Hassasiyet fonksiyonları. dijital PID denetleyici denklemi. Aralıklı Model Ayarlama

Gerçek bir nesne P(s)'nin transfer fonksiyonu, çalışma sırasında DP(s) değerine göre değişebilir; örneğin motor şaftındaki yükteki değişikliklere, kuluçka makinesindeki yumurta sayısına, yumurtaların düzeyine veya bileşimine bağlı olarak. malzemenin yaşlanması ve aşınması, boşluk görünümü, yağlama değişiklikleri vb. nedeniyle otoklavdaki sıvı. Düzgün tasarlanmış bir otomatik kontrol sistemi, kalite göstergelerini yalnızca ideal koşullarda değil, aynı zamanda listelenen zararlı faktörlerin varlığında da korumalıdır. DP / P nesnesinin transfer fonksiyonundaki göreceli bir değişikliğin kapalı sistem Gcl'nin transfer fonksiyonu üzerindeki etkisini değerlendirmek

y(s) = r(s), Gcl(s) = (8)

dGcl diferansiyelini bulun:

Bu eşitliğin her iki tarafını da Gcl'ye bölersek ve Gcl = PR/(1+PR)'yi sağ tarafa koyarsak şunu elde ederiz:

Şekil 17 - Şekil 15'te gösterilen hodograflı bir sistem için kazanç ve faz marjının değerlendirilmesi

(10)'dan S katsayısının anlamı görülebilir - nesnenin transfer fonksiyonundaki göreceli değişimin kapalı döngünün transfer fonksiyonundaki göreceli değişim üzerindeki etki derecesini karakterize eder, yani S katsayıdır kapalı döngünün nesnenin transfer fonksiyonundaki değişime duyarlılığı. S \u003d S (jsh) katsayısı frekansa bağlı olduğundan buna duyarlılık fonksiyonu denir.

(10)’dan aşağıdaki gibi,

Gösterimi tanıtalım:

S + T = 1 olduğundan T değerine tamamlayıcı (ek) duyarlılık işlevi denir. Duyarlılık işlevi, geri bildirim kapatıldıktan sonra sistemin özelliklerinde meydana gelen değişikliği değerlendirmenizi sağlar. Açık bir sistemin transfer fonksiyonu G = PR'ye ve kapalı bir sistemin transfer fonksiyonu Gcl = PR/(1+PR) olduğundan, bunların oranı Gcl/G = S olur. Benzer şekilde, açık bir sistem için transfer fonksiyonu Kapalı bir sistemin d bozucularının girişinden çıkışına kadar (bkz. ) P(s)/(1 + P(s)R(s)) ve açık döngü P(s), yani bunların oranı da şu şekildedir: S. Ölçüm gürültüsü girişi n'den sistem çıkışına transfer fonksiyonu için aynı oran elde edilebilir S.

Böylece S(jw) fonksiyonunun formunu bilerek (örneğin, Şekil 18), geri besleme döngüsü kapatıldıktan sonra sistem üzerindeki dış etkilerin bastırılmasının farklı frekanslar için nasıl değişeceğini söyleyebiliriz. Açıkçası, |S(jш)| > 1, kapatıldıktan sonra geri besleme artacak ve |S(jш)| olan frekanslardaki gürültü artacaktır.< 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены.

En kötü durum (dış etkilerin en büyük artışı), hassasiyet fonksiyonunun modülünün maksimum frekansı Ms'de gözlemlenecektir (Şekil 18):

Duyarlılık fonksiyonunun maksimumu stabilite marjı sm ile ilişkilendirilebilir (Şekil 15). Bunun için |1 + G(jш)| olmasına dikkat ediyoruz. [-1, j0] noktasından G(jш) fonksiyonunun hodografındaki mevcut noktaya olan mesafeyi temsil eder. Bu nedenle [-1, j0] noktasından minimum mesafe

G(jш) fonksiyonu şuna eşittir:

(13) ve (14)'ü karşılaştırarak sm = 1/Ms olduğu sonucuna varabiliriz. G(jsh) modülü artan frekansla azalırsa Şekil 15'ten görülebileceği gibi (1-sm) ? 1/gram. Burada sm = 1/Ms oranını değiştirerek, hassasiyet fonksiyonunun maksimumu cinsinden ifade edilen kazanç marjının bir tahminini elde ederiz:

Benzer şekilde, ancak daha kaba varsayımlarla, faz marjı tahminini duyarlılık fonksiyonunun maksimumu cinsinden yazabiliriz:

Örneğin, Ms = 2 için gm ? 2 ve? 29°.

Şekil 18 - Şekil 13'te gösterilen hodograflara sahip sistem için hassasiyet fonksiyonları

Sağlamlık, bir sistemin, yükteki bir değişiklikten (örneğin, fırın yükü değiştiğinde, zaman sabitleri değiştiğinde), parametrelerin teknolojik yayılımından ve bunların eskimesinden, dış etkilerden kaynaklanan parametrelerindeki değişikliklerle belirli bir stabilite marjını koruma yeteneğidir. , hesaplama hataları ve nesne modeli hatası. Duyarlılık kavramını kullanarak sağlamlığın, kararlılık marjının bir nesnenin parametrelerindeki değişikliklere karşı düşük duyarlılığı olduğunu söyleyebiliriz.

Nesnenin parametreleri küçük sınırlar içinde değişiyorsa, diferansiyelin sonlu bir artışla değiştirilmesinin kullanılması mümkün olduğunda, nesnenin parametrelerindeki değişikliklerin kapalı sistemin transfer fonksiyonu üzerindeki etkisi şu şekilde tahmin edilebilir: hassasiyet fonksiyonu (10). Özellikle, duyarlılık fonksiyonunun modülünün küçük olduğu frekanslarda, nesne parametrelerindeki değişikliklerin kapalı bir sistemin transfer fonksiyonu ve buna bağlı olarak stabilite marjı üzerindeki etkisinin küçük olacağı sonucuna varılabilir.

Nesnenin parametrelerindeki büyük değişikliklerin etkisini değerlendirmek için nesnenin transfer fonksiyonunu iki terim biçiminde temsil ediyoruz:

P = P0 + DP, (17)

burada P0 hesaplanan transfer fonksiyonudur, DP ise kararlı bir transfer fonksiyonu olması gereken P0'dan sapmadır. Bu durumda açık bir sistemin döngü kazancı G = RP0 + RDP = G0 + RDP olarak gösterilebilir. Perturbe edilmemiş sistemin hodografı üzerinde [-1, j0] noktasından mevcut A noktasına olan mesafe (DP = 0 olan) |1 + G0|'a eşit olduğundan (Şekil 19), döngü kazancı sapması RDP'ye sahip bir sistemin kararlılık koşulu şu şekilde temsil edilebilir:

|RDP|< |1+G0|,

burada T ek bir hassasiyet fonksiyonudur (12). Son olarak oranı yazabiliriz:

Proses parametreleri DP(jsh) değeri kadar değiştiğinde sistemin stabil kalabilmesi için bu durumun yerine getirilmesi gerekir.

Sıfırların ve kutupların azaltılması. Açık döngü transfer fonksiyonu G = RP, genellikle hem payı hem de paydası olan iki transfer fonksiyonunun çarpımı olduğundan, sağ yarı düzlemde veya ona yakın olan kutupları iptal etmek mümkündür. Gerçek koşullarda, parametrelerin yayılması durumunda böyle bir azalma yanlış bir şekilde gerçekleştirildiğinden, teorik bir analizin, aslında süreç parametrelerinde küçük bir sapma olsa da, sistemin kararlı olduğu sonucuna varmasına yol açtığı bir durum ortaya çıkabilir. hesaplanan değerlerden kararsız hale gelir.

Bu nedenle, kutuplar her azaltıldığında, nesnenin parametrelerinin gerçek dağılımıyla sistemin kararlılığının kontrol edilmesi gerekir.

Şekil 19 - Oranın türetilmesinin açıklanması (18)

Kutupların kısalmasının ikinci etkisi, kapalı bir sistemdeki ayar noktası sinyalinin ve dış müdahalelerin etkisi altındaki geçici sürecin yerleşme süresi arasında önemli bir farkın ortaya çıkmasıdır. Bu nedenle, sentezlenen kontrolörün tepkisinin yalnızca ayar noktası sinyalinin değil aynı zamanda harici bozuklukların etkisi altında da kontrol edilmesi gerekir.

Kontrol modlarının darbesiz olarak değiştirilmesi. PID kontrolörlerde parametrelerin aniden değiştiği modlar olabilir. Örneğin çalışan bir sistemde entegrasyon sabitinin değiştirilmesi gerektiğinde veya sistemin manuel kontrolünden sonra otomatik moda geçmek gerektiğinde. Açıklanan durumlarda, özel önlemler alınmazsa kontrol edilen değişkende istenmeyen sapmalar meydana gelebilir. Bu nedenle sorun, çalışma modlarının veya kontrolör parametrelerinin düzgün ("şoksuz") değiştirilmesinden kaynaklanmaktadır. Sorunu çözmenin ana yöntemi, entegrasyon aşamasından önce parametre değişikliği yapıldığında böyle bir denetleyici yapısı oluşturmaktır. Örneğin, değişen bir parametre Ti = Ti (t) ile integral terimi iki biçimde yazılabilir:

I(t) = veya I(t) = .

İlk durumda, Ti (t) aniden değiştiğinde, integral terimi aniden değişecektir, ikinci durumda, Ti (t), değeri aniden değişemeyen integral işaretinin altında olduğundan, düzgün bir şekilde değişecektir.

Benzer bir yöntem, PID kontrol cihazının artımlı formunda ("Dijital PID kontrol cihazının artımlı formu" bölümüne bakın) ve entegrasyonun kontrol hesaplamasının son aşamasında gerçekleştirildiği PID kontrol cihazının seri formunda uygulanır.

Dipnot: Dışbükey programlama probleminin ürettiği duyarlılık fonksiyonu ele alınmış, monotonluk, alt türevlenebilirlik ve kapalılık özellikleri incelenmiştir. Çok amaçlı dışbükey optimizasyon problemi için Pareto-optimal tahmin seti ile bir bağlantı kurulur. Optimizasyon problemleri sistemlerinde rolü açıklığa kavuşturulmuştur. Bu tür sistemlerin çözümünün genellikle dışbükey bir küme üzerindeki hassasiyet fonksiyonunu en aza indirmeye indirgendiği tespit edilmiştir. Bu tür problemlerin çözümü için sayısal yöntemler önerilmiş ve yakınsaklıkları kanıtlanmıştır. Kutsal Kitap 20.

Anahtar Kelimeler: duyarlılık fonksiyonu, duyarlılık fonksiyonu özellikleri, çok amaçlı dışbükey optimizasyon problemleri, sayısal algoritma yakınsaması.

İngilizce versiyon:
Hesaplamalı Matematik ve Matematiksel Fizik, 2011, 51 :12, 2000-2016

Referans veritabanları:
Yayın türü: Madde
UDC: 519.658.4
Tarafından alındı: 30.05.2011

Alıntı Örneği: A. S. Antipin, A. I. Golikov, E. V. Khoroshilova, “Duyarlılık fonksiyonu, özellikleri ve uygulamaları”, 51:12 (2011), 2126-2142; Hesapla. Matematik. Matematik. Fizik. , 51:12 (2011), 2000-2016

Formatta alıntı yapma AMSBİB

\Bibitem(AntGolKho11)
\by A.~S.~Antipin, A.~I.~Golikov, E.~V.~Khoroshilova
\paper Hassasiyet fonksiyonu, özellikleri ve uygulamaları
\jour J. Vychisl. matematik. ve mat. fiziksel
\ yıl 2011
\cilt 51
\sayı 12
\sayfa 2126--2142
\mathnet(http://mi.site/zvmmf9582)
\mathscinet(http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2933399)
\transl
\jour Comput. Matematik. Matematik. Fizik.
\ yıl 2011
\cilt 51
\sayı 12
\sayfalar 2000--2016
\crossref(https://doi.org/10.1134/S0965542511120049)
\isi(http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000298356400002)
\scopus(http://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84055223604)

Bu sayfaya örnek bağlantılar:

Duyarlılık çeşitli cihazların bileşenlerinin parametrelerindeki bir değişikliğe tepkisi denir.

Hassasiyet faktörü (hassasiyet fonksiyonu ya da sadece duyarlılık ), bileşenlerinin parametrelerindeki belirli bir değişiklik için cihaz parametrelerindeki (AED dahil) değişikliğin niceliksel bir değerlendirmesidir.

Hassasiyet fonksiyonunu hesaplama ihtiyacı, bileşenlerin parametreleri için gerekli toleransları hesaplarken, çevresel faktörlerin (sıcaklık, radyasyon vb.) AED'nin özellikleri üzerindeki etkisini hesaba katmak gerektiğinde ortaya çıkar. Optimizasyon problemlerinde, modellemede vb. IC çıktısının yüzdesi.

Cihaz parametre hassasiyeti fonksiyonu sen bileşen parametresindeki bir değişikliğe kısmi türev olarak tanımlanır

Bu ifade, birkaç değişkenli bir fonksiyonun Taylor serisindeki genişlemeye dayanarak elde edilir; burada

İkinci veya daha fazla mertebeden kısmi türevleri ihmal ederek duyarlılık fonksiyonu ile parametrenin sapması arasındaki ilişkiyi elde ederiz:

.

Farklı hassasiyet fonksiyonu türleri vardır:

¨ mutlak hassasiyet, mutlak sapma eşittir ;

¨ bağıl hassasiyet , bağıl sapma ;

¨ yarı göreceli hassasiyet , .

Duyarlılık fonksiyonu türünün seçimi, örneğin karmaşık transfer katsayısı için çözülen problemin türüne göre belirlenir. bağıl duyarlılık, modülün (gerçek kısım) ve yarı-göreceli faz duyarlılığının (sanal kısım) göreceli duyarlılığına eşittir:

Basit devreler için duyarlılık fonksiyonunun hesaplanması, analitik formda sunulan devre fonksiyonunun doğrudan türeviyle gerçekleştirilebilir. Karmaşık devreler için devre fonksiyonunun analitik ifadesinin elde edilmesi zor bir iştir; hassasiyet fonksiyonunun artışlarla doğrudan hesaplanması mümkündür. Bu durumda, karmaşık şemalar için oldukça mantıksız olan şemanın n analizinin yapılması gerekmektedir.

Transfer fonksiyonlarından duyarlılığı hesaplamak için Bykhovsky tarafından önerilen dolaylı bir yöntem vardır. Bu yönteme göre, örneğin doğrudan kazancın duyarlılık fonksiyonu, devrenin girişinden duyarlılığın arandığı elemana transfer fonksiyonlarının çarpımına eşittir ve transfer fonksiyonu "elemanı - devrenin çıkışı" (Şekil 8.4a).

Duyarlılık fonksiyonunun hesaplanması transfer fonksiyonlarının hesaplanmasına indirgendiğinden, bunları bulmak için örneğin genelleştirilmiş düğüm potansiyelleri yöntemini kullanmak mümkündür. Transfer fonksiyonlarıyla dolaylı hesaplama yöntemi, daha yüksek mertebeden duyarlılık fonksiyonlarının bulunmasını mümkün kılar. Şekil 8.4b ikinci dereceden duyarlılık fonksiyonunun bulunmasını göstermektedir. Genel olarak n! her biri n + 1 faktör içeren sinyal iletim yolları.

Duyarlılık fonksiyonunun hesaplanmasına yönelik yöntem aşağıda açıklanmaktadır; bu yöntem, doğrudan türev alma yöntemini ve transfer fonksiyonlarıyla dolaylı yöntemi birleştirerek, tek bir analizde n devre elemanının duyarlılığının bulunmasına olanak tanır. İletkenlik matrisi [Y] tarafından tanımlanan elektronik devrelerin S parametrelerinin birinci dereceden mutlak duyarlılığı için ifadeler elde etme örneklerini kullanarak bu yöntemi ele alalım.

Matris gösteriminde, saçılma parametreleri [S] dahil olmak üzere elektronik devrelerin özellikleri, matrisin [Y] cebirsel tamamlayıcılarının oranları olarak tanımlanır (bkz. alt bölüm 7.2). Değişken parametresi cebirsel toplamaların bazı elemanlarına dahil edilmiştir. Bu durumda duyarlılık fonksiyonunun tanımı, değişken parametreyi içeren öğelere göre cebirsel tamamlayıcıların (veya cebirsel tamamlayıcıların ve determinantın) oranlarının türevlerini bulmaya indirgenmiştir. Değişken parametrenin işlevsel olarak determinantın tamamlayıcılarının elemanlarına dahil edilmesi durumunda duyarlılık, karmaşık bir türev olarak tanımlanır.

Cebirsel tamamlayıcıların türevlerini, içerdikleri elemanların değişken parametrelerine göre belirlemek için, determinantın herhangi bir elemana göre türevinin bu elemanın cebirsel tamamlayıcısına eşit olduğunu belirten bir teorem kullanırız. Teoremin kanıtı determinantın Laplace açılımına dayanmaktadır.

.

S parametrelerinin cebirsel tamamlayıcılar cinsinden genel ifadesi şöyledir (bkz. alt bölüm 7.2)

.

Rasgele k ve l düğümleri arasına bağlanan pasif iki terminalli bir ağa saçılma parametrelerinin duyarlılık fonksiyonlarını belirleyelim (bkz. Şekil 8.5a)

Bu ve sonraki ifadeleri elde ederken aşağıdaki matris ilişkileri kullanılır:

ITUT tarafından modellenen BT içeren elektronik devreler için (bkz. alt bölüm 2.4.1), S parametrelerinin kontrol dalının iletkenliğine duyarlılığını ve sırasıyla k, l ve düğümleri arasına bağlanan kontrollü kaynak a parametresini belirleriz. p, q (Şekil 8.5b):

Elektronik devre ITUN tarafından modellenen FET'ler içeriyorsa (bkz. alt bölüm 2.4.1), o zaman saçılma parametrelerinin k, l kontrol düğümlerindeki p, q düğümleri arasındaki S eğimine duyarlılığı (Şekil 8.5c) şuna eşittir:

Kontrol sisteminin hassasiyeti. 2 Endüstriyel koşullarda bir takım nedenlerden dolayı (sıcaklık değişimi, ekipman aşınması, katalizör aktivitesinde azalma, ısıl iletkenlikte azalma vb.) kontrol sisteminin parametreleri yavaş yavaş değişir ve gerçek değerleri her zaman farklı olur. hesaplananlar. Sistem parametrelerindeki değişimlerin statik ve dinamik özellikleri üzerindeki etkisine parametrik bozulmalar, sistem özelliklerinin hesaplanan değerlerden kaynaklanan sapmalarına ise parametrik hatalar denir.

Kontrol sisteminin hassasiyeti. 3 Hassasiyet, belirli parametreler nominal (hesaplanan) değerlerinden saptığında bir sistemin çıkış özelliklerini (kalite göstergeleri) değiştirme özelliği olarak anlaşılmaktadır. Zıt özelliği belirtmek için kabalık veya sağlamlık terimi kullanılır. Herhangi bir parametrik bozulma altında özelliklerini koruyan sistemlere kaba veya sağlam denir.

Kontrol sisteminin hassasiyeti. 4 Kontrol sisteminin hassasiyeti, hassasiyet fonksiyonları kullanılarak ölçülür. Duyarlılık fonksiyonları, sistemin i-th koordinatının j-th parametresine göre kısmi türevleridir:, u =1,2,... (1) veya kullanılan kalite kriterinin j-'ye göre kısmi türevleridir. parametre: u =1,2,. .., (2)

Kontrol sisteminin hassasiyeti. 5 duyarlılık fonksiyonunun sırası nerede; 0, hassasiyet fonksiyonunun belirlendiği nominal modu gösteren bir indekstir. 1. dereceden en yaygın duyarlılık fonksiyonları.

Zamanlama hassasiyeti fonksiyonları 6 Bu hassasiyet fonksiyonları, sistem parametrelerinin hesaplanan değerlerden küçük sapmalarının kontrol sisteminin zamanlama özellikleri (geçici fonksiyon, ağırlık fonksiyonu vb.) üzerindeki etkisini değerlendirmek için kullanılır. Başlangıç ​​sistemi, tüm parametrelerin hesaplanan değerlere eşit olduğu ve varyasyonların olmadığı bir sistemdir. Bu sistem sözde temel harekete karşılık gelir.

Zaman yanıtlarının duyarlılık fonksiyonları 7 Değişken bir sistem, parametrelerde değişikliklere uğramış bir sistemdir. Hareketine değişken hareket denir. Ek hareket, çeşitli hareket ile ana hareket arasındaki farktır. Orijinal sistemin bir dizi birinci dereceden doğrusal olmayan denklemlerle tanımlanmasına izin verin: (i=1,..., n) (3)

Zamana Duyarlılık Fonksiyonları 8 Parametrelerin değer alabilmesi için parametrelerin anlık değişimlerini ele alalım. Parametre değişiklikleri diferansiyel denklemin sırasının değişmesine neden olmuyorsa, hareket değişimi bir dizi denklemle tanımlanacaktır: (i=1,..., n) (4) Ek hareket için şunu yazabiliriz: : (5)

Zaman karakteristiklerinin duyarlılık fonksiyonları 9 Türevlenebilirlik koşulu altında ve parametreler açısından ek hareket Taylor serisinde genişletilebilir. Parametrelerdeki küçük değişiklikler için kendimizi genişlemenin doğrusal terimleriyle sınırlamaya izin verilir. Daha sonra ek hareket için ilk yaklaşımın denklemini elde ederiz: (6) Parantez içindeki kısmi türevler, temel harekete karşılık gelen değişkenlerin değerlerinde (yani =0'da) alınır.

Zamanlama Hassasiyeti Fonksiyonları 10 Böylece, bilinen hassasiyet fonksiyonlarıyla ilave hareket için ilk yaklaşım bulunabilir. Duyarlılık fonksiyonlarının kullanımının, doğrudan formül (5) ile karşılaştırıldığında ek hareket bulmak için daha uygun olduğuna dikkat edin, çünkü ikincisi birçok durumda iki yakın değerin çıkarılması ihtiyacından dolayı büyük hatalar verebilir. Önemli değişikliklerle birlikte, Taylor serisindeki hem doğrusal hem de ikinci dereceden terimlerin tutulduğu ikinci yaklaşımın kullanılması gerekli olabilir.

Zaman karakteristiklerinin duyarlılık fonksiyonları 11 Başlangıç ​​denklemlerinin (4) duyarlılık denklemlerine göre türevlenmesi: (7) i=1,2,...,n; j=1,2,...,m. Bu denklemlerin çözümü U ij duyarlılık fonksiyonlarını verir. Şimdi doğrusal sistemlere dönelim. Sistemin bir dizi birinci dereceden denklemle tanımlanmasına izin verin: (i=1,2,...,n), (8)

Zaman yanıtı hassasiyet fonksiyonları 12 burada a ik ve b iq sabit katsayılardır, xi faz koordinatlarıdır ve f q(t) bir dış etkidir. Sistemdeki başlangıç ​​koşulları: t=0'da. Duyarlılık denklemleri, a ik ve b iq katsayılarının bağlı olabileceği değişken bir parametreye göre türev alınarak (8)'den elde edilir: (i=1,2,...,n), (9) kısmi türevleri değişken parametreye göre denklem sisteminin (8) katsayıları.

Zaman karakteristiklerinin duyarlılık fonksiyonları 13 Denklemler (9) başlangıç ​​koşullarına karşılık gelir: (i=1,2,...,n). Başlangıç ​​koşulları parametreye bağlı değilse, başlangıç ​​sıfır koşulları denklemlere (9) karşılık gelir. (9)’u çözmek için öncelikle denklemler kümesini (8) çözmek ve başlangıç ​​hareketini (i=1,...,n) belirlemek gerekir.

Zaman Hassasiyeti Fonksiyonları 14 Hassasiyet fonksiyonunu ve ilave hareketi bulmak için sistemin transfer fonksiyonlarını kullanmak uygundur. Örneğin, kontrol edilen y(t,) değerinin itici güçle bağımlılık yoluyla ilişkilendirilmesine izin verin: (10) burada G(s), itici eylemin görüntüsüdür. Duyarlılık fonksiyonu (10)'dan parametreye göre türevi alınarak elde edilebilir: (11)

Zaman karakteristiklerinin duyarlılık fonksiyonları 15 Burada, parametre değiştiğinde değişken ile orijinal transfer fonksiyonları arasındaki farka eşit olan ek transfer fonksiyonunun ilk yaklaşımını belirleyen transfer fonksiyonunun (12) duyarlılık fonksiyonu tanıtılmaktadır. (13) Bu bağımlılıklar, parametre değişimlerinin karakteristik denklem sistemlerinin sırasını değiştirmediği durumda geçerlidir.

Zaman yanıtı duyarlılık fonksiyonları 17 Orijinal transfer fonksiyonunun iki polinomun oranı olarak temsil edilebildiği durum için ek bir transfer fonksiyonu bulalım: (15) burada ve transfer fonksiyonunun pay ve payda polinomlarının varyasyonlarıdır.

Zaman karakteristiklerinin duyarlılık fonksiyonları 19 Örneğin, kapalı bir sistemin transfer fonksiyonu için bir duyarlılık modeli yapalım: (16) parametre değişimli. Yukarıdakilere uygun olarak buluyoruz Pay ve payda Ф(s)'nin artışlarının eşitliği, model şemasını basitleştirmemize olanak tanır.

Zaman karakteristiklerinin duyarlılık fonksiyonları 21 Bir kontrol cihazı (regülatör) Wp(s) ve bir nesne W0(s)'den oluşan tipik bir kontrol sisteminin en önemli özelliklerinden biri bağıl duyarlılık fonksiyonudur: (17) burada K 0 nesnenin kazancıdır. Kapalı bir sistemin transfer fonksiyonunu sürüş eylemine (18) göre temsil edelim ve (17)'de yerine koyalım.

Zaman duyarlılığı fonksiyonları 22 (19) Genel durumda, transfer fonksiyonu bir dizi değişen parametreye bağlı olduğunda, ek transfer fonksiyonu şudur: her dış etki.

Kalite kriterlerinin duyarlılık fonksiyonları 23 Sistemde bir dizi parametre değiştiyse, kullanılan bazı kalite değerlendirmelerinde ortaya çıkan değişiklik: (20) burada kalite değerlendirmesinin değişen değeri ve başlangıç ​​değeri, tam değer kullanılarak hesaplanabilir. diferansiyel formül: (21)

Kalite kriterlerinin duyarlılık fonksiyonları 24 Çoğu durumda varyasyonun yalnızca olasılıksal tahminleri bilindiğinden, olasılıksal yöntemlerin kullanılması tavsiye edilir. Dolayısıyla, mümkün olan maksimum sapmalar biliniyorsa ve birbirlerinden bağımsızlarsa, kalite değerlendirmesinin sapmasının ortalama karekökü maksimumu (22) ve göreceli maksimum karekökü ortalama bulunabilir. : (23)

Kalite kriterlerinin duyarlılık fonksiyonları 25 Parametre sapmalarının ve sapmaların varyansları bağımsızsa, kalite değerlendirmesinin varyansını bulabiliriz: (24) vb.

Örnek 26 Açık bir sistemin transfer fonksiyonu şu şekilde olsun: Eğer ve ve parametrelerdeki değişiklikler bağımsız ise, salınım indeksinin kök-ortalama-kare maksimum sapmasının belirlenmesi gerekir. Önce salınım indeksinin başlangıç ​​değerini belirleyelim. Bunu yapmak için kapalı sistemin frekans aktarım fonksiyonunun (AFH) maksimum modülünü bulmak gerekir:

2 RMS maksimum sapması durumunda hassasiyet fonksiyonları: Böylece, söz konusu sistemde salınım indeksi" title="Örnek 27 Maksimum için yapılan çalışma şunları verir: CT2'de RMS maksimum sapması durumunda hassasiyet fonksiyonları: Böylece, söz konusu sistem, salınım indeksi" class="link_thumb"> 27 !}Örnek 27 Maksimum verimler için inceleme: CT2'de RMS sapması maksimumsa hassasiyet fonksiyonları: Dolayısıyla, söz konusu sistemde salınım indeksi 2 RMS sapması maksimum ise hassasiyet fonksiyonları: Dolayısıyla, söz konusu sistemde, salınım indeksi "> 2 RMS sapması maksimum ise hassasiyet fonksiyonları: Dolayısıyla, dikkate alınan sistemde, salınım indeksi"> 2 RMS sapması ise hassasiyet fonksiyonları maksimum: Dolayısıyla, söz konusu sistemde dalgalanma indeksi" title="Örnek 27 Maksimum için yapılan çalışma şunu verir: CT2 Hassasiyet fonksiyonlarında, ortalama karekök maksimum sapma ise: Yani, sistemde dikkate alınan dalgalanma endeksi"> title="Örnek 27 Maksimum verimler için inceleme: CT2'de RMS sapması maksimumsa hassasiyet fonksiyonları: Dolayısıyla, söz konusu sistemde salınım indeksi"> !}

Kontrol Soruları Duyarlılığın fiziksel anlamı nedir? 2. Duyarlılığın matematiksel yorumu nedir? 3. Duyarlılık denklemi nasıl elde edilir? 4. Duyarlılık denklemlerini çözmek için başlangıç ​​koşullarını nasıl elde edersiniz? 5. Transfer fonksiyonu hassasiyet fonksiyonlarını kullanmanın uygunluğunu ne belirler? 6. Duyarlılık modelinden hangi bilgiler elde edilir? 7. Kalite kriteri duyarlılık fonksiyonlarının anlamı nedir?

Önerilen literatür Krivosheev V.P. Kontrol Teorisinin Temelleri: Ders Notları. Bölüm 2. Vladivostok: VGUEiS Yayınevi, - 83 s. 2. Lukas V.A. Otomatik kontrol teorisi. – M.: Nedra, – 416 s.

30 Sunum Materyallerinin Kullanımı Bu sunumun kullanımı, yalnızca Rusya Federasyonu'nun telif hakkı ve fikri mülkiyete ilişkin yasalarının gerekliliklerine tabi olarak ve bu Bildirimin gereklilikleri dikkate alınarak gerçekleştirilebilir. Sunum yazarların mülkiyetindedir. Kişisel, ticari olmayan kullanımınız için sunumun herhangi bir bölümünün bir kopyasını yazdırabilirsiniz, ancak sunumun herhangi bir bölümünü başka bir amaçla yazdıramaz veya sunumun herhangi bir bölümünü herhangi bir nedenle değiştiremezsiniz. Sunumun herhangi bir bölümünün basılı, elektronik veya başka bir şekilde başka bir çalışmada kullanılmasına ve ayrıca sunumun herhangi bir bölümünün başka bir sunumda referans yoluyla veya başka bir şekilde kullanılmasına yalnızca yazarların yazılı izni alındıktan sonra izin verilir. .

Bu amaç fonksiyonunun duyarlılık fonksiyonlarının bilinmesi, risklerin etkisi altında şirketin cari hesabının durumunun operasyonel yönetimi açısından oldukça faydalı olacaktır.

3.3. Duyarlılık fonksiyonlarının türleri ve özellikleri

Duyarlılık fonksiyonları hesaplanırken risk olaylarının kısa vadeli ve uzun vadeli etkileri arasında ayrım yapılmalıdır. Buna göre iki tür duyarlılık fonksiyonu tanımlarız:

Yerel hassasiyet– risk parametresinin yerel (kısa vadeli) etkisine duyarlılık; sapma yalnızca toplam planlama ufkundan önemli ölçüde daha az bir veya birkaç dönemde meydana geldiğinde (Şekil 3.2).

Küresel Hassasiyet – küresel (uzun vadeli) etkiye duyarlılık risk parametresi, onlar. Sapmanın belirli bir andan başlayarak tüm planlama ufku boyunca meydana gelebildiği durumlarda (Şekil 3.3).

Verilen hassasiyet seçeneklerinden hangisinin seçilmesi gerektiği, gerçek bir durumda belirli risk olaylarının ne kadar süreceği bağlıdır.

Burada, doğrusal sistemlerin tepkisinin, ikincisinin dürtü ve geçici özelliklerine dayanan analizi ile bir benzetme uygundur. Eğer delta-

Dirac fonksiyonu - δ (t-τ), o zaman sistemin sıfır başlangıç ​​koşulları altındaki tepkisi sayısal olarak sistemin dürtü tepkisine eşit olacaktır g(t- τ). Heaviside fonksiyonu (tek atlama) - 1(t-τ) zamanın bir noktasında tek bir eylem olarak kullanılırsa, sıfır başlangıç ​​koşulları altında sistemin tepkisi sayısal olarak h( sisteminin geçici tepkisine eşit olacaktır. t-τ).

Bizim durumumuzda delta fonksiyonunun rolü, LdX(t-τ) yerel risk parametresinde zaman içinde bir sıçrama ile oynanabilir, bu durumda yatırım projesinin tepkisi yerel duyarlılık LS(t-τ) ile orantılı olacaktır. belirli bir etkiye. Heaviside fonksiyonu 1(t-τ), GdX(t-τ) risk parametresindeki global zaman değişimine karşılık gelecektir;

yanıt global duyarlılık fonksiyonu GS(t- τ) ile orantılıdır. Şekil 3.2 karşılık gelen fonksiyonel analojileri göstermektedir.

Yerel benzetme

Küresel benzetme

Şekil 3.4. Doğrusal sistemlerle analojiler

Bildiğiniz gibi doğrusal sistemler için süperpozisyon ilkesi geçerlidir: Sistemin bir dizi etkiye tepkisi, her etkiye ayrı ayrı verilen tepkilerin toplamına eşittir. Bu prensibe dayanarak, g(t) veya h(t) sisteminin özellikleri bilindiğinde, hem aralarındaki bağlantı hem de sistemin herhangi bir darbeye tepkisi bulunabilir. Bizim durumumuzda süperpozisyon ilkesinden global ve karşılık gelen yerel duyarlılık fonksiyonları arasında bir bağlantı elde edebiliriz. Zamanın ayrı ayrı değişmesine izin verin:

t = 0, 1, 2, … n, … N,

burada t = N planlama ufku;

t = k küresel riskin etkisinin başlama anıdır;

t = k+j, (j = 0, 1, … n–k) – yerel risklerin var olduğu anlar;

t = n ≥ k+j, sistemin belirli bir darbeye tepkisinin gözlemlendiği keyfi (mevcut) bir an'dır.

O halde, t = k anında başlayan ve planlama ufkuna kadar devam eden küresel bir risk olayının etkisine sistemin tepkisini tanımlayan küresel duyarlılık, etkilerin bütünlüğüne karşılık gelen yerel duyarlılıkların üst üste binmesi olarak ifade edilebilir. t = k anlarında ortaya çıkan yerel (bir dönemlik) risklerin ve t = k + j'ye kadar, (j = 0, 1, … n – k), yani:

Yerel duyarlılık fonksiyonlarının tüm zaman dilimleri için aynı isimli global fonksiyonlara göre her zaman daha hızlı azaldığına dikkat edilmelidir. Bu durum herhangi bir riskin yerel etkisinin kısa süreli olması, küresel riskin (yerel risklerin toplamına eşit) ortaya çıktığı andan itibaren her zaman geçerli olması ve etkisinin dönemler itibariyle birikmesi ile açıklanmaktadır. dönemine. Küresel duyarlılık fonksiyonlarının, uzun vadeli parametre sapmalarının yatırım projesi üzerindeki etkisinin stratejik sonuçlarını yansıttığını söyleyebiliriz. Aynı zamanda yerel hassasiyetler, dış ve iç iş ortamındaki kısa vadeli değişikliklerin taktiksel sonuçlarını da yansıtıyor.

Finansal akış modelinin amaç fonksiyonlarının özellikleri

Doğrusal sistemlerin analizi için analitik aparatı kullanırken, bir yatırım projesinin finansal modelinin tam anlamıyla doğrusal olmayabileceği akılda tutulmalıdır; ancak birçok farklı yatırım projesi üzerinde yapılan deneylerin gösterdiği gibi, geniş bir aralıkta bile olsa. Risk parametrelerindeki değişikliklere rağmen duyarlılık analizinin doğruluğu oldukça kabul edilebilir düzeyde kaldı. Ancak bu tekniği kullanmadan önce, seçilen risk parametrelerine göre belirli bir yatırım projesinin amaç fonksiyonunun doğrusallık açısından kontrol edilmesi tavsiye edilir. Bunun için aşağıdaki orantılılık koşulunun yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek yeterlidir:

burada a keyfi bir sabittir.

Amaç fonksiyonunun doğrusal olmadığı durumları göz önünde bulundurun:

1. NBD doğrusal olmayan bir şekilde iskonto oranına bağlıdır, çünkü ikincisi "t" gücüne yükseltilir.

2. Faiz ödemesinin ertelenmesi durumunda amaç fonksiyonu krediye ilişkin banka faiz oranına doğrusal olmayan bir şekilde bağlı olabilir, çünkü bu durumda bileşik faiz şemasına göre faiz tahakkuk ettirilecek ve bu da doğrusal olmamaya yol açacaktır.

3. amaç fonksiyonu ( NPV, birikmiş finansal akış dengesi, birikmiş net finansal akış vb.), eğer bu ürünün doğal satış hacmi önemli ölçüde fiyatına bağlıysa, satılan ürünün fiyatına doğrusal olmayan bir şekilde bağlı olabilir.

4. Projenin ilk aşamasında net kar yoksa (kayıplar meydana gelirse), o zaman amaç fonksiyonları aşağıdakilere göre doğrusal olmayacaktır: Bu zaman periyotlarındaki risk parametreleri, çünkü net kârın risk parametrelerine bağımlılığı parçalı doğrusal fonksiyonlar olacaktır. Projenin yayınlanmasının ardından

pozitif net kar, belirtilen doğrusal olmama önemsiz hale gelir.

Birinci derece duyarlılıklara (3.2) ek olarak, bazı risk parametreleri için amaç fonksiyonunun doğrusal olmamasının anlamlı olduğu ve ihmal edilemeyeceği durumlarda ikinci düzey duyarlılıkların kullanılmasını öneriyoruz. Bu yaklaşım aşağıda bölüm 3.7'de daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

Amaç fonksiyonlarının özelliklerini incelemeye devam edelim. Yatırım projesinin uygulanması sırasında üretilen malların satış fiyatları risk parametresi olarak seçilirse, her planlama döneminde amaç fonksiyonu (örneğin, iki mal durumunda birikmiş net finansal akış) şöyle görünecektir:

Y = a (p1 Q 1 + p 2 Q 2 ) + b

burada p 1,2 - fiyatlar ve Q 1,2 - doğal satış hacimleri. Eğer Q(p) bağımlılığı ihmal edilebilirse, o zaman (3.2)'yi kullanarak dikkate alınan periyot için duyarlılık fonksiyonlarını elde ederiz:

Bu duyarlılık fonksiyonlarının oranının, belirli bir dönemde karşılık gelen malların parasal açıdan satış hacimlerinin oranına eşit olacağını görmek kolaydır. Sonuç olarak, fiyat duyarlılığı fonksiyonlarının yapısı, parasal açıdan satış hacimlerinin yapısına tam olarak karşılık gelecektir;

Bu sonuç, ürün yelpazesine dahil olan herhangi bir sayıda ürün için geçerlidir. Ürün yelpazesinde mevcut olan bireysel ürün gruplarının farklı KDV oranları varsa, bu durumda duyarlılık hesaplamalarında ve satış hacmi yapısının hesaplamalarında KDV'siz fiyatların kullanılması durumunda yukarıdaki sonuç geçerli olacaktır.

Fiyat duyarlılığı fonksiyonlarının bu özelliği, tüm fiyatlara yönelik duyarlılığın bilinmesi gerektiğinde, geniş bir ürün yelpazesi söz konusu olduğunda ikincisinin hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltmanıza olanak tanır.

Yukarıda belirtilen Q(p) bağımlılığı ihmal edilemezse, bu durumda duyarlılık fonksiyonları ile satış yapısı arasındaki bağlantı niteliksel düzeyde kalacaktır; Bu ürünün diğerlerine kıyasla toplam gelirdeki payı ne kadar büyükse, fiyata duyarlılığı da o kadar yüksek olur.

Daha sonra duyarlılık fonksiyonunun işaretini düşünün. Risk parametresinin sapması arttığında (azaldığında), amaç fonksiyonunun kendisinin pozitif olması koşuluyla, amaç fonksiyonunun değeri artarsa ​​(azalırsa), duyarlılık fonksiyonu tüm zaman noktaları için pozitif olacaktır. Örneğin, finansal akışların birikmiş dengesinin fiyatlara ve üretilen malların doğal satış hacimlerine olan hassasiyeti her zaman pozitif iken, aynı hedef fonksiyonunun herhangi bir maliyetteki sapmaların yanı sıra kredilerdeki banka faiz oranlarına karşı hassasiyeti de pozitiftir. her zaman olumsuz. Bu kuralın istisnası