Sütunların doğrusal kombinasyonu. §4.8. Bir matrisin satır ve sütunlarının doğrusal bağımlılığı. Matrisler, matrislerle işlemler, ters matris. Matris denklemleri ve çözümleri
Satırlar ve sütunlar matrisler olarak kabul edilebilir matris satırları ve buna bağlı olarak, sütun matrisleri. Bu nedenle, diğer matrislerin yanı sıra onlar üzerinde de gerçekleştirebilirsiniz. doğrusal işlemler. Toplama işlemindeki kısıtlama, satırların (sütunların) aynı uzunlukta (yükseklikte) olması gerektiğidir, ancak bu koşul, aynı matrisin satırları (sütunları) için her zaman sağlanır.
Satırlarda (sütunlarda) doğrusal işlemler, satırları (sütunları) α 1 a 1 + ... + α s as s , burada a 1 , ..., as rasgele bir satırlar (sütunlar) kümesidir ) aynı uzunlukta (yükseklikte) ve α 1 , ... , α s gerçek sayılardır. Bu tür ifadelere denir satırların (sütunların) doğrusal kombinasyonları.
Tanım 12.3. Satırlar (sütunlar) a 1 , ..., a s olarak adlandırılır Doğrusal bağımsız, eğer eşitlik
α 1 a 1 + ... + α s a s = 0, (12.1)
sağ taraftaki 0'ın sıfır satır (sütun) olduğu yerde, yalnızca α 1 = ... = a s = 0 olduğunda mümkündür. Aksi takdirde, böyle olmayan α 1 , ... , α s gerçek sayıları olduğunda sıfıra eşit aynı zamanda, ki bu eşitlik (12.1) tutarsa, bu satırlara (sütunlara) denir lineer bağımlı.
Aşağıdaki ifade, doğrusal bağımlılık testi olarak bilinir.
Teorem 12.3. a 1 , ..., a s , s > 1 satırları (sütunları), ancak ve ancak bunlardan en az birinin (bir) diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.
◄ İspatı satırlar için yapacağız, sütunlar için de benzer şekilde.
gereklilik. a 1 , ..., a s satırları doğrusal olarak bağımlıysa, Tanım 12.3'e göre aynı anda sıfıra eşit olmayan α 1 , ... , α s gerçek sayıları vardır, öyle ki α 1 a 1 +... + α s a s = 0. Sıfır olmayan bir katsayı αα i seçiyoruz. Kesinlik için α 1 olsun. O zaman α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)a s ve dolayısıyla a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s) /α 1)a s , yani, satır a 1, kalan satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.
Yeterlilik Örneğin a 1 = λ 2 a 2 + ... + λ s a s olsun. O zaman 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s)a s = 0 olur. Doğrusal kombinasyonun ilk katsayısı bire eşittir, yani. sıfır değil. Tanım 12.3'e göre, a 1 , ..., a s dizileri doğrusal olarak bağımlıdır.
Teorem 12.4. Satırların (sütunlar) a 1 , ..., as s doğrusal olarak bağımsız olmasına ve satırlardan (sütunlar) b 1 ,..., b l'den en az birinin doğrusal kombinasyonu olmasına izin verin. Daha sonra tüm satırlar (sütunlar) a 1 , ..., as , b 1 , ..., b l doğrusal olarak bağımlıdır.
◄ Örneğin b 1, a 1 , ..., a s , yani. b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s , α ben ∈R, ben = 1,s . Bu doğrusal kombinasyona sıfır katsayılı satırlar (sütunlar) b 2 , ..., b l (l > 1 için) ekliyoruz: b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s + 0b 2 + ... + 0 milyar Teorem 12.3'e göre, satırlar (sütunlar) a 1 , ..., as , b 1 , ..., b i doğrusal olarak bağımlıdır.
Matris satırlarının doğrusal bağımsızlığı
Bir boyut matrisi verildiğinde 
Matrisin satırlarını aşağıdaki gibi gösteririz:
İki satır denir eşit karşılık gelen elemanları eşitse. .
Bir diziyi bir sayı ile çarpma ve dizileri ekleme işlemlerini eleman eleman gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtıyoruz:
Tanım. Bir satır, bu satırların rastgele gerçek sayılarla (herhangi bir sayı) çarpımlarının toplamına eşitse, matris satırlarının doğrusal birleşimi olarak adlandırılır:
Tanım. Matrisin satırları denir lineer bağımlı , matris satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacak şekilde, aynı anda sıfıra eşit olmayan bu tür sayılar varsa:
Nerede . (1.1)
Matrisin satırlarının doğrusal bağımlılığı, matrisin en az 1 satırının geri kalanının doğrusal bir kombinasyonu olduğu anlamına gelir.
