Bir vektör sisteminin temelinin tamamlayıcısı. Bir vektör uzayı temelinin varlığı

Golovizin V.V. Cebir ve Geometri üzerine dersler. 5

Cebir ve Geometri üzerine dersler. 2. yarıyıl.

Ders 23. Bir vektör uzayının temeli.

Özet: sıfır olmayan vektörlerden oluşan bir sistemin doğrusal bağımlılığı kriteri, bir vektörler sisteminin alt sistemleri, vektörler üreten sistem, minimal üreten sistem ve doğrusal olarak bağımsız maksimum sistem, bir vektör uzayının temeli ve onun 4 eşdeğer tanımı, bir vektör uzayının boyutu vektör uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı ve tabanının varlığı, tabanın tamamlayıcısı.

madde 1. Sıfır olmayan vektörlerden oluşan bir sistemin doğrusal bağımlılığı için kriter.

Teorem. Sıfır olmayan vektörlerden oluşan bir sistem, ancak ve ancak sistemin önceki vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilen bir vektörünün olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Sistemin sıfırdan farklı vektörlerden oluşmasına ve doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. Tek vektörlü bir sistem düşünün:
. Çünkü
, daha sonra sistem
doğrusal bağımsızdır. Ona bir vektör ekleyin . Ortaya çıkan sistem ise
doğrusal bağımsızsa, buna aşağıdaki vektörü ekleriz: . Vesaire. doğrusal bağımlı bir sistem elde edene kadar devam edin
, Nerede . Kesinlikle böyle bir sayı olacak çünkü. kaynak sistemi
varsayım gereği doğrusal olarak bağımlıdır.

Yani inşaat yoluyla doğrusal bağımlı bir sistem elde ettik
ayrıca sistem
doğrusal bağımsızdır.

Sistem
boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder, yani öyle sıfır olmayan bir skaler kümesi var ki
, Ne

skaler nerede
.

Aslında aksi takdirde
o zaman sıfır vektörünün doğrusal bağımsız bir sistem tarafından önemsiz olmayan bir temsiline sahip olurduk
ki bu imkansızdır.

Son eşitliği sıfır olmayan bir skalerle bölmek
, ondan bir vektör ifade edebiliriz :

Tersi açık olduğundan teorem kanıtlanmıştır.

madde 2. Bir vektör uzayının vektörler sisteminin alt sistemleri.

Tanım. Vektör sisteminin boş olmayan herhangi bir alt kümesi
verilen vektör sisteminin bir alt sistemi denir.

Örnek. İzin vermek
10 vektörden oluşan bir sistemdir. O halde vektör sistemleri:
;
,
bu vektörler sisteminin alt sistemleridir.

Teorem. Bir vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlı bir alt sistem içeriyorsa, o zaman vektörler sisteminin kendisi de doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Bir vektör sistemi verilsin
ve kesinlik açısından alt sistemin
, Nerede
doğrusal bağımlıdır. Daha sonra boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder:

katsayılar arasında nerede
sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır. Ancak aşağıdaki eşitlik boş vektörün önemsiz olmayan bir temsilidir:

tanım gereği sistemin doğrusal bağımlılığını takip eder
, vesaire.

Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Doğrusal olarak bağımsız bir vektör sisteminin herhangi bir alt sistemi doğrusal olarak bağımsızdır.

Kanıt. Tam tersini varsayalım. Verilen sistemin bazı alt sistemlerinin doğrusal bağımlı olmasına izin verin. O halde bu sistemin doğrusal bağımlılığı, koşulla çelişen teoremden kaynaklanır.

Sonuç kanıtlandı.

madde 3. Aritmetik vektör sütun uzayının sütun sistemleri.

Önceki bölümün sonuçlarından özel bir durum olarak aşağıdaki teorem takip etmektedir.

1) Bir sütun sistemi, ancak ve ancak sistemde, verilen sistemin diğer sütunları cinsinden doğrusal olarak ifade edilen en az bir sütun varsa doğrusal olarak bağımlıdır.

2) Bir sütun sistemi, ancak ve ancak sistemin hiçbir sütunu verilen sistemin diğer sütunları cinsinden doğrusal olarak ifade edilmiyorsa doğrusal olarak bağımsızdır.

3) Sıfır sütununu içeren sütun sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

4) İki eşit sütun içeren bir sütun sistemi doğrusal bağımlıdır.

