Dijital filtre örneğinin darbe yanıtı. Sonlu dürtü yanıt filtresi. Veri Toplama ve İşleme Sistemleri Dairesi Başkanlığı

48 Sonlu darbe yanıtlı dijital filtreler. FIR filtrelerinin hesaplanması.

Sonlu dürtü yanıt filtresi (Özyinelemeli olmayan filtre, FIR filtresi) veya FIR filtresi (sonlu dürtü yanıtının kısaltması - sonlu dürtü yanıtı) - karakteristik özelliği dürtü yanıtının sınırlı süresi olan doğrusal dijital filtre türlerinden biri (zamanın bir noktasından itibaren tam olarak sıfıra eşit olur) ). Böyle bir filtreye geri bildirim eksikliğinden dolayı özyinelemeli olmayan filtre de denir. Böyle bir filtrenin transfer fonksiyonunun paydası belirli bir sabittir.

Filtrenin giriş ve çıkış sinyalleri arasındaki ilişkiyi açıklayan fark denklemi: burada P- filtre sırası, X(N) - Giriş sinyali, sen(N) çıkış sinyalidir ve B Ben- filtre katsayıları. Başka bir deyişle, herhangi bir çıktı örneğinin değeri, ölçeklendirilmiş değerlerin toplamı ile belirlenir. Pönceki sayımlar Farklı bir şekilde ifade edilebilir: Herhangi bir andaki filtre çıkışının değeri, girişin anlık değerine verilen yanıtın değeri ve kademeli olarak azalan tüm yanıtların toplamıdır. PÇıkışı hâlâ etkileyen önceki sinyal örnekleri (sonraki P-sayılırsa, dürtü geçiş fonksiyonu daha önce de belirtildiği gibi sıfıra eşit olur, dolayısıyla sonraki tüm terimler P inci de sıfır olacaktır). Önceki denklemi daha geniş bir biçimde yazalım:

Filtre çekirdeğini bulmak için koyduğumuz

X(N) = δ( N)

nerede δ( N) bir delta fonksiyonudur. Daha sonra FIR filtresinin dürtü yanıtı şu şekilde yazılabilir:

Darbe yanıtının z dönüşümü bize FIR filtresinin transfer fonksiyonunu verir:

]Özellikler

FIR filtresinin, bazen IIR filtresine göre kullanımını tercih edilmesini sağlayan bir dizi kullanışlı özelliği vardır. Bunlardan bazıları:

FIR filtreleri sağlamdır.

FIR filtreleri uygulandığında geri bildirim gerektirmez.

FIR filtrelerinin fazı doğrusal hale getirilebilir

Doğrudan Formlu FIR Filtresi

FIR filtreleri üç öğe kullanılarak uygulanabilir: çarpan, toplayıcı ve gecikme bloğu. Şekilde gösterilen seçenek, tip 1 FIR filtrelerinin doğrudan uygulanmasıdır.

Doğrudan formlu bir FIR filtresinin uygulanması

Program örneği

Aşağıda C ile yazılmış örnek bir FIR filtre programı verilmiştir:

/* FIR 128-tap filtresi */

float fir_filter(float girişi)

statik şamandıra örneği;

acc = 0,0f; /* Pil */

/* Birikimle çarpın */

için (i = 0; ben< 128; i++) {

acc += (h[i] * örnek[i]);

/* Çıkış */

/* Gecikmeli sinyali dengeleyin */

için (i = 127; i > 0; i--)

örnek[i] = örnek;

49 Veri yumuşatma. Hareketli ortalama.

50 Veri yumuşatma. Parabollerle yumuşatma.

51 Veri yumuşatma. Spencer yumuşatıyor.

52 Veri yumuşatma. medyan filtreleme.

Hareketli Ortalama, Parabolik Düzeltme, Spencer Düzeltme, Medyan Filtreleme

Zaman içinde yavaşça değişen fiziksel süreçlerin parametrelerini belirlemek için yöntemler geliştirirken, önemli bir görev, birincil dönüştürücünün çıkışında elde edilen işlenmiş sinyal üzerine bindirilen gürültü etkilerinin veya rastgele parazitlerin etkisini ortadan kaldırmaktır.

Bu etkiyi ortadan kaldırmak için veri yumuşatma uygulayabilirsiniz. Bu tür yumuşatmanın en basit yollarından biri aritmetik ortalamadır. Uygulandığında ayrık fonksiyonun (işlenmiş veri dizisi) her -'inci değeri şu ifadeye göre hesaplanır:

aritmetik ortalama için puan sayısı nerede (tek tamsayı);

Fonksiyonun işlenmeden önceki değeri;

İfadelere uygun olarak, örneğin beş, yedi, dokuz ve on bir noktada ikinci derece parabollerle yumuşatmanın oldukça etkili başka yöntemleri de vardır:

veya yedi, dokuz, on bir ve on üç noktada dördüncü derecenin parabolleri:

Pratik uygulamalarda diğer etkili yöntemler iyi sonuçlar verir, örneğin 15 noktalı Spencer yumuşatma:

Bu ifadelerin yerine karmaşık üssü koyarsak karşılık gelen dönüşümün transfer fonksiyonunu belirleyebiliriz.

Aritmetik ortalama için

Parantez içindeki ifade paydalı geometrik bir ilerleme olduğundan bu ifade şu şekilde yazılabilir:

.

Bu formül, alçak geçiren filtrenin transfer karakteristiğidir ve ortalamaya ne kadar çok terim dahil edilirse, sinyaldeki yüksek frekanslı gürültü bileşenlerinin bastırılmasının da o kadar fazla olduğu görülebilir (bkz. Şekil 6.1).

Ancak zamansal eğilimlerin işlenmesindeki semantik frekans kavramı, sinyal işlemedekinden farklıdır. Bu, zaman eğilimlerini incelerken ilgi konusu olanın frekans kompozisyonu değil, değişim türü (artış, azalma, sabitlik, döngüsellik vb.) olduğu gerçeğiyle açıklanmaktadır.

Sezgisel algoritmalar olarak adlandırılan algoritmaların kullanımı da veri yumuşatma konusunda oldukça etkilidir.

Bunlardan biri medyan filtrelemedir. Tek bir tamsayı olan boyutun kayan zaman penceresinde uygulanması sırasında, merkezi elemanın yerini, artan değerler sırasına göre sıralanan veri dizisinin elemanları olan dizinin orta elemanı alır. Zaman penceresine düşen sinyal düzeltildi. Medyan filtrelemenin avantajı, düzgün şekilde değişen sinyallerde neredeyse hiç bozulma olmadan, süresi aşmayan dürtü gürültüsünü ortadan kaldırabilme yeteneğidir. Bu gürültü bastırma yönteminin kesin bir matematiksel gerekçesi yoktur, ancak hesaplamaların basitliği ve elde edilen sonuçların etkinliği, yaygın kullanımına yol açmıştır.

Şekil 6.1 - Transfer karakteristiğinin grafikleri

m=5, 7, 9, 11 için aritmetik ortalama işlemleri

Bir başka ilginç yumuşatma algoritması medyan ortalamadır. Özü aşağıdaki gibidir. Kayan zaman penceresinde, boyut (- tek tamsayı), veri dizisinin elemanları artan düzende sıralanır ve ardından ilk ve son elemanlar sıralı sıradan kaldırılır (<). Центральный элемент временного окна из последовательности сглаживаемых данных заменяется значением, вычисляемым как

Bu yöntem, darbe ve radyo frekansı girişimini bastırmanıza ve ayrıca iyi bir sinyal yumuşatma elde etmenize olanak tanır.

En basit dijital filtreleri - sabit parametrelere sahip filtreleri - ele alalım.

Dijital filtrenin girişine, bir aralıkla takip edilen bir dizi sayısal değer şeklinde bir giriş sinyali uygulanır (Şekil 4.1, a). Dijital filtreye her bir sonraki sinyal değeri ulaştığında, çıkış sinyalinin bir sonraki değeri hesaplanır.Hesaplama algoritmaları çok çeşitli olabilir; Hesaplama sırasında giriş sinyalinin son değeri hariç kullanılabilir

giriş ve çıkış sinyallerinin önceki değerleri: Dijital filtrenin çıkışındaki sinyal aynı zamanda . Bu aralık tüm dijital sinyal işleme cihazı için aynıdır.

