Matematiksel bir model oluşturmak için genel şema. Matematiksel bir model örneği. Tanım, sınıflandırma ve özellikler. Ekonomik ve matematiksel bir model oluşturmak

modelleme Modelleme, gerçek bir sistemin (orijinal), modeliyle, kendisiyle belirli bir nesne yazışmasına sahip olan ve işlevsel özelliklerinin tahmin edilmesini sağlayan, yani yeni bir nesneyle değiştirilerek incelenmesidir. modelleme yaparken nesnenin kendisiyle değil, ikame adı verilen nesneyle deneyler yaparlar.

Modelleme süreci birkaç aşamadan oluşur:

1. Problemin ifadesi ve araştırılacak gerçek nesnenin özelliklerinin belirlenmesi.

2. Gerçek bir nesneyi incelemenin zorluğunun veya imkansızlığının ifadesi.

3. Model seçimi, bir yandan nesnenin temel özelliklerini iyi işlerken, diğer yandan kolayca araştırılabilir. Model, nesnenin ana özelliklerini yansıtmalı ve gramer içermemelidir.

4. Modelin amaca uygun olarak çalışılması.

5. Obje ve modelin yeterliliğinin kontrol edilmesi. Eşleşme yoksa, ilk dört puan tekrarlanmalıdır.

Modelleme problemlerini çözmek için klasik ve sistematik bir yaklaşım vardır. Yöntemin özü şu şekildedir: İncelenecek gerçek nesne, ayrı bileşenlere bölünür. D ve hedefleri seçin C modelin bireysel bileşenlerinin oluşumu İLE. Ardından, ilk verilere dayanarak, ilişkileri dikkate alınarak toplamı bir modelde birleştirilen model bileşenleri oluşturulur. Bu yöntem endüktiftir, yani modelin inşası özelden genele doğru ilerler.

Klasik yöntem, otomatik kontrol sistemleri gibi nispeten basit sistemleri modellemek için kullanılır. Sistem yaklaşımı Yöntemin özü, ilk verilere dayanarak D Sisteme getirilen kısıtlamalar dikkate alınarak ve amaca uygun olarak dış çevrenin analizinden bilinen, C, gereksinimler oluşturulur T ve nesne modelleri. Bu gereksinimlere dayanarak, bir alt sistem oluşturulur P ve alt sistemlerin elemanları E ve CV seçim kriteri kullanılarak en iyi model seçilir, yani modelin inşası genelden özele doğru ilerler.

Sistem yaklaşımı, karmaşık sistemleri modellemek için kullanılır.

Modelleme türlerinin sınıflandırılması 1. Model oluşturma yöntemine göre a) Teorik (analitik) - fiziksel verilerden kaynaklanan ilişkiler temelinde iç yapıdaki verilere göre oluşturulur. b) Resmi - çıkış ve sisteme giriş arasındaki ilişkiye göre. Kara kutu ilkesine dayalı olarak inşa edilmiştir.c) Birleşik.2. Zaman içinde değişkenleri değiştirerek a) Statik b) Dinamik Statik model nesnenin durumunu tanımlar ve türevleri içermez X Ve de(giriş ve çıkış) sinyalleri zamanında. deBendt.Elde etme yöntemine bağlı olarak dinamik model, bir transfer fonksiyonu biçiminde geçici darbe veya frekans yanıtının diferansiyel denklemi olarak temsil edilir.Yığınlanmış parametrelere sahip nesnelerin dinamiği, sıradan diferansiyel denklemlerle ve nesnelerin dinamikleri ile tanımlanır. dağıtılmış parametreler, frekans türevlerindeki diferansiyel denklemlerle tanımlanır.3. Değişken modüllerin konumsal koordinatlara bağımlılığına göre.a) Dağıtılmış parametrelerle.b) Toplu parametrelerle.4. Yapım ilkesine göre.a) Stokastik.b) Deterministik.Eğer X Ve de(giriş ve çıkış) sabit veya bilinen değerler (deterministik), o zaman modele stokastik denir. X Ve de rastgele (olası) değişkenler, bu durumda modele stokastik denir.

Stokastik modeller, olası öğeler içerir ve çalışan bir nesnenin statik bir incelemesinin sonucu olarak elde edilen bir bağımlılık sistemini temsil eder.

Deterministik, teorik bir yaklaşım kullanılarak oluşturulmuş bir işlevsel bağımlılıklar sistemidir.

Deterministik modellerin bir takım avantajları vardır. Tasarımda sıklıkla olduğu gibi, işleyen bir nesnenin yokluğunda bile geliştirilebilirler. Niteliksel olarak yeterince doğru olmayan model parametrelerinin varlığında bile nesnede meydana gelen süreçleri niteliksel ve daha doğru bir şekilde karakterize ederler.

Modelleme nesnesi hakkındaki bilgiler yeterince yüksek bir bütünlüğe sahip değilse veya önemli karmaşıklığından dolayı, tüm girdi eylemlerini bir model biçiminde tanımlamak imkansızdır ve gözlemlenmemiş değişkenlerin çıktı koordinatları üzerindeki etkisi önemlidir, o zaman statik bir model kullanılır.

5. Model parametrelerinin değişkenlere bağımlılığına göre.

a) Bağımlı (doğrusal olmayan).

b) Bağımsız (doğrusal).

Modelin parametreleri (katsayıları) değişkenlere bağlıysa veya değişkenler çarpımsal ise, model doğrusal değildir.

Girdi eylemine yanıt sürekli ise ve model parametreleri toplamsal ise model doğrusal kabul edilir.

Niceliklerin adativitesi, tüm nesnenin büyüklüğünün değerinin, nesnenin parçalara herhangi bir bölünmesinde bütünün karşılık gelen frekanslarının değerlerinin toplamına eşit olması özelliğidir.

Değerlerin çarpımı, nesnenin herhangi bir şekilde parçalara bölünmesinde, tüm nesnenin değerinin değerinin, bütünün karşılık gelen parçalarının değerinin çarpımına eşit olması özelliğidir.

6. Modelin uyarlanabilirliğine göre.

a) Uyarlanabilir.

b) Uyarlanamaz.

Uyarlanabilir bir model, yapısı ve parametreleri, modelin çıktı değişkenleri ile nesne arasındaki bir miktar hata ölçüsünün minimum olacak şekilde değiştirildiği bir modeldir.

Arama ve arama dışı olarak ayrılırlar.

Arama modellerinde, otomatik optimize edici modelin parametrelerini değiştirerek nesnenin çıktı modelleri arasındaki minimum hata ölçüsünü elde eder.

Ders #2

Matematiksel modelleme şemaları

Sistemin matematiksel bir modelini oluşturmak için temel yaklaşımlar

Matematiksel bir modelin oluşturulmasındaki ilk bilgiler, sistemlerin işleyiş süreci, incelenen sistemin amacı ve durumu hakkındaki verilerdir. Bu bilgi, sistem modellemenin ana hedefini tanımlar. S ve gereksinimleri ve geliştirilen matematiksel modeli formüle etmenize olanak tanır M.

Matematiksel bir şema, dış ortamın etkisini hesaba katarak, sürecin işleyiş sürecinin anlamlı bir resmi tanımına geçişteki bir bağlantıdır, yani. bir zincir vardır: tanımlayıcı model → matematiksel şema → matematiksel model.

Her sistem S sistemin davranışını ve dış çevre ile etkileşim içinde işleyiş koşullarını yansıtan bir dizi özellik ile karakterize edilir. ε .

Modelin bütünlüğü esas olarak sistem tarafından sınır seçimi ile kontrol edilir. S ve dış ortam E.

Modeli basitleştirme görevi, ikincil olanları atarak sistemin ana özelliklerini vurgulamaya yardımcı olur.

Aşağıdaki notasyonu tanıtalım:

1) Sistemdeki girdi eylemlerinin toplamı

.

2) Çevresel etkilerin toplamı

.

3) Bir dizi dahili veya tescilli sistem parametresi

.

4) Sistemin çıktı özelliklerinin toplamı

Modellemedeki en büyük zorluklar ve en ciddi hatalar, farklı uzmanlıklara sahip ekiplerin bu yaratıcı sürece katılımıyla açıklanan, çalışma nesnelerinin anlamlı bir resmi tanımından resmi bir tanımına geçerken ortaya çıkar: gereken sistemler alanındaki uzmanlar modellenecek (müşteriler) ve makine modellemesi alanında uzmanlar (uygulayıcılar). Bu uzman grupları arasında karşılıklı anlayış bulmak için etkili bir araç, sistemin anlamlı bir tanımından matematiksel şemasına geçişin yeterliliği sorununu ön plana çıkarmayı mümkün kılan matematiksel şemaların dilidir. daha sonra bir bilgisayar kullanarak sonuçları elde etmek için belirli bir yönteme karar verin: analitik veya simülasyon ve muhtemelen birleşik, yani analitik ve simülasyon. Belirli bir modelleme nesnesi ile ilgili olarak, yani karmaşık bir sistemle ilgili olarak, model geliştiriciye, bir bilgisayarda uygulamalı araştırmalarda etkinliklerini göstermiş olan ve bu sistem sınıfı için halihazırda test edilmiş olan belirli matematiksel şemalar tarafından yardımcı olunmalıdır. tipik matematiksel şemalar.

SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLERİNİ OLUŞTURMAYA YÖNELİK TEMEL YAKLAŞIMLAR

Sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerinin oluşturulmasındaki ilk bilgiler, incelenen (tasarlanan) sistemin amacı ve çalışma koşulları hakkındaki verilerdir 5. Bu bilgi, sistemi modellemenin ana hedefini £ belirler ve formüle etmemizi sağlar geliştirilen matematiksel model A/ için gereksinimler. Dahası, soyutlama düzeyi, sistem araştırmacısının model yardımıyla yanıtlamak istediği soruların aralığına bağlıdır ve bir dereceye kadar matematiksel şemanın seçimini belirler.

Matematiksel şemalar.

"Matematiksel şema" kavramının tanıtılması, matematiği bir hesaplama yöntemi olarak değil, bir düşünme yöntemi olarak, bir sistemin sözlü açıklamasından geçişte en önemli olan kavramları formüle etmenin bir aracı olarak görmemizi sağlar. bazı matematiksel model (analitik veya simülasyon) biçimindeki işleyiş sürecinin resmi bir temsiline. 5* sisteminin araştırmacısının matematiksel şemasını kullanırken, her şeyden önce, incelenen sistemdeki gerçek süreçlerin belirli şemaları biçimindeki gösterimin yeterliliği sorusu ilgi çekici olmalıdır, olasılık değil. Belirli bir araştırma sorusuna yanıt (çözüm sonucu) elde etme. Örneğin, bir kuyruk şemaları ağı biçiminde toplu kullanım için bir bilgi ve bilgi işlem sisteminin işleyiş sürecinin temsili, sistemde meydana gelen süreçleri iyi tanımlamayı mümkün kılar, ancak gelen akışlar için karmaşık dağıtım kanunları ve hizmet akışları, açık sonuçların elde edilmesini mümkün kılmaz.

matematiksel şema dış ortamın etkisini dikkate alarak, sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir resmi tanımına geçişte bir bağlantı olarak tanımlanabilir, yani bir zincir vardır "tanımlayıcı model - matematiksel şema - matematiksel [ analitik ve (ve) simülasyon] modeli".

Her bir özel sistem L 1, modellenen nesnenin (gerçek sistem) davranışını yansıtan ve dış çevre (sistem) ile etkileşim halinde çalışma koşullarını dikkate alan nicelikler olarak anlaşılan bir dizi özellik ile karakterize edilir. E. Sistemin matematiksel bir modelini oluştururken, bütünlük sorununu çözmek gerekir. Modelin eksiksizliği esas olarak sınır "sisteminin seçimi ile düzenlenir. Y-ortamı £>>. Ayrıca, ikincil atılarak sistemin ana özelliklerini vurgulamaya yardımcı olan modeli basitleştirme sorunu çözülmelidir. Ayrıca, sistemin özelliklerinin birincil veya ikincil olarak sınıflandırılması, önemli ölçüde sistemin modellenme amacına bağlıdır (örneğin, sistem işleyiş sürecinin olasılıksal-zamansal özelliklerinin analizi, sistem yapısının sentezi vb.).

Resmi nesne modeli. Simülasyon nesnesinin modeli, yani sistem 5, gerçek bir sistemin işleyiş sürecini ve genel durumdaki formu tanımlayan bir dizi nicelik olarak temsil edilebilir. aşağıdaki alt kümeler: toplam girdi eylemleri sistem başına

bütünlük çevresel etkiler

bütünlük dahili (kendi) parametreleri sistemler

bütünlük çıktı özellikleri sistemler

Aynı zamanda, listelenen alt kümelerde kontrollü ve kontrolsüz değişkenler ayırt edilebilir. Genel durumda xn r/, A*,

de y, ayrık alt kümelerin öğeleridir ve hem deterministik hem de stokastik bileşenler içerir.

Sistem 5'i modellerken, girdi eylemleri, çevresel etkiler E ve sistemin dahili parametreleri bağımsız (dışsal) değişkenler, vektör biçiminde x (/) = (*! (O, x 2 (0> - ") formuna sahip olan x *x(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*! (0. l 2 (0. ■ . l -n) (0)) ve çıkış özellikleri sistem bağımlı (endojen) değişkenler ve vektör formunda forma sahip y (0=(y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

Sistem 5'in işleyiş süreci, /* 5 operatörü tarafından zaman içinde açıklanır; bu, genel durumda dışsal değişkenleri, form ilişkilerine uygun olarak içsel değişkenlere dönüştürür.

Sistemin çıktı özelliklerinin zamana bağımlılıklarının toplamı p y isminde çıkış yörüngesi y ((). Bağımlılık (2.1) denir B sisteminin işleyiş yasası ve belirtilen G 5 . Genel durumda, sistemin işleyişi yasası E 5 bir fonksiyon, işlevsel, mantıksal koşullar, algoritmik ve tablo formlarında veya sözlü bir karşılık gelme kuralı olarak verilebilir.

Sistem 5'in tanımı ve çalışması için çok önemli olan kavramdır. işleyen algoritma L 5 , girdi eylemlerini dikkate alarak çıktı özelliklerini elde etmek için bir yöntem olarak anlaşılan X(/), çevresel etkiler v(d) ve sistemin kendi parametreleri VE(/). Sistem 5'in aynı işleyiş yasasının farklı şekillerde, yani birçok farklı işleyiş algoritması kullanılarak uygulanabileceği açıktır. $ .

İlişkiler (2.1), simülasyon nesnesinin (sistem) zaman / içindeki davranışının matematiksel bir açıklamasıdır, yani dinamik özelliklerini yansıtırlar. Bu nedenle, bu tür matematiksel modellere genellikle dinamik modeller (sistemler) .

Statik modeller için matematiksel model (2.1), modellenen nesnenin özelliklerinin iki alt kümesi arasındaki bir eşleştirmedir. -de Ve (X, V, I), vektör biçiminde şu şekilde yazılabilir:

İlişkiler (2.1) ve (2.2) çeşitli şekillerde belirtilebilir: analitik (formüller kullanılarak), grafiksel, tablo şeklinde vb. Bazı durumlarda, bu tür ilişkiler elde edilebilir

adı verilen belirli zaman noktalarında sistemin 5 özellikleri aracılığıyla devletler. 5. sistemin durumu vektörlerle karakterize edilir

Nerede *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 anda /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(П" , *£=**(*") şu anda /"b(/ 0 , 7) vb., £=1, p Bay

Sistem 5'in işleyiş sürecini art arda durum değişikliği (/), r 2 (/) olarak düşünürsek, G Onlar kim

^-boyutlu faz uzayındaki bir noktanın koordinatları olarak yorumlanabilir ve sürecin her gerçekleştirilmesi, bir faz yörüngesine karşılık gelir. Tüm olası durum değerlerinin kümesi (G) isminde durum uzayı simülasyon nesnesi zt Ve g için e Z.

Sistem tam zamanında 5'i belirtir

başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir 7° = (2° 1 ,.2 2 °, G° k) [nerede

*°1 = *1(*o)" *°r = *2 (^o)" - "*°*=**(*o)]" giriş işlemleri X(/), dahili parametreler İle(/) ve çevresel etkiler v(0 - / 0 zaman aralığında gerçekleşen, iki vektör denklemi kullanılarak

İlk durumdaki ilk denklem g° ve dışsal değişkenler x, v, ben durumların elde edilen değerine göre bir vektör fonksiyonunu (/) ve ikincisini tanımlar G(/) - sistemin çıkışındaki içsel değişkenler de(/). Böylece, "girdi - durumlar - çıktı" nesnesinin denklem zinciri izin verir tanımlamak sistem özellikleri

Genel durumda, sistem modelindeki süre BEN simülasyon aralığında (0, T) hem sürekli hem de ayrık, yani neg cinsinden nicelenmiş ezki d satır A / zaman birimleri her biri, ne zaman T=tA1, Nerede T- 1, t T- ayrıklaştırma aralıklarının sayısı.

Böylece, altında nesnenin matematiksel modeli(gerçek bir sistemin) sonlu bir değişken alt kümesini anlamak (X (/), B (/), VE(d)) aralarındaki matematiksel ilişkiler ve özelliklerle birlikte de (/) .

Modelleme nesnesinin matematiksel tanımı rastgelelik unsurları içermiyorsa veya dikkate alınmıyorsa, örn.

bu durumda dış çevrenin stokastik etkilerinin olduğunu varsayabiliriz. v(/) ve stokastik içsel parametreler VE(/) eksikse, model çağrılır deterministiközelliklerin benzersiz bir şekilde deterministik girdi eylemleri tarafından belirlenmesi anlamında

Açıkçası, deterministik model, stokastik modelin özel bir durumudur.

Tipik şemalar.

Yukarıdaki matematiksel ilişkiler, genel bir formun matematiksel şemalarıdır ve geniş bir sistem sınıfını tanımlamamıza izin verir. Bununla birlikte, sistem mühendisliği ve sistem analizi alanındaki nesneleri modelleme uygulamasında, sistemi incelemenin ilk aşamalarında, kullanmak daha rasyoneldir. tipik matematiksel şemalar: diferansiyel denklemler, sonlu ve olasılıksal otomatlar, kuyruk sistemleri, Petri ağları vb.

Ele alınan modeller kadar bir genelliğe sahip olmayan tipik matematiksel şemalar, basitlik ve netlik avantajlarına sahiptir, ancak uygulama olasılıklarında önemli bir daralma vardır. Deterministik modeller olarak, çalışmada rasgele faktörler dikkate alınmadığında, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için diferansiyel, integral, integro-diferansiyel ve diğer denklemler, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için sonlu otomata ve sonlu farklar denklemleri kullanılır. ayrık zaman şeması. Stokastik modeller olarak (rasgele faktörleri hesaba katarak), ayrık zamana sahip sistemleri temsil etmek için olasılıksal otomatlar kullanılır ve sürekli zamana sahip sistemleri vb. temsil etmek için kuyruk sistemleri kullanılır.

Listelenen tipik matematiksel şemalar, elbette, büyük bilgi ve kontrol sistemlerinde meydana gelen tüm süreçleri temel alarak açıklayamayacaklarını iddia edemez. Bu tür sistemler için bazı durumlarda toplu modellerin kullanılması daha umut vericidir. Toplu modeller (sistemler), çok çeşitli araştırma nesnelerini, bu nesnelerin sistemik doğasının bir görüntüsü ile tanımlamayı mümkün kılar. Toplu açıklama sırasında, karmaşık bir nesnenin (sistem), parçaların etkileşimini sağlayan bağlantıları korurken sınırlı sayıda parçaya (alt sistemler) bölünmesidir.

Bu nedenle, sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerini oluştururken, aşağıdaki ana yaklaşımlar ayırt edilebilir: sürekli deterministik (örneğin, diferansiyel denklemler); ayrık deterministik (sonlu otomata); ayrık stokastik (olasılık otomatları); sürekli stokastik (sıralama sistemleri); genelleştirilmiş veya evrensel (toplayıcı sistemler).

Bu bölümün sonraki bölümlerinde tartışılan matematiksel şemalar, belirli sistemleri modellerken pratik çalışmalarda çeşitli yaklaşımlarla çalışmaya yardımcı olmalıdır.

SİSTEM MODELLEME

ÇALIŞMA PROGRAMI, KILAVUZLAR

BAĞIMSIZ ÇALIŞMA VE KONTROL GÖREVLERİ İÇİN

Fakülteler ELEKTRİK ENERJİSİ, ZDO

Uzmanlık 220201 - YÖNETİM VE BİLGİLENDİRME

TEKNİK SİSTEMLER

Lisans yönü 220200 - OTOMASYON VE KONTROL

Modelleme sistemleri: çalışma programı, bağımsız çalışma ve kontrol görevleri için yönergeler. - Vologda: VoGTU, 2008. - 22 s.

Disiplinin çalışma programı, ana bölümlerin konularını, bilgi kaynaklarına bağlantılar içeren yönergeleri, kontrol görevlerini ve bir referans listesini belirterek verilir.

Şu yönde okuyan tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrenciler için tasarlanmıştır: 220200 - Otomasyon ve Kontrol ve uzmanlıklar 220201 - Teknik Sistemlerde Kontrol ve Bilişim ve Lisans derecesi: 220200 - Otomasyon ve Kontrol.

VoGTU'nun editörlük ve yayın kurulu tarafından onaylandı

Derleyen: V.N. Tyukin, Ph.D. teknoloji Bilimler, Doçent

İnceleyen: E.V. Nesgovorov, Ph.D. teknoloji Bilimler, Doçent

UiVS VOGTU Departmanı

Program, 10.03.2000'den itibaren tanıtılan teknik sistemlerde yönetim ve bilişim - uzmanlık 210100'de mühendislerin minimum içerik ve eğitim düzeyine yönelik Yüksek Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Standardının gerekliliklerine dayanmaktadır.

Disiplinde bilgi ve beceriler için gereksinimler

Disiplini incelemenin bir sonucu olarak, öğrenciler:

1. Öğrencinin bir fikri olmalıdır:

Model ve simülasyon hakkında;

Sistemlerin incelenmesinde, tasarımında ve işletilmesinde modellemenin rolü üzerine;

Sistemlerin modellenmesinde bilgisayarların görevlendirilmesi üzerine;

Modelleme sistemlerinin yazılımı ve teknik araçları hakkında.

2. Öğrenci şunları bilmelidir:

Modelin amacı ve gereksinimleri;

Sistem modelleme türlerinin sınıflandırılması;

Sistem modellemede yaklaşım ilkeleri;

Modelleme sistemleri için matematiksel şemalar;

Sistem modellemenin ana aşamaları.

3. Öğrenci şunları yapabilmelidir:

Sistemlerin matematiksel modellerini elde edin;

Sistemlerin işleyiş sürecinin resmileştirilmesini ve algoritmalaştırılmasını gerçekleştirmek;

Sistemlerin kavramsal ve makine modellerini oluşturun;

Simülasyon sonuçlarını alın ve yorumlayın.

Minimum disiplin içeriği için gereksinimler

Modellerin sınıflandırılması ve modelleme türleri; sistem modellerine örnekler; benzerlik teorisinin temel hükümleri; matematiksel modellemenin aşamaları; sistemlerin matematiksel modelleri için yapım ilkeleri ve temel gereksinimler; sistemlerin matematiksel modellerinin incelenmesinin amaç ve hedefleri; matematiksel modellerin geliştirilmesi için genel şema; sistem işleyiş sürecinin resmileştirilmesi; toplu model kavramı; matematiksel modellerin temsil biçimleri; sistemlerin ve süreçlerin matematiksel modellerini incelemek için yöntemler; simülasyon modellemesi; matematiksel modelleri basitleştirme yöntemleri; teknik ve yazılım simülasyon araçları.

tablo 1

Müfredat saatlerinin eğitim biçimlerine ve ders türlerine göre dağılımı

Tablo 2

Bir öğrencinin bağımsız çalışma saatlerinin iş türüne göre dağılımı

KURS PROGRAMI

GİRİİŞ

1'DE. Sistem modelleme probleminin mevcut durumu.

2'DE. Simülasyonun araştırma, tasarım ve

sistem yönetimi.

Referanslar: s. 4-6.

1. SİSTEM MODELLEMENİN TEMEL KAVRAMLARI

1.1. Model ve simülasyonun tanımı. model için gereklilikler. Model ataması.

1.2. Sistem modellemede yaklaşım ilkeleri.

1.3. Sistem modelleme türlerinin sınıflandırılması.

1.4. Bilgisayarlarda modelleme sistemlerinin olanakları ve etkinliği.

Referanslar: s. 6-34.

2. SİSTEMLERİN SİMÜLASYONUNUN MATEMATİKSEL ŞEMALARI

2.1. Sistemlerin matematiksel modellerinin oluşturulmasına yönelik temel yaklaşımlar. Genel bir formun matematiksel şeması.

2.2. Sürekli deterministik modeller (D - şemalar).

2.3. Ayrık deterministik modeller (F - şemalar).

2.4. Ayrık stokastik modeller (P-şemaları).

2.5. Sürekli stokastik modeller (Q - şemalar).

2.6. Genelleştirilmiş modeller (A - şemalar).

Literatür: s. 35-67, s. 168-180.

3. SÜRECİN FORMALİZASYONU VE ALGORİTMİZASYONU

SİSTEM İŞLEYİŞİ

3.1. Sistem modellerinin geliştirme ve makine uygulama sırası.

3.2. Sistemin kavramsal bir modelinin oluşturulması ve biçimlendirilmesi.

3.3. Modelin algoritması ve makine uygulaması.

3.4. Simülasyon sonuçlarının elde edilmesi ve yorumlanması.

Literatür: s. 68-89.

4. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ

4.1. Dinamik sistem modellerinin kanonik biçimleri ve araştırma yöntemleri.

4.2. Simülasyon modellemesi.

4.3. İstatistiksel modelleme.

4.4. Sistem modelleme için yazılım ve donanım.

Edebiyat: .

KURSUN AMACI

"Anlamak, bir model inşa etmektir."

W. Thomson (Kelvin)

Gerçek üretim tesisleri, kural olarak, incelenmesi çok zor olan büyük sistemlerdir. Dersin ana amacı, büyük sistemleri ve kontrol sistemlerini modelleme problemine metodik bir yaklaşım geliştirmektir. Bu ana görev, aynı zamanda ders hedefleri olan bir dizi alt göreve ayrılabilir:

Analiz yöntemleri ve sistem modellemeye yaklaşım ilkeleri ile tanışma;

Sistemlerin matematiksel modellemesinin temellerini incelemek;

Sistem modellemenin ilkelerini ve araçlarını incelemek;

Sistemlerin tasarımı ve işletilmesinde modelleme yöntemlerine aşinalık;

Yazılım ve donanım sistemleri modelleme çalışması;

Büyük sistemlerin modellerini oluşturmada pratik becerilerin kazanılması ve simülasyon sonuçlarının işlenmesi için yöntemler.

METODOLOJİK TALİMATLAR

"Kontrol sistemlerinin modellenmesi" kursu, öğrenciye, otomatik üretim sistemlerinin etkili bir şekilde geliştirilmesi ve işletilmesi için bir mühendisin modern, güçlü bir çalışma aracını vermelidir. Modern otomatik üretimi içeren büyük sistemler oluşturma sorununu sermaye maliyetleri olmadan çözmeye izin veren bir araç olan modellemedir.

Çalışılan dersin önemi, bir bilgisayarda sistemlerin işleyiş süreçlerini modelleme problemlerinin pratik çözümü için teknik ve teknolojide ustalaşmada yatmaktadır.

Öğrenciler ders materyalini çoğunlukla kendi başlarına çalışmalıdır. Dersin en zor konularının yanı sıra literatürde yeterince yer almayan konularda da ders verilmektedir. Öğrenciler pratik ve laboratuvar derslerinde pratik modelleme becerileri alırlar. Ayrıca uzaktan eğitim alan öğrenciler dersi işleme sürecinde kontrol çalışmaları yapmaktadır.

GİRİİŞ

Dersin çalışması, malzeme ve üretim sisteminin teknolojik bir kontrol nesnesi olarak hareket ettiği ve bilgi ve kontrol sisteminin rol oynadığı, birbirine bağlı ve etkileşimli unsurların karmaşık bir sistemi olarak düşünülebilecek modern üretime aşina olmakla başlamalıdır. bir regülatörün. Üretimde yönetim süreçlerinin uygulanmasındaki etkinliğin artırılması, ekonomik ve matematiksel yöntemler ile bilgi ve bilgisayar teknolojisi kullanılarak oluşturulan otomatik kontrol sistemlerinin yaygın olarak kullanılmasını gerektirmektedir. Şu anda, bilgisayar simülasyon yöntemleri olmadan, kontrol nesnesinin incelenmesinden başlayarak ve tasarım için teknik şartnamelerin hazırlanmasından sistemin işletmeye alınmasına kadar, geliştirmenin tüm aşamalarındaki otomatik kontrol sistemlerinin eksiksiz ve kapsamlı bir çalışması imkansızdır. .

Modellemenin metodolojik temelinin, diyalektik-materyalist biliş ve bilimsel araştırma yöntemi olduğunu anlamak gerekir. Genel olarak, modelleme, çalışılan orijinal nesnenin başka bir nesne modeliyle bazı yazışmalarda olduğu ve modelin, orijinali bir şekilde veya başka bir şekilde bazı aşamalarda değiştirme yeteneğine sahip olduğu dolaylı bir biliş yöntemi olarak tanımlanabilir. Bilişsel süreç.

Modellemenin temel ilkeleri şunlardır.

Bilgi yeterliliği ilkesi. Yeterli bir modelin yaratılabileceği a priori bilgi düzeyini belirler.

Fizibilite ilkesi. Sonlu bir süre içinde simülasyon hedefine ulaşma olasılığı ile belirlenir.

Çoklu model ilkesi. Oluşturulan model, öncelikle gerçek sistemin seçilen performans göstergesini etkileyen özelliklerini yansıtmalıdır.

Toplama ilkesi. Nesne modeli, standart matematiksel şemalarla açıklamaya uygun kümelerden (alt sistemler) temsil edilmelidir.

Parametreleştirme ilkesi. Model, parametrelerle karakterize edilen alt sistemleri içermelidir.

Sistem modellemenin temel kavramları

"Kelimelerin anlamlarını belirleyin,

Ve insanlığı kurtaracaksın

Sanrılarının yarısından."

Bu bölümü incelerken, modellemenin temel kavramlarını, tanımlarını, amaçlarını ve ilkelerini anlamak önemlidir.

Model, orijinalin kabul edilen hipotezlere ve analojilere dayanan bir görüntüsüdür ve modelleme, bir nesnenin modeliyle deneyler yaparak bu nesne hakkında bilgi elde etmek için bir model tarafından temsil edilmesidir.

Modelin karşılaması gereken temel gereksinim, nesnenin yeterliliğidir. Modelin yeterliliği, modellemenin amacına ve benimsenen kriterlere bağlıdır. Model, simülasyon sonuçları doğrulanırsa nesne için uygundur ve incelenen nesnelerde meydana gelen süreçleri tahmin etmek için bir temel oluşturabilir.

Modelleme, nesneleri inceleme ve araştırma, işlevlerini tahmin etme, yapıyı, parametreleri ve davranış algoritmalarını sentezleme sorunlarını çözer.

Modeller kontrol ederken, gözlemlenmemiş süreç değişkenlerini tahmin etmeye, mevcut veya seçilen kontroller altındaki sürecin durumunu tahmin etmeye ve optimum kontrol stratejilerini otomatik olarak sentezlemeye izin verir.

Otomatik sistemleri tasarlarken ve çalıştırırken, yapısal, algoritmik ve parametrik sentez gerçekleştirerek sistemlerin işleyiş süreçlerinin nicel ve nitel modellerinin değerlendirilmesini gerektiren çok sayıda görev ortaya çıkar. Bu problemlerin çözümü, yapıların karmaşıklığı, elemanlar ve çevre arasındaki ilişkilerin stokastik doğası, davranış algoritmalarının belirsizliği gibi büyük sistemlerin özelliklerinden kaynaklanan çeşitli modelleme türleri kullanılmadan şu anda imkansızdır. , çok sayıda parametre ve değişken, başlangıç ​​bilgilerinin eksikliği ve belirsizliği. Matematiksel modelleme, tasarım süresini önemli ölçüde azaltabilir, çoğu durumda en uygun çözümü bulmanızı, tam ölçekli deneme yanılma yöntemini ortadan kaldırmanızı ve paralel bir tasarım sürecine geçmenizi sağlar.

Şu anda, büyük sistemlerin analizinde ve sentezinde, genelden özele tutarlı bir geçişi içeren sistematik bir yaklaşım geliştirilmiştir. . Bu durumda, ortaya konulan problem için model oluşturulur ve modelleme, hedef problemini, modeli oluşturma problemini, modelle çalışma problemini çözmekten oluşur. Doğru seçilmiş bir model için, yalnızca araştırmacının ihtiyaç duyduğu kalıpları ortaya çıkarması ve sistemin bu çalışma için gerekli olmayan özelliklerini dikkate almaması karakteristiktir.

Sistem modelleme türlerinin sınıflandırılması, modelin tamlık derecesi, matematiksel tanımın doğası gibi çeşitli özelliklere dayanmaktadır. Matematiksel model adı verilen belirli bir matematiksel nesnenin belirli bir gerçek nesnesine karşılık gelme süreci olan matematiksel modelleme ve söz konusu gerçek nesnenin özelliklerinin elde edilmesini sağlayan bu modelin incelenmesi önemli bir yer tutmaktadır. Matematiksel modelleme, analitik ve simülasyonu içerir. Simülasyon modelleme, nesne ve modelin yapısal benzerliği kullanılarak, modellenen nesnenin doğrudan bir tanımına dayanır, örn. çözülmekte olan problemin bakış açısından nesnenin her temel unsuruna modelin bir unsuru atanır.

Bilgisayar, modellemeye dayalı mühendislik problemlerini çözmek için kullanılan teknik bir araçtır. Modelli bir bilgisayar deneyi, herhangi bir koşulda işleyiş sürecini incelemeyi mümkün kılar, tam ölçekli bir deneye kıyasla testlerin süresini azaltır, simüle edilen sistemin parametrelerini, yapısını, algoritmalarını değiştirme esnekliğine sahiptir ve sistemlerin işleyiş sürecini tasarım aşamasında incelemek için pratik olarak uygulanan tek yöntem.

Kendi kendine muayene için sorular

1.Model ve simülasyon nedir?

2. Model için temel gereksinimleri formüle edin.

3. Sistem ve yönetim araştırma ve tasarımında modellemenin rolü nedir?

4. Sistem, çevre ve sistemin işleyişini tanımlayabilecektir.

5. Modellemede sistematik bir yaklaşımın anlamı nedir?

6. Sistem modelleme türlerinin sınıflandırılmasının özelliklerini sıralar.

7. Matematiksel modelleme ve çeşitlerinden bahseder misiniz?

8. Analitik ve simülasyon modelleme arasındaki fark nedir?

9. Sibernetik modelleme nedir?

10. Modellemede bilgisayarların rolü ve amacı.

Modelleme sistemleri için matematiksel şemalar

“Matematiğin en yüksek amacı,

Kaos içinde düzeni bulun

bizi çevreleyen."

Bu bölümü incelerken öncelikle matematiksel modelleme şemalarının hem genel hem de tipik kavramlarına dikkat etmek gerekir.

Matematiksel bir şema, dış ortamın etkisini dikkate alarak, sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir resmi tanımından resmi bir açıklamasına geçişte bir bağlantı olarak tanımlanır, yani. “tanımlayıcı model - matematiksel şema - matematiksel model” zinciri vardır. Matematiksel şema, matematiği bir hesaplama yöntemi olarak değil, bir düşünme yöntemi olarak, bir sistemin sözlü açıklamasından sürecin resmi bir temsiline geçişte en önemli olan kavramları formüle etmenin bir aracı olarak görmemizi sağlar. belirli bir matematiksel model biçiminde işleyişi.

Simülasyon nesnesinin modeli, yani sistem, gerçek bir sistemin işleyiş sürecini tanımlayan ve genel durumda aşağıdaki alt kümeleri oluşturan bir dizi nicelik olarak temsil edilebilir: sistem üzerindeki bir dizi girdi eylemi, bir dizi çevresel etki, bir dizi iç (içsel) sistemin parametreleri ve sistemin bir dizi çıktı özelliği. Girdi etkileri, çevresel etkiler, dahili parametreler bağımsız (dışsal) değişkenlerdir ve sistemin çıktı özellikleri bağımlı (içsel) değişkenlerdir. Genel modellemenin matematiksel şeması, dışsal değişkenleri içsel değişkenlere dönüştüren bir operatör tarafından verilmektedir.

Modelleme pratiğinde, genelliği olmayan, ancak basitlik ve netlik avantajlarına sahip olan tipik matematiksel şemaları kullanır. Bunlar, deterministik, stokastik ve toplu jenerik modelleri içerir. Deterministik modeller olarak diferansiyel, integral, integro-diferansiyel ve diğer denklemler kullanılır ve ayrık zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için fark denklemleri ve sonlu otomatlar kullanılır. Olasılıksal otomatlar, ayrık zamanlı sistemleri temsil etmek için stokastik modeller olarak kullanılır ve kuyruk sistemleri, sürekli zamanlı sistemleri temsil etmek için kullanılır. Toplu modeller, parçaların etkileşimini sağlayan bağlantıları korurken, sınırlı sayıda parçaya bölünmüş nesnelerin sistemik doğasını yansıtır.

Tipik matematiksel şemalar (D-, F-, P-, Q-, A-), araştırma pratiğinde ve üretim problemlerinin tasarımında ele alınması gereken oldukça geniş bir büyük sistem sınıfını resmileştirmeyi mümkün kılar.

Kendi kendine muayene için sorular

1. Matematiksel modelleme şemasının rolü nedir?

2. Genel matematiksel şema nedir?

3. Sürekli deterministik modellerin ana temsil biçimlerini adlandırır.

4. Ayrık sonlu durum makinesini tanımlayın.

5. F - otomatların çalışmasını ayarlamanın yollarını listeleyin.

6. Olasılık otomatı nasıl tanımlanır?

7. CMO nedir? CMO'nun ana unsurlarını adlandırın.

8. İşlem nedir?

9. Bize Q şemalarının sembolizminden bahsedin. Grafiksel olarak nasıl gösterilir: istek kaynağı, hizmet kanalı, akümülatör, valf, olay akışları. Q şemalarının sembolizminde QS imajına bir örnek verin.

10. Agrega sisteminin yapısı nasıldır?

Daha önce ele alınan karmaşık bir sistemin modeli, genel bir matematiksel modelleme şemasıdır. Uygulamada, bir dizi sistemin kavramsal modellerini formüle etmek için, bir yandan zamanın modelde temsil edilme biçimini (sürekli veya ayrık) dikkate alan tipik matematiksel modelleme şemalarını kullanmak daha avantajlıdır. diğer yandan, modellenen süreçlerin rastgelelik derecesi. Bu özelliklere göre, aşağıdaki matematiksel modelleme şemaları (MM sınıfları) ayırt edilir.

Sürekli - deterministik modeller (D - şemalar).

Ayrık - deterministik modeller (F - şemalar).

Ayrık - olasılıksal modeller (P - şemalar).

Sürekli - olasılıksal modeller (Q - şemalar).

Ağ modelleri (N - şemalar).

Toplu modeller (A - şemalar).

Sürekli Deterministik Modeller. Bu modellerde zaman T sürekli bir değişken olduğu varsayılır ve sistemdeki rastgele faktörler ihmal edilir. Modellerin matematiksel aparatı, yardımıyla dinamik sistemlerin yeterli bir tanımının elde edildiği diferansiyel ve integral denklemler teorisidir. Dinamik sistemlerin ve yapılarının işleyiş süreçlerini açıklamak ve incelemek için operatör yöntemi en derin şekilde geliştirilmiştir.

Tek kanallı bir otomatik kontrol sisteminin sürekli deterministik modeline bir örnek, sabit katsayılara sahip homojen olmayan bir diferansiyel denklemdir.

bu denklemde x(t)- giriş eylemi; YT)– kontrol nesnesinin konumunu karakterize eden çıktı değeri; - sistemin dahili parametreleri.

Dinamik sistem doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemle tanımlanırsa, o zaman doğrusallaştırılır ve doğrusal olarak çözülür.

Sürekli deterministik modellerin kullanılması, yalnızca dinamik sistemlerin analizini değil, aynı zamanda optimal sentezlerini de nicel olarak gerçekleştirmeyi mümkün kılar.

Ayrık Deterministik Modeller. Ayrık deterministik (DD) modellerde, zaman T ayrık bir değişkendir, burada ayrıklaştırma adımı ve ayrık zamanlardır.

DD - modellerinin yapımında kullanılan ana matematiksel aparat, fark denklemleri teorisi ve ayrık matematik aparatı, özellikle sonlu otomata teorisidir.

Fark denklemi, istenen fonksiyonun sonlu farklarını içeren bir denklemdir.

Sırasıyla, sistemin durumu ve ayrık zaman anlarındaki dış etki buradadır.

Uygulamalı problemlerde, form (2.6)'daki DD-modelleri, bir diferansiyel denklemin analitik çözümü elde edilemediğinde ve fark şemalarının uygulanması gerektiğinde, bir bilgisayarda ND-modellerinin çalışılmasında genellikle ara modeller olarak görünür.

DD - modelleri oluşturmak için kullanılan sonlu otomata teorisini kısaca ele alalım.

Sonlu bir otomat, giriş sinyallerinin etkisi altında çıkış sinyalleri üreten ve bazı değişken iç durumlara sahip olabilen ayrık bir sistemin matematiksel bir modelidir; işte sonlu kümeler.

Durum makinesi aşağıdakilerle karakterize edilir: giriş alfabesi; çıkış alfabesi; dahili durum alfabesi; başlangıç ​​hali ; geçiş fonksiyonu; çıkış fonksiyonu.

Sonlu otomatın çalışma süreci aşağıdaki gibidir. -th döngüsünde, durumundaki otomatın giriş sinyali alınır ve buna -th döngüsünde duruma geçerek otomat tepki verir ve bir çıkış sinyali verir.Örneğin, Mealy durum makinesi aşağıdaki yineleme ilişkileri ile tanımlanır:

Ayrık Olasılık Modelleri. Ayrık olasılıklı model, incelenmekte olan karmaşık sistemin rastgele öğelerini hesaba katar. DV modellerinin yapımında ve incelenmesinde kullanılan ana matematiksel aygıt, fark stokastik denklemler teorisi ve olasılıksal otomata teorisidir.

Stokastik fark denklemi, rastgele parametreler veya rastgele girdiler içeren bir denklemdir.

Olasılık uzayında rastgele bir tanesinin tanımlanmasına izin verin - parametrelerin vektörü ve rastgele bir giriş eylemleri dizisi

Doğrusal olmayan fark stokastik sıra denklemi şu şekildedir: (2.8)

sistemin ilk durumları nerede verilir; değişkenlerin verilen işlevi.

Bu denklemin çözümü, sette tanımlanan simüle edilmiş sistemin rastgele bir durum dizisidir:

Eğer fonksiyon doğrusal ise, o zaman (2.8) şu formu alır:

(2.9)

parametre vektörü nerede.

Karmaşık sistemlerin DV - modellerini oluşturmak için başka bir matematiksel aparat, olasılıksal otomata teorisidir.

Kümede tanımlanan bir olasılıksal otomat, geçiş fonksiyonunun olduğu sonlu bir otomattır. ve çıktı işlevi, bazı olasılık dağılımlarına sahip rastgele işlevlerdir.

Olasılık dağılımları için gösterimi kabul ediyoruz - ilk olasılık dağılımı, - Durumda -inci döngüde bulunan otomatın giriş sinyalinin etkisi altında bir çıkış sinyali üretmesi ve -inci döngüde duruma gitmesinden oluşan bir olayın olasılığı

Olasılıklı bir otomatın matematiksel modeli tamamen beş unsur tarafından belirlenir: .

Sürekli - olasılıksal modeller. Stokastik diferansiyel denklemler teorisi ve kuyruk teorisi HB modellerinin inşasında ve araştırmasında kullanılır.

Stokastik diferansiyel denklem (Itô formunda):

sistemin durumunu o an belirleyen rasgele bir süreç nerede; standart Wiener rasgele sürecidir; difüzyon ve transfer katsayılarıdır. HB - model genellikle stokastik kontrol sistemlerinin, değişim süreçlerinin modellenmesinde kullanılır.

Kuyruk teorisi, doğası gereği farklı işleyen süreçlerin matematiksel modellerini geliştirir ve araştırır, örneğin: belirli bir işletmeye hammadde ve bileşenlerin tedariki; uzak terminallerden bilgisayara gelen işler; telefon santrallerinde arama vb. Bu tür sistemlerin işleyişi, stokastiklik ile karakterize edilir: hizmet taleplerinin ortaya çıktığı zaman anlarının rastgeleliği, vb.

Kuyruk sistemi (QS) olarak tanımlanan sistem, servis cihazlarından oluşmaktadır. Hizmet cihazı, isteklerin aynı anda yerleştirilebildiği bir istek biriktiriciden ve bir istek hizmet kanalından oluşur; – depolama kapasitesi , yani kanaldaki hizmet istekleri için kuyruktaki yerlerin sayısı.

Cihazın her bir öğesi olay akışlarını alır; sürücüye - isteklerin akışı, kanala - "hizmetlerin" akışı. İsteklerin akışı, QS'nin girişinde uygulamaların ortaya çıktığı anlar arasındaki bir dizi zaman aralığını temsil eder ve QS'nin kontrolsüz değişkenlerinin bir alt kümesini oluşturur. Ve akış, hizmet taleplerinin başlangıç ​​ve bitiş anları arasındaki bir dizi zaman aralığıdır ve kontrol edilen değişkenlerin bir alt kümesini oluşturur.

QS tarafından sunulan istekler, bir çıktı akışı oluşturur - isteklerin yayınlandığı anlar arasındaki bir zaman aralığı dizisi. Hizmet verilmeyen istekler, ancak çeşitli nedenlerle QS'den ayrılan istekler, kayıp isteklerin çıkış akışını oluşturur.

ağ modelleri paralel süreçlerle karmaşık sistemlerde neden-sonuç ilişkilerini resmileştirmek için kullanılır. Bu modeller Petri ağına dayanmaktadır. Grafik olarak yorumlandığında, bir Petri ağı, iki tür köşeden oluşan özel bir tür grafiktir - pozisyonlar Ve geçişler, yönlendirilmiş yaylarla bağlanır ve her yay yalnızca farklı türlerdeki köşeleri (geçişli bir konum veya konumlu bir geçiş) bağlayabilir. Köşeler-konumlar dairelerle, köşeler-geçişler kısa çizgilerle gösterilir. İçerik açısından geçişler, incelenen sistemin doğasında var olan olaylara karşılık gelir ve konumlar, bunların meydana gelme koşullarına karşılık gelir.

Böylece, geçişlerin, konumların ve kavislerin bütünlüğü, sistemin doğasında var olan, ancak statikte bulunan neden-sonuç ilişkilerini tanımlamayı mümkün kılar. Petri ağının "canlanması" için, başka bir tür ağ nesnesi tanıtılır - sözde cips veya etiketler giriş konumunda bir etiket olması ve çıkış konumunda bir etiket olmaması koşuluyla ağ geçişleri boyunca hareket eden konumlar. Çiplerin ağ konumlarındaki düzenine denir. ağ işaretlemesi.

Agrega Modelleri. Mevcut problemlerin analizi, problemlerin kapsamlı bir çözümünün ancak modelleme sistemlerinin tek bir matematiksel modelleme şemasına dayanması durumunda mümkün olduğu sonucuna götürür. Karmaşık bir sistemin işleyiş sürecinin resmileştirilmesine yönelik böyle bir yaklaşım, Buslenko N.P. ve "agrega" kavramına dayanmaktadır.

Toplu açıklamada, karmaşık bir sistem, etkileşimlerini sağlayan bağlantıları korurken alt sistemlere bölünür. Alt sistemin karmaşık olduğu ortaya çıkarsa, bölümleme süreci, incelenen problemin koşulları altında matematiksel açıklama için uygun kabul edilebilecek alt sistemler oluşana kadar devam eder.

Sonuç olarak, çeşitli seviyelerde alt sistemler halinde birleştirilen birbirine bağlı elemanlardan çok seviyeli bir yapı elde edilir. Kümeler, toplu modelin öğeleridir. Agregalar ve dış ortam arasındaki bağlantılar, konjugasyon operatörlerinin yardımıyla gerçekleştirilir. Agreganın kendisi de bir agrega modeli olarak kabul edilebilir, yani bir sonraki seviyenin unsurlarına bölünebilir.

Herhangi bir toplam, kümelerle karakterize edilir: zamanın anları T, giriş X ve hafta sonları Y sinyaller, birim durumları Z her an T. Ünitenin çalışma süreci, giriş sinyallerinin alındığı anlardaki durum atlamalarından oluşur. X ve bu anlar arasındaki durum değişiklikleri ve .

Giriş sinyallerinin alınma anları olmayan atlama anlarına özel zaman anları, durumlara da toplam devrenin özel durumları denir. birden fazla eyalette Z bir alt küme tahsis edin, eğer ulaşırsa, bu durum çıkış sinyalini verme anıdır y.

Modelleme sistemleri için matematiksel şemalar

Simülasyon modellemenin avantajları ve dezavantajları

Ana itibar karmaşık sistemlerin incelenmesinde simülasyon modellemesi:

S sisteminin işleyiş sürecinin özelliklerini her koşulda keşfetme yeteneği;

· bilgisayarların kullanılması nedeniyle, tam ölçekli bir deneye kıyasla testlerin süresi önemli ölçüde azalır;

· gerçek bir sistemin veya parçalarının tam ölçekli testlerinin sonuçları, simülasyon modellemesi için kullanılabilir;

· optimal sistem varyantını ararken modellenen sistemin yapısını, algoritmalarını ve parametrelerini değiştirme esnekliği;

Karmaşık sistemler için, sistemlerin işleyiş sürecini incelemek için pratik olarak uygulanan tek yöntem budur.

Ana kusurlar simülasyon modellemesi:

· sistemlerin işleyiş sürecinin özelliklerinin tam bir analizi ve en uygun değişkenin araştırılması için, problemin ilk verilerini değiştirerek simülasyon deneyini tekrar tekrar üretmek gerekir;

büyük makine zamanı harcaması.

Makine simülasyonunun verimliliği. Modelleme yaparken, sistem modelinin maksimum verimini sağlamak gerekir. Yeterlik genellikle, modelin çalışması sırasında elde edilen sonuçların değerinin bazı göstergeleri ile geliştirilmesi ve oluşturulmasına yatırılan maliyetler arasındaki bazı farklar olarak tanımlanır.

Simülasyon modellemenin etkinliği bir dizi kriterle değerlendirilebilir:

simülasyon sonuçlarının doğruluğu ve güvenilirliği,

modeli oluşturma ve çalışma süresi M,

makine kaynaklarının maliyeti (zaman ve bellek),

modeli geliştirme ve çalıştırma maliyeti.

Etkililiğin en iyi ölçüsü, elde edilen sonuçların gerçek çalışmalarla karşılaştırılmasıdır. İstatistiksel bir yaklaşımın yardımıyla, belirli bir doğruluk derecesi ile (bir bilgisayar deneyinin uygulama sayısına bağlı olarak), sistem davranışının ortalama özellikleri elde edilir.

Bilgisayar süresinin toplam maliyeti, her bir simülasyon algoritması için giriş ve çıkış süresinin toplamı, RAM ve harici cihazlara erişimin yanı sıra her bir simülasyon algoritmasının ve deney planlamasının karmaşıklığı dikkate alınarak hesaplama işlemleri için geçen sürenin toplamıdır.

Matematiksel şemalar.Matematiksel model oluşturulan teknik nesnenin fiziksel özelliklerini yeterince yansıtan matematiksel nesneler (sayılar, değişkenler, kümeler, vektörler, matrisler vb.) ve bunlar arasındaki ilişkiler kümesidir. Matematiksel bir model oluşturma ve onu analiz ve sentez için kullanma sürecine denir. matematiksel modelleme.

Sistemin matematiksel bir modelini oluştururken, bütünlük sorununu çözmek gerekir. Modelin eksiksizliği esas olarak “sistem” seçimi ile düzenlenir. S- Çarşamba E". Modellemenin amacına bağlı olarak, ikincil özellikleri atarak sistemin ana özelliklerini belirlemeye yardımcı olan modeli basitleştirme sorunu da çözülmelidir.

Dış çevrenin etkisini dikkate alarak, sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir resmi tanımına geçişte, uygulanır. matematiksel şema"tanımlayıcı model - matematiksel şema - matematiksel (analitik ve (ve) simülasyon) model" zincirindeki bir halka olarak.

Resmi nesne modeli. Nesne modeli (sistem S) gerçek bir sistemin işleyiş sürecini tanımlayan bir dizi nicelik olarak temsil edilebilir:

sistemdeki bir dizi giriş eylemi

x ben = X,ben =;

bir dizi çevresel etki

v J = v, J= ;

sistemlerin bir dizi dahili (kendi) parametresi

h k = H, k =;

sistemin bir dizi çıktı özelliği

y j = Y, j = .

Genel olarak x ben , v j , h k , y j ayrık alt kümelerin öğeleridir ve hem deterministik hem de stokastik bileşenleri içerir.

Girdi etkileri, çevresel etkiler E ve sistemin dahili parametreleri bağımsız (eksojen) vektör biçimindeki değişkenler, sırasıyla ( T) = (X 1 (T), X 2 (T), …, x nX(T)); (T) = (v 1 (T), v 2 (T), …, v nV(T)); (T) = (H 1 (T), H 2 (T), …, h nH(T)) ve çıkış özellikleri bağımlı (içsel) değişkenler ve vektör formunda şu forma sahiptir: ( T) = (de 1 (T), de 2 (T), …, nY'de(T)). Yönetilen ve yönetilmeyen değişkenler arasında ayrım yapabilirsiniz.

Sistem işletim süreci S operatör tarafından zamanında açıklanan FS dışsal değişkenleri formdaki ilişkilere göre içsel değişkenlere dönüştüren

(T) = FS(,,, T). (2.1)

Sistemin çıktı özelliklerinin zamana bağımlılıkları kümesi yj(T) tüm türler için j = isminde çıkış yörüngesi (T). Bağımlılık (2.1) denir sistem işleyen yasa F S, bir fonksiyon şeklinde, fonksiyonel, mantıksal koşullarda, algoritmik, tablo formlarında veya sözlü bir yazışma kuralı şeklinde belirtilen. İşleyen algoritma A S girdi eylemlerini dikkate alarak çıktı özelliklerini elde etmek için bir yöntemdir ( T), çevresel etkiler ( T) ve sistemin kendi parametreleri ( T). Aynı çalışma yasası FS sistemler Sçeşitli şekillerde uygulanabilir, örn. birçok farklı işleyiş algoritması kullanarak GİBİ.

Matematiksel modeller denir dinamik(2.1) eğer matematiksel ilişkiler simülasyon nesnesinin (sistem) davranışını zaman içinde tanımlıyorsa T, yani dinamik özellikleri yansıtır.

İçin statik modeller matematiksel bir model, modellenen nesnenin özelliklerinin iki alt kümesi arasındaki eşlemedir Y Ve ( X, V, H) bir noktada, vektör biçiminde şu şekilde yazılabilir:

= F(, , ). (2.2)

İlişkiler (2.1) ve (2.2) çeşitli şekillerde belirtilebilir: analitik (formüller kullanılarak), grafiksel, tablosal vb. Bu ilişkiler, sistemin özellikleri aracılığıyla elde edilebilir. S belirli zamanlarda, devletler denir. sistemin durumu S vektörlerle karakterize

" = (z" 1, z " 2, …, z"k) Ve "" = (z"" 1 ,z"" 2 , …, z"" k),

Nerede z" 1 = z 1 (T"), z" 2 = z 2 (T"), …, z"k= zk(T") şu anda T"Î ( T 0 , T); z"" 1 = z 1 (T""), z"" 2 = z 2 (T""), …, z""k = zk(T"") şu anda T""Î ( T 0 , T) vesaire. k = .

Sistemin işleyiş sürecini ele alırsak S art arda devlet değişikliği olarak z 1 (T), z 2 (T), …, zk(T), o zaman bir noktanın koordinatları olarak yorumlanabilirler. k-boyutlu faz boşluğu. Ayrıca, sürecin her uygulaması belirli bir aşama yörüngesine karşılık gelecektir. Tüm olası durum değerleri kümesine () denir durum uzayı simülasyon nesnesi Z, Ve
zkÎ Z.

Sistem durumları S o zaman T 0 < T* £ T tamamen başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Nerede z 0 1 = z 1 (T 0),
z 0 2 = z 2 (T 0), …, z 0 k = zk(T 0)], giriş işlemleri ( T), dahili parametreler ( T) ve çevresel etkiler ( T) zaman aralığında gerçekleşen T* – T 0 , iki vektör denklemi kullanılarak

(T) = Ф( 0 , , , , T); (2.3)

(T) = F(, T). (2.4)

Başlangıç ​​durumu 0 ve dışsal değişkenler için ilk denklem vektör fonksiyonunu belirler ( T) ve elde edilen durum değerine göre ikincisi ( T) sistemin çıkışındaki içsel değişkenlerdir ( T). Böylece, "giriş - durumlar - çıkış" nesnesinin denklem zinciri, sistemin özelliklerini belirlemenizi sağlar.

(T) = F[Ф( 0 , , , , T)]. (2.5)

Genel durumda, sistem modelindeki süre S simülasyon aralığında (0, T) hem sürekli hem de ayrık, yani D uzunluğundaki parçalara nicelenmiş T zaman birimlerinin her biri, ne zaman T = M D T, Nerede M = ayrıklaştırma aralıklarının sayısıdır.

Böylece, altında matematiksel model nesne (gerçek sistem) sonlu bir değişken alt kümesini anlar (( T), (T), (T)) aralarındaki matematiksel ilişkiler ve özelliklerle birlikte ( T).

Simülasyon nesnesinin matematiksel tanımı rastgelelik unsurları içermiyorsa veya dikkate alınmıyorsa, örn. bu durumda dış ortamın stokastik etkilerinin ( T) ve stokastik dahili parametreler ( T) yoksa, model çağrılır deterministiközelliklerin benzersiz bir şekilde deterministik girdi eylemleri tarafından belirlenmesi anlamında

(T) = F(, T). (2.6)

Açıkçası, deterministik model, stokastik modelin özel bir durumudur.

Tipik matematiksel şemalar. Sistem mühendisliği ve sistem analizi alanındaki nesneleri modelleme uygulamasında, sistem araştırmasının ilk aşamalarında, kullanmak daha rasyoneldir. tipik matematiksel şemalar Anahtar Sözcükler: diferansiyel denklemler, sonlu ve olasılıksal otomatlar, kuyruk sistemleri, Petri ağları, toplama sistemleri, vb.

Tipik matematiksel şemalar, basitlik ve netlik avantajlarına sahiptir. Deterministik modeller olarak, çalışmada rasgele faktörler dikkate alınmadığında, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için diferansiyel, integral, integro-diferansiyel ve diğer denklemler, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için sonlu otomatlar ve sonlu farklar şemaları kullanılır. ayrık zaman Stokastik modeller olarak (rasgele faktörleri dikkate alarak), ayrık zamanlı sistemleri temsil etmek için olasılıksal otomatlar kullanılır ve sürekli zamanlı sistemleri temsil etmek için kuyruk sistemleri kullanılır. Petri ağları, birkaç işlemin aynı anda paralel olarak çalıştığı karmaşık sistemlerde neden-sonuç ilişkilerini analiz etmek için kullanılır. Sürekli ve ayrık, deterministik ve stokastik sistemlerin (örneğin, ASOIU) davranışını tanımlamak için, toplu bir sisteme dayalı genelleştirilmiş (evrensel) bir yaklaşım uygulanabilir. Toplu bir açıklamada, karmaşık bir nesne (sistem), parçaların etkileşimini sağlayan bağlantıları korurken sınırlı sayıda parçaya (alt sistemler) bölünür.

Böylece, sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerini oluştururken, aşağıdaki ana yaklaşımlar ayırt edilebilir: sürekli deterministik ( D-şema); ayrık deterministik ( F-şema); ayrık stokastik ( R-şema); sürekli stokastik ( Q-şema); ağ ( N-şema); genelleştirilmiş veya evrensel ( A-şema).

2.2. Sürekli deterministik modeller ( D-şema)

Temel oranlar. Örnek olarak matematiksel modeller olarak diferansiyel denklemleri kullanan sürekli deterministik bir yaklaşımın özelliklerini düşünün. Diferansiyel denklemler bir veya daha fazla değişkenin fonksiyonlarının bilinemeyeceği bu tür denklemlere denir ve denklem sadece fonksiyonları değil, aynı zamanda bunların çeşitli sıralardaki türevlerini de içerir. Birkaç değişkenin bilinmeyen fonksiyonları varsa, denklemler denir. kısmi diferansiyel denklemler, aksi takdirde, bir bağımsız değişkenin fonksiyonu dikkate alındığında, denklemler denir adi diferansiyel denklemler.

Deterministik sistemler (2.6) için matematiksel ilişki genel olarak şu şekilde olacaktır:

" (T) = (, T); (T 0) = 0 , (2.7)

Nerede " = D/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) ve = ( F 1 , F 2 , …, fn) – N-boyutlu vektörler; (, T), bazılarında tanımlanan bir vektör fonksiyonudur ( N+1)-boyutlu (, T) ayarlıdır ve süreklidir.

Bu tür matematiksel şemalara denir. D-şemaları(İngiliz dinamiği), incelenen sistemin dinamiklerini yansıtırlar ve zaman genellikle bilinmeyen istenen fonksiyonların bağlı olduğu bağımsız bir değişken olarak kullanılır. T.

En basit durumda, sıradan bir diferansiyel denklem şu şekildedir:

sen"(T) = F(y, T). (2.8)

Farklı nitelikteki iki temel devrenin işleyiş sürecinin resmileştirilmesinin en basit örneğini ele alalım: mekanik S M (sarkaç salınımı, şekil 2.1, A) ve elektrik S K (salınım devresi, Şekil 2.1, B).

Pirinç. 2.1. temel sistemler

Sarkacın küçük salınım süreci, sıradan bir diferansiyel denklem ile tanımlanır.

M M ben M2( D 2 F(T)/dt 2) + m M gl M F(T) = 0,

Nerede M M , ben M, sarkaç süspansiyonunun kütlesi ve uzunluğudur; G- yerçekimi ivmesi; F(T) zaman anında sarkacın sapma açısıdır T.

Sarkacın bu serbest salınım denkleminden, ilgilenilen özelliklerin tahminleri bulunabilir. Örneğin, bir sarkacın periyodu

T M = 2p.

Benzer şekilde, bir elektrik salınım devresindeki işlemler, sıradan bir diferansiyel denklemle tanımlanır.

L K( D 2 Q(T)/dt 2) + (Q(T)/C k) = 0,

Nerede L k , C K - kapasitörün endüktansı ve kapasitansı; Q(T) kondansatörün andaki yüküdür T.

Bu denklemden, salınımlı bir devredeki sürecin özelliklerine ilişkin çeşitli tahminler elde edilebilir. Örneğin, elektriksel salınımların periyodu

T M = 2p.

Açıkçası, gösterimi tanıtarak H 2 = M M ben M2= L k , H 1 = 0,
H 0 = M M gl M = 1/ C k , F(T) = Q(T) = z(T), bu kapalı sistemin davranışını açıklayan ikinci dereceden bir adi diferansiyel denklem elde ederiz:

H 2 (D 2 z(T)/dt 2) + H 1 (gün(T)/dt) + H 0 z(T) = 0, (2.9)

Nerede H 0 , H 1 , H 2 – sistem parametreleri; z(T) sistemin şu anki durumudur
zaman T.

Böylece, bu iki nesnenin davranışı genel matematiksel model (2.9) temelinde incelenebilir. Ek olarak, sarkacın davranışının (sistem S M) bir elektrik salınım devresi kullanılarak incelenebilir (sistem SİLE).

İncelenen sistem ise S(sarkaç veya devre) çevre ile etkileşime girer E, ardından giriş işlemi görünür X(T) (sarkaç için bir dış kuvvet ve devre için bir enerji kaynağı) ve böyle bir sistemin sürekli deterministik modeli şöyle görünecektir:

H 2 (D 2 z(T)/dt 2) + H 1 (gün(T)/dt) + H 0 z(T) = X(T). (2.10)

Genel matematiksel model açısından (bkz. Bölüm 2.1) X(T) giriş (kontrol) eylemidir ve sistemin durumudur S bu durumda, bir çıktı karakteristiği olarak kabul edilebilir, örn. çıkış değişkeni, sistemin belirli bir zaman noktasındaki durumudur. y = z.

Olası uygulamalar Dşema. Herhangi bir dinamik sistem gibi doğrusal kontrol sistemlerini tanımlamak için homojen olmayan diferansiyel denklemlerin sabit katsayıları vardır.

, ,…, zamanın ve türevlerinin bilinmeyen fonksiyonudur; ve bilinen fonksiyonlardır.

Örneğin, diferansiyel denklemlerle tanımlanabilen kontrol sistemlerindeki süreçlerin simülasyon modellemesi için tasarlanmış VisSim yazılım paketini kullanarak, sıradan bir homojen olmayan diferansiyel denklemin çözümünü simüle ediyoruz.

sıfır başlangıç ​​koşulları altında segmentte istenen bazı zaman fonksiyonları nerede, H 3 =1, H 2 =3, H 1 =1, H 0 =3:

Verilen denklemi türevlerin en yükseğine göre temsil ederek, denklemi elde ederiz.

VisSim paketinin bir dizi yapı taşı kullanılarak modellenebilen: aritmetik bloklar - Kazanç (bir sabitle çarpma), Summing-Junction (toplayıcı); entegrasyon blokları - Entegratör (sayısal entegrasyon), Transfer Fonksiyonu (transfer fonksiyonu olarak sunulan bir denklemi ayarlama); ayar sinyalleri için bloklar - Sabit (sabit), Adım ("adım" şeklinde tek fonksiyon), Rampa (doğrusal olarak artan sinyal); sinyal alıcı blokları - Grafik (simülasyon sırasında araştırmacı tarafından analiz edilen sinyallerin zaman alanında gösterimi).

Şek. 2.2, bu diferansiyel denklemin grafiksel bir temsilini gösterir. En soldaki bütünleyicinin girişi değişkene karşılık gelir, ortadaki bütünleyicinin girişi ile ve en sağdaki bütünleyicinin girişi ile karşılık gelir. En sağdaki entegratörün çıktısı değişkene karşılık gelir y.

Tarafından açıklanan özel bir dinamik sistem durumu D-şemalar otomatik kontrol sistemleri(ACS)ve düzenleme(SAR). Gerçek nesne iki sistem şeklinde sunulur: kontrol ve yönetilen (kontrol nesnesi). Genel bir görünümün çok boyutlu bir otomatik kontrol sisteminin yapısı, Şek. 2.3, nerede içsel değişkenler: ( T) giriş (ayar) eylemlerinin vektörüdür; ( T) rahatsız edici etkilerin vektörüdür; " (T) hata sinyallerinin vektörüdür; "" (T) kontrol eylemlerinin vektörüdür; eksojen değişkenler: ( T) sistem durum vektörüdür S; (T) çıktı değişkenlerinin bir vektörüdür, genellikle ( T) = (T).

Pirinç. 2.2. Bir denklemin grafik gösterimi

Kontrol sistemi, kontrol nesnesi tarafından belirli bir hedefe ulaşılmasını sağlayan bir dizi yazılım ve donanım aracıdır. Bir nesnenin belirli bir hedefe ne kadar doğru ulaştığı (tek boyutlu bir sistem için) durum koordinatıyla değerlendirilebilir. y(T). verilen arasındaki fark y eşek ( T) ve geçerli y(T) kontrol hatası kontrol hatasıdır " (T) = y eşek ( T) – y(T). Kontrol edilen değişkeni değiştirmek için öngörülen yasa, giriş (ayar) eylemini değiştirme yasasına karşılık geliyorsa, örn. X(T) = y eşek ( T), O " (T) = X(T) – y(T).

Kontrol hatalarının olduğu sistemler " (T) = 0 her zaman denir ideal. Pratikte ideal sistemlerin uygulanması imkansızdır. Otomatik kontrol sisteminin görevi değişkeni değiştirmektir. y(T) belirli bir doğrulukla (izin verilen bir hata ile) belirli bir yasaya göre. Sistem parametreleri, geçici süreçte sistemin kararlılığının yanı sıra gerekli kontrol doğruluğunu sağlamalıdır. Sistem kararlıysa, sistemin zaman içindeki davranışını, kontrol edilen değişkenin maksimum sapmasını analiz edin. y(T) geçici süreçte, geçici sürecin süresi vb. Diferansiyel denklemin sırası ve katsayılarının değeri tamamen sistemin statik ve dinamik parametreleri tarafından belirlenir.

Pirinç. 2.3. Otomatik kontrol sisteminin yapısı:

CS kontrol sistemidir; OS - kontrol nesnesi

Yani kullanım D-şemalar, sürekli deterministik sistemlerin işleyiş sürecini resmileştirmenizi sağlar S ve sürekli sistemleri modellemek için uygun bir dil biçiminde uygulanan bir analitik veya simülasyon yaklaşımı kullanarak veya analog ve hibrit hesaplama araçlarını kullanarak ana özelliklerini değerlendirin.

2.3. Ayrık deterministik modeller ( F-şema)

Temel oranlar. Otomata teorisini matematiksel bir aparat olarak kullanma örneğinde ayrık deterministik yaklaşımın özelliklerini düşünün. Sistem, ayrık bilgileri işleyen ve dahili durumlarını yalnızca kabul edilebilir zamanlarda değiştiren giriş ve çıkış sinyallerine sahip bir cihaz olarak bir otomat olarak temsil edilir. durum makinesi iç durum kümeleri, giriş ve çıkış sinyalleri sonlu kümeler olan bir otomat olarak adlandırılır.

Soyut olarak, sonlu bir otomata matematiksel bir şema olarak temsil edilebilir ( F-plan) altı öğe ile karakterize edilir: sonlu bir küme X giriş sinyalleri (giriş alfabesi); Sınırlı set Yçıkış sinyalleri (çıkış alfabesi); Sınırlı set Z dahili durumlar (dahili alfabe veya durumların alfabesi); başlangıç ​​hali z 0 , z 0 Î Z; geçiş fonksiyonu j( z, X); çıkış fonksiyonu y( z, X). Verilen otomat F-şema: F = á Z, X, Y y, j, z 0 ñ, her biri giriş ve çıkış sinyallerinin ve dahili durumların sabit değerlerine karşılık gelen anları döngü olan ayrık zamanda çalışır. Durumu ve bunlara karşılık gelen giriş ve çıkış sinyallerini gösterelim. T-inci vuruş T= 0, 1, 2, …, ile z(T), X(T)y(T). Aynı zamanda duruma göre z(0) = z 0 ve z(T)Î Z, X(T)Î X, y(T)Î Y.

Bir soyut durum makinesinin bir giriş ve bir çıkış kanalı vardır. her an T= 0, 1, 2, ... ayrık zaman F- makine belirli bir durumda z(T) setten Z otomatın durumları ve zamanın ilk anında T= 0 her zaman başlangıç ​​durumundadır z(0) = z 0 . şu anda T, yapabilmek z(T), otomat giriş kanalındaki bir sinyali algılayabilir X(T)Î X ve çıkış kanalında bir sinyal verin y(T) = y[ z(T),X(T)], z( T+1) = J[ z(T), X(T)], z(T)Î Z, y(T)Î Y. Soyut bir sonlu otomat, giriş alfabesindeki sözcük kümesinin bazı eşlemelerini uygular X hafta sonunun birçok sözü için
alfabe Y. Başka bir deyişle, sonlu durum makinesinin girişi başlangıç ​​durumuna ayarlanırsa z 0 , giriş alfabesinin harflerini belirli bir sırayla sağlar X(0), X(1), X(2), …, yani kelimeyi girin, ardından otomatın çıktısı, çıktı alfabesinin harfleri sırayla görünecektir y(0), y(1), y(2), …, çıkış kelimesini oluşturur.

Böylece, sonlu otomatın çalışması aşağıdaki şemaya göre gerçekleşir: her birinde T durumunda olan otomatın girişine -th döngüsü z(T), bazı sinyaller verilir X(T), bir geçişle tepki verdiği ( T+1)th döngüsü yeni bir duruma z(T+1) ve bir miktar çıkış sinyali veriyor. Yukarıdakiler aşağıdaki denklemlerle açıklanabilir: F- aynı zamanda birinci türden bir otomat Mil makinesi,

z(T+1) = j[ z(T), X(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(T) = y[ z(T), X(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.16)

İçin F- ikinci türden otomat

z(T+1) = j[ z(T), X(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(T) = y[ z(T), X(T- 1)], T= 1, 2, 3,…. (2.18)

İkinci türden bir otomat, bunun için

y(T) = y[ z(T)], T= 0, 1, 2, …, (2.19)

onlar. çıkış işlevi giriş değişkenine bağlı değildir X(T), denir Moore makinesi.

Böylece, tamamen tanımlayan (2.15)-(2.19) denklemleri
F-otomat, (2.3) ve (2.4) denklemlerinin özel bir durumudur,
sistem S- deterministik ve tek girişi ayrı bir sinyal alıyor X.

Durum sayısına göre, hafızalı ve hafızasız sonlu otomatlar ayırt edilir. Hafızalı otomatlar birden fazla duruma sahipken, hafızasız otomatlar (kombinasyon veya mantık devreleri) yalnızca bir duruma sahiptir. Aynı zamanda, (2.16)'ya göre, kombinasyonel devrenin çalışması, her bir giriş sinyaline atamasıdır. X(T) tanımlı çıkış sinyali y(T), yani formun mantıksal bir işlevini uygular

y(T) = y[ X(T)], T= 0, 1, 2, … .

Bu fonksiyon, eğer alfabe ise boolean olarak adlandırılır. X Ve Y sinyal değerlerine ait olan X Ve y, iki harften oluşur.

Ayrık zaman sayımının doğasına göre, sonlu otomatlar senkron ve asenkron olarak ayrılır. senkronize olarak F- otomatlarda, otomatın giriş sinyallerini "okuduğu" zaman noktaları, zorunlu senkronizasyon sinyalleri tarafından belirlenir. Bir sonraki senkronizasyon sinyalinden sonra, "okuma" dikkate alınarak ve (2.15) - (2.19) denklemlerine uygun olarak, yeni bir duruma geçiş gerçekleşir ve bir çıkış sinyali verilir, ardından otomat bir sonraki değeri algılayabilir. giriş sinyali Böylece, otomatın giriş sinyalinin her değerine yanıtı, süresi bitişik senkronizasyon sinyalleri arasındaki aralık tarafından belirlenen bir döngüde sona erer. eşzamansız F- makine sürekli olarak giriş sinyalini okur ve bu nedenle, sabit bir değere sahip yeterince uzun bir giriş sinyaline tepki verir X, (2.15)-(2.19)'dan itibaren aşağıdaki gibi, durumu birkaç kez değiştirebilir, karşılık gelen sayıda çıkış sinyali vererek, verilen giriş sinyaliyle artık değiştirilemeyen kararlı bir sinyale geçene kadar.

Olası uygulamalar F-şema. Finali ayarlamak için F-otomat, setin tüm elemanlarını tanımlamak için gereklidir F= <Z, X, Y y, j, z 0 >, yani giriş, iç ve çıkış alfabelerinin yanı sıra geçişlerin ve çıkışların işlevleri ve durum kümesi arasından durumu seçmek gerekir z 0 , otomatın durumunda olduğu T= 0. İşi ayarlamanın birkaç yolu vardır. F-makineler, ancak en sık kullanılan tablo, grafik ve matris.

Tablo yönteminde, satırları otomatın giriş sinyallerine karşılık gelen ve sütunları durumlarına karşılık gelen geçiş ve çıkış tabloları belirtilir. Soldaki ilk sütun başlangıç ​​durumuna karşılık gelir z 0 . kavşakta Ben-inci satır ve k geçiş tablosunun inci sütunu, karşılık gelen değer j( zk, x ben) geçiş fonksiyonları ve çıktı tablosunda - karşılık gelen değer y( z k , x ben) çıkış fonksiyonları. İçin F-Moore makinesi, her iki masa birleştirilebilir.

İş tanımı F j geçişlerinin ve y çıkışlarının kaba otomat tabloları Tablo'da gösterilmektedir. 2.1 ve açıklama F-Moore otomatı - geçiş tablosuna göre (Tablo 2.2).

Tablo 2.1

Tablo 2.2

Tablo şeklinde ayar örnekleri F- Mil makinesi F 1 tabloda verilmiştir. 2.3 ve için F-Moore makinesi F 2 - tabloda. 2.4.

Tablo 2.3

Tablo 2.4

Sonlu bir otomatın grafiksel olarak belirlenmesinde, yönlendirilmiş grafik kavramı kullanılır. Otomat grafiği, otomatın farklı durumlarına karşılık gelen ve otomatın belirli geçişlerine karşılık gelen grafik yaylarının köşelerini birleştiren bir dizi tepe noktasıdır. Eğer giriş sinyali x k durum geçişine neden olur z ben bir duruma zj, ardından otomat grafiğinde köşeyi birleştiren yay z ben tepe zj, belirtilen x k. Çıkışların işlevini tanımlamak için, grafiğin yayları karşılık gelen çıkış sinyalleriyle işaretlenmelidir. Mealy otomata için bu etiketleme şu şekilde yapılır: eğer giriş sinyali x k devleti etkiler z ben, sonra çıkan bir yay elde ederiz z ben ve etiketli x k; bu ark ayrıca bir çıkış sinyali ile işaretlenir y= y( z ben, x k). Bir Moore otomatı için grafiğin benzer bir etiketlemesi şu şekildedir: eğer giriş sinyali x k, otomatın bazı durumlarına etki ederek duruma geçişe neden olur zj, ardından ark yönlendirildi z ben ve etiketli x k, ek olarak hafta sonunu kutlayın
sinyal y= y( zj, x k).

Şek. 2.4. A, B daha önce verilen tablolar F- Mil otomatları F 1 ve Mura F sırasıyla 2.

Pirinç. 2.4. Otomata grafikleri a - Mealy ve b - Moore

Sonlu bir otomatın matris özelliğiyle, otomatın bağlantı matrisi karedir İLE=||ij ile||, satırlar başlangıç ​​durumlarına karşılık gelir ve sütunlar geçiş durumlarına karşılık gelir. eleman ij ile = x k/y ler kavşakta durmak
Ben-inci satır ve J inci sütun, Mealy otomatı durumunda giriş sinyaline karşılık gelir x k durumundan geçişe neden olan z ben bir duruma zj ve çıkış sinyali y ler bu geçiş tarafından yayınlandı. Mil makinesi için F Yukarıda tartışılan 1, bağlantı matrisi şu şekildedir:

X 2 /y 1 – X 1 /y 1

C 1 = X 1 /y 1 – X 2 /y 2 .

X 1 /y 2 X 2 /y 1 –

Devletten geçiş ise z ben bir duruma zj birkaç sinyalin etkisi altında meydana gelir, matris elemanı c ij bu geçiş için bir ayrılma işaretiyle bağlanan bir "giriş-çıkış" çiftleri kümesidir.

İçin F-Moore makine elemanı ij ile geçişteki giriş sinyalleri kümesine eşittir ( z ben z j) ve çıktı, çıktıların vektörü ile tanımlanır

= sen( zk) ,

Ben-inci bileşen, durumu gösteren çıkış sinyalidir z ben.

Yukarıdaki için F-Moore makinesi F2 bağlantı matrisleri ve çıkış vektörü şu şekildedir:

–X 1 –X 2 –de 1

–X 2 – –X 1 de 1

C 2 = –X 2 – –X 1 ; = y 3

X 2 –X 1 – –de 2

X 2 –X 1 – –de 3

Deterministik otomatlar için, geçiş benzersizliği koşulu karşılanır: belirli bir durumdaki bir otomat, herhangi bir giriş sinyalinin etkisi altında birden fazla duruma gidemez. Grafik ayar yöntemiyle ilgili olarak F-otomat, bu, bir otomatın grafiğinde, aynı giriş sinyaliyle işaretlenmiş iki veya daha fazla kenarın herhangi bir tepe noktasından çıkamayacağı anlamına gelir. Ve otomatın bağlantı matrisinde İLE her satırda herhangi bir giriş sinyali bir defadan fazla oluşmamalıdır.

İçin F-makine durumu zk isminde sürdürülebilir, herhangi bir giriş için ise x ben ОX, bunun için j( zk, x ben) = z k , J( zk,x ben) = yk. F- makine denir eşzamansız eğer her devlet z k ОZ sürekli.

Bu nedenle, modellerde nesne özelliklerinin incelenmesine yönelik ayrık deterministik yaklaşımdaki kavram, otomatik kontrol sistemlerinde gerçek nesnelerin işleyiş süreçlerinin geniş bir sınıfını tanımlamak için uygun olan matematiksel bir soyutlamadır. Kullanarak F- Bir otomatın, ayrı durumların varlığı ve zaman içinde işin ayrı doğası ile karakterize edilen nesneleri tanımlaması mümkündür - bunlar bir bilgisayarın elemanları ve düğümleri, kontrol, düzenleme ve kontrol cihazları, zamansal ve mekansal sistemlerdir. bilgi alışverişi teknolojisinde geçiş vb.

2.4. Ayrık stokastik modeller ( R-şema)

Temel oranlar. Olasılıksal (stokastik) otomata üzerinde ayrık-rasgele yaklaşımda matematiksel şemalar oluşturmanın özelliklerini ele alalım. Genel olarak olasılıksal otomat
P-şemaları(İngilizce olasılıksal otomat), her döngüde işleyişi yalnızca içindeki belleğin durumuna bağlı olan ve istatistiksel olarak tanımlanabilen, belleğe sahip ayrı bir adım adım bilgi dönüştürücü olarak tanımlanabilir.

Matematiksel kavramı tanıtalım R-makine, için tanıtılan kavramları kullanarak F-makine. seti düşünün G elemanlarının tümü olası çiftler olan ( x ben , z s), Nerede x ben Ve z ler girdi alt kümesinin öğeleridir X ve sırasıyla Z durumlarının alt kümeleri. Eşlemeler olacak şekilde j ve y gibi iki işlev varsa G®Z ve G®Y, sonra öyle derler F = X, Y j, y> deterministik tipte bir otomat tanımlar.

Daha genel bir matematiksel şemayı ele alalım. İzin vermek
Ф, formun tüm olası çiftlerinin kümesidir ( z k , y ben), Nerede Bençıktı alt kümesinin bir öğesidir Y. Kümenin herhangi bir elemanının GΦ setinde indüklenen aşağıdaki formun bazı dağılım kanunları:

nerede bkj= 1, burada bkj otomatın duruma geçiş olasılıkları zk ve çıkışta bir sinyalin görünümü yj yapabilseydi z ler ve bu noktada girişinde bir sinyal alındı x ben. Tablolar şeklinde sunulan bu tür dağılımların sayısı, kümenin eleman sayısına eşittir. G. Bu tabloların kümesini B ile göster. Sonra dört eleman P= olasılıksal otomat denir
(R- otomatik).

Olası uygulamalar P-şema. Kümenin elemanları olsun G alt kümeler üzerinde bazı dağıtım yasalarını tetikler Y Ve Z, aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

nerede z k = 1 ve q j = 1, nerede zk Ve q j - geçiş olasılıkları
R-durum için makine zk ve çıkış sinyalinin görünümü y kşartıyla
R z ler ve girişinde bir giriş sinyali alındı x ben .

eğer herkes için k Ve J bir ilişki var q j z k = b kj , o zaman böyle
R- makine denir Mealy olasılık otomatı. Bu gereklilik, yeni durum için dağıtımların bağımsızlık koşulunun yerine getirilmesi anlamına gelir. R-makine ve çıkış sinyali.

Şimdi çıkış sinyalinin tanımına izin verin R- Otomatın durumu, yalnızca otomatın belirli bir iş döngüsünde bulunduğu duruma bağlıdır. Başka bir deyişle, çıktı altkümesinin her elemanı Y aşağıdaki forma sahip çıktıların bir olasılık dağılımına neden olur:

Burada ben = 1, nerede bençıkış sinyalinin oluşma olasılığıdır sen ben de de koşullar R- makine bir durumdaydı zk.

eğer herkes için k Ve Ben bir ilişki var z ks ben =bki, sonra böyle
R- makine denir olasılıklı Moore otomatı. kavram
R-Mealy ve Moore otomatları, deterministik ile analoji yoluyla tanıtıldı
F- otomatik. özel durum R- olarak verilen otomat P=X, Y, B> yeni bir duruma geçişin veya çıkış sinyalinin deterministik olarak belirlendiği otomatlardır. Eğer çıkış sinyali
R-otomat deterministik olarak belirlenir, o zaman böyle bir otomat denir
Y-. Aynı şekilde,
Z-deterministik olasılık otomatı isminde R yeni bir durum seçimi deterministik olan bir otomattır.

Örnek 2.1. verilmiş olsun Y-deterministik P-makine

Şek. 2.5 bu otomatın yönlendirilmiş geçiş grafiğini göstermektedir. Grafiğin köşeleri, otomatın durumlarıyla ilişkilendirilir ve yaylar, bir durumdan diğerine olası geçişlerle ilişkilendirilir. Yaylar, geçiş olasılıklarına karşılık gelen ağırlıklara sahiptir. p ij, ve bu durumların indüklediği çıkış sinyallerinin değerleri grafiğin köşelerine yakın yazılır. Bunun kalması için toplam nihai olasılıkların tahmin edilmesi gerekmektedir. P-durumlarda makine z 2 ve z 3 .

Pirinç. 2.5. Olasılıklı bir otomatın grafiği

Analitik yaklaşımı kullanarak, Markov zincirleri teorisinden bilinen ilişkiler yazılabilir ve nihai olasılıkları belirlemek için bir denklem sistemi elde edilebilir. Bu durumda başlangıç ​​durumu zİlk dağılım nihai olasılıkların değerlerini etkilemediğinden 0 göz ardı edilebilir. O zaman elimizde

Nerede k ile kalmanın son olasılığıdır R-otomatik mümkün zk.

bir denklem sistemi elde ederiz

Bu denklemlere normalizasyon koşulunu ekleyelim İle 1 + İle 2 + İle 3 + İle 4 = 1. Sonra, denklem sistemini çözerek şunu elde ederiz: İle 1 = 5/23, İle 2 = 8/23, İle 3 = 5/23,
İle 4 = 5/23. Böylece, İle 2 + İle 3 = 13/23 = 0,5652. Başka bir deyişle, bu örnekte verilenin sonsuz işlemi ile Y-deterministik
R-makine, çıkışında, 0.5652'ye eşit bir oluşma olasılığı olan bir ikili dizi oluşturulur.

Benzer R- otomatlar, sistem işleyen süreçlerin inşasında ve uygulanmasında gerekli olan Markov dizilerinin üreteçleri olarak kullanılabilir. S veya çevresel etkiler E.

2.5. Sürekli stokastik modeller ( Q-şema)

Temel oranlar. Tipik matematiksel örnek kullanarak sürekli-rasgele yaklaşımın özelliklerini ele alacağız. Q-şemalar - kuyruk sistemleri(İngilizce kuyruk sistemi).

Bir hizmet süreci olarak, fiziksel yapılarında farklı olan ekonomik, endüstriyel, teknik ve diğer sistemlerin işleyiş süreçleri temsil edilebilir, örneğin: belirli bir işletmeye ürün tedarik akışları, montaj hattındaki parça ve bileşen akışları bir atölyenin, uzak terminallerden bilgisayar bilgilerinin işlenmesine yönelik uygulamalar vb. Aynı zamanda, bu tür nesnelerin işleyişi, hizmet taleplerinin (gereksinimlerinin) rastgele ortaya çıkması ve hizmetin rastgele zamanlarda tamamlanması, yani; işleyiş sürecinin stokastik doğası.

olayların akışı rastgele bir zamanda birbiri ardına meydana gelen olaylar dizisi denir. Homojen ve homojen olmayan olayların akışları vardır. Olay akışı isminde homojen yalnızca bu olayların (neden olan anların) geliş anları ile karakterize edilir ve sekans tarafından verilirse ( t n} = {0 £ T 1 £ T 2 ... £ t n£ … }, Nerede t n - oluş anı P- inci olay negatif olmayan bir gerçek sayıdır. Tekdüze bir olay akışı, olaylar arasındaki zaman aralıklarının bir dizisi olarak da belirtilebilir. P- M ve (n – 1)-inci olaylar (t N), arama anlarının dizisiyle benzersiz bir şekilde ilişkilidir ( t n} , nerede n = tn– t n -1 ,P³ 1, T 0 = 0, onlar. t1 = t 1 . Heterojen olaylar akışı dizi denir ( t n , f n} , Nerede t n - zorlu anlar; f n - olay öznitelikleri kümesi. Örneğin, bir veya başka bir istek kaynağına ait heterojen bir talep akışı için hizmet süreciyle ilgili olarak, bir önceliğin varlığı, belirli bir kanal türü tarafından hizmet verme olasılığı belirtilebilir.

Herhangi bir temel hizmet eyleminde, iki ana bileşen ayırt edilebilir: bir uygulama tarafından hizmet beklentisi ve bir uygulamanın gerçek hizmeti. Bu bazı olarak temsil edilebilir Ben alet servisi P ben(Şekil 2.6), bir istek akümülatöründen oluşur MERHABA, aynı anda olabilecek j ben= uygulamalar, nerede L ben H– kapasite
Ben-th sürücü ve bir istek hizmeti kanalı (veya yalnızca bir kanal) Ki. Servis cihazının her elemanı için P ben olay akışları varır: akümülatöre MERHABA uygulama akışı ben, kanal başına K ben - hizmet akışı ve ben.

Pirinç. 2.6. Uygulama servis cihazı

Kanal tarafından sunulan uygulamalar ki, ve cihazdan ayrılan istekler P bençeşitli nedenlerle hizmet verilmedi (örneğin, sürücünün taşması nedeniyle) MERHABA), çıkış akışını oluşturur y ben О Y, onlar. uygulamaların serbest bırakıldığı anlar arasındaki zaman aralıkları, çıktı değişkenlerinin bir alt kümesini oluşturur.

Genellikle istek akışı ben ОW, onlar. girişte uygulamaların ortaya çıktığı anlar arasındaki zaman aralıkları ben, yönetilmeyen değişkenlerin bir alt kümesini oluşturur ve hizmet akışı sen ben ОU, onlar. hizmet talebinin başlangıcı ile bitişi arasındaki zaman aralıkları, kontrol edilen değişkenlerin bir alt kümesini oluşturur.

Servis cihazının çalışma süreci P ben elemanlarının durumlarını zaman içinde değiştirme süreci olarak temsil edilebilir. z ben(T). için yeni bir duruma geçiş P ben içinde bulunan uygulamaların sayısındaki değişiklik anlamına gelir (kanalda ben ve depoda MERHABA). Böylece, için durum vektörü P benşuna benziyor: , Nerede Z ben H- sürücü durumu MERHABA (Z ben H= 0 – sürücü boş, Z ben H= 1 – akümülatörde bir müşteri var, ..., Z ben H = L ben H – sürücü dolu) L ben H- depolama kapasitesi MERHABA , içine sığabilecek uygulama sayısıyla ölçülür; z ben k – kanal durumu ben(z ben k = 0 – kanal ücretsiz z ben k= 1 – kanal meşgul).

Olası uygulamalar Q-şemalar. Daha karmaşık yapısal ilişkilere ve davranış algoritmalarına sahip modelleme sistemlerinin pratiğinde, resmileştirme için ayrı hizmet cihazları kullanılmaz, ancak
Q- plan , birçok temel hizmet cihazının birleşiminden oluşur ben . Eğer kanallar ben farklı servis cihazları paralel bağlanır, o zaman çok kanallı bir servis vardır ( çok kanallı Q-şema) , ve eğer cihazlar P ben ve paralel bileşimleri seri olarak bağlanır, ardından çok fazlı bir hizmet vardır ( çok fazlı Q-şema) . Böylece görev için Q-şemalar konjugasyon operatörünü kullanmalıdır R, yapının elemanları (kanallar ve depolar) arasındaki ilişkiyi kendi aralarında yansıtır.