Sinyallerin Fourier analizi. Basit Araştırma. LP konusunun bireysel görevlerinin çeşitleri

Fourier dönüşümü zamanın orijinal sürekli fonksiyonunun farklı frekans, genlik ve fazdaki bir dizi temel harmonik fonksiyona (sinüzoidal fonksiyonlardır) ayrıştırılmasına dayanan bir matematiksel yöntemler ailesidir. Tanımdan, dönüşümün ana fikrinin, herhangi bir fonksiyonun, her biri genliği, frekansı ve ilk fazı ile karakterize edilecek olan sonsuz sayıda sinüzoidal olarak temsil edilebileceği görülebilir.

Fourier dönüşümü, spektral analizin kurucusudur. Spektral analiz, ölçülen sinyalin frekans içeriğini karakterize etmenizi sağlayan bir sinyal işleme yöntemidir. Sinyalin nasıl temsil edildiğine bağlı olarak, farklı Fourier dönüşümleri kullanılır. Birkaç Fourier dönüşümü türü vardır:

– Sürekli Fourier Dönüşümü (İngiliz literatüründe Sürekli Fourier Dönüşümü – CTFT ya da kısaca, MS);

– Ayrık Fourier Dönüşümü (İngiliz literatüründe Ayrık Fourier Dönüşümü – DFT);

– Hızlı Fourier dönüşümü (İngiliz literatüründe Hızlı Fourier dönüşümü – FFT).

Sürekli Fourier Dönüşümü

Fourier dönüşümü, çeşitli bilimsel alanlarda kullanılan matematiksel bir araçtır. Bazı durumlarda, elektrik, termal veya ışık enerjisinin etkisi altında meydana gelen dinamik süreçleri tanımlayan karmaşık denklemleri çözme aracı olarak kullanılabilir. Diğer durumlarda, astronomi, tıp ve kimyadaki deneysel gözlemleri doğru bir şekilde yorumlayabilmeniz için karmaşık bir salınımlı sinyaldeki düzenli bileşenleri vurgulamanıza olanak tanır. Sürekli bir dönüşüm, genişletilmiş fonksiyonun periyodunun sonsuza gitme eğiliminde olması koşuluyla, aslında Fourier serisinin bir genellemesidir. Böylece, klasik Fourier dönüşümü, değişkenin varlığının tüm aralığını ele alan sinyalin spektrumu ile ilgilenir.

İntegralin önündeki katsayının değerine göre birbirinden farklı olan sürekli Fourier dönüşümünü yazmanın birkaç türü vardır (iki yazma biçimi):

veya

nerede ve fonksiyonun Fourier görüntüsü veya fonksiyonun frekans spektrumudur;

- dairesel frekans.

Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında farklı kayıt türlerinin bulunduğuna dikkat edilmelidir. Normalleştirme faktörü, sinyalin frekans alanından zaman alanına doğru ölçeklenmesi için gereklidir. Normalleştirme faktörü, ters dönüşümün çıkışındaki sinyalin genliğini, orijinal sinyalin genliğiyle eşleşecek şekilde azaltır. Matematiksel literatürde, doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri faktörle çarpılırken, fizikte çoğu zaman doğrudan dönüşüm için faktör ayarlanmaz, ancak faktör tersi için ayarlanır. Belirli bir sinyalin doğrudan Fourier dönüşümünü ardışık olarak hesaplar ve ardından ters Fourier dönüşümünü alırsak, ters dönüşümün sonucu orijinal sinyalle tamamen örtüşmelidir.

İşlev (−∞, +∞) aralığında tek ise, Fourier dönüşümü sinüs işlevi cinsinden temsil edilebilir:

İşlev (−∞, +∞) aralığında çift ise, Fourier dönüşümü kosinüs işlevi cinsinden temsil edilebilir:

Böylece, sürekli Fourier dönüşümü, periyodik olmayan bir fonksiyonu, her noktasında periyodik olmayan bir fonksiyon için Fourier serisinin katsayısını temsil eden bir fonksiyonun bir integrali olarak temsil etmemizi sağlar.

Fourier dönüşümü tersine çevrilebilir, yani Fourier görüntüsü fonksiyondan hesaplandıysa, orijinal fonksiyon Fourier görüntüsünden benzersiz bir şekilde geri yüklenebilir. Ters Fourier dönüşümü, formun bir integrali olarak anlaşılır (iki yazı biçimi):

veya

fonksiyonun Fourier görüntüsü veya fonksiyonun frekans spektrumu nerede;

- dairesel frekans.

İşlev (−∞, +∞) aralığında tek ise, ters Fourier dönüşümü sinüs işlevi cinsinden temsil edilebilir:

İşlev (−∞, +∞) aralığında çift ise, o zaman ters Fourier dönüşümü kosinüs işlevi cinsinden temsil edilebilir:

Örnek olarak, aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun . İncelenmekte olan üstel fonksiyonun grafiği aşağıda sunulmuştur.

Fonksiyon çift fonksiyon olduğundan, sürekli Fourier dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanacaktır:

Sonuç olarak, incelenen üstel fonksiyondaki değişimin frekans aralığına bağımlılığını elde ettik (aşağıya bakın).

