• Doğrusal fonksiyon. Doğrusal fonksiyon Y 2 3 doğrusal fonksiyon grafik çizgisi

    Doğrusal fonksiyon tanımı

    Doğrusal bir fonksiyonun tanımını tanıtalım

    Tanım

    $k$'ın sıfırdan farklı olduğu $y=kx+b$ biçimindeki bir fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

    Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. $k$ sayısına doğrunun eğimi denir.

    $b=0$ için doğrusal fonksiyona doğrudan orantı fonksiyonu $y=kx$ denir.

    Şekil 1'i düşünün.

    Pirinç. 1. Düz çizginin eğiminin geometrik anlamı

    ABC üçgenini düşünün. $BC=kx_0+b$ olduğunu görüyoruz. $y=kx+b$ doğrusu ile $Ox$ ekseninin kesişme noktasını bulun:

    \ \

    Yani $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Bu kenarların oranını bulalım:

    \[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

    Öte yandan, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

    Böylece, aşağıdaki sonuç çıkarılabilir:

    Çözüm

    $k$ katsayısının geometrik anlamı. $k$ düz çizgisinin eğimi, bu düz çizginin eğiminin $Ox$ eksenine olan tanjantına eşittir.

    $f\left(x\right)=kx+b$ doğrusal fonksiyonunun ve grafiğinin incelenmesi

    Öncelikle $f\left(x\right)=kx+b$ fonksiyonunu düşünün, burada $k > 0$.

    1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Dolayısıyla bu fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artar. Ekstrem noktalar yoktur.
    2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
    3. Grafik (Şekil 2).

    Pirinç. 2. $k > 0$ için $y=kx+b$ fonksiyonunun grafikleri.

    Şimdi $f\left(x\right)=kx$ fonksiyonunu düşünün, burada $k

    1. Kapsam tüm sayılardır.
    2. Kapsam tüm sayılardır.
    3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Fonksiyon ne çift ne de tektir.
    4. $x=0 için,f\left(0\right)=b$. $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$ için.

    Koordinat eksenlerine sahip kesişme noktaları: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ ve $\left(0,\ b\right)$

    1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
    2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Bu nedenle fonksiyonun dönüm noktası yoktur.
    3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
    4. Grafik (Şekil 3).

    Doğrusal bir fonksiyon y=kx+b formundaki bir fonksiyondur; burada x bağımsız bir değişkendir, k ve b ise herhangi bir sayıdır.
    Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

    1. Bir fonksiyon grafiğini çizmek için, fonksiyonun grafiğine ait iki noktanın koordinatlarına ihtiyacımız var. Bunları bulmak için iki x değeri almanız, bunları fonksiyonun denkleminde yerine koymanız ve bunlardan karşılık gelen y değerlerini hesaplamanız gerekir.

    Örneğin, y= x+2 fonksiyonunu çizmek için x=0 ve x=3'ü almak uygundur, o zaman bu noktaların ordinatları y=2 ve y=3'e eşit olacaktır. A(0;2) ve B(3;3) puanlarını alıyoruz. Bunları birleştirelim ve y= x+2 fonksiyonunun grafiğini elde edelim:

    2. y=kx+b formülünde k sayısına orantı faktörü denir:
    k>0 ise y=kx+b fonksiyonu artar
    eğer k
    B katsayısı, fonksiyonun grafiğinin OY ekseni boyunca kaymasını gösterir:
    b>0 ise y=kx+b fonksiyonunun grafiği, y=kx fonksiyonunun grafiğinden b birimlerinin OY ekseni boyunca yukarı kaydırılmasıyla elde edilir.
    eğer b
    Aşağıdaki şekilde y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

    Tüm bu fonksiyonlarda k katsayısına dikkat edin. Sıfırın üstünde, ve işlevler artan. Ayrıca, k değeri ne kadar büyük olursa, düz çizginin OX ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısı da o kadar büyük olur.

    Tüm fonksiyonlarda b=3 - ve tüm grafiklerin OY eksenini (0;3) noktasında kestiğini görüyoruz.

    Şimdi y=-2x+3; fonksiyonlarının grafiklerini düşünün. y=- ½ x+3; y=-x+3

    Bu sefer tüm fonksiyonlarda k katsayısı Sıfırdan daha az ve özellikler azaltmak. B=3 katsayısı ve grafikler önceki durumda olduğu gibi OY eksenini (0;3) noktasında keser.

    y=2x+3; fonksiyonlarının grafiklerini düşünün. y=2x; y=2x-3

    Artık tüm fonksiyon denklemlerinde k katsayıları 2'ye eşittir. Ve elimizde üç paralel doğru var.

    Ancak b katsayıları farklıdır ve bu grafikler OY eksenini farklı noktalarda keser:
    y=2x+3 (b=3) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;3) noktasında kesmektedir.
    y=2x (b=0) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;0) noktasında - başlangıç ​​noktasında kesmektedir.
    y=2x-3 (b=-3) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;-3) noktasında kesmektedir.

    Yani k ve b katsayılarının işaretlerini bilirsek, y=kx+b fonksiyonunun grafiğinin nasıl göründüğünü hemen hayal edebiliriz.
    Eğer k 0

    Eğer k>0 ve b>0 y=kx+b fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

    Eğer k>0 ve b y=kx+b fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

    Eğer k ise y=kx+b fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

    Eğer k=0 y=kx+b fonksiyonu y=b fonksiyonuna dönüşür ve grafiği şöyle görünür:

    y=b fonksiyonunun grafiğindeki tüm noktaların koordinatları b'ye eşittir. b=0 y=kx (doğru orantı) fonksiyonunun grafiği orijinden geçer:

    3. Ayrı olarak, x=a denkleminin grafiğini not ediyoruz. Bu denklemin grafiği OY eksenine paralel bir doğru olup tüm noktaları apsis x=a'ya sahiptir.

    Örneğin x=3 denkleminin grafiği şu şekilde görünür:
    Dikkat! X=a denklemi bir fonksiyon değildir, çünkü argümanın bir değeri fonksiyonun farklı değerlerine karşılık gelir ve bu da fonksiyonun tanımına karşılık gelmez.


    4. İki doğrunun paralellik koşulu:

    y=k 1 x+b 1 fonksiyonunun grafiği, k 1 =k 2 ise y=k 2 x+b 2 fonksiyonunun grafiğine paraleldir

    5. İki doğrunun birbirine dik olma koşulu:

    y=k 1 x+b 1 fonksiyonunun grafiği, k 1 *k 2 =-1 veya k 1 =-1/k 2 ise y=k 2 x+b 2 fonksiyonunun grafiğine diktir

    6. y=kx+b fonksiyonunun grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları.

    OY ekseni ile. OY eksenine ait herhangi bir noktanın apsisi sıfıra eşittir. Bu nedenle OY ekseniyle kesişme noktasını bulmak için fonksiyonun denkleminde x yerine sıfır yazmanız gerekir. y=b'yi elde ederiz. Yani OY ekseni ile kesişme noktasının koordinatları (0;b)'dir.

    X ekseni ile: X eksenine ait herhangi bir noktanın ordinatı sıfırdır. Bu nedenle OX ekseniyle kesişme noktasını bulmak için fonksiyon denkleminde y yerine sıfır yazmanız gerekir. 0=kx+b elde ederiz. Dolayısıyla x=-b/k. Yani OX ekseni ile kesişme noktasının koordinatları vardır (-b / k; 0):

    Doğrusal fonksiyon formun bir fonksiyonu denir y = kx + b, tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlıdır. Burada k– açısal katsayı (gerçek sayı), B – ücretsiz üye (gerçek sayı), X bağımsız bir değişkendir.

    Belirli bir durumda, eğer k = 0 sabit bir fonksiyon elde ederiz y=b grafiği, koordinatları olan noktadan geçen, Ox eksenine paralel düz bir çizgidir (0;b).

    Eğer b = 0, sonra fonksiyonu elde ederiz y=kx, hangisi doğru orantılıdır.

    B – bölüm uzunluğu, başlangıç ​​noktasından itibaren sayarak Oy ekseni boyunca çizgiyi keser.

    Katsayının geometrik anlamı k – eğim açısı Ox ekseninin pozitif yönüne düz olan yönün saat yönünün tersine olduğu kabul edilir.

    Doğrusal fonksiyon özellikleri:

    1) Doğrusal bir fonksiyonun alanı gerçek eksenin tamamıdır;

    2) Eğer k ≠ 0, bu durumda doğrusal fonksiyonun aralığı gerçek eksenin tamamıdır. Eğer k = 0, o zaman doğrusal fonksiyonun aralığı sayıdan oluşur B;

    3) Doğrusal bir fonksiyonun düzgünlüğü ve tekliği katsayıların değerlerine bağlıdır k Ve B.

    A) b ≠ 0, k = 0, buradan, y = b çifttir;

    B) b = 0, k ≠ 0, buradan y = kx tektir;

    C) b ≠ 0, k ≠ 0, buradan y = kx + b genel bir fonksiyondur;

    D) b = 0, k = 0, buradan y = 0 hem çift hem de tek fonksiyondur.

    4) Doğrusal bir fonksiyonun periyodiklik özelliği yoktur;

    5) Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları:

    Öküz: y = kx + b = 0, x = -b/k, buradan (-b/k; 0)- apsis ekseni ile kesişme noktası.

    Oy: y=0k+b=b, buradan (0;b) y ekseni ile kesişme noktasıdır.

    Not.Eğer b = 0 Ve k = 0, ardından fonksiyon y=0 değişkenin herhangi bir değeri için kaybolur X. Eğer b ≠ 0 Ve k = 0, ardından fonksiyon y=b değişkenin herhangi bir değeri için kaybolmaz X.

    6) İşaretin değişmezlik aralıkları k katsayısına bağlıdır.

    A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

    y = kx + b- olumlu X itibaren (-b/k; +∞),

    y = kx + b- negatif X itibaren (-∞; -b/k).

    B) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

    y = kx + b- olumlu X itibaren (-∞; -b/k),

    y = kx + b- negatif X itibaren (-b/k; +∞).

    C) k = 0, b > 0; y = kx + b tanım alanı boyunca pozitif,

    k = 0, b< 0; y = kx + b tanım alanı boyunca negatiftir.

    7) Doğrusal bir fonksiyonun monotonluk aralıkları katsayıya bağlıdır k.

    k > 0, buradan y = kx + b tanımın tüm alanı boyunca artar,

    k< 0 , buradan y = kx + b tüm tanım alanı boyunca azalır.

    8) Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. Düz bir çizgi çizmek için iki noktayı bilmek yeterlidir. Düz çizginin koordinat düzlemindeki konumu katsayıların değerlerine bağlıdır k Ve B. Aşağıda bunu açıkça gösteren bir tablo bulunmaktadır.

    Devamını oku: