Sıfır matrisinin rütbesi nedir? Bir matrisin matris sıralaması ve temel minör

İlköğretim Aşağıdaki matris dönüşümleri denir:

1) herhangi iki satırın (veya sütunun) permütasyonu,

2) bir satırı (veya sütunu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,

3) bir satıra (veya sütuna) başka bir satır (veya sütun) ekleyerek bir sayıyla çarpmak.

İki matris denir eş değer, eğer bunlardan biri diğerinden sonlu bir dizi temel dönüşüm yardımıyla elde edilirse.

Eşdeğer matrisler genel olarak eşit değildir ancak rütbeleri eşittir. A ve B matrisleri eşdeğerse bu şu şekilde yazılır: A ~ B.

Kanonik Bir matris, ana köşegenin başlangıcında arka arkaya birkaç 1'e sahip olan (sayı sıfır olabilir) ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir matristir, örneğin,

Satır ve sütunların temel dönüşümlerinin yardımıyla herhangi bir matris kanonik bir matrise indirgenebilir. Kanonik bir matrisin rütbesi, ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.

Örnek 2 Bir matrisin rütbesini bulun

bir=

ve onu kanonik forma getirin.

Çözüm. Birinci satırı ikinci satırdan çıkarın ve bu satırları yeniden düzenleyin:

.

Şimdi, ikinci ve üçüncü satırlardan birinciyi sırasıyla 2 ve 5 ile çarparak çıkarın:

;

birinciyi üçüncü satırdan çıkarın; matrisi alıyoruz

B = ,

A matrisine eşdeğerdir, çünkü ondan sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde edilir. Açıkçası, B matrisinin rütbesi 2'dir ve dolayısıyla r(A)=2'dir. B matrisi kolaylıkla kanonik olana indirgenebilir. İlk sütunu uygun sayılarla çarparak sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ilk satırın ilk hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve geri kalan satırların öğeleri değişmez. Daha sonra, uygun sayılarla çarpılan ikinci sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ikinci satırın ikinci hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve kanonik matrisi elde ederiz:

.

Kronecker - Capelli teoremi- doğrusal cebirsel denklemler sisteminin uyumluluk kriteri:

Doğrusal bir sistemin uyumlu olabilmesi için bu sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasının ana matrisinin sıralamasına eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt (sistem uyumluluk koşulları)

gereklilik

İzin vermek sistem eklem yeri. Sonra öyle sayılar var ki. Bu nedenle sütun, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir. Satırların (sütunların) sistemi silindiğinde veya diğer satırların (sütunların doğrusal bir kombinasyonu olan) bir satır (sütun) atandığında bir matrisin sıralamasının değişmeyeceği gerçeğinden şu sonuç çıkar: .

Yeterlilik

İzin vermek . Matristeki bazı temel minörleri ele alalım. O zamandan beri, o aynı zamanda matrisin temel minörü olacaktır. Daha sonra temel teoreme göre küçük matrisin son sütunu, temel sütunların, yani matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimi olacaktır. Bu nedenle sistemin serbest elemanlarının sütunu, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir.

Sonuçlar

Ana değişkenlerin sayısı sistemler sistemin rütbesine eşittir.

Eklem yeri sistem Sistemin sıralaması tüm değişkenlerin sayısına eşitse tanımlanacaktır (çözüm benzersizdir).

Homojen denklem sistemi

Teklif15 . 2 Homojen denklem sistemi

her zaman işbirlikçidir.

Kanıt. Bu sistem için , , , sayıları kümesi bir çözümdür.

Bu bölümde sistemin matris gösterimini kullanacağız: .

Teklif15 . 3 Homojen bir doğrusal denklem sisteminin çözümlerinin toplamı bu sistemin bir çözümüdür. Bir sayıyla çarpılan çözüm de bir çözümdür.

Kanıt. Sistemin çözümleri olsun ve hizmet etsin. Sonra ve . İzin vermek . Daha sonra

O zamandan beri, o zaman bir çözümdür.

Rastgele bir sayı olsun, . Daha sonra

O zamandan beri, o zaman bir çözümdür.

Sonuçlar15 . 1 Homojen bir doğrusal denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü varsa, o zaman sonsuz sayıda farklı çözümü vardır.

Aslında sıfır olmayan bir çözümü farklı sayılarla çarparak farklı çözümler elde edeceğiz.

Tanım15 . 5 Çözümleri söyleyeceğiz sistem formu temel karar sistemi eğer sütunlar doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur ve sistemin herhangi bir çözümü bu sütunların doğrusal bir birleşimidir.

Tanım. Matris sıralaması vektör olarak kabul edilen doğrusal olarak bağımsız satırların maksimum sayısıdır.

Bir matrisin rütbesine ilişkin Teorem 1. Matris sıralaması bir matrisin sıfır olmayan bir minörünün maksimum derecesidir.

Belirleyiciler dersinde minör kavramını daha önce tartışmıştık ve şimdi bunu genelleştireceğiz. Matristeki bazı satır ve sütunları ele alalım ve bu "bir şey" matrisin satır ve sütun sayısından küçük olmalı ve satır ve sütunlar için bu "bir şey" aynı sayı olmalıdır. Daha sonra kaç satır ve kaç sütunun kesişiminde orijinal matrisimizden daha küçük mertebeden bir matris olacaktır. Bahsedilen "bir şey" (satır ve sütun sayısı) k ile gösterilirse, bu matrisin determinantı k'inci dereceden küçük olacaktır.

Tanım. Küçük ( R+1)-inci sıra, içinde seçilen minör yer alır R-th sırasına, verilen küçük için bordering denir.

En sık kullanılan iki yöntem bir matrisin rütbesini bulma. Bu reşit olmayanları dışlamanın yolu Ve temel dönüşümler yöntemi(Gauss yöntemiyle).

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teoremi kullanır.

Bir matrisin rütbesine ilişkin Teorem 2. Matrisin unsurlarından bir minör oluşturmak mümkünse R sıfıra eşit olmayan sıra, o zaman matrisin sırası eşittir R.

Temel dönüşümler yöntemiyle aşağıdaki özellik kullanılır:

Temel dönüşümlerle orijinaline eşdeğer bir yamuk matris elde edilirse, o zaman bu matrisin rütbesi tamamen sıfırlardan oluşan satırlar hariç, içindeki satır sayısıdır.

Küçükleri sınırlama yöntemiyle bir matrisin rütbesini bulma

Sınırdaki bir küçük, eğer daha yüksek dereceden bu minör, verilen minörü içeriyorsa, verilene göre daha yüksek dereceden bir minördür.

Örneğin, verilen matris

Haydi küçük bir tane alalım

kenarlar böyle küçükler olacak:

Bir matrisin rütbesini bulmak için algoritma Sonraki.

1. İkinci dereceden sıfıra eşit olmayan küçükleri buluyoruz. Eğer ikinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi bire eşit olacaktır ( R =1 ).

2. Sıfıra eşit olmayan en az bir ikinci dereceden küçük varsa, o zaman üçüncü dereceden sınırlayıcı minörler oluştururuz. Üçüncü dereceden sınırdaki tüm küçükler sıfırsa, matrisin sırası ikidir ( R =2 ).

3. Üçüncü dereceden sınırdaki küçüklerden en az biri sıfıra eşit değilse, onu çevreleyen küçükleri oluştururuz. Sınırdaki dördüncü dereceden küçüklerin tümü sıfırsa, matrisin sırası üçtür ( R =2 ).

4. Matrisin boyutu izin verdiği sürece devam edin.

örnek 1 Bir matrisin rütbesini bulun

.

Çözüm. İkinci dereceden küçük .

Çerçeveliyoruz. Sınırda dört küçük çocuk olacak:

,

,

Böylece, tüm sınırdaki üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle bu matrisin sırası ikidir ( R =2 ).

Örnek 2 Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin sıralaması 1'dir, çünkü bu matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri sıfıra eşittir (bunda, sonraki iki örnekte sınırdaki küçükler durumunda olduğu gibi, sevgili öğrenciler, belki de kendilerini doğrulamaya davet edilirler). determinantların hesaplanması için kuralların kullanılması) ve birinci dereceden küçükler arasında, yani matrisin elemanları arasında sıfıra eşit değildir.

Örnek 3 Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin ikinci dereceden küçükleri ve bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfırdır. Dolayısıyla bu matrisin rütbesi ikidir.

Örnek 4 Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin rütbesi 3'tür çünkü bu matrisin üçüncü dereceden tek minörü 3'tür.

Bir matrisin rütbesini temel dönüşümler yöntemiyle bulma (Gauss yöntemiyle)

Zaten Örnek 1'de, küçüklerin sınırlanması yöntemiyle bir matrisin rütbesini belirleme probleminin çok sayıda determinantın hesaplanmasını gerektirdiği görülebilir. Ancak hesaplama miktarını en aza indirmenin bir yolu vardır. Bu yöntem temel matris dönüşümlerinin kullanımına dayanır ve Gauss yöntemi olarak da adlandırılır.

Bir matrisin temel dönüşümleri aşağıdaki işlemler anlamına gelir:

1) matrisin herhangi bir satırının veya sütununun sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;

2) matrisin herhangi bir satırının veya herhangi bir sütununun elemanlarına, başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının aynı sayıyla çarpılmasıyla eklenmesi;

3) bir matrisin iki satırının veya sütununun değiştirilmesi;

4) "boş" satırların, yani tüm elemanları sıfıra eşit olanların kaldırılması;

5) Biri hariç tüm orantılı çizgilerin silinmesi.

Teorem. Temel dönüşüm matrisin sırasını değiştirmez. Başka bir deyişle, matristeki temel dönüşümleri kullanırsak A matrise git B, O .

Bir matrisin sırası önemli bir sayısal özelliktir. Bir matrisin rütbesini bulmayı gerektiren en tipik problem, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin uyumluluğunun kontrol edilmesidir. Bu yazıda bir matrisin rütbesi kavramını vereceğiz ve onu bulma yöntemlerini ele alacağız. Malzemenin daha iyi özümsenmesi için birkaç örneğin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfada gezinme.

Bir matrisin rütbesinin ve gerekli ek kavramların belirlenmesi.

Bir matrisin rütbesinin tanımını dile getirmeden önce, küçük kavramının iyi anlaşılması gerekir ve bir matrisin küçüklerini bulmak, determinantı hesaplama becerisi anlamına gelir. Bu nedenle, gerekirse makalenin teorisini, matris determinantını bulma yöntemlerini, determinantın özelliklerini hatırlamanızı öneririz.

mertebesinden bir A matrisi alın. k, m ve n sayılarının en küçüğünü aşmayan bir doğal sayı olsun; .

Tanım.

Küçük k'inci sıra A matrisi, önceden seçilmiş k satır ve k sütundaki A matrisinin elemanlarından oluşan mertebeden kare matrisin determinantıdır ve A matrisinin elemanlarının konumu korunur.

Başka bir deyişle, A matrisindeki (p–k) satırları ve (n–k) sütunları silersek ve kalan elemanlardan, A matris elemanlarının düzenini koruyarak bir matris oluşturursak, elde edilen matrisin determinantı ​A matrisinin k mertebesinden bir minörü.

Bir örnek kullanarak matris minör tanımına bakalım.

Matris'i düşünün .

Bu matrisin birkaç birinci dereceden küçüklerini yazalım. Örneğin, A matrisinin üçüncü satırını ve ikinci sütununu seçersek, bu durumda seçimimiz birinci dereceden bir minöre karşılık gelir. . Başka bir deyişle, bu minörü elde etmek için A matrisinin birinci ve ikinci satırlarının yanı sıra birinci, üçüncü ve dördüncü sütunlarının üzerini çizdik ve kalan elemandan determinantı oluşturduk. A matrisinin ilk satırını ve üçüncü sütununu seçersek, o zaman bir minör elde ederiz. .

Dikkate alınan birinci dereceden reşit olmayanların elde edilmesine ilişkin prosedürü açıklayalım
Ve .

Dolayısıyla bir matrisin birinci dereceden küçükleri matris elemanlarının kendisidir.

İkinci dereceden birkaç reşit olmayanı gösterelim. İki satır ve iki sütun seçin. Örneğin birinci ve ikinci satırları, üçüncü ve dördüncü sütunları alın. Bu seçimle ikinci dereceden bir minörümüz var . Bu küçük, A matrisinden üçüncü satırın, birinci ve ikinci sütunların silinmesiyle de oluşturulabilir.

A matrisinin ikinci dereceden bir diğer minörü ise .

Bu ikinci dereceden küçüklerin yapısını örnekleyelim
Ve .

A matrisinin üçüncü dereceden küçükleri de benzer şekilde bulunabilir. A matrisinde yalnızca üç satır olduğundan hepsini seçiyoruz. Bu satırlar için ilk üç sütunu seçersek üçüncü dereceden bir minör elde ederiz.

A matrisinin son sütunu silinerek de oluşturulabilir.

Başka bir üçüncü dereceden küçük ise

A matrisinin üçüncü sütununun silinmesiyle elde edilir.

İşte bu üçüncü dereceden küçüklerin yapımını gösteren bir çizim
Ve .

Belirli bir A matrisi için üçüncüden daha yüksek dereceli küçükler yoktur, çünkü .

A matrisinin kaç tane k'inci dereceden küçükleri var?

K küçüklerin sayısı şu şekilde hesaplanabilir: burada Ve - sırasıyla p'den k'ye ve n'den k'ye kombinasyonların sayısı.

N düzeyinde p düzeyindeki A matrisinin k düzeyindeki tüm küçükleri nasıl oluşturulur?

Bir dizi matris satır numarasına ve bir dizi sütun numarasına ihtiyacımız var. Her şeyi kaydediyorum p elemanlarının k'ye göre kombinasyonları(k dereceli bir minör oluştururken A matrisinin seçilen satırlarına karşılık geleceklerdir). Her satır numarası kombinasyonuna, n öğenin tüm kombinasyonlarını k sütun numarasına göre sırayla ekliyoruz. A matrisinin satır numaraları ve sütun numaralarından oluşan bu kombinasyonlar, k mertebesindeki tüm küçüklerin oluşturulmasına yardımcı olacaktır.

Bir örnek verelim.

Örnek.

Matrisin tüm ikinci dereceden küçüklerini bulun.

Çözüm.

Orijinal matrisin sırası 3'e 3 olduğundan, ikinci dereceden küçüklerin toplamı şu şekilde olacaktır: .

A matrisinin 3 ila 2 satır sayısının tüm kombinasyonlarını yazalım: 1, 2; 1, 3 ve 2, 3. 3'e 2 sütun numaralarının tüm kombinasyonları 1, 2'dir; 1, 3 ve 2, 3.

A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını alın. Bu satırlar için birinci ve ikinci sütunları, birinci ve üçüncü sütunları, ikinci ve üçüncü sütunları seçerek sırasıyla küçükleri elde ederiz.

Birinci ve üçüncü satırlar için benzer sütun seçenekleriyle şunu elde ederiz:

İkinci ve üçüncü satırlara birinci ve ikinci, birinci ve üçüncü, ikinci ve üçüncü sütunları eklemeye devam ediyor:

Böylece A matrisinin ikinci dereceden dokuz minörünün tümü bulunur.

Artık matrisin rütbesini belirlemeye geçebiliriz.

Tanım.

Matris sıralaması sıfır olmayan matris minörünün en yüksek derecesidir.

A matrisinin rütbesi Rank(A) olarak gösterilir. Ayrıca Rg(A) veya Rang(A) tanımlarını da görebilirsiniz.

Bir matrisin rütbesinin ve bir matrisin minörünün tanımlarından, sıfır matrisin rütbesinin sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rütbesinin en az bir olduğu sonucuna varabiliriz.

Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma.

Yani bir matrisin rütbesini bulmanın ilk yöntemi şudur: küçük numaralandırma yöntemi. Bu yöntem matrisin rütbesinin belirlenmesine dayanmaktadır.

A mertebesinden bir matrisin rütbesini bulmamız gerekiyor.

Kısaca açıkla algoritma Bu sorunun küçüklerin sayılması yöntemiyle çözümü.

Sıfır olmayan en az bir matris elemanı varsa, matrisin sırası en az bire eşittir (çünkü sıfıra eşit olmayan birinci dereceden bir küçük vardır).

Daha sonra ikinci derecenin küçüklerini yineliyoruz. İkinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi bire eşittir. Sıfır olmayan en az bir ikinci dereceden küçük varsa, üçüncü dereceden küçüklerin numaralandırılmasına geçeriz ve matrisin sırası en az ikiye eşittir.

Benzer şekilde, üçüncü dereceden tüm küçüklerin sıfır olması durumunda matrisin sıralaması ikidir. Sıfır olmayan en az bir üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür ve dördüncü dereceden küçüklerin sayılmasına devam ederiz.

Bir matrisin rütbesinin p ve n'nin en küçüğünü aşamayacağını unutmayın.

Örnek.

Bir matrisin rütbesini bulun .

Çözüm.

Matris sıfırdan farklı olduğundan sıralaması birden az değildir.

İkinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır, dolayısıyla A matrisinin rütbesi en az ikidir. Üçüncü dereceden küçüklerin sayımına geçiyoruz. Hepsi şeyler.

Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir. Bu nedenle matrisin rütbesi ikidir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Küçüklerin saçaklanması yöntemiyle bir matrisin rütbesinin bulunması.

Daha az hesaplama çalışmasıyla sonuç elde etmenize olanak tanıyan bir matrisin rütbesini bulmanın başka yöntemleri de vardır.

Bu yöntemlerden biri saçak küçük yöntemi.

Hadi ilgilenelim sınırdaki küçük kavramı.

Eğer minör Mok'a karşılık gelen matris minöre karşılık gelen matrisi "içeriyorsa", A matrisinin (k+1)'inci sırasındaki küçük M ok'un, A matrisinin k düzeyindeki küçük M'yi çevrelediği söylenir. M .

Başka bir deyişle, kenarlıklı küçük M'ye karşılık gelen matris, kenarlıklı küçük M ok'a karşılık gelen matristen bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek elde edilir.

Örneğin, matrisi düşünün ve ikinci dereceden bir minör alın. Sınırdaki tüm küçükleri yazalım:

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teorem ile doğrulanmaktadır (formülasyonunu kanıt olmadan sunuyoruz).

Teorem.

Eğer p'ye n düzeyindeki bir A matrisinin k'inci dereceden küçüklerini çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k + 1) düzeyindeki tüm küçükleri sıfıra eşittir.

Bu nedenle, bir matrisin rütbesini bulmak için, yeterince sınır olan tüm küçüklerin numaralandırılması gerekli değildir. A mertebesindeki matrisin k'inci dereceden minör sınırındaki küçüklerin sayısı formülle bulunur . A matrisinin k'inci dereceden küçüklerinin sınırındaki küçüklerin sayısının, A matrisinin (k + 1)'inci dereceden küçüklerinin sayısından daha fazla olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, çoğu durumda, küçükleri sınırlama yöntemini kullanmak, tüm küçükleri basitçe numaralandırmaktan daha karlıdır.

Küçüklerin saçaklanması yöntemiyle bir matrisin rütbesini bulmaya devam edelim. Kısaca açıkla algoritma Bu method.

A matrisi sıfırdan farklıysa, A matrisinin sıfırdan farklı herhangi bir elemanını birinci dereceden küçük olarak alırız. Sınırdaki küçükleri düşünüyoruz. Hepsi sıfıra eşitse matrisin rütbesi bire eşittir. Sıfırdan farklı en az bir sınırdaki küçük varsa (sıralaması ikiye eşittir), o zaman sınırdaki küçüklerin değerlendirilmesine geçiyoruz. Hepsi sıfırsa Rank(A) = 2 olur. En az bir sınırdaki küçük sıfır değilse (sıralaması üçe eşittir), o zaman onun sınırdaki küçüklerini dikkate alırız. Ve benzeri. Sonuç olarak, A matrisinin (k + 1). mertebesindeki tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşitse Rank(A) = k veya sıfırdan farklı bir değer varsa Rank(A) = min(p, n) minör sıranın minör sınırındaki minör (min( p, n) – 1) .

Bir örnek kullanarak bir matrisin sıralamasını bulmak için küçükleri sınırlama yöntemini analiz edelim.

Örnek.

Bir matrisin rütbesini bulun sınırdaki küçükler yöntemiyle.

Çözüm.

A matrisinin a 1 1 öğesi sıfırdan farklı olduğundan, onu birinci dereceden küçük olarak alıyoruz. Sıfırdan başka sınırda bir küçük aramaya başlayalım:

Sıfır olmayan sınırda ikinci dereceden bir minör bulunur. Sınırındaki küçükleri sıralayalım (onların şeyler):

İkinci dereceden minörün sınırındaki tüm minörler sıfıra eşittir, dolayısıyla A matrisinin rütbesi ikiye eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Örnek.

Bir matrisin rütbesini bulun sınırdaki küçüklerin yardımıyla.

Çözüm.

Birinci dereceden sıfır olmayan bir küçük olarak, A matrisinin a 1 1 = 1 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden minör saçaklamak sıfıra eşit değildir. Bu küçük, üçüncü dereceden bir küçükle sınırlanmıştır
. Sıfıra eşit olmadığından ve onu çevreleyen küçük bir sınır olmadığından, A matrisinin rütbesi üçe eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 3 .

Matrisin temel dönüşümlerini kullanarak sıralamayı bulma (Gauss yöntemiyle).

Bir matrisin rütbesini bulmanın başka bir yolunu düşünün.

Aşağıdaki matris dönüşümlerine temel denir:

• matrisin satırlarının (veya sütunlarının) permütasyonu;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerinin sıfırdan farklı rastgele bir k sayısıyla çarpılması;
• herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının rastgele bir k sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

B matrisine A matrisinin eşdeğeri denir, eğer B, sonlu sayıda temel dönüşümün yardımıyla A'dan elde ediliyorsa. Matrislerin denkliği "~" simgesiyle gösterilir yani A ~ B şeklinde yazılır.

Temel matris dönüşümlerini kullanarak bir matrisin sırasını bulmak şu ifadeye dayanır: eğer B matrisi, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak A matrisinden elde ediliyorsa, Rank(A) = Rank(B) .

Bu ifadenin geçerliliği matris determinantının özelliklerinden kaynaklanmaktadır:

• Bir matrisin satırları (veya sütunları) değiştirildiğinde determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırların (sütunların) değiştirilmesi sırasında sıfıra eşit kalır.
• Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarını sıfırdan farklı rastgele bir k sayısıyla çarparken, elde edilen matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir. Orijinal matrisin determinantı sıfıra eşitse, herhangi bir satır veya sütunun tüm elemanlarını k sayısıyla çarptıktan sonra ortaya çıkan matrisin determinantı da sıfıra eşit olacaktır.
• Matrisin belirli bir satırının (sütununun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının belirli bir k sayısıyla çarpılması, onun determinantını değiştirmez.

Temel dönüşüm yönteminin özü Rütbesini bulmamız gereken matrisi, temel dönüşümleri kullanarak bir yamuğa (belirli bir durumda üst üçgene) getirmektir.

Bu ne için? Bu tür matrislerin rütbesini bulmak çok kolaydır. En az bir boş olmayan öğe içeren satır sayısına eşittir. Temel dönüşümler sırasında matrisin sıralaması değişmediğinden, ortaya çıkan değer orijinal matrisin sıralaması olacaktır.

Dönüşümlerden sonra elde edilmesi gereken matrislerin örneklerini veriyoruz. Formları matrisin sırasına bağlıdır.

Bu resimler A matrisini dönüştüreceğimiz şablonlardır.

Hadi tarif edelim yöntem algoritması.

Sıfır olmayan bir A matrisinin (p, n'ye eşit olabilir) rütbesini bulmamız gerektiğini varsayalım.

Bu yüzden, . A matrisinin ilk satırının tüm elemanlarını ile çarpalım. Bu durumda eşdeğer bir matris elde ederiz, onu A(1) olarak gösteririz:

Ortaya çıkan A (1) matrisinin ikinci satırının elemanlarına, ilk satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz. Üçüncü satırın elemanlarına, ilk satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleyin. Ve böylece p'inci satıra kadar devam ediyoruz. Eşdeğer bir matris elde ederiz, bunu A (2) olarak belirtin:

Ortaya çıkan matrisin ikinciden p'ye kadar sıralar halinde bulunan tüm elemanları sıfıra eşitse, bu matrisin sıralaması bire eşittir ve sonuç olarak orijinal matrisin sıralaması ​bire eşittir.

İkinciden p'ye kadar olan satırlarda sıfır olmayan en az bir öğe varsa dönüşümler yapmaya devam ediyoruz. Üstelik, tamamen aynı şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca A matrisinin şekilde (2) işaretlenen kısmı ile hareket ediyoruz.

Eğer öyleyse, A (2) matrisinin satırlarını ve (veya) sütunlarını "yeni" elemanın sıfırdan farklı olacağı şekilde yeniden düzenleriz.

Aşağıdaki durumlarda r sayısına A matrisinin rütbesi denir:
1) A matrisi r düzeyinde sıfır olmayan bir minör içerir;
2) (r + 1) mertebesinden ve varsa daha yüksek olan tüm küçükler sıfıra eşittir.
Aksi takdirde, bir matrisin rütbesi sıfır olmayan bir minörün en yüksek mertebesidir.
Tanımlar: rangA, r A veya r.
Tanımdan r'nin pozitif bir tam sayı olduğu sonucu çıkar. Boş bir matris için sıranın sıfır olduğu kabul edilir.

Hizmet ataması. Çevrimiçi hesap makinesi bulmak için tasarlanmıştır matris sırası. Çözüm Word ve Excel formatında kaydedilir. çözüm örneğine bakın.

Talimat. Matrisin boyutunu seçin ve İleri'ye tıklayın.

Tanım . R dereceli bir matris verilsin. Sıfır dışında ve r mertebesinden küçük olan herhangi bir matrise temel, bileşenlerinin satır ve sütunlarına ise temel satır ve sütunlar denir.
Bu tanıma göre, A matrisinin birkaç temel minörü olabilir.

E birim matrisinin sırası n'dir (satır sayısı).

Örnek 1 . İki matris verildiğinde, ve onların reşit olmayanları , . Bunlardan hangisi temel alınabilir?
Çözüm. Küçük M 1 =0 olduğundan herhangi bir matris için temel olamaz. Minör M 2 =-9≠0 ve mertebesi 2 olduğundan, dereceleri 2'ye eşit olmak koşuluyla A veya / ve B'nin temel matrisleri olarak alınabilir. detB=0 olduğundan (iki orantılı sütunlu bir determinant olarak), rangB=2 ve M 2, B matrisinin temel minörü olarak alınabilir. A matrisinin rütbesi, detA=-27≠ olması nedeniyle 3'tür. 0 ve dolayısıyla bu matrisin küçük bazının sırası 3 olmalıdır, yani M2, A matrisi için bir taban değildir. A matrisinin, A matrisinin determinantına eşit benzersiz bir minör tabanına sahip olduğuna dikkat edin.

Teorem (küçük temelinde). Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir birleşimidir.
Teoremin sonuçları.

1. Rankı r olan bir matrisin herhangi bir (r+1) sütunu (satırı) doğrusal olarak bağımlıdır.
2. Bir matrisin sıralaması satır (sütun) sayısından azsa, satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır. RangA, satır (sütun) sayısına eşitse, satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.
3. Bir A matrisinin determinantı ancak ve ancak satırlarının (sütunlarının) doğrusal olarak bağımlı olması durumunda sıfıra eşittir.
4. Bir matrisin bir satırına (sütununa) sıfırdan başka bir sayıyla çarpılan başka bir satır (sütun) eklenirse matrisin rütbesi değişmeyecektir.
5. Diğer satırların (sütunların) doğrusal birleşimi olan matristeki bir satırın (sütun) üzerini çizerseniz, matrisin sırası değişmeyecektir.
6. Bir matrisin sırası, doğrusal olarak bağımsız satırlarının (sütunlarının) maksimum sayısına eşittir.
7. Maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, maksimum doğrusal bağımsız sütun sayısıyla aynıdır.

Örnek 2. Bir matrisin rütbesini bulun .
Çözüm. Bir matrisin rütbesinin tanımına dayanarak, sıfırdan farklı en yüksek mertebeden bir minör arayacağız. Öncelikle matrisi daha basit bir forma dönüştürüyoruz. Bunu yapmak için matrisin ilk satırını (-2) ile çarpın ve ikinciyi ekleyin, ardından (-1) ile çarpın ve üçüncüyü ekleyin.