Lineer devrelerin zaman karakteristikleri deneysel olarak nasıl kaldırılır. Devrenin zamansal özellikleri. Operatör formunda transfer fonksiyonu
Devrelerin zamanlama özellikleri, geçici ve dürtü tepkilerini içerir.
Bağımsız akım ve gerilim kaynakları içermeyen doğrusal bir elektrik devresini düşünün.
Devre üzerindeki harici eylemin açma işlevi olmasına izin verin (tek atlama) x(t) = 1(t - t0).
geçici tepki Bağımsız enerji kaynakları içermeyen doğrusal bir devrenin h(t - t 0) değeri, bu devrenin tepkisinin tek bir akım veya gerilim sıçramasının etkisine oranıdır.
Geçici yanıtın boyutu, yanıt boyutunun dış etkinin boyutuna oranına eşittir, dolayısıyla geçici yanıt direnç, iletkenlik boyutuna sahip olabilir veya boyutsuz bir nicelik olabilir.
Devre üzerindeki dış etkinin -fonksiyonu şeklinde olmasına izin verin
x(t) = d(t - t0).
dürtü yanıtı g (t - t0) bağımsız enerji kaynakları içermeyen lineer devreye, devrenin sıfır başlangıç koşulları altında bir -fonksiyonu şeklindeki eyleme tepkisi denir /
Darbe tepkisinin boyutu, devrenin tepki boyutunun dış etki boyutunun ve zamanın ürününe oranına eşittir.
Devrenin karmaşık frekansı ve operatör özellikleri gibi, geçici ve impuls özellikleri de devre üzerindeki dış etki ile tepkisi arasında bir bağlantı kurar, ancak ilk özelliklerin aksine, ikincisinin argümanı zamandır. T, köşeli değil w veya karmaşık P sıklık. Argümanı zaman olan devrenin özelliklerine zamansal, argümanı frekans (karmaşık olan dahil) olan özelliklere frekans olduğundan, geçici ve darbe özellikleri devrenin zamansal özellikleriyle ilişkilidir. devre.
H k n (p) devresinin her bir operatör karakteristiği, bir geçici ve impuls tepkisi ile ilişkilendirilebilir.
(9.75)
-de t0 = 0 geçici ve impuls yanıtlarının operatör görüntüleri basit bir forma sahiptir
İfadeler (9.75), (9.76) devrenin frekans ve zaman karakteristikleri arasındaki ilişkiyi kurar. Örneğin dürtü tepkisini bilerek, devrenin karşılık gelen operatör karakteristiğini bulmak için doğrudan Laplace dönüşümünü kullanabilirsiniz.
ve bilinen operatör karakteristiğine göre H k n (p), ters Laplace dönüşümünü kullanarak devrenin impuls yanıtını belirleyin
İfadeleri (9.75) ve farklılaşma teoremini (9.36) kullanarak, geçici ve dürtü tepkileri arasında bir bağlantı kurmak kolaydır.
t \u003d t 0'da h (t - t 0) işlevi aniden değişirse, devrenin darbe yanıtı aşağıdaki ilişki ile ilişkilidir
(9.78)
İfade (9.78), genelleştirilmiş türev formülü olarak bilinir. Bu ifadedeki ilk terim, geçici yanıtın türevidir. t > t0 ve ikinci terim, d-fonksiyonunun ürününü ve noktadaki geçici özelliğin değerini içerir. t=t0.
h 1 (t - t 0) işlevi t \u003d t 0'da kırılmazsa, yani. t \u003d t 0 noktasındaki geçici yanıtın değeri sıfırdır, o zaman genelleştirilmiş türev ifadesi şuna denk gelir: alelade türev ifadesi., impuls yanıt devresi, geçici yanıtın zamana göre birinci türevine eşittir
(9.77)
Bir doğrusal devrenin geçici (impuls) özelliklerini belirlemek için iki ana yöntem kullanılır.
1) Belirli bir devrede anahtarlama fonksiyonu veya -fonksiyonu şeklinde bir akım veya gerilim uygulandığında meydana gelen geçici süreçleri dikkate almak gerekir. Bu, geçici analizin klasik veya operatör yöntemleri kullanılarak yapılabilir.
2) Uygulamada, doğrusal devrelerin zamansal özelliklerini bulmak için, frekans ve zamansal özellikler arasında bir ilişki kuran ilişkilerin kullanımına dayalı bir yol kullanmak uygundur. Bu durumda zaman özelliklerinin belirlenmesi, sıfır başlangıç koşulları için bir devre için operatör eşdeğer devresinin derlenmesiyle başlar. Ayrıca, bu şemayı kullanarak, belirli bir çifte karşılık gelen operatör karakteristiğini bulun H k n (p): x n (t) devresi üzerindeki dış etki - y k (t) devresinin tepkisi. Devrenin operatör karakteristiği bilinerek ve (6.109) veya (6.110) bağıntıları uygulanarak gerekli zaman karakteristikleri belirlenir.
Bir lineer devrenin tek bir akım veya voltaj darbesinin eylemine tepkisinin niteliksel olarak değerlendirilmesinde, devredeki geçici sürecin iki aşamaya ayrıldığına dikkat edilmelidir. İlk aşamada ( tн] t 0- , t 0+ [) devre, devreye belirli bir enerji veren tek bir impulsun etkisi altındadır. Bu durumda anahtarlama kanunları ihlal edilirken endüktans akımları ve kapasitans gerilimleri aniden devreye sağlanan enerjiye karşılık gelen bir değer kadar değişir. İkinci aşamada ( t ³ t 0+) devreye uygulanan dış etkinin etkisi sona ermiştir (aynı zamanda karşılık gelen enerji kaynakları kapatılır, yani iç dirençlerle temsil edilirler) ve devrede enerji nedeniyle devam eden serbest işlemler meydana gelir geçici sürecin ilk aşamasında reaktif elemanlarda depolanır. Bu nedenle, dürtü yanıtı, söz konusu devredeki serbest süreçleri karakterize eder.
Kazançlar için bir önceki paragrafta verilen (5.17), (5.18) ifadeleri, lineer aktif iki uçlu bir ağın transfer fonksiyonları olarak yorumlanabilir. Bu fonksiyonların doğası, Y parametrelerinin frekans özellikleri tarafından belirlenir.
İşlevler biçiminde yazdıktan sonra, doğrusal aktif dört uçlu bir ağın transfer işlevi kavramına geliyoruz. Genel olarak boyutsuz karmaşık fonksiyon, frekans alanındaki bir dört kutuplunun kapsamlı bir özelliğidir. Dört kutuplunun harmonik uyarımı ile durağan modda belirlenir.
Transfer fonksiyonunu formda göstermek genellikle uygundur.
Modül bazen dört kutuplu genlik-frekans özelliği (AFC) olarak adlandırılır. Argüman, dört kutuplunun faz frekansı özelliği (PFC) olarak adlandırılır.
Bir kuadripolün diğer kapsamlı özelliği, zaman alanındaki bir devreyi tanımlamak için kullanılan dürtü yanıtıdır.
Aktif lineer devreler için olduğu kadar pasif devreler için de devrenin impuls yanıtı, devrenin tek bir impuls (delta fonksiyonu) biçimindeki bir darbeye tepkisi anlamına gelir. Fourier integrali kullanılarak aralarındaki bağlantının kurulması kolaydır.
Tüm frekanslar için bire eşit spektral yoğunluğa sahip bir EMF'nin tek bir darbesi (delta işlevi) bir dört kutuplu girişte hareket ederse, o zaman çıkış voltajının spektral yoğunluğu basitçe . Tek bir darbeye yanıt, yani devrenin darbe yanıtı, transfer fonksiyonuna uygulanan ters Fourier dönüşümü kullanılarak kolayca belirlenir:
Bu durumda dikkat edilmelidir ki bu eşitliğin sağ tarafında delta fonksiyonunun alan boyutunda 1 çarpanı vardır. Belirli bir durumda, bir b-voltaj impulsu kastedildiğinde, bu boyut [volt x saniye] olacaktır.
Buna göre fonksiyon, dürtü yanıtının Fourier dönüşümüdür:
Bu durumda, integralden önce, [volt x saniye]^-1 boyutlu çarpanı kastediyoruz.
Gelecekte, dürtü tepkisi, yalnızca voltaj olarak değil, aynı zamanda bir delta işlevi biçimindeki darbeye bir yanıt olan herhangi bir diğer elektriksel nicelik olarak da anlaşılabilen işlev ile gösterilecektir.
Sinyallerin karmaşık frekans düzleminde temsilinde olduğu gibi (bkz. § 2.14), devre teorisinde, işlevin Laplace dönüşümü olarak kabul edilen transfer işlevi kavramı yaygın olarak kullanılır 8
Birim fonksiyonları ve özellikleri. Doğrusal devreler teorisinde önemli bir yer, bu devrelerin birim fonksiyonlar olarak adlandırılan idealleştirilmiş dış etkilere tepkisinin incelenmesiyle işgal edilir.
Birim adım fonksiyonu (Heaviside işlevi) fonksiyon denir
Fonksiyon grafiği 1(7 - (0) yüksekliği bire eşit olan bir adım veya atlama şeklindedir (Şekil 6.16, A). Bu tür bir sıçrama çağrılacak Bekar.-de t 0 = S birim adım işlevi için 1 (0) gösterimi kullanılır (Şekil 6.16, B).
Zamanın herhangi bir sınırlı fonksiyonunun ürünü olduğu için f(t)) baba 1 (t - t0) sıfıra eşittir t ve eşittir /(0 at t>t0:
Heaviside fonksiyonu l(f - t0)çeşitli dış etkilerin analitik sunumu için kullanıma uygun
Pirinç. 6.16.
Devreyi bir doğru akım veya voltaj kaynağına bağlarken, devre üzerindeki harici etki
Nerede ile- anahtarlama anı
Bu tür dış etkilere denir. tek atlama Heaviside fonksiyonu kullanılarak, ifade (6.95) şu şekilde gösterilebilir:
eğer T\u003d ?o devrede harmonik akım veya gerilim kaynağı bulunur
o zaman devre üzerindeki dış etki şu şekilde temsil edilebilir:
O sırada devre üzerindeki harici eylem ise T = T§ sabit bir değerden atlar X ( başka bir x 2, O
Yüksekliği olan dikdörtgen darbe şeklinde olan devre üzerinde harici etki X ve süre sen(Şekil 6.17, A), iki özdeş atlama arasındaki fark olarak temsil edilebilir
tarafından zaman kaydırıldı? ve (Şekil 6.17, b, V):
Pirinç. 6.17.
Pirinç. 6.18.
Süresi olan dikdörtgen bir darbe düşünün -de ve yükseklik X/De(Şekil 6.18, A). Açıkçası, bu momentumun alanı bire eşittir ve bağlı değildir. at. Nabız süresinin azalmasıyla yüksekliği artar ve -de-*? 0, sonsuza eğilimlidir, ancak nabız alanı bire eşit kalır. Alanı bire eşit olan, sonsuz yükseklikte, sonsuz küçük süreli bir itki olarak adlandırılacaktır. tek dürtü.
Tek bir darbeyi tanımlayan fonksiyon 5 ile gösterilir. (t - için) ve 5 işlevli veya Dirac işlevi. Böylece,
Ne zaman? 5-fonksiyonu için 0 = 0, 5 gösterimi kullanılır (T). b fonksiyonunun zaman diyagramlarını oluştururken (t - için) Ve 8(t) ucunun yanında 00 işareti olan dikey bir ok olarak gösterilecektir (Şekil 6.18, M.Ö).
5-fonksiyonu ile birim adım fonksiyonu arasında bağlantı kurmak için (6.96) ifadesini kullanırız. varsayarak X= 1 /at ve çabalamak -de sıfır alırız
Böylece, 8-fonksiyonu, birim adım fonksiyonunun türevidir ve birim adım fonksiyonu - 8-fonksiyonunun integrali.
Bir birim adım fonksiyonunu türevlendirme işlemi de dahil olmak üzere birim fonksiyonlar üzerindeki işlemlerin kesin bir gerekçesi, genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisinde verilmiştir. Bu tür işlemlerin niteliksel olarak gerekçelendirilmesi için 1(7: - / 0) ve 6(7 - t0) karşılık gelen işlemlerin tanımlandığı bazı basit işlevleri sınır değerler olarak temsil etmek uygundur. Örneğin, gDG işlevini düşünün) (Şek. 6.19, A), koşulları yerine getirmek
fonksiyon türevi X(t) zamanla (Şekil 6.19, B) süresi olan dikdörtgen darbe şeklindedir -de ve yükseklik 1 /D T:
-de -*? 0 fonksiyon X(t) birim adım fonksiyonuna dönüşür ve fonksiyon dx((t)/dt- b-fonksiyonuna:
bunu nereden takip ediyor 
Pirinç. 6.19.
