Matristeki 2 satır eşitse o zaman. Lineer cebir Matrisler ve determinantlar. Ters matris oluşturmak için algoritma

Kare matris A emir N sayı det ile eşleşebilirsin A(veya | A|, veya ), onu aradı belirleyici , Aşağıdaki şekilde:

Matris belirleyici A onu da ara belirleyici . Sipariş matrisi için determinantı hesaplama kuralı N anlamak ve uygulamak oldukça zordur. Bununla birlikte, alt sıradaki belirleyicilere dayalı olarak yüksek dereceli belirleyicilerin hesaplanmasını gerçekleştirmeyi mümkün kılan yöntemler bilinmektedir. Yöntemlerden biri, determinantı belirli bir dizinin elemanları cinsinden genişletme özelliğine dayanmaktadır (özellik 7). Aynı zamanda, tanıma göre düşük mertebelerin (1, 2, 3) determinantlarını hesaplayabilmenin istendiğini not ediyoruz.

2. dereceden determinantın hesaplanması şema ile gösterilmektedir:

Örnek 4.1. Matrislerin belirleyicilerini bulun

3. dereceden determinantı hesaplarken, kullanmak uygundur üçgen kuralı (veya Sarrus), sembolik olarak şu şekilde yazılabilir:

Örnek 4.2. Matris determinantını hesapla

det A = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Tüm sıraların belirleyicilerinde bulunan belirleyicilerin ana özelliklerini formüle edelim. Bu özelliklerden bazılarını üçüncü dereceden belirleyicileri kullanarak açıklayalım.

özellik 1 ("Satırların ve sütunların eşitliği"). Belirleyici, satırları sütunlarla değiştirilirse değişmez ve bunun tersi de geçerlidir. Başka bir deyişle,

Aşağıda, satırlar ve sütunlar basitçe çağrılacaktır. determinantın satırları .

Özellik 2 . Paralel iki sıra yer değiştirdiğinde determinant işaret değiştirir.

Özellik 3 . İki özdeş satırı olan bir determinant sıfırdır.

Özellik 4 . Determinantın herhangi bir satırının elemanlarının ortak böleni determinantın işaretinden çıkarılabilir.

3. ve 4. özelliklerden şu sonuç çıkar: belirli bir serinin tüm elemanları, paralel bir serinin karşılık gelen elemanları ile orantılıysa, o zaman böyle bir determinant sıfıra eşittir.

Gerçekten mi,

Özellik 5 . Herhangi bir determinant serisinin öğeleri iki terimin toplamıysa, determinant karşılık gelen iki determinantın toplamına ayrıştırılabilir.

Örneğin,

Mülk 6. ("Belirleyicinin temel dönüşümleri"). Bir satırın elemanlarına paralel sıranın karşılık gelen elemanlarını herhangi bir sayı ile çarparsak eklersek determinant değişmez.

Örnek 4.3. Kanıtla

Çözüm: Aslında, 5, 4 ve 3 özelliklerini kullanarak öğreniyoruz

Belirleyicilerin diğer özellikleri, küçük ve cebirsel tümleyen kavramlarıyla bağlantılıdır.

Küçük bazı elementler aij belirleyici N- inci sıra determinant olarak adlandırılır N- 1. sıra, seçilen öğenin bulunduğu kesişme noktasında satır ve sütunun üzeri çizilerek orijinalden elde edilir. belirtilen mij

cebirsel toplama eleman aij determinantı minör olarak adlandırılır, artı işaretiyle alınırsa, toplam ben + jçift sayı ve bu toplam tek ise eksi işareti ile. belirtilen :

Özellik 7 ("Belirli bir dizinin öğeleri açısından belirleyicinin ayrışması"). Determinant, belirli bir serinin elemanlarının ve bunlara karşılık gelen cebirsel tümleyenlerin çarpımlarının toplamına eşittir.

Burada, standart yüksek matematik dersinde determinantları hesaplamak için genellikle kullanılan özellikler belirtilecektir. Bu, gerektiğinde geri kalan bölümlerden bahsedeceğimiz ikincil bir konudur.

Yani, bir kare matris verildiğinde $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( dizi )\sağ)$. Her kare matrisin determinant (veya determinant) adı verilen bir özelliği vardır. Burada bu kavramın özüne girmeyeceğim. Açıklama gerektiriyorsa, lütfen foruma yazın, bu konuya daha ayrıntılı olarak değineceğim.

$A$ matrisinin determinantı $\Delta A$, $|A|$ veya $\det A$ olarak gösterilir. Belirleyici Sıra içindeki satır (sütun) sayısına eşittir.

Belirleyicinin değeri, satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirilirse değişmez, yani. $\Delta A=\Delta A^T$.
göster/gizle

İçindeki satırları şu ilkeye göre sütunlarla değiştirelim: "ilk satır vardı - ilk sütun oldu", "ikinci satır vardı - ikinci sütun oldu":

Ortaya çıkan determinantı hesaplayalım: $\left| \begin(dizi) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(dizi) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Gördüğünüz gibi, determinantın değeri değiştirmeden değişmedi.
Determinantın iki satırını (sütununu) yer değiştirirseniz, determinantın işareti tersine değişir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

$\sol| \begin(dizi) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(dizi) \right|$. İkinci ve üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanması konusundaki 1 numaralı formülü kullanarak değerini bulalım:
$$\sol| \begin(dizi) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(dizi) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Şimdi birinci ve ikinci satırları değiştirelim. Determinantı alın $\left| \begin(dizi) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(dizi) \right|$. Ortaya çıkan determinantı hesaplayalım: $\left| \begin(dizi) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(dizi) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Yani orijinal determinantın değeri (-37) ve satır sırası değiştirilen determinantın değeri $-(-37)=37$ olur. Determinantın işareti tersine değişmiştir.
Bir satırın (sütun) tüm öğelerinin sıfıra eşit olduğu bir determinant, sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

$\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ üçüncü sütunun tüm öğeleri sıfırdır, o zaman determinant sıfırdır, yani $\sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(dizi) \right|=0$.
Belirli bir satırın (sütun) tüm öğelerinin başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerine eşit olduğu bir determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

$\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ ilk satırın tüm elemanları karşılık gelenlere eşittir ikinci sıranın elemanları, o zaman determinant sıfırdır, yani. $\sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(dizi) \right|=0$.
Determinantta bir satırın (sütun) tüm öğeleri başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğeleriyle orantılıysa, böyle bir determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

$\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ ikinci ve üçüncü satırlar orantılıdır, yani $r_3=-3\cdot(r_2)$, o zaman determinant sıfıra eşittir, yani $\sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(dizi) \right|=0$.
Bir satırın (sütun) tüm elemanlarının ortak bir çarpanı varsa, bu çarpan determinantın işaretinden çıkarılabilir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

$\sol| \begin(dizi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(dizi) \sağ|$. İkinci satırın tüm öğelerinin 3'e bölünebileceğini unutmayın:
$$\sol| \begin(dizi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(dizi) \sağ|=\sol| \begin(dizi) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(dizi) \sağ|$$
3 sayısı, ikinci sıradaki tüm elemanların ortak çarpanıdır. Belirleyici işaretin üçlüsünü çıkaralım:
$$ \sol| \begin(dizi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(dizi) \sağ|=\sol| \begin(dizi) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(dizi) \right|= 3\cdot \left| \begin(dizi) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(dizi) \sağ| $$
Belirli bir satırın (sütun) tüm öğelerine, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerini keyfi bir sayı ile çarparak eklersek, determinant değişmez.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

$\sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(dizi) \right|$. İkinci satırın elemanlarına üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarını 5 ile çarparak ekleyelim. Bu işlemi şu şekilde yazın: $r_2+5\cdot(r_3)$. İkinci satır değiştirilecek, satırların geri kalanı değişmeden kalacaktır.
$$ \sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(dizi) \sağ| \begin(dizi) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(dizi)= \left| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (dizi) \sağ|= \sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(dizi) \sağ|. $$
Determinanttaki belirli bir satır (sütun), diğer satırların (sütunlar) doğrusal bir kombinasyonuysa, determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

"Doğrusal kombinasyon" ifadesinin ne anlama geldiğini hemen açıklayacağım. s sıramız (veya sütunumuz) olsun: $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. İfade
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
burada $k_i\in R$, $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ satırlarının (sütunlarının) doğrusal birleşimi olarak adlandırılır.

Örneğin, aşağıdaki determinantı ele alalım:
$$ \sol| \begin(dizi) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(dizi)\sağ| $$
Bu determinantta dördüncü sıra, ilk üç sıranın doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Bu nedenle, söz konusu determinant sıfıra eşittir.
Bir determinantın belirli bir k-inci satırının (k-inci sütunu) her bir elemanı iki terimin toplamına eşitse, o zaman böyle bir determinant, ilki ilk terimlere sahip olan determinantların toplamına eşittir. k'ıncı sıra (k'inci sütun) ve ikinci determinant k'ıncı sıra (k'inci sütun) ikinci terimleri içerir. Bu belirleyicilerin diğer unsurları aynıdır.
Bu özelliğin kullanımına bir örnek: show\hide

$\sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(dizi) \right|$. İkinci sütunun elemanlarını şöyle yazalım: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. O zaman böyle bir determinant, iki determinantın toplamına eşittir:
$$ \sol| \begin(dizi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(dizi) \right|= \left| \begin(dizi) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(dizi) \right|= \left| \begin(dizi) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(dizi) \right|+ \left| \begin(dizi) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(dizi) \sağ| $$
Aynı mertebeden iki kare matrisin ürününün determinantı, bu matrislerin determinantlarının ürününe eşittir, yani. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Bu kuraldan şu formülü elde edebilirsiniz: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
$A$ matrisi tekil değilse (yani determinantı sıfıra eşit değilse), o zaman $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Determinantları hesaplamak için formüller

İkinci ve üçüncü dereceden belirleyiciler için aşağıdaki formüller doğrudur:

\begin(denklem) \Delta A=\left| \begin(dizi) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(dizi) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(denklem) \begin(denklem) \begin(hizalı) & \Delta A=\left| \begin(dizi) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(dizi) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(hizalı) \end(denklem)

Formül (1) ve (2) uygulama örnekleri "İkinci ve üçüncü dereceden belirleyicileri hesaplamak için formüller. Belirleyicileri hesaplama örnekleri" konusundadır.

$A_(n\times n)$ matrisinin determinantı, aşağıdaki formül kullanılarak i'inci satırda genişletilebilir:

\begin(denklem)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(denklem)

Sütunlar için bu formülün bir benzeri de mevcuttur. J'inci sütundaki determinantı genişletme formülü aşağıdaki gibidir:

\begin(denklem)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(denklem)

Formül (3) ve (4) ile ifade edilen kurallar, örneklerle ayrıntılı olarak gösterilmiş ve Bir determinantın sırasını azaltma konusunda açıklanmıştır. Belirleyicinin bir satırda (sütun) ayrıştırılması.

Üst üçgen ve alt üçgen matrislerin determinantlarını hesaplamak için bir formül daha belirtiyoruz (bu terimlerin açıklaması için "Matrisler. Matris türleri. Temel terimler" konusuna bakın). Böyle bir matrisin determinantı, ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Örnekler:

\begin(hizalı) &\left| \begin(dizi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(dizi) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(dizi) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(dizi) \ sağ|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(hizalı)

Bir kare matrisin ana sayısal özelliği, determinantıdır. İkinci dereceden bir kare matris düşünün

İkinci mertebenin determinantı veya determinantı aşağıdaki kurala göre hesaplanan sayıdır.

Örneğin,

Şimdi üçüncü dereceden bir kare matrisi ele alalım.

Üçüncü dereceden bir determinant, aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir sayıdır.

Üçüncü dereceden determinantı belirlemek için ifadelerde yer alan terimlerin kombinasyonunu ezberlemek için genellikle kullanırlar. Sarrus kuralı: sağda artı işareti bulunan üç terimden ilki matrisin ana köşegenindeki elemanların çarpımı, diğer ikisi ise bu köşegene paralel olan elemanların çarpımıdır. matrisin karşı köşesindeki eleman.

Eksi işaretiyle giren son üç terim, yalnızca ikincil köşegene göre benzer şekilde tanımlanır.

Örnek:

Matris belirleyicilerinin temel özellikleri

1. Matris transpoze edildiğinde determinantın değeri değişmez.

2. Matrisin satırlarını veya sütunlarını yeniden düzenlerken, determinant mutlak değeri korurken yalnızca işareti değiştirir.

3. Orantılı satırları veya sütunları içeren determinant sıfıra eşittir.

4. Bir satır veya sütunun elemanlarının ortak çarpanı, determinantın işaretinden çıkarılabilir.

5. Bir satır veya sütunun tüm öğeleri sıfıra eşitse, o zaman determinantın kendisi sıfıra eşittir.

6. Belirleyicinin ayrı bir satırının veya sütununun öğelerine, başka bir satır veya sütunun öğelerini keyfi bir dejenere olmayan faktörle çarparak eklersek, determinantın değeri değişmeyecektir.

Küçük matris, bir kare matristen aynı sayıda sütun ve satır silinerek elde edilen determinanttır.

Matristen oluşturulabilecek yukarıdaki mertebeden tüm minörler sıfıra eşitse ve mertebeden minörlerden en az biri sıfırdan farklıysa, bu sayıya ne ad verilir? rütbe bu matris.

cebirsel toplama mertebenin determinantının elemanı, kesişim noktasında artı işaretiyle alınan bir eleman bulunan ilgili satır ve sütunun silinmesiyle elde edilen mertebenin küçüğünü arayacağız, eğer indekslerin toplamı eşitse çift sayı ve aksi takdirde eksi işareti ile.

Böylece

karşılık gelen küçük sipariş nerede.

Bir satır veya sütunun elemanları üzerinde ayrıştırarak bir matrisin determinantını hesaplama

Matris determinantı, matrisin herhangi bir satırının (herhangi bir sütununun) öğelerinin çarpımlarının ve bu satırın (bu sütunun) öğelerinin karşılık gelen cebirsel tümleyenlerinin toplamına eşittir. Bir matrisin determinantını bu şekilde hesaplarken, aşağıdaki kurala uyulmalıdır: en fazla sayıda sıfır öğeye sahip satır veya sütunu seçin. Bu teknik, hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltabilir.

Örnek: .

Bu determinantı hesaplarken, onu ilk sütunun elemanlarına göre genişletme yöntemini kullandık. Yukarıdaki formülden de görülebileceği gibi, ikinci dereceden determinantların sonuncusunu hesaplamaya gerek yoktur, çünkü sıfırla çarpar.

Ters Matris Hesaplaması

Matris denklemlerini çözerken, ters matris yaygın olarak kullanılır. Bir dereceye kadar, matris cebirinde açık bir biçimde bulunmayan bölme işleminin yerini alır.

Aynı mertebeden, çarpımı kimlik matrisini veren kare matrislere karşılıklı veya ters denir. Ters matris gösterilir ve bunun için doğrudur

Ters matrisi yalnızca böyle bir matris için hesaplayabilirsiniz.

Ters matrisi hesaplamak için klasik algoritma

1. Matrise devrik matrisi yazın.

2. Matrisin her bir elemanını, bu elemanın bulunduğu kesişme noktasındaki satır ve sütunun silinmesi sonucunda elde edilen determinant ile değiştirin.

3. Bu determinantın yanında, eleman indislerinin toplamı çift ise artı işareti, aksi halde eksi işareti bulunur.

4. Elde edilen matrisi matris determinantına bölün.

- Kuşu kesin ölüme bırakın!
Özgürlük onu okşasın!
Ve gemi hareket ediyor ve reaktör gümbürdüyor...
- Pash, inatçı mısın?

8. sınıftan önce cebiri sevmediğimi hatırlıyorum. Hiç hoşuma gitmedi. Beni kızdırdı. Çünkü hiçbir şey anlamadım.

Ve sonra her şey değişti çünkü bir çipi kestim:

Genel olarak matematikte (ve özel olarak cebirde) her şey yetkin ve tutarlı bir tanımlar sistemine dayanır. Tanımları biliyorsunuz, özlerini anlıyorsunuz - gerisini anlamak zor olmayacak.

Bugünün dersinin konusu bu. Matrisler, determinantlar ve bunların tüm özellikleriyle ilk ve son olarak ilgileneceğiniz için ilgili birkaç konuyu ve tanımı ayrıntılı olarak ele alacağız.

Determinantlar, matris cebirinde merkezi bir kavramdır. Kısaltılmış çarpma formülleri gibi, ileri matematik kursunuz boyunca sizi rahatsız edecekler. O yüzden iyice okuyor, izliyor ve anlıyoruz. :)

Ve en samimi olanla başlayacağız - matris nedir? Ve onunla nasıl çalışılacağı.

İndekslerin matriste doğru yerleşimi

Bir matris sadece sayılarla dolu bir tablodur. Neo burada değil.

Bir matrisin temel özelliklerinden biri boyutudur, yani. içerdiği satır ve sütun sayısıdır. Bir $A$ matrisinin, $m$ satırı ve $n$ sütunu varsa, genellikle $\left[ m\times n \right]$ boyutuna sahip olduğu söylenir. Bunu şu şekilde yazın:

Veya bunun gibi:

Başka atamalar da var - hepsi ders kitabının öğretim görevlisi / seminer / yazarının tercihlerine bağlı. Ancak her durumda, tüm bu $\left[ m\times n \right]$ ve $((a)_(ij))$ ile aynı sorun ortaya çıkar:

Hangi indeks ne yapar? Önce satır numarası, sonra sütun numarası? Ya da tam tersi?

Dersleri ve ders kitaplarını okurken, cevap açık görünecektir. Ancak sınavda önünüzde sadece bir görev olan bir kağıt varken endişelenebilir ve bir anda kafanız karışabilir.

Öyleyse bu konuyu bir kez ve herkes için ele alalım. İlk olarak, okul matematik kursundaki olağan koordinat sistemini hatırlayalım:

Uçakta bir koordinat sisteminin tanıtılması

Onu hatırla? $x$ ve $y$ eksenlerinin bir başlangıç noktasına (noktası $O=\left(0;0 \right)$) sahiptir ve düzlemdeki her nokta benzersiz bir şekilde koordinatlarla belirlenir: $A=\left(1 ;2 \ sağ)$, $B=\left(3;1 \sağ)$, vb.

Ve şimdi bu yapıyı alıp matrisin yanına koyalım ki orijin sol üst köşede olsun. Neden orada? Evet, çünkü bir kitabı açarken sayfanın sol üst köşesinden okumaya başlıyoruz - bunu hatırlamak her zamankinden daha kolay.

Ama eksenleri nereye yönlendirmeli? Tüm sanal "sayfamız" bu eksenler tarafından kapsanacak şekilde onları yönlendireceğiz. Doğru, bunun için koordinat sistemimizi döndürmemiz gerekecek. Bu konum için mümkün olan tek seçenek:

Bir Koordinat Sistemini Bir Matrisle Eşlemek

Artık matrisin her hücresinde $x$ ve $y$ tek değerli koordinatlar vardır. Örneğin, $((a)_(24))$ girişi $x=2$ ve $y=4$ koordinatlarına sahip öğeye eriştiğimiz anlamına gelir. Matrisin boyutları ayrıca bir çift sayı ile benzersiz bir şekilde belirtilir:

Bir matriste dizinleri tanımlama

Sadece bu resme yakından bakın. Koordinatlarla oynayın (özellikle gerçek matrisler ve determinantlarla çalışırken) - ve çok yakında en karmaşık teoremlerde ve tanımlarda bile neyin tehlikede olduğunu mükemmel bir şekilde anladığınızı fark edeceksiniz.

Anladım? Peki, aydınlanmanın ilk adımına geçelim - determinantın geometrik tanımı. :)

geometrik tanım

Her şeyden önce, determinantın yalnızca $\left[ n\times n \right]$ biçimindeki kare matrisler için var olduğunu belirtmek isterim. Determinant, belirli kurallara göre hesaplanan bir sayıdır ve bu matrisin özelliklerinden biridir (başka özellikler de vardır: sıra, özvektörler, ancak diğer derslerde bununla ilgili daha fazlası).

Peki nedir bu özellik? Bu ne anlama geliyor? Basit:

$A=\left[ n\times n \right]$ kare matrisinin determinantı, matrisin satırlarını kenarlarını oluşturan vektörler olarak düşünürsek oluşan $n$-boyutlu paralelyüzün hacmidir. bu paralel yüzlü.

Örneğin, 2x2'lik bir matrisin determinantı sadece bir paralelkenarın alanıdır ve 3x3'lük bir matris için zaten 3 boyutlu bir paralelkenarın hacmidir - tüm lise öğrencilerini çok çileden çıkaran tam da bu stereometri derslerinde çok.

İlk bakışta bu tanım tamamen yetersiz görünebilir. Ancak sonuca varmak için acele etmeyelim - örneklere bakalım. Aslında, her şey basit, Watson:

Görev. Matris belirleyicilerini bulun:

\[\sol| \begin(matris) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matris) \sağ|\dörtlü \left| \begin(matris) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matris) \sağ|\dörtlü \left| \begin(matris)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matris) \sağ|\]

Çözüm. İlk iki belirleyici 2x2'dir. Yani bunlar sadece paralelkenarın alanları. Bunları çizelim ve alanı hesaplayalım.

İlk paralelkenar $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ ve $((v)_(2))=\left(0;3 \right) vektörleri üzerine inşa edilmiştir. $:
2x2 determinantı paralelkenarın alanıdır
Açıkçası, bu sadece bir paralelkenar değil, tam bir dikdörtgen. Alanı eşittir

İkinci paralelkenar $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ ve $((v)_(2))=\left(2;2 \right) vektörleri üzerine kuruludur ) $. Peki ne olmuş? Bu aynı zamanda bir dikdörtgendir:
Başka bir 2x2 determinantı
Bu dikdörtgenin kenarları (aslında vektörlerin uzunlukları) Pisagor teoremi kullanılarak kolayca hesaplanır:

\[\begin(hizala) & \left| ((v)_(1)) \sağ|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \sağ))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \sol| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\sol| ((v)_(1)) \sağ|\cdot \sol| ((v)_(2)) \sağ|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\bit(hizala)\]

Son belirleyici ile uğraşmaya devam ediyor - zaten 3x3'lük bir matris var. Stereometriyi hatırlamamız gerekecek:

3x3 determinantı paralelyüzün hacmidir.
Akıllara durgunluk veren görünüyor, ancak aslında bir paralelyüzün hacmi için formülü hatırlamak yeterli:

burada $S$ tabanın alanıdır (bizim durumumuzda $OXY$ düzlemindeki paralelkenarın alanıdır), $h$ bu tabana çizilen yüksekliktir (aslında $ $((v)_(3) )$) vektörünün z$-koordinatı.

Paralelkenarın alanını (ayrı ayrı çizdik) hesaplamak da kolaydır:

\[\begin(hizala) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! Cevapları yazıyoruz.

Cevap: 3; 4; 24.

Notasyon sistemi hakkında küçük bir not. Vektörler üzerindeki "okları" görmezden gelmem muhtemelen birisinin hoşuna gitmeyecektir. İddiaya göre, bu şekilde bir vektörü bir nokta veya başka bir şeyle karıştırabilirsiniz.

Ama ciddi olalım: biz zaten yetişkin erkek ve kızlarız, bu nedenle bağlamdan ne zaman bir vektörden bahsettiğimizi ve ne zaman bir noktadan bahsettiğimizi çok iyi anlıyoruz. Oklar, zaten matematiksel formüllerle dolu olan anlatıyı yalnızca doldurur.

Ve ilerisi. Prensip olarak, hiçbir şey bizi 1x1'lik bir matrisin determinantını dikkate almaktan alıkoyamaz - böyle bir matris sadece bir hücredir ve bu hücreye yazılan sayı determinant olacaktır. Ancak burada önemli bir not var:

Klasik hacmin aksine, determinant bize " yönlendirilmiş hacim”, yani hacim, satır vektörlerinin dikkate alınma sırası dikkate alınarak.

Ve kelimenin klasik anlamıyla hacmi elde etmek istiyorsanız, determinantın modülünü almanız gerekecek, ancak şimdi bunun için endişelenmemelisiniz - her neyse, birkaç saniye içinde herhangi bir determinantı nasıl sayacağımızı öğreneceğiz. herhangi bir işaret, boyut vb. ile :)

cebirsel tanım

Geometrik yaklaşımın tüm güzelliği ve netliğine rağmen ciddi bir dezavantajı var: Bize bu determinantın nasıl hesaplanacağı hakkında hiçbir şey söylemiyor.

Bu nedenle, şimdi alternatif bir tanımı analiz edeceğiz - cebirsel. Bunu yapmak için kısa bir teorik hazırlığa ihtiyacımız var, ancak çıktıda matrislerdeki her şeyi istediğimiz gibi hesaplamamızı sağlayan bir araç elde edeceğiz.

Doğru, yeni bir sorun olacak ... ama önce ilk şeyler.

Permütasyonlar ve inversiyonlar

1'den $n$'a kadar bir sayı satırı yazalım. Bunun gibi bir şey elde edersiniz:

Şimdi (tamamen eğlence için) birkaç sayıyı değiş tokuş edelim. Komşuyu değiştirebilirsiniz

Ya da belki çok komşu değil:

Ve biliyor musun? Ve hiçbir şey! Cebirde bu saçmalığa permütasyon denir. Ve bir çok özelliği var.

Tanım. $n$ uzunluğundaki bir permütasyon, herhangi bir sırada yazılmış $n$ farklı sayıdan oluşan bir dizidir. Genellikle, ilk $n$ doğal sayıları (yani, tam olarak 1, 2, ..., $n$ sayıları) dikkate alınır ve ardından istenen permütasyonu elde etmek için bunlar karıştırılır.

