Связь между импульсной и передаточной характеристики. Общие свойства передаточной функции. Распределение времени лекции
Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной в п. 2.1 переходной характеристике вычисляется импульсная характеристика цепи (рисунок 1)
Результат вычислений совпадает с формулой H(jщ), полученной в п. 2.2
Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики
Пусть принимается за верхнюю границу спектра входного сигнала.Тогда по теореме Котельникова частота дискретизации кГц. Откуда период дискретизации T=0.2мс
По графику, изображенному на рис.2, определяем значения дискретных отсчетов входного сигнала U 1 (n) для t моментов дискретизации.
Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле
где T=0.0002 с; n=0, 1, 2,…., 20.
Таблица 3. Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики
Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются для первых 8 отсчетов с помощью формулы дискретной свертки.
Таблица 4. Дискретный сигнал на выходе цепи.
Сопоставление результатов расчета с данными таблицы 1 показывает, что различие в значениях U 2 (t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля и путем дискретизации сигнала и импульсной характеристики отличаются на несколько десятых, что является допустимым отклонением при данных начальных параметрах.
Рисунок 9. Значение дискретного сигнала на входе цепи.
Рисунок 10. Значение дискретного сигнала на выходе цепи.
Рисунок 11. Значение дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n).
2.3 Общие свойства передаточной функции.
Критерий устойчивости дискретной цепи совпадает с критерием устойчивости аналоговой цепи: полюсы передаточной функции должны располагаться в левой полуплоскости комплексного переменного , что оответствует положению полюсов в пределах единичного круга плоскости
Передаточная функция цепи общего вида записывается, согласно (2.3), следующим образом:
где знаки слагаемых учитываются в коэффицентах a i , b j , при этом b 0 =1.
Свойства передаточной функции цепи общего вида удобно сформулировать в виде требований физической реализуемости рациональной функции от Z: любая рациональная функция от Z может быть реализована в виде передаточной функции устойчивой дискретной цепи с точностью до множителя H 0 ЧH Q , если эта функция удовлетворяет требованиям:
1. коэффициенты a i , b j - вещественные числа,
2. корни уравнения V(Z)=0, т.е. полюсы H(Z), расположены в пределах единичного круга плоскости Z.
Множитель H 0 ЧZ Q учитывает постоянное усиление сигнала H 0 и постоянный сдвиг сигнала по оси времени на величину QT.
2.4 Частотные характеристики.
Комплекс передаточной функции дискретной цепи
определяет частотные характиристики цепи
АЧХ, - ФЧХ.
На основании (2.6) комплекс передаточной функции общего вида запишется так
Отсюда формулы АЧХ и ФЧХ
Частотные характеристики дискретной цепи являются периодическими функциями. Период повторения равен частоте дискретезации w д.
Частотные характеристики принято нормировать по оси частот к частоте дискретезации
где W - нормированная частота.
В расчетах с приенением ЭВМ нормирование по частоте становится необходимостью.
Пример. Определить частотные характеристики цепи, передаточная функция которой
H(Z) = a 0 + a 1 ЧZ -1 .
Комплекс передаточной функции: H(jw) = a 0 + a 1 e -j w T .
с учетом нормирования по частоте: wT = 2p Ч W.
H(jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW .
Формулы АЧХ и ФЧХ
H(W) =, j(W) = - arctg
.
графики АЧХ и ФЧХ для положительных значений a 0 и a 1 при условии a 0 > a 1 приведены на рис.(2.5,а,б.)
Логарифмический масштаб АЧХ - ослабление А:
; 
. (2.10)
Нули передаточной функции могут распологаться в любой точке плоскости Z. Если нули расположены в пределах единичного круга, то характеристики АЧХ и ФЧХ такой цепи связаны преобразованием Гильберта и однозначно могут быть определены одна через другую. Такая цепь называется цепью минимально-фазового типа. Если хотябы один нуль появляется за пределами единичного круга, то цепь относится к цепи нелинейно-фазового типа, для которого преобразование Гильберта неприменимо.
2.5 Импульсная характеристика. Свертка.
Передаточная функция характеризует цепь в частотной области. Во временной области цепь характеризуется импульсной характеристикой h(nT). Импульсная характеристика дискретной цепи представляет собой реакцию цепи на дискретную d - функцию. Импульсная харакетеристика и передаточная функция являются системными характеристиками и связаны между собой формулами Z - преобразования. Поэтому импульсную реакцию можно рассматривать как некоторый сигнал, а передаточную функцию H(Z) - Z - изображение этого сигнала.
Передаточная функция является основной характеристикой при проектировании, если нормы заданы относитеольно частотных характеритик системы. Соответственно, основной характеристикой является импульсная характеристика, если нормы заданы во временной обрасти.
Импульсную характеристику можно определить непосредственно по схеме как реакцию цепи на d - функцию, или решением разностного уравнения цепи, полагая, x(nT) = d (t).
Пример. Определить импульсную реакцию цепи, схема которой приведена на рис.2.6,б.
Разностное уравнение цепи y(nT)=0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).
Решение разностного уравнения в численном виде при условии, что x(nT)=d(t)
n=0; y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0;
n=1; y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4;
n=2; y(2T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = -0,032;
n=3; y(3T) = 0,4 x(2T) - 0,08 y(2T) = 0,00256; и т.д. ...
Отсюда h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}
Для устойчивой цепи отсчеты импульсной реакции с течением времени стремятся к нулю.
Импульсную характеристику можно определить по известной передаточной функции, применяя
а. обратное Z-преобразование,
б. теорему разложения,
в. теорему запаздывания к результатам деления полинома числителя на полином знаменателя.
Последний из перечисленных способов относится к численным методам решения поставленной задачи.
Пример. Определить импульсную характеристику цепи на рис.(2.6,б) по передаточной функции.
Здесь H(Z) =
.
Разделим числитель на знаменатель
Применяя к результату деления теорему запаздывания, получаем
h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}
Сравнивая результат с расчетами по разностному уравнению в предидущем примере, можно убедиться в достоверности расчетных процедур.
Предлагается определить самостоятельно импульсную реакцию цепи на рис.(2.6,а), применяя последовательно оба рассмотренных метода.
В соответствии с определением передаточной функции, Z - изображение сигнала на выходе цепи можно определите как произведение Z - изображения сигнала на входе цепи и передаточной функции цепи:
Y(Z) = X(Z)ЧH(Z). (2.11)
Отсюда, по теореме о свертке, свертка входного сигнала с импульсной характеристикой дает сигнал на выходе цепи
y(nT) =x(kT)Чh(nT - kT) =h(kT)Чx(nT - kT). (2.12)
Определение выходного сигнала по формуле свертки находит применение не только в расчетных процедурах, но и в качестве алгоритма функционирования технических систем.
Определить сигнал на выходе цепи, схема которой приведена на рис.(2.6,б), если x(nT) = {1,0; 0,5}.
Здесь h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0,00256 ; ...}
Расчёт по (2.12)
n=0: y(0T) = h(0T)x(0T) = 0;
n=1: y(1T) = h(0T)x(1T) + h(1T) x(0T) = 0,4;
n=2: y(2T)= h(0T)x(2T) + h(1T) x(1T) + h(2T) x(0T) = 0,168;
Таким образом y(nT) = { 0; 0,4; 0,168; ... }.
В технических системах вместо линейной свертки (2.12) чаще применяется круговая или циклическая свертка.
Студент группы 220352 Чернышёв Д. А. Справка- отчет о патентном и научно- техническом исследовании Тема выпускной квалификационной работы: телевизионный приёмник с цифровой обработкой сигналов. Начало поиска 2. 02. 99. Окончание поиска 25.03.99 Предмет поиска Страна, Индекс (МКИ, НКИ) № ...
Несущими и амплитудно-фазовая модуляция с одной боковой полосой (АФМ-ОБП). 3. Выбор длительности и количества элементарных сигналов, используемых для формирования выходного сигнала В реальных каналах связи для передачи сигналов по частотно ограниченному каналу используется сигнал вида, но он бесконечен во времени, поэтому его сглаживают по косинусоидальному закону. , где - ...
В радиотехнических цепях сопротивления нагрузки обычно велики и не влияют на четырехполюсник либо сопротивление нагрузки стандартно и уже учтено в схеме четырехполюсника.
Тогда четырехполюсник может характеризоваться одним параметром, устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями при пренебрежении током нагрузок. При синусоидальном сигнале такой характеристикой является передаточная функция цепи (коэффициент передачи), равная отношению комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе: , где – фазово-частотная характеристика, - амплитудно-частотная характеристика цепи.
Передаточная функция линейной цепи вследствие справедливости принципа суперпозиции позволяет анализировать прохождение сложного сигнала через цепь, разлагая его на синусоидальные составляющие. Другой возможностью использования принципа суперпозиции является разложение сигнала на сумму сдвинутых во времени d-функций d(t). Реакцией цепи на действие сигнала в виде d-функций является импульсная характеристика g(t), т. е. это сигнал на выходе, если сигнал на входе есть d-функция. при . При этом g(t) = 0 при t < 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала.
Экспериментально импульсную характеристику можно определить подавая на вход короткий импульс площадью единица и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.
Так как независимый параметр, связывающий напряжения на выходе и входе цепи, может быть только один, то между импульсной характеристикой и передаточной функцией имеется связь.
Пусть на вход подается сигнал в виде d-функции со спектральной плотностью . На выходе цепи будет импульсная характеристика , при этом все спектральные составляющие входного сигнала умножаются на передаточную функцию соответствующей частоты: . Таким образом, импульсная характеристика цепи и передаточная функция связаны преобразованием Фурье:
Иногда вводят так называемую переходную характеристику цепи h(t), являющуюся откликом на сигнал, называемый единичным скачком:
I(t) = 1 при t ³ 0
I(t) = 0 при t < 0
при этом , h(t) = 0 при t < 0.
Ввиду связи между передаточной функцией и импульсной характеристикой, на передаточную функцию накладываются ограничения:
· Условие, что g(t) должна быть вещественной, приводит к требованию, что , т. е. модуль передаточной функции (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечетная функция частоты.
· Условие, что при t < 0, g(t) = 0 приводит к критерию Пэли-Винера: .
Например, рассмотрим идеальный фильтр низких частот ФНЧ с передаточной функцией.
Здесь интеграл в критерии Пэли-Винера расходится, как и для любой , обращающейся в нуль на конечном отрезке оси частот.
Импульсная характеристика такого фильтра есть
g(t) не равна нулю при t < 0, тем сильнее, чем меньше время задержки , которое определяет ее угол наклона . Это указывает на нереализуемость идеального ФНЧ, имеющего близкое приближение при достаточно больших .
Пусть произвольная импульсная система задана структурной схемой, представляющей собой совокупность стандартных соединений из простейших импульсных систем (соединений типа обратная связь, последовательных и параллельных). Тогда, чтобы получить передаточную функцию этой системы, достаточно уметь находить передаточную функцию стандартных соединений по передаточным функциям соединяемых импульсных систем, так как последние известны (либо точно, либо приближенно) (см. § 3.1).
Соединения чисто импульсных систем.
Формулы для вычисления -передаточных функций стандартных соединений чисто импульсных систем по z-передаточным функциям соединяемых чисто импульсных элементов совпадают с аналогичными формулами из теории непрерывных систем. Это совпадение происходит потому, что структура формулы (3.9) совпадает со структурой аналогичной формулы из теории непрерывных систем формула (3.9) описывает работу чисто импульсной системы точно.
Пример . Найти z-передаточную функцию чисто импульсной системы, заданной структурной схемой (рис. 3.2).
С учетом (3.9) из структурной схемы, изображенной на рис. 3.2, получаем:
Подставим последнее выражение в первое:
(сравнить с известной формулой из теории непрерывных систем ).
Соединения импульсных систем.
Пример 3.2. Пусть импульсная система представлена структурной схемой (см. рис. .3.3, без учета пунктира и штрихпунктира). Тогда
Если нужно определить дискретные значения выхода (см. фиктивный синхронный ключ на выходе - пунктир на рис. 3.3), то способом, аналогичным тому, который использовался при выводе (3.7), получим, связь:
Рассмотрим другую систему (рис. 3.4, без учета пунктира), которая отличается от предыдущей лишь местом расположения ключа. Для нее
При фиктивном ключе (см. пунктир на рис. 3.4)
Из полученных в этом примере соотношений можно сделать выводы.
Вывод 1. Вид аналитической связи входа как с непрерывными [см. (3.10), (3.12)], так и с дискретными [см. (3.11), (3.13)] значениями выхода произвольной импульсной системы существенно зависит от места расположения ключа.
Вывод 2. Для произвольной импульсной системы, как и для простейшей, которая описана в 3.1, не удается получить характеристику, аналогичную передаточной функции, которая связывает вход и выход во все моменты времени. Не удается получить подобной характеристики, которая связывает вход и выход и в дискретные моменты времени, кратные , что для простейшей импульсной системы сделать удалось (см. § 3.1). Это видно из соотношений соответственно (3.10), (3.12) и (3.11), (3.13).
Вывод 3. Для некоторых частных случаев соединений импульсных систем, например для импульсной системы, структурная схема которой представлена на рис. 3.5 (без пунктира), удается найти передаточную функцию, связывающую вход и выход в дискретные моменты времени, кратные . Действительно, из (3.10) при следует Но тогда [см. вывод формулы (3.7)]
Структура связи z-передаточной функции разомкнутой и замкнутой систем в данном случае такая же, как и в теории непрерывных систем.
Следует отметить, что это хотя и частный случай, но он имеет очень большое практическое значение, так как к нему приводятся многие системы из класса импульсных следящих систем.
Вывод 4. Для получения удобного выражения, аналогичного z-передаточной функции в случае произвольной импульсной системы (см., например, рис. 3.3), требуется вводить синхронные фиктивные ключи не только на выходе системы (см. пунктир на рис. 3.3), но и в других ее точках (см., например, штрихпунктирвый участок вместо сплошного на рис. 3.3). Тогда
и формулы (3.10), (3.11) примут соответственно такой вид:
и, следовательно,
Последствия от введения ключей, изображенных на рис. 3.3 штрихпунктиром и пунктиром, существенно различны, так как последний не меняет характера работы всей системы, он просто дает информацию о ней в дискретные моменты времени.
Первый же, преобразуя в импульсный тот непрерывный сигнал, который поступает на звено обратной связи, превращает исходную систему совсем в другую. Эта новая система достаточно хорошо сможет представлять работу исходной системы, если принять (см. § 5.4) и если
1) выполняются условия теоремы Котельникова (2.20);
2) полоса пропускания звена обратной связи меньше :
где - частота среза звена обратной связи;
3) амплитудная частотная характеристика (АЧХ) звена в районе частоты среза уменьшается достаточно круто (см. рис. 3.6).
Тогда через звено обратной связи проходит только та часть спектра импульсного сигнала , которая соответствует непрерывному сигналу .
Таким образом, формула (3.16) в общем случае только приближенно представляет работу исходной системы даже в дискретные моменты времени. Причем она делает это тем точнее, чем надежнее выполняются условия (2.20), (3.17) и условия крутого спада амплитудно-частотной характеристики для звена, нормальная работа которого нарушена фиктивным ключом.
Итак, с помощью z-преобразования можно точно исследовать работу чисто импульсной системы; с помощью преобразования Лапласа - точно исследовать работу непрерывной системы.
Импульсную систему с помощью одного (любого) из этих преобразований удается исследовать только приближенно, да и то при соблюдении некоторых условий. Причиной тому является наличие в импульсной системе как непрерывных, так и импульсных сигналов (поэтому такие импульсные системы являются непрерывноимпульсными и их иногда называют непрерывно-дискретными). В связи с этим преобразование Лапласа, удобное при оперировании с непрерывными сигналами, становится неудобным, когда дело доходит до дискретных сигналов. Удобное же для дискретных сигналов z-преобразование неудобно для непрерывных.
Так в данном случае проявляется отмеченный еще в апориях }