Değişken ikame formülü. Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi). Formül soldan sağa uygulanır

Belirsiz integralde değişkenleri değiştirme yöntemi olan genel durumun değerlendirilmesine dönüyoruz.

Örnek 5

Örnek olarak, dersin başında ele aldığımız integrali aldım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik ve her şeyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bazı işlevleri) bir harfle değiştirin.
Bu durumda sorar:
İkinci en popüler yedek harf harftir.
Prensip olarak, diğer harfleri kullanabilirsiniz, ancak biz yine de geleneklere bağlı kalıyoruz.

Bu yüzden:
Ama değiştirirken ayrıldık! Muhtemelen birçoğu, yeni bir değişkene geçiş yapılırsa, o zaman yeni integralde her şeyin harf aracılığıyla ifade edilmesi gerektiğini ve diferansiyele hiç yer olmadığını tahmin etmiştir.
gerekli olduğuna dair mantıksal bir sonuca varır. yalnızca bağlı olan bir ifadeye dönüşür.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bu örnekte bir ikame seçtikten sonra, farkı bulmamız gerekiyor. Farklılıklarla, sanırım zaten herkes için dostluk kuruldu.

O zamandan beri

Diferansiyel ile hesaplaşmanın ardından, nihai sonucu olabildiğince kısa bir şekilde yeniden yazmanızı tavsiye ederim:
Şimdi orantı kurallarına göre ihtiyacımız olanı ifade ediyoruz:

Sonunda:
Böylece:

Ve bu zaten en tablolu integral ( integral tablosu, elbette ) değişkeni için de geçerlidir.

Sonuç olarak, ters değiştirmeyi gerçekleştirmeye devam ediyor. Bunu hatırlıyoruz.

Hazır.

Bu örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

“

Değiştirelim:

“

İkon herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır, ara açıklamalar için çözümü yarıda kestik anlamına gelmektedir.

Defterde bir örnek yaparken, ters yerine basit bir kurşun kalemle üst simge koymak daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde, diferansiyeli bulma ayrıntılı olarak açıklanmayacaktır.

Ve şimdi ilk çözümü hatırlamanın zamanı geldi:

Fark ne? Temel bir fark yoktur. Aslında aynı şey. Ancak görevin tasarımı açısından, işlevi diferansiyelin işareti altına getirme yöntemi çok daha kısadır..

Bir soru ortaya çıktı. İlk yol daha kısaysa, neden replace yöntemini kullanıyorsunuz? Gerçek şu ki, bir dizi integral için, fonksiyonu diferansiyelin işareti altına "uydurmak" o kadar kolay değildir.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bir değişiklik yapalım: (burada başka bir değişiklik düşünmek zor)

Gördüğünüz gibi, değiştirmenin bir sonucu olarak, orijinal integral büyük ölçüde basitleştirildi - sıradan bir güç fonksiyonuna indirgendi. Değiştirmenin amacı budur - integrali basitleştirmek.

Tembel gelişmiş insanlar, fonksiyonu diferansiyel işareti altına getirerek bu integrali kolayca çözebilir:

Başka bir şey de, böyle bir çözümün tüm öğrenciler için açık olmamasıdır. Ek olarak, zaten bu örnekte, diferansiyel işareti altına bir fonksiyon getirme yönteminin kullanımı kararda karışıklık riskini önemli ölçüde artırır.

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun. Bir kontrol çalıştırın.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun.

Yenisiyle değiştirme:
Ne olacağı görülmeye devam ediyor

Peki, ifade ettik ama payda kalan “X” ile ne yapmalı?!
İntegral çözme sürecinde zaman zaman şu numara ortaya çıkar: Aynı yer değiştirmeden ifade edeceğiz !

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun.

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda cevap verin.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun.

Elbette bazıları referans tablomun değişken değiştirme kuralına sahip olmadığını fark etmiştir. Kasten yapıldı. Kural, yukarıdaki örneklerde açıkça görülmediği için açıklama ve anlayışı karıştıracaktır.

Değişken ikame yöntemini kullanmanın temel dayanağı hakkında konuşmanın zamanı geldi: integrand bazı işlevler içermelidir ve türevi : (işlevler üründe olmayabilir)

Bu bağlamda, integralleri bulurken, genellikle türev tablosuna bakmak gerekir.

Bu örnekte, payın derecesinin paydanın derecesinden bir eksik olduğunu görüyoruz. Türevler tablosunda, dereceyi bir azaltan formülü buluyoruz. Ve bu nedenle, paydayı belirtirseniz, payın iyi bir şeye dönüşme olasılığı yüksektir.

Yenisiyle değiştirme:

Bu arada, burada işlevi diferansiyel işareti altına getirmek o kadar da zor değil:

gibi kesirler için böyle bir numaranın artık işe yaramayacağına dikkat edilmelidir (daha doğrusu, sadece ikame tekniğini uygulamak gerekli olmayacaktır). Derste bazı kesirleri nasıl entegre edeceğinizi öğrenebilirsiniz. Bazı kesirlerin entegrasyonu.

Aynı operadan bağımsız bir çözüm için birkaç tipik örnek daha:

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun.

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun.

Çözümler dersin sonunda.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun.

Türev tablosuna bakarız ve ark kosinüsümüzü buluruz: . İntegrand'da arccosine ve onun türevine benzer bir şey var.

Genel kural:
Arka fonksiyonun kendisini göster(ve onun türevi değil).

Bu durumda: . İntegrand'ın geri kalanının neye dönüşeceğini bulmak için kalır.

Bu örnekte, karmaşık bir fonksiyon olduğu için bulguyu ayrıntılı olarak anlatacağım.

Veya daha kısa:
Orantı kuralına göre, ihtiyacımız olan kalanı ifade ediyoruz:

Böylece:

Burada fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getirmek o kadar kolay değil.

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun.

Bağımsız bir çözüm için bir örnek. Cevap çok yakın.

Dikkatli okuyucular, trigonometrik fonksiyonlarla ilgili birkaç örnek ele aldığımı fark edeceklerdir. Ve bu tesadüfi değil, çünkü trigonometrik fonksiyonların integralleri ayrı ders verilir. Ayrıca, belirtilen ders, belirli bir integralde ne tür bir yer değiştirmenin gerçekleştirilmesi gerektiğini her zaman ve hemen anlamayan aptallar için özellikle önemli olan bir değişkeni değiştirmek için bazı yararlı yönergeler verir. Ayrıca, makalede bazı değiştirme türleri bulunabilir. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Daha deneyimli öğrenciler, tipik bir değiştirme işlemine alışabilir irrasyonel fonksiyonlara sahip integrallerde. Kök entegrasyon ikamesi özeldir ve yürütme tekniği bu derste ele aldığımızdan farklıdır.

Sana başarılar diliyorum!

Örnek 3:Çözüm :

Örnek 4:Çözüm :

Örnek 7:Çözüm :

Örnek 9:Çözüm :

Yenisiyle değiştirme:

Örnek 11:Çözüm :

Değiştirelim:

Örnek 12:Çözüm :

Değiştirelim:

Örnek 14:Çözüm :

Değiştirelim:

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bugünkü dersimizde parçalar halinde integral almayı öğreneceğiz. Parçalara göre entegrasyon yöntemi, integral hesabın temel taşlarından biridir. Testte, sınavda, öğrenciye neredeyse her zaman aşağıdaki türlerdeki integralleri çözmesi önerilir: en basit integral (makaleye bakınbelirsiz integral Çözüm örnekleri ) veya değişkeni değiştirmek için bir integral (makaleye bakınbelirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi ) veya integral parçalara göre entegrasyon yöntemi.

Her zaman olduğu gibi, elinizde olması gerekenler: İntegral tablosu Ve türev tablosu. Hala sahip değilseniz, lütfen sitemin deposunu ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar. Tekrarlamaktan yorulmayacağım - her şeyi yazdırmak daha iyidir. Tüm materyali tutarlı, basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım; parçalar halinde bütünleştirmede özel bir zorluk yok.

Parçalara göre entegrasyon hangi sorunu çözer? Parçalara göre entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer, tabloda olmayan bazı fonksiyonları entegre etmenize izin verir, iş işlevler ve bazı durumlarda - ve özel. Hatırladığımız gibi, uygun bir formül yoktur: . Ama şu var: şahsen kısımlar halinde entegrasyonun formülüdür. Biliyorum, biliyorum, sen teksin - onunla tüm dersi çalışacağız (zaten daha kolay).

4) , - ters trigonometrik fonksiyonlar (“kemerler”), “kemerler”, bazı polinomlarla çarpılır.

Ayrıca bazı kesirler kısım kısım alınır, ilgili örnekleri de detaylı olarak ele alacağız.

logaritmaların integralleri

örnek 1

Belirsiz integrali bulun.

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir, ancak öğretmen baharda beriberi olduğu ve çok azarlayacağı için hazır bir cevap kullanmak istenmez. Söz konusu integral hiçbir şekilde tablo şeklinde olmadığı için - parçalar halinde alınır. karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözümü yarıda kesiyoruz.

Parçalara göre entegrasyon için formülü kullanıyoruz:

2. Değişken ikamesi (ikame yöntemi)

İkame yönteminin özü, yeni bir değişkenin tanıtılması sonucunda verilen zor integral, hesaplama yöntemi bilinen bir tabloya veya birine indirgenir.

İntegrali hesaplamak için gerekli olsun. İki ikame kuralı vardır:

Özellik seçimi için genel kural
mevcut değil, ancak bir işlev seçmek için önerilerin olduğu birkaç tür integral vardır.
.

Sonuç elde edilene kadar değişken ikamesi birkaç kez uygulanabilir.

örnek 1 İntegralleri bulun:

A)
; B)
; v)
;

G)
; e)
; e)
.

Çözüm.

a) Tablo integralleri arasında çeşitli derecelerde radikaller içeren tablo integralleri yoktur, bu nedenle her şeyden önce "kurtulmak istiyorum"
Ve
. Bu, değiştirilmesini gerektirecek X her iki kökün de kolayca çıkarılabileceği böyle bir ifade:

b) Üstel fonksiyondan "kurtulma" arzusu olduğunda tipik bir örnek
. Ancak bu durumda, kesrin paydasındaki ifadenin tamamını yeni bir değişken olarak almak daha uygundur:

;

c) Payın çarpımı içerdiğini fark etmek
radikal ifadenin diferansiyelinin bir parçası olan , bu ifadenin tamamını yeni bir değişkenle değiştiririz:

;

d) Burada a) durumunda olduğu gibi radikalden kurtulmak istiyoruz. Ancak, a) noktasından farklı olarak yalnızca bir kök olduğundan, onu yeni bir değişkenle değiştireceğiz:

e) Burada yer değiştirme seçimi iki koşul tarafından kolaylaştırılır: bir yandan logaritmalardan kurtulmak için sezgisel istek, diğer yandan ifadenin varlığı fonksiyonun diferansiyeli olan
. Ancak önceki örneklerde olduğu gibi, yerine koymada logaritmaya eşlik eden sabitleri dahil etmek daha iyidir:

f) Burada, önceki örnekte olduğu gibi, integranddaki hantal üstelden kurtulmaya yönelik sezgisel arzu, iyi bilinen gerçekle tutarlıdır:
(tablo 3'ün formül 8'i). Bu nedenle elimizde:

.

Bazı fonksiyon sınıfları için değişkenlerin değiştirilmesi

Belirli ikamelerin önerilebileceği bazı işlev sınıflarını ele alalım.

Tablo 4Rasyonel fonksiyonlar

Aşkın işlevler:

1.5.
- ikame T = e X ;

1.6.
- ikame T= günlük A X.

Örnek 2 Rasyonel fonksiyonların integrallerini bulun:

A)
; B)
;

v)
; e)
.

Çözüm.

a) Bu integralin bir değişken değişikliği kullanılarak hesaplanması gerekmez, burada diferansiyel işareti altında toplamayı kullanmak daha kolaydır:

b) Benzer şekilde, diferansiyel işareti altında toplamayı kullanırız:

;

c) Tablo 4'te 1.3 tipi bir integralimiz var, uygun tavsiyeleri kullanacağız:

e) Önceki örneğe benzer:

Örnek 3İntegral Bul

A)
; B)
.

Çözüm.

b) İntegrand bir logaritma içerir, bu nedenle tavsiye 1.6'yı kullanacağız. Sadece bu durumda, sadece işlevi değil, değiştirmek daha uygundur.
ve tüm radikal ifade:

.

Tablo 6 Trigonometrik fonksiyonlar (R

Örnek 4İntegralleri bulun:

A)
; B)
; v)
; e)
.

Çözüm.

a) Burada trigonometrik fonksiyonu entegre ediyoruz. Evrensel ikameyi uyguluyoruz (Tablo 6, 3.1):

.

b) Burada evrensel ikameyi de uyguluyoruz:

.

Ele alınan integralde, değişkenlerin değişiminin iki kez uygulanması gerektiğine dikkat edin.

c) Benzer şekilde hesaplayın:

e) Bu integrali hesaplamak için iki yöntem düşünün.

1)

.

Gördüğünüz gibi, farklı ters türev fonksiyonlarımız var. Bu, kullanılan tekniklerden birinin yanlış sonuç verdiği anlamına gelmez. Gerçek şu ki, yarım açının teğetini tam açının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren iyi bilinen trigonometrik kimlikleri kullanarak,

Böylece, bulunan ters türevler birbiriyle örtüşür.

Örnek 5İntegralleri bulun:

A)
; B)
; v)
; G)
.

Çözüm.

a) Bu integralde evrensel ikame de uygulanabilir.
, ancak integrale dahil edilen kosinüs eşit derecede olduğundan, Tablo 6'nın 3.1.3 paragrafındaki tavsiyeleri kullanmak daha mantıklıdır:

b) İlk olarak, integralde yer alan tüm trigonometrik fonksiyonları tek bir argümana getiriyoruz:

Ortaya çıkan integralde evrensel bir ikame uygulayabilirsiniz, ancak sinüs ve kosinüsün işaretleri değiştiğinde integralin işaret değiştirmediğine dikkat edin:

Bu nedenle, işlev Tablo 6'nın 3.1.3 paragrafında belirtilen özelliklere sahiptir, bu nedenle en uygun ikame şu olacaktır:
. Sahibiz:

c) Verilen integralde kosinüsün işaretini değiştirirsek, tüm fonksiyon işaret değiştirir:

.

Bu nedenle, integral Bölüm 3.1.2'de açıklanan özelliğe sahiptir. Bu nedenle, ikame kullanmak mantıklıdır.
. Ama önce, önceki örnekte olduğu gibi, integrali dönüştürüyoruz:

d) Verilen integralde sinüsün işaretini değiştirirsek, o zaman tüm fonksiyon işaret değiştirecektir, bu da Tablo 6'nın 3.1.1 paragrafında açıklanan duruma sahip olduğumuz anlamına gelir, dolayısıyla yeni değişken fonksiyon tarafından gösterilmelidir.
. Ancak integralde fonksiyonun varlığı gözlenmediği için
, ne de diferansiyeli, önce dönüştürürüz:

Örnek 6İntegralleri bulun:

A)
; B)
;

v)
G)
.

Çözüm.

a) Bu integral, Tablo 6'nın 3.2 biçimindeki integralleri ifade eder. Sinüs tek derecede olduğundan, önerilere göre, işlevi değiştirmek uygundur.
. Ama önce integrali dönüştürüyoruz:

.

b) Bu integral bir öncekiyle aynı türdedir, ancak burada fonksiyonlar
Ve
çift ​​derecelere sahipseniz, derece azaltma formüllerini uygulamanız gerekir:
,
. Biz:

=

c) Fonksiyonu dönüştürelim:

d) Tablo 6'nın 3.1.3 numaralı tavsiyelerine göre, bu integralde değişiklik yapmak uygundur.
. Biz:

Tablo 5irrasyonel fonksiyonlar (R argümanlarının rasyonel bir fonksiyonudur)

Örnek 7İntegralleri bulun:

A)
; B)
; v)
.

Çözüm.

a) Bu integral, 2.1 biçimindeki integrallere atfedilebilir, dolayısıyla ilgili ikameyi yaparız. Bu durumda ikamenin anlamının irrasyonellikten kurtulmak olduğunu hatırlayın. Ve bu, radikal ifadenin, integralin altındaki tüm köklerin çıkarılacağı yeni bir değişken derecesi ile değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir. Bizim durumumuzda, bu açıkça :

İntegral altında, uygun olmayan bir rasyonel kesir elde edilir. Bu tür kesirlerin entegrasyonu, her şeyden önce tüm parçanın seçilmesini gerektirir. Öyleyse payı paydaya bölelim:

Sonra alırız
, buradan

Belirli bir integrali doğrudan entegrasyonla hesaplayın

her zaman başarılı olmaz. En etkili yöntemlerden biri

bir entegrasyon değişkenini ikame etme veya değiştirme yöntemidir.

Bu yöntemin özü, yeni bir entegrasyon değişkeni getirerek, verilen integrali şuna indirgemenin mümkün olduğu gerçeğinde yatmaktadır:

doğrudan entegrasyonla alınan yeni integral.

Bu yöntemi göz önünde bulundurun:

sürekli bir fonksiyon olsun

bulmak gerekiyor: (1)

Entegrasyon değişkenini değiştirelim:

burada φ (t), sürekli bir türevi olan monoton bir fonksiyondur

ve karmaşık bir fonksiyon f(φ(t)) vardır.

Kompleksin farklılaşma formülünün F (x) = F (φ (t))'ye uygulanması

fonksiyonlar, şunu elde ederiz:

﴾F (φ (t))﴿' = F'(x) ∙ φ' (t)

Ama F(x) = f(x) = f(φ(t)) yani

﴾F (φ (t))﴿' = f (φ (t)) ∙ φ' (t) (3)

Bu nedenle, F(φ (t)) işlevi, işlev için bir ters türevdir.

f (φ (t)) ∙ φ' (t), yani:

∫ f (φ (t)) ∙ φ' (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

F (φ (t)﴿ = F (x), (1) ve (4)'ün yerine koyma formülünü takip ettiğini düşünürsek

belirsiz integralde değişken:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Resmi olarak, formül (5), x'in φ (t) ve dx'in φ' (t)dt ile değiştirilmesiyle elde edilir.

Formül (5) ile entegrasyondan sonra elde edilen sonuçta aşağıdaki gibi

x'e geri dön Bu her zaman mümkündür, çünkü

konumunda, x = φ(t) fonksiyonu monotondur.

İyi bir ikame seçimi genellikle iyi bilinen bir eseri temsil eder.

ness. Bunların üstesinden gelmek için farklılaşma tekniğine hakim olmak gerekir.

alıntı yapma ve tabular integraller hakkında iyi bilgi sahibi olma.

Ancak yine de bir takım genel kurallar ve bazı püf noktaları oluşturabilirsiniz.

entegrasyon.

İkame yöntemiyle entegrasyon kuralları:

1. Bu integralin hangi tablo integraline indirgendiğini belirleyin (gerekirse daha önce integrali dönüştürerek).

2. İntegrandın hangi parçasının değiştirilmesi gerektiğini belirleyin

yeni değişken ve bu değiştirmeyi kaydedin.

3. Kaydın her iki bölümünün farkını bulun ve farkı ifade edin.

eski değişken (veya bu diferansiyeli içeren bir ifade)

rencial) yeni değişkenin diferansiyeli aracılığıyla.

4. İntegralin altında bir yer değiştirme yapın.

5. Ortaya çıkan integrali bulun.

6. Sonuç olarak eski değişkene gidin.

Yerine koyma yöntemiyle integral çözme örnekleri:

1. Bulun: ∫ x²(3+2x) dx

Çözüm:

3+2x = t yerine koyalım

İkamenin her iki bölümünün farkını bulun:

6x dx = dt, nereden

Buradan:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

t'yi ikame ifadesiyle değiştirerek şunu elde ederiz:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Çözüm:

= ∫ = e = e + C = e + C

Çözüm:

Çözüm:

Çözüm:

Belirli integral kavramı.

Argüman değiştiğinde herhangi bir antiderivatif fonksiyon için değerlerdeki fark, bu fonksiyonun a'dan b'ye kadar olan aralığındaki integrali olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir:

a ve b'ye entegrasyonun alt ve üst limitleri denir.

Kesin integrali hesaplamak için ihtiyacınız olan:

1. Karşılık gelen belirsiz integrali bulun

2. Ortaya çıkan ifadede x yerine önce integralin üst sınırını ve sonra alt sınırı - a koyun.

3. İkinci sonucu birinci oyuncu değişikliği sonucundan çıkarın.

Kısaca bu kural formüller halinde şu şekilde yazılır:

Bu formüle Newton-Leibniz formülü denir.

Belirli integralin temel özellikleri:

1. , burada K=sabit

3. Eğer , öyleyse

4. Fonksiyon , aralığında negatif değilse, o zaman

Belirli bir integralde eski entegrasyon değişkenini yenisiyle değiştirirken, eski entegrasyon limitlerini yenileriyle değiştirmek gerekir. Bu yeni sınırlar, seçilen ikame tarafından belirlenir.

Belirli bir integralin uygulanması.

Bir eğri, bir x ekseni ve iki düz çizgi ile sınırlanmış eğrisel bir yamuğun alanı Ve formülle hesaplanır:

İşaretini değiştirmeyen bir eğri, apsis ekseni ve iki düz çizgi ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmi Ve formülle hesaplanır:

Belirli bir integral yardımıyla bir dizi fiziksel problem de çözülebilir.

Örneğin:

Doğrusal olarak hareket eden bir cismin hızı t zamanının bilinen bir fonksiyonuysa, bu cisim tarafından t \u003d t 1 zamanından t \u003d t 2 zamanına kadar kat edilen S yolu aşağıdaki formülle belirlenir:

Değişken kuvvet, S yolunun bilinen bir fonksiyonuysa (kuvvetin yönünün değişmediği varsayılır), o zaman bu kuvvetin yolda gerçekleştirdiği A işi aşağıdaki formülle belirlenir:

Örnekler:

1. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın:

y = ; y = (x-2)2 ; 0x.

Çözüm:

a) Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım: y = ; y=(x-2)2

b) Alanı hesaplamak istediğiniz şekli belirleyiniz.

c) Denklemi çözerek entegrasyonun sınırlarını belirleyin: = (x-2) 2 ; x = 1

d) Verilen şeklin alanını hesaplayınız:

S = dx + 2 dx = 1 birim 2

2. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın:

Y = x2 ; x = y2 .

Çözüm:

2 = ; x 4 \u003d x;

x (x 3 - 1) = 0

x1 = 0; x2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3 \ 2 - ) │ 0 1 = birim 2

3. Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin 0x ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız: y = ; x = 1

Çözüm:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 birim 3

Matematik ev testi
Görev seçenekleri.

Seçenek numarası 1

y = (x + 1) 2 ; y \u003d 1 - x; 0x

Seçenek numarası 2

1. Denklem sistemini üç şekilde çözün:

2. Değişkeni değiştirerek integralleri hesaplayın:

3. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın:

y \u003d 6 - x; y=x2+4

Seçenek numarası 3.

1. Denklem sistemini üç şekilde çözün:

2. Değişkeni değiştirerek integralleri hesaplayın:

3. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın:

y \u003d - x 2 + 5; y=x+3

Seçenek numarası 4.

1. Denklem sistemini üç şekilde çözün:

2. Değişkeni değiştirerek integralleri hesaplayın:

3. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın:

y=x2; x = 3 ; Öküz

Seçenek numarası 5.

1. Denklem sistemini üç şekilde çözün:

2. Değişkeni değiştirerek integralleri hesaplayın:

3. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın:

y \u003d 3 + 2x - x2; Öküz

Seçenek numarası 6.

1. Denklem sistemini üç şekilde çözün:

2. Değişkeni değiştirerek integralleri hesaplayın:

3. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın:

y = x + 6 y = 8 + 2x – x2

Seçenek numarası 7

1. Denklem sistemini üç şekilde çözün:

2. Değişkeni değiştirerek integralleri hesaplayın:

3. Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin Öküz etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayınız:

y = günah x ; y = 0 x = 0 x = π

Seçenek numarası 8.

1. Denklem sistemini üç şekilde çözün:

2. Değişkeni değiştirerek integralleri hesaplayın:

Kaynakça

1. Yazılı D.T. Yüksek matematik derslerinin özeti Bölüm 1, 2. M. AIRIS PRESS, 2006.

2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. Yüksek matematiğin unsurları. M. Akademi, 2008

3. Vygodsky M.Ya. Yüksek matematik el kitabı. M. Bilim, 2001

4. Shipachev V.S. Yüksek Matematik. M.Lise, 2005

5. Shipachev V.S. Yüksek matematik üzerine soru kitabı. M.Lise, 2005

Yöntem aşağıdaki formüle dayanmaktadır: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, burada x = j(t), dikkate alınan aralıkta türevlenebilir bir fonksiyondur.

Kanıt. Formülün sağ ve sol kısımlarından t değişkenine göre türevleri bulunuz.

Sol tarafın, ara argümanı x = j(t) olan karmaşık bir fonksiyon içerdiğine dikkat edin. Bu nedenle, t'ye göre türevini almak için önce integralin x'e göre türevini alırız ve sonra ara argümanın t'ye göre türevini alırız.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Sağ tarafın türevi:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Bu türevler eşit olduğundan, Lagrange teoreminin bir sonucu olarak, ispatlanan formülün sol ve sağ kısımları bir miktar sabitle farklılık gösterir. Belirsiz integrallerin kendileri belirsiz bir sabit terime kadar tanımlandığından, bu sabit son notasyonda ihmal edilebilir. Kanıtlanmış.

Başarılı bir değişken değişikliği, orijinal integrali basitleştirmemize ve en basit durumlarda onu tablo haline getirmemize olanak tanır. Bu yöntemin uygulanmasında, doğrusal ve doğrusal olmayan ikame yöntemleri ayırt edilir.

a) Bir örnek kullanarak doğrusal ikame yöntemini düşünün.

örnek 1. t = 1 – 2x olsun, o zaman

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Yeni değişkenin açıkça yazılması gerekmediğine dikkat edilmelidir. Bu gibi durumlarda, diferansiyelin işareti altında bir fonksiyonun dönüşümünden veya diferansiyelin işareti altında sabitlerin ve değişkenlerin eklenmesinden söz edilir, yani. Ö örtük değişken ikamesi.

Örnek 2Örneğin, òcos(3x + 2)dx'i bulalım. Diferansiyelin özelliklerine göre
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), sonra òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

İncelenen her iki örnekte de, integralleri bulmak için lineer ikame t = kx + b (k ¹ 0) kullanıldı.

Genel durumda, aşağıdaki teorem geçerlidir.

Doğrusal ikame teoremi. F(x), f(x) fonksiyonu için bir ters türev olsun. O zaman òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, burada k ve b bazı sabitlerdir, k ¹ 0.

Kanıt.

İntegralin tanımı gereği, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. İntegral işaretinden k sabit çarpanını çıkaralım: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Şimdi eşitliğin sol ve sağ kısımlarını k'ye bölüp şu iddiayı elde edebiliriz: sabit terim gösterimine kadar kanıtlanmıştır.

Bu teorem, ò f(x)dx = F(x) + C integralinin tanımında (kx + b) ifadesinin yerine konulursa, bunun önünde ek bir 1/k çarpanının görünmesine yol açacağını belirtir. ters türevi.

Kanıtlanmış teoremi kullanarak aşağıdaki örnekleri çözüyoruz.

Örnek 3

Bulalım . Burada kx + b = 3 – x, yani k = -1, b = 3. Sonra

Örnek 4

Bulalım . Burada kx + b = 4x + 3, yani k = 4, b = 3. Sonra

Örnek 5

Bulalım . Burada kx + b = -2x + 7, yani k = -2, b = 7. Sonra

.

Örnek 6 Bulalım . Burada kx + b = 2x + 0, yani k = 2, b = 0.

.

Elde edilen sonucu ayrıştırma yöntemiyle çözülmüş örnek 8 ile karşılaştıralım. Aynı sorunu başka bir yöntemle çözerek cevabı aldık. . Elde edilen sonuçları karşılaştıralım: . Bu nedenle, bu ifadeler sabit bir terimle birbirinden farklıdır, yani. alınan cevaplar birbiriyle çelişmiyor.

Örnek 7 Bulalım . Paydada tam bir kare seçiyoruz.

Bazı durumlarda, değişkenin değiştirilmesi integrali doğrudan tabloya indirgemez, ancak bir sonraki adımda ayrıştırma yöntemini uygulamayı mümkün kılarak çözümü basitleştirebilir.

Örnek 8Örneğin, bulalım. t = x + 2'yi değiştirelim, o zaman dt = d(x + 2) = dx. Daha sonra

,

burada C \u003d C 1 - 6 (t yerine ilk iki terim yerine (x + 2) ifadesini koyarken, ½x 2 -2x - 6 elde ederiz).

Örnek 9 Bulalım . t = 2x + 1 olsun, o zaman dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t - 1)/2.

t yerine (2x + 1) ifadesini yazıp parantezleri açıp benzerlerini veriyoruz.

Dönüşüm sürecinde başka bir sabit terime geçtiğimize dikkat edin, çünkü dönüşüm sürecindeki sabit terimler grubu ihmal edilebilir.

b) Doğrusal olmayan ikame yöntemini bir örnek kullanarak ele alalım.

örnek 1. t = - x2 olsun. Ayrıca, x'ten t'ye kadar ifade edilebilir, ardından dx için bir ifade bulunabilir ve istenen integralde bir değişken değişikliği uygulanabilir. Ancak bu durumda, aksini yapmak daha kolaydır. dt = d(-x 2) = -2xdx'i bulun. xdx ifadesinin gerekli integralin integralinin bir çarpanı olduğuna dikkat edin. Elde edilen xdx = - ½ dt eşitliğinden ifade ediyoruz. Daha sonra

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2 Bulalım . t = 1 - x 2 olsun. Daha sonra

Örnek 3 Bulalım . t = olsun. Daha sonra

;

Örnek 4 Doğrusal olmayan ikame durumunda, örtük değişken ikamesinin kullanılması da uygundur.

Örneğin, bulalım. xdx = yazalım
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (dolaylı olarak t = 3 - 2x 2 değişkeni ile değiştirilir). Daha sonra

Örnek 5 Bulalım . Burada ayrıca diferansiyel işareti altında bir değişken tanıtıyoruz: (örtük değişiklik t = 3 + 5x 3). Daha sonra

Örnek 6 Bulalım . Çünkü ,

Örnek 7 Bulalım . Çünkü, o zaman

Farklı ikameleri birleştirmenin gerekli olduğu birkaç örneği ele alalım.

Örnek 8 Bulalım . İzin vermek
t = 2x + 1, sonra x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Örnek 9 Bulalım . İzin vermek
t = x - 2, sonra x = t + 2; dx=dt.

ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Öğretim ve eğitim görevleri:

• öğrencilere ikame entegrasyon yöntemini uygulamayı öğretmek;
• işlevlerin entegrasyonunu uygulamak için beceri ve yetenekler oluşturmaya devam edin;
• problem çözme yoluyla matematiğe ilgi uyandırmaya devam etmek;
• öğrenme sürecine karşı bilinçli bir tutum geliştirmek, bilginin kalitesi için bir sorumluluk duygusu aşılamak, alıştırmaları çözme ve tasarlama süreci üzerinde özdenetim uygulamak;
• yalnızca belirsiz integrali hesaplamak için algoritmaların bilinçli bir şekilde uygulanmasının, öğrencilerin incelenen konuya niteliksel olarak hakim olmalarını sağlayacağını hatırlatmak için.

Dersin sağlanması:

• temel entegrasyon formülleri tablosu;
• doğrulama çalışması için görev kartları.

Öğrenci şunları bilmelidir: belirsiz integrali ikame yöntemiyle hesaplamak için algoritma.

Öğrenci şunları yapabilmelidir: Edindiği bilgileri belirsiz integrallerin hesaplanmasında uygular.

Öğrencilerin bilişsel aktivitelerinin motivasyonu.

Öğretmen, doğrudan entegrasyon yöntemine ek olarak, belirsiz integralleri hesaplamak için başka yöntemler olduğunu, bunlardan birinin ikame yöntemi olduğunu bildirir. Bu, integrali başka bir entegrasyon değişkenine geçirerek dönüştürmekten oluşan karmaşık bir fonksiyonu entegre etmenin en yaygın yöntemidir.

ders ilerlemesi

BEN. Organizasyon zamanı.

III. Ödev kontrolü.

Ön anket:

III. Öğrencilerin temel bilgilerinin tekrarı.

1) Temel entegrasyon formülleri tablosunu tekrarlayın.

2) Doğrudan entegrasyon yönteminin ne olduğunu tekrarlayın.

Doğrudan entegrasyon, verilen integralin, integralin özdeş dönüşümleri ve belirsiz integralin özelliklerinin uygulanmasıyla bir veya daha fazla tablo integraline indirgendiği bir entegrasyon yöntemidir.

IV. Yeni materyal öğrenmek.

Belirli bir integrali doğrudan entegrasyonla hesaplamak her zaman mümkün olmaktan uzaktır ve bazen bu, büyük zorluklarla ilişkilendirilir. Bu durumlarda başka yöntemlere başvurulur. En etkili tekniklerden biri, entegrasyon değişkeninin ikamesi veya değiştirilmesi yöntemidir. Bu yöntemin özü, yeni bir entegrasyon değişkeni getirerek, verilen integrali doğrudan alması nispeten kolay olan yeni bir integrale indirgemenin mümkün olduğu gerçeğinde yatmaktadır. İntegral, değişken değiştikten sonra basitleşiyorsa, ikame amacına ulaşılmıştır. İkame yöntemiyle entegrasyonun temeli formüldür

Bu yöntemi ele alalım.

hesaplama algoritmasıikame yöntemiyle belirsiz integral:

1. Bu integralin hangi tablo integraline indirgendiği belirlenir (gerekirse daha önce integrali dönüştürerek).
2. İntegrandın hangi bölümünün yeni değişkenle değiştirileceğini belirleyin ve bu değiştirmeyi yazın.
3. Girişin her iki bölümünün diferansiyelini bulun ve eski değişkenin diferansiyelini (veya bu diferansiyeli içeren bir ifadeyi) yeni değişkenin diferansiyeli cinsinden ifade edin.
4. İntegralin altında bir ikame yapın.
5. Ortaya çıkan integrali bulun.
6. Sonuç olarak, bir ters ikame yapılır, yani. eski değişkene gidin. Sonucu farklılaştırarak kontrol etmekte fayda var.

Örnekleri düşünün.

Örnekler.İntegralleri bulun:

1) )4

Bir ikame tanıtalım:

Bu eşitliği farklılaştırarak, elimizde:

V. Tipik örnekleri çözmede bilginin uygulanması.

VI. Bilgi, beceri ve yeteneklerin bağımsız uygulaması.

seçenek 1

İntegralleri bulun:

seçenek 2

İntegralleri bulun:

7.. Dersi özetlemek.

8.. Ev ödevi:

G.N. Yakovlev, bölüm 1, §13.2, s.2, No. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)