Pirinç. 4.1. Dijital filtrenin giriş ve çıkışındaki sinyal

Bu nedenle dijital filtrenin girişine tek darbe şeklindeki en basit sinyal uygulanırsa (Şekil 4.2, a)

daha sonra çıkışta, bir aralıkla takip edilen ayrı bir sayısal değerler dizisi şeklinde bir sinyal alacağız

Geleneksel analog devrelere benzetme yaparak, bu yanıt sinyaline filtrenin dürtü yanıtı adını verelim (Şekil 4.2, b). Analog devrenin darbe tepkisinden farklı olarak fonksiyon boyutsuzdur.

Pirinç. 4.2. Birim darbe ve dijital filtre darbe yanıtı

Filtre girişine isteğe bağlı bir ayrık sinyal uygulayalım (Şekil 1). 4.1, a), ayrık değerlerin bir kümesidir

İlk elemanın etkisi altında, filtrenin çıkışında, ile çarpılan bir dizi oluşturulur, eylem altında, bir dizi ile çarpılır ve bir değerle sağa kaydırılır, vb. Sonuç olarak, şu şekilde bir dizi elde ederiz: ile çıktı

Böylece çıkış sinyali, giriş sinyalinin ve dürtü yanıtının ayrık evrişimi olarak tanımlanır. Bu bakımdan dijital filtreler, çıkış sinyalinin giriş sinyalinin evrişimine ve darbe yanıtına eşit olduğu geleneksel devrelere benzer.

Formül (4.1) bir dijital filtreleme algoritmasıdır. Filtrenin darbe tepkisi sonlu sayıda terim içeren bir diziyle tanımlanırsa, filtre Şekil 1'de gösterilen devre biçiminde uygulanabilir. 4.3. Burada harf, zaman (hücre başına) için sinyal gecikmesinin unsurlarını belirtir; -sinyali karşılık gelen katsayı ile çarpan elemanlar.

Şekil 2'de gösterilen şema. 4.3 dijital bir filtre devresi değildir; bu diyagram, dijital filtreleme algoritmasının grafiksel bir temsilidir ve sinyal işleme sırasında gerçekleştirilen aritmetik işlemlerin sırasını gösterir.

Pirinç. 4.3. Özyinelemeli olmayan dijital filtre devresi

Sinyalleri soyut sayısal diziler biçiminde işleyen dijital filtreler için "zaman gecikmesi" kavramı tamamen doğru değildir. Bu nedenle, sinyali bir hücre geciktiren elemanlar genellikle dijital filtre devreleri üzerinde -dönüşümler dilinde sinyal gecikmesini belirten bir sembolle işaretlenir. Bundan sonra bu notasyona bağlı kalacağız.

Şekil 2'de gösterilen dijital filtre devresine dönelim. 4.3, Hesaplama için yalnızca giriş sinyalinin değerlerinin kullanıldığı bu tür filtrelere basit veya yinelemeli olmayan filtreler denir.

Filtrenin dürtü tepkisi biliniyorsa, özyinelemeli olmayan filtre algoritmasının yazılması kolaydır. Algoritmanın pratik uygulaması için dürtü yanıtının sonlu sayıda terim içermesi gerekir. Dürtü yanıtı sonsuz sayıda terim içeriyorsa, ancak büyüklükleri hızla azalıyorsa, değerleri küçük olanları atarak kendinizi sınırlı sayıda terimle sınırlandırabilirsiniz. Dürtü yanıtının elemanlarının büyüklüğü azalmazsa, yinelemeli olmayan filtre algoritmasının gerçekleştirilemez olduğu ortaya çıkar.

Pirinç. 4.4. -zincir

Örnek olarak - devresine benzer en basit dijital filtreyi düşünün (Şekil 4.4). -Devrenin dürtü yanıtı şu şekildedir:

İlgili dijital filtrenin darbe tepkisini yazmak için ifadenin şu şekilde değiştirilmesi gerekir: Bununla birlikte, bir devrenin darbe yanıtının bir boyutu vardır ve bir dijital filtrenin darbe yanıtının boyutsuz olması gerekir. Bu nedenle ifade (4.2)'deki faktörü atlıyoruz ve dijital filtrenin darbe yanıtını şu şekilde yazıyoruz:

Böyle bir dürtü tepkisi sonsuz sayıda terim içerir, ancak bunların büyüklüğü katlanarak azalır ve kişi kendini terimlerle sınırlayabilir, öyle bir seçim yapabilir ki

Artık filtrenin çıkışındaki sinyal için bir ifade yazabilirsiniz.