Tanım. Satırların (1.1) doğrusal kombinasyonu sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm katsayılar , o zaman satırlar çağrılır. Doğrusal bağımsız .
Matris sıra teoremi. Bir matrisin sıralaması, diğer tüm satırların (sütunların) doğrusal olarak ifade edildiği, doğrusal olarak bağımsız satırlarının veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.
Teorem, matris analizinde, özellikle lineer denklem sistemlerinin incelenmesinde temel bir rol oynar.
6, 13,14,15,16. vektörler. Vektörler üzerinde işlemler (toplama, çıkarma, bir sayı ile çarpma),N boyutlu vektör. Vektör uzayı kavramı ve temeli.
Bir vektör, başlangıç noktası olan yönlendirilmiş bir segmenttir. A ve bitiş noktası İÇİNDE(kendisine paralel hareket ettirilebilir).
Vektörler, 2 büyük harfle veya bir küçük harfle kısa çizgi veya okla gösterilebilir.
Uzunluk (veya modül) vektör, vektörü temsil eden AB doğru parçasının uzunluğuna eşit bir sayıdır.
Aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere ne ad verilir? doğrusal .
Vektörün başlangıcı ve sonu çakışırsa (), o zaman böyle bir vektör denir sıfır ve = ile gösterilir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır:
1) Bir vektörün bir sayı ile çarpımı:
Uzunluğu, yönü if vektörünün yönü ile aynı olan ve if'in tersi yönde olan bir vektör olacaktır.
2) Zıt vektör - bir vektörün ürünüdür - bir sayıyla (-1), yani -=.
3) iki vektörün toplamı ve başlangıcı vektörün başlangıcına, sonu vektörün sonuna denk gelen, başlangıcı sonla çakışan bir vektör olarak adlandırılır. (üçgen kuralı). Birkaç vektörün toplamı benzer şekilde tanımlanır.
4) İki vektörün farkı ve vektörün ve - vektörünün toplamı olarak adlandırılır, tersi.
skaler çarpım
Tanım: İki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin uzunluklarının ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit olan sayıdır:
n-boyutlu vektör ve vektör uzayı
Tanım. n boyutlu bir vektör, sıralı bir koleksiyondur N şeklinde yazılan gerçek sayılar x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), Nerede x ben – Ben vektörün -inci bileşeni X.
n-boyutlu bir vektör kavramı, ekonomide yaygın olarak kullanılmaktadır, örneğin, belirli bir mal seti, vektör ile karakterize edilebilir. x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), ve karşılık gelen fiyatlar y = (y 1 ,y 2 ,…,y n).
- İki n-boyutlu vektör eşittir ancak ve ancak ilgili bileşenleri eşitse, yani x=y eğer x Ben= y Ben, Ben = 1,2,…,N.
- İki vektörün toplamı aynı boyut N vektör denir z = x + y, bileşenleri vektör terimlerinin karşılık gelen bileşenlerinin toplamına eşittir, yani z Ben= x Ben+y Ben, ben = 1,2,…, N.
- x vektörünün gerçek bir sayı ile çarpımı bileşenleri, vektörün karşılık gelen bileşenlerinin ürününe eşit olan bir vektör olarak adlandırılır, yani , Ben= 1,2,…,N.
Herhangi bir vektör üzerindeki doğrusal işlemler aşağıdaki özellikleri sağlar:
1) - toplamın değişmeli (yer değiştirme) özelliği;
2) - toplamın ilişkisel (ilişkisel) özelliği;
3) - sayısal faktöre göre ilişkisel özellik;
4) - vektörlerin toplamına göre dağılım (dağıtım) özelliği;
5) - sayısal faktörlerin toplamına göre dağılım özelliği;
6) Herhangi bir vektör için (boş vektörün özel rolü);
7) Herhangi bir vektör için zıt bir vektör vardır, öyle ki ;
8) herhangi bir vektör için (sayısal faktör 1'in özel rolü).
Tanım. Vektörleri toplama ve bir vektörü yukarıdaki sekiz özelliği (aksiyom olarak kabul edilir) karşılayan bir sayı ile çarpma işlemlerini tanımlayan gerçek bileşenlere sahip vektörler kümesine denir. vektör durumu .
Bir vektör uzayının boyutu ve temeli
Tanım. Doğrusal uzay denir n boyutlu içeriyorsa N doğrusal olarak bağımsız vektörler ve vektörlerin herhangi biri zaten bağımlıdır. Başka bir deyişle, uzay boyutu içinde bulunan doğrusal olarak bağımsız vektörlerin maksimum sayısıdır. n sayısına uzayın boyutu denir ve ile gösterilir.
n boyutlu bir uzayda n doğrusal olarak bağımsız vektör koleksiyonuna denir temel .
7. Özvektörler ve Matris Özdeğerleri. Matrisin karakteristik denklemi.
Tanım. vektör denir kendi vektörü aşağıdaki gibi bir sayı varsa doğrusal operatör:
Numara kendi denir operatör değeri (matrisler A) vektöre karşılık gelir.
Matris formunda yazılabilir:
Vektörün koordinatlarından bir sütun matrisi nerede veya genişletilmiş:
Doğru kısımlarda sıfırlar olacak şekilde sistemi yeniden yazalım:
veya matris biçiminde: . Ortaya çıkan homojen sistem her zaman sıfır çözüme sahiptir. Sıfırdan farklı bir çözümün var olması için sistemin determinantının olması gerekli ve yeterlidir: .
Determinant bir polinomdur N göre . Bu polinom denir operatörün karakteristik polinomu veya A matrisi ve elde edilen denklem operatörün karakteristik denklemi veya matrisler A.
Örnek:
Matris tarafından verilen doğrusal operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun.
Çözüm: Karakteristik denklemi oluşturun 
veya doğrusal operatörün özdeğeri buradan gelir.
Özdeğere karşılık gelen özvektörü bulun. Bunu yapmak için matris denklemini çözüyoruz:
Veya 
, veya , nereden buluruz: , veya
Veya .
Diyelim ki vektörler, özdeğerli lineer bir operatörün özvektörleridir.
Aynı şekilde, vektör.
8. Sistem P doğrusal denklemler P değişkenler (genel görünüm). Böyle bir sistemin matris formu. Sistem çözümü (tanım). Tutarlı ve tutarsız, belirli ve belirsiz lineer denklem sistemleri.
Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemini çözme
Lineer denklem sistemleri ekonomide yaygın olarak kullanılmaktadır.
Değişkenli lineer denklem sistemi şu şekildedir:
,
burada (), çağrılan rastgele sayılardır değişkenler için katsayılar Ve serbest denklem terimleri , sırasıyla.
Kısa giriş: ().
Tanım. Sistemin çözümü, sistemin her denkleminin yerine konduğunda gerçek bir eşitliğe dönüştüğü böyle bir değerler kümesidir.
1) Denklem sistemi denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve uyumsuz eğer çözümü yoksa.
2) Ortak denklem sistemine denir kesin benzersiz bir çözümü varsa ve belirsiz birden fazla çözümü varsa.
3) İki denklem sistemi denir eş değer (eş değer) , eğer aynı çözüm kümesine sahiplerse (örneğin, bir çözüm).
Sistemi matris biçiminde yazıyoruz:
Şunları belirtin: 
, Nerede
A değişkenler için katsayı matrisi veya sistemin matrisidir, X – değişkenlerin matris sütunu, İÇİNDE serbest üyelerden oluşan bir sütun matrisidir.
Çünkü matris sütunlarının sayısı, matris satırlarının sayısına, ardından bunların çarpımına eşittir:
Bir matris sütunu var. Ortaya çıkan matrisin elemanları, ilk sistemin sol kısımlarıdır. Matris eşitliğinin tanımına dayanarak, başlangıç sistemi şu şekilde yazılabilir: .
Cramer teoremi. Izin vermek sistemin matrisinin determinantı olsun ve matristen elde edilen matrisin determinantı olsun, i'inci sütunu bir serbest terimler sütunuyla değiştirin. Ardından, eğer , o zaman sistemin formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:
Cramer formülü.
Örnek. Cramer'in formüllerini kullanarak bir denklem sistemini çözün
Çözüm. Sistem matris belirleyicisi. Bu nedenle, sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü sütunların bir serbest üyeler sütunuyla değiştirilmesinden elde edilen hesap:
Cramer'in formüllerine göre:
9. Sistemi çözmek için Gauss yöntemiN doğrusal denklemler P değişkenler. Jordan-Gauss yöntemi kavramı.
Gauss yöntemi - değişkenlerin art arda dışlanması yöntemi.
Gauss yöntemi, satırların temel dönüşümleri ve sütunların permütasyonlarının yardımıyla, denklem sisteminin, diğer tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu basamaklı (veya üçgen) bir formun eşdeğer bir sistemine indirgenmesi gerçeğinden oluşur. son (sayıya göre) değişkenlerden.
Gauss dönüşümlerini denklemlerin kendileriyle değil, matrise bir serbest terimler sütunu atayarak elde edilen katsayılarının genişletilmiş matrisiyle gerçekleştirmek uygundur:
.
Gauss yönteminin, formdaki herhangi bir denklem sistemini çözmek için kullanılabileceğine dikkat edilmelidir. 
.
Örnek. Sistemi çözmek için Gauss yöntemini kullanma:
Sistemin artırılmış matrisini yazalım..
Aşama 1 . 1'e eşit olacak şekilde birinci ve ikinci satırları değiştirin.
Adım 2 Birinci satırın elemanlarını (-2) ve (-1) ile çarparak ikinci ve üçüncü sıranın elemanlarına ekleyin, böylece birinci sütundaki elemanın altında sıfırlar oluşur. .
Tutarlı lineer denklem sistemleri için aşağıdaki teoremler doğrudur:
teorem 1. Eklem sisteminin matrisinin sıralaması, değişken sayısına eşitse, yani. , o zaman sistemin benzersiz bir çözümü vardır.
Teorem 2. Eklem sisteminin matrisinin sıralaması, değişken sayısından azsa, yani. , o zaman sistem belirsizdir ve sonsuz sayıda çözüme sahiptir.
Tanım. Bir matrisin temel minörü, sırası matrisin rankına eşit olan sıfır olmayan herhangi bir minördür.
Tanım. Katsayıları temel minörün kaydına dahil edilen bilinmeyenlere temel (veya temel), bilinmeyenlerin geri kalanına serbest (veya temel olmayan) denir.
Bu durumda bir denklem sistemini çözmek, ifade etmek anlamına gelir ve (çünkü katsayılarından oluşan determinant sıfıra eşit değildir), o zaman ve serbest bilinmeyenlerdir.
Temel değişkenleri serbest olanlar cinsinden ifade ediyoruz.
Ortaya çıkan matrisin ikinci satırından değişkeni ifade ediyoruz:
İlk satırdan şunu ifade ediyoruz:
Denklem sisteminin genel çözümü: , .
A e ben = (a ben 1 a ben 2 ..., a in) matrisinin her satırını belirtiriz (örneğin,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), vb.). Her biri, matrislerle çalışmanın genel kurallarına göre bir sayı ile çarpılabilen veya başka bir satıra eklenebilen bir satır matrisidir.
Doğrusal kombinasyon e l , e 2 ,...e k dizilerinin keyfi gerçek sayılarla bu dizilerin çarpımlarının toplamıdır:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , burada l l , l 2 ,..., l k keyfi sayılardır (doğrusal kombinasyon katsayıları).
Matris satırları e l , e 2 ,...e m olarak adlandırılır lineer bağımlı, matris satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacak şekilde aynı anda sıfıra eşit olmayan l l , l 2 ,..., l m sayıları varsa:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, burada 0 = (0 0...0).
Matrisin satırlarının doğrusal bağımlılığı, matrisin en az bir satırının geri kalanının doğrusal bir kombinasyonu olduğu anlamına gelir. Aslında, kesinlik için son katsayının l m ¹ 0 olmasına izin verin. Ardından, eşitliğin her iki tarafını l m'ye bölerek, son satır için kalan satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak bir ifade elde ederiz:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
Satırların doğrusal bir kombinasyonu sıfırsa, ancak ve ancak tüm katsayılar sıfırsa, yani l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, ardından çizgiler çağrılır Doğrusal bağımsız.
Matris sıra teoremi. Bir matrisin sıralaması, diğer tüm satırlarının veya sütunlarının doğrusal olarak ifade edilebildiği, doğrusal olarak bağımsız satırlarının veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.
Bu teoremi kanıtlayalım. Bir m x n A matrisinin rankı r (r(A) £ min (m; n)) olsun. Bu nedenle, r mertebesinin sıfır olmayan bir minörü vardır. Böyle bir reşit olmayan çağrılacak temel. Kesinlik için bu bir minör olsun
Bu minörün satırları da çağrılacak temel.
O halde e l , e 2 ,...e r matrisinin satırlarının doğrusal olarak bağımsız olduğunu kanıtlayalım. Tersini varsayalım, yani bu sıralardan biri, örneğin r. sıra, diğerlerinin lineer birleşimidir: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. 1. sıranın elemanları l l ile çarpılır, 2. sıranın elemanları l2 ile çarpılır, vb. son olarak, (r-1)inci sıranın elemanları l r-1 ile çarpılır, sonra r. sıra sıfır olur. Aynı zamanda determinantın özelliklerine göre yukarıdaki determinant değişmemeli ve aynı zamanda sıfıra eşit olmalıdır. Bir çelişki elde edilir, dizilerin doğrusal bağımsızlığı ispatlanır.
Şimdi herhangi bir (r+1) matris satırının doğrusal olarak bağımlı olduğunu, yani herhangi bir dizi, temel diziler cinsinden ifade edilebilir.
Daha önce düşünülen küçük olanı bir satır (i-th) ve bir sütun daha (j-th) ile tamamlayalım. Sonuç olarak, rank tanımı gereği sıfıra eşit olan (r+1)'inci dereceden bir minör elde ederiz.
Matrisin satırlarının ve sütunlarının boyutların aritmetik vektörleri olarak görülebileceğini unutmayın. M Ve N, sırasıyla. Böylece, boyut matrisi bir küme olarak yorumlanabilir. M N boyutlu veya N M boyutlu aritmetik vektörler. Geometrik vektörlerle analoji yaparak, bir matrisin satırlarının ve sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı kavramlarını tanıtıyoruz.
4.8.1. Tanım. Astar 
isminde çizgilerin doğrusal birleşimi katsayılı 
, bu satırın tüm öğeleri için eşitlik doğruysa:
,
.
4.8.2. Tanım.
Teller 
isminde lineer bağımlı, bunların sıfır dizisine eşit önemsiz olmayan doğrusal bir kombinasyonu varsa, yani sıfıra eşit olmayan sayılar vardır
,
.
4.8.3. Tanım.
Teller 
isminde Doğrusal bağımsız, sadece önemsiz doğrusal kombinasyonları sıfır satırına eşitse, yani.
,
4.8.4. teorem. (Matris satırlarının doğrusal bağımlılık kriteri)
Dizilerin lineer bağımlı olması için en az birinin diğerlerinin lineer kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt:
gereklilik.Çizgilere izin ver 
doğrusal olarak bağımlıdır, o zaman bunların sıfır çizgisine eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır:
.
Genelliği kaybetmeden, doğrusal kombinasyonun katsayılarından ilkinin sıfır olmadığını varsayıyoruz (aksi takdirde satırları yeniden numaralandırabiliriz). Bu oranın bölünmesi 
, alırız
,
yani ilk sıra diğerlerinin lineer birleşimidir.
YeterlilikÖrneğin, satırlardan biri, 
, diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir, o zaman
yani, dizilerin önemsiz olmayan doğrusal bir kombinasyonu vardır 
, sıfır dizesine eşittir:
yani çizgiler 
kanıtlanacak olan doğrusal olarak bağımlıdır.
Yorum.
Bir matrisin sütunları için benzer tanımlar ve iddialar formüle edilebilir.
§4.9. Matris sıralaması.
4.9.1. Tanım. Küçük emir 
matrisler 
boyut 
sıra belirleyici denir 
bazılarının kesişme noktasında bulunan elemanlarla 
çizgiler ve 
sütunlar.
4.9.2. Tanım. Sıfır olmayan küçük sipariş 
matrisler 
boyut 
isminde temel
küçük, sıra matrisinin tüm küçükleri ise 
sıfıra eşittir.
Yorum. Bir matrisin birden fazla temel minörü olabilir. Açıkçası, hepsi aynı düzende olacak. Ayrıca matrisin olması da mümkündür. 
boyut 
küçük sipariş 
sıfırdan farklıdır ve siparişin küçükleri 
yok yani 
.
4.9.3. Tanım. Alt tabanı oluşturan satırlara (sütunlara) denir. temel satırlar (sütunlar).
4.9.4. Tanım. rütbe matris, temel minör sırasıdır. Matris sıralaması 
belirtilen 
veya 
.
Yorum.
Determinantın satır ve sütunlarının eşitliğinden dolayı, devrik olduğunda matrisin sırasının değişmediğine dikkat edin.
4.9.5. teorem. (Temel dönüşümler altında matris sıra değişmezliği)
Bir matrisin sıralaması, temel dönüşümleri altında değişmez.
Kanıt olmadan.
4.9.6. teorem. (Temel minörde).
Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.
Kanıt:
Dizeler için kanıt yapalım. Sütunlar için iddianın ispatı analoji ile yapılabilir.
Matrisin rankı olsun 
boyutlar 
eşittir 
, A 
− temel minör. Genelliği kaybetmeden, küçük tabanın sol üst köşede olduğunu varsayıyoruz (aksi takdirde, temel dönüşümleri kullanarak matrisi bu forma indirgeyebiliriz):
.
Önce temel satırların doğrusal bağımsızlığını kanıtlayalım. Çelişki ile kanıtlayacağız. Temel satırların doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Daha sonra, Teorem 4.8.4'e göre sıralardan biri, geri kalan temel sıraların doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Bu nedenle, belirtilen doğrusal kombinasyonu bu satırdan çıkarırsak, o zaman sıfır satırı elde ederiz, yani minör 
sıfıra eşittir, bu da temel minör tanımıyla çelişir. Böylece bir çelişki elde ettik, bu nedenle temel satırların doğrusal bağımsızlığı kanıtlanmıştır.
Şimdi bir matrisin herhangi bir satırının, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtlayalım. Söz konusu satır numarası ise 
1'den R, o zaman, açıkça, satır için 1'e eşit bir katsayı ile doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir. 
ve kalan satırlar için sıfır katsayılar. Şimdi gösterelim ki eğer satır numarası 
itibaren 
önce 
, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. matris minör düşünün 
, temel minörden türetilmiştir 
bir satır ekleyerek 
ve isteğe bağlı bir sütun 
:
gösterelim ki bu minör 
itibaren 
önce 
ve herhangi bir sütun numarası için 
1'den 
.
Gerçekten de, eğer sütun numarası 
1'den R, o zaman açıkça sıfıra eşit olan iki özdeş sütunlu bir determinantımız var. Eğer sütun numarası 
itibaren R+1 - 
ve satır numarası 
itibaren 
önce 
, O 
orijinal matrisin minör tabanından daha büyük bir minördür, yani minör temeli tanımından sıfırdır. Böylece küçük olduğu kanıtlanmıştır. 
herhangi bir satır numarası için sıfırdır 
itibaren 
önce 
ve herhangi bir sütun numarası için 
1'den 
. Son sütuna göre genişleterek şunu elde ederiz:
Burada 
- karşılık gelen cebirsel eklemeler. dikkat et, ki 
, çünkü, bu nedenle, 
temel minördür. Bu nedenle, çizginin elemanları k sütun numarasından bağımsız katsayılarla temel satırların karşılık gelen öğelerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir 
:
Böylece, bir matrisin rasgele bir satırının, temel satırlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtladık. Teorem kanıtlanmıştır.
Ders 13
4.9.7. teorem. (Dejenere olmayan bir kare matrisin sıralamasında)
Bir kare matrisin dejenere olmaması için matrisin rankının bu matrisin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt:
gereklilik. kare matris olsun 
boyut N dejenere değildir, o zaman 
, bu nedenle, matris determinantı temel bir minördür, yani 
Yeterlilikİzin vermek 
o zaman minör tabanının sırası matrisin boyutuna eşittir, dolayısıyla minör tabanı matrisin determinantıdır 
, yani 
temel minör tanımı gereği.
Sonuçlar.
Bir kare matrisin dejenere olmaması için satırlarının doğrusal olarak bağımsız olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt:
gereklilik. Bir kare matris dejenere olmadığından rankı matrisin boyutuna eşittir 
yani matrisin determinantı temel minördür. Bu nedenle, Teorem 4.9.6'ya göre minör bazında, matrisin satırları doğrusal olarak bağımsızdır.
Yeterlilik Matrisin tüm satırları doğrusal olarak bağımsız olduğundan, sıralaması matrisin boyutundan küçük değildir, bu da şu anlama gelir: 
bu nedenle, önceki teorem 4.9.7'ye göre, matris 
dejenere değildir.
4.9.8. Bir matrisin rankını bulmak için saçak minör yöntemi.
Bu yöntemin bir kısmının, temel minör teoremin ispatında üstü kapalı olarak açıklanmış olduğuna dikkat edin.
4.9.8.1. Tanım. Küçük 
isminde saçak minör ile ilgili olarak 
, eğer bir reşit olmayandan türetilmişse 
orijinal matrisin bir yeni satırı ve bir yeni sütunu eklenir.
4.9.8.2. Kenarlık minörleri yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma prosedürü.
Sıfır dışında herhangi bir geçerli matris minör bulun.
Onu çevreleyen tüm küçükleri hesaplıyoruz.
Hepsi sıfıra eşitse, o zaman mevcut minör tabandır ve matrisin sırası mevcut minörün sırasına eşittir.
Sınırdaki küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane varsa güncel kabul edilir ve işleme devam edilir.
Küçükleri sınırlandırma yöntemini kullanarak, matrisin sıralamasını buluruz
.
Mevcut ikinci dereceden minörü sıfır dışında belirtmek kolaydır, örneğin,
.
Onu çevreleyen küçükleri hesaplıyoruz:
Bu nedenle, üçüncü dereceden sınırdaki tüm minörler sıfıra eşit olduğundan, o zaman minör 
temeldir, yani 
Yorum. Ele alınan örnekten, yöntemin oldukça zahmetli olduğu görülebilir. Bu nedenle, pratikte aşağıda tartışılacak olan temel dönüşüm yöntemi çok daha sık kullanılmaktadır.
4.9.9. Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma.
Teorem 4.9.5'e dayanarak, temel dönüşümler altında bir matrisin rankının değişmediğini söyleyebiliriz (yani eşdeğer matrislerin rankları eşittir). Bu nedenle, matrisin sırası, temel dönüşümlerle orijinal matristen elde edilen adım matrisinin sırasına eşittir. Bir adım matrisinin sıralaması, açıkça sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir.
Matrisin sırasını belirleme
temel dönüşümler yöntemi.
matrisi sunuyoruz 
adım adım:
Ortaya çıkan adım matrisinin sıfır olmayan satır sayısı üçtür, bu nedenle, 
4.9.10. Lineer uzayda bir vektör sisteminin rankı.
Vektör sistemini düşünün 
bazı doğrusal boşluk 
. Doğrusal olarak bağımlıysa, içinde doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem ayırmak mümkündür.
4.9.10.1. Tanım. Vektör sisteminin sıralaması
lineer uzay 
bu sistemin doğrusal olarak bağımsız vektörlerinin maksimum sayısıdır. Vektör sisteminin sıralaması 
olarak gösterilir 
.
Yorum. Bir vektör sistemi lineer bağımsız ise, sıralaması sistemdeki vektör sayısına eşittir.
Lineer uzaydaki bir vektörler sisteminin rankı kavramları ile bir matrisin rankı arasındaki ilişkiyi gösteren bir teorem formüle edelim.
4.9.10.2. teorem. (Doğrusal uzayda bir vektör sisteminin sıralamasında)
Lineer uzayda bir vektör sisteminin rankı, lineer uzayın bazı temellerinde vektörlerin koordinatları olan sütunları veya satırları olan bir matrisin rankına eşittir.
Kanıt olmadan.
Sonuçlar.
Lineer uzayda bir vektör sisteminin lineer bağımsız olabilmesi için, sütunları veya satırları bazı bazlarda vektörlerin koordinatları olan bir matrisin rankının sistemdeki vektör sayısına eşit olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt açık.
4.9.10.3. Teorem (Doğrusal bir açıklığın boyutu üzerine).
Vektörlerin doğrusal aralığının boyutu 
lineer uzay 
bu vektör sisteminin rankına eşittir:
Kanıt olmadan.
Kare olması gerekmeyen, mxn boyutunda gelişigüzel bir A matrisi ele alalım.
Matris sıralaması.
Bir matrisin sıralaması kavramı, bir matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımlılığı (bağımsızlığı) kavramı ile ilgilidir. Dizeler için bu kavramı düşünün. Sütunlar için aynıdır.
A matrisinin havuzlarını belirtin:
e 1 \u003d (11, 12, ..., 1n); e 2 \u003d (bir 21, bir 22, ..., bir 2n); ..., e m \u003d (bir m1, bir m2, ..., bir mn)
e k =e s eğer a kj =a sj , j=1,2,…,n ise
Matris satırları üzerindeki aritmetik işlemler (toplama, bir sayı ile çarpma), eleman eleman gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtılır: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);
e k +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].
Hat e denir lineer kombinasyon satırlar e 1 , e 2 ,…,e k , eğer bu satırların rastgele gerçek sayılarla çarpımlarının toplamına eşitse:
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
e 1 , e 2 ,…,e m hatları çağrılır lineer bağımlı, eğer hepsi sıfıra eşit olmayan λ 1 ,λ 2 ,…,λ m gerçek sayıları varsa, bu satırların lineer kombinasyonu sıfır satırına eşittir: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Nerede 0 =(0,0,…,0) (1)
Doğrusal kombinasyon sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm λ i katsayıları sıfıra eşitse (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), o zaman e 1 , e 2 ,…,e m satırları çağrılır Doğrusal bağımsız.
teorem 1. e 1 ,e 2 ,…,e m dizilerinin doğrusal olarak bağımlı olması için, bu dizilerden birinin diğer dizilerin doğrusal bir kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt. gereklilik. e 1 , e 2 ,…,e m dizilerinin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. kesinlik için, (1) λm ≠0, o zaman
O. e m dizisi, dizilerin geri kalanının doğrusal bir birleşimidir. Ch.t.d.
Yeterlilik. Satırlardan biri, örneğin e m, diğer satırların doğrusal bir kombinasyonu olsun. Daha sonra, eşitliğin geçerli olduğu ve şu şekilde yeniden yazılabilen sayılar vardır:
burada katsayılardan en az biri (-1), sıfır değildir. Onlar. satırlar doğrusal olarak bağımlıdır. Ch.t.d.
Tanım. Küçük k'inci sıra mxn büyüklüğündeki A matrisine, A matrisinin herhangi bir k satırının ve herhangi bir k sütununun kesişim noktasında yer alan elemanlarla k'ıncı sıra determinantı denir (k≤min(m,n)). .
Örnek., 1. dereceden minörler: =, =;
2. dereceden reşit olmayanlar: , 3. dereceden
3. dereceden bir matriste 9 adet 1. dereceden minör, 9 adet 2. dereceden minör ve 1 adet 3. dereceden minör vardır (bu matrisin determinantı).
Tanım. Matris sıralaması A bu matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek sırasıdır. Gösterim - rgA veya r(A).
Matris sıralaması özellikleri.
1) A nxm matrisinin sırası, boyutlarının en küçüğünü geçmez, yani.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0, tüm matris elemanları 0'a eşit olduğunda, yani A=0.
3) n'inci dereceden A kare matrisi için, A dejenere olmadığında r(A)=n.
(Köşegen bir matrisin sıralaması, sıfır olmayan köşegen elemanlarının sayısına eşittir).
4) Bir matrisin rankı r ise, matrisin sıfıra eşit olmayan r mertebesinden en az bir minörü vardır ve daha yüksek mertebeden tüm minörleri sıfıra eşittir.
Matrisin sıraları için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);
5) r(AB)=r(A), eğer B tekil olmayan bir kare matris ise.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, burada n, A matrisinin sütunlarının veya B matrisinin satırlarının sayısıdır.
Tanım. r(A) mertebesinin sıfır olmayan bir minörü denir temel minör. (Matris A'nın birkaç temel minörü olabilir). Kesişim noktalarında temel minör olan satırlar ve sütunlar sırasıyla çağrılır. taban çizgileri Ve temel sütunlar.
Teorem 2 (temel minörde). Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (herhangi bir sütunu), temel satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimidir.
Kanıt. (Dizeler için). Temel satırlar doğrusal olarak bağımlı olsaydı, Teorem (1)'e göre bu satırlardan biri diğer temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olurdu, o zaman temel minör değerini değiştirmeden, belirtilen doğrusal kombinasyonu bu satırdan çıkarabilirsiniz ve sıfır satırı elde edin ve bu çelişkilidir çünkü temel minör sıfırdan farklıdır. O. taban sıraları doğrusal olarak bağımsızdır.
A matrisinin herhangi bir satırının, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olduğunu kanıtlayalım. Çünkü satırlarda (sütunlarda) keyfi değişikliklerle, determinant sıfıra eşit olma özelliğini korur, o zaman genelliği kaybetmeden, küçük tabanın matrisin sol üst köşesinde olduğunu varsayabiliriz.
bir=, onlar. ilk r satırda ve ilk r sütunda bulunur. 1£j£n, 1£i£m olsun. (r+1)inci mertebenin determinantının olduğunu gösterelim.
j£r veya i£r ise, bu determinant sıfıra eşittir, çünkü iki özdeş sütuna veya iki özdeş satıra sahip olacaktır.
Eğer j>r ve i>r ise, bu determinant A matrisinin (r + 1)inci mertebesinden küçüktür. matrisin sırası r'dir, bu nedenle daha yüksek mertebeden herhangi bir minör 0'a eşittir.
Son (eklenen) sütunun öğeleriyle genişleterek, şunu elde ederiz:
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, burada son cebirsel toplama A ij temel minör М r ile çakışır ve dolayısıyla A ij = М r ≠0.
Son eşitliği A ij'ye bölerek, a ij öğesini doğrusal bir kombinasyon olarak ifade edebiliriz: , burada .
i (i>r) değerini sabitleriz ve herhangi bir j (j=1,2,…,n) için i'inci sıra e i'nin elemanlarının e 1 , e sıralarının elemanları aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini elde ederiz. 2 ,…,e r , yani e. i'inci sıra, temel sıraların doğrusal bir kombinasyonudur: . Ch.t.d.
Teorem 3. (determinantın sıfıra eşit olması için gerek ve yeter koşul). n'inci dereceden determinant D'nin sıfıra eşit olması için satırlarının (sütunlarının) lineer bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt (s.40). gereklilik. n'inci sıradaki determinant D sıfıra eşitse, matrisinin temel minörü r mertebesindedir. Böylece, bir satır diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonudur. O zaman, Teorem 1'e göre, determinantın satırları doğrusal olarak bağımlıdır. Yeterlilik. D satırları doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 1'e göre bir satır A i, diğer satırların doğrusal bir kombinasyonudur. Belirtilen lineer kombinasyonu A satırından çıkararak i, D'nin değerini değiştirmeden sıfır satırı elde ederiz. Bu nedenle, determinantların özelliklerine göre, D=0. h.t.d. Teorem 4. Temel dönüşümler altında, matrisin sıralaması değişmez. Kanıt. Determinantların özellikleri göz önüne alındığında gösterildiği gibi, kare matrisleri dönüştürürken, determinantları ya değişmez ya da sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır ya da işaret değişir. Bu durumda, orijinal matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek sırası korunur, yani. matrisin rankı değişmez. Ch.t.d. r(A)=r(B) ise, A ve B eşdeğeri: A~B. Teorem 5. Temel dönüşümleri kullanarak, matris şu şekilde indirgenebilir: basamaklı görünüm matris denir şu forma sahipse adım attı: А=, burada a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Koşullar r≤k her zaman transpozisyonla elde edilebilir. teorem 6. Bir adım matrisinin sıralaması, sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir .
Onlar. Adım matrisinin sıralaması r'dir, çünkü r mertebesinin sıfır olmayan bir minörü vardır: