Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti örnekleri. §2 İki değişkenli bir fonksiyonun limiti. Çift ve tekrarlanan limitler arasındaki bağlantıya ilişkin teorem

İki değişkenli bir fonksiyonun limiti.
Konsept ve çözüm örnekleri

Konuyla ilgili üçüncü derse hoş geldiniz FNP, tüm korkularınızın nihayet gerçekleşmeye başladığı yer =) Çoğu kişinin şüphelendiği gibi, limit kavramı aynı zamanda keyfi sayıda argümanın bir fonksiyonuna da uzanır, bugün bunu çözmemiz gerekiyor. Ancak bazı iyimser haberler de var. Bu, sınırın bir dereceye kadar soyut olması ve karşılık gelen görevlerin pratikte son derece nadir olması gerçeğinden oluşur. Bu bağlamda dikkatimiz iki değişkenli bir fonksiyonun limitlerine veya daha sık yazdığımız şekliyle: .

Fikirlerin, ilkelerin ve yöntemlerin birçoğu "geleneksel" sınırların teorisi ve uygulamasına benzer; bu da bu noktada şunları yapmanız gerektiği anlamına gelir: sınırları bulabilmek ve en önemlisi ne olduğunu ANLAMAK tek değişkenli bir fonksiyonun limiti. Ve kader sizi bu sayfaya getirdiğine göre, büyük olasılıkla zaten çok şey anlıyor ve biliyorsunuz. Değilse sorun değil, tüm boşluklar gerçekten birkaç saat, hatta dakika içinde doldurulabilir.

Bu dersteki olaylar üç boyutlu dünyamızda geçiyor ve bu nedenle bunlara aktif olarak katılmamak büyük bir ihmal olurdu. İlk olarak, iyi bilinen bir yapı oluşturalım Uzayda Kartezyen koordinat sistemi. Hadi kalkalım ve odanın içinde biraz dolaşalım... ...üzerinde yürüdüğünüz zemin bir uçaktır. Ekseni bir yere koyalım... mesela herhangi bir köşeye, böylece yolumuza çıkmasın. Harika. Şimdi lütfen yukarıya bakın ve battaniyenin orada asılı, yayılmış olduğunu hayal edin. Bu yüzey, fonksiyon tarafından belirtilir. Yerdeki hareketimiz, anlaşılması kolay olduğu gibi, bağımsız değişkenlerdeki bir değişikliği taklit eder ve yalnızca battaniyenin altında hareket edebiliriz, yani. V iki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı. Ama eğlence daha yeni başlıyor. Küçük bir hamamböceği burnunuzun ucunun hemen üzerindeki battaniyenin üzerinde sürünüyor ve nereye giderseniz gidin o da oraya gidiyor. Ona Freddy diyelim. Hareketi, karşılık gelen fonksiyon değerlerindeki bir değişikliği simüle eder (yüzeyin veya parçalarının düzleme paralel olduğu ve yüksekliğin değişmediği durumlar hariç). Sevgili Freddie okuru, kusura bakmayın, bilim için bu gerekli.

Elimize bir baykuş alalım ve battaniyeyi yüksekliğini belirteceğimiz rastgele bir noktada delelim , ardından aleti kesinlikle deliğin altındaki zemine yapıştıracağız - mesele bu olacak. Şimdi başlayalım sonsuz yakın Belirli bir noktaya yaklaşmak ve HERHANGİ bir yörünge boyunca yaklaşma hakkımız var (tabii ki her bir noktası tanım alanına dahildir). Eğer TÜM durumlarda Freddy sonsuz yakın deliğe kadar bir yüksekliğe ve TAM OLARAK BU YÜKSEKLİĞE kadar sürün, o zaman fonksiyonun şu noktada bir sınırı vardır: :

Belirtilen koşullar altında delinmiş nokta battaniyenin kenarında bulunuyorsa, sınır hala mevcut olacaktır - bu önemlidir keyfi olarak küçük mahalle bızın uçları, fonksiyonun tanım alanından en azından bazı noktalardı. Üstelik şu durumda olduğu gibi tek değişkenli bir fonksiyonun limiti, önemli değil Fonksiyonun bir noktada tanımlanıp tanımlanmadığı. Yani deliğimiz sakızla kapatılabilir (bunu düşün iki değişkenli fonksiyon süreklidir) ve bu durumu etkilemeyecektir - sınırın özünün şunu ima ettiğini hatırlıyoruz: sonsuz yakın yaklaşım ve bir noktaya “kesin bir yaklaşım” değil.

Bununla birlikte, bulutsuz bir yaşam, küçük kardeşinin aksine, sınırın çok daha sık mevcut olmaması nedeniyle gölgede kalmaktadır. Bunun nedeni genellikle uçakta belirli bir noktaya giden birçok yolun bulunması ve bunların her birinin Freddy'yi kesinlikle deliğe götürmesi gerektiğidir. (isteğe bağlı “sakızla kapatılmış”) ve kesinlikle yüksekliğe kadar. Ve aynı derecede tuhaf süreksizliklere sahip, yeterince tuhaf yüzeyler var ve bu da bazı noktalarda bu katı koşulun ihlal edilmesine yol açıyor.

En basit örneği düzenleyelim - elimize bir bıçak alın ve battaniyeyi, delinmiş nokta kesim çizgisine gelecek şekilde kesin. Sınırın olduğuna dikkat edin hala var, tek şey kesim çizgisinin altındaki noktalara adım atma hakkımızı kaybettik, çünkü bu alan "düştü" fonksiyon alanı. Şimdi battaniyenin sol kısmını eksen boyunca dikkatlice kaldıralım, tam tersine sağ kısmını aşağı doğru hareket ettirelim, hatta yerinde bırakalım. Ne değişti? Ve şu şey temelden değişti: Şimdi soldaki bir noktaya yaklaşırsak, o zaman Freddy, sağdaki belirli bir noktaya yaklaştığımızdakinden daha yüksek bir yükseklikte olacaktır. Yani herhangi bir sınır yok.

Ve tabi ki harika sınırlar Onlar olmasa nerede olurduk? Her anlamda öğretici olan bir örneğe bakalım:

Örnek 11

Standart bir yapay teknik kullanarak düzenlediğimiz acı verici derecede tanıdık trigonometrik formülü kullanıyoruz. ilk dikkate değer sınırlar :

Kutupsal koordinatlara geçelim:
Eğer öyleyse

Görünüşe göre çözüm doğal bir sonuca doğru gidiyor ve hiçbir şey sorun habercisi değil, ancak en sonunda, doğası gereği Örnek 3'te biraz ima ettiğim ve ayrıntılı olarak açıkladığım ciddi bir kusur yapma riski büyük. Örnek 6'dan sonra. Önce son, sonra yorum:

Basitçe "sonsuz" veya "artı sonsuzluk" yazmanın neden kötü olacağını bulalım. Paydaya bakalım: 'den beri kutup yarıçapı şu yönde olma eğilimindedir: sonsuz küçük pozitif değer: . Ayrıca, . Dolayısıyla paydanın işareti ve limitin tamamı yalnızca kosinüse bağlıdır:
, eğer kutup açısı (2. ve 3. koordinat çeyrekleri: );
, eğer kutup açısı (1. ve 4. koordinat çeyrekleri: ).

Geometrik olarak bu, orijine soldan yaklaştığınızda fonksiyon tarafından tanımlanan yüzeyin ortaya çıkacağı anlamına gelir. , sonsuza kadar uzanır:

Çok değişkenli bir fonksiyonun tanımı. Temel konseptler.

Belirli bir kümeden birbirinden bağımsız her sayı çifti (x, y), bazı kurallara göre z değişkeninin bir değeriyle ilişkilendirilirse, buna denir. iki değişkenli fonksiyon. z=f(x,y,)

z fonksiyonunun tanım kümesi- z fonksiyonunun mevcut olduğu bir (x, y) çiftleri kümesi.

Bir fonksiyonun değer kümesi (değer aralığı), fonksiyonun tanım alanında aldığı tüm değerlerdir.

İkili bir fonksiyonun grafiği değişkenler - koordinatları z=f(x,y) denklemini sağlayan P noktaları kümesi

r yarıçaplı bir M0 (x0;y0) noktasının komşuluğu– koşulu sağlayan tüm (x,y) noktalarının kümesi< r

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı ve değer aralığı. Çok değişkenli bir fonksiyonun grafiği.

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği.

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti kavramını vermek için kendimizi iki değişkenli durumla sınırlandırıyoruz. X Ve en. Tanım gereği işlev f(x,y) noktada bir sınırı var ( X 0 , en 0), sayıya eşit A, aşağıdaki gibi gösterilir:

(1)

(onlar da yazıyor f(x,y)→A en (x, y)→ (X 0 , en 0)), eğer noktanın bazı komşuluklarında tanımlanmışsa ( X 0 , en 0), belki bu noktanın kendisi hariç ve bir sınır varsa

(2)

ne eğiliminde olursa olsun ( X 0 , en 0) nokta dizisi ( xk,yk).

Tıpkı tek değişkenli bir fonksiyonda olduğu gibi, iki değişkenli bir fonksiyonun limitinin başka bir eşdeğer tanımı da yapılabilir: fonksiyon F noktada var ( X 0 , en 0) limit eşittir A, eğer noktanın bazı komşuluklarında tanımlanmışsa ( X 0 , en 0) belki bu noktanın kendisi hariç ve herhangi bir ε > 0 için δ > 0 öyle ki

| f(x,y) – A| < ε (3)

hepsi için (x, y) eşitsizliklerin giderilmesi

0 < < δ. (4)

Bu tanım da şuna eşdeğerdir: herhangi bir ε > 0 için () noktasının bir δ-komşusu vardır: X 0 , en 0) öyle ki herkes için ( x, y) bu mahalleden, ('den farklı) X 0 , en 0), eşitsizlik (3) sağlanır.

Rastgele bir noktanın koordinatları ( x, y) noktanın komşuluğu ( X 0 , en 0) şu şekilde yazılabilir: x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ en ise eşitlik (1) aşağıdaki eşitliğe eşdeğerdir:

Noktanın komşuluğunda tanımlanan bazı fonksiyonları ele alalım ( X 0 , en 0), belki de bu noktanın kendisi hariç.

ω = (ω) olsun X, ω en) – uzunluğu bir olan keyfi bir vektör (|ω| 2 = ω X 2 + ω en 2 = 1) ve T> 0 – skaler. Noktaları görüntüle

(X 0 + Tω X, sen 0 + Tω en) (0 < T)

çıkan bir ışın oluşturur ( X 0 , en 0) ω vektörü yönünde. Her ω için fonksiyonu göz önünde bulundurabiliriz

F(X 0 + Tω X, sen 0 + Tω en) (0 < T< δ)

skaler bir değişkenden T burada δ oldukça küçük bir sayıdır.

Bu fonksiyonun limiti (bir değişken) T)

F(X 0 + Tω X, sen 0 + Tω en),

eğer varsa buna limit demek doğaldır F noktada ( X 0 , en 0) ω yönünde.

Örnek 1. Fonksiyonlar

düzlemde tanımlanmış ( x, y) nokta hariç X 0 = 0, en 0 = 0. Şunu hesaba katın: Ve ):

(ε > 0 için δ = ε/2'yi ayarladık ve sonra | f(x,y)| < ε, если < δ).

buradan farklı yönlerde (0, 0) noktasındaki φ sınırının genel olarak farklı olduğu açıktır (ışın birim vektörü) y = kx, X> 0, şu şekle sahiptir

).

Sayı A fonksiyonun limiti denir f(M) en M → M 0 eğer herhangi bir ε > 0 sayısı için her zaman bir δ > 0 sayısı vardır, öyle ki herhangi bir nokta için M, dan farklı M 0 ve koşulu karşılıyor | AA 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – A | < ε.

Sınırı belirtir İki değişkenli bir fonksiyon durumunda

Sınır teoremleri. Eğer işlevler F 1 (M) Ve F 2 (M) en M → M 0'ın her biri sonlu bir limite eğilimlidir, o zaman:

V)

Çok değişkenli bir fonksiyonun sürekliliği

Tanım gereği işlev f(x,y) noktasında süreklidir ( X 0 , en 0), eğer noktanın kendisi de dahil olmak üzere bazı komşuluklarında tanımlanmışsa ( X 0 , en 0) ve eğer limit f(x,y) bu noktadaki değerine eşittir:

(1)

Süreklilik koşulu F noktada ( X 0 , en 0) eşdeğer biçimde yazılabilir:

(1")

onlar. işlev F noktasında süreklidir ( X 0 , en 0), eğer fonksiyon sürekli ise f(x 0 + Δ X, en 0 + Δ e) değişkenler üzerinde Δ X, Δ enΔ'da X = Δ y = 0.

Bir artış değeri girebilirsiniz Δ Ve işlevler Ve = f(x,y) noktada (x, y)Δ artışlarına karşılık gelir X, Δ en argümanlar

Δ Ve = f(x + Δ X, en + Δ e) – f(x,y)

ve bu dilde sürekliliği tanımlayın F V (x, y): işlev F bir noktada sürekli (x, y), Eğer

(1"")

Teorem. Bir noktadaki süreklinin toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü ( X 0 ,en 0) işlevler F ve φ bu noktada sürekli bir fonksiyondur, tabii ki φ ( X 0 , en 0) ≠ 0.

Devamlı İle bir fonksiyon olarak düşünülebilir f(x,y) = İle değişkenlerden x,y. Bu değişkenlerde süreklidir çünkü

|f(x,y) – F (X 0 , en 0) | = |s – s| = 0 0.

Bir sonraki en zor işlevler şunlardır: f(x,y) = X Ve f(x,y) = en. Ayrıca bunların işlevleri olarak da düşünülebilirler. (x, y) ve aynı zamanda süreklidirler. Örneğin, fonksiyon f(x,y) = X her noktayla eşleşir (x, y) eşit bir sayı X. Bu fonksiyonun keyfi bir noktada sürekliliği (x, y)şu şekilde kanıtlanabilir:

| f(x + Δ X, en + Δ e) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) – x| = | Δ X | ≤ 0.

Eğer fazla fonksiyon üretirseniz x, y ve sonlu bir sayıdaki sürekli toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini yaparsak, polinom adı verilen fonksiyonları elde edeceğiz. x, y. Yukarıda formüle edilen özelliklere dayanarak değişkenlerdeki polinomlar x, y– bu değişkenlerin tüm noktalar için sürekli fonksiyonları (x, y) R 2 .

Davranış P/Q iki polinom (x, y) rasyonel bir fonksiyonudur (x,y), açıkçası her yerde sürekli R 2, puanlar hariç (x, y), Nerede Q(x, y) = 0.

P(x,y) = X 3 – en 2 + X 2 en – 4

polinomun bir örneği olabilir (x, y)üçüncü derece ve işlev

P(x,y) = X 4 – 2X 2 en 2 +en 4

bir polinom örneği var (x, y) dördüncü derece.

Sürekli fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyonun sürekliliğini belirten bir teorem örneği verelim.

Teorem. Fonksiyona izin ver f(x, y, z) bir noktada sürekli (X 0 , sen 0 , z 0 ) uzay R 3 puan (x, y, z)) ve işlevler

X = φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (sen, v)

bir noktada sürekli (sen 0 ,v 0 ) uzay R 2 (puan (sen, v)). Ayrıca şunu da söyleyeyim:

X 0 = φ (sen 0 ,v 0 ), y 0 = ψ (sen 0 ,v 0 ), z 0 = χ (sen 0 ,v 0 