Bu ifade aynı zamanda bir dijital filtre algoritmasıdır. Bu filtrenin şeması Şek. 4.5.

Dijital filtrelerdeki süreçlerin analizine yönelik ikinci yaklaşım, geleneksel analog devrelerin analizinde kullanılan operatör yöntemine benzer, ancak Laplace dönüşümü yerine -transform kullanılır.

Pirinç. 4.5. -circuit'e benzer özyinelemeli olmayan bir dijital filtrenin şeması

Bir elektrik devresinin transfer fonksiyonuna benzer bir dijital filtre parametresi tanımlayalım. Bunu yapmak için dijital filtrenin dürtü yanıtına -dönüşümünü uygulayın:

Bu fonksiyona sistem filtre fonksiyonu denir.

İfade (4.1)'e göre, dijital filtrenin çıkışındaki sinyal, giriş sinyalinin ayrık evrişimine ve filtrenin darbe yanıtına eşittir. Bu ifadeye evrişim -dönüşüm teoremini uygulayarak, çıkış sinyalinin -dönüşümünün, giriş sinyalinin -dönüşümünün sistem filtre fonksiyonuyla çarpımına eşit olduğunu elde ederiz:

Böylece sistem fonksiyonu dijital filtrenin transfer fonksiyonu rolünü oynar.

Örnek olarak, -zincirine benzer birinci dereceden bir dijital filtrenin sistem fonksiyonunu bulalım:

Sinyallerin dijital filtrelerden geçişini analiz etmenin üçüncü yöntemi, klasik diferansiyel denklem yöntemine benzer. Örnek olarak sipariş zincirlerini kullanan bu yöntemi ele alalım.

1. dereceden en basit analog devre, diferansiyel denklem ile tanımlanan sinyallerin geçişi olan -devredir (bkz. Şekil 4.4).

Ayrık bir devre için diferansiyel denklem (4.8) yerine giriş ve çıkış sinyallerinin ayrık zamanlar için verildiği bir fark denklemi yazılmalı, türev yerine komşu sinyal değerlerinin farkı görünmelidir. 1. dereceden ayrık bir devre için fark denklemi oldukça genel bir biçimde yazılabilir.

Dönüşüm denklemine uygulayalım

sistem filtre fonksiyonunu nerede buluruz

Formül (4.10), 1. derece dijital filtrenin sistem fonksiyonu için oldukça genel bir ifadedir. için, bir -devreye eşdeğer bir dijital filtrenin sistem fonksiyonu için daha önce elde edilen ifade (4.7) ile örtüşmektedir.

Sistem fonksiyonuna (4.10) karşılık gelen dijital filtreleme algoritmasını bulalım. Bunu yapmak için denklem (4.9)'u aşağıdaki denkleme göre çözüyoruz:

Bu algoritmanın eşdeğer devresi Şek. 4.6. Özyinelemeli olmayan filtreyle karşılaştırıldığında (bkz. Şekil 4.5), buraya bir tür "geri bildirim döngüsü" eklenmiştir; bu, çıkış sinyalinin değerlerinin sonraki işlemlerde kullanıldığı anlamına gelir.

Pirinç. 4.6. -circuit'e benzer bir özyinelemeli dijital filtrenin şeması

hesaplamalar. Bu tür filtrelere yinelemeli filtreler denir.

Algoritma (4.11), daha önce ele alınan özyinelemeli olmayan filtreye tamamen eşdeğer bir filtreye karşılık gelir. Ancak yinelemeli olmayan filtre algoritmasını (4.4) kullanarak çıkış sinyalinin bir değerini belirlemek için işlemlerin gerçekleştirilmesi gerekir ve yinelemeli filtre algoritması (4.11) kullanıldığında yalnızca iki işlem gerekir. Bu özyinelemeli filtrelerin ana avantajıdır. Ek olarak, özyinelemeli filtreler, "kuyruğunu" atmadan dürtü yanıtını daha doğru bir şekilde uygulamanıza izin verdikleri için sinyali daha yüksek doğrulukla işlemenize olanak tanır. Özyinelemeli filtreler, yinelemeli olmayan filtreler kullanılarak genellikle gerçekleştirilemeyen algoritmaları uygulamanıza olanak tanır. Örneğin, Şekil 2'deki şemaya göre çalışan bir filtre için. 4.6, özünde ideal bir depolama entegratörüdür ve formda bir dürtü yanıtına sahiptir. Böyle bir özelliğe sahip bir filtre, yinelemeli olmayan bir şemada uygulanamaz.

