрядов в кодах коэффициентов до выполнении условия .

Возможны и практически применяются и другие методы, в частности методы, основанные на предварительном изучении чувствительности характеристик конкретного типа фильтра к изменениям его коэффициентов.

В качестве примера рассмотрим биквадратный блок описываемый передаточной функцией

(9.16),

структурная схема которого представлена на рис.9.3.

Если обозначить полюсы передаточной функции (9.16) через , то легко убедиться, что

(9.17).

Тогда при малых изменениях a 1 и a 2 координаты полюсов изменяются на величины

(9.18),

аналогично (9.19).

Можно заметить, что D r r , близких к единице, тогда как D q резко изменяется при значениях q , близких к нулю.

Чувствительность частотных характеристик фильтров к изменению значений коэффициентов сильно зависит от структуры, выбранной для реализации фильтра.

При реализации алгоритма цифрового фильтра выполняются операции сложения и умножения на коэффициенты. Сложение чисел с фиксированной точкой при разрядности сумматора, не меньшей разрядностей представления слагаемых, не приводит к ошибкам округления представления суммы.

Выполнение операции умножения связано с ошибками округления. Произведение двух чисел с фиксированной точкой с b 1 и b 2 разрядами соответственно может содержать до b 1 + b 2 разрядов. При последовательном выполеннии операций умножения необходимо ограничивать разрядность произведений. Иначе, разрядность последующих произведений будет неограниченно возрастать. Поэтому, для хранения произведений обычно отводят запоминающие ячейки с разрядностью, меньшей чем до b 1 + b 2 . Таким образом, результат умножения подвергается округлению. В результате округления произведений алгоритм фильтра реализуется не точно и выходной сигнал вычисляется с ошибкой.

Модель умножителя с конечным числом разрядов представляется в виде последовательного соединения идеального умножителя (с неограниченным числом разрядов) и сумматора, на вход которого наряду с точным значением произведения поступает шум квантования. На выходе сумматора получается квантованное значение произведения с b mul разрядами (рис.9.4).

Ошибка округления одного произведения может быть оценена своей верхней границей

(9.20),

где Q mul – шаг квантования произведения. Эта ошибка может рассматриваться как дискретный стационарный случайный процесс с равномерной плотностью распределения вероятности, с нулевым средним и дисперсией равной

(9.21).

Приняв такую линейную модель для каждого узла умножения на структурной схеме фильтра, можно вычислить ошибку в выходном сигнале фильтра как супкрпозицию ошибок, обусловленных всеми источниками шума округления. С этой целью следует лишь определить импульсные характеристики g i (n ) частей структуры фильтра от каждого i -го источника шума (т.е. выхода i -го умножителя) до выхода фильтра и вычислить составляющую в выходном шуме фильтра, обусловленную i -м источником шума как

(9.22).

Тогда, шум округления на выходе, обусловленный всеми L источниками шума можно вычислить как

(9.23).

Таким образом, выходной шум фильтра, обусловленный i -м источником округления не превышает величины

(9.24).

Тогда максимальная величина выходного шума, обусловленного всеми L источниками округления (при том, что разрядность всех умножителей одинакова) равна

(9.25).

На основании (9.7) можно оценить дисперсию результирующего шума округления от всех источников как

(9.26).

Уровень выходного шума фильтра, обусловленного квантованием произведений, сильно зависит от особенностей структуры, выбранной для реализации фильтра. Это объясняется тем, что импульсная характеристика участка фильтра от выхода конкретного умножителя до выхода фильтра зависит от применяемой структуры. При выборе структуры фильтра необходимо учитывать влияние ошибок квантования произведений наряду с ошибками квантования коэффициентов.

Все источники шума квантования произведений вносят различный вклад в результирующий выходной шум.

В качестве примера рассмотрим оценку выходного шума квантования произведений в биквадратном блоке, имеющем импульсную характеристику h (n ). Шумовая модель рассматриваемой структуры представлена на рис.9.5.