5) İki orantılı sütun içeren bir sütun sistemi doğrusal bağımlıdır.

6) Doğrusal olarak bağımlı bir alt sistem içeren bir sütun sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

7) Doğrusal olarak bağımsız bir sütun sisteminin herhangi bir alt sistemi doğrusal olarak bağımsızdır.

Burada açıklığa kavuşturulması gereken tek şey orantısal sütun kavramıdır.

Tanım. Sıfır olmayan iki sütun
bir skaler varsa orantılı olarak adlandırılır
, öyle ki
veya

,
, …,
.

Örnek. Sistem
İlk iki sütunu orantılı olduğundan doğrusal bağımlıdır.

Yorum. Sütunlarından (satırlarından) oluşan sistem doğrusal olarak bağımlıysa determinantın sıfıra eşit olduğunu zaten biliyoruz (bkz. Ders 21). Daha sonra bunun tersinin de doğru olduğu kanıtlanacaktır: Eğer determinant sıfıra eşitse, bu durumda sütun sistemi ve satır sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

madde 4. Bir vektör uzayının temeli.

Tanım. Vektör sistemi
K alanı üzerindeki vektör uzayına, eğer vektörlerinden herhangi birini temsil ediyorsa, bu vektör uzayının vektörlerinin üreten (üreten) sistemi denir; eğer böyle bir skaler kümesi varsa
, Ne .

Tanım. Bir vektör uzayındaki vektörlerden oluşan bir sisteme, sistemden herhangi bir vektör çıkarıldığında üretici sistem olmaktan çıkıyorsa, minimal üretici sistem adı verilir.

Yorum. Tanımdan hemen şu sonuç çıkar ki, eğer vektörleri üreten sistem minimum değilse, o zaman sistemin en az bir vektörü vardır ve bu vektörün sistemden çıkarılması üzerine, geri kalan vektörler sistemi hala üretiliyor olacaktır.

Lemma (Doğrusal bağımlı bir üretim sisteminde.)

Doğrusal olarak bağımlı ve üreten bir vektör sisteminde, vektörlerden biri diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, o zaman sistemden çıkarılabilir ve geri kalan vektör sistemi oluşturulacaktır.

Kanıt. Sisteme izin ver
doğrusal olarak bağımlı ve üreten ve vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin.

Kesinlik ve gösterimin basitliği için şunu varsayıyoruz:

Çünkü
bir üretim sistemidir, o halde
böyle bir skaler kümesi var
, Ne

Dolayısıyla elde ederiz

onlar. herhangi bir x vektörü sistemin vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir
yani bu bir üretim sistemi vb. olduğu anlamına gelir.

Sonuç 1. Doğrusal olarak bağımlı ve üreten bir vektör sistemi minimum değildir.

Kanıt. Lema'dan ve vektörlerin minimal üreten sisteminin tanımından hemen sonra gelir.

Sonuç 2. Minimal vektör üreten sistem doğrusal olarak bağımsızdır.

Kanıt. Aksini varsayarsak, Sonuç 1 ile çelişkiye varırız.

Tanım. Bir vektör uzayındaki vektörlerden oluşan bir sisteme, bu sisteme herhangi bir vektör eklendiğinde doğrusal olarak bağımlı hale geliyorsa, maksimum doğrusal bağımsız sistem denir.

Yorum. Tanımdan hemen şunu takip eder: Sistem doğrusal olarak bağımsızsa ancak maksimum değilse, o zaman bir vektör vardır, sisteme eklendiğinde doğrusal olarak bağımsız bir sistem elde edilir.

Tanım. Bir K alanı üzerindeki bir V vektör uzayının temeli, vektör uzayının herhangi bir vektörünü benzersiz bir şekilde temsil eden vektörlerinin sıralı bir sistemidir.

Başka bir deyişle vektörler sistemi
Bir K alanı üzerindeki V vektör uzayına taban denir, eğer
yalnızca bir skaler kümesi var
, öyle ki .

Teorem. (Bir bazın dört eşdeğer tanımı hakkında.)

İzin vermek
bir vektör uzayındaki sıralı bir vektörler sistemidir. O zaman aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

1. Sistem
temelidir.

2. Sistem
doğrusal olarak bağımsız ve üreten bir vektör sistemidir.

3. Sistem
maksimum doğrusal bağımsız vektör sistemidir.

4. Sistem
vektörlerin minimal üreten sistemidir.

Kanıt.

Vektörler sistemi olsun
temelidir. Bir tabanın tanımından hemen, bu vektör sisteminin bir vektör uzayının vektörlerini üreten bir sistem olduğu sonucu çıkar, bu nedenle yalnızca onun doğrusal bağımsızlığını kanıtlamamız gerekir.

Verilen vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Ayrıca sıfır vektörünün iki temsili vardır: önemsiz ve önemsiz olmayan, bu da tabanın tanımıyla çelişir.

Vektörler sistemi olsun
doğrusal olarak bağımsızdır ve üreticidir. Bu doğrusal bağımsız sistemin maksimum olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Tam tersini varsayalım. Verilen doğrusal bağımsız vektör sisteminin maksimum olmamasına izin verin. O halde, yukarıdaki açıklama sayesinde bu sisteme eklenebilecek bir vektör vardır ve ortaya çıkan vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsız kalır. Ancak diğer yandan sisteme eklenen vektör, üretici bir sistem olması nedeniyle orijinal vektörler sisteminin doğrusal bir birleşimi olarak temsil edilebilir.

Ve yeni, genişletilmiş vektör sisteminde, vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini anlıyoruz. Böyle bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır. Bir çelişki yaşadık.

Vektörler sistemi olsun
vektör uzayı maksimum doğrusal bağımsızdır. Bunun minimal üreten bir sistem olduğunu kanıtlayalım.

a) Öncelikle bunun bir üretim sistemi olduğunu kanıtlıyoruz.

Doğrusal bağımsızlık nedeniyle sistemin
boş bir vektör içermez. Sıfırdan farklı keyfi bir vektör olsun. Bunu verilen vektör sistemine ekleyelim:
. Sıfır olmayan vektörlerden oluşan sonuçtaki sistem doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü orijinal vektör sistemi maksimum doğrusal bağımsızdır. Yani bu sistemde öncekiler üzerinden doğrusal olarak ifade edilen bir vektör var. Orijinal doğrusal bağımsız sistemde
vektörlerin hiçbiri öncekiler cinsinden ifade edilemez, bu nedenle yalnızca x vektörü öncekiler cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Böylece sistem
sıfır olmayan herhangi bir vektörü temsil eder. Geriye bu sistemin açıkça sıfır vektörünü de temsil ettiğine dikkat etmek kalıyor; sistem
üretkendir.

b) Şimdi minimalliğini kanıtlayalım. Tam tersini varsayalım. Daha sonra sistemin vektörlerinden biri sistemden çıkarılabilir ve geri kalan vektör sistemi hala üreten bir sistem olacaktır ve bu nedenle sistemden çıkarılan vektör de sistemin geri kalan vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir, bu, orijinal vektör sisteminin doğrusal bağımsızlığıyla çelişir.

Vektörler sistemi olsun
vektör uzayı minimal üreten bir sistemdir. O zaman bir vektör uzayının herhangi bir vektörünü temsil eder. Temsilin benzersizliğini kanıtlamamız gerekiyor.

Tam tersini varsayalım. Bazı x vektörlerinin verilen sistemin vektörleri cinsinden iki farklı şekilde doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

Diğerini birinden çıkardığımızda şunu elde ederiz:

Sonuç 2'ye göre sistem
doğrusal olarak bağımsızdır, yani boş vektörü yalnızca önemsiz bir şekilde temsil eder, dolayısıyla bu doğrusal kombinasyonun tüm katsayıları sıfır olmalıdır:

Böylece, herhangi bir x vektörü, verilen sistemin vektörleri cinsinden benzersiz bir şekilde doğrusal olarak ifade edilir, q.e.d.

Teorem kanıtlandı.

madde 5. Bir vektör uzayının boyutu.

Teorem 1. (Doğrusal olarak bağımsız ve vektör üreten sistemlerdeki vektörlerin sayısı hakkında.) Doğrusal olarak bağımsız herhangi bir vektör sistemindeki vektörlerin sayısı, aynı vektör uzayına sahip herhangi bir vektör üreten sistemdeki vektörlerin sayısını aşmaz.

Kanıt. İzin vermek
keyfi doğrusal bağımsız vektör sistemi,
keyfi bir üretim sistemidir. Bunu varsayalım.

Çünkü
üreten sistem ise, vektör de dahil olmak üzere uzayın herhangi bir vektörünü temsil eder. . Bu sisteme ekleyelim. Doğrusal olarak bağımlı ve üreten bir vektör sistemi elde ediyoruz:
. O zaman bir vektör var
Bu sistemin önceki vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilen ve lemma sayesinde sistemden çıkarılabilen bu sistemin geri kalan vektör sistemi hala üretiliyor olacaktır.

. Çünkü bu sistem üretiyor, o zaman bir vektörü temsil ediyor
ve bunu bu sisteme ekleyerek yine doğrusal olarak bağımlı ve üreten bir sistem elde ederiz: .

Sonra her şey tekrarlanır. Bu sistemde öncekilerle doğrusal olarak ifade edilen bir vektör vardır ve vektör olamaz. , Çünkü kaynak sistemi
doğrusal bağımsız ve vektör bir vektör cinsinden doğrusal olarak ifade edilmez
. Yani vektörlerden yalnızca biri olabilir
. Sistemden çıkardıktan sonra yeniden numaralandırdıktan sonra üretici sistem olacak sistemi elde ederiz. Bu süreci sürdürerek, adımlardan sonra vektörlerin üreten bir sistemini elde ederiz:
, Çünkü tahminimize göre. Bu, bu sistemin bir üreteç olarak aynı zamanda vektörü de temsil ettiği anlamına gelir; bu da sistemin doğrusal bağımsızlığı koşuluyla çelişir.
.

Teorem 1 kanıtlandı.

Teorem 2. (Bir tabandaki vektörlerin sayısı hakkında.) Bir vektör uzayının herhangi bir tabanı aynı sayıda vektör içerir.

Kanıt. İzin vermek
Ve
iki keyfi vektör uzay tabanıdır. Herhangi bir temel, doğrusal olarak bağımsız ve üreten bir vektör sistemidir.

Çünkü birinci sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve ikincisi Teorem 1'e göre şunu üretir:
.

Benzer şekilde, ikinci sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve birincisi üretmektedir, o halde . Dolayısıyla şu sonuç çıkıyor
, vesaire.

Teorem 2 kanıtlandı.

Bu teorem aşağıdaki tanımı sunmamızı sağlar.

Tanım. Bir K alanı üzerindeki V vektör uzayının boyutu, tabanındaki vektörlerin sayısıdır.

Tanım:
veya
.

Madde 6. Bir vektör uzayı temelinin varlığı.

Tanım. Bir vektör uzayı, sonlu bir vektörler üretme sistemine sahipse, sonlu boyutlu olarak adlandırılır.

Yorum. Yalnızca sonlu boyutlu vektör uzaylarını inceleyeceğiz. Sonlu boyutlu bir vektör uzayının temeli hakkında zaten pek çok şey bilmemize rağmen, böyle bir tabanın var olduğundan hiç emin değiliz. Daha önce elde edilen tüm özellikler, temelin mevcut olduğu varsayımıyla elde edilmiştir. Aşağıdaki teorem bu konuyu kapatmaktadır.

Teorem. (Sonlu boyutlu bir vektör uzayının bir tabanının varlığı üzerine.) Her sonlu boyutlu vektör uzayının bir tabanı vardır.

Kanıt. Varsayıma göre, belirli bir sonlu boyutlu vektör uzayı V'nin sonlu üreten bir vektör sistemi vardır:
.

Hemen şunu not ediyoruz, eğer vektörlerin üretim sistemi boşsa, yani. herhangi bir vektör içermiyorsa tanım gereği verilen vektör uzayının boş olduğu varsayılır, yani.
. Bu durumda tanım gereği sıfır vektör uzayının tabanının boş bir temel olduğu ve boyutunun da tanım gereği sıfır olduğu varsayılır.

Ayrıca sıfırdan farklı bir vektör uzayı olsun ve
Sıfır olmayan vektörlerin sonlu üreten sistemi. Eğer doğrusal bağımsızsa her şey kanıtlanmıştır çünkü Lineer bağımsız ve bir vektör uzayının vektörlerini üreten sistem bunun temelini oluşturur. Verilen vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı ise, bu sistemin vektörlerinden biri geri kalanlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilir ve Lemma Bölüm 5'e göre sistemden ve geri kalan vektörler sisteminden çıkarılabilir. , hâlâ üretiliyor olacak.

Geriye kalan vektör sistemini yeniden numaralandırıyoruz:
. Daha fazla akıl yürütme tekrarlanır. Eğer bu sistem doğrusal olarak bağımsızsa bu bir temeldir. Değilse, o zaman yine bu sistemde kaldırılabilecek bir vektör vardır ve geri kalan sistem üretilecektir.

Bu işlemi tekrarlayarak boş bir vektör sistemiyle kalamayız çünkü En uç durumda, doğrusal olarak bağımsız ve dolayısıyla bir temel olan, sıfır olmayan bir vektörden oluşan bir üretici sistem elde edeceğiz. Bu nedenle, bir aşamada doğrusal olarak bağımsız ve üreten bir vektör sistemine geliyoruz, yani. temele.

Teorem kanıtlandı.

Lemma. İzin vermek . Daha sonra:

1. Vektörden gelen herhangi bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

2. Doğrusal olarak bağımsız herhangi bir vektör sistemi bunun temelini oluşturur.

Kanıt. 1). Lemmanın koşuluna göre tabandaki vektörlerin sayısı eşit ve taban üreten bir sistem olduğundan doğrusal bağımsız herhangi bir sistemdeki vektörlerin sayısı 'yi geçemez.

2). Az önce kanıtlanmış olandan da anlaşılacağı gibi, bu vektör uzayındaki herhangi bir doğrusal bağımsız vektör sistemi maksimumdur ve dolayısıyla bir temeldir.

Lemma kanıtlanmıştır.

Teorem (Bir tabana ek olarak.) Bir vektör uzayının doğrusal olarak bağımsız herhangi bir vektör sistemi, bu uzayın bir tabanına tamamlanabilir.

Kanıt. n boyutunda bir vektör uzayı olsun ve
vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız bir sistemi. Daha sonra
.

Eğer
, o zaman önceki lemmaya göre bu sistem bir temeldir ve kanıtlanacak hiçbir şey yoktur.

Eğer
o zaman bu sistem maksimum doğrusal bağımsız bir sistem değildir (aksi takdirde bir temel olacaktır ki bu imkansızdır çünkü ). Bu nedenle bir vektör var
öyle ki sistem
doğrusal bağımsızdır.

Eğer şimdi ise sistem
temelidir.

Eğer
, hepsi tekrarlanıyor. Sistemi yenileme süreci süresiz olarak devam edemez çünkü. her adımda uzayda doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemi elde ederiz ve önceki lemmaya göre böyle bir sistemdeki vektörlerin sayısı uzayın boyutlarını aşamaz. Sonuç olarak, bir aşamada verilen alanın temeline geleceğiz.

Teorem kanıtlandı.

Madde 7. Örnek.

1. K keyfi bir alan olsun, yükseklik sütunlarından oluşan bir aritmetik vektör uzayı olsun. Daha sonra . Bunu kanıtlamak için bu uzayın sütun sistemini düşünün.

Sonlu bir vektör üretme sistemine sahipse sonlu boyutlu olarak adlandırılır.

Yorum. Yalnızca sonlu boyutlu vektör uzaylarını inceleyeceğiz. Sonlu boyutlu vektör uzayının temeli hakkında zaten pek çok şey biliyor olmamıza rağmen, böyle bir uzayın var olduğundan bile emin değiliz. Daha önce elde edilenlerin tümü, temelin mevcut olduğu varsayımıyla elde edilmiştir. Bir sonraki soru bu soruyu kapatıyor.

Teorem. (Sonlu boyutlu bir vektör uzayı için bir temelin varlığı üzerine.)

Her sonlu boyutlu vektör uzayının bir tabanı vardır.

Kanıt. Varsayıma göre, belirli bir sonlu boyutlu vektör uzayı V:'nin sonlu bir üreten sistemi vardır.

Hemen şunu not ediyoruz, eğer vektörlerin üretim sistemi boşsa, yani. herhangi bir vektör içermiyorsa tanım gereği verilen vektör uzayının boş olduğu varsayılır, yani. . Bu durumda tanım gereği sıfır vektör uzayının tabanının boş bir temel olduğu ve tanım gereği sıfıra eşit olduğu varsayılır.

Eğer bu sistem bağımsızsa her şey kanıtlanmıştır çünkü Lineer bağımsız ve bir vektör uzayının vektörlerini üreten sistem bunun temelini oluşturur.

Verilen vektör sistemi doğrusal bağımlı ise, bu sistemin vektörlerinden biri geri kalanlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilir ve sistemden çıkarılabilir ve geri kalan vektör sistemi hala üretiliyor olacaktır.

Geriye kalan vektör sistemini yeniden numaralandıralım: . Daha fazla akıl yürütme tekrarlanır.

Eğer bu sistem doğrusal olarak bağımsızsa bu bir temeldir. Değilse, o zaman yine bu sistemde kaldırılabilecek bir vektör vardır ve geri kalan sistem üretilecektir.

Teorem kanıtlandı.

Lemma. (N boyutlu bir vektör uzayındaki vektör sistemleri üzerine.)

İzin vermek . Daha sonra:

1. Vektörden gelen herhangi bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

2. Doğrusal olarak bağımsız herhangi bir vektör sistemi bunun temelini oluşturur.

Kanıt. 1). Lemmanın koşuluna göre, tabandaki vektörlerin sayısı eşittir ve taban bir üretici sistemdir, dolayısıyla doğrusal olarak bağımsız herhangi bir sistemdeki vektörlerin sayısı , yani Bir vektör içeren herhangi bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

2). Az önce kanıtlanmış olandan da anlaşılacağı gibi, bu vektör uzayındaki herhangi bir doğrusal bağımsız vektör sistemi maksimumdur ve dolayısıyla bir temeldir.

Lemma kanıtlanmıştır.

Teorem (Bir tabana ek olarak.) Bir vektör uzayının doğrusal olarak bağımsız herhangi bir vektör sistemi, bu uzayın bir tabanına tamamlanabilir.

Kanıt. Boyutu n olan bir vektör uzayı ve onun vektörlerinden oluşan doğrusal bağımsız bir sistem olsun. Daha sonra .

Eğer ise, önceki lemmaya göre bu sistem bir temeldir ve kanıtlanacak hiçbir şey yoktur.

Eğer ise, o zaman bu sistem maksimum bağımsız bir sistem değildir (aksi takdirde bir temel olacaktır ki bu imkânsızdır, çünkü ). Dolayısıyla sistemin öyle bir vektörü vardır ki doğrusal bağımsızdır.

Eğer şimdi ise sistem temelidir.

Eğer öyleyse, her şey tekrarlanır. Sistemi yenileme süreci süresiz olarak devam edemez çünkü. her adımda uzayda doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemi elde ederiz ve önceki lemmaya göre böyle bir sistemdeki vektörlerin sayısı uzayın boyutlarını aşamaz. Sonuç olarak, bir aşamada verilen uzayın tabanına ulaşıyoruz, vb.

Tanım. Temel

yüksekliği n olan sütunların aritmetik vektör uzayına kanonik veya doğal denir.

İzin vermek V alan üzerinde vektör uzayı R, S- vektörler sistemi V.

Tanım 1. Vektör sisteminin temeli S böyle sıralı doğrusal bağımsız bir alt sisteme denir B 1, B 2, ..., B R sistemler S, sistemin herhangi bir vektörü S vektörlerin doğrusal kombinasyonu B 1, B 2, ..., B R.

Tanım 2. Vektör sisteminin sıralaması S sistemin temel vektörlerinin sayısıdır S. Vektör sisteminin sırası gösterilir S sembol R= rütbe S.

Eğer S = ( 0 ), bu durumda sistemin temeli yoktur ve çaldığı varsayılır. S= 0.

örnek 1 Bir vektör sistemi verilsin A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Vektör A 1 , A 2 doğrusal olarak bağımsız oldukları için bu sistemin temelini oluştururlar (bkz. Örnek 3.1) ve A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. Bu vektör sisteminin derecesi ikidir.

Teorem 1(bazlarla ilgili teorem). S, V'den gelen sonlu bir vektör sistemi olsun, S ≠{0 }. O zaman iddialar doğrudur.

1 ° S sisteminin doğrusal olarak bağımsız herhangi bir alt sistemi bir temelde tamamlanabilir.

2 ° S sisteminin bir temeli vardır.

2 ° S sisteminin herhangi iki bazı aynı sayıda vektör içerir, yani sistemin sıralaması bazın seçimine bağlı değildir.

4 ° Eğer R= rütbe S, o zaman herhangi bir r doğrusal bağımsız vektör S sisteminin temelini oluşturur.

5 ° Eğer R= rütbe S, O halde S sisteminin herhangi bir k > r vektörü doğrusal olarak bağımlıdır.

6 ° Herhangi bir vektör A€ S temel vektörler cinsinden benzersiz bir şekilde doğrusal olarak ifade edilir; B 1, B 2, ..., B R, S sisteminin temelidir, o halde

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., AN€P,(1)

Ve bu görüş tek görüş.

5° tabanı sayesinde bu Maksimum doğrusal bağımsız alt sistem sistemler S ve sistemin sıralaması S böyle bir alt sistemdeki vektörlerin sayısı.

Vektör gösterimi A (1) formundaki denir Bir vektörün temel vektörlerde ayrıştırılması ve a1, a2 sayıları , ..., ar denir Vektör koordinatları A bu temelde.

Kanıt. 1° izin ver B 1, B 2, ..., B k- sistemin doğrusal olarak bağımsız alt sistemi S. Sistemin her vektörü ise S Alt sistemimizin vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, tanım gereği sistemin temelidir. S.

Sistemde bir vektör varsa S vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilmeyen B 1, B 2, ..., B k, o zaman bunu şununla belirtiriz: B k+1. Daha sonra sistemler B 1, B 2, ..., B k, B k+1 - doğrusal olarak bağımsız. Sistemin her vektörü ise S Bu alt sistemin vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, tanım gereği sistemin temelidir. S.

Sistemde bir vektör varsa S cinsinden doğrusal olarak ifade edilmeyen B 1, B 2, ..., B k, B k+1, sonra mantığı tekrarlıyoruz. Bu süreci devam ettirerek ya sistemin temeline varırız. S veya doğrusal bağımsız bir sistemdeki vektörlerin sayısını bir artırın. Sistemde olduğundan S Sonlu sayıda vektör varsa, ikinci alternatif süresiz olarak devam edemez ve bir aşamada sistemin temelini elde ederiz. S.

2° Let S sonlu vektör sistemi ve S ≠{0 ). Daha sonra sistemde S bir vektöre sahip olmak B 1 ≠ 0, sistemin doğrusal olarak bağımsız bir alt sistemini oluşturur S. Birinci bölüme göre sistemin temeline takviye yapılabilir. S. Böylece sistem S bir temeli var.

3° Sistemin S iki temeli vardır:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Temelin tanımı gereği, vektör sistemi (2) doğrusal olarak bağımsızdır ve (2) Н S. Ayrıca, bazın tanımı gereği, sistem (2)'nin her vektörü, sistem (3)'ün vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir. Daha sonra iki vektör sistemine ilişkin ana teoreme göre R £ S. Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki S £ R. Bu iki eşitsizlik şunu ifade eder: R = S.

4° Let R= rütbe S, A 1, A 2, ..., A R- doğrusal olarak bağımsız alt sistem S. Sistemlerin temeli olduğunu gösterelim. S. Eğer bu bir temel değilse, o zaman ilk kısımda bir temele eklenebilir ve bir temel elde ederiz. A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T birden fazlasını içeren R

5° ise k vektörler A 1, A 2, ..., A k (k > R) sistemler S doğrusal olarak bağımsızsa, ilk bölümde bu vektörler sistemi bir tabana tamamlanabilir ve bir taban elde ederiz A 1, A 2, ..., A k, A k+1,..., A k+T birden fazlasını içeren R vektörler. Bu, üçüncü bölümde kanıtlananlarla çelişmektedir.

6° Let B 1, B 2, ..., B R sistem temeli S. Bir bazın tanımı gereği, herhangi bir vektör A € S temel vektörlerin doğrusal bir birleşimidir:

A = a1 B 1 + a2 B 2 +...+ar B R.

Böyle bir temsilin benzersizliğini kanıtlayarak, bunun tersini, yani bir temsilin daha olduğunu varsayıyoruz:

A = b1 B 1 + b2 B 2 +...+br B R.

Eşitlikleri terim terim çıkararak şunu buluruz:

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B R.

Temelden beri B 1, B 2, ..., B R doğrusal bağımsız sistem ise tüm katsayılar ai - bi =0; BEN = 1, 2, ..., R. Bu nedenle ai = bi; BEN = 1, 2, ..., R ve benzersizliği kanıtlanmıştır.