Sürekli Fourier dönüşümü genellikle teoride verilen fonksiyonlara göre değişen sinyaller göz önüne alındığında kullanılır, ancak pratikte genellikle ayrık veriler olan ölçümlerle ilgilenirler. Ölçüm sonuçları, örneğin 16000 Hz veya 22000 Hz gibi belirli bir örnekleme frekansı ile düzenli aralıklarla kaydedilir. Bununla birlikte, genel durumda, ayrık okumalar düzensiz gidebilir, ancak bu, matematiksel analiz aygıtını karmaşıklaştırır, bu nedenle genellikle pratikte kullanılmaz.

Kotelnikov'un önemli bir teoremi vardır (yabancı literatürde “Nyquist-Shannon teoremi”, “örnek teoremi” adı vardır), sonlu (sınırlı genişlikte) bir spektruma (0 ... fmax), spektrumun üst frekansının iki katına eşit veya daha büyük bir frekansla alınan ayrık okumalarında bozulmalar ve kayıplar olmadan benzersiz bir şekilde geri yüklenebilir - örnekleme frekansı (fdisc >= 2*fmax). Diğer bir deyişle, 1000 Hz örnekleme hızında, analog periyodik bir sinyalden 500 Hz'e kadar frekansa sahip bir sinyal geri kazanılabilir. Unutulmamalıdır ki, bir fonksiyonun zaman içinde ayrıklaştırılması, spektrumunun periyodizasyonuna yol açar ve spektrumun frekansta ayrıklaştırılması, fonksiyonun periyodizasyonuna yol açar.

Bu, dijital sinyal işleme algoritmalarında yaygın olarak kullanılan Fourier dönüşümlerinden biridir.

Doğrudan ayrık Fourier dönüşümü, belirli bir zaman aralığında N-ölçüm noktaları tarafından tanımlanan bir zaman fonksiyonunu, bir frekans aralığında tanımlanan başka bir fonksiyonla ilişkilendirir. Zaman aralığındaki fonksiyonun N-örnekleri kullanılarak ve frekans alanındaki fonksiyonun K-katlı spektrum kullanılarak belirtildiğine dikkat edilmelidir.

k ˗ frekans indeksi.

kth sinyalinin frekansı ifade ile belirlenir

burada T, giriş verilerinin alındığı süredir.

Doğrudan ayrık dönüşüm, gerçek ve sanal bileşenler açısından yeniden yazılabilir. Gerçek bileşen, kosinüs bileşenlerinin değerlerini içeren bir dizidir ve hayali bileşen, sinüs bileşenlerinin değerlerini içeren bir dizidir.

Son ifadelerden, dönüşümün sinyali, periyot başına bir salınımdan periyot başına N salınıma kadar frekanslarla sinüzoidal bileşenlere (harmonikler olarak adlandırılır) ayrıştırdığı görülebilir.

Ayrık Fourier dönüşümünün bir özelliği vardır, çünkü harmonik sinyalin farklı bileşimine sahip fonksiyonların toplamı ile ayrık bir dizi elde edilebilir. Başka bir deyişle, ayrı bir dizi, belirsiz bir şekilde harmonik değişkenlere ayrıştırılır. Bu nedenle, ayrık bir Fourier dönüşümü kullanarak ayrık bir fonksiyonu genişletirken, orijinal sinyalde olmayan spektrumun ikinci yarısında yüksek frekanslı bileşenler görünür. Bu yüksek frekanslı spektrum, spektrumun ilk bölümünün ayna görüntüsüdür (frekans, faz ve genlik açısından). Genellikle spektrumun ikinci yarısı dikkate alınmaz ve spektrumun ilk bölümünün sinyal genlikleri ikiye katlanır.

Sürekli bir fonksiyonun genişlemesinin bir ayna efektinin ortaya çıkmasına yol açmadığına dikkat edilmelidir, çünkü sürekli bir fonksiyon benzersiz bir şekilde harmonik değişkenlere ayrıştırılır.

DC bileşeninin genliği, fonksiyonun seçilen bir süre boyunca ortalama değeridir ve aşağıdaki şekilde belirlenir:

Sinyalin frekans bileşenlerinin genlikleri ve fazları aşağıdaki ilişkilerle belirlenir:

Ortaya çıkan genlik ve faz değerlerine polar notasyon denir. Ortaya çıkan sinyal vektörü aşağıdaki gibi tanımlanacaktır:

Ayrık olarak verilen bir işlevi belirli bir aralıkta (belirli bir periyotta) başlangıç ​​noktalarının sayısıyla dönüştürmek için algoritmayı düşünün

D kıvılcım Fourier dönüşümü

Dönüşüm sonucunda fonksiyonun frekans aralığında tanımlanan gerçek ve hayali değerlerini elde ederiz.

Ters ayrık Fourier dönüşümü, frekans alanında bir K-katlı spektrum tarafından tanımlanan bir frekans fonksiyonunu, zaman alanında tanımlanan başka bir fonksiyonla ilişkilendirir.

N ˗ periyot başına ölçülen sinyal değerlerinin sayısı ve ayrıca frekans spektrumunun çokluğu;

k ˗ frekans indeksi.

Daha önce bahsedildiği gibi, ayrık Fourier dönüşümü, ayrık bir sinyalin N-noktalarını, sinyalin N-kompleks spektral örneklerine eşler. Bir spektral numunenin hesaplanması, N karmaşık çarpma ve toplama işlemi gerektirir. Bu nedenle, ayrık Fourier dönüşümü algoritmasının hesaplama karmaşıklığı ikinci derecedendir, başka bir deyişle, karmaşık çarpma ve toplama işlemleri gereklidir.

