İki nokta arasındaki mesafeyi bulma. Şehirler arası mesafelerin koordinatlarına göre hesaplanması İki nokta arasındaki mesafenin koordinatlara göre hesaplanması

Matematik

§2. Düzlemdeki bir noktanın koordinatları

3. İki nokta arasındaki mesafe.

Artık sen ve ben, sayıların dilinde noktalar hakkında konuşabiliriz. Örneğin artık açıklama yapmamıza gerek yok: eksenin üç birim sağında ve eksenin beş birim altında olan bir noktayı alın. Basitçe söylemek yeterli: konuyu ele alın.

Bunun belli avantajlar yarattığını daha önce söylemiştik. Yani noktalardan oluşan bir çizimi telgrafla iletebilir, çizimi hiç anlamayan ama sayıları iyi anlayan bir bilgisayara iletebiliriz.

Önceki paragrafta sayılar arasındaki ilişkileri kullanarak düzlemdeki bazı nokta kümelerini tanımladık. Şimdi diğer geometrik kavramları ve gerçekleri tutarlı bir şekilde sayıların diline çevirmeye çalışalım.

Basit ve ortak bir görevle başlayacağız.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulun.

Çözüm:
Her zaman olduğu gibi, noktaların koordinatlarına göre verildiğini varsayıyoruz ve ardından görevimiz, koordinatlarını bilerek noktalar arasındaki mesafeyi hesaplayabileceğimiz bir kural bulmak. Bu kuralı türetirken elbette bir çizime başvurmaya izin verilir, ancak kuralın kendisi çizime herhangi bir referans içermemeli, yalnızca verilen sayılar - koordinatlar üzerinde hangi eylemlerin ve hangi sırayla gerçekleştirilmesi gerektiğini göstermelidir. noktaların - istenilen sayıyı elde etmek için - noktalar arasındaki mesafe.

Belki bazı okuyucular sorunu çözmeye yönelik bu yaklaşımı tuhaf ve abartılı bulacaktır. Daha basit olanı, noktaların koordinatlarla bile verildiğini söyleyeceklerdir. Bu noktaları çizin, bir cetvel alın ve aralarındaki mesafeyi ölçün.

Bu yöntem bazen o kadar da kötü değildir. Ancak yine de bir bilgisayarla uğraştığınızı hayal edin. Cetveli yok ve çizim yapmıyor ama o kadar hızlı sayabiliyor ki bu onun için hiç sorun değil. Sorunumuzun, iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama kuralının bir makine tarafından yürütülebilecek komutlardan oluşacak şekilde formüle edildiğine dikkat edin.

Bu noktalardan birinin koordinatların orijininde yer alması durumunda ilk önce özel durum için ortaya çıkan problemi çözmek daha iyidir. Birkaç sayısal örnekle başlayın: noktaların başlangıç ​​noktasına olan uzaklığını bulun; Ve .

Not. Pisagor teoremini kullanın.

Şimdi bir noktanın orijinden uzaklığını hesaplamak için genel bir formül yazın.

Bir noktanın orijinden uzaklığı aşağıdaki formülle belirlenir:

Açıkçası, bu formülle ifade edilen kural yukarıda belirtilen koşulları karşılamaktadır. Özellikle sayıları çarpabilen, toplayabilen ve karekök çıkarabilen makinelerde yapılan hesaplamalarda kullanılabilir.

Şimdi genel sorunu çözelim

Düzlem üzerinde iki nokta verildiğinde aralarındaki mesafeyi bulunuz.

Çözüm:
Noktaların ve koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini , , ile gösterelim.

Doğruların harfle kesiştiği noktayı gösterelim. Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgenden şunu elde ederiz:

Ancak parçanın uzunluğu parçanın uzunluğuna eşittir. ve , noktaları eksen üzerinde yer alır ve sırasıyla ve koordinatlarına sahiptir. 2. paragrafın 3. paragrafında elde edilen formüle göre aralarındaki mesafe eşittir.

Benzer şekilde tartışarak parçanın uzunluğunun eşit olduğunu buluyoruz. Bulunan değerleri ve elde ettiğimiz formüle yerleştiriyoruz.

Noktalar arasındaki mesafeleri düzlemdeki koordinatlarına göre hesaplamak basit bir işlemdir; Dünya yüzeyinde biraz daha karmaşıktır: projeksiyon dönüşümleri olmadan noktalar arasındaki mesafeyi ve başlangıç ​​azimutunu ölçmeyi ele alacağız. Öncelikle terminolojiyi anlayalım.

giriiş

Bir kürenin yüzeyindeki herhangi iki noktadan, eğer birbirlerinin tam karşısında değillerse (yani antipod değillerse), benzersiz bir büyük daire çizilebilir. İki nokta büyük bir daireyi iki yaya böler. Kısa yayın uzunluğu iki nokta arasındaki en kısa mesafedir. İki antipodal nokta arasına sonsuz sayıda büyük daire çizilebilir, ancak aralarındaki mesafe herhangi bir dairede aynı olacak ve dairenin çevresinin yarısına veya π*R'ye eşit olacaktır; burada R, kürenin yarıçapıdır.

Bir düzlemde (dikdörtgen bir koordinat sisteminde), yukarıda belirtildiği gibi büyük daireler ve bunların parçaları, büyük dairelerin düz çizgiler olduğu gnomonik projeksiyon dışındaki tüm projeksiyonlarda yayları temsil eder. Uygulamada bu, uçakların ve diğer hava taşımacılığının yakıt tasarrufu sağlamak için her zaman noktalar arasındaki minimum mesafeyi kullanan rotayı kullandığı, yani uçuşun yay gibi görünen bir düzlem üzerinde büyük bir daire mesafesi boyunca gerçekleştirildiği anlamına gelir.

Dünyanın şekli bir küre olarak tanımlanabilir, bu nedenle büyük daire mesafe denklemleri, Dünya yüzeyindeki noktalar arasındaki en kısa mesafeyi hesaplamak için önemlidir ve genellikle navigasyonda kullanılır. Bu yöntemle mesafenin hesaplanması, öngörülen koordinatlar (dikdörtgen koordinat sistemlerinde) için hesaplamaktan daha verimli ve çoğu durumda daha doğrudur, çünkü ilk olarak coğrafi koordinatların dikdörtgen bir koordinat sistemine dönüştürülmesini gerektirmez (projeksiyon dönüşümlerini gerçekleştirin) ve ikinci olarak, yanlış seçilirse birçok projeksiyon, projeksiyon distorsiyonlarının doğasından dolayı önemli uzunluk distorsiyonlarına yol açabilir. Dünyanın şeklini daha doğru tanımlayanın küre değil elipsoid olduğu biliniyor ancak bu makalede küre özelinde mesafelerin hesaplanması ele alınıyor; hesaplamalar için yarıçapı 6.372.795 metre olan bir küre kullanılıyor. bu da mesafelerin hesaplanmasında %0,5 düzeyinde hataya neden olabilir.

Formüller

PHP'deki uygulamam

Siteden alınan makale

Genel kabul gören görüşe göre başlangıç ​​meridyeni, Greenwich'teki eski Greenwich Gözlemevi'nden geçen meridyen olarak kabul edilir. Konumun coğrafi koordinatları bir GPS navigatörü kullanılarak elde edilebilir. Bu cihaz, tüm dünya için aynı olan WGS-84 koordinat sisteminde uydu konumlandırma sistemi sinyallerini alır.

Navigatör modelleri üretici, işlevsellik ve arayüz açısından farklılık gösterir. Şu anda bazı cep telefonu modellerinde yerleşik GPS navigasyon cihazları da mevcuttur. Ancak herhangi bir model bir noktanın koordinatlarını kaydedebilir ve kaydedebilir.

GPS koordinatları arasındaki mesafe

Örneğin, aşağıdaki koordinatlar arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz: 1 numaralı nokta - enlem 55°45′07″ K, boylam 37°36′56″ E; 2 numaralı nokta - 58°00′02″ K enlemi, 102°39′42″ E boylamı.

En kolay yol, iki nokta arasındaki uzunluğu hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmaktır. Tarayıcı arama motorunda aşağıdaki arama parametrelerini ayarlamanız gerekir: çevrimiçi - iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için. Çevrimiçi hesap makinesinde birinci ve ikinci koordinatlar için sorgu alanlarına enlem ve boylam değerleri girilir. Hesaplarken çevrimiçi hesap makinesi sonucu verdi - 3.800.619 m.

Bir sonraki yöntem daha emek yoğun ama aynı zamanda daha görsel. Mevcut herhangi bir harita veya navigasyon programını kullanmalısınız. Koordinatları kullanarak noktalar oluşturabileceğiniz ve aralarındaki mesafeleri ölçebileceğiniz programlar aşağıdaki uygulamaları içerir: BaseCamp (MapSource programının modern bir benzeri), Google Earth, SAS.Planet.

Yukarıdaki programların tümü herhangi bir ağ kullanıcısı tarafından kullanılabilir. Örneğin Google Earth'te iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için birinci noktanın ve ikinci noktanın koordinatlarını gösteren iki etiket oluşturmanız gerekir. Daha sonra "Cetvel" aracını kullanarak birinci ve ikinci işaretleri bir çizgiyle bağlamanız gerekir, program otomatik olarak ölçüm sonucunu gösterecek ve yolu Dünya'nın uydu görüntüsünde gösterecektir.

Yukarıda verilen örnekte, Google Earth programı sonucu döndürdü - 1 No'lu nokta ile 2 No'lu nokta arasındaki mesafenin uzunluğu 3,817,353 m'dir.

Mesafeyi belirlerken neden bir hata var?

Bu yazıda teorik olarak noktadan noktaya mesafeyi belirlemenin yollarına ve belirli görev örneklerine bakacağız. Başlangıç ​​olarak bazı tanımları tanıtalım.

Tanım 1

Noktalar arasındaki mesafe mevcut ölçekte bunları bağlayan segmentin uzunluğudur. Uzunluk biriminin ölçülebilmesi için skalanın ayarlanması gerekir. Bu nedenle, temel olarak noktalar arasındaki mesafeyi bulma problemi, noktaların koordinatlarının bir koordinat doğrusu üzerinde, bir koordinat düzleminde veya üç boyutlu uzayda kullanılmasıyla çözülür.

Başlangıç ​​verileri: O x koordinat çizgisi ve onun üzerinde bulunan rastgele bir A noktası. Doğru üzerindeki herhangi bir noktanın bir gerçek sayısı vardır: A noktası için belirli bir sayı olsun x Bir, aynı zamanda A noktasının koordinatıdır.

Genel olarak belirli bir parçanın uzunluğunun, belirli bir ölçekte uzunluk birimi olarak alınan parçayla karşılaştırılarak değerlendirildiğini söyleyebiliriz.

A noktası bir tamsayı gerçek sayıya karşılık geliyorsa, O noktasından O A doğru parçası - uzunluk birimleri boyunca sırayla bir noktaya kadar uzanarak, ayrılan birim parçaların toplam sayısından O A parçasının uzunluğunu belirleyebiliriz.

Örneğin, A noktası 3 sayısına karşılık gelir - O noktasından ona ulaşmak için üç birim bölüm bırakmanız gerekecektir. A noktasının koordinatı -4 ise, birim segmentler benzer şekilde ancak farklı, negatif yönde düzenlenir. Böylece, ilk durumda O A mesafesi 3'e eşittir; ikinci durumda O A = 4.

A noktasının koordinat olarak rasyonel bir sayısı varsa, o zaman orijinden (O noktasından) tam sayıda birim parça ve ardından gerekli kısmını çizeriz. Ancak geometrik olarak ölçüm yapmak her zaman mümkün değildir. Örneğin 4 111 kesrini koordinat doğrusuna çizmek zor görünüyor.

Yukarıdaki yöntemi kullanarak irrasyonel bir sayıyı düz bir çizgiye çizmek tamamen imkansızdır. Örneğin A noktasının koordinatı 11 olsun. Bu durumda soyutlamaya dönmek mümkündür: A noktasının verilen koordinatı sıfırdan büyükse, O A = x A (sayı mesafe olarak alınır); koordinat sıfırdan küçükse O A = - x A . Genel olarak bu ifadeler herhangi bir x A gerçek sayısı için doğrudur.

Özetlemek gerekirse: Orijinden koordinat doğrusu üzerinde bir gerçel sayıya karşılık gelen noktaya kadar olan mesafe şuna eşittir:

• Nokta orijinle çakışıyorsa 0;

• x A, eğer x A > 0 ise;

• - x A eğer x A< 0 .

Bu durumda, parçanın uzunluğunun negatif olamayacağı açıktır, bu nedenle modül işaretini kullanarak O noktasından A noktasına kadar olan mesafeyi koordinatla yazıyoruz. xA: O Bir = x Bir

Aşağıdaki ifade doğru olacaktır: bir noktadan diğerine olan mesafe koordinat farkının modülüne eşit olacaktır. Onlar. Herhangi bir konum için aynı koordinat çizgisi üzerinde bulunan ve karşılık gelen koordinatlara sahip A ve B noktaları için xA Ve x B: Bir B = x B - x A .

Başlangıç ​​verileri: A (x A, y A) ve B (x B, y B) koordinatları ile O x y dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlem üzerinde yer alan A ve B noktaları.

A ve B noktalarından Ox ve O y koordinat eksenlerine dik çizgiler çizelim ve sonuç olarak projeksiyon noktalarını elde edelim: A x, A y, B x, B y. A ve B noktalarının konumuna bağlı olarak aşağıdaki seçenekler mümkündür:

A ve B noktaları çakışırsa aralarındaki mesafe sıfırdır;

A ve B noktaları O x eksenine (apsis ekseni) dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, bu durumda noktalar çakışır ve | AB | = | A y B y | . Noktalar arasındaki mesafe koordinatları farkının modülüne eşit olduğundan, A y B y = y B - y A ve dolayısıyla A B = A y B y = y B - y A.

A ve B noktaları O y eksenine (koordinat ekseni) dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa - önceki paragrafa benzer şekilde: A B = A x B x = x B - x A

A ve B noktaları koordinat eksenlerinden birine dik bir düz çizgi üzerinde yer almıyorsa, hesaplama formülünü türeterek aralarındaki mesafeyi bulacağız:

A B C üçgeninin dikdörtgen olduğunu görüyoruz. Bu durumda A C = A x B x ve B C = A y B y. Pisagor teoremini kullanarak şu eşitliği yaratırız: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ve sonra bunu dönüştürürüz: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Elde edilen sonuçtan bir sonuç çıkaralım: Düzlemde A noktasından B noktasına olan mesafe, bu noktaların koordinatlarını kullanan formül kullanılarak hesaplanır.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Ortaya çıkan formül aynı zamanda noktaların çakışması durumları veya noktaların eksenlere dik düz çizgiler üzerinde yer aldığı durumlar için önceden oluşturulmuş ifadeleri de doğrular. Yani A ve B noktaları çakışırsa aşağıdaki eşitlik doğru olacaktır: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

A ve B noktalarının x eksenine dik bir doğru üzerinde olduğu bir durum için:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A ve B noktalarının ordinat eksenine dik bir doğru üzerinde yer alması durumunda:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Başlangıç ​​verileri: üzerinde verilen A (x A, y A, z A) ve B (x B, y B, z B) koordinatlarıyla üzerinde rastgele noktalar bulunan dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z. Bu noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek gerekir.

A ve B noktalarının koordinat düzlemlerinden birine paralel bir düzlemde yer almadığı genel durumu ele alalım. A ve B noktalarından koordinat eksenlerine dik düzlemler çizelim ve karşılık gelen projeksiyon noktalarını elde edelim: A x , A y , A z , B x , B y , Bz

A ve B noktaları arasındaki mesafe, ortaya çıkan paralel borunun köşegenidir. Bu paralel borunun ölçümlerine göre: A x B x , A y B y ve A z Bz

Geometri dersinden, bir paralelyüzün köşegeninin karesinin, boyutlarının karelerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu ifadeye dayanarak şu eşitliği elde ederiz: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Daha önce elde edilen sonuçları kullanarak aşağıdakileri yazıyoruz:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

İfadeyi dönüştürelim:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final Uzaydaki noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek için formülşöyle görünecek:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ortaya çıkan formül aşağıdaki durumlarda da geçerlidir:

Noktalar çakışıyor;

Bir koordinat ekseni üzerinde veya koordinat eksenlerinden birine paralel bir düz çizgi üzerinde uzanırlar.

Noktalar arasındaki mesafeyi bulma konusunda problem çözme örnekleri

İlk veriler: bir koordinat çizgisi ve üzerinde verilen A (1 - 2) ve B (11 + 2) koordinatlarına sahip noktalar verilmiştir. O başlangıç ​​noktasından A noktasına ve A ile B noktaları arasındaki mesafeyi bulmak gerekir.

Çözüm

1. Referans noktasından noktaya olan mesafe, bu noktanın koordinat modülüne eşittir, sırasıyla O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bu noktaların koordinatları arasındaki farkın modülü olarak tanımlıyoruz: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Cevap: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Örnek 2

İlk veriler: dikdörtgen bir koordinat sistemi ve üzerinde bulunan iki nokta A (1, - 1) ve B (λ + 1, 3) verilmiştir. λ bir reel sayıdır. Bu sayının A B mesafesinin 5'e eşit olacağı tüm değerlerini bulmak gerekir.

Çözüm

A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bulmak için A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 formülünü kullanmalısınız.

Gerçek koordinat değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Ayrıca A B = 5 şeklindeki mevcut koşulu da kullanırsak eşitlik doğru olacaktır:

λ2 + 16 = 5 λ2 + 16 = 25 λ = ± 3

Cevap: λ = ± 3 ise A B = 5.

Örnek 3

İlk veriler: O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde ve içinde yer alan A (1, 2, 3) ve B - 7, - 2, 4 noktalarında üç boyutlu bir alan belirtilir.

Çözüm

Sorunu çözmek için A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 formülünü kullanıyoruz.

Gerçek değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Cevap: | AB | = 9

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Matematikte problem çözmek çoğu zaman öğrenciler için pek çok zorluğu da beraberinde getirir. Öğrencinin bu zorluklarla başa çıkmasına yardımcı olmanın yanı sıra, “Matematik” dersinin tüm bölümlerinde belirli problemleri çözerken onlara mevcut teorik bilgilerini uygulamayı öğretmek sitemizin temel amacıdır.

Konuyla ilgili problemleri çözmeye başlarken öğrencilerin düzlem üzerinde koordinatlarını kullanarak bir nokta oluşturabilmeleri ve verilen bir noktanın koordinatlarını bulabilmeleri gerekir.

Düzlemde alınan iki A(x A; y A) ve B(x B; y B) noktası arasındaki mesafenin hesaplanması aşağıdaki formül kullanılarak yapılır. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) burada d, düzlemdeki bu noktaları birleştiren parçanın uzunluğudur.

Segmentin uçlarından biri koordinatların kökeni ile çakışıyorsa ve diğeri M(x M; y M) koordinatlarına sahipse, o zaman d'yi hesaplama formülü OM = √(x M 2 + y M 2) formunu alacaktır. ).

1. Bu noktaların verilen koordinatlarına göre iki nokta arasındaki mesafenin hesaplanması

örnek 1.

Koordinat düzleminde A(2; -5) ve B(-4; 3) noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu bulun (Şekil 1).

Çözüm.

Problem ifadesinde şunu belirtir: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ve y B = 3. d'yi bulun.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Verilen üç noktaya eşit uzaklıktaki bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 2.

A(7; -1) ve B(-2; 2) ve C(-1; -5) noktalarına eşit uzaklıkta olan O 1 noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm.

Problem koşullarının formülasyonundan şu sonuç çıkar: O 1 A = O 1 B = O 1 C. İstenilen O 1 noktasının (a; b) koordinatları olsun. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

Ö 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

Ö 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

İki denklemden oluşan bir sistem oluşturalım:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Denklemlerin sol ve sağ taraflarının karesini aldıktan sonra şunu yazarız:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Basitleştirelim, yazalım

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: a = 2; b = -1.

O 1 (2; -1) noktası, aynı düz çizgi üzerinde olmaması koşuluyla belirtilen üç noktaya eşit uzaklıktadır. Bu nokta verilen üç noktadan geçen çemberin merkezidir. (İncir. 2).

3. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde bulunan ve belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması

Örnek 3.

B(-5; 6) noktasından Ox ekseni üzerinde bulunan A noktasına olan mesafe 10'dur. A noktasını bulun.

Çözüm.

Problem koşullarının formülasyonundan, A noktasının ordinatının sıfıra eşit olduğu ve AB = 10 olduğu sonucu çıkar.

A noktasının apsisini a ile göstererek A(a; 0) yazarız.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

√((a + 5) 2 + 36) = 10 denklemini elde ederiz. Bunu basitleştirirsek, şunu elde ederiz:

a 2 + 10a – 39 = 0.

Bu denklemin kökleri a 1 = -13; ve 2 = 3.

A 1 (-13; 0) ve A 2 (3; 0) olmak üzere iki puan alıyoruz.

Muayene:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Elde edilen her iki nokta da problemin koşullarına göre uygundur. (Şek. 3).

4. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde bulunan ve verilen iki noktadan aynı uzaklıkta olan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması

Örnek 4.

Oy ekseni üzerinde A (6, 12) ve B (-8, 10) noktalarından aynı uzaklıkta olan bir nokta bulun.

Çözüm.

Sorunun koşullarının gerektirdiği Oy ekseni üzerinde bulunan noktanın koordinatları O 1 (0; b) olsun (Oy ekseni üzerinde bulunan noktada apsis sıfırdır). O 1 A = O 1 B koşulundan çıkar.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

Ö 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

√(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) veya 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 denklemine sahibiz.

Sadeleştirmeden sonra şunu elde ederiz: b – 4 = 0, b = 4.

Sorunun koşullarının gerektirdiği O 1 (0; 4) noktası (Şekil 4).

5. Koordinat eksenlerine aynı mesafede bulunan bir noktanın ve belirli bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 5.

Koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine ve A(-2; 1) noktasına aynı uzaklıkta bulunan M noktasını bulun.

Çözüm.

Gerekli M noktası, A(-2; 1) noktası gibi, A, P 1 ve P 2 noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan ikinci koordinat açısında bulunur. (Şekil 5). M noktasının koordinat eksenlerine olan uzaklıkları aynıdır, dolayısıyla a > 0 olmak üzere koordinatları (-a; a) olacaktır.

Sorunun koşullarına göre MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

onlar. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Bir denklem kuralım:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Karesi alındıktan ve sadeleştirildikten sonra elimizde: a 2 – 6a + 5 = 0. Denklemi çözün, a 1 = 1'i bulun; ve 2 = 5.

Problemin koşullarını sağlayan iki M 1 (-1; 1) ve M 2 (-5; 5) noktası elde ediyoruz.

6. Apsis (koordinat) ekseninden ve verilen noktadan aynı uzaklıkta bulunan bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 6.

Ordinat ekseninden ve A(8; 6) noktasından uzaklığı 5'e eşit olacak bir M noktası bulun.

Çözüm.

Problemin koşullarına göre MA = 5 ve M noktasının apsisi 5'e eşittir. M noktasının ordinatı b'ye eşit olsun, o zaman M(5; b) (Şekil 6).

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülüne göre elimizde:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Bir denklem kuralım:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Basitleştirirsek şunu elde ederiz: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu denklemin kökleri b 1 = 2; b 2 = 10. Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki nokta vardır: M 1 (5; 2) ve M 2 (5; 10).

Birçok öğrencinin problemleri bağımsız olarak çözerken, bunları çözme teknikleri ve yöntemleri konusunda sürekli istişarelere ihtiyaç duyduğu bilinmektedir. Çoğu zaman öğrenci, öğretmenin yardımı olmadan bir sorunu çözmenin yolunu bulamaz. Öğrenci problemlerin çözümü konusunda gerekli tavsiyeleri web sitemizden alabilir.

Hala sorularınız mı var? Bir uçaktaki iki nokta arasındaki mesafeyi nasıl bulacağınızı bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.