Ele alınan örnekler, uzun dürtü yanıtlı dijital filtreler oluşturmak için özyinelemeli olmayan algoritmalar kullanmanın hiçbir anlam ifade etmediğini göstermektedir. Bu durumlarda özyinelemeli filtrelerin kullanılması daha uygundur.

Özyinelemeli olmayan algoritmaların kapsamı, az sayıda terim içeren dürtü yanıtlı dijital filtrelerin uygulanmasıdır. Bir örnek, çıkış sinyali giriş sinyalinin artışına eşit olan en basit diferansiyeldir:

Böyle bir dijital filtrenin şeması Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.7.

Pirinç. 4.7. En basit dijital farklılaştırıcının şeması

Şimdi denklemle tanımlanan genel bir dijital filtreyi düşünün.

Bu denklem farklı bir şekilde yeniden yazılırsa hem fark dereceli bir denklem hem de dijital filtreleme algoritması olarak düşünülebilir:

Pirinç. 4.8. Özyinelemeli dijital sıra filtresinin şeması

Algoritma (4.13), şekil 2'de gösterilen devreye karşılık gelir. 4.8. Böyle bir filtrenin sistem fonksiyonunu bulalım. Bunu yapmak için -dönüşüm denklemine başvurun:

İfade (4.14), filtre devresi elemanlarının taramaları ile sistem fonksiyonu arasında bağlantı kurmayı mümkün kılar. Sistem fonksiyonunun payındaki katsayılar, katsayıların değerlerini belirler.

(filtrenin yinelemeli olmayan kısmında) ve paydadaki katsayılar, filtrenin yinelemeli kısmını belirler.

NOVOSİBİRSK DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

OTOMATİK VE BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ FAKÜLTESİ

Veri Toplama ve İşleme Sistemleri Dairesi Başkanlığı

Disiplin "Teori ve sinyal işleme"

Laboratuvar No.10

DİJİTAL FİLTRELER

SONLU Dürtü Tepkisi

Grup: AT-33

Seçenek: 1 Öğretmen:

Öğrenci: Shadrina A.V. Doç. Shchetinin Yu.I.

Çalışmanın amacı: yumuşatma pencere fonksiyonlarını kullanarak sonlu dürtü yanıtlı filtrelerin analiz ve sentezi yöntemlerinin incelenmesi.

İşin tamamlanması:

1. Filtre uzunlukları ve için dikdörtgen kesme frekansı penceresine sahip bir FIR alçak geçiren filtrenin darbe tepkisinin grafikleri.

İdeal bir ayrık FIR filtresinin dürtü tepkisi sonsuz uzunluğa sahiptir ve aşağıdaki negatif değerler için sıfırdan farklıdır:

.

Fiziksel olarak uygulanabilir bir filtre elde etmek için, darbe tepkisini sonlu bir sayı ile sınırlamak ve ardından kesik karakteristiği sağa kaydırmak gerekir.

Değer, filtrenin uzunluğu (boyutu), – filtre sırası.

Matlab Komut Dosyası (labrab101.m)

N = input("Filtre uzunluğunu girin N = ");

h = sin(wc.*(n-(N-1)/2))./(pi.*(n-(N-1)/2));

xlabel("Kayıt numarası, n")

>>alt grafik(2,1,1)

>>labrab101

Filtre uzunluğunu girin N = 15

>> title("N=15 için FIR filtresinin darbe tepkisi")

>>alt grafik(2,1,2)

>>labrab101

Filtre uzunluğunu girin N = 50

>> title("N=50 için FIR filtresinin darbe tepkisi")

Şekil 1. Filtre uzunlukları ve değerleri için dikdörtgen kesme frekansı penceresine sahip bir FIR alçak geçiren filtrenin darbe tepkisinin grafikleri

