C hattı bağımlılık tanımları. Matrislerin satırlarının veya sütunlarının doğrusal birleşimi. §4.9. Matris sıralaması

İzin vermek

Boyut matrisi sütunları. Matris sütunlarının doğrusal kombinasyonu sütun matrisi olarak adlandırılırken - bazı gerçek veya karmaşık sayılar, lineer kombinasyon katsayıları. Doğrusal bir kombinasyonda tüm katsayıları sıfıra eşit alırsak, doğrusal kombinasyon sıfır sütun matrisine eşittir.

Matrisin sütunlarına denir Doğrusal bağımsız , eğer lineer kombinasyonları sadece lineer kombinasyonun tüm katsayıları sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşitse. Matrisin sütunlarına denir lineer bağımlı , aralarında en az birinin sıfır olmadığı ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal kombinasyonu sıfıra eşit olan bir dizi sayı varsa

Benzer şekilde, matris satırlarının doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığının tanımları verilebilir. Aşağıda, tüm teoremler matrisin sütunları için formüle edilmiştir.

teorem 5

Matrisin sütunları arasında sıfır varsa, matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Tüm katsayıların sıfır olmayan tüm sütunlar için sıfıra ve sıfır sütun için bire eşit olduğu doğrusal bir kombinasyon düşünün. Sıfıra eşittir ve doğrusal kombinasyonun katsayıları arasında sıfır olmayan bir tane vardır. Bu nedenle, matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

teorem 6

Eğer matris sütunları lineer bağımlı, o zaman hepsi matris sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Kesinlik için, matrisin ilk sütunlarının lineer bağımlı Daha sonra, doğrusal bir bağımlılığın tanımına göre, aralarında en az birinin sıfırdan farklı olduğu ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal kombinasyonu sıfıra eşit olan bir dizi sayı vardır.

Sıfır katsayılı kalan sütunlar da dahil olmak üzere matrisin tüm sütunlarının doğrusal bir kombinasyonunu oluşturun

Ancak . Bu nedenle, matrisin tüm sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Sonuçlar. Bir matrisin doğrusal olarak bağımsız sütunlarından herhangi biri doğrusal olarak bağımsızdır. (Bu iddia kolayca çelişki ile kanıtlanır.)

teorem 7

Matris kolonlarının lineer bağımlı olması için en az bir matris kolonunun diğerlerinin lineer kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

gereklilik. Matris sütunlarının doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin, yani aralarında en az birinin sıfırdan farklı olduğu ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal kombinasyonu sıfıra eşit olan bir dizi sayı vardır.

Kesinlik için varsayalım ki . O halde, ilk sütun geri kalanının doğrusal bir birleşimidir.

Yeterlilik. Matrisin en az bir sütununun diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olmasına izin verin, örneğin, burada bazı sayılar vardır.

O halde , yani sütunların lineer kombinasyonu sıfıra eşittir ve lineer kombinasyonun sayıları arasında en az biri ( için ) sıfır değildir.

Matrisin rankı şöyle olsun. Sıfır olmayan herhangi bir minör mertebeye denir temel . Kesişim noktalarında temel minör bulunan satır ve sütunlara denir. temel .

Bir matrisin sıralaması kavramı, satırlarının veya sütunlarının doğrusal bağımlılığı (bağımsızlığı) kavramıyla yakından ilgilidir. Gelecekte, satırlar için malzeme sunacağız, sütunlar için sunum benzer.

matriste AÇizgilerini aşağıdaki gibi gösterelim:

Bir matrisin iki satırının eşit olduğu söylenir, karşılık gelen elemanları eşitse: , eğer , .

Matris satırları üzerindeki aritmetik işlemler (bir satırı bir sayı ile çarpma, satırları toplama) eleman eleman gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtılır:

Astar e dizilerin doğrusal kombinasyonu denir..., matrisler, eğer keyfi gerçek sayılarla bu satırların çarpımlarının toplamına eşitse:

Matrisin satırları denir lineer bağımlı, matris satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacak şekilde, aynı anda sıfıra eşit olmayan bu tür sayılar varsa:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorem 3.3Matrisin en az bir satırı diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu ise, matrisin satırları doğrusal olarak bağımlıdır.

□ Aslında, formül (3.3)'teki kesinliği kabul edin, sonra

Yani sıra, diğer sıraların doğrusal birleşimidir. ■

Satırların (3.3) doğrusal kombinasyonu sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm katsayılar sıfıra eşitse, satırlara doğrusal olarak bağımsız denir.

Teorem 3.4.(bir matrisin sıralaması hakkında) Bir matrisin sıralaması, diğer tüm satırlarının (sütunlarının) doğrusal olarak ifade edildiği, doğrusal olarak bağımsız satırlarının veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

□ matrise izin verin A boyut m n rütbeye sahiptir R(R dak). Bu, sıfır olmayan bir minör olduğu anlamına gelir. R-inci sıra. Sıfır olmayan her minör R inci sıra temel minör olarak adlandırılacaktır.

Kesinlik için, temel minör olsun lider veya köşe minör. O zaman matrisin satırları doğrusal olarak bağımsızdır. Bunun tersini, yani bu dizilerden birinin, örneğin geri kalanının doğrusal bir kombinasyonu olduğunu varsayalım. Öğelerden çıkarma R- 1. sıranın 1. satırındaki elemanları ile çarpılır, ardından 2. sıradaki elemanları , ... ile çarpılır ve () R- 1) - inci satır, ile çarpılır. Özellik 8'e dayalı olarak, bu tür matris dönüşümleri altında, onun determinantı D değişmez, fakat çünkü R- i string şimdi sadece sıfırlardan oluşacak, o zaman D = 0 - bir çelişki. Bu nedenle, matrisin satırlarının doğrusal olarak bağımlı olduğu varsayımımız yanlıştır.

Dizeleri arayalım temel. Matrisin herhangi bir (r+1) satırının doğrusal olarak bağımlı olduğunu, yani herhangi bir dizi, temel diziler cinsinden ifade edilir.

Küçük (r + 1) -inci sırayı düşünün, bu küçük sırayı başka bir sıranın elemanlarıyla tamamlayarak elde edilir. Ben ve sütun J. Matrisin rankı olduğu için bu minör sıfırdır. R, bu nedenle herhangi bir üst düzey minör sıfırdır.

Son (eklenen) sütunun öğeleriyle genişleterek, şunu elde ederiz:

Son cebirsel tümleyenin modülü temel minör ile aynı olduğunda D ve bu nedenle sıfırdan farklı, yani 0.

3. Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matrisler ve hesaplamalar - M.: Nauka, 1984.-320s.

4. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Lineer Cebir.- M.: "Nauka", 1978.- 304 s.

Kare olması gerekmeyen, mxn boyutunda gelişigüzel bir A matrisi ele alalım.

Matris sıralaması.

Bir matrisin sıralaması kavramı, bir matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımlılığı (bağımsızlığı) kavramı ile ilgilidir. Dizeler için bu kavramı düşünün. Sütunlar için aynıdır.

A matrisinin havuzlarını belirtin:

e 1 \u003d (11, 12, ..., 1n); e 2 \u003d (bir 21, bir 22, ..., bir 2n); ..., e m \u003d (bir m1, bir m2, ..., bir mn)

e k =e s eğer a kj =a sj , j=1,2,…,n ise

Matris satırları üzerindeki aritmetik işlemler (toplama, bir sayı ile çarpma), eleman eleman gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtılır: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].

Hat e denir lineer kombinasyon satırlar e 1 , e 2 ,…,e k , eğer bu satırların rastgele gerçek sayılarla çarpımlarının toplamına eşitse:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

e 1 , e 2 ,…,e m hatları çağrılır lineer bağımlı, eğer hepsi sıfıra eşit olmayan λ 1 ,λ 2 ,…,λ m gerçek sayıları varsa, bu satırların lineer kombinasyonu sıfır satırına eşittir: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Nerede 0 =(0,0,…,0) (1)

Doğrusal kombinasyon sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm λ i katsayıları sıfıra eşitse (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), o zaman e 1 , e 2 ,…,e m satırları çağrılır Doğrusal bağımsız.

teorem 1. e 1 ,e 2 ,…,e m dizilerinin doğrusal olarak bağımlı olması için, bu dizilerden birinin diğer dizilerin doğrusal bir kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. gereklilik. e 1 , e 2 ,…,e m dizilerinin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. kesinlik için, (1) λm ≠0, o zaman

O. e m dizisi, dizilerin geri kalanının doğrusal bir birleşimidir. Ch.t.d.

Yeterlilik. Satırlardan biri, örneğin e m, diğer satırların doğrusal bir kombinasyonu olsun. Daha sonra, eşitliğin geçerli olduğu ve şu şekilde yeniden yazılabilen sayılar vardır:

burada katsayılardan en az biri (-1), sıfır değildir. Onlar. satırlar doğrusal olarak bağımlıdır. Ch.t.d.

Tanım. Küçük k'inci sıra mxn büyüklüğündeki A matrisine, A matrisinin herhangi bir k satırının ve herhangi bir k sütununun kesişim noktasında yer alan elemanlarla k'ıncı sıra determinantı denir (k≤min(m,n)). .

Örnek., 1. dereceden minörler: =, =;

2. dereceden reşit olmayanlar: , 3. dereceden

3. dereceden bir matriste 9 adet 1. dereceden minör, 9 adet 2. dereceden minör ve 1 adet 3. dereceden minör vardır (bu matrisin determinantı).

Tanım. Matris sıralaması A bu matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek sırasıdır. Gösterim - rgA veya r(A).

Matris sıralaması özellikleri.

1) A nxm matrisinin sırası, boyutlarının en küçüğünü geçmez, yani.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0, tüm matris elemanları 0'a eşit olduğunda, yani A=0.

3) n'inci dereceden A kare matrisi için, A dejenere olmadığında r(A)=n.

(Köşegen bir matrisin sıralaması, sıfır olmayan köşegen elemanlarının sayısına eşittir).

4) Bir matrisin rankı r ise, matrisin sıfıra eşit olmayan r mertebesinden en az bir minörü vardır ve daha yüksek mertebeden tüm minörleri sıfıra eşittir.

Matrisin sıraları için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), eğer B tekil olmayan bir kare matris ise.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, burada n, A matrisinin sütunlarının veya B matrisinin satırlarının sayısıdır.

Tanım. r(A) mertebesinin sıfır olmayan bir minörü denir temel minör. (Matris A'nın birkaç temel minörü olabilir). Kesişim noktalarında temel minör olan satırlar ve sütunlar sırasıyla çağrılır. taban çizgileri Ve temel sütunlar.

Teorem 2 (temel minörde). Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (herhangi bir sütunu), temel satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimidir.

Kanıt. (Dizeler için). Temel satırlar doğrusal olarak bağımlı olsaydı, Teorem (1)'e göre bu satırlardan biri diğer temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olurdu, o zaman temel minör değerini değiştirmeden, belirtilen doğrusal kombinasyonu bu satırdan çıkarabilirsiniz ve sıfır satırı elde edin ve bu çelişkilidir çünkü temel minör sıfırdan farklıdır. O. taban sıraları doğrusal olarak bağımsızdır.

A matrisinin herhangi bir satırının, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olduğunu kanıtlayalım. Çünkü satırlarda (sütunlarda) keyfi değişikliklerle, determinant sıfıra eşit olma özelliğini korur, o zaman genelliği kaybetmeden, küçük tabanın matrisin sol üst köşesinde olduğunu varsayabiliriz.

bir=, onlar. ilk r satırda ve ilk r sütunda bulunur. 1£j£n, 1£i£m olsun. (r+1)inci mertebenin determinantının olduğunu gösterelim.

j£r veya i£r ise, bu determinant sıfıra eşittir, çünkü iki özdeş sütuna veya iki özdeş satıra sahip olacaktır.

Eğer j>r ve i>r ise, bu determinant A matrisinin (r + 1)inci mertebesinden küçüktür. matrisin sırası r'dir, bu nedenle daha yüksek mertebeden herhangi bir minör 0'a eşittir.

Son (eklenen) sütunun öğeleriyle genişleterek, şunu elde ederiz:

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, burada son cebirsel toplama A ij temel minör М r ile çakışır ve dolayısıyla A ij = М r ≠0.

Son eşitliği A ij'ye bölerek, a ij öğesini doğrusal bir kombinasyon olarak ifade edebiliriz: , burada .

i (i>r) değerini sabitleriz ve herhangi bir j (j=1,2,…,n) için i'inci sıra e i'nin elemanlarının e 1 , e sıralarının elemanları aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini elde ederiz. 2 ,…,e r , yani e. i'inci sıra, temel sıraların doğrusal bir kombinasyonudur: . Ch.t.d.

Teorem 3. (determinantın sıfıra eşit olması için gerek ve yeter koşul). n'inci dereceden determinant D'nin sıfıra eşit olması için satırlarının (sütunlarının) lineer bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt (s.40). gereklilik. n'inci sıradaki determinant D sıfıra eşitse, matrisinin temel minörü r mertebesindedir.

Böylece, bir satır diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonudur. O zaman, Teorem 1'e göre, determinantın satırları doğrusal olarak bağımlıdır.

Yeterlilik. D satırları doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 1'e göre bir satır A i, diğer satırların doğrusal bir kombinasyonudur. Belirtilen lineer kombinasyonu A satırından çıkararak i, D'nin değerini değiştirmeden sıfır satırı elde ederiz. Bu nedenle, determinantların özelliklerine göre, D=0. h.t.d.

Teorem 4. Temel dönüşümler altında, matrisin sıralaması değişmez.

Kanıt. Determinantların özellikleri göz önüne alındığında gösterildiği gibi, kare matrisleri dönüştürürken, determinantları ya değişmez ya da sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır ya da işaret değişir. Bu durumda, orijinal matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek sırası korunur, yani. matrisin rankı değişmez. Ch.t.d.

r(A)=r(B) ise, A ve B eşdeğeri: A~B.

Teorem 5. Temel dönüşümleri kullanarak, matris şu şekilde indirgenebilir: basamaklı görünüm matris denir şu forma sahipse adım attı:

А=, burada a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Koşullar r≤k her zaman transpozisyonla elde edilebilir.

teorem 6. Bir adım matrisinin sıralaması, sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir .

Onlar. Adım matrisinin sıralaması r'dir, çünkü r mertebesinin sıfır olmayan bir minörü vardır:

Matrisin satırlarının ve sütunlarının boyutların aritmetik vektörleri olarak görülebileceğini unutmayın. M Ve N, sırasıyla. Böylece, boyut matrisi bir küme olarak yorumlanabilir. M N boyutlu veya N M boyutlu aritmetik vektörler. Geometrik vektörlerle analoji yaparak, bir matrisin satırlarının ve sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı kavramlarını tanıtıyoruz.

4.8.1. Tanım. Astar
isminde çizgilerin doğrusal birleşimi katsayılı
, bu satırın tüm öğeleri için eşitlik doğruysa:

,
.

4.8.2. Tanım.

Teller
isminde lineer bağımlı, bunların sıfır dizisine eşit önemsiz olmayan doğrusal bir kombinasyonu varsa, yani sıfıra eşit olmayan sayılar vardır

,
.

4.8.3. Tanım.

Teller
isminde Doğrusal bağımsız, sadece önemsiz doğrusal kombinasyonları sıfır satırına eşitse, yani.

,

4.8.4. teorem. (Matris satırlarının doğrusal bağımlılık kriteri)

Dizilerin lineer bağımlı olması için en az birinin diğerlerinin lineer kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

gereklilik.Çizgilere izin ver
doğrusal olarak bağımlıdır, o zaman bunların sıfır çizgisine eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır:

.

Genelliği kaybetmeden, doğrusal kombinasyonun katsayılarından ilkinin sıfır olmadığını varsayıyoruz (aksi takdirde satırları yeniden numaralandırabiliriz). Bu oranın bölünmesi , alırız

,

yani ilk sıra diğerlerinin lineer birleşimidir.

YeterlilikÖrneğin, satırlardan biri, , diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir, o zaman

yani, dizilerin önemsiz olmayan doğrusal bir kombinasyonu vardır
, sıfır dizesine eşittir:

yani çizgiler
kanıtlanacak olan doğrusal olarak bağımlıdır.

Yorum.

Bir matrisin sütunları için benzer tanımlar ve iddialar formüle edilebilir.

§4.9. Matris sıralaması.

4.9.1. Tanım. Küçük emir matrisler boyut
sıra belirleyici denir bazılarının kesişme noktasında bulunan elemanlarla çizgiler ve sütunlar.

4.9.2. Tanım. Sıfır olmayan küçük sipariş matrisler boyut
isminde temel küçük, sıra matrisinin tüm küçükleri ise
sıfıra eşittir.

Yorum. Bir matrisin birden fazla temel minörü olabilir. Açıkçası, hepsi aynı düzende olacak. Ayrıca matrisin olması da mümkündür. boyut
küçük sipariş sıfırdan farklıdır ve siparişin küçükleri
yok yani
.

4.9.3. Tanım. Alt tabanı oluşturan satırlara (sütunlara) denir. temel satırlar (sütunlar).

4.9.4. Tanım. rütbe matris, temel minör sırasıdır. Matris sıralaması belirtilen
veya
.

Yorum.

Determinantın satır ve sütunlarının eşitliğinden dolayı, devrik olduğunda matrisin sırasının değişmediğine dikkat edin.

4.9.5. teorem. (Temel dönüşümler altında matris sıra değişmezliği)

Bir matrisin sıralaması, temel dönüşümleri altında değişmez.

Kanıt olmadan.

4.9.6. teorem. (Temel minörde).

Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.

Kanıt:

Dizeler için kanıt yapalım. Sütunlar için iddianın ispatı analoji ile yapılabilir.

Matrisin rankı olsun boyutlar
eşittir , A
− temel minör. Genelliği kaybetmeden, küçük tabanın sol üst köşede olduğunu varsayıyoruz (aksi takdirde, temel dönüşümleri kullanarak matrisi bu forma indirgeyebiliriz):

.

Önce temel satırların doğrusal bağımsızlığını kanıtlayalım. Çelişki ile kanıtlayacağız. Temel satırların doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Daha sonra, Teorem 4.8.4'e göre sıralardan biri, geri kalan temel sıraların doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Bu nedenle, belirtilen doğrusal kombinasyonu bu satırdan çıkarırsak, o zaman sıfır satırı elde ederiz, yani minör
sıfıra eşittir, bu da temel minör tanımıyla çelişir. Böylece bir çelişki elde ettik, bu nedenle temel satırların doğrusal bağımsızlığı kanıtlanmıştır.

Şimdi bir matrisin herhangi bir satırının, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtlayalım. Söz konusu satır numarası ise 1'den R, o zaman, açıkça, satır için 1'e eşit bir katsayı ile doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir. ve kalan satırlar için sıfır katsayılar. Şimdi gösterelim ki eğer satır numarası itibaren
önce
, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. matris minör düşünün
, temel minörden türetilmiştir
bir satır ekleyerek ve isteğe bağlı bir sütun
:

gösterelim ki bu minör
itibaren
önce
ve herhangi bir sütun numarası için 1'den .

Gerçekten de, eğer sütun numarası 1'den R, o zaman açıkça sıfıra eşit olan iki özdeş sütunlu bir determinantımız var. Eğer sütun numarası itibaren R+1 - ve satır numarası itibaren
önce
, O
orijinal matrisin minör tabanından daha büyük bir minördür, yani minör temeli tanımından sıfırdır. Böylece küçük olduğu kanıtlanmıştır.
herhangi bir satır numarası için sıfırdır itibaren
önce
ve herhangi bir sütun numarası için 1'den . Son sütuna göre genişleterek şunu elde ederiz:

Burada
- karşılık gelen cebirsel eklemeler. dikkat et, ki
, çünkü, bu nedenle,
temel minördür. Bu nedenle, çizginin elemanları k sütun numarasından bağımsız katsayılarla temel satırların karşılık gelen öğelerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir :

Böylece, bir matrisin rasgele bir satırının, temel satırlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtladık. Teorem kanıtlanmıştır.

Ders 13

4.9.7. teorem. (Dejenere olmayan bir kare matrisin sıralamasında)

Bir kare matrisin dejenere olmaması için matrisin rankının bu matrisin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

gereklilik. kare matris olsun boyut N dejenere değildir, o zaman
, bu nedenle, matris determinantı temel bir minördür, yani

Yeterlilikİzin vermek
o zaman minör tabanının sırası matrisin boyutuna eşittir, dolayısıyla minör tabanı matrisin determinantıdır , yani
temel minör tanımı gereği.

Sonuçlar.

Bir kare matrisin dejenere olmaması için satırlarının doğrusal olarak bağımsız olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

gereklilik. Bir kare matris dejenere olmadığından rankı matrisin boyutuna eşittir
yani matrisin determinantı temel minördür. Bu nedenle, Teorem 4.9.6'ya göre minör bazında, matrisin satırları doğrusal olarak bağımsızdır.

Yeterlilik Matrisin tüm satırları doğrusal olarak bağımsız olduğundan, sıralaması matrisin boyutundan küçük değildir, bu da şu anlama gelir:
bu nedenle, önceki teorem 4.9.7'ye göre, matris dejenere değildir.

4.9.8. Bir matrisin rankını bulmak için saçak minör yöntemi.

Bu yöntemin bir kısmının, temel minör teoremin ispatında üstü kapalı olarak açıklanmış olduğuna dikkat edin.

4.9.8.1. Tanım. Küçük
isminde saçak minör ile ilgili olarak
, eğer bir reşit olmayandan türetilmişse
orijinal matrisin bir yeni satırı ve bir yeni sütunu eklenir.

4.9.8.2. Kenarlık minörleri yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma prosedürü.

Sıfır dışında herhangi bir geçerli matris minör bulun.

Onu çevreleyen tüm küçükleri hesaplıyoruz.

Hepsi sıfıra eşitse, o zaman mevcut minör tabandır ve matrisin sırası mevcut minörün sırasına eşittir.

Sınırdaki küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane varsa güncel kabul edilir ve işleme devam edilir.

Küçükleri sınırlandırma yöntemini kullanarak, matrisin sıralamasını buluruz

.

Mevcut ikinci dereceden minörü sıfır dışında belirtmek kolaydır, örneğin,

.

Onu çevreleyen küçükleri hesaplıyoruz:

Bu nedenle, üçüncü dereceden sınırdaki tüm minörler sıfıra eşit olduğundan, o zaman minör
temeldir, yani

Yorum. Ele alınan örnekten, yöntemin oldukça zahmetli olduğu görülebilir. Bu nedenle, pratikte aşağıda tartışılacak olan temel dönüşüm yöntemi çok daha sık kullanılmaktadır.

4.9.9. Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma.

Teorem 4.9.5'e dayanarak, temel dönüşümler altında bir matrisin rankının değişmediğini söyleyebiliriz (yani eşdeğer matrislerin rankları eşittir). Bu nedenle, matrisin sırası, temel dönüşümlerle orijinal matristen elde edilen adım matrisinin sırasına eşittir. Bir adım matrisinin sıralaması, açıkça sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir.

Matrisin sırasını belirleme

temel dönüşümler yöntemi.

matrisi sunuyoruz adım adım:

Ortaya çıkan adım matrisinin sıfır olmayan satır sayısı üçtür, bu nedenle,

4.9.10. Lineer uzayda bir vektör sisteminin rankı.

Vektör sistemini düşünün
bazı doğrusal boşluk . Doğrusal olarak bağımlıysa, içinde doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem ayırmak mümkündür.

4.9.10.1. Tanım. Vektör sisteminin sıralaması
lineer uzay bu sistemin doğrusal olarak bağımsız vektörlerinin maksimum sayısıdır. Vektör sisteminin sıralaması
olarak gösterilir
.

Yorum. Bir vektör sistemi lineer bağımsız ise, sıralaması sistemdeki vektör sayısına eşittir.

Lineer uzaydaki bir vektörler sisteminin rankı kavramları ile bir matrisin rankı arasındaki ilişkiyi gösteren bir teorem formüle edelim.

4.9.10.2. teorem. (Doğrusal uzayda bir vektör sisteminin sıralamasında)

Lineer uzayda bir vektör sisteminin rankı, lineer uzayın bazı temellerinde vektörlerin koordinatları olan sütunları veya satırları olan bir matrisin rankına eşittir.

Kanıt olmadan.

Sonuçlar.

Lineer uzayda bir vektör sisteminin lineer bağımsız olabilmesi için, sütunları veya satırları bazı bazlarda vektörlerin koordinatları olan bir matrisin rankının sistemdeki vektör sayısına eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt açık.

4.9.10.3. Teorem (Doğrusal bir açıklığın boyutu üzerine).

Vektörlerin doğrusal aralığının boyutu
lineer uzay bu vektör sisteminin rankına eşittir:

Kanıt olmadan.