Из представленной модели видно, что структура фильтра имеет пять источников шума квантования произведений. Источники e mul .4 и e mul .5 проходят по той же цепи, что и входной сигнал. Это означает, что из импульсные характеристики g 4 (n ) и g 5 (n ) совпадают с общей импульсной характеристикой фильтра h (n ). Источники e mul .1 , e mul .2 , e mul .3 непосредственно добавляют ошибку на выходе фильтра, вследствие чего не могут быть усилены фильтром. Их импульсные характеристики равны d (n ). В соответствии с (9.7) и (9.26) можно оценить вклад отдельных источников шума как

(9.27).

Дисперсия суммарного шума квантования на выходе фильтра в соответствии с (9.26) будет равна

(9.28).

Общая ошибка квантования, обусловленная квантованием входного сигнала и квантованием произведений, определяется суммой оценок соответствующих ошибок.

При суммировании чисел с фиксированной точкой ошибка округления не возникает (если только сумматор имеет разрядность не меньше разрядности слагаемых). Однако, при суммировании чисел с фиксированной разрядностью возможно возникновение переполнения, когда получившийся результат не помещается в количество разрядов, соответствующее разрядности слагаемых. При возникновении переполнения воизбежание нарушения алгоритма функционирования фильтра сумма должна быть ограничена с учетом знака на уровне максимального значения, умещающегося в заданное количество разрядов результата. При программной реализации фильтра это осуществляется соответствующим ветвлением алгоритма функционирования, а при аппаратной реализации требует включения в схему фильтра специальных устройств анализа переполнения и ограничения суммы с учетом знака. Однако, даже реализация указанных средств не решает всех проблем, связанных с переполнением, так как при наличии переполнений фильтр превращается в существенно нелинейное устройство со всеми вытекающими из этого последствиями. Поэтому, для нормальной работы фильтра необходима реализация специальных мер, позволяющих избежать появления ситуации переполнения вообще.

Одно из средств для предотвращения переполнения заключается во введении масштабирования, которое сводится к сдвигу вправо (что эквивалентно делению) двоичных кодов слагаемых на всех входах сумматоров. Если исходные слагаемые нормированы на уровне 1.0, то при суммировании двух чисел, для исключения возможности переполнения необходимо каждое из слагаемых сдвинуть на один разряд вправо, что эквивалентно делению каждого слагаемого на 2. После этого, каждое из слагаемых по модулю не будет превышать 0.5, а, значит, их сумма не превысит 1.0. Если у сумматора больше двух входов, то слагаемые должны быть сдвинуты на большее количество разрядов. Такой метод называется автоматическим масштабированием .

В результате такого масштабирования возникает ошибка масштабирования, связанная с тем, что младший разряд (или разряды при сдвиге более чем на один разряд) сдвигаемых слагаемых теряются и результирующая ошибка их представления увеличивается. Так, при сдвиге слагаемых на один разряд максимальное значение ошибки масштабирования равно

(9.29),

где b – количество разрядов в представлении слагаемого. Если сдвигаемое слагаемое представляет собой число со знаком в прямом коде, то возможные значения этой ошибки равны 2 - b , -2 - b , 0. Если принять

(9.30),

то эта ошибка может быть представлена как случайный шум со средним значением равным 0 и дисперсией

(9.31).

Если слагаемое представляет собой число в дополнительном коде, то ошибка масштабирования может принимать значения -2 - b или 0 с равной вероятностью 0.5. При этом шум масштабирования имеет среднее значение -2 - b /2 и дисперсию

(9.32).

Таким образом ошибки масштабирования могут быть учтены в модели фильтра аналогично ошибкам квантования.

Другой способ предотвращения возможности переполнения сводится к масштабированию входных сигналов фильтра или его составных частей. Если импульсная характеристика фильтра или некоторой его части равна h i (n ), то выходной сигнал фильтра (или его части) y i (n ) ограничен величиной

(9.33),

где - верхняя граница входного сигнала фильтра. Если , то необходимым условием отсутствия переполнения является

(9.34).

Если коэффициенты фильтра заданы (т.е. заданы h i (n )), то, для того чтобы не было переполнений, т.е. чтобы выходной сигнал любого сумматора не превышал единицы, необходимо соответствующим образом ограничить величины входного сигнала и выходных сигналов умножителей. С этой целью вводится такое масштабирование, чтобы сигналы

(9.35),

где g i – масштабирующие коэффициенты.

Масштабирующие умножители включают на входах фильтра или на выходах умножителей. Если , то достаточным условием отсутствия переполнений является согласно (9.35) выбор масштабирующих коэффициентов исходя из условия

(9.36).

Коэффициенты g i выбирают, как и в случае автоматического масштабирования, обычно равными степеням двойки, и масштабирующее умножение сводится к сдвигам. При этом, аналогично случаю автоматического масштабирования, возникает шум масштабирования, который снижает отношение сигнал-шум на выходе фильтра.

При существенном уменьшении амплитуд сигналов, проходящих через фильтр, уменьшается отношение сигнал-шум на выходе фильтра. Вычисление масштабирующих коэффициентов по формуле (9.36) часто приводит к завышенным результатам и, следовательно, к уменьшению эффективности работы фильтра. Помимо этого, при сложных структурах фильтра вычисление суммы бесконечного ряда отсчетов импульсной характеристики фильтра может оказаться сложно реализуемым. Поэтому расчет масштабных коэффициентов часто реализуют по другой методике, основанной на анализе спектра входного сигнала и частотных свойств фильтра.

Если структура фильтра содержит m сумматоров, то выходной сигнал i -го сумматора vi (n ) можно представить в виде

(9.37),

где x (n ) – входной сигнал фильтра, h i (n ) – импульсная характеристика части фильтра от входа до выхода i -го сумматора.

Z -преобразование сигнала v i (n ) можно записать как

(9.38),

где H i (z ) – передаточная функция части фильтра от входа до выхода i -го сумматора.

Частотную характеристику сигнала v i (n ) (для устойчивого фильтра) можно получить сделав в выражении (9.38) замену переменных

(9.40).

Тогда сам выходной сигнал сумматора v i (n ) можно определить как обратное преобразование Фурье от V i (e j w T )

(9.41).

Если сделать предположение о том, что модуль спектра входного сигнала x (n C , то можно оценить максимальное значение модуля выходного сигнала сумматора

(9.42).

Если входной сигнал фильтра x (n ) подвергается предварительному масштабированию на коэффициент l i , то последнее выражение принимает вид

(9.43).

Для исключения переполнений на выходе сумматора, т.е. для выполнения условия достаточно выбрать значение нормирующего множителя l i таким, что

(9.44).

Если сделать предположение о том, что модуль частотной характеристики H i (e j w T ) ограничен некоторой величиной D , то можно сделать оценку максимального значения модуля выходного сигнала сумматора другим способом, а именно

(9.45).

В этом случае нормирующий множитель l i для исключения переполнения на выходе сумматора может быть выбран таким, что

(9.46).

Наконец, применив к выражению (9.41) неравенство Коши-Буняковского () можно получить следующее неравенство

(9.47).

Если предположить, что энергия спектра входного сигнала (второе подкоренное выражение в неравенстве (9.47)) ограничена некоторой величиной E , то нормирующий множитель l i может быть выбран исходя из следующего выражения

(9.48).

Все три варианта выбора масштабирующего множителя базируются на наличии достоверной информации о спектральных характеристиках входного сигнала фильтра. Если эта информация не является абсолютно достоверной, то вероятность возникновения переполнения на выходе сумматора не является нулевой.

Для исключения переполнения на выходах всех сумматоров, входящих в структурную схему фильтра необходимо сделать оценку коэффициентов l i для каждого из сумматоров и выбрать окончательное значение нормирующего коэффициента на входе фильтра как

(9.49).

Как и в случае автоматического масштабирования, коэффиценты l выбирают обычно равным степеням числа 2, что превращает операцию масштабирующего умножения в сдвиг кода входного сигнала на соответствующее число разрядов вправо.

Масштабирующий умножитель, как и любой другой умножитель в структурной схеме фильтра является источником шума ошибки квантования, влияние которого на выходной сигнал может быть учтено аналогично шумам других умножителей.

