b a önermesi için bir doğruluk tablosu oluşturun. Donanım ve yazılım malzemesi

Görev 1 #10050

\((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x)\)

Doğruluk tablosunu oluşturun. Yanıt olarak, işlevi 1'e eşitleyen kümelerin sayısını \((x,\) \(y,\) \(z),\) girin.

1. Basitleştirin \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y).\)

Dağılım yasasına göre \((y \wedge x) \vee (x \wedge \overline y)\) = \(x \wedge (y \vee \overline y).\)\(y \vee \overline y = 1\) (eğer \(y = 0,\) ise \(\üst çizgi y \vee y = 1 \vee 0 = 1,\)\(y = 1,\) ise, o zaman \(\üst çizgi y \vee y = 0 \vee 1 = 1).\) Daha sonra \(x \kama (y \vee \overline y) = x \kama 1 = x .\)

2. Basitleştirin \((y\wedge z) \vee (z \wedge x).\) Dağılım yasasına göre \((y\kama z) \vee (z \kama x) = z \kama (y \vee x).\)

3. Şunları elde ederiz: \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x) = x \vee z \wedge (y \vee x).\)

4. Doğruluk tablosu 8 satır içerir (satırlar her zaman \(2^n,\) şeklindedir, burada \(n\) değişken sayısıdır). Bizim durumumuzda 3 değişken var.

5. Doğruluk tablosunu doldurun.

\[\begin(dizi)(|c|c|c|c|c|c|c|) \hline x & y & z & y \vee x & z \wedge (y \vee x) & F = x \vee z \wedge (y \vee x) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end(array)\]

Ayrılıktan beri \(x \vee z \wedge (y \vee x)\) doğrudur, eğer ifadelerinden en az biri doğruysa, o zaman \(x = 1\) için \(F = 1\) herhangi bir \(y\) ve \(z\) için (doğruluk tablosundaki 5-8. satırlar) ).

\(x = 0.\) olduğu durumu ele alalım. O zaman fonksiyonun değeri \(z \wedge (y \vee x).\) değerine bağlı olacaktır. Eğer \(z \wedge (y \vee x) \) doğrudur ve \(F\) doğrudur, yanlışsa \(F\) yanlıştır. \(F = 1.\) ve \(z = 1.\) \(x = 0,\)'nin \(y \vee x = 1,\) anlamına geldiği ve \(y = 1\) ( satır 4).

Bağlaçta yer alan ifadelerden biri yanlışsa bağlacın tamamı yanlıştır. \(x = 0\) ve \(y = 0,\) ise, o zaman \(y \vee x = 0.\) O zaman herhangi bir \(z için \(z \wedge (x \vee y) = 0\) \) (satır 1-2). \(x = 0,\) ve \((z \wedge (x \vee y))),\) ayrımındaki ikinci ifade de yanlış olduğundan, fonksiyonun tamamı yanlıştır. \(x = 0\) ve \(y = 1,\) ise, o zaman \(y \vee x = 1.\) If \(z = 0,\) \(z \wedge (y \vee x) = 0.\) Ardından \(F = 0\) (satır 3). Bir önceki paragrafta \(z = 1,\) \(y = 1,\) \(x = 0,\) durumu ele alındı.

Bir doğruluk tablosu oluşturduk. \(F = 1.\) olan 5 kümeye sahip olduğunu görüyoruz, bu nedenle cevap: 5'tir.

Cevap: 5

Görev 2 #10051

\(F\) mantıksal işlevi şu ifadeyle verilir:

\((x \wedge \overline y \wedge z) \vee (x \rightarrow y)\)

Doğruluk tablosunu oluşturun. Yanıt olarak, fonksiyonun 0'a eşit olduğu küme sayısını \((x,\) \(y,\) \(z),\) girin.

\[\begin(dizi)(|c|c|c|c|c|c|c|c|c|) \hline x & y & z & \overline y & x\wedge \overline y & x \wedge \overline y \wedge z & \overline x & \overline x \vee y & x \wedge \overline y \wedge z \vee \overline x \vee y \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline \end(dizi)\]

1. \(x \rightarrow y\) = \(\overline x \vee y.\)

2. \(y = 1\) \(F = 1,\) için, içinde yer alan ifadelerden en az biri doğruysa (doğruluk tablosunda 3-4, 7-8 satırları) ayrışma doğrudur. Benzer şekilde, \(\overline x = 1,\) için, yani \(x = 0,\) \(F = 1\) için (satır 1-4).

3. \(x = 1\) ve \(y = 0\) için \(\overline x \vee y = 0,\) \(x \wedge \overline y = 1.\) \(z = 1) için \) \(x \kama \üst çizgi y \kama z = 1\) ve ifadelerden biri doğru olduğundan (6. satır) ve \(z = 0\) için \(F = 1,\) \(x \kama \üst çizgi y \kama z = 0\) ve \(F = 0,\) çünkü ayrımdaki her iki ifade de yanlıştır (5. satır).

Oluşturulan doğruluk tablosuna göre, bir küme için \((x,\)\(y,\)\(z)\)\(F = 0.\) olduğunu görüyoruz.

Cevap 1

Görev 3 #10052

\(F\) mantıksal işlevi şu ifadeyle verilir:

\((\overline(z \vee \overline y)) \vee (w \wedge (z \equiv y)) \)

Doğruluk tablosunu oluşturun. Yanıt olarak, \(F = 1.\) olan \(z,\) \(y\) ve \(w,\) değerlerinin toplamını girin.

\[\begin(dizi)(|c|c|c|c|c|c|c|c|c|) \hline w & y & z & \overline y & z \vee \overline y & \overline( z \vee \overline y) & z \equiv y & w \wedge (z \equiv y) & \overline z \vee \overline y \vee w \wedge (z \equiv y) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end(dizi)\]

1. \((\overline(z \vee \overline y)) = \overline z \wedge y \)

2. Doğruluk tablosunda \(2^3 = 8\) satır olacaktır.

3. Eğer \(z = 1 \) ve \(y = 1,\) \(o zaman (z \equiv y) = 1 \) ise (çünkü denklik ancak ve ancak her iki ifade de yanlış veya doğruysa doğrudur) . \(\overline z \wedge y = 0\) \((0 \wedge 1 = 0).\) Eğer \(w = 1,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 1\) \ ((1 \wedge 1 = 1)\) ve \(F = 1,\) ifadelerinden en az biri doğruysa ayırma doğrudur (doğruluk tablosundaki 8. satır). Her iki ifadeden beri \(w = 0,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 0\) \((0 \wedge 1 = 0)\) ve \(F = 0,\) ise, ayrım yanlıştır (satır 4).

4. \(z = 0, y = 0.\) \((z \equiv y) = 1,\) \(\overline z \wedge y = 0\) \((1 \wedge 0 = 0) için benzer şekilde ).\) O halde fonksiyonun değeri yine \(w.\)'ye bağlı olacaktır. \(w = 1\) için \(w \wedge (z \equiv y) = 1,\)\(F = 1,\), ayırmada yer alan ifadelerden biri doğru olduğundan (5. satır), \(w = 0\) için \(w \wedge (z \equiv y) = 0,\)\(F = 0,\) çünkü tüm ifadeler yanlıştır (1. satır).

5. \(z = 0\) ve \(y = 1,\) ise \(\overline z \wedge y = 1\) \((1 \wedge 1 = 1).\) Çünkü \(( z \equiv y) = 0\) (çünkü \(z\) ve \(y\) değerleri farklıdır), herhangi bir \(w.\) için yanlış olacaktır. w\) fonksiyonun değerini etkilemez, çünkü \(z = 0\) ve \(y = 1\) \(w\) hem 0 hem de 1 olabilir. \(F = 1,\) çünkü ayırmada yer alan ifadelerden biri, doğru (3, 7. satırlar).

6. Eğer \(z = 1\) ve \(y = 0,\) ise, o zaman \(\üst çizgi z \kama y = 0 \kama 0 = 0.\)\((z \equiv y) = 0,\) olduğundan \(w \kama (z \equiv y) = w \kama 0\) herhangi bir \(w\) için yanlış olacaktır (yani, \(w\) hem 0 hem de 1 olabilir). Dolayısıyla, \(z = 1\) ve \(y = 0\) \(F\) için her zaman yanlış olacaktır (çünkü ayırmada yer alan her iki ifade de yanlıştır, satır 2, 5).

7. \(F = 1\) aşağıdaki kümelerle \(z,\) \(y,\) \(w:\) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1 , 1), (0, 1, 0). Değerleri toplarsak, 7 elde ederiz.

Cevap: 7

Görev 4 #10053

\(F\) mantıksal işlevi şu ifadeyle verilir:

\(a \wedge ((\overline(b \wedge c)) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a)) \)

Doğruluk tablosunu oluşturun. Yanıt olarak, \(F = 1.\) olan \(a,\) \(b\) ve \(c,\) değerlerinin toplamını girin.

\[\begin(dizi)(|c|c|c|c|) \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \ \ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end(dizi)\]

1. Doğruluk tablosunda \(2^3 = 8\) satır vardır.

2. \(a = 0\) \(F = 0\) için herhangi bir \(b\) ve \(c,\) değeri için bağlaç doğruysa ve yalnızca içinde bulunan tüm ifadeler doğruysa true (doğruluk tablosundaki 1-4. satırlar).

3. \(a = 1.\) Eğer \(\overline ((b \wedge c)) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = 1,\) sonra \(F = 1\) (çünkü her iki ifade de doğru olacaktır), aksi halde \(F = 0\) (çünkü bir ifade yanlış olacaktır). De Morgan yasasına göre \(\overline(b \wedge c) = \overline b \vee \overline c.\) O halde \(a = 1,\) olduğuna göre \(\overline ((b \wedge c)) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = \overline b \vee \overline c \vee \overline b \vee \overline c = \overline b\vee \overline c.\)

4. Eğer \(\overline b = 0\) ve \(\overline c = 0\) (aynı anda, yani \(b = 1\) ve \(c = 1),\) ise, o zaman \(\üst çizgi b \vee \üst çizgi c = 0\) ve \(F = 0\) (satır 8). diğer durumlarda \(\üst çizgi b \vee \üst çizgi c = 1\) ve \(F = 1\) (satır 5-7).

5. \(F = 1:\) (1, 0, 0), (1, 1, 0), ( olan \((x,\) \(y,\) \(z),\) Koleksiyonları 1, 0, 1). Değerlerin toplamı 5'tir.

Cevap: 5

Görev 5 #10054

\(F\) mantıksal işlevi şu ifadeyle verilir:

\(((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) \)

Bir doğruluk tablosu yapın. Cevap olarak, \(F = 0.\) olan \(a,\) değerlerinin toplamını girin.

\[\begin(dizi)(|c|c|c|c|c|) \hline a & b & c & d & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end(dizi)\]

1. Dağılım yasasına göre \((a \kama b) \vee (b \kama c) = b \kama (a \vee c).\)

2. \(d \rightarrow a = \overline d \vee a.\)

3. \((((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) = b \wedge (a \vee c) \equiv (\overline d \vee a \vee (b \wedge \overline c)) .\)

4. Eğer \(b = 0,\) ise fonksiyonun sol tarafı 0'dır. \((0 \kama (a \vee c) = 0).\) \(b \wedge \overline c = 0 \wedge \overline c = 0.\) Bu, \(b = 0\) için \(c\) herhangi bir şey olabilir, çünkü işlevin değerini etkilemez. \(F = 1,\) if \(\overline d \vee a = 0\) (o zaman ayırmada yer alan ifadelerden biri doğru olacaktır). Bu, \(\overline d = 0\) \((d = 1)\) ve \(a = 0\) (satır 2, 3) için yapılır. Diğer \(d\) ve \(a\) \(\overline d \vee a = 0,\) için o zaman \(F = 0,\) çünkü denklik işlemi ancak ve ancak her iki ifade de aynı anda doğruysa doğrudur veya yanlış (doğruluk tablosundaki 1, 10. satırlar).

5. Eğer \(b = 1,\) ise, o zaman \(b \kama (a \vee c) = 1 \kama (a \vee c) = a \vee c.\) \(b \wedge \overline c = 1 \wedge \overline c = \overline c.\) O zaman bizde buna sahibiz \(a \vee c \equiv \overline d \vee a \vee \overline c.\)\(a = 1,\) ise, o zaman \(a \vee c = 1 \) ve \(\overline d \vee a \vee \overline c = 1,\) ifadelerden en az biri doğruysa ayırma doğrudur (ve her iki ayırma da \(a = 1) içerir).\) Öyleyse, \(b = 1\) ve \(a = 1,\) \(F = 1\) herhangi bir \(c\) ve \(d\) için (satır 5, 7, 8, 11).

\(a = 0,\) ise, o zaman \(a \vee c = 0 \vee c = c,\) ve \(\overline d \vee a \vee \overline c = \overline d \vee \overline c.\) Sahibiz: \(c \equiv (\overline d \vee \overline c).\)\(c = 1\) \(1 \equiv \overline d.\) için \(d = 1\) \(F = 0,\) için ifadeler farklı olduğundan (satır 4), \(d = 0 \) \(F = 1,\) çünkü her iki ifade de doğrudur (satır 14). \(c = 0\) için \(0 \equiv (\overline d\vee 1).\)\(\overline d \vee 1\), ifadelerden birinin doğru olduğu bir ayırma olduğundan, ayırmanın tamamı doğrudur. O zaman \(0 \equiv 1,\) yanlıştır, yani herhangi bir \(d\) için \(F = 0\) (satır 9, 16).

Oluşturulan tabloya göre, \(a = 0\) (1, 4, 9, 10, 16. satırlar) için \(F = 0\) ve \(a = 1\) (6, 12. satırlar) için \(F = 0\) olduğunu görüyoruz. , 13, 15). O zaman değerlerin toplamı 0 * 5 + 1 * 4 = 4'tür.

Cevap: 4

Görev 6 #10055

\(F\) mantıksal işlevi şu ifadeyle verilir:

\((a \equiv (b \vee \overline c)) \rightarrow (c \wedge (b \vee a)) \)

Bir doğruluk tablosu yapın. Cevap olarak, \(F = 1.\) olan \(c,\) değerlerinin toplamını girin.

\[\begin(dizi)(|c|c|c|c|) \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \ \ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end(dizi)\]

Tabloda \(2^3 = 8\) satır vardır.

1. Bir ima, ancak ve ancak doğru bir ifadeden yanlış bir ifade çıkarsa yanlıştır. Dolayısıyla \(F = 0,\) eğer a \(c \kama (b \vee a) = 0.\) Değilse \(F = 1.\) Hangi değerler için \(a,\) düşünelim ) \(b\) ve \(c\) \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1\)(Eğer \(a \equiv (b \vee \overline c) = 0,\) sonra herhangi bir değer için \(F = 1\) \(c \wedge (b \vee a) = 0).\)

\(a = 0,\) ise çalıştırmak için \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1,\)\(b \vee \overline c = 0\) gereklidir (çünkü denklik işlemi ancak ve ancak her iki ifade de doğruysa veya her ikisi de yanlışsa doğrudur). \((b \vee \overline c)\) ayrımının yanlış olması için içindeki ifadelerin her ikisinin de yani \(b = 0\) ve \(\overline c = 0\) \(( c = 1).\) Bu tür değerler için \(c \kama (b \vee a) = 1 \kama (0 \vee 0) = 0.\) Daha sonra \((a \equiv (b \vee \overline c)) \rightarrow (c \wedge (b \vee a)) = 1 \rightarrow 0 = 0,\)\(F = 0.\) Bu, doğruluk tablosunun 2. satırına karşılık gelir.

\(a = 1,\) ise çalıştırmak için \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1,\)\(b \vee \overline c = 1.\) Bu, birkaç durumda yapılır. Eğer \(b = 1,\) ise, o zaman \(c\) hem sıfıra hem de bire eşit olabilir, çünkü ayırmada yer alan ifadelerden biri zaten doğrudur. \(c = 1\) için \(c \kama (b \vee a) = 1 \kama 1 = 1,\) sonra \(F = 1\) (çünkü \(1 \rightarrow 1 = 1,\) satır 7). \(c = 0\) için \(c \kama (b \vee a) = 0 \kama 1 = 0,\) yani \(F = 0\) \((1 \rightarrow 0 = 0,\) satır 6). Eğer \(b = 0,\) ise \(\overline c = 1\) \((c = 0,\) ise ayırmada yer alan ifadelerden biri doğru olacaktır). Bu durumda \(c \kama (b \vee a) = 0 \kama (0 \vee 1) = 0.\)\(F = 0,\) çünkü \(1 \rightarrow 0 = 0\) (satır 5).

2. Diğer değerler için \(a,\) \(b\) ve \(c\) \(F = 1,\) çünkü \(a \equiv (b \vee \overline c) = 0\)(satır 1, 3, 7, 8).

3. Derlenen doğruluk tablosundan, \(F = 1\) ile \(c = 0\) (satır 1, 4) ve \(c = 1\) ile (satır 3, 7, 8) olduğunu görüyoruz. Değerlerin toplamı 0 * 2 + 1 * 3 = 3.\(2^4 = 16\) satırdır.

1. Bağlaç yanlış olduğundan, ifadelerden en az biri yanlışsa, o zaman \(d = 0\)\(F = 0\) için herhangi bir \(a,\) \(b\) ve \( c\) (doğruluk tablosunda 1, 6-10, 12, 14. satırlar).

2. \(d = 1.\) olduğu durumu ele alalım. \((a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge d = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge 1 = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv C).\)\(b = 1\) için \(a \rightarrow b = a \rightarrow 1 = 1\) herhangi bir \(a,\) için, ima yanlıştır, ancak ve ancak doğru bir ifade yanlış bir ifadeyi ima ediyorsa. Eğer \(c = 1,\) ise, o zaman \(b \equiv c = 1,\) çünkü her iki ifade de doğru veya her ikisi de yanlış olduğunda denklik işlemi doğrudur ve \(F = 1\) (tüm ifadeler bağlaç doğrudur). Bu, 4. ve 5. satırlara karşılık gelir. Eğer \(c = 0,\) ise, o zaman \(b \equiv c = 0,\) \(F = 0,\) çünkü bağlaçtaki ifadelerden biri yanlış (satır 11) ve 16).

\(b = 0:\) için, eğer \(a = 1,\) ise, o zaman \(a \rightarrow b = 1 \rightarrow 0 = 0,\) o zaman bağlaçtaki ifadelerden biri yanlıştır ve herhangi bir \(c\) için \(F = 0\) (satır 13 ve 15). \(a = 0,\) ise, o zaman \(a \rightarrow b = 0 \rightarrow 0 = 1.\)\(c = 0,\) ise, o zaman \(b \equiv c = 0 \equiv 0 = 1,\)\(F = 1,\) çünkü bağlaçtaki her iki ifade de doğrudur (2. satır). \(c = 1,\) ise, o zaman \(b \equiv c = 0 \equiv 1 = 0,\)\(F = 0,\) çünkü bağlaçtaki ifadelerden biri yanlış (3. satır).

Böylece, \(F = 1\) ile \(d = 1\) (satır 2, 4, 5). \(d\) değerlerinin toplamı 1*3=3'tür.

Doğruluk tablolarının ve mantıksal fonksiyonların oluşturulması

Boole işlevi değişkenlerin yalnızca iki değer aldığı bir işlevdir: mantıksal bir veya mantıksal sıfır. Karmaşık önermelerin doğruluğu ya da yanlışlığı, basit önermelerin doğruluğu ya da yanlışlığının bir fonksiyonudur. Bu fonksiyon Boole Yargılama Fonksiyonu f(a, b) olarak adlandırılır.

Herhangi bir mantıksal işlev, sol tarafında bir dizi argümanın yazıldığı bir doğruluk tablosu kullanılarak ve sağ tarafta - mantıksal işlevin karşılık gelen değerleri kullanılarak belirtilebilir. Bir doğruluk tablosu oluştururken, mantıksal işlemlerin gerçekleştirilme sırasını hesaba katmak gerekir.

Mantıksal işlemlerin yürütme sırası karmaşık bir boole ifadesinde:

1. inversiyon;

2. bağlantı;

3. ayrılma;

4. ima;

5. denklik.

Parantezler, belirtilen işlem sırasını değiştirmek için kullanılır.

Karmaşık ifadeler için doğruluk tabloları oluşturmaya yönelik algoritma :

satır sayısı = 2 N + başlık satırı ,

n, basit ifadelerin sayısıdır.

sütun sayısı = değişken sayısı + boolean sayısı ;

değişken sayısını belirlemek (basit ifadeler);

mantıksal işlemlerin sayısını ve yürütme sırasını belirleyin.

3. Ana mantıksal işlemlerin doğruluk tablolarını dikkate alarak, mantıksal işlemleri belirtilen sırayla gerçekleştirmenin sonuçlarıyla sütunları doldurun.

Örnek: Mantıksal bir ifadenin doğruluk tablosunu yapın:

D= Bir & (BVC)

Çözüm:

1. Satır sayısını belirleyin:

girişte üç basit ifade vardır: A, B, C, dolayısıyla n = 3 ve satır sayısı = 23 + 1 = 9.

2. Sütun sayısını belirleyin:

basit ifadeler (değişkenler): A, B, C;

ara sonuçlar (mantıksal işlemler):

A- inversiyon (ile gösterilir E);

BVC- ayrılma işlemi (şu ile gösterilir: F);

aritmetik ifadenin istenen nihai değerinin yanı sıra:

D= Bir & (BVC) . yani D = E & F bir bağlantı işlemidir.

Mantıksal işlemlerin doğruluk tablolarını dikkate alarak sütunları doldurun.

font-size:12.0pt">Doğruluk tablosundan mantıksal bir işlev oluşturma:

Ters problemi çözmeye çalışalım. Bazı mantıksal fonksiyonlar Z (X ,Y ) için bir doğruluk tablosu verilsin:

font-size:12.0pt">1 .

İki çizgi olduğundan, iki öğenin ayrışmasını elde ederiz: () V () .

Bu ayrımdaki her bir mantıksal öğeyi, X ve Y işlev bağımsız değişkenlerinin bir birleşimi olarak yazıyoruz: ( X & Y) V ( X & Y).

mantık cebiri

mantık cebiri

mantık cebiri(İngilizce) mantık cebiri), mantıksal dönüşümlerde cebir yöntemlerinin kullanıldığı matematiksel mantığın ana dallarından biridir.

Mantık cebirinin kurucusu, mantıksal doktrinini cebir ve mantık arasındaki analojiye dayandıran İngiliz matematikçi ve mantıkçı J. Boole'dur (1815-1864). Geliştirdiği dilin sembollerini kullanarak herhangi bir ifadeyi yazdı ve doğruluğu veya yanlışlığı belirli mantıksal yasalara dayanarak kanıtlanabilen "denklemler" aldı, örneğin değişme, dağıtma, birleştirme vb.

Modern mantık cebiri matematiksel mantığın bir dalıdır ve önermeler üzerindeki mantıksal işlemleri doğruluk değerleri (doğru, yanlış) açısından inceler. İfadeler doğru, yanlış olabilir veya farklı oranlarda doğruluk ve yanlışlık içerebilir.

mantıksal ifade içeriğinin doğru ya da yanlış olduğunun kesin olarak ifade edilebileceği herhangi bir bildirim cümlesidir.

Örneğin, "3 kere 3 eşittir 9", "Vologda'nın kuzeyindeki Arkhangelsk" doğru ifadelerdir ve "Beş üçten küçüktür", "Mars bir yıldızdır" yanlıştır.

Açıkçası, her cümle mantıklı bir ifade olamaz, çünkü yanlışlığından veya doğruluğundan bahsetmek her zaman mantıklı değildir. Örneğin “Bilgisayar bilimi ilginç bir konudur” ifadesi belirsizdir ve ek bilgi gerektirir ve “10-A Ivanov A.A. sınıfındaki bir öğrenci için bilgisayar bilimi ilginç bir konudur” ifadesi Ivanov A.A.'nın ilgi alanlarına göre, “doğru” veya “yalan” değerini alabilir.

Hariç iki değerli önerme cebiri, yalnızca iki değerin kabul edildiği - "doğru" ve "yanlış", var çok değerli önerme cebiri. Böyle bir cebirde "doğru" ve "yanlış" anlamlarının yanı sıra "muhtemelen", "mümkün", "imkansız" vb. doğruluk değerleri kullanılır.

Cebirde mantık farklıdır basit(temel) ifadeler, Latin harfleriyle (A, B, C, D, ...) gösterilir ve karmaşık(bileşik), örneğin, mantıksal bağlaçlar kullanan birkaç basit olandan oluşur, örneğin "değil", "ve", "veya", "ancak ve ancak o zaman", "eğer ... o zaman". Bu şekilde elde edilen karmaşık ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı, basit ifadelerin anlamı tarafından belirlenir.

olarak göster A"Mantığın cebiri, elektrik devreleri teorisinde başarıyla uygulandı" ifadesi ve aracılığıyla İÇİNDE- "Mantığın cebiri, röle kontak devrelerinin sentezinde kullanılır."

Daha sonra "Mantığın cebiri, elektrik devreleri teorisinde ve röle-kontak devrelerinin sentezinde başarıyla uygulanır" bileşik ifadesi kısaca şu şekilde yazılabilir: A ve B; burada "ve" mantıksal bir bağlayıcıdır. Açıkçası, çünkü temel önermeler A ve B doğruysa bileşik önerme de doğrudur A ve B.

Her mantıksal bağlayıcı, mantıksal ifadeler üzerinde bir işlem olarak kabul edilir ve kendi adına ve atamasına sahiptir.

Yalnızca iki mantıksal değer vardır: doğru Ve yanlış (YANLIŞ). Bu, dijital temsile karşılık gelir - 1 Ve 0 . Her mantıksal işlemin sonuçları bir tablo şeklinde kaydedilebilir. Bu tür tablolara doğruluk tabloları denir.

Mantık Cebirinin Temel İşlemleri

1. Mantıksal olumsuzlama, tersine çevirme(lat. tersine çevirme- tersine çevirme) - belirli bir ifadeden (örneğin, A) yeni bir ifadenin elde edilmesinin bir sonucu olarak mantıksal bir işlem ( A değil) olarak adlandırılan orijinal ifadenin reddi, sembolik olarak bir üst çizgi ($A↖(-)$) veya aşağıdaki gibi kurallarla gösterilir: ¬, "değil", ve okur: "A değil", "A yanlıştır", "A'nın doğru olmadığı", "A'nın olumsuzlanması". Örneğin, "Mars güneş sisteminde bir gezegendir" (ifade A); "Mars, güneş sisteminde bir gezegen değildir" ($A↖(-)$); "10 bir asal sayıdır" önermesi (önerme B) yanlıştır; "10 bir asal sayı değildir" önermesi (önerme B) doğrudur.

Bir miktara göre kullanılan bir işleme denir tekli. Bu işlem için değerler tablosu şu şekildedir:

A doğru olduğunda $A↖(-)$ yanlış, A yanlış olduğunda doğrudur.

Geometrik olarak, olumsuzlama şu şekilde temsil edilebilir: eğer A belirli bir noktalar kümesiyse, $A↖(-)$ A kümesinin tümleyenidir, yani A kümesine ait olmayan tüm noktalardır.

2.Bağlaç(lat. bağlaç- bağlantı) - mantıksal çarpma, en az iki mantıksal değer (işlenen) gerektiren ve bir demet kullanarak iki veya daha fazla ifadeyi birbirine bağlayan bir işlem "Ve"(Örneğin, "A ve B"), sembolik olarak ∧ (A ∧ B) işaretiyle gösterilir ve "A ve B" şeklinde okunur. Aşağıdaki işaretler ayrıca bağlaç belirtmek için kullanılır: A ∙ B; A & B, A ve B ve bazen ifadeler arasına işaret konmaz: AB. Mantıksal çarpma örneği: "Bu üçgen ikizkenardır ve dik açılıdır." Bu önerme ancak her iki koşul da sağlanıyorsa doğru olabilir, aksi halde önerme yanlıştır.

ifade A ∧ İÇİNDE yalnızca her iki ifade de doğruysa doğrudur A Ve İÇİNDE doğru.

Geometrik olarak, bağlaç şu şekilde temsil edilebilir: A, B A ∧ İÇİNDE kümelerin kesişimi var A Ve İÇİNDE.

3. Ayrılık(lat. ayrılma- bölme) - mantıksal toplama, bir demet kullanarak iki veya daha fazla ifadeyi birbirine bağlayan bir işlem "veya"(Örneğin, "A veya b"), sembolik olarak ∨ işareti ile gösterilir (A∨ İÇİNDE) ve okur: "A veya b". Ayrılığı belirtmek için aşağıdaki işaretler de kullanılır: A + B; A veya b; bir | B. Mantıksal toplama örneği: "x sayısı 3 veya 5'e bölünebilir." Bu ifade, her iki koşul veya koşullardan en az biri karşılanırsa doğru olacaktır.

İşlemin doğruluk tablosu şu şekildedir:

ifade A∨ İÇİNDE yalnızca her iki ifade de yanlış olduğunda A Ve İÇİNDE YANLIŞ.

Geometrik olarak, mantıksal toplama şu şekilde temsil edilebilir: A, B bazı nokta kümeleridir, o zaman A ∨ İÇİNDE kümelerin birleşimidir A Ve İÇİNDE, yani hem kareyi hem de daireyi birleştiren bir şekil.

4. Kesin ayırma ayırma, modulo iki ekleme- bir bağlayıcı kullanarak iki ifadeyi birbirine bağlayan mantıksal bir işlem "veya", özel anlamda kullanılır ve sembolik olarak ∨ ∨ veya ⊕ işaretleri ile gösterilir ( A ∨ ∨ B, A ⊕ İÇİNDE) ve okur: "Ya A ya da B". Modulo iki toplamaya bir örnek, "Bu üçgen geniş veya akuttur" ifadesidir. Koşullardan herhangi biri karşılanırsa ifade doğrudur.

İşlemin doğruluk tablosu şu şekildedir:

A ⊕ B önermesi, yalnızca A ve B önermelerinin farklı anlamları varsa doğrudur.

5. ima(lat. üstü kapalı- Sıkıca bağlanıyorum) - bir demet kullanarak iki ifadeyi birbirine bağlayan mantıksal bir işlem "eğer... o zaman"→ işaretiyle sembolik olarak gösterilen karmaşık bir ifadeye dönüşür ( A → İÇİNDE) ve okur: "Eğer A, o zaman B", "A, B'yi ima eder", "A'dan B'yi takip eder", "A, B'yi ima eder". ⊃ (A ⊃ B) işareti de çıkarımı belirtmek için kullanılır. Çıkarıma bir örnek: "Sonuçta elde edilen dörtgen bir kareyse, etrafına bir daire çizilebilir." Bu işlem, birincisi bir koşul ve ikincisi bir sonuç olan iki basit mantıksal ifadeyi birbirine bağlar. Bir işlemin sonucu, yalnızca öncül doğruysa ve sonuç yanlışsa yanlıştır. Örneğin, "3 * 3 = 9 (A) ise, Güneş bir gezegendir (B)", A → B çıkarımının sonucu yanlıştır.

İşlemin doğruluk tablosu şu şekildedir:

Çıkarım işlemi için, bir yalandan her şeyin çıkabileceği, ancak bir gerçekten yalnızca gerçeğin çıkabileceği iddiası doğrudur.

6. Eşdeğerlik, çift ima, denklik(lat. eşit- eşit ve sevgililer günü- geçerli) - iki ifadeye izin veren mantıksal bir işlem A Ve İÇİNDE yeni bir ifade almak bir ≡ B hangi okur: "A, B'ye eşdeğerdir". Eşdeğerliği belirtmek için aşağıdaki işaretler de kullanılır: ⇔, ∼. Bu işlem bağlaçlarla ifade edilebilir. "ancak ve ancak o zaman", "gerekli ve yeterli", "eşdeğer". Bir denklik örneği şu ifadedir: "Bir üçgen ancak ve ancak açılardan biri 90 dereceye eşitse dik açılı olacaktır."

Eşdeğerlik işleminin doğruluk tablosu şu şekildedir:

Eşdeğerlik işlemi modulo 2 toplamanın tersidir ve ancak ve ancak değişkenlerin değerleri aynıysa doğru olarak değerlendirir.

Basit önermelerin anlamlarını bilerek, karmaşık önermelerin anlamlarını doğruluk tablolarından yola çıkarak belirlemek mümkündür. Aynı zamanda, mantık cebirinin herhangi bir fonksiyonunu temsil etmek için üç işlemin yeterli olduğunu bilmek önemlidir: birleşme, ayrılma ve olumsuzlama.

Mantıksal işlemlerin önceliği şu şekildedir: olumsuzlama ( "Olumsuz") en yüksek önceliğe sahiptir, ardından bağlaç ( "Ve"), bağlaçtan sonra - ayrışma ( "veya").

Mantıksal değişkenler ve mantıksal işlemler yardımıyla, herhangi bir mantıksal ifade resmileştirilebilir, yani mantıksal bir formülle değiştirilebilir. Aynı zamanda, bir bileşik ifade oluşturan temel ifadeler, anlam bakımından kesinlikle ilgisiz olabilir, ancak bu, kişinin bir bileşik ifadenin doğruluğunu veya yanlışlığını belirlemesini engellemez. Örneğin, "Eğer beş ikiden büyükse ( A), ardından Salı her zaman Pazartesi'den sonra gelir ( İÇİNDE)" - ima A→ İÇİNDE, ve bu durumda işlemin sonucu "doğru" olur. Mantıksal işlemlerde ifadelerin anlamı dikkate alınmaz, sadece doğrulukları veya yanlışlıkları dikkate alınır.

Örneğin, ifadelerden bileşik bir ifadenin oluşturulmasını ele alalım. A Ve İÇİNDE, ancak ve ancak her iki ifade de doğruysa yanlış olur. Modulo iki toplama işleminin doğruluk tablosunda şunu buluruz: 1 ⊕ 1 = 0. Ve ifade örneğin şu olabilir: "Bu top tamamen kırmızı veya tamamen mavi." Bu nedenle, eğer ifade A"Bu top tamamen kırmızıdır" doğru ve bir ifadedir. İÇİNDE“Bu top tamamen mavidir” doğrudur, o zaman top aynı anda hem kırmızı hem de mavi olamayacağı için bileşik önerme yanlıştır.

Problem çözme örnekleri

örnek 1 Belirtilen X değerleri için mantıksal ifadenin değerini belirleyin ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Çözüm.İşlem sırası şu şekildedir: önce parantez içindeki karşılaştırma işlemleri yapılır, ardından ayrıştırma ve son olarak çıkarım işlemi yapılır. Ayırma operatörü ∨ ​​yanlıştır, ancak ve ancak her iki işlenen de yanlışsa. Çıkarım için doğruluk tablosu

Buradan şunu elde ederiz:

1) X = 1 için:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) X = 12 için:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) X = 3 için:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Örnek 2¬((X > 2) → (X > 5)) ifadesinin doğru olduğu X tamsayı değerleri kümesini belirtin.

Çözüm. Olumsuzlama işlemi, ((X > 2) → (X > 5)) ifadesinin tamamına uygulanır, dolayısıyla ¬((X > 2) → (X > 5)) ifadesi doğru olduğunda, ((X > 2) →(X > 5)) yanlıştır. Bu nedenle, ((X > 2) → (X > 5)) ifadesinin X'in hangi değerleri için yanlış olduğunu belirlemek gerekir. Çıkarım operatörü yalnızca bir durumda "yanlış" değerini alır: gerçekten bir yanlış çıktığı zaman. Ve bu sadece X = 3 için doğrudur; X=4; X=5.

Örnek 3 Aşağıdaki kelimelerden hangisi için ¬(birinci harfli ünlü ∧ üçüncü sesli harfli) ⇔ 4 karakterlik dizi ifadesi yanlıştır? 1) as; 2) çerez; 3) mısır; 4) hata; 5) diktatör.

Çözüm. Aşağıdaki kelimelerin her birini tek tek inceleyelim:

1) assa kelimesi için şunu elde ederiz: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — ifade doğrudur;

2) kuku kelimesi için şunu elde ederiz: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — ifade doğrudur;

3) mısır kelimesi için şunu elde ederiz: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - ifade yanlıştır;

4) kelime hatası için şunu elde ederiz: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — ifade doğrudur;

5) diktatör kelimesi için şunu elde ederiz: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - ifade yanlıştır.

Boole ifadeleri ve dönüşümleri

Altında Boole ifadesi"doğru" veya "yanlış" mantıksal değerini alabilen bir kayıt olarak anlaşılmalıdır. Bu tanımla, mantıksal ifadeler arasında şunları ayırt etmek gerekir:

• karşılaştırma işlemlerini (“büyüktür”, “küçüktür”, “eşittir”, “eşit değildir” vb.) kullanan ve mantıksal değerler alan ifadeler (örneğin, a > b ifadesi, burada a = 5 ve b = 7, eşittir "yanlış");
• mantıksal değerler ve mantıksal işlemlerle ilişkili doğrudan mantıksal ifadeler (örneğin, A ∨ B ∧ C, burada A = true, B = false ve C = true).

Boole ifadeleri, işlevleri, cebirsel işlemleri, karşılaştırma işlemlerini ve mantıksal işlemleri içerebilir. Bu durumda, eylemleri gerçekleştirme önceliği aşağıdaki gibidir:

1. mevcut işlevsel bağımlılıkların hesaplanması;
2. cebirsel işlemleri gerçekleştirmek (önce çarpma ve bölme, ardından çıkarma ve toplama);
3. karşılaştırma işlemlerinin gerçekleştirilmesi (rastgele sırada);
4. mantıksal işlemlerin yürütülmesi (önce, olumsuzlama işlemi, ardından mantıksal çarpma, mantıksal toplama işlemleri, son işlemler ima ve denkliktir).

Boole ifadesi, işlemlerin gerçekleştirilme sırasını değiştiren parantezler kullanabilir.

Örnek. Bir ifadenin değerini bulun:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ a = 2, b = 3, A = doğru, B = yanlış.

Çözüm. Değerleri sayma sırası:

1) b a + a b > a + b, ikameden sonra şunu elde ederiz: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, yani 17 > 2 + 3 = doğru;

2) A ∧ B = doğru ∧ yanlış = yanlış.

Bu nedenle, parantez içindeki ifade (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = true ∨ false = true;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = doğru;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Bu hesaplamalardan sonra nihayet şunu elde ederiz: true ∨ A ∧ true ∧ ¬B ∧ ¬true.

Şimdi olumsuzlama işlemleri yapılmalı, ardından mantıksal çarpma ve toplama:

5) ¬B = ¬yanlış = doğru; ¬doğru = yanlış;

6) A ∧ doğru ∧ doğru ∧ yanlış = doğru ∧ doğru ∧ doğru ∧ yanlış = yanlış;

7) doğru ∨ yanlış = doğru.

Böylece, verilen değerler için mantıksal bir ifadenin sonucu "doğru" olur.

Not. Orijinal ifadenin nihayetinde iki terimin toplamı ve bunlardan birinin değeri 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = doğru olduğuna göre, daha fazla hesaplama yapmadan, ifadenin tamamı için sonucun da "doğru" olduğunu söyleyebiliriz. ”.

Mantıksal ifadelerin kimlik dönüşümleri

Mantık cebirinde, mantıksal ifadelerin özdeş dönüşümlerine izin veren temel yasalar yerine getirilir.

Bu ifadelerin kanıtları, karşılık gelen kayıtlar için doğruluk tablolarının oluşturulması temelinde üretilir.

Mantıksal formüllerin eşdeğer dönüşümleri, sıradan cebirdeki formüllerin dönüşümleriyle aynı amaca sahiptir. Mantık cebirinin temel yasalarını kullanarak formülleri basitleştirmeye veya belirli bir şekle getirmeye yararlar. Altında formül sadeleştirme ima ve eşdeğerlik işlemlerini içermeyen , orijinaline göre daha az sayıda işlem veya daha az sayıda değişken içeren bir formüle yol açan eşdeğer bir dönüşüm olarak anlaşılır.

Mantıksal formüllerin bazı dönüşümleri, sıradan cebirdeki formüllerin dönüşümlerine benzerken (ortak çarpanı parantez içine alma, değişmeli ve birleştirici yasaları kullanma, vb.), diğer dönüşümler ise sıradan cebir işlemlerinin sahip olmadığı özelliklere (dağılma yasasını kullanarak) dayanır. bağlantı için , soğurma yasaları, yapıştırma, de Morgan, vb.).

Mantıksal formülleri basitleştirirken kullanılan bazı teknik ve yöntemlerin örneklerine bakalım:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Burada dönüştürmek için, iktidarsızlık yasasını, dağıtım yasasını uygulayabilirsiniz; ters çevirmeli değişken işlem ve sabit işlem.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Burada basitlik için soğurma yasası uygulanır.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

Dönüştürürken, de Morgan kuralı, bir değişkenin tersi ile işlemi, bir sabit ile işlemi uygulanır.

Problem çözme örnekleri

örnek 1 A ∧ ¬(¬B ∨ C) ifadesine eşdeğer bir mantıksal ifade bulun.

Çözüm. B ve C için de Morgan kuralını uyguluyoruz: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C .

Orijinaline eşdeğer bir ifade elde ederiz: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Cevap: A ∧ B ∧ ¬C.

Örnek 2(A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) mantıksal ifadesinin değerinin yanlış olduğu A, B, C mantıksal değişkenlerinin değerini belirtin.

Çözüm.Çıkarım işlemi, yalnızca a doğru bir öncülden yanlışsa yanlıştır. Bu nedenle, belirli bir ifade için, A ∨ B öncülü "doğru" değerini almalıdır ve sonuç, yani B ∨ ¬C ∨ B ifadesi "yanlış" değerini almalıdır.

1) A ∨ B - işlenenlerden en az biri "doğru" ise, ayırmanın sonucu "doğru" olur;

2) B ∨ ¬C ∨ B - tüm terimler "yanlış" değerine sahipse ifade yanlıştır, yani. B - "yanlış"; ¬C "yanlış"tır ve bu nedenle C değişkeni "doğru" değerine sahiptir;

3) öncülü dikkate alırsak ve B'nin "yanlış" olduğunu hesaba katarsak, o zaman A'nın değerinin "doğru" olduğunu elde ederiz.

Cevap: A doğrudur, B yanlıştır, C doğrudur.

Örnek 3(35) ifadesinin karşılık geldiği en büyük X tam sayısı kaçtır?

Çözüm.Çıkarım işlemi için doğruluk tablosunu yazalım:

İfade X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Cevap: X=5.

Geometrik Bölgeleri Tanımlamak İçin Boole İfadelerini Kullanma

Boole ifadeleri, geometrik bölgeleri tanımlamak için kullanılabilir. Bu durumda, problem şu şekilde formüle edilir: belirli bir geometrik bölge için, x, y değerleri için "doğru" değerini alan böyle bir mantıksal ifade yazın, ancak ve ancak koordinatlara (x; y) sahip herhangi bir nokta aitse geometrik bölgeye.

Örnekler kullanarak mantıksal bir ifade kullanarak geometrik bir bölgenin tanımını ele alalım.

örnek 1 Geometrik bölgenin görüntüsü ayarlanır. Kendisine ait noktalar kümesini açıklayan mantıksal bir ifade yazın.

1) .

Çözüm. Verilen geometrik bölge, aşağıdaki bölgelerin bir kümesi olarak temsil edilebilir: birinci bölge — D1 — yarı düzlem $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, ikinci bölge — D2 — $x ^2 + y^2 ≤ 1$ başlangıç ​​noktasında merkezli bir daire. Bunların kesişimi D1 $∩$ D2 istenen bölgedir.

Sonuç: boole ifadesi $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Bu alan şu şekilde yazılabilir: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Not. Mantıksal bir ifade oluşturulurken katı olmayan eşitsizlikler kullanılır, bu da şekillerin sınırlarının da gölgeli alana ait olduğu anlamına gelir. Kesin eşitsizlikler kullanırsanız, sınırlar dikkate alınmayacaktır. Bir bölgeye ait olmayan sınırlar genellikle noktalı çizgilerle gösterilir.

Ters problemi çözebilirsiniz, yani: belirli bir mantıksal ifade için bir bölge çizin.

Örnek 2 Noktaları y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y mantıksal koşulunu karşılayan bir alan çizin ve gölgelendirin< 2 .

Çözüm.İstenen alan, üç yarım düzlemin kesişimidir. Düzlemde (x, y) düz çizgiler y = x oluşturuyoruz; y=-x; y = 2. Bunlar bölgenin sınırlarıdır ve son sınır y = 2 bölgeye ait olmadığı için noktalı çizgi ile çiziyoruz. y ≥ x eşitsizliğini sağlamak için noktaların y = x doğrusunun solunda olması ve y = -x doğrusunun sağındaki noktalar için y = -x eşitsizliğinin sağlanması gerekir. koşul y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Elektrik devrelerini açıklamak için mantık fonksiyonlarını kullanma

Mantık fonksiyonları, elektrik devrelerinin çalışmasını açıklamak için çok uygundur. Dolayısıyla, X değişkeninin değerinin anahtarın durumu olduğu şekilde gösterilen devre için (açıksa, X'in değeri "doğru" ve kapalıysa - "yanlış"), bu Y'nin değeri ampulün durumudur (yanıyorsa). - değer "doğru", değilse - "yanlış" ise, mantıksal fonksiyon aşağıdaki gibi yazılacaktır: Y = X . Y işlevi denir iletim fonksiyonu.

Şekilde gösterilen devre için, Y mantıksal fonksiyonu şu şekildedir: Y = X1 ∪ X2, çünkü ampulü yakmak için bir anahtar yeterlidir. Şekil 1'deki devrede ampulün yanması için her iki anahtarın da açık olması gerekir, bu nedenle iletkenlik işlevi şu şekildedir: Y \u003d X1 ∧ X2.

Daha karmaşık bir devre için, iletkenlik fonksiyonu şöyle görünecektir: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Devre ayrıca açık kontaklar içerebilir. Bu durumda, anahtar olarak açık kontak, ampulün düğmeye basılmak yerine bırakıldığında yanmasını sağlar. Bu tür devreler için bağlantı kesme anahtarı olumsuzlama ile tanımlanır.

İki şema denir eş değer akım birinden geçerken diğerinden geçerse. İki eşdeğer devreden, iletkenlik işlevi daha az sayıda eleman içeren devrenin daha basit olduğu kabul edilir. Eşdeğer şemalar arasından en basitini bulma görevi çok önemlidir.

Mantık Devrelerinin Tasarımında Mantık Cebir Aparatının Kullanılması

Mantık cebirinin matematiksel aygıtı, bir bilgisayar donanımının nasıl çalıştığını açıklamak için çok uygundur. Bir bilgisayarda işlendiğinde herhangi bir bilgi ikili biçimde temsil edilir, yani belirli bir 0 ve 1 dizisi ile kodlanır. 0 ve 1'e karşılık gelen ikili sinyallerin işlenmesi, bilgisayarda mantıksal öğeler tarafından gerçekleştirilir. Temel mantık işlemlerini gerçekleştiren mantık kapıları VE, VEYA, DEĞİL,Şek.

Mantıksal elemanlar için semboller standarttır ve bilgisayar mantık devreleri çizilirken kullanılır. Bu devreleri kullanarak, bir bilgisayarın işleyişini açıklayan herhangi bir mantıksal işlevi gerçekleştirebilirsiniz.

Teknik olarak, bir bilgisayar mantık elemanı, çeşitli parçaların bağlantısı olan bir elektrik devresi olarak uygulanır: diyotlar, transistörler, dirençler, kapasitörler. Kapı olarak da adlandırılan bir mantık elemanının girişi, yüksek ve düşük voltaj seviyelerinde elektrik sinyallerini alır, çıkışa yine yüksek veya düşük bir çıkış sinyali verilir. Bu seviyeler, ikili sistemin durumlarından birine karşılık gelir: 1 - 0; DOĞRU YANLIŞ. Her mantıksal öğenin, mantıksal işlevini ifade eden ancak içinde hangi elektronik devrenin uygulandığını göstermeyen kendi sembolü vardır. Bu, karmaşık mantık devrelerini yazmayı ve anlamayı kolaylaştırır. Mantık devrelerinin çalışması doğruluk tabloları kullanılarak anlatılmıştır. OR diyagramındaki sembol, ">=1" olarak kullanılmayan ayrılma notasyonundan "1" işaretidir (iki işlenenin toplamı 1'den büyük veya ona eşitse ayrışmanın değeri 1'dir). AND diyagramındaki “&” işareti, İngilizce and kelimesinin kısaltılmış gösterimidir.

Mantık öğeleri, daha karmaşık mantıksal işlemleri gerçekleştiren elektronik mantık devrelerini oluşturmak için kullanılır. Herhangi bir karmaşıklığın mantıksal yapısını oluşturabileceğiniz NOT, OR, AND öğelerinden oluşan bir dizi mantıksal öğeye denir. işlevsel olarak eksiksiz.

Mantıksal ifadelerin doğruluk tablolarının oluşturulması

Mantıksal bir formül için her zaman yazabilirsiniz. doğruluk tablosu, yani verilen mantıksal işlevi tablo biçiminde sunun. Bu durumda tablo, işlev bağımsız değişkenlerinin (formüller) ve karşılık gelen işlev değerlerinin (belirli bir değerler kümesindeki formül sonuçları) tüm olası kombinasyonlarını içermelidir.

Fonksiyon değerlerini bulurken uygun bir gösterim şekli, değişken değerlerine ve fonksiyon değerlerine ek olarak ara hesaplamaların değerlerini de içeren bir tablodur. $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$ formülü için bir doğruluk tablosu oluşturma örneğini ele alalım.

Bir fonksiyon, tüm değişken değer kümeleri için 1 olarak değerlendirilirse, tamamen doğru; tüm giriş değerleri kümeleri için işlev 0 değerini alırsa, tamamen yanlış; çıktı değerleri kümesi hem 0 hem de 1 içeriyorsa işlev çağrılır yapılabilir. Yukarıdaki örnek, aynı derecede doğru bir işlevin bir örneğidir.

Mantıksal fonksiyonun analitik formunu bilerek, her zaman mantıksal fonksiyonların tablo formuna gidebilirsiniz. Belirli bir doğruluk tablosunu kullanarak, ters problemi çözebilirsiniz, yani: belirli bir tablo için mantıksal bir işlev için analitik bir formül oluşturun. Tablo halinde verilen bir işleve göre bir mantıksal işlevin analitik bağımlılığını oluşturmanın iki biçimi vardır.

1. Ayrık normal form (DNF) değişkenlerden oluşan ürünlerin toplamı ve yanlış değerler için olumsuzlamalarıdır.

Bir DNF oluşturmak için algoritma aşağıdaki gibidir:

1. doğruluk tablosunda işlevler, mantıksal biçimleri 1'e ("doğru") eşit olan bağımsız değişken kümelerini seçer;
2. bağımsız değişkenlerin mantıksal ürünleri olarak seçilen tüm mantıksal kümeler, mantıksal bir toplam (ayırma) işlemiyle sırayla birbirine bağlanarak kaydedilir;
3. yanlış olan bağımsız değişkenler için, oluşturulan gösterimde bir olumsuzlama işlemi yapılır.

Örnek. DNF yöntemini kullanarak birinci sayının ikinci sayıya eşit olduğunu belirleyen bir işlev oluşturun. Bir fonksiyonun doğruluk tablosu şu şekildedir:

Çözüm. Fonksiyonun 1'e eşit olduğu bağımsız değişken değerleri kümelerini seçiyoruz. Bunlar tablonun birinci ve dördüncü satırlarıdır (numarlandırma yapılırken başlık satırı dikkate alınmaz).

Bu kümelerin argümanlarının mantıksal ürünlerini mantıksal bir toplamla birleştirerek yazıyoruz: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Yanlış değere sahip seçilen kümelerin argümanlarının olumsuzluğunu yazıyoruz (tablonun dördüncü satırı; formüldeki ikinci küme; birinci ve ikinci öğeler): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Cevap: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Birleştirici normal form (CNF) değişkenlerden oluşan toplamların ve gerçek değerler için olumsuzlamalarının ürünüdür.

Bir CNF oluşturmak için algoritma aşağıdaki gibidir:

1. doğruluk tablosunda, mantıksal biçimleri 0 ("yanlış") olan argüman kümeleri seçilir;
2. mantıksal argüman toplamları olarak seçilen tüm mantıksal kümeler, mantıksal bir ürünün (bağlaç) çalışmasıyla bunları birbirine bağlayarak sırayla yazılır;
3. doğru olan bağımsız değişkenler için, olumsuzlama işlemi oluşturulmuş notasyonda belirtilir.

Problem çözme örnekleri

örnek 1Önceki örneği ele alalım, yani CNF yöntemini kullanarak birinci sayının ikinciye eşit olduğunu belirleyen bir işlev oluşturacağız. Belirli bir fonksiyon için doğruluk tablosu şu şekildedir:

Çözüm. Fonksiyonun 0'a eşit olduğu bağımsız değişken değerleri kümelerini seçiyoruz. Bunlar ikinci ve üçüncü satırlardır (numarlandırma yapılırken başlık satırı dikkate alınmaz).

Bu kümelerin bağımsız değişkenlerinin mantıksal toplamlarını mantıksal bir çarpımla birleştirerek yazıyoruz: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .

Gerçek bir değere sahip seçilen kümelerin argümanlarının olumsuzluğunu yazıyoruz (tablonun ikinci satırı, formülün ilk kümesi, ikinci öğe; üçüncü satır için ve bu, formülün ikinci kümesidir) , birinci eleman): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Böylece CNF'de mantıksal bir fonksiyonun kaydı elde edilmiş olur.

Cevap: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

İki yöntemle elde edilen fonksiyon değerleri eşdeğerdir. Bu ifadeyi kanıtlamak için mantık kurallarını kullanırız: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2 )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Örnek 2. Belirli bir doğruluk tablosu için mantıksal bir işlev oluşturun:

Gerekli formül: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Basitleştirilebilir: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Örnek 3 Verilen doğruluk tablosu için, DNF yöntemini kullanarak mantıksal bir işlev oluşturun.

Gerekli formül: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ (X3)↖(-)$.

Formül oldukça zahmetlidir ve basitleştirilmesi gerekir:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Mantıksal problemleri çözmek için doğruluk tabloları

Doğruluk tablolarını derlemek, mantıksal sorunları çözmenin yollarından biridir. Bu çözme yöntemini kullanırken, sorunun içerdiği koşullar özel olarak derlenmiş tablolar kullanılarak düzeltilir.

Problem çözme örnekleri

örnek 1Üç sensör kullanan ve yalnızca ikisi kapandığında tetiklenen bir güvenlik cihazı için bir doğruluk tablosu yapın.

Çözüm. Açıkçası, çözümün sonucu, herhangi iki değişken doğruysa, istenen Y(X1, X2, X3) işlevinin doğru olacağı bir tablo olacaktır.

Örnek 2 Bilgisayar bilimi dersinin yalnızca birinci veya ikinci, matematik dersinin - birinci veya üçüncü ve fizik dersinin - ikinci veya üçüncü olabileceği göz önüne alındığında, gün için bir ders programı yapın. Tüm gereksinimleri karşılayan bir program oluşturmak mümkün mü? Kaç program seçeneği var?

Çözüm. Uygun tabloyu yaparsanız sorun kolayca çözülür:

Tablo, istenen program için iki seçeneğin olduğunu göstermektedir:

1. matematik, bilişim, fizik;
2. bilgisayar bilimi, fizik, matematik.

Örnek 3 Spor kampına üç arkadaş geldi - Peter, Boris ve Alexei. Her biri iki spora düşkün. Bu tür altı spor olduğu bilinmektedir: futbol, ​​​​hokey, kayak, yüzme, tenis, badminton. Şu da bilinmektedir:

1. Boris en yaşlısı;
2. futbol oynamak hokey oynamaktan daha gençtir;
3. futbol ve hokey oynamak ve Peter aynı evde yaşıyor;
4. bir kayakçı ile tenisçi arasında bir tartışma çıktığında Boris onları uzlaştırır;
5. Peter tenis veya badminton oynayamaz.

Erkeklerin her biri hangi sporları sever?

Çözüm. Bir tablo yapalım ve ilgili ifadenin yanlış veya doğru olmasına bağlı olarak ilgili hücreleri 0 ve 1 sayılarıyla doldurarak sorunun koşullarını yansıtalım.

Altı spor olduğu için bütün erkeklerin farklı sporlara düşkün olduğu ortaya çıktı.

4. koşuldan, Boris'in kayak veya tenisten hoşlanmadığı ve 3. ve 5. koşullardan Peter'ın futbol, ​​hokey, tenis ve badminton oynayamayacağı sonucu çıkar. Sonuç olarak, Peter'ın en sevdiği sporlar kayak ve yüzmedir. Tabloya koyalım ve "Kayak" ve "Yüzme" sütunlarının kalan hücrelerini sıfırlarla dolduralım.

Tablo sadece Aleksey'in tenis oynayabildiğini gösteriyor.

1. ve 2. koşullar, Boris'in bir futbolcu olmadığını ima eder. Böylece Alexei futbol oynuyor. Tabloyu doldurmaya devam edelim. "Alexey" satırının boş hücrelerine sıfırları girelim.

Sonunda Boris'in hokeyi ve badmintonu sevdiğini anladık. Son tablo şöyle görünecek:

Cevap: Petr kayak yapmayı ve yüzmeyi sever, Boris hokey ve badminton oynar ve Alexey futbol ve tenis oynar.

Karmaşık ifadeler için doğruluk tablolarının oluşturulması.

Mantıksal işlemlerin önceliği

1) tersine çevirme 2) bağlaç 3) ayrılma 4) çıkarım ve eşdeğerlik

Doğruluk tablosu nasıl yapılır?

Tanıma göre, bir mantıksal formülün doğruluk tablosu, tüm olası değişken değerleri kümeleri ile formülün değerleri arasındaki yazışmayı ifade eder.

İki değişken içeren bir formül için, bu tür yalnızca dört değişken değeri kümesi vardır:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Formül üç değişken içeriyorsa, sekiz olası değişken değeri kümesi vardır (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0 ), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Dört değişkenli bir formül için küme sayısı on altıdır vb.

Bir formülün değerlerini bulmak için uygun bir gösterim biçimi, değişkenlerin değerlerine ve formül değerlerine ek olarak ara formüllerin değerlerini de içeren bir tablodur.

Örnekler.

1. %96" style="width:96.0%"> formülü için bir doğruluk tablosu yapalım.

Tablodan da görüleceği üzere x ve y değişkenlerinin tüm değer kümeleri için formül 1 değerini alır., yani tamamen doğru.

2. %96" style="width:96.0%"> formülü için doğruluk tablosu

Tablodan da görüleceği üzere x ve y değişkenlerinin tüm değer kümeleri için formül 0 değerini alır, yani tamamen yanlış .

3. %96" style="width:96.0%"> formülü için doğruluk tablosu

Tablodan da görüleceği üzere formül 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Sonuç: Son sütundaki tüm birimleri aldık. Bu, bileşik ifadenin anlamının basit K ve C ifadelerinin herhangi bir değeri için doğru olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, öğretmen mantıksal olarak doğru bir şekilde muhakeme etti.

İfadelerden mantıksal ifadeler yapmayı öğreniyoruz, “doğruluk tablosu” kavramını tanımlıyoruz, doğruluk tabloları oluşturmak için eylem sırasını inceliyoruz, doğruluk tabloları oluşturarak mantıksal ifadelerin değerini bulmayı öğreniyoruz.

Dersin Hedefleri:

1. Öğreticiler:
   1. İfadelerden mantıksal ifadeler yapmayı öğrenin
   2. "Doğruluk tablosu" kavramını tanıtın
   3. Doğruluk tabloları oluşturmak için eylemlerin sırasını incelemek
   4. Doğruluk tabloları oluşturarak mantıksal ifadelerin değerini bulmayı öğrenin
   5. Mantıksal ifadelerin denkliği kavramını tanıtmak
   6. Doğruluk tablolarını kullanarak mantıksal ifadelerin denkliğini kanıtlamayı öğrenin
   7. Doğruluk tabloları oluşturarak mantıksal ifadelerin değerlerini bulma becerilerini pekiştirmek
2. Geliştirme:
   1. Mantıksal düşünme geliştirin
   2. dikkat geliştirmek
   3. hafıza geliştirmek
   4. Öğrencilerin konuşmasını geliştirin
3. eğitici:
   1. Öğretmenleri ve sınıf arkadaşlarını dinleme becerisini geliştirin
   2. Bir defter tutmanın doğruluğunu geliştirin
   3. Disiplin geliştirin

dersler sırasında

Organizasyon zamanı

Merhaba beyler. Mantığın temellerini ve bugünkü dersimizin konusunu incelemeye devam ediyoruz “Mantıksal ifadeler oluşturmak. Doğruluk Tabloları. Bu konuyu inceledikten sonra, önermelerin mantıksal biçimlerden nasıl oluştuğunu öğrenecek ve doğruluk tablolarını derleyerek doğruluklarını belirleyeceksiniz.

Ödev kontrolü

Ödev çözümlerini tahtaya yazın
Herkes not defterini açsın ben bir bakayım ödevini nasıl yaptın
Mantıksal işlemleri bir kez daha tekrarlayalım
Hangi durumda mantıksal çarpma işlemi sonucunda bileşik önerme doğru olur?
Mantıksal çarpma işlemi sonucunda oluşan bir bileşik önerme, ancak ve ancak içerdiği tüm basit önermeler doğruysa doğrudur.
Hangi durumda mantıksal toplama işlemi sonucunda bileşik önerme yanlış olur?
Mantıksal toplama işlemi sonucunda oluşan bir bileşik önerme, içerdiği tüm basit ifadeler yanlış olduğunda yanlıştır.
Tersine çevirme, konuşmayı nasıl etkiler?
Tersine çevirme, doğru bir ifadeyi yanlış ve tersine, yanlış bir ifadeyi doğru yapar.
İma konusunda neler söyleyebilirsiniz?
Mantıksal sonuç (ima), "eğer ... o zaman ..." konuşma şekli kullanılarak iki ifadenin bir araya getirilmesiyle oluşturulur.
belirtilen A-> İÇİNDE
Mantıksal sonuç (ima) işlemi kullanılarak oluşturulmuş bir bileşik önerme, ancak ve ancak doğru öncülden (ilk ifade) yanlış bir sonuç (ikinci ifade) çıkarsa yanlıştır.
Mantıksal denklik işlemi hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Mantıksal eşitlik (eşdeğerlik), “... ancak ve ancak eğer…”, “… ancak ve ancak…” mecazi kullanılarak iki ifadenin bir araya getirilmesiyle oluşturulur.
Mantıksal eşdeğerlik işlemi yardımıyla oluşturulan bir bileşik önerme, ancak ve ancak her iki ifade de aynı anda yanlış veya doğruysa doğrudur.

Yeni malzemenin açıklaması

Kapsanan materyali tekrarladık, yeni bir konuya geçiyoruz.

Geçen derste girdi boolean değişkenlerinin başlangıç ​​değerlerini yerine koyarak bileşik bir ifadenin değerini bulduk. Ve bugün, basit ifadelerin (mantıksal değişkenler) başlangıç ​​değerlerinin olası tüm kombinasyonları için bir mantıksal ifadenin doğruluğunu veya yanlışlığını belirleyen bir doğruluk tablosu oluşturmanın mümkün olduğunu ve değerleri belirlemenin mümkün olduğunu öğreneceğiz. ​​hangi sonuca ihtiyacımız olduğunu bilerek, ilk mantıksal değişkenlerin.

Son dersteki örneğimizi tekrar ele alalım.

ve bu bileşik ifade için bir doğruluk tablosu oluşturun

Doğruluk tablolarını oluştururken belirli bir eylem dizisi vardır. hadi yazalım

1. Doğruluk tablosundaki satır sayısını belirlemek gerekir.

• satır sayısı = 2 n , burada n, boole değişkenlerinin sayısıdır

Kaydedildi. Doğruluk tablosu oluşturma
İlk önce ne yapıyoruz?
Bir tablodaki sütun sayısını belirleme
Bunu nasıl yaparız?
Değişken sayısını sayarız. Bizim durumumuzda, mantıksal fonksiyon 2 değişken içerir
Hangi?
A ve B
Peki tabloda kaç satır olacak?
Doğruluk tablosundaki satır sayısı 4 olmalıdır.
Ya 3 değişken varsa?
Satır sayısı = 2³ = 8
Sağ. Sonra ne yapıyoruz?
Sütun sayısını = boolean değişken sayısı artı boolean işlem sayısı olarak tanımlarız.
Bizim durumumuzda ne kadar olacak?
Bizim durumumuzda değişken sayısı iki, mantıksal işlem sayısı beş yani doğruluk tablosundaki sütun sayısı yedidir.
İyi. Daha öte?
Belirtilen sayıda satır ve sütun içeren bir tablo oluşturuyoruz, sütunları belirliyoruz ve ilk mantıksal değişkenlerin olası değer kümelerini tabloya giriyoruz ve doğruluk tablosunu sütunlara göre dolduruyoruz.
Önce hangi işlemi yapacağız? Sadece parantezlere ve önceliğe dikkat edin
Önce mantıksal bir olumsuzlama yapabilir veya önce ilk parantezdeki değeri, sonra tersini ve ikinci parantezdeki değeri, sonra bu parantezler arasındaki değeri bulabilirsiniz.

Artık mantıksal değişkenlerin herhangi bir değer kümesi için mantıksal bir işlevin değerini belirleyebiliriz.
Şimdi “Eşdeğer mantıksal ifadeler” öğesini yazıyoruz.
Doğruluk tablolarının son sütunları aynı olan mantıksal ifadelere ne ad verilir? eş değer. Eşdeğer mantıksal ifadeleri belirtmek için “=” işareti kullanılır,
┐ A& ┐B ve AvB mantıksal ifadelerinin eşdeğer olduğunu kanıtlayalım. Önce mantıksal ifadenin doğruluk tablosunu oluşturalım.

Tabloda kaç sütun olacak? 5
Önce hangi işlemi yapacağız? Ters çevirme A, ters çevirme B

Şimdi AvB mantıksal ifadesinin doğruluk tablosunu oluşturalım.
Tabloda kaç satır olacak? 4
Tabloda kaç sütun olacak? 4

İfadenin tamamı için bir olumsuzlama bulmanız gerekiyorsa, bizim durumumuzda önceliğin ayrılmaya ait olduğunu hepimiz anlıyoruz. Bu nedenle, önce ayrışma ve sonra ters çevirme yaparız. Ek olarak, AvB mantıksal ifademizi yeniden yazabiliriz. Çünkü bireysel değişkenleri değil, tüm ifadenin olumsuzlamasını bulmamız gerekir, o zaman ters çevirme köşeli parantezlerden ┐(AvB) çıkarılabilir ve önce değeri parantez içinde bulduğumuzu biliyoruz.

Oluşturulan tablolar. Şimdi doğruluk tablolarının son sütunlarındaki değerleri karşılaştıralım çünkü sonuç olan son sütunlardır. Çakışırlar, bu nedenle mantıksal ifadeler eşdeğerdir ve aralarına “=” işareti koyabiliriz.

Problem çözme

1.

Bu formül kaç tane değişken içeriyor? 3
Tabloda kaç satır ve sütun olacak? 8 ve 8
Örneğimizdeki işlem sırası nasıl olacak? (ters çevirme, parantez içi işlemler, parantez içi işlemler)

2. Aşağıdaki mantıksal ifadelerin denkliğini doğruluk tablolarının yardımıyla kanıtlayın:

(A → B) VE (Av┐B)

Ne sonuca varıyoruz? Bu mantıksal ifadeler eşdeğer değildir

Ev ödevi

Mantıksal ifadelerin doğruluk tablolarını kullanarak kanıtlayın.

┐A v ┐B ve A&B eşdeğerdir

Yeni malzemenin açıklaması (devamı)

Arka arkaya birkaç ders için “doğruluk tablosu” kavramını kullanıyoruz ve doğruluk tablosu nedir, Nasıl düşünüyorsun?
Bir doğruluk tablosu, mantıksal değişkenlerin olası değer kümeleri ile fonksiyonların değerleri arasında bir yazışma oluşturan bir tablodur.
Ödevini nasıl yaptın, sonucun ne oldu?
ifadeler eşdeğerdir
Unutmayın, önceki derste, 2 * 2 \u003d 4 ve 2 * 2 \u003d 5 basit ifadelerini A ve B değişkenleriyle değiştirerek bileşik bir ifadeden bir formül oluşturduk.
Şimdi ifadelerden mantıksal ifadeler yapmayı öğrenelim

görevi yaz

İfadenin mantıksal formülü şeklinde yazın:

1) Ivanov sağlıklı ve zenginse sağlıklıdır.

Açıklamayı inceleyelim. Basit cümleler bulma

A - Ivanov sağlıklı
B - İvanov zengin

Tamam, o zaman formül neye benzerdi? Sadece unutmayın, ifadenin anlamı kaybolmaz, formüle parantez koyun

2) Bir sayı sadece 1'e ve kendisine bölünebiliyorsa asaldır.

Bir sayı sadece 1'e bölünebilir
B - sayı yalnızca kendisine bölünebilir
C - sayı asaldır

3) Bir sayı 4'e bölünüyorsa 2'ye de tam bölünür.

A 4'e bölünebilir
B 2 ile bölünebilir

4) Rastgele bir sayı ya 2'ye bölünebilir ya da 3'e bölünebilir

A 2 ile bölünebilir
B 3'e bölünebilir

5) Bir sporcu, rakibe veya hakeme karşı yanlış davranırsa ve “doping” almışsa diskalifiye edilir.

A - sporcu diskalifiye edilir
B - rakibe göre yanlış davranır
C - hakeme karşı yanlış davranır
D - "doping" aldı.

Problem çözme

1. Bir formül için doğruluk tablosu oluşturun

((p&q)→ (p→ r)) v p

Tabloda kaç satır ve sütun olacağını açıklayınız? (8 ve 7) İşlem sırası nasıl olacak ve neden?

Son sütuna baktık ve herhangi bir girdi parametresi grubu için formülün gerçek bir değer aldığı sonucuna vardık, böyle bir formüle totoloji denir. Tanımı yazalım:

Bir formül, bu formülde yer alan değişkenlerin herhangi bir değer kümesi için "doğru" aynı değeri alırsa, mantık yasası veya totoloji olarak adlandırılır.
Ve tüm değerler yanlışsa, sizce böyle bir formül hakkında ne söylenebilir?
Formülün imkansız olduğunu söyleyebiliriz.

2. İfadenin mantıksal formülü şeklinde yazın:

Liman İdaresi aşağıdaki emri vermiştir:

1. Gemi kaptanı özel talimat alırsa gemisiyle limanı terk etmelidir.
2. Kaptan özel bir talimat almazsa, limanı terk etmemelidir, aksi takdirde o limana kabul edilmeyecektir.
3. Kaptanın bu bağlantı noktasına erişimi reddedilir veya özel talimatlar almaz.

Basit ifadeleri belirliyoruz, formüller oluşturuyoruz

• A - kaptan özel bir talimat alır
• B - limandan ayrılır
• C - bağlantı noktasına erişimi kaybeder

1. ┐А→(┐В v С)
2. C v ┐A

3. “(2*2=4 ve 3*3 = 9) veya (2*2≠4 ve 3*3≠9)” bileşik önermesini mantıksal bir ifade şeklinde yazınız. Bir doğruluk tablosu oluşturun.

A=(2*2=4) B=(3*3=9)

(A&B) v (┐A&┐B)

Ev ödevi

Değil (A değil ve (B ve C) değil) ile aynı doğruluk tablosuna sahip bir bileşik önerme seçin.

1. A&B veya C&A;
2. (A veya B) ve (A veya C);
3. A ve (B veya C);
4. A veya (B veya C değil).