Enterpolasyon kuralı formülü. Lineer enterpolasyon ile bir ara değerin belirlenmesi

İnterpolasyon, interpolasyon (itibaren lat. interpolis - « düzeltildi, yenilendi, yenilendi; dönüştürülmüş"") - hesaplama matematiğinde, mevcut bir ayrık bilinen değerler kümesinden bir niceliğin ara değerlerini bulma yöntemi. "İnterpolasyon" terimi ilk olarak John Vallis tarafından The Aritmetic of the Infinite (1656) adlı incelemesinde kullanılmıştır.

Fonksiyonel analizde, lineer operatörlerin interpolasyonu, Banach uzaylarını belirli bir kategorinin elemanları olarak kabul eden bir bölümdür.

Bilimsel ve mühendislik hesaplamalarıyla uğraşanların çoğu, genellikle ampirik olarak veya rastgele örnekleme yoluyla elde edilen değer kümeleriyle çalışmak zorundadır. Kural olarak, bu kümeler temelinde, elde edilen diğer değerlerin yüksek doğrulukla düşebileceği bir fonksiyon oluşturmak gerekir. Böyle bir göreve yaklaşım denir. İnterpolasyon, oluşturulan fonksiyonun eğrisinin tam olarak mevcut veri noktalarından geçtiği bir yaklaşım türüdür.

Enterpolasyona yakın bir problem de vardır, bu problem bazı karmaşık fonksiyonlara daha basit başka bir fonksiyonla yaklaşmayı içerir. Belirli bir işlev üretken hesaplamalar için çok karmaşıksa, değerini birkaç noktada hesaplamayı deneyebilir ve bunlardan daha basit bir işlev oluşturabilirsiniz. Elbette, basitleştirilmiş bir işlev kullanmak, orijinal işlevin vereceği kesin sonuçları almanıza izin vermez. Ancak bazı problem sınıflarında, hesaplamaların basitliği ve hızındaki kazanç, sonuçlarda ortaya çıkan hatadan daha ağır basabilir.

"Operatör enterpolasyonu" olarak bilinen tamamen farklı bir matematiksel enterpolasyondan da bahsetmeliyiz. Operatör enterpolasyonu üzerine klasik çalışmalar, diğer birçok çalışmanın temeli olan Riesz-Thorin teoremi ve Marcinkiewicz teoremini içerir.

Tanımlar

Bir D () alanından x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) çakışmayan noktalardan oluşan bir sistem düşünün. \görüntü stili D) . f (\displaystyle f) fonksiyonunun değerleri sadece şu noktalarda bilinsin:

Y ben = f (x ben) , ben = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Enterpolasyon sorunu, belirli bir işlev sınıfından bir F (\displaystyle F) işlevi bulmaktır, öyle ki

F (x ben) = y ben , ben = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• x i (\displaystyle x_(i)) noktalarına denir enterpolasyon düğümleri ve bunların toplamı enterpolasyon ızgarası.
• (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) çiftleri çağrılır Veri noktaları veya taban puanları.
• "Bitişik" değerler arasındaki fark Δ x ben = x ben − x ben − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - enterpolasyon ızgara adımı. Hem değişken hem de sabit olabilir.
• F (x) işlevi (\displaystyle F(x)) - enterpolasyon işlevi veya interpolant.

Örnek

1. Diyelim ki aşağıdaki gibi bir tablo fonksiyonumuz var, x'in birden fazla değeri (\displaystyle x) için karşılık gelen f (\displaystyle f) değerlerini belirler:

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

İnterpolasyon, böyle bir fonksiyonun belirtilen noktalardan farklı bir noktada hangi değere sahip olabileceğini bilmemize yardımcı olur (örneğin, X = 2,5).

Bugüne kadar, birçok farklı enterpolasyon yöntemi vardır. En uygun algoritmanın seçimi, seçilen yöntemin ne kadar doğru olduğu, kullanım maliyetinin ne kadar olduğu, interpolasyon fonksiyonunun ne kadar sorunsuz olduğu, kaç veri noktası gerektirdiği vb. soruların cevaplarına bağlıdır.

2. Bir ara değer bulun (doğrusal enterpolasyonla).

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19,2-) 15.5)(1)=16.1993)

programlama dillerinde

y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) işlevi için bir doğrusal enterpolasyon örneği. Kullanıcı 1 ile 10 arasında bir sayı girebilir.

Fortran

C++

enterpolasyon yöntemleri

En yakın komşu enterpolasyonu

En basit enterpolasyon yöntemi en yakın komşu enterpolasyonudur.

polinomlarla enterpolasyon

Uygulamada, polinomlarla enterpolasyon en sık kullanılır. Bunun başlıca nedeni, polinomların hesaplanmasının kolay olması, türevlerini analitik olarak bulmanın kolay olması ve polinomlar kümesinin sürekli fonksiyonlar uzayında yoğun olmasıdır (Weierstrass teoremi).

• Doğrusal enterpolasyon
• Newton'un enterpolasyon formülü
• sonlu fark yöntemi
• IMN-1 ve IMN-2
• Lagrange polinomu (interpolasyon polinomu)
• Aitken'in planı
• spline işlevi
• kübik spline

Ters enterpolasyon (y verilen x hesaplama)

• Lagrange polinomu
• Newton formülü ile ters enterpolasyon
• Ters Gauss İnterpolasyonu

Çok Değişkenli Fonksiyon İnterpolasyonu

• Çift Doğrusal Enterpolasyon
• Bikübik enterpolasyon

Diğer enterpolasyon yöntemleri

• Rasyonel Enterpolasyon
• Trigonometrik enterpolasyon

Ilgili kavramlar

• Ekstrapolasyon - belirli bir aralığın dışındaki noktaları bulma yöntemleri (eğri uzantısı)
• Yaklaşım - yaklaşık eğriler oluşturma yöntemleri

ters enterpolasyon

grafikleri dizinin (xi, yi) noktalarından geçen C2 uzayındaki fonksiyonların sınıfında, i = 0, 1, . . . , M.

Çözüm. Referans noktalarından (xi, f(xi)) geçen ve bahsedilen uzaya ait olan tüm fonksiyonlar arasında, S00(a) = S00(b) = 0 sınır koşullarını sağlayan S(x) kübik spline'dır. bu, ekstremum (minimum) işlevsel I(f)'yi sağlar.

Genellikle pratikte, argümanın değerinin işlevinin verilen değerini arama sorunu vardır. Bu problem ters enterpolasyon yöntemleri ile çözülmektedir. Verilen işlev tekdüzeyse, ters enterpolasyonu gerçekleştirmenin en kolay yolu, işlevi bir bağımsız değişkenle değiştirmek ve bunun tersini yapmak ve ardından enterpolasyon yapmaktır. Verilen fonksiyon monoton değilse, bu teknik kullanılamaz. Ardından, işlevin ve bağımsız değişkenin rollerini değiştirmeden, şu veya bu enterpolasyon formülünü yazıyoruz; argümanın bilinen değerlerini kullanarak ve fonksiyonun bilindiğini varsayarak, ortaya çıkan denklemi argümana göre çözeriz.

İlk yöntemi kullanırken kalan terimin tahmini, doğrudan enterpolasyonla aynı olacaktır, yalnızca doğrudan fonksiyonun türevleri, ters fonksiyonun türevleri ile değiştirilmelidir. İkinci yöntemin hatasını tahmin edelim. Bize bir f(x) ve Ln(x) fonksiyonu verilirse, bu fonksiyon için x0, x1, x2, düğümleri üzerinden oluşturulan Lagrange interpolasyon polinomudur. . . , xn, sonra

f (x) - Ln (x) =(n + 1)! (x - x0) . . . (x - xn) .

Diyelim ki f (¯x) = y¯ (y¯ veriliyor) olacak şekilde bir x¯ değeri bulmamız gerekiyor. Ln (x) = y¯ denklemini çözeceğiz. Bir x¯ değeri bulalım. Önceki denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

son ifadeden aşağıdaki gibidir:

|x¯ - x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

Bu durumda elbette Ln(x)=y¯ denklemini tam olarak çözdüğümüz varsayılmaktadır.

Tablolama için enterpolasyon kullanma

Enterpolasyon teorisi, fonksiyon tablolarının derlenmesinde uygulamalara sahiptir. Böyle bir problemle karşılaşan matematikçi, hesaplamalara başlamadan önce bir takım soruları çözmelidir. Hesaplamaların yapılacağı formül seçilmelidir. Bu formül siteden siteye değişiklik gösterebilir. Genellikle, fonksiyon değerlerini hesaplamak için formüller kullanışsızdır ve bu nedenle bazı referans değerleri elde etmek için kullanılırlar ve ardından alt tablolama yoluyla tabloyu kalınlaştırırlar. Fonksiyonun referans değerlerini veren formül, aşağıdaki alt tablo dikkate alınarak tabloların gerekli doğruluğunu sağlamalıdır. Tabloları sabit bir adımla derlemek istiyorsanız, önce adımını belirlemeniz gerekir.

Geri İlk Önceki Sonraki Son Atlama İndeks

Çoğu zaman, fonksiyon tabloları, doğrusal enterpolasyon (yani, Taylor formülünün ilk iki terimi kullanılarak enterpolasyon) mümkün olacak şekilde derlenir. Bu durumda, kalan terim şöyle görünecektir:

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Burada ξ, x'in bulunduğu bağımsız değişkenin iki bitişik tablo değeri arasındaki aralığa aittir ve t, 0 ile 1 arasındadır. t(t − 1) ürünü en büyük moduloyu alır

t = 12'deki değer. Bu değer 14'e eşittir. Bu yüzden,

Unutulmamalıdır ki, bu hatanın yanında - yöntem hatası, ara değerlerin pratik hesaplanmasında yine de kurtarılamaz bir hata ve yuvarlama hatası olacaktır. Daha önce gördüğümüz gibi, doğrusal enterpolasyondaki ölümcül hata, işlevin tablolaştırılmış değerlerinin hatasına eşit olacaktır. Yuvarlama hatası, hesaplama araçlarına ve hesaplama programına bağlı olacaktır.

Geri İlk Önceki Sonraki Son Atlama İndeks

konu dizini

ikinci mertebeden bölünmüş farklar, birinci mertebeden 8, 8

eğri, 15

enterpolasyon düğümleri, 4

Geri İlk Önceki Sonraki Son Atlama İndeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Enterpolasyon nasıl yapılır?

Tablo verilerini enterpolasyon için formül

2. eylemde, koşuldan NXR miktarı (Q, t) olduğunda kullanılır. arasında orta düzeydedir 100 ton ve 300 ton.

(İstisna: koşula göre Q 100 veya 300'e eşitse enterpolasyon gerekmez).

y Ö- Koşuldaki ilk NHR miktarınız, ton cinsinden

(Q harfine karşılık gelir)

y 1 – daha az

(Tablo 11-16'dan, genellikle 100).

y 2 – Daha ton cinsinden NCR miktarının değerinize en yakın

(Tablo 11-16'dan, genellikle 300).

X 1 y 1 (X 1 karşısında bulunan y 1 ), km.

X 2 - sırasıyla bir kirli hava bulutunun (G t) yayılma derinliğinin tablo değeri y 2 (X 2 karşısında bulunan y 2 ), km.

X 0 - istenen değer G T karşılık gelen y Ö(formüle göre).

Örnek.

NCR - klor; S = 120 t;

SVSP tipi (dikey hava direnci derecesi) - ters çevirme.

Bulmak G T- kirli hava bulutunun yayılma derinliğinin tablo değeri.

Tablo 11-16'ya bakar ve durumunuza (klor, inversiyon) uyan verileri buluruz.

Uygun tablo 11.

değerleri seçmek y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Önemli - rüzgar hızını 1 m / s alıyoruz, sıcaklığı - 20 ° C alıyoruz.

Formülde seçilen değerleri değiştirin ve bulun X 0 .

Önemli - eğer hesaplama doğru ise X 0 arasında bir değere sahip olacaktır. X 1 , X 2 .

1.4. Lagrange interpolasyon formülü

Enterpolasyon oluşturmak için Lagrange tarafından önerilen algoritma

tablolara (1) göre fonksiyonlar, enterpolasyon polinomu Ln(x)'in şu şekilde oluşturulmasını sağlar:

Açıkçası, (10) için koşulların (11) karşılanması enterpolasyon probleminin ifadesinin koşullarının (2) karşılanmasını belirler.

li(x) polinomları aşağıdaki gibi yazılır

Formül (14)'ün paydasındaki tek bir faktörün sıfıra eşit olmadığına dikkat edin. Ci sabitlerinin değerlerini hesapladıktan sonra, bunları verilen noktalarda enterpolasyonlu fonksiyonun değerlerini hesaplamak için kullanabilirsiniz.

Lagrange interpolasyon polinom formülü (11), formüller (13) ve (14) dikkate alınarak şu şekilde yazılabilir:

1.4.1.Lagrange formülüne göre manuel hesaplamaların organizasyonu

Lagrange formülünün doğrudan uygulanması, aynı türden çok sayıda hesaplamaya yol açar. Küçük boyutlu tablolar için bu hesaplamalar hem manuel olarak hem de yazılım ortamında yapılabilir.

İlk aşamada, manuel olarak yapılan hesaplamaların algoritmasını ele alıyoruz. Gelecekte, aynı hesaplamalar ortamda tekrarlanmalıdır.

Microsoft Excel veya OpenOffice.org Calc.

Şek. Şekil 6, dört düğüm tarafından tanımlanan enterpolasyonlu bir fonksiyonun kaynak tablosunun bir örneğini göstermektedir.

Şekil 6. Enterpolasyonlu işlevin dört düğümü için ilk verileri içeren tablo

Tablonun üçüncü sütununda, formüller (14) ile hesaplanan qi katsayılarının değerlerini yazıyoruz. Aşağıda n=3 için bu formüllerin bir kaydı bulunmaktadır.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Manuel hesaplamaların uygulanmasındaki bir sonraki adım, formüller (13) tarafından gerçekleştirilen li(x) (j=0,1,2,3) değerlerinin hesaplanmasıdır.

Düşündüğümüz tablonun dört düğümlü versiyonu için şu formülleri yazalım:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

li(xj) (j=0,1,2,3) polinomlarının değerlerini hesaplayalım ve tablonun hücrelerine yazalım. Formül (11)'e göre Ycalc(x) fonksiyonunun değerleri, li(xj) değerlerinin satırlar halinde toplanması sonucunda elde edilecektir.

Hesaplanan li(xj) değerlerinin sütunlarını ve Ycalc(x) değerlerinin bir sütununu içeren tablonun formatı Şekil 8'de gösterilmektedir.

Pirinç. 8. xi bağımsız değişkeninin tüm değerleri için formüller (16), (17) ve (11) ile yapılan manuel hesaplamaların sonuçlarını içeren tablo

Şekil l'de gösterilen tablonun oluşumunu tamamladıktan sonra. 8, formüller (17) ve (11) ile, X argümanının herhangi bir değeri için enterpolasyonlu fonksiyonun değerini hesaplamak mümkündür. Örneğin, X=1 için li(1) (i=) değerlerini hesaplıyoruz. 0,1,2,3):

10(1)=0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966.

li(1) değerlerini toplayarak Yinterp(1)=3.1463 değerini elde ederiz.

1.4.2. Microsoft Excel programı ortamında Lagrange formülleri ile enterpolasyon algoritmasının uygulanması

Enterpolasyon algoritmasının uygulanması, manuel hesaplamalarda olduğu gibi, qi katsayılarını hesaplamak için formüller yazarak başlar. 9, argümanın verilen değerleri, enterpolasyonlu fonksiyon ve qi katsayıları ile tablonun sütunlarını gösterir. Bu tablonun sağında, qi katsayılarının değerlerini hesaplamak için C sütununun hücrelerine yazılan formüller bulunur.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Pirinç. 9 qi katsayıları tablosu ve hesaplama formülleri

C2 hücresine q0 formülünü girdikten sonra, C3'ten C5'e hücrelerden çekilir. Bundan sonra, bu hücrelerdeki formüller (16)'ya göre Şekil 1'de gösterilen forma göre düzeltilir. 9.

Formülleri (17) uygulayarak, D, E, F ve G sütunlarının hücrelerinde li(x) (i=0,1,2,3) değerlerini hesaplamak için formüller yazıyoruz. Değeri hesaplamak için D2 hücresinde l0(x0), formülü yazıyoruz:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

l0(xi)(i=0,1,2,3) değerlerini elde ederiz.

$A2 bağlantı biçimi, li(x0) (i=1,2,3) hesaplamak için hesaplama formülleri oluşturmak üzere formülü E, F, G sütunları boyunca genişletmenize olanak tanır. Bir formülü bir satırın üzerine sürüklemek bağımsız değişkenlerin sütun dizinini değiştirmez. l0(x0) formülünü çizdikten sonra li(x0) (i=1,2,3) hesaplamak için bunları (17) formüllerine göre düzeltmek gerekir.

H sütununda, formüle göre li(x)'i toplamak için Excel formüllerini koyduk.

(11) algoritması.

Şek. Şekil 10, Microsoft Excel program ortamında uygulanan bir tabloyu göstermektedir. Tablonun hücrelerine yazılan formüllerin ve gerçekleştirilen hesaplama işlemlerinin doğruluğunun bir işareti, ortaya çıkan köşegen matris li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), Şekil l'de gösterilen sonuçların tekrarlanması. 8 ve orijinal tablonun düğümlerindeki enterpolasyonlu fonksiyonun değerleriyle eşleşen bir değer sütunu.

Pirinç. 10. li(xj) (j=0,1,2,3) ve Ycalc(xj) değerleri tablosu

Bazı ara noktalardaki değerleri hesaplamak için yeterlidir

A sütununun hücrelerinde, A6 hücresinden başlayarak, enterpolasyonlu işlevin değerlerini belirlemek istediğiniz X bağımsız değişkeninin değerlerini girin. Vurgulamak

hücre tablosunun son (5.) satırında l0(xn)'den Ycalc(xn)'e kadar ve seçilen hücrelerde yazılan formülleri son satırı içeren satıra uzatın

x bağımsız değişkeninin verilen değeri.

Şek. Şekil 11, fonksiyonun değerinin üç noktada hesaplandığı bir tabloyu göstermektedir: x=1, x=2 ve x=3. Tabloya, kaynak veri tablosunun satır numaralarını içeren ek bir sütun eklenmiştir.

Pirinç. 11. Lagrange formüllerini kullanarak enterpolasyonlu fonksiyonların değerlerinin hesaplanması

Enterpolasyon sonuçlarının daha net görüntülenmesi için, artan sırada sıralanan X bağımsız değişkeninin değerlerinin bir sütununu, Y(X) işlevinin ilk değerlerinin bir sütununu ve bir sütunu içeren bir tablo oluşturacağız.

Bana enterpolasyon formülünü nasıl kullanacağımı ve termodinamikteki (ısı mühendisliği) problemlerin çözümünde hangisinin kullanılacağını söyle

Ivan Shestakovich

En basit, ancak genellikle yeterince doğru olmayan enterpolasyon doğrusaldır. Halihazırda bilinen iki noktanız (X1 Y1) ve (X2 Y2) olduğunda ve X1 ile X2 arasında kalan bazı X'lerin günün Y değerlerini bulmanız gerekir. O zaman formül basit.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Bu arada bu formül X1..X2 aralığı dışındaki X değerleri için de işe yarıyor ama buna zaten ekstropolasyon deniyor ve bu aralıktan önemli bir mesafede çok büyük hata veriyor.
Başka birçok paspas var. enterpolasyon yöntemleri - Ders kitabını okumanızı veya internette araştırma yapmanızı tavsiye ederim.
Grafik enterpolasyon yöntemi de göz ardı edilmez - bilinen noktalardan manuel olarak bir grafik çizin ve gerekli X için grafikten Y'yi bulun. ;)

Roman

Senin iki anlamın var. Ve yaklaşık olarak bağımlılık (doğrusal, ikinci dereceden, ..)
Bu fonksiyonun grafiği iki noktanızdan geçer. Arada bir değere ihtiyacınız var. Peki, ifade et!
Örneğin. Tabloda, 22 derece sıcaklıkta doymuş buhar basıncı 120.000 Pa ve 26.124.000 Pa'dır. Daha sonra 23 derece 121000 Pa sıcaklıkta.

Enterpolasyon (koordinatlar)

Haritada bir koordinat ızgarası var (resim).
İki x,y değerine sahip iyi bilinen bazı kontrol noktalarına (n>3) sahiptir - piksel cinsinden koordinatlar ve metre cinsinden koordinatlar.
Piksel cinsinden koordinatları bilerek, koordinatların ara değerlerini metre cinsinden bulmak gerekir.
Doğrusal enterpolasyon uygun değil - çizgi dışında çok fazla hata var.
Bunun gibi: (Xc - x ile metre cinsinden koordinat, Xp - x ile piksel cinsinden koordinat, Xc3 - x ile istenen değer)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Ec1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

İki (buradaki gibi) değil, bilinen N referans noktası verildiğinde, Xc ve Yc'yi bulmak için aynı formülü nasıl bulabilirim?

Joka eğrelti otu

Yazılı formüllere bakılırsa, koordinat sistemlerinin piksel ve metre cinsinden eksenleri çakışıyor mu?
Yani, Xp -> Xc bağımsız enterpolasyonludur ve Yp -> Yc bağımsız enterpolasyonludur. Değilse, görevi biraz karmaşıklaştıran iki boyutlu enterpolasyon Xp,Yp->Xc ve Xp,Yp->Yc kullanmanız gerekir.
Ayrıca, Xp ve Xc koordinatlarının bazı bağımlılıklarla ilişkili olduğu varsayılır.
Bağımlılığın doğası biliniyorsa (veya örneğin Xc=a*Xp^2+b*Xp+c olduğunu varsayarsak), o zaman bu bağımlılığın parametrelerini elde etmek mümkündür (verilen için bağımlılık a, b, c) regresyon analizi kullanılarak (Metot en küçük kareler). Bu yöntemde, belirli bir Xc(Xp) bağımlılığı belirtirseniz, referans verilere bağımlılığın parametreleri için bir formül elde edebilirsiniz. Bu yöntem, özellikle belirli bir veri kümesine en uygun doğrusal ilişkiyi bulmaya izin verir.
Dezavantajı: Bu yöntemde Xp kontrol noktalarının verilerinden elde edilen Xc koordinatları verilenlerden farklı olabilir. Örneğin, deneysel noktalardan çizilen yaklaşım düz çizgisi, bu noktalardan tam olarak geçmez.
Tam bir eşleşme gerekliyse ve bağımlılığın doğası bilinmiyorsa enterpolasyon yöntemleri kullanılmalıdır. Matematiksel olarak en basiti, tam olarak referans noktalarından geçen Lagrange interpolasyon polinomudur. Bununla birlikte, çok sayıda kontrol noktasına sahip bu polinomun yüksek derecesi ve düşük enterpolasyon kalitesi nedeniyle, kullanılmaması daha iyidir. Avantaj, nispeten basit formüldür.
Spline enterpolasyonunu kullanmak daha iyidir. Bu yöntemin özü, iki komşu nokta arasındaki her bölümde, incelenen bağımlılığın bir polinomla interpole edilmesi ve düzgünlük koşullarının iki aralığın birleşim noktalarında yazılmasıdır. Bu yöntemin avantajı enterpolasyonun kalitesidir. Dezavantajlar - genel bir formül türetmek neredeyse imkansızdır, her bölümdeki polinomun katsayılarını algoritmik olarak bulmanız gerekir. Diğer bir dezavantaj, 2B enterpolasyona genelleştirmenin zorluğudur.

Bu Bill Jelen'in kitabından bir bölüm.

Zorluk: Bazı mühendislik tasarım problemleri, parametre değerlerinin hesaplanması için tabloların kullanılmasını gerektirir. Tablolar ayrı olduğundan, tasarımcı bir ara parametre değeri elde etmek için doğrusal enterpolasyon kullanır. Tablo (Şekil 1), yerden yüksekliği (kontrol parametresi) ve rüzgar hızını (hesaplanan parametre) içerir. Örneğin 47 metre yüksekliğe karşılık gelen rüzgar hızını bulmanız gerekiyorsa 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s formülünü uygulamanız gerekir.

Notu veya formatında indirin, formatta örnekler

Ya iki kontrol parametresi varsa? Tek formül ile hesaplama yapılabilir mi? Tablo (Şekil 2), çeşitli yükseklik ve yapı açıklıkları için rüzgar basıncının değerlerini göstermektedir. 25 metre yükseklikte ve 300 metre açıklıkta rüzgar basıncının hesaplanması gerekmektedir.

Çözüm: Tek kontrol parametreli durum için kullanılan yöntemi genişleterek sorunu çözüyoruz. Aşağıdakileri yapın.

Şek. 2. Yükseklik ve açıklık için kaynak hücreleri sırasıyla J1 ve J2'ye ekleyin (Şekil 3).

Pirinç. 3. J3:J17 hücrelerindeki formüller, mega formülün nasıl çalıştığını açıklar.

Formülleri kullanmanın rahatlığı için adları tanımlayın (Şek. 4).

Sırayla J3 hücresinden J17 hücresine hareket eden formülün çalışmasını izleyin.

Ters sıralı ikame ile mega formülü bir araya getirin. Formül metnini J17 hücresinden J19'a kopyalayın. Formüldeki J15 başvurusunu J15 hücresindeki değerle değiştirin: J7+(J8-J7)*J11/J13. Ve benzeri. Sonuç, bu formda algılanamayan 984 karakterden oluşan bir formül olacaktır. Ekteki excel dosyasında görebilirsiniz. Bu tür mega formüllerin yararlı olup olmadığından emin değilim.

Özet: Doğrusal enterpolasyon, yalnızca aralık sınırları için tablo değerleri veriliyorsa, bir parametrenin ara değerini elde etmek için kullanılır; iki kontrol parametresine dayalı bir hesaplama yöntemi önerilmiştir.

Bilinen değerler dizisinde ara sonuçlar bulmanız gereken bir durum vardır. Matematikte buna enterpolasyon denir. Excel'de, bu yöntem hem tablo verileri hem de grafik çizmek için kullanılabilir. Bu yöntemlerin her birine bir göz atalım.

Enterpolasyonun uygulanabilmesi için temel koşul, istenen değerin veri dizisi içinde olması ve sınırını aşmamasıdır. Örneğin, 15, 21 ve 29 numaralı bağımsız değişkenlerimiz varsa, 25 numaralı bağımsız değişken için bir işlev bulurken enterpolasyonu kullanabiliriz. Ve 30 argümanına karşılık gelen değeri bulmak artık mümkün değil. Bu prosedür ile ekstrapolasyon arasındaki temel fark budur.

Yöntem 1: Tablo verileri için enterpolasyon

Her şeyden önce, bir tabloda yer alan veriler için enterpolasyon kullanmayı düşünün. Örneğin, oranları lineer bir denklemle tanımlanabilecek bir argüman dizisini ve bunlara karşılık gelen fonksiyon değerlerini ele alalım. Bu veriler aşağıdaki tabloya yerleştirilmiştir. Argüman için karşılık gelen işlevi bulmamız gerekiyor. 28 . Bunu yapmanın en kolay yolu operatör ile TAHMİN ETMEK.

Yöntem 2: ayarlarını kullanarak bir grafiği enterpolasyon

Enterpolasyon prosedürü, bir fonksiyon çizilirken de kullanılabilir. Aşağıdaki resimde olduğu gibi, grafiğin dayandığı tablonun bağımsız değişkenlerden biri için karşılık gelen işlev değerini belirtmemesi önemlidir.

Gördüğünüz gibi, grafik düzeltildi ve enterpolasyon kullanılarak boşluk kaldırıldı.

Yöntem 3: Bir işlevle grafik enterpolasyonu

Özel ND işlevini kullanarak grafiğin enterpolasyonunu da yapabilirsiniz. Belirtilen hücrede boş değerler döndürür.

Koşmadan daha da kolaylaştırabilirsin İşlev Sihirbazı, ancak boş bir hücreye bir değer sürmek için sadece klavyeyi kullanın "#YOK" tırnak işareti olmadan. Ancak bu, hangi kullanıcı için nasıl daha uygun olduğuna bağlı.

Gördüğünüz gibi, Excel programında, işlevi kullanarak tablo verileri gibi enterpolasyon yapabilirsiniz. TAHMİN ETMEK grafiklerin yanı sıra. İkinci durumda, bu, grafik ayarları kullanılarak veya işlev kullanılarak yapılabilir. ND, bir hataya neden oluyor "#YOK". Hangi yöntemin kullanılacağı, kullanıcının kişisel tercihlerinin yanı sıra sorun bildirimine de bağlıdır.

Bilinen alan dışındaki bir fonksiyonun değerlendirilmesinin sonuçlarının bilinmesinin gerekli olduğu durumlar vardır. Bu konu özellikle tahmin prosedürü ile ilgilidir. Excel'in bunu yapmanın birkaç yolu vardır. Onlara belirli örneklerle bakalım.

Yöntem 2: grafik için ekstrapolasyon

Bir trend çizgisi çizerek bir grafik için ekstrapolasyon prosedürünü gerçekleştirebilirsiniz.

1. Her şeyden önce, grafiğin kendisini oluşturuyoruz. Bunu yapmak için, farenin sol düğmesini basılı tutarken imleç ile, işlevin bağımsız değişkenleri ve karşılık gelen değerleri dahil olmak üzere tablonun tüm alanını seçin. Ardından, sekmeye geçmek "Sokmak", düğmesine tıklayın "Takvim". Bu simge blokta bulunur "Diyagramlar" araç çubuğunda. Kullanılabilir grafik seçeneklerinin bir listesi görünür. Kendi takdirimize bağlı olarak bunlardan en uygun olanı seçiyoruz.



2. Grafik oluşturulduktan sonra, argümanın ek satırını seçip düğmesine tıklayarak ondan kaldırın. Silmek bir bilgisayar klavyesinde.



3. Daha sonra, ihtiyacımız olduğu gibi argümanların değerlerini göstermediği için yatay ölçeğin bölümlerini değiştirmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için diyagrama sağ tıklayın ve beliren listede değerde durun "Veri seç".



4. Açılan veri kaynağı seçim penceresinde düğmesine tıklayın "Değiştirmek" yatay eksenin etiketini düzenlemek için blokta.



5. Eksen etiketi ayar penceresi açılır. İmleci bu pencerenin alanına getiriyoruz ve ardından sütundaki tüm verileri seçiyoruz. "X" onun adı olmadan Ardından düğmeye tıklayın TAMAM.



6. Veri kaynağı seçim penceresine döndükten sonra aynı işlemi tekrarlayın, yani düğmesine tıklayın. TAMAM.



7. Şimdi grafiğimiz hazırlandı ve doğrudan bir trend çizgisi oluşturmaya başlayabilirsiniz. Grafiğe tıklıyoruz, ardından şeritte ek bir dizi sekme etkinleştiriliyor - "Grafiklerle çalışma". Sekmeye taşınıyor "Düzen" ve düğmeye tıklayın "Trend Çizgisi" blokta "Analiz". bir öğeye tıklayın "Doğrusal yaklaşım" veya "Üstel Yaklaşım".



8. Trend çizgisi eklenir, ancak çabalaması gereken argümanın değerini belirtmediğimiz için grafiğin çizgisinin tamamen altındadır. Bunu yapmak için, tekrar düğmesine tıklayın "Trend Çizgisi", ancak şimdi öğeyi seçin "Gelişmiş Eğilim Çizgisi Seçenekleri".



9. Trendline Format penceresi açılır. Bölümde "Trend Çizgisi Seçenekleri" ayar bloğu var "Tahmin etmek". Önceki yöntemde olduğu gibi, ekstrapolasyon için argümanı ele alalım. 55 . Gördüğünüz gibi, şimdiye kadar grafiğin uzunluğu argümana kadar 50 dahil. Bir başkası için uzatmamız gerekeceği ortaya çıktı. 5 birimler. Yatay eksende 5 birimin bir bölmeye eşit olduğunu görebilirsiniz. Yani bu bir dönem. sahada "İleri" değeri girin "1". butona tıklayın "Kapalı" pencerenin sağ alt köşesinde.



10. Gördüğünüz gibi grafik, trend çizgisi kullanılarak belirtilen uzunlukta uzatıldı.

Bu nedenle, tablolar ve grafikler için en basit tahmin örneklerini ele aldık. İlk durumda, işlev kullanılır TAHMİN ETMEK ve ikincisi - trend çizgisi. Ancak bu örnekler temelinde çok daha karmaşık tahmin sorunları da çözülebilir.

Pek çoğumuz farklı bilim dallarında anlaşılmaz terimlerle karşılaşmışızdır. Ancak anlaşılmaz sözlerden korkmayan, aksine neşelendiren ve onları çalışılan konunun derinliklerine inmeye zorlayan çok az insan var. Bugün enterpolasyon gibi bir şeyden bahsedeceğiz. Bu, fonksiyon hakkında minimum miktarda bilgi ile eğrinin belirli bölümlerindeki davranışını tahmin etmeye izin veren, bilinen noktaları kullanarak grafik çizme yöntemidir.

Tanımın özüne geçmeden ve bunu daha ayrıntılı olarak anlatmadan önce, biraz tarihe girelim.

Hikaye

Enterpolasyon eski zamanlardan beri bilinmektedir. Bununla birlikte, bu fenomen gelişimini geçmişin en önde gelen matematikçilerinden bazılarına borçludur: Newton, Leibniz ve Gregory. O zamanlar mevcut olan daha ileri matematiksel yöntemleri kullanarak bu kavramı geliştirenler onlardı. Bundan önce, enterpolasyon elbette hesaplamalarda kullanılıyor ve kullanılıyordu, ancak bunu tamamen yanlış yollarla yaptılar ve gerçeğe az çok yakın bir model oluşturmak için büyük miktarda veri gerektirdiler.

Bugün enterpolasyon yöntemlerinden hangisinin daha uygun olduğunu bile seçebiliyoruz. Her şey, bilinen noktalarla sınırlı, belirli bir alandaki bir fonksiyonun davranışını büyük bir doğrulukla tahmin edebilen bir bilgisayar diline çevrilir.

Enterpolasyon oldukça dar bir kavramdır, bu nedenle tarihi gerçekler açısından o kadar zengin değildir. Bir sonraki bölümde, enterpolasyonun gerçekte ne olduğunu ve zıttı olan ekstrapolasyondan nasıl farklı olduğunu anlayacağız.

interpolasyon nedir?

Daha önce de söylediğimiz gibi, noktalara göre bir grafik çizmenize izin veren yöntemlerin genel adıdır. Okulda bu, esas olarak bir tablo derleyerek, bir grafik üzerinde noktaları belirleyerek ve kabaca bunları birleştiren çizgiler çizerek yapılır. Son eylem, incelenen fonksiyonun, bildiğimiz grafiklerin türü olan diğerlerine benzerliği dikkate alınarak yapılır.

Bununla birlikte, noktadan noktaya çizim yapma görevini gerçekleştirmenin daha karmaşık ve kesin başka yolları da vardır. Dolayısıyla, enterpolasyon aslında bir fonksiyonun belirli bir alandaki davranışının bilinen noktalarla sınırlı bir "tahminidir".

Aynı alanla ilişkili benzer bir kavram var - ekstrapolasyon. Aynı zamanda bir fonksiyonun grafiğinin tahminidir, ancak grafiğin bilinen noktalarının ötesindedir. Bu yöntemle bir fonksiyonun bilinen bir aralıktaki davranışına göre tahmin yapılır ve daha sonra bu fonksiyon bilinmeyen bir aralığa da uygulanır. Bu yöntem pratik uygulama için çok uygundur ve örneğin ekonomide piyasadaki iniş çıkışları tahmin etmek ve ülkedeki demografik durumu tahmin etmek için aktif olarak kullanılır.

Ama asıl konudan saptık. Bir sonraki bölümde enterpolasyonun ne olduğunu ve bu işlemi gerçekleştirmek için hangi formüllerin kullanılabileceğini anlayacağız.

enterpolasyon türleri

En basit biçim, en yakın komşu enterpolasyonudur. Bu yöntemle dikdörtgenlerden oluşan çok yaklaşık bir çizim elde ediyoruz. Bir grafikte integralin geometrik anlamının açıklamasını en az bir kez gördüyseniz, o zaman ne tür bir grafik formdan bahsettiğimizi anlayacaksınız.

Ek olarak, başka enterpolasyon yöntemleri de vardır. En ünlü ve popüler polinomlarla ilişkilidir. Daha doğrudurlar ve bir fonksiyonun davranışını oldukça yetersiz bir değerler kümesiyle tahmin etmeye izin verirler. Bakacağımız ilk enterpolasyon yöntemi, doğrusal polinom enterpolasyonudur. Bu, bu kategorideki en kolay yöntemdir ve kesinlikle her biriniz bunu okulda kullandınız. Özü, bilinen noktalar arasında düz çizgilerin yapımında yatmaktadır. Bildiğiniz gibi düzlemin iki noktasından tek bir doğru geçer ve bu noktaların koordinatlarına göre denklemi bulunur. Bu düz çizgileri oluşturduktan sonra, en azından ancak fonksiyonların yaklaşık değerlerini yansıtan ve genel olarak gerçeklikle örtüşen kırık bir grafik elde ederiz. Doğrusal enterpolasyon bu şekilde çalışır.

Karmaşık enterpolasyon türleri

Enterpolasyonun daha ilginç ama aynı zamanda daha karmaşık bir yolu var. Fransız matematikçi Joseph Louis Lagrange tarafından icat edildi. Bu nedenle enterpolasyonun bu yöntemle hesaplanmasına onun adı verilmiştir: Lagrange yöntemiyle enterpolasyon. Buradaki püf noktası şudur: Önceki paragrafta açıklanan yöntem hesaplama için yalnızca doğrusal bir işlev kullanıyorsa, o zaman Lagrange açılımı aynı zamanda daha yüksek dereceli polinomların kullanımını da içerir. Ancak farklı işlevler için enterpolasyon formüllerini bulmak o kadar kolay değildir. Ve ne kadar çok nokta bilinirse enterpolasyon formülü o kadar doğru olur. Ancak başka birçok yöntem de var.

Daha mükemmel ve gerçeğe daha yakın bir hesaplama yöntemi de vardır. İçinde kullanılan enterpolasyon formülü, her birinin uygulaması fonksiyonun bölümüne bağlı olan bir polinom koleksiyonudur. Bu yönteme spline işlevi denir. Ek olarak, iki değişkenli fonksiyonların enterpolasyonu gibi bir şey yapmanın yolları da vardır. Burada sadece iki yöntem var. Bunlar arasında çift doğrusal veya çift enterpolasyon vardır. Bu yöntem, üç boyutlu uzayda noktalara göre kolayca bir grafik oluşturmanıza olanak tanır. Diğer yöntemler etkilenmeyecektir. Genel olarak enterpolasyon, tüm bu grafik çizme yöntemleri için evrensel bir addır, ancak bu eylemin gerçekleştirilebileceği yolların çeşitliliği, bu eyleme tabi olan işlevin türüne bağlı olarak bunları gruplara ayırmaya zorlar. Yani, yukarıda bir örneğini ele aldığımız enterpolasyon, doğrudan yöntemleri ifade eder. Doğrudan değil, ters bir işlevi (yani x'ten y'ye) hesaplamanıza izin vermesi bakımından farklılık gösteren ters enterpolasyon da vardır. Oldukça zor olduğu ve iyi bir matematiksel bilgi tabanı gerektirdiği için ikinci seçenekleri dikkate almayacağız.

Gelelim belki de en önemli bölümlerden birine. Ondan, tartıştığımız bir dizi yöntemin hayatta nasıl ve nerede uygulandığını öğreniyoruz.

Başvuru

Bildiğiniz gibi matematik bilimlerin kraliçesidir. Bu nedenle, belirli operasyonlarda ilk başta noktayı görmeseniz bile, bu onların işe yaramaz olduğu anlamına gelmez. Örneğin, enterpolasyonun artık çok az kişinin ihtiyaç duyduğu, yalnızca grafiklerin oluşturulabileceği işe yaramaz bir şey olduğu görülüyor. Bununla birlikte, mühendislik, fizik ve diğer birçok bilimdeki (örneğin biyoloji) herhangi bir hesaplamada, belirli bir değerler kümesine sahipken, olgunun oldukça eksiksiz bir resmini sunmak son derece önemlidir. Grafiğin üzerine dağılmış değerlerin kendileri, fonksiyonun belirli bir alandaki davranışı, türevlerinin değerleri ve eksenlerle kesişme noktaları hakkında her zaman net bir fikir vermez. Ve bu hayatımızın birçok alanı için çok önemlidir.

Ve hayatta nasıl faydalı olacak?

Böyle bir soruyu cevaplamak çok zor olabilir. Ancak cevap basit: mümkün değil. Bu bilginin sana hiçbir faydası yok. Ancak bu materyali ve bu eylemlerin gerçekleştirildiği yöntemleri anlarsanız, hayatta çok faydalı olacak mantığınızı geliştireceksiniz. Asıl mesele bilginin kendisi değil, bir kişinin çalışma sürecinde edindiği becerilerdir. Ne de olsa, "Bir asır yaşa - bir asır öğren" sözünün olması boşuna değil.

Ilgili kavramlar

Bununla ilişkili diğer kavramların çeşitliliğine bakarak, matematiğin bu alanının ne kadar önemli olduğunu (ve hala öyle olduğunu) kendiniz anlayabilirsiniz. Ekstrapolasyondan zaten bahsettik, ancak bir yaklaşım da var. Belki bu kelimeyi daha önce duymuşsunuzdur. Her durumda, bu makalede ne anlama geldiğini de analiz ettik. Yaklaşım, enterpolasyon gibi, fonksiyon grafiklerinin çizilmesiyle ilgili kavramlardır. Ancak birinci ve ikinci arasındaki fark, bilinen benzer grafiklere dayanan bir grafiğin yaklaşık bir yapısı olmasıdır. Bu iki kavram birbirine çok benzer ve her birini incelemek daha ilginç.

Çözüm

Matematik ilk bakışta göründüğü kadar zor bir bilim değildir. O oldukça ilginç. Ve bu yazımızda size bunu kanıtlamaya çalıştık. Grafik çizme ile ilgili kavramlara baktık, çift enterpolasyonun ne olduğunu öğrendik ve kullanıldığı örneklerle inceledik.