Bir yorum: Dijital bir filtrenin frekans tepkisini Fourier serisi olarak düşünürsek: o zaman bu serinin katsayıları, filtrenin dürtü tepkisinin değerleri olacaktır. Bu durumda, Fourier serisi ilk durumda -'ye ve ikinci durumda -'ye kesildi ve daha sonra nedensel bir filtre elde etmek için kesik karakteristikler okuma ekseni boyunca sağa kaydırıldı. 'de ana lobun genişliği 2 ve - 1'de, yani. filtre uzunluğu arttıkça dürtü tepkisinin ana lobu daralır. Yan lobların seviyesini dikkate alırsak (kullanarak), o zaman artışla birlikte mutlak değeri 'den 'e yükseldi. Bu nedenle, filtrenin ideal frekans tepkisinin dikdörtgen bir pencere ile yaklaşıklaştırılması kullanıldığında, ana lobu aynı anda daraltmanın (ve dolayısıyla geçiş bölgesini azaltmanın) ve yan lobların seviyelerini azaltmanın imkansız olduğu sonucuna varılabilir ( filtrenin geçiş ve durdurma bantlarındaki dalgalanmayı azaltın). Dikdörtgen pencerenin kontrol edilebilir tek parametresi, ana lobun genişliğini etkileyebileceğiniz boyutudur, ancak yan loblar üzerinde çok fazla etkisi yoktur.

2. Fonksiyonu kullanarak öğe 1'deki dürtü yanıtlarının DTFT'sinin hesaplanması. Doğrusal ölçekte ve desibel cinsinden frekans tepkilerinin grafikleri 512 frekans okumaları. Filtrenin geçiş bandı, geçiş bandı ve durdurma bandı. Filtre sırasının geçiş bandının genişliğine ve geçiş ve durdurma bantlarındaki frekans tepkisi dalgalanma düzeyine etkisi.

Matlab İşlevi (DTFT.m)

fonksiyon = DTFT(x,M)

N = maksimum (M, uzunluk(x));

% FFT'nin 2^m boyutuna düşürülmesi

N = 2^(tavan(log(N)/log(2)));

% Hesaplama fft

% Frekans vektörü

w = 2*pi*((0:(N-1))/N);

w = w - 2*pi*(w>=pi);

% FFT'yi -pi'den +pi'ye kadar aralığa kaydırın

X = fftkaydırma(X);

w = fftkaydırma(w);

Matlab Komut Dosyası (labrab102.m)

h1 = sin(wc.*(n1-(N1-1)/2))./(pi.*(n1-(N1-1)/2));

h2 = sin(wc.*(n2-(N2-1)/2))./(pi.*(n2-(N2-1)/2));

DTFT(h1,512);

DTFT(h2,512);

arsa(w./(2*pi),abs(H1)./max(abs(H1)),"r")

xlabel("f, Hz"), ylabel("|H1|/max(|H1|)")), ızgara

arsa(w./(2*pi),abs(H2)./max(abs(H2)),"b")

xlabel("f, Hz"), ylabel("|H2|/max(|H2|)")), ızgara

arsa(w./(2*pi),20*log10(abs(H1)),"r")

title("N = 15 için dikdörtgen pencereli FIR alçak geçiren filtrenin frekans yanıtı")

xlabel("f, Hz"), ylabel("20lg(|H1|), dB")), grid

arsa(w./(2*pi),20*log10(abs(H2)),"b")

title("N = 50 için dikdörtgen pencereli FIR alçak geçiren filtrenin frekans yanıtı")

xlabel("f, Hz"), ylabel("20lg(|H2|), dB")), ızgara

İncir. 2. Filtre uzunlukları için dikdörtgen bir kesme frekansı penceresine ve doğrusal bir ölçeğe sahip bir FIR alçak geçiş filtresinin frekans yanıtı grafikleri

Şek. 3. Filtre uzunlukları için dikdörtgen kesme frekansı penceresine ve logaritmik ölçeğe sahip bir FIR alçak geçiş filtresinin frekans yanıtı grafikleri

Bir yorum:

Tablo 1. Filtre uzunlukları için geçiş bandı, geçiş bölgesi ve durdurma bandı aralığı ve