Permütasyonlar, vektörlerle aynı şekilde gösterilir - sadece bir harf ve öğelerinin parantez içinde sıralı bir listesi. Örneğin: $p=\left(1;3;2 \right)$ veya $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Harf herhangi bir şey olabilir, ama $p$ olsun. :)

Ayrıca, sunumu basitleştirmek için, 5 uzunluğundaki permütasyonlarla çalışacağız - bunlar zaten herhangi bir şüpheli etki gözlemleyecek kadar ciddi, ancak kırılgan bir beyin için henüz 6 veya daha uzun uzunluktaki permütasyonlar kadar şiddetli değil. İşte bu tür permütasyonların örnekleri:

\[\begin(hizala) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \sağ) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \sağ) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \sağ) \\\end(hizala)\]

Doğal olarak, $n$ uzunluğundaki bir permütasyon, $\left$ 1;2;...;n \right$$ kümesi üzerinde tanımlanan ve bu kümeyi birebir kendi üzerine eşleyen bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Az önce yazdığımız $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ ve $((p)_(3))$ permütasyonlarına dönersek, yasal olarak yazabiliriz :

\[((p)_(1))\left(1 \sağ)=1;((p)_(2))\left(3 \sağ)=2;((p)_(3))\ sol(2\sağ)=4;\]

$n$ uzunluğundaki farklı permütasyonların sayısı her zaman sınırlıdır ve $n!$'a eşittir — bu, kombinatorikten kolayca kanıtlanabilen bir gerçektir. Örneğin, 5 uzunluğundaki tüm permütasyonları yazmak istersek, bu tür permütasyonlar olacağı için çok tereddüt ederiz.

Herhangi bir permütasyonun temel özelliklerinden biri, içindeki ters çevirmelerin sayısıdır.

Tanım. Permütasyonda ters çevirme $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — herhangi bir çift $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ öyle ki $i \lt j$ ama $((a)_(i)) \gt ( (a )_(j)$. Basitçe söylemek gerekirse, ters çevirme, daha büyük bir sayının daha küçük bir sayının solunda olduğu zamandır (komşu olması gerekmez).

$N\left(p \right)$ permütasyonundaki ters çevirmelerin sayısını belirtmek için kullanacağız, ancak farklı ders kitaplarındaki ve farklı yazarlardaki diğer notasyonları karşılamaya hazırlıklı olun - burada tek tip standartlar yoktur. Tersine çevirme konusu çok kapsamlıdır ve buna ayrı bir ders ayrılacaktır. Şimdi görevimiz basitçe onları gerçek problemlerde nasıl sayacağımızı öğrenmek.

Örneğin, $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ permütasyonundaki ters çevirme sayısını sayalım:

\[\left(4;3 \sağ);\left(4;2 \sağ);\left(5;3 \sağ);\left(5;2 \sağ);\left(3;2 \sağ) ).\]

Böylece, $N\left(p \sağ)=5$. Gördüğünüz gibi, bunda yanlış bir şey yok. Hemen söylemeliyim: ayrıca $N\left(p \right)$ sayısıyla değil, onun çift/tekliğiyle ilgileneceğiz. Ve burada sorunsuz bir şekilde bugünün dersinin anahtar terimine geçiyoruz.

determinant nedir

$A=\left[ n\times n \right]$ bir kare matris olsun. Daha sonra:

Tanım. $A=\left[ n\times n \right]$ matrisinin determinantı, aşağıdaki gibi oluşan $n!$ terimlerinin cebirsel toplamıdır. Her terim, $n$ matris öğelerinin çarpımıdır, her satırdan ve her sütundan bir tane alınır, (−1) ile ters çevirme sayısının kuvvetiyle çarpılır:

\[\sol| A \right|=\toplam\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Determinanttaki her terim için çarpan seçiminde temel nokta, aynı satırda veya aynı sütunda iki çarpan olmamasıdır.

Bundan dolayı, genelliği kaybetmeden, $((a)_(i;j))$ faktörlerinin $i$ endekslerinin 1, ..., $n$ değerlerini "geçtiğini" varsayabiliriz. , ve $j$ indisleri birincinin bazı permütasyonlarıdır:

Ve bir $p$ permütasyonu olduğunda, $N\left(p \right)$'ın tersini kolayca hesaplayabiliriz - ve determinantın bir sonraki terimi hazırdır.

Doğal olarak, hiç kimse herhangi bir terimde (veya aynı anda - neden önemsiz şeylerle uğraşalım?) Faktörlerin değiştirilmesini yasaklamaz ve sonra ilk endeksler de bir tür permütasyonu temsil edecektir. Ama sonunda hiçbir şey değişmeyecek: $i$ ve $j$ endekslerindeki toplam ters çevirme sayısı, eski güzel kuralla oldukça tutarlı olan bu tür sapmalar altında bile kalır:

Faktörleri yeniden düzenleyerek, sayıların ürünü değişmez.

Ancak bu kuralı matris çarpımına sürüklemeniz gerekmez - sayıların çarpımından farklı olarak, değişmeli değildir. Ama ben dalıyorum. :)

Matris 2x2

Aslında, 1x1'lik bir matrisi de düşünebilirsiniz - bu bir hücre olacak ve tahmin edebileceğiniz gibi determinantı, bu hücrede yazılan sayıya eşittir. İlginç bir şey yok.

2x2'lik bir kare matrisi ele alalım:

\[\left[ \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matris) \sağ]\]

İçindeki satır sayısı $n=2$ olduğundan, determinant $n!=2!=1\cdot 2=2$ terimlerini içerecektir. Bunları yazalım:

\[\begin(hizala) & ((\left(-1 \sağ))^(N\left(1;2 \sağ)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \sağ))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11)((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \sağ))^(N\left(2;1 \sağ)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \sağ))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\bit(hizala)\]

Açıkçası, iki öğeden oluşan $\left(1;2 \right)$ permütasyonunda ters çevirme yoktur, bu nedenle $N\left(1;2 \right)=0$. Ancak $\left(2;1 \right)$ permütasyonunda bir ters çevirme vardır (aslında 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Toplamda, 2x2'lik bir matrisin determinantını hesaplamak için evrensel formül şöyle görünür:

\[\sol| \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matris) \sağ|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafiksel olarak, bu, ana köşegendeki elemanların çarpımı eksi ikincildeki elemanların çarpımı olarak temsil edilebilir:

2x2 matris determinantı

Bir iki örneğe bakalım:

\[\sol| \begin(matris) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matris) \sağ|;\dörtlü \left| \begin(matris) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matris) \right|.\]

Çözüm. Her şey bir satırda kabul edilir. İlk matris:

Ve ikincisi:

Cevap: -3; -161.

Ancak, çok kolaydı. 3x3 matrislere bakalım - orası zaten ilginç.

Matris 3x3

Şimdi bir 3x3 kare matris düşünün:

\[\left[ \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matris) \sağ]\]

Determinantını hesaplarken, $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ terimleri elde ederiz - paniklemek için çok fazla değil, ancak bazı modeller aramaya başlamak için yeterli. İlk olarak, üç elementin tüm permütasyonlarını yazalım ve her birinin tersini hesaplayalım:

\[\begin(hizala) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \sağ)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \sağ)=N\ sol(1;2;3\sağ)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2\sağ)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \sağ)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \sağ)=N\left(2;1 ;3\sağ)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1\sağ)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2\sağ)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1\sağ)=3. \\\bit(hizala)\]

Beklendiği gibi, toplamda 6 permütasyon $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ vardır (doğal olarak, bunlar farklı bir sırayla yazılabilir - nokta değişmez) ve içlerindeki ters çevirme sayısı 0 ile 3 arasında değişir.

Genel olarak, üç artı terimimiz (burada $N\left(p \right)$ çifttir) ve üç tane daha eksi terimimiz olacaktır. Genel olarak, determinant aşağıdaki formüle göre hesaplanacaktır:

\[\sol| \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\son (matris) \right|=\begin(matris) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33)-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matris)\]

Sadece şimdi oturup tüm bu dizinleri öfkeyle doldurma! Anlaşılmaz sayılar yerine, aşağıdaki anımsatıcı kuralı hatırlamak daha iyidir:

Üçgen kuralı. 3x3'lük bir matrisin determinantını bulmak için, ana köşegendeki ve bu köşegene paralel bir kenarı olan ikizkenar üçgenlerin köşelerindeki öğelerin üç ürününü eklemeniz ve ardından aynı üç ürünü, ancak ikincil köşegenden çıkarmanız gerekir. . Şematik olarak şöyle görünür:

3x3 Matris Determinantı: Üçgenlerin Kuralı

Cebir üzerine her türlü ders kitabında ve el kitabında çizmeyi sevdikleri şey bu üçgenlerdir (veya istediğiniz gibi pentagramlardır). Ancak üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Gerçek bir kalaydan önce ısınmak için böyle bir belirleyiciyi daha iyi hesaplayalım. :)

Görev. Determinantı hesaplayın:

\[\sol| \begin(matris) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matris) \right|\]

Çözüm. Üçgen kuralına göre çalışıyoruz. Önce ana köşegen üzerinde ve ona paralel olan elemanlardan oluşan üç terimi hesaplayalım:

\[\begin(hizala) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(hizala) \]

Şimdi yan köşegenle ilgilenelim:

\[\begin(hizala) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(hizala) \]

Sadece ikinciyi ilk sayıdan çıkarmak için kalır - ve cevabı alırız:

Bu kadar!

Bununla birlikte, 3x3 matrislerin belirleyicileri henüz becerinin zirvesi değildir. En ilginci bizi daha da bekliyor. :)

Belirleyicileri hesaplamak için genel şema

Bildiğimiz gibi $n$ matrisinin boyutu arttıkça determinanttaki terim sayısı $n!$ olur ve hızla artar. Ne de olsa, faktöriyel oldukça hızlı büyüyen bir fonksiyondur.

Zaten 4x4 matrisler için, öndeki determinantları saymak (yani, permütasyonlar yoluyla) bir şekilde iyi olmaz. Genelde 5x5 ve daha fazlası hakkında sessiz kalıyorum. Bu nedenle, determinantın bazı özellikleri duruma bağlıdır, ancak bunları anlamak için biraz teorik hazırlık gerekir.

Hazır? Gitmek!

matris minör nedir

$A=\left[ m\times n \right]$ rastgele bir matris verilsin. Not: mutlaka kare değildir. Belirleyicilerin aksine küçükler, yalnızca sert kare matrislerde var olmayan sevimli şeylerdir. Bu matriste $1\le k\le m$ ve $1\le k\le n$ ile birkaç (örneğin, $k$) satır ve sütun seçiyoruz. Daha sonra:

Tanım. $k$ minör mertebesi, seçilen $k$ sütun ve satırlarının kesişme noktasında görünen kare matrisin determinantıdır. Bu yeni matrisin kendisine de minör diyeceğiz.

Böyle bir minör $((M)_(k))$ ile gösterilir. Doğal olarak, bir matris $k$ mertebesinde bir sürü minöre sahip olabilir. $\left[ 5\times 6 \right]$ matrisi için 2. mertebeden küçük bir örnek:
Küçük oluşturmak için $k = 2$ sütun ve satır seçme

Seçilen satır ve sütunların yukarıdaki örnekte olduğu gibi yan yana olması gerekli değildir. Ana şey, seçilen satır ve sütunların sayısının aynı olmasıdır (bu, $k$ sayısıdır).

Başka bir tanım var. Belki birisi bundan daha çok hoşlanır:

Tanım. $A=\left[ m\times n \right]$ şeklinde bir dikdörtgen matris verilsin. Bir veya daha fazla sütunu ve içindeki bir veya daha fazla satırı sildikten sonra $\left[ k\times k \right]$ boyutunda bir kare matris oluşturulursa, determinantı minör $((M)_(k) olur. ) $ . Bazen matrisin kendisine de küçük diyeceğiz - bu bağlamdan anlaşılacaktır.

Kedimin dediği gibi, bazen balkonda otururken miyavlamaktansa 11. kattan bir kez mama almak daha iyidir.

Örnek. matris olsun

1. satır ve 2. sütunu seçerek birinci dereceden minörü elde ederiz:

\[((M)_(1))=\sol| 7\sağ|=7\]

2., 3. satırları ve 3., 4. sütunları seçerek ikinci dereceden bir minör elde ederiz:

\[((M)_(2))=\sol| \begin(matris) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matris) \right|=5-18=-13\]

Ve üç satırın yanı sıra 1, 2, 4 sütunlarını seçerseniz, üçüncü dereceden bir minör olacaktır:

\[((M)_(3))=\sol| \begin(matris) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matris) \right|\]

Okuyucunun 1., 2. veya 3. sıralardaki diğer küçükleri bulması zor olmayacak. Bu nedenle yolumuza devam ediyoruz.

cebirsel eklemeler

"Pekala, peki bu minyonlar biz reşit olmayanlara ne veriyor?" mutlaka soracaksınız Kendi başlarına, hiçbir şey. Ancak kare matrislerde, her minörün bir "eşlikçisi" vardır - ek bir minör ve cebirsel bir toplama. Ve bu iki şakşak birlikte, belirleyicileri fındık gibi tıklamamıza izin verecek.

Tanım. Minör $((M)_(k))$'nin seçildiği $A=\left[ n\times n \right]$ kare matrisi verilsin. Daha sonra minör $((M)_(k))$ için ek minör, orijinal $A$ matrisinin bir parçasıdır ve bu, minör $((M) derlemesinde yer alan tüm satırlar ve sütunlar silindikten sonra kalacaktır. )_(k)$:
Ek minörden minöre $((M)_(2)$
Bir noktayı açıklığa kavuşturalım: Ek minör sadece bir "matrisin parçası" değil, bu parçanın determinantıdır.

Ek reşit olmayanlar yıldız işaretiyle gösterilir: $M_(k)^(*)$:

burada $A\nabla ((M)_(k))$ işlemi kelimenin tam anlamıyla "$((M)_(k))$ içindeki satırları ve sütunları $A$'dan sil" anlamına gelir. Bu işlem matematikte genel olarak kabul edilmez - hikayenin güzelliği için kendim buldum. :)

Tamamlayıcı reşit olmayanlar nadiren kendi başlarına kullanılır. Cebirsel toplama gibi daha karmaşık bir yapının parçasıdırlar.

Tanım. Minör $((M)_(k))$'nin cebirsel tümleyeni, tamamlayıcı minör $M_(k)^(*)$ ile $((\left(-1 \right))^(S)) çarpımıdır. $ , burada $S$, orijinal minör $((M)_(k))$'de yer alan tüm satır ve sütunların sayılarının toplamıdır.

Kural olarak, minör $((M)_(k))$'nin cebirsel tümleyeni $((A)_(k))$ ile gösterilir. Bu yüzden:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \sağ))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Zor? İlk bakışta, evet. Ama tam olarak değil. Çünkü gerçekten kolay. Bir örnek düşünün:

Örnek. 4x4 matris verildiğinde:

İkinci dereceden bir minör seçiyoruz

\[((M)_(2))=\sol| \begin(matris) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matris) \right|\]

Kaptan Kanıtı, olduğu gibi, bize 1. ve 4. sıraların yanı sıra 3. ve 4. sütunların bu minörün derlenmesinde yer aldığını ima ediyor.Onların üstünü çiziyoruz - ek bir minör alıyoruz:

Geriye $S$ sayısını bulmak ve cebirsel tamamlayıcıyı almak kalır. İlgili satırların (1 ve 4) ve sütunların (3 ve 4) numaralarını bildiğimiz için her şey basit:

\[\begin(hizala) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \sağ))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \sağ)) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(hizala)\]

Cevap: $((A)_(2))=-4$

Bu kadar! Aslında, ek bir küçük ve bir cebirsel toplama arasındaki tüm fark, yalnızca öndeki eksidir ve o zaman bile her zaman değildir.

Laplace teoremi

Ve böylece aslında tüm bu küçük ve cebirsel eklemelere neden ihtiyaç duyulduğu noktasına geldik.

Determinantın ayrıştırılması üzerine Laplace teoremi. $1\le k\le n-1$ ile $\left[ n\times n \right]$ boyutunda bir matriste $k$ satır (sütun) seçilsin. Daha sonra bu matrisin determinantı, seçilen satırlarda (sütunlarda) yer alan $k$ mertebesindeki küçüklerin tüm ürünlerinin ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının toplamına eşittir:

\[\sol| A \right|=\toplam(((M)_(k))\cdot ((A)_(k))))\]

Ayrıca, tam olarak $C_(n)^(k)$ gibi terimler olacaktır.

Tamam, tamam: yaklaşık $C_(n)^(k)$ - Zaten gösteriş yapıyorum, orijinal Laplace teoreminde böyle bir şey yoktu. Ancak hiç kimse kombinatoriği iptal etmedi ve duruma tam anlamıyla üstünkörü bir bakış, tam olarak bu kadar çok terim olacağından emin olmanızı sağlayacaktır. :)

Bunu kanıtlamayacağız, ancak bu özellikle zor değil - tüm hesaplamalar eski güzel permütasyonlara ve çift / tek ters çevirmelere dayanıyor. Ancak, ispat ayrı bir paragrafta sunulacak ve bugün tamamen uygulamalı bir dersimiz var.

Bu nedenle, küçükler matrisin ayrı hücreleri olduğunda, bu teoremin özel bir durumuna dönüyoruz.

Determinantın satır ve sütun açılımı

Şimdi konuşacağımız şey, tam olarak, permütasyonlar, küçükler ve cebirsel eklemeler içeren tüm bu oyunun uğruna başlatıldığı, determinantlarla çalışmanın ana aracıdır.

Okuyun ve keyfini çıkarın:

Laplace Teoreminden sonuç (belirleyicinin satır/sütun olarak ayrıştırılması). $\left[ n\times n \right]$ matrisinde bir satır seçili olsun. Bu satırdaki minörler $n$ bireysel hücreler olacaktır:

\[((M)_(1))=((a)_(ij))),\dörtlü j=1,...,n\]

Ek minörleri hesaplamak da kolaydır: sadece orijinal matrisi alın ve $((a)_(ij))$ içeren satır ve sütunun üzerini çizin. Bu tür reşit olmayanlara $M_(ij)^(*)$ diyoruz.

Cebirsel toplama için, $S$ sayısı da gereklidir, ancak 1. dereceden küçük olması durumunda, bu sadece $((a)_(ij))$ hücresinin "koordinatlarının" toplamıdır:

Ve sonra orijinal determinant, Laplace teoremine göre $((a)_(ij))$ ve $M_(ij)^(*)$ cinsinden yazılabilir:

\[\sol| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

işte bu satır genişletme formülü. Ancak aynı şey sütunlar için de geçerlidir.

Bu sonuçtan birkaç sonuç çıkarılabilir:

Bu şema hem satırlar hem de sütunlar için eşit derecede iyi çalışır. Aslında, çoğu zaman ayrışma, çizgiler yerine tam olarak sütunlar boyunca ilerleyecektir.
Genişletmedeki terim sayısı her zaman tam olarak $n$'dır. Bu, $C_(n)^(k)$'den ve hatta $n!$'dan çok daha azdır.
Tek bir $\left[ n\times n \right]$ yerine, boyutun birkaç determinantını bir eksilterek saymanız gerekecek: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \sağ) \sağ ]$.

Son gerçek özellikle önemlidir. Örneğin, acımasız 4x4 determinantı yerine, şimdi birkaç 3x3 determinantı saymak yeterli olacaktır - bir şekilde onlarla başa çıkacağız. :)

Görev. Determinantı bulun:

\[\sol| \begin(matris) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matris) \right|\]

Çözüm. Bu determinantı ilk satır kadar açalım:

\[\başla(hizala)\sol| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matris) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \sol| \begin(matris) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matris) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \sol| \begin(matris) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matris) \right|= & \\\end(hizala)\]

\[\begin(hizala) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\bit(hizala)\]

Görev. Determinantı bulun:

\[\sol| \begin(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \right|\ ]

Çözüm. Değişiklik olsun diye bu kez sütunlarla çalışalım. Örneğin, son sütunda aynı anda iki sıfır var - açıkçası bu, hesaplamaları önemli ölçüde azaltacaktır. Şimdi nedenini göreceksin.

Böylece, dördüncü sütundaki determinantı genişletiyoruz:

\[\başla(hizala)\sol| \begin(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \sağ))^(1+4))\cdot \left| \begin(matris) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \sağ|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) sağ))^(2+4))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \sağ|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) sağ)^(3+4))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \sağ|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \) sağ))^(4+4))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ| &\\\end(hizala)\]

Ve sonra - ah, bir mucize! - çarpanı "0" olduğu için iki terim hemen boşa gider. Kolayca başa çıkabileceğimiz iki 3x3 belirleyicisi daha var:

\[\begin(hizala) & \left| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \sol| \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matris) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\bit(hizala)\]

Kaynağa dönüyoruz ve cevabı buluyoruz:

\[\sol| \begin(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \right|= 1\cdot \left(-1 \sağ)+\left(-1 \sağ)\cdot 1=-2\]

Tamam, şimdi her şey bitti. Ve 4 yok! = 24 terimin sayılmasına gerek yoktu. :)

Cevap: -2

Belirleyicinin temel özellikleri

Son problemde, bir matrisin satırlarında (sütunlarında) sıfırların bulunmasının determinantın açılımını ve genel olarak tüm hesaplamaları nasıl büyük ölçüde basitleştirdiğini gördük. Doğal bir soru ortaya çıkıyor: Bu sıfırların, orijinal olarak orada olmadıkları matriste bile görünmesini sağlamak mümkün mü?

Cevap açık: Olabilmek. Ve burada determinantın özellikleri yardımımıza geliyor:

İki satırı (sütun) yer değiştirirseniz determinant değişmez;
Bir satır (sütun) $k$ sayısıyla çarpılırsa, tüm determinant da $k$ sayısıyla çarpılır;
Bir diziyi alıp diğerinden istediğiniz sayıda eklerseniz (çıkarırsanız), determinant değişmez;
Determinantın iki satırı aynı veya orantılıysa veya satırlardan biri sıfırlarla doluysa, tüm determinant sıfıra eşittir;
Yukarıdaki özelliklerin tümü sütunlar için de geçerlidir.
Bir matrisin transpoze edilmesi determinantı değiştirmez;
Matrislerin çarpımının determinantı, determinantların çarpımına eşittir.

Üçüncü özellik özellikle değerlidir: yapabiliriz doğru yerlerde sıfırlar görünene kadar bir satırdan (sütun) diğerinden çıkarın.

Çoğu zaman, hesaplamalar, bir öğe dışında her yerde tüm sütunu "sıfırlamak" ve ardından determinantı bu sütun boyunca genişleterek 1 boyutunda bir matris elde etmek için gelir.

Bunun pratikte nasıl çalıştığını görelim:

Görev. Determinantı bulun:

\[\sol| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matris) \right|\ ]

Çözüm. Buradaki sıfırlar olduğu gibi hiç gözlenmez, bu nedenle herhangi bir satır veya sütunda "boşluk" yapabilirsiniz - hesaplama miktarı yaklaşık olarak aynı olacaktır. Önemsiz olmayalım ve ilk sütunu "sıfırlamayalım": zaten bir birimi olan bir hücreye sahip, bu yüzden sadece ilk satırı alın ve ikinciden 4 kez, üçüncüden 3 kez ve sondan 2 kez çıkarın.

Sonuç olarak, yeni bir matris elde edeceğiz, ancak determinantı aynı olacaktır:

\[\begin(matris)\left| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matris) \right|\ begin(matris) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matris)= \\ =\left| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matris) \sağ|= \\ =\sol| \begin(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matris)\sağ| \\\end(matris)\]

Şimdi, Piglet'in sakinliğiyle, bu determinantı ilk sütunda ayrıştırıyoruz:

\[\begin(matris) 1\cdot ((\left(-1 \sağ))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matris) \sağ|+0\cdot ((\ left(-1 \sağ)^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \sağ| \\\end(matris)\]

Açıktır ki, yalnızca ilk terim "hayatta kalacaktır" - geri kalanında, hala sıfırla çarpıldıkları için belirleyicileri yazmadım bile. Belirleyicinin önündeki katsayı bire eşittir, yani. kaydedilmemiş olabilir.

Ancak determinantın üç satırından da "eksileri" çıkarabilirsiniz. Aslında, (−1) faktörünü üç kez çıkardık:

\[\sol| \begin(matris) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matris) \right|=\cdot \left| \begin(matris) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matris) \right|\]

Üçgen kuralına göre hesaplanabilen küçük bir determinantımız 3x3 var. Ancak onu ilk sütunda ayrıştırmaya çalışacağız - son satırdaki fayda gururla birdir:

\[\begin(hizala) & \left(-1 \sağ)\cdot \left| \begin(matris) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matris) \right|\begin(matris) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matris)=\left(-1 \sağ)\cdot \left| \begin(matris) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matris) \sağ|= \\ & =\cdot \left| \begin(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matris) \sağ|=\left(-1 \sağ)\cdot \left| \begin(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matris) \sağ| \\\bit(hizala)\]

Tabii ki, yine de eğlenebilir ve 2x2 matrisini bir satırda (sütun) ayrıştırabilirsiniz, ancak biz sizin için yeterliyiz, bu yüzden sadece cevabı hesaplıyoruz:

\[\left(-1 \sağ)\cdot \left| \begin(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matris) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Hayaller böyle kırılır. Cevapta sadece -160. :)

Cevap: -160.

Son göreve geçmeden önce birkaç not:

Orijinal matris, ikincil köşegene göre simetrikti. Ayrıştırmadaki tüm küçükler de aynı ikincil köşegene göre simetriktir.
Kesin olarak konuşursak, hiçbir şey düzenleyemedik, ancak ana köşegenin altında katı sıfırlar olduğunda matrisi bir üst üçgen forma getirin. O zaman (bu arada geometrik yoruma tam olarak uygun olarak) determinant, ana köşegendeki sayılar olan $((a)_(ii))$'nin çarpımına eşittir.

Görev. Determinantı bulun:

\[\sol| \begin(matris) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matris) \right|\ ]

Çözüm. Pekala, burada ilk satır sadece "sıfırlama" için yalvarıyor. İlk sütunu alıyoruz ve diğerlerinden tam olarak bir kez çıkarıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| \begin(matris) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matris) \right|= \\&=\sol| \begin(matris) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matris) \sağ|= \\ & =\sol| \begin(matris) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matris) \right| \\\bit(hizala)\]

İlk satırı genişletin ve ardından kalan satırlardan ortak çarpanları çıkarın:

\[\cdot\sol| \begin(matris) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matris) \right|=\cdot \left| \begin(matris) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matris) \right|\]

Yine "güzel" sayıları gözlemliyoruz, ancak zaten ilk sütunda - determinantı buna göre ayrıştırıyoruz:

\[\begin(hizala) & 240\cdot \left| \begin(matris) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matris) \right|\begin(matris) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matris)=240\cnokta \left| \begin(matris) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matris) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \) sağ))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matris) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( hizala)\]

Emir. Sorun çözüldü.

Cevap: 1440