1. Fourier dönüşümü ve sinyal spektrumu

Programın düzgün çalışıp çalışmadığını kontrol etmek için, iki sinüzoidal sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) toplamı olarak bir okuma dizisi oluşturacağız ve bunu programı. Programda şunlar çizildi:

şek.1 Sinyalin zaman fonksiyonunun grafiği

Şekil 2 Sinyal spektrumunun grafiği

Spektrum grafiğinde, tümü orijinal sinyalin formülünde olduğu gibi, 0,5 V genliğe sahip 5 Hz ve 10 Hz - 1 V genliğe sahip iki çubuk (harmonik) vardır. Her şey yolunda, aferin programcı! Program düzgün çalışıyor.

Bu, ADC'nin girişine iki sinüsoid karışımından gerçek bir sinyal uygularsak, iki harmonikten oluşan benzer bir spektrum elde edeceğimiz anlamına gelir.

Toplam, bizim gerçekölçülen sinyal, süre 5 saniye, ADC tarafından sayısallaştırıldı, yani temsil edildi ayrık sayar, sahip ayrık periyodik olmayan menzil.

Matematiksel bir bakış açısından, bu ifadede kaç tane hata var?

şek.4 Fonksiyon spektrumu

Bazışeyler doğru değil! 10 Hz'lik harmonik normal olarak çizilir, ancak 5 Hz'lik bir çubuk yerine anlaşılmaz birkaç harmonik ortaya çıktı. İnternete bakıyoruz, ne ve nasıl ...

Numunenin sonuna sıfırların eklenmesi gerektiğini ve spektrumun normal çizileceğini söylüyorlar.

şek.5 5 saniyeye kadar bitmiş sıfırlar

şek.6 Spektrumu aldık

Hala 5 saniyedeki gibi değil. Teori ile uğraşmak zorundasın. Hadi gidelim Vikipedi- bilgi kaynağı.

2. Sürekli bir fonksiyon ve Fourier serisi ile gösterimi

(1), burada:

K - trigonometrik fonksiyon sayısı (harmonik bileşen sayısı, harmonik sayı)
T - işlevin tanımlandığı segment (sinyal süresi)
Ak - k'inci harmonik bileşenin genliği,
?k - k-th harmonik bileşeninin başlangıç ​​aşaması

"Bir fonksiyonu bir dizinin toplamı olarak temsil etmek" ne anlama gelir? Bu, Fourier serisinin harmonik bileşenlerinin her noktadaki değerlerini toplayarak bu noktadaki fonksiyonumuzun değerini elde edeceğimiz anlamına gelir.

(Daha kesin olarak, f(x) fonksiyonundan serinin standart sapması sıfır olma eğiliminde olacaktır, ancak standart yakınsamaya rağmen, fonksiyonun Fourier serisinin, genel olarak konuşursak, ona noktasal yakınsaması gerekli değildir. Bkz. https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Bu seri şu şekilde de yazılabilir:

(2),
nerede , k-inci karmaşık genlik.

(1) ve (3) katsayıları arasındaki ilişki aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

Fourier serisinin tüm bu üç temsilinin tamamen eşdeğer olduğuna dikkat edin. Bazen Fourier serileri ile çalışırken sinüs ve kosinüs yerine hayali argümanın üslerini kullanmak, yani Fourier dönüşümünü karmaşık biçimde kullanmak daha uygundur. Ancak, Fourier serisinin karşılık gelen genlik ve fazlara sahip kosinüs dalgalarının toplamı olarak temsil edildiği formül (1)'i kullanmak bizim için uygundur. Her durumda, gerçek sinyalin Fourier dönüşümünün sonucunun harmoniklerin karmaşık genlikleri olacağını söylemek yanlıştır. Wiki'nin doğru bir şekilde söylediği gibi, "Fourier dönüşümü (?), gerçek bir değişkenin bir işlevini, yine gerçek bir değişkenin başka bir işleviyle eşleyen bir işlemdir."

Toplam:
Sinyallerin spektral analizinin matematiksel temeli Fourier dönüşümüdür.

Fourier dönüşümü, belirli genliklere sahip sonsuz sayıda (sonsuz seri) trigonometrik fonksiyonların (sinüs ve/veya kosinüs) toplamı olarak segment (0, T) üzerinde tanımlanan sürekli bir f(x) (sinyal) fonksiyonunu temsil etmemizi sağlar. ve fazlar, segmentte de dikkate alınır (0, T). Böyle bir seriye Fourier serisi denir.

Fourier dönüşümünün sinyal analizine doğru uygulanması için anlaşılması gereken bazı noktalara daha dikkat çekiyoruz. X ekseninin tamamında Fourier serisini (sinüzoidlerin toplamı) ele alırsak, o zaman segmentin (0, T) dışında Fourier serisi tarafından temsil edilen fonksiyonun periyodik olarak fonksiyonumuzu tekrarlayacağını görebiliriz.

Örneğin, Şekil 7'deki grafikte, orijinal fonksiyon doğru parça (-T\2, +T\2) üzerinde tanımlanmıştır ve Fourier serisi tüm x ekseni üzerinde tanımlanmış periyodik bir fonksiyonu temsil etmektedir.

Bunun nedeni, sinüsoidlerin kendilerinin sırasıyla periyodik fonksiyonlar olması ve toplamlarının periyodik bir fonksiyon olmasıdır.

Şekil 7 Periyodik olmayan bir orijinal fonksiyonun Fourier serisi ile gösterimi

Böylece:

Orijinal fonksiyonumuz süreklidir, periyodik değildir ve T uzunluğunda bir aralıkta tanımlanır.
Bu fonksiyonun spektrumu ayrıktır, yani sonsuz bir dizi harmonik bileşen - Fourier serisi olarak sunulur.
Aslında belirli bir periyodik fonksiyon, (0, T) doğru parçası üzerinde bizimki ile çakışan Fourier serisi tarafından tanımlanır, ancak bu periyodiklik bizim için gerekli değildir.

Harmonik bileşenlerin periyotları, orijinal f(x) fonksiyonunun tanımlandığı segmentin (0, T) katlarıdır. Başka bir deyişle, harmonik dönemler, sinyal ölçüm süresinin katlarıdır. Örneğin Fourier serisinin birinci harmoniğinin periyodu f(x) fonksiyonunun tanımlandığı T aralığına eşittir. Fourier serisinin ikinci harmoniğinin periyodu T/2 aralığına eşittir. Ve benzeri (bkz. Şekil 8).

şek.8 Fourier serisinin harmonik bileşenlerinin periyotları (frekansları) (burada T = 2?)

Buna göre, harmonik bileşenlerin frekansları 1/T'nin katlarıdır. Yani, Fk harmonik bileşenlerinin frekansları, Fk= k\T'ye eşittir, burada k, 0 ile? arasında değişir, örneğin, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (sıfır frekansta - sabit bileşen).

Orijinal fonksiyonumuz T=1 sn için kaydedilen bir sinyal olsun. O zaman birinci harmoniğin periyodu, T1=T=1 sn sinyalimizin süresine eşit olur ve harmoniğin frekansı 1 Hz olur. İkinci harmoniğin periyodu, sinyalin süresinin 2'ye bölünmesine (T2=T/2=0,5 sn) eşit olacaktır ve frekansı 2 Hz'dir. Üçüncü harmonik için T3=T/3 sn ve frekans 3 Hz'dir. Ve benzeri.

Bu durumda harmonikler arasındaki adım 1 Hz'dir.

Böylece, 1 saniye süreli bir sinyal, 1 Hz frekans çözünürlüğü ile (bir spektrum elde etmek için) harmonik bileşenlere ayrıştırılabilir.
Çözünürlüğü 2 kat artırarak 0,5 Hz'e çıkarmak için, ölçüm süresini 2 kat - 2 saniyeye kadar artırmak gerekir. 10 saniyelik bir süreye sahip bir sinyal, 0,1 Hz'lik bir frekans çözünürlüğü ile (bir spektrum elde etmek için) harmonik bileşenlere ayrıştırılabilir. Frekans çözünürlüğünü artırmanın başka yolu yoktur.

Örnek dizisine sıfırlar ekleyerek sinyalin süresini yapay olarak artırmanın bir yolu vardır. Ancak gerçek frekans çözünürlüğünü artırmaz.

3. Ayrık sinyaller ve ayrık Fourier dönüşümü

Bir sinyali ölçmek ve sayısallaştırmak için genel şema aşağıdaki gibidir.

şek.9 Ölçüm kanalının şeması

Ölçüm transdüserinden gelen sinyal, T süresi boyunca ADC'ye gelir. T süresi boyunca elde edilen sinyal örnekleri (örnek), bilgisayara aktarılır ve hafızada saklanır.

şek.10 Sayısallaştırılmış sinyal - T zamanında alınan N okuma

Sinyal sayısallaştırma parametreleri için gereksinimler nelerdir? Bir giriş analog sinyalini ayrık bir koda (dijital sinyal) dönüştüren bir cihaza analogdan dijitale dönüştürücü (ADC, İngilizce Analogdan dijitale dönüştürücü, ADC) (Wiki) denir.

ADC'nin ana parametrelerinden biri, maksimum örnekleme hızıdır (veya örnekleme hızı, İngilizce örnekleme hızı) - örnekleme sırasında zaman içinde sürekli bir sinyalin örneklerini alma sıklığı. Hertz cinsinden ölçülür. ((Wiki))

Kotelnikov teoremine göre, sürekli bir sinyal Fmax frekansı ile sınırlı bir spektruma sahipse, zaman aralıklarında alınan ayrı örneklerinden tamamen ve benzersiz bir şekilde geri yüklenebilir. , yani frekans ile Fd ? 2*Fmax, burada Fd - örnekleme oranı; Fmax - sinyal spektrumunun maksimum frekansı. Yani sinyal örnekleme oranı (ADC örnekleme oranı), ölçmek istediğimiz sinyalin maksimum frekansının en az 2 katı olmalıdır.

Ve Kotelnikov teoreminin gerektirdiğinden daha düşük frekansta okumalar yaparsak ne olur?

Bu durumda, dijitalleştirmeden sonra yüksek frekanslı sinyalin gerçekte var olmayan düşük frekanslı bir sinyale dönüştüğü "örtüşme" etkisi (aka stroboskopik etki, hareli etki) meydana gelir. Şek. 5 yüksek frekanslı kırmızı sinüs dalgası gerçek sinyaldir. Düşük frekanslı mavi sinüs dalgası, örnekleme süresi boyunca yüksek frekanslı bir sinyalin yarısından fazlasının geçmesi için zamana sahip olmasından kaynaklanan boş bir sinyaldir.

Pirinç. 11. Örnekleme oranı yeterince yüksek olmadığında yanlış bir düşük frekans sinyalinin görünümü

Örtüşmenin etkisini önlemek için, ADC örnekleme frekansının yarısının altındaki frekansları geçiren ve daha yüksek frekansları kesen ADC - LPF'nin (alçak geçiren filtre) önüne özel bir kenar yumuşatma filtresi yerleştirilmiştir.

Ayrık örneklerinden bir sinyalin spektrumunu hesaplamak için, ayrık Fourier dönüşümü (DFT) kullanılır. Ayrık bir sinyalin spektrumunun "tanım gereği" Fd örnekleme frekansının yarısından daha az olan Fmax frekansı ile sınırlı olduğunu bir kez daha not ediyoruz. Bu nedenle, ayrık bir sinyalin spektrumu, spektrumu sınırsız olabilen sürekli bir sinyalin Fourier serisi için sonsuz toplamın aksine, sonlu sayıda harmoniğin toplamı ile temsil edilebilir. Kotelnikov teoremine göre, maksimum harmonik frekansı, en az iki örneği hesaba katacak şekilde olmalıdır, bu nedenle harmonik sayısı, ayrık sinyalin örnek sayısının yarısına eşittir. Yani, numunede N numune varsa, spektrumdaki harmoniklerin sayısı N/2'ye eşit olacaktır.

Şimdi ayrık Fourier dönüşümünü (DFT) düşünün.

Fourier serisi ile karşılaştırma

DFT'deki sürenin ayrık olması ve harmonik sayısının N/2 ile sınırlı olması dışında bunların örtüştüğünü görüyoruz - örnek sayısının yarısı.

DFT formülleri, k, s boyutsuz tamsayı değişkenlerinde yazılır; burada k, sinyal örneklerinin sayısıdır, s, spektral bileşenlerin sayısıdır.
s değeri, T periyodunda (sinyal ölçümünün süresi) harmoniğin tam salınımlarının sayısını gösterir. Ayrık Fourier dönüşümü, harmoniklerin genliklerini ve fazlarını sayısal olarak bulmak için kullanılır, yani "bilgisayarda"

Başlangıçta elde edilen sonuçlara geri dönülür. Yukarıda bahsedildiği gibi, periyodik olmayan bir fonksiyonu (bizim sinyalimizi) bir Fourier serisine genişletirken, ortaya çıkan Fourier serisi aslında T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyona karşılık gelir (Şekil 12).

şek.12 Т0 periyodu ile periyodik fonksiyon f(x), Т>T0 ölçüm periyodu ile

Şekil 12'de görülebileceği gibi, f(x) fonksiyonu Т0 periyodu ile periyodiktir. Ancak T ölçüm örneğinin süresinin T0 fonksiyonunun periyodu ile örtüşmemesi nedeniyle Fourier serisi olarak elde edilen fonksiyon T noktasında süreksizliğe sahiptir. Sonuç olarak bu fonksiyonun spektrumu çok sayıda yüksek frekanslı harmonik içerir. Ölçüm numunesi T'nin süresi, T0 fonksiyonunun periyodu ile çakışırsa, Fourier dönüşümünden sonra elde edilen spektrumda yalnızca ilk harmonik (örnek süresine eşit bir periyoda sahip bir sinüzoidal) mevcut olacaktır, çünkü f fonksiyonu (x) bir sinüsoiddir.

Başka bir deyişle, DFT programı sinyalimizin "sinüs dalgasının bir parçası" olduğunu "bilmez", ancak periyodik bir işlevi, tek tek parçaların tutarsızlığından dolayı bir boşluk içeren bir seri olarak temsil etmeye çalışır. sinüs dalgası

Sonuç olarak, spektrumda, bu süreksizlik de dahil olmak üzere toplamda fonksiyonun biçimini temsil etmesi gereken harmonikler ortaya çıkar.

Bu nedenle, farklı periyotlara sahip birkaç sinüzoidin toplamı olan sinyalin "doğru" spektrumunu elde etmek için, sinyal ölçüm periyoduna her sinüzoidal periyodun tamsayısının uyması gerekir. Uygulamada, bu koşul, sinyal ölçümünün yeterince uzun bir süresi için karşılanabilir.

Şekil 13 Şanzımanın kinematik hatasının sinyalinin işlevine ve spektrumuna bir örnek

Daha kısa bir süre ile resim "daha kötü" görünecektir:

Şekil 14 Rotor titreşim sinyalinin işlevine ve spektrumuna bir örnek

Uygulamada, bileşenlerin periyotlarının ve sinyal örneğinin süresinin çok olmamasından veya sinyal örneğinin "sıçramaları ve kırılmalarından" kaynaklanan "gerçek bileşenlerin" nerede olduğunu ve "eserlerin" nerede olduğunu anlamak zor olabilir. dalga formu. Tabii ki, "gerçek bileşenler" ve "eserler" kelimelerinin alıntılanması boşuna değildir. Spektrum grafiğinde çok sayıda harmoniğin bulunması, sinyalimizin aslında bunlardan “olduğu” anlamına gelmez. Bu, 7 sayısının 3 ve 4 sayılarından "oluştuğunu" düşünmek gibidir. 7 sayısı, 3 ve 4 sayılarının toplamı olarak temsil edilebilir - bu doğru.

Sinyalimiz de öyle... veya daha doğrusu, “sinyalimiz” bile değil, sinyalimizin tekrarlanmasıyla derlenen periyodik bir fonksiyon (örnekleme), belirli genliklere ve fazlara sahip bir harmonikler (sinüzoidler) toplamı olarak temsil edilebilir. Ancak uygulama için önemli olan birçok durumda (yukarıdaki şekillere bakın), spektrumda elde edilen harmonikleri, doğası gereği döngüsel olan ve sinyal şekline önemli bir katkı sağlayan gerçek süreçlerle ilişkilendirmek gerçekten mümkündür.

Bazı sonuçlar

2. Sinyal bir dizi gerçek değerle temsil edilir ve spektrumu bir dizi gerçek değerle temsil edilir. Harmonik frekansları pozitiftir. Spektrumu negatif frekanslar kullanarak karmaşık bir biçimde temsil etmenin matematikçiler için daha uygun olması, “doğru” ve “her zaman böyle yapılması gerektiği” anlamına gelmez.

3. T zaman aralığında ölçülen sinyal, yalnızca T zaman aralığında belirlenir. Sinyali ölçmeye başlamadan önce ne oldu ve bundan sonra ne olacak - bu bilim tarafından bilinmiyor. Ve bizim durumumuzda - ilginç değil. Zaman sınırlı bir sinyalin DFT'si, belirli koşullar altında bileşenlerinin genliğini ve frekansını hesaplamanıza izin vermesi anlamında "gerçek" spektrumunu verir.

Kullanılmış malzemeler ve diğer yararlı malzemeler.

Karmaşık şekle sahip herhangi bir dalga, basit dalgaların toplamı olarak temsil edilebilir.

Joseph Fourier, ısının katı nesnelerden nasıl geçtiğini matematiksel terimlerle açıklamaya hevesliydi ( santimetre. Isı değişimi). Belki de sıcaklığa olan ilgisi Kuzey Afrika'dayken alevlendi: Fourier, Napolyon'a Mısır'a yaptığı bir Fransız seferinde eşlik etti ve bir süre orada yaşadı. Fourier, amacına ulaşmak için yeni matematiksel yöntemler geliştirmek zorunda kaldı. Araştırmasının sonuçları 1822'de "Analitik Isı Teorisi" adlı eserde yayınlandı ( Theorie analytique de la chaleur), burada karmaşık fiziksel problemlerin daha basit problemlere ayrıştırılarak nasıl analiz edileceğini anlattı.

Analiz yöntemi sözde dayanıyordu Fourier serisi. Girişim ilkesine uygun olarak seri, karmaşık bir şeklin basit olanlara ayrışmasıyla başlar - örneğin, dünyanın yüzeyindeki bir değişiklik bir depremden kaynaklanır, bir kuyruklu yıldızın yörüngesindeki bir değişiklik nedeniyle etkisinden kaynaklanır. birkaç gezegenin çekimi, ısı yalıtım malzemesinden yapılmış düzensiz şekilli bir engelden geçişi nedeniyle ısı akışında bir değişiklik. Fourier, karmaşık bir dalga formunun basit dalgaların toplamı olarak temsil edilebileceğini gösterdi. Kural olarak, klasik sistemleri tanımlayan denklemler bu basit dalgaların her biri için kolayca çözülür. Fourier, karmaşık soruna bir bütün olarak çözüm vermek için bu basit çözümlerin nasıl özetlenebileceğini göstermeye devam etti. (Matematiksel olarak bir Fourier serisi, bir işlevi harmoniklerin (sinüs ve kosinüs) toplamı olarak temsil etme yöntemidir, bu nedenle Fourier analizi aynı zamanda harmonik analiz olarak da bilinir.)

Yirminci yüzyılın ortalarında bilgisayarların ortaya çıkışına kadar, Fourier yöntemleri ve benzerleri, doğanın karmaşıklığına saldırırken bilimsel cephanelikteki en iyi silahlardı. Karmaşık Fourier yöntemlerinin ortaya çıkışından bu yana, bilim adamları bunları yalnızca Newton'un mekanik yasalarının ve diğer temel denklemlerin doğrudan uygulanmasıyla çözülebilecek basit sorunları çözmek için kullanamadılar. 19. yüzyılda Newtoncu bilimin büyük başarılarının çoğu, aslında ilk olarak Fourier tarafından önerilen yöntemler kullanılmasaydı imkansız olurdu. Gelecekte, bu yöntemler astronomiden makine mühendisliğine kadar çeşitli alanlardaki problemlerin çözümünde kullanıldı.

Jean Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

Fransız matematikçi. Auxerre'de doğdu; dokuz yaşında yetim kaldı. Zaten genç yaşta matematik için yetenek gösterdi. Fourier, bir kilise okulunda ve bir askeri okulda eğitim gördü, ardından matematik öğretmeni olarak çalıştı. Hayatı boyunca aktif olarak siyasetle uğraştı; 1794'te terör kurbanlarını savunduğu için tutuklandı. Robespierre'in ölümünden sonra hapisten çıktı; Paris'te ünlü Politeknik Okulu'nun (Ecole Polytechnique) kurulmasında yer aldı; konumu ona Napolyon rejimi altında ilerlemesi için bir sıçrama tahtası sağladı. Napolyon'a Mısır'a eşlik etti, Aşağı Mısır valisi olarak atandı. 1801'de Fransa'ya döndükten sonra eyaletlerden birine vali olarak atandı. 1822'de Fransa bilim dünyasında etkili bir konum olan Fransız Bilimler Akademisi'nin daimi sekreteri oldu.

Video güvenlik kameraları, trafik yoğunluğunun yüksek olduğu otoyollarda trafik durumunu kontrol etmek için yaygın olarak kullanılmaktadır. Video kameralardan gelen bilgiler, sistemin görüş alanındaki araçların mekansal konumlarındaki geçici değişime ilişkin verileri içerir. Bu bilgilerin televizyon ölçüm sistemlerinde (TIS) kullanılan algoritmalar bazında işlenmesi, araçların hızlarının belirlenmesini ve trafik akış kontrolünün sağlanmasını mümkün kılmaktadır. Ulaşım yollarının televizyonla izlenmesine artan ilgiyi açıklayan bu faktörlerdir.

Araçların görüntülerini gürültü arka planına karşı filtrelemek için yöntemler geliştirmek için ana parametrelerini ve özelliklerini bilmek gerekir. Daha önce yazarlar, doğal ve kentsel arka planların Fourier ve dalgacık spektrumları üzerine bir çalışma yürüttüler. Bu çalışma, araçların benzer spektrumlarının incelenmesine ayrılmıştır.

• bir dijital kamera kullanılarak, çeşitli türlerdeki araçların tek renkli görüntülerinden oluşan bir orijinal .bmp dosyaları bankası oluşturuldu (arabalar ve kamyonlar, otobüsler, her grup için farklı açılarda ve aydınlatma koşullarında görüntü sayısı 20-40 idi); görüntüler yatay olarak 400 piksel ve dikey olarak 300 pikseldi; 0 ila 255 birim arasında parlaklık aralığı;
• görüntüler, araca ek olarak bir arka plan bileşeni de içerdiğinden, sonuç üzerindeki etkisini önlemek için yapay olarak sıfır seviyesine bastırıldı;
• araç görüntülerinin özellikleri Fourier ve dalgacık analizi yöntemleri ile analiz edilmiştir.

MATLAB ortamında geliştirilen program, bilinen çeşitli dalgacıkları (Haar, Daubechies) kullanarak ortalama parlaklığı (yani, görüntü parlaklığının matematiksel beklentisi), parlaklık dağılımını, bireysel ve toplam görüntü çizgilerinin Fourier spektrumunu, spektrogramları ve dalgacık spektrumlarını hesaplamanıza olanak tanır. , Simlet vb.). Analiz sonuçları iki boyutlu ve 3 boyutlu görüntü spektrumları şeklinde yansıtılır.

Araştırma sonuçlarına dayanarak, aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

• farklı araçların görüntülerinin ortalama parlaklık özellikleri (ortalama parlaklık, dağılım) tüm türler için benzer değerlere sahiptir; arabanın camlarından ve yüzeylerinden gelen güneş parlamasının parlaklık özellikleri üzerinde önemli bir etkisi vardır; aydınlatmanın yoğunluğuna ve yönüne bağlı olarak, siyah arabalar hafif arabalara benzer parlaklık özelliklerine sahip olabilir;
• aracın tipi ne olursa olsun, Fourier ve dalgacık spektrumları benzer bir yapıya sahiptir;
• araç spektrumunun Fourier genişliği, araç tipine zayıf bir şekilde bağlıdır; spektrum, aydınlatma ve araç yönelimindeki değişikliklerle değişen, önemli ölçüde tekdüze olmayan bir yapıya sahiptir; yatay düzlemdeki spektrum, dikey olandan daha düzensiz bir yapıya sahiptir; yarı kamyon ve otobüslerin spektral özellikleri, yüzeylerindeki çizimlerden ve yazılardan (reklam) büyük ölçüde etkilenir;
• arabaları döndürürken, yatay düzlemdeki görüntülerin spektrumundaki değişiklik önemlidir, dikey düzlemdeki spektrum oldukça sabit kalır; bu özellikle dalgacık spektrumlarında iyi görülür;
• münferit bir aracın spektrumunun ve bir aracın girişim arka planına karşı analizi, bunların spektral bileşenlerin genlik seviyelerinde farklılık gösterdiğini gösterir; bir arka planın yokluğunda, dikey spektrum çok daha düzgündür; arka planı olmayan arabaların görüntüleri için, spektrumda derin düşüş olasılığı daha yüksektir (daha yüksek düzensizlik), arka planı olan görüntülerin spektrumunun zarfı, arka planı olmayana göre daha tekdüzedir;
• yürütülen çalışmalar, çok sayıda faktörün güçlü etkisinden dolayı, araçların spektral özelliklerinin (her ikisi de Fourier analizi ve dalgacık analizi kullanılarak elde edilmiştir) araç görüntülerinin sabit spektral özelliklerini belirlememize izin vermediğini göstermiştir; bu, arka planı bastırmak için gerçekleştirilen görüntülerin spektral filtrelemesinin etkinliğini azaltır;
• otomatik trafik kontrol sistemlerinde, araçları parazit arka planına karşı ayırt etmek için renk, spektrum, nesnelerin geometrik parametreleri (boyutlar ve boyut oranları) ve dinamik özellikler gibi bir dizi özelliğin kullanılması gerekir.

KAYNAKÇA

1. Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Doğal ve kentsel arka plan görüntülerinin özelliklerinin incelenmesi / / Izv. Tulsk. Durum. Üniversite. Radyo mühendisliği ve radyo optiği. - Tula, 2005. - T. 7.- S. 97-104.

bibliyografik bağlantı

Giriş Genel Bakış bölümü, spektral analizin doğasını ve sonuçların yorumlanmasını göstermek için çok basit iki örneği (Shumway, 1988'den alınmıştır) tartışır. Bu yönteme aşina değilseniz, önce bu bölümün bu kısmını gözden geçirmeniz önerilir.

İnceleme ve veri dosyası. Sunspot.sta dosyası, 1749'dan 1924'e (Anderson, 1971) kadar bilinen güneş lekesi sayılarının (Wolfer) bir kısmını içerir. Aşağıda, örnek dosyadaki ilk birkaç verinin bir listesi bulunmaktadır.

Güneş lekelerinin sayısının dünyadaki hava durumunu, ayrıca tarımı, telekomünikasyonu vb. etkilediği varsayılmaktadır. Bu analizi kullanarak, güneş lekesi aktivitesinin doğası gereği gerçekten döngüsel olup olmadığını bulmaya çalışılabilir (aslında öyledir, bu veriler literatürde geniş çapta tartışılmıştır; örneğin bkz. Bloomfield, 1976 veya Shumway, 1988).

Analiz tanımı. Analizi çalıştırdıktan sonra Sunspot.sta veri dosyasını açın. Değişkenler düğmesine tıklayın ve Spots değişkenini seçin (Sunspot.sta veri dosyası şu anda açık olan veri dosyasıysa ve Spots değişkeni bu dosyadaki tek değişkense, Zaman Serisi Analizi iletişim kutusu açıldığında Spots'un otomatik olarak seçileceğini unutmayın. açılır). Şimdi Fourier (spektral) analizi iletişim kutusunu açmak için Fourier (spektral) analizi düğmesine tıklayın.

Spektral analiz uygulamadan önce, ilk olarak güneş lekelerinin sayısını çizin. Sunspot.sta dosyasının gözlem adları olarak karşılık gelen yılları içerdiğine dikkat edin. Bu adları çizgi grafiklerinde kullanmak için Serileri Görüntüle sekmesine tıklayın ve Etiket Noktaları altında Vaka Adları'nı seçin. Ayrıca, X Ölçeğini Manuel Olarak Ayarla ve Min. = 1 ve Adım = 10. Ardından Önizleme vurgulama düğmesinin yanındaki Grafik düğmesini tıklayın. değişken.

Güneş lekelerinin sayısı döngüsel bir model izliyor gibi görünüyor. Eğilim yok, bu nedenle Spektrum Analizi penceresine geri dönün ve Orijinal Serileri Dönüştür grubunda Doğrusal Eğilimi Kaldır seçeneğinin seçimini kaldırın.

Açıkçası, serinin ortalaması 0'dan (sıfır) büyüktür. Bu nedenle, Ortalamayı Çıkar seçeneğini seçili bırakın [aksi halde periodogram 0 (sıfır) frekansında çok büyük bir tepe noktasıyla "tıkanır"].

Artık analizi başlatmaya hazırsınız. Şimdi Fourier Spektral Analiz Sonuçları iletişim kutusunu açmak için Tamam'a (Tek Boyutlu Fourier Analizi) tıklayın.

Sonuçları Görüntüle. İletişim kutusunun üst kısmındaki bilgi bölümü, seriler için bazı özet istatistikleri gösterir. Aynı zamanda en büyük beş periodogram tepe noktasını (frekansa göre) gösterir. En büyük üç tepe, 0.0852, 0.0909 ve 0.0114 frekanslarındadır. Bu bilgi genellikle tek bir grafikte kolayca çizilemeyen çok büyük serileri (örneğin, 100.000'den fazla gözlemi olanlar) analiz ederken kullanışlıdır. Ancak bu durumda periodogram değerlerini görmek kolaydır; Periodogram ve Spektral Yoğunluk Grafikleri altındaki Periodogram düğmesine tıklayarak.

Periodogram grafiği iki farklı tepe noktası gösterir. Maksimum, yaklaşık 0,9'luk bir frekanstadır. Spektral Analiz Sonuçları penceresine dönün ve sonuç tablosundaki tüm periodogram değerlerini (ve diğer sonuçları) görmek için Özet düğmesine tıklayın. Aşağıda gösterilen, periodogramdan ayarlanan en büyük zirveye sahip sonuç tablosunun bir kısmıdır.

Giriş Genel Bakış bölümünde ele alındığı gibi, Sıklık birim zaman başına döngü sayısıdır (burada her gözlem bir zaman birimidir). Böylece, 0.0909'luk bir Frekans, 11 Dönemlik bir değere (tam bir döngü için gereken zaman birimi sayısı) karşılık gelir. Sunspot.sta'daki güneş lekesi verileri yıllık gözlemler olduğundan, güneş lekesi aktivitesinde belirgin bir 11 yıllık (belki 11 yıldan biraz daha uzun) bir döngü olduğu sonucuna varılabilir.

Spektral yoğunluk. Genellikle, spektral yoğunluk tahminlerini hesaplamak için, rastgele dalgalanmaları ortadan kaldırmak için periodogram yumuşatılır. Ağırlıklı hareketli ortalama türü ve pencere genişliği Spektral Pencereler bölümünden seçilebilir. Girişe Genel Bakış bölümü bu seçenekleri ayrıntılı olarak tartışır. Örneğimiz için, varsayılan pencereyi (Hamming genişliği 5) seçili bırakalım ve Spektral Yoğunluk grafiğini seçelim.

İki zirve şimdi daha da net. Dönem boyunca periodogramın değerlerine bakalım. Grafik bölümündeki Dönem alanını vurgulayın. Şimdi Spektral Yoğunluk grafiğini seçin.

Yine, güneş lekesi aktivitesinde belirgin bir 11 yıllık döngü vardır; dahası, yaklaşık 80-90 yıllık daha uzun bir döngünün işaretleri var.