Очевидно, что в случаях, когда некоторый сумматор в структурной схеме фильтра складывает больше двух слагаемых, даже при отсутствии переполнения в конечной сумме, оно может иметь место в промежуточных частичных суммах. Этот факт не был учтен в предыдущих рассуждениях. Однако, если входные и промежуточные цифровые сигналы фильтра представлены в дополнительном коде, то все вышеприведенные методы нормирования остаются правомерными, поскольку при суммировании чисел в дополнительном коде, конечный результат остается правильным (при отсутствии в нем переполнения) даже при наличии переполенния в частичных суммах.

Предыдущий анализ базировался на предположении о том, что сигналы шумов статистически независимы от выборки к выборке и от источника к источнику. Это справедливо если разность между двумя соседними отсчетами входного сигнала значительно больше шага квантования. Ясно, что во многих случаях (в частности, когда входной сигнал постоянен или равен нулю) такое предположение несправедливо. При этих обстоятельствах ощибки квантования могут быть сильно коррелированы. Это может привести к нарушению нормальной работы фильтра, в результате чего фильтр становится неустойчивым, а на его выходе генерируются установившиеся периодичесткие колебания. Этоя явление называется эффектом мертвой зоны , а периодические колебания на выходе называются колебаниями предельного цикла. Общий анализ этого нелинейного эффекта довольно сложен. Поэтому проведем исследование данного явления для простейших цифровых фильтров.

Рассмотрим фильтр первого порядка, описываемый разностным уравнением

(9.50).

Передаточная функция такого фильтра имеет вид

(9.51).

Структурная схема фильтра представлена на рис.9.6.

Импульсная характеристика такого фильтра равна

(9.52).

Если коэффициент a 1 равен 1 или –1, то фильтр становится неустойчивым и имеет импульсную характеристику

(9.53).

В таблице 9.1 представлены точные значения отсчетов импульсной характеристики (9.52) при b 0 =10, a 1 =0.9.

Теперь предположим, что фильтр имеет десятичный умножитель с фиксированной точкой, в котором каждое произведение a 1 * y (n -1) округляется до ближайшего целого согласно условию

(9.54).

В третьем столбце таблицы 9.1 представлены отсчеты импульсной характеристики такого фильтра. Как видно, при отклик фильтра становится постоянным, и квантование делает фильтр неустойчивым.

Если предположить, что разностное уравнение (9.50) остается справедливым для неустойчивого фильтра, то эффективное значение . Если , то отклик фильтра будет затухать при отсутствии входного сигнала пока выходной сигнал не достигнет зоны [- k , k ], называемой мертвой зоной . Когда это произойдет, режим фильтра станет неустойчивым. Любая причина, обуславливающая превышение модулем выходного сигнала величины k , приводит к восстановлению устойчивости. Однако, при отсутствии входного сигнала отклик снова затухает до величины, соответствующей мертвой зоне.

Таким образом, фильтр будет находиться в режиме в режиме предельного цикла с амплитудой выходного сигнала равной k . Поскольку эффективное значение a 1 равно 1 при a 1 >0 или –1 при a 1 <0, то частота такого предельного цикла равна 0 или w s /2.

(9.60).

Это выражение может быть использовано для выбора минимального количества разрядов вычислительного устройства из условия ограничения амплитуды колебаний предельного цикла на заданном уровне.

Проведем анализ эффекта мертвой зоны для фильтра второго порядка, который описывается разностным уравнением будет равно 1. При этом

(9.66).

Следовательно, как и ранее условие неустойчивой работы фильтра можго определить как

(9.67).

Если k – целое, то величины a 2 из диапазонов

(9.68)

будут приводить к появлению мертвых зон [-1,1], [-2,2], …, [- k , k ] соответственно.

Если в фильтре используется двоичный умножитель с шагом квантования результата равным q , то условие появления колебаний предельного цикла имеет вид

В диапазоне оптических частот тепловой шум оказывается очень слабым. Однако в этом диапазоне при слабых сигналах существенное значение имеет "квантовый шум", вызванный дискретной природой светового излучения. Согласно квантовой теории электромагнитного поля его энергия сигнала излучается и поглошается квантами, причём энергия одного такого кванта (фотона) равна . В элементарном сигнале длительности с высокостабильной несущей частотой (когерентное одномодовое излучение) и амплитудой детерминированной может быть только средняя энергия (пропорциональная ( - среднее число фотонов на интервале Т). Конкретная же реализация элементарного сигнала имеет энергию где случайное число регистрируемых фотонов.

В современных системах оптической связи в основном используется АМ оптического несущего колебания по амплитуде или интенсивности (мощности).

Идеальная система оптической связи при изохронной передаче двоичных сообщений (1 и 0) имеет следующие характеристики:

1. Время передачи бита (тактовый интервал) постоянен и равен следовательно, скорость передачи информации

2. При передаче 1 оптическая энергия, излучаемая в виде импульсов за время передачи одного бита, где число излучённых фотонов,

Энергия одного фотона (кванта), а оптическая энергия при передаче 0 равна нулю. Оптическая энергия в месте приёма равна на тактовом интервале величине при передаче 1 и нулю при передаче 0 соответственно.

3. Вероятности передачи . В этом случае усреднённую за продолжительное время принимаемую мощность можно выразить через среднюю мощность принимаемую за время передачи бита при посылке 1. Таким образом,

Реальная система оптической связи отличается от идеальной следующим :

1. Время передачи бита информации не остаётся постоянным - этот эффект называют фазовым дрожанием цифрового сигнала.

2. Излучаемая оптическая энергия не остаётся строго одной и той же. При передаче как кодовой 1, так и кодового 0 имеет место шум передатчика, приводящий к случайным изменениям амплитуды от импульса к импульсу. Кроме того, имеет место "шум лазера", обусловленный статистической природой взаимодействия между возбуждением лазера и создаваемым потоком фотонов. Флуктуации принимаемой энергии увеличиваются ещё больше из-за изменений затухания в канале связи. Кроме того, появляются флуктуации энергии на отдельных тактовых интервалах в месте приёма, обусловленные статистической природой взаимодействия потока фотонов (оптический сигнал) и создаваемого фотодетектором (обычно это фотодиод) потока электронно-дырочных пар. Условно будем говорить в этом случае о шуме фотодетектора.

3. Весьма вероятно, что при передаче 0 излучается малый, но вполне определённый уровень энергии (шум лазера), не считая шума передатчика и канала. Отношение средней энергии, принимаемой при передаче 0, к средней энергии при передаче 1 характеризуется коэффициентом Полагают, что в идеальной системе однако обычно это не так, особенно если лазерный источник излучения смещён вблизи порога генерации.

4. Конечная длительность излучаемых импульсов и дополнительная временная дисперсия (рассеяние) при их передаче по каналу приводят к тому, что в практических системах связи происходит наложение соседних посылок, т.е. проявляется межсимвольная интерференция.

Шум лазера, о котором говорилось выше, имеет квантовую природу. Вероятность появления точно фотонов на интервале на передающей стороне определяется распределением Пуассона (см. § 2.76):

Таким образом, шум лазера - это "квантовый шум", так как проявляется во флуктуациях параметров сигнала, детерминированного по классическим представлениям. Этот шум не является аддитивным, так как зависит от самого полезного сигнала. С учётом этого в приведённой формуле следует считать, что при передаче а при передаче Как указывалось выше, при передаче 0 (отсутствие возбуждения лазера) может наблюдаться определённый, хотя и малый уровень энергии, обусловленный тем, что вероятность непоявления фотонов на этом интервале где среднее число шумовых фотонов на интервале при отсутствии возбуждения лазера. По мере увеличения средней мощности излучаемого сигнала Рпер вклад квантового шума по сравнению с другими шумами тракта передачи падает.

Шум фотодетектора имеет природу, аналогичную шуму лазера, так как падающий на фотодиод стационарный световой поток генерирует электронно-дырочные пары носителей заряда как независимые случайные события. Если за отрезок времени на фотодиод падает оптическая энергия, равная в среднем то следует ожидать, что будет создано в среднем пар носителей заряда, причём

Изобретение в 1959….1961 гг. когерентных лазерных источников света положило начало разработкам оптических линий связи, где переносчиком сообщений являются световые волны. Для световых волн диапазона 10 14 – 10 15 Гц (0,5….10,6 мкм) были созданы специальные направляющие системы – световоды. Наиболее перспективными из них оказались диэлектрические волноводы, или волокна, как их называют из-за малых поперечных сечений. Простейший световод представляет собой тонкое волокно цилиндрической формы, которое состоит из сердечника и оболочки. По сердечнику передаётся электромагнитная энергия в виде световой волны, поэтому его изготавливают из материала с наименьшими оптическими потерями (кварц, многокомпонентные стёкла)

В оптическом диапазоне заметно проявляется шум, связанный с дискретной природой электромагнитного излучения – квантовый шум (КШ).

Каналы связи, в которых КШ ограничивает качество приёма сообщений, называются квантовыми каналами.

Для каналов с открытым пространством основными перспективными направлениями стали космическая связь с использованием искусственных спутников земли (ИСЗ), ближняя наземная связь через атмосферу, подводная связь. Применяют газовые, твёрдотельные и полупроводниковые лазеры как видимого, так и инфракрасного диапазонов. В основном используют модуляцию с изменением интенсивности излучения – двоичную АМ, двоичную БИМ (биимпульсный сигнал), многопозиционную ВИМ. Успешно применяют и поляризационную модуляцию (ПМ). В многоканальных системах кроме временного используют и частотное разделение на поднесущих. Интенсивность модулируется гармоническими поднесущими (обычно СВЧ диапазона), которые модулируются по амплитуде, фазе или частоте.

Демодуляция чаще всего выполняется с прямым детектированием. В инфракрасном диапазоне с успехом применяют и гетеродинный приём. В каналах с закрытым пространством оптический сигнал канализируется либо по трубам – световодам с дискретными фазокорректорами (линзы, зеркала), либо по диэлектрическим волоконным световодам.

В последние годы основным направлением стала разработка волоконно-оптических каналов с передачей сигналов в ближнем инфракрасном (длина волны примерно 1 мкм) диапазоне. В качестве генераторов излучения применяются полупроводниковые лазеры и некогерентные источники – светодиоды.

Основные отличия оптических каналов, связанные с малой длиной волны и квантовой природой излучения, заключаются в следующем:

Тепловой шум может быть пренебрежительно мал;

Вследствие квантовых закономерностей параметры сигнала являются случайными, даже в отсутствие мешающих факторов.

В системе с пассивной паузой в пренебрежении тепловыми шумами символ 0 (отсутствие излучения) принимается безошибочно. Тогда как символ 1 (импульс излучения) с ненулевой вероятностью пропускается.

Вследствие высокой частоты несущих колебаний оказываются практически нереализуемыми согласованная фильтрация по частотному спектру и согласованная пространственная селекция сигнала, не выполняется разделение ортогональных сигналов.

Энергия электромагнитного поля имеет дискретную природу – излучается и поглощается квантами ,

где: h = 6,624·10 -34 Вт·с / Гц – постоянная Планка, f – частота.

Квантовый шум – это флуктуации измеряемых параметров сигнала.

Квантовый шум не аддитивен, так как он коррелирован с сигналом.

В области инфракрасного и видимого излучений энергия фотона увеличивается, а спектральная плотность средней мощности тепловых флуктуаций уменьшается.

Выводы

1. Шум лазера – это квантовый шум, так как проявляется во флуктуациях параметров сигнала, детерминированного по классическим представлениям.

2. Квантовый шум не является аддитивным, так как зависит от самого полезного сигнала.

Заключение

1. В каналах связи присутствуют помехи, которые ухудшают верность приёма сообщений.

2. Помехи могут быть аддитивными и мультипликативными.

3. Среди аддитивных помех наиболее распространенными являются флуктуационные, сосредоточенные по спектру и импульсные.

4. Удобной моделью аддитивной помехи является белый шум, с помощью которого можно описывать реальные процессы, происходящие в каналах связи.

5. Квантовый шум не является аддитивным, так как зависит от самого полезного сигнала.