Birim işlevleri üzerinde çeşitli işlemler gerçekleştirirken, anahtarlama momenti t QÜç farklı ana bölmek uygundur: 0 _, geçişten hemen önceki an, ? 0 - aslında geçiş anı ve? ()+ - geçişten hemen sonraki an. Bunu akılda tutarak, (6.98) koşulundan elde edilebilir
Genel olarak
Zamanın /(?) ile 8(? - ? 0) keyfi sınırlı fonksiyonunun çarpımı
(6.103) koşulları da ürün tarafından karşılanıyor f(t 0)6(t- ?o)> bu nedenle,
(6.102) ve (6.104) ifadelerinden, gelişigüzel sınırlı bir fonksiyonun /(?) çarpımının integralinin 6(1: - tg) bu fonksiyonun değerine eşittir. t = için(eğer nokta ile entegrasyon aralığına aittir) veya sıfıra (? 0 noktası entegrasyon aralığına ait değilse):
Böylece, 5-fonksiyonunun yardımıyla, /(?) fonksiyonunun değerlerini keyfi zamanlarda çıkarmak mümkündür? 0 - 8-işlevinin bu özelliğine genel olarak şu ad verilir: filtre özelliği.
Doğrusal elektrik devrelerinin tek bir sıçrama veya tek bir darbe şeklinde bir dış etkiye tepkisini belirlemek için, Laplace'a göre birim fonksiyonların görüntülerini bulmak gerekir. Birim fonksiyonların dikkate alınan özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
-de t 0 = Birim fonksiyonların 0 operatör görüntüleri özellikle basit bir forma sahiptir:
- 5-fonksiyonunun daha kesin bir tanımı için örneğin bkz.
Daha önce, frekans yanıtlarını ele aldık ve zaman yanıtları, belirli bir giriş için bir devrenin zaman içindeki davranışını tanımlar. Bu türden yalnızca iki özellik vardır: geçici ve dürtü.
Adım yanıtı
Geçici tepki - h(t) - devrenin giriş adımı etkisine verdiği tepkinin bu etkinin büyüklüğüne oranıdır, bundan önce devrede ne akım ne de gerilim olmaması koşuluyla.
Adım eyleminin bir grafiği vardır:
1(t) - tek adımlı işlem.
Bazen "0" zamanında başlamayan bir adım işlevi kullanılır:
Geçici yanıtı hesaplamak için, belirli bir devreye (giriş eylemi voltaj ise) veya sabit bir akım kaynağına (giriş eylemi akım ise) sabit bir EMF bağlanır ve reaksiyon olarak belirtilen geçici akım veya voltaj hesaplanır. Bundan sonra, sonucu kaynağın değerine bölün.
Örnek: gerilim girişi ile u c için h(t)'yi bulun.
Örnek: aynı sorunu akım şeklinde giriş eylemiyle çöz
dürtü yanıtı
Dürtü yanıtı - g(t) - bir delta işlevi biçimindeki giriş eylemine devrenin yanıtının, eylem bağlanmadan önce olması koşuluyla, bu eylemin alanına oranıdır. devrede ne akım ne de gerilim vardır.
d(t) - delta fonksiyonu, delta momentumu, tek momentum, Dirac momentumu, Dirac fonksiyonu. Bu bir işlevdir:
g(t)'yi klasik yöntemle hesaplamak son derece elverişsizdir, ancak d(t) biçimsel olarak bir türev olduğundan, g(t)=h(0)d(t) + dh(t) bağıntısından bulunabilir. )/dt.
Bu özellikleri deneysel olarak belirlemek için yaklaşık olarak hareket etmek gerekir, yani istenen etkiyi tam olarak yaratmak imkansızdır.
Girişte dikdörtgen olanlara benzer bir darbe dizisi düşer:
t f - ön kenarın süresi (giriş sinyalinin yükselme süresi);
t ve - darbe süresi;
Bu dürtüler belirli gerekliliklere tabidir:
a) geçici yanıt için:
T duraklaması o kadar büyük olmalıdır ki, bir sonraki darbe geldiğinde, önceki darbenin sonundan geçiş süreci neredeyse sona erer;
T ve o kadar büyük olmalıdır ki, nabzın ortaya çıkmasının neden olduğu geçici süreç de neredeyse bitmek üzeredir;
T f mümkün olduğu kadar küçük olmalıdır (böylece t cf için devrenin durumu pratik olarak değişmez);
X m, bir yandan, mevcut ekipmanın yardımıyla devrenin tepkisini kaydetmenin mümkün olacağı kadar büyük, diğer yandan da incelenen devrenin özelliklerini koruyacağı kadar küçük olmalıdır. Tüm bunlar doğruysa, devre reaksiyon grafiği kaydedilir ve y ekseni boyunca X m kez ölçeklenir (X m = 5 V, ordinatlar bölü 5).
b) dürtü yanıtı için:
t duraklamalar - gereksinimler X m için aynıdır - aynı, t f için gereksinimler yoktur (çünkü darbe süresi t f'nin kendisi bile o kadar küçük olmalıdır ki devrenin durumu pratikte değişmez. Eğer durum buysa , reaksiyonu kaydedin ve y ekseni boyunca ölçeği giriş darbesinin alanına göre değiştirin.
Klasik yönteme göre sonuçlar
Ana avantaj, kullanılan tüm miktarların fiziksel netliğidir, bu da çözümün gidişatını fiziksel anlam açısından kontrol etmeyi mümkün kılar. Basit devrelerde cevap almak çok kolaydır.
Dezavantajları: Problemin karmaşıklığı arttıkça, özellikle başlangıç koşullarının hesaplanması aşamasında çözümün karmaşıklığı hızla artar. Tüm problemler klasik yöntemle kolaylıkla çözülmez (pratikte hiç kimse g(t)'yi aramaz ve özel konturları ve özel bölümleri olan problemleri hesaplarken herkesin sorunları vardır).
Geçiş yapmadan önce, .
Dolayısıyla anahtarlama kanunlarına göre u c1 (0) = 0 ve u c2 (0) = 0, ancak şemadan görülebileceği gibi anahtar kapatıldıktan hemen sonra: E= u c1 (0) + u c2 (0).
Bu tür problemlerde, başlangıç koşullarını aramak için özel bir prosedür uygulamak gerekir.
Operatör yönteminde bu eksikliklerin üstesinden gelinebilir.
Bir devrenin zaman özelliği, değerleri sayısal olarak devrenin tipik bir eyleme verdiği tepkiyle belirlenen zamanın bir fonksiyonudur. Bir devrenin belirli bir tipik harekete tepkisi, yalnızca devre şemasına ve elemanlarının parametrelerine bağlıdır ve bu nedenle, devrenin karakteristiği olarak işlev görebilir. Bağımsız enerji kaynakları içermeyen ve sıfır başlangıç koşullarında lineer devreler için zaman karakteristikleri belirlenir. Zamansal özellikler, belirtilen tipik etkinin türüne bağlıdır. Vadesi dolmuş İle bu onları iki gruba ayırır: geçici ve dürtü süresi özellikleri.
geçici tepki, veya geçici fonksiyon, devrenin tek bir adım fonksiyonunun etkisine tepkisi ile belirlenir. Birkaç çeşidi vardır (Tablo 14.1).
Eylem tek bir voltaj sıçraması şeklinde verilirse ve reaksiyon da voltaj ise, o zaman geçici yanıt boyutsuzdur, sayısal olarak devrenin çıkışındaki gerilime eşittir ve geçici fonksiyon veya transfer katsayısı olarak adlandırılır. KU(t) voltaj ile. Çıkış değeri akım ise, geçici özellik iletkenlik boyutuna sahiptir, sayısal olarak bu akıma eşittir ve geçici iletkenlik olarak adlandırılır. YT). Benzer şekilde, akım şeklinde ve voltaj şeklinde reaksiyona maruz kaldığında, geçici fonksiyon direnç boyutuna sahiptir ve geçiş direnci Z(t) olarak adlandırılır. Bu durumda çıkış değeri akım ise, geçici özellik boyutsuzdur ve geçici fonksiyon veya transfer katsayısı olarak adlandırılır. K ben (t) hayır akım.
Genel durumda, herhangi bir türden geçici yanıt şu şekilde gösterilir: h(t). Geçici karakteristikler, devrenin tek adım etkisine tepkisini hesaplayarak, yani devre 1 V'luk sabit bir voltaj veya 1 A'lık bir doğru akım için açıldığında geçici süreci hesaplayarak kolayca belirlenir.
Örnek 14.2.
Geçici geçişleri bulun Ö basit bir rC devresinin bu özellikleri (Şekil 14.9, a), eğer Ö etkileri streslerdir.
1. Geçiş karakteristiklerini belirlemek için, devrenin girişine bir voltaj uygulandığında geçici süreci hesaplıyoruz. u(k) - 1 (T). Bu, devrenin t=0 anında e sabitinin kaynağına dahil edilmesine karşılık gelir. d.s. e 0 \u003d 1 İÇİNDE(Şek. 14.9.6). burada:
a) devredeki akım ifade ile belirlenir
yani geçici iletkenlik
b) kapasitans üzerindeki voltaj
yani voltaj geçiş fonksiyonu
Nabız karakteristik veya geçici darbe işlevi, devrenin δ(t)-fonksiyonunun eylemine verdiği yanıtla belirlenir. Geçici yanıt gibi, darbe türü ve yanıt - voltaj veya akım - tarafından belirlenen birkaç çeşidi vardır. Genel olarak, dürtü yanıtı şu şekilde gösterilir: bir(t).
Bir lineer devrenin impuls yanıtı ile geçici yanıtı arasında bir bağlantı kuralım. Bunu yapmak için, önce kısa süreli tИ =Δt'lik bir impuls eylemine devrenin tepkisini belirleriz ve bunu iki adımlı fonksiyonların bir süperpozisyonu olarak sunarız:
Süperpozisyon ilkesine uygun olarak, devrenin böyle bir darbeye tepkisi, geçici özellikler kullanılarak belirlenir:
Küçük Δt için yazabiliriz
Nerede S ve =U m Δƒ dürtü alanıdır.
Δt 0'da ve u m ortaya çıkan ifade, zincirin δ(t)-fonksiyonuna tepkisini tanımlar, t . e, devrenin impuls yanıtını tanımlar:
Bunu akılda tutarak, doğrusal bir devrenin kısa süreli darbeli bir eyleme tepkisi, darbe fonksiyonunun ürünü ve darbenin alanı olarak bulunabilir:
Bu eşitlik, dürtü fonksiyonunun deneysel tanımının temelini oluşturur. Darbe süresi ne kadar kısa olursa, o kadar doğru olur.
Bu nedenle, dürtü yanıtı, geçici yanıtın türevidir:
Burada dikkate alınan h(t)δ(t)=h(0)δ(t), ve çarpma h(t) l(t) üzerinde, fonksiyonun değerinin olduğunu söylemekle eşdeğerdir. h(t) t'de<0 равно нулю.
Ortaya çıkan ifadeleri entegre ederek, bunu doğrulamak kolaydır.
Eşitlikler (14.17) ve (14.19), eşitliklerin (14.14) ve (14.15) bir sonucudur. Dürtü yanıtları, karşılık gelen geçici yanıtın zamana bölünen boyutuna sahip olduğundan. Darbe yanıtını hesaplamak için (14.19) ifadesini kullanabilirsiniz, yani geçici yanıtı kullanarak hesaplayabilirsiniz.
Örnek 14.3.
Basit bir rC devresinin impuls yanıtını bulun (bkz. Şekil 14.9, a). Çözüm.
Örnek 14.2'de elde edilen geçici yanıtlar için ifadelerin yardımıyla Ö(14.19) ifadesini kullanarak dürtü tepkilerini buluruz;
Tipik bağlantıların zaman özellikleri tabloda verilmiştir. 14.2.
Zamanlama genellikle aşağıdaki sırayla hesaplanır:
dış etkinin uygulama noktaları ve türü (akım veya voltaj) ve ilgili çıkış değeri belirlenir - devrenin reaksiyonu (bazı kısımlarında akım veya voltaj); gerekli zaman karakteristiği, devrenin karşılık gelen tipik eyleme tepkisi olarak hesaplanır: 1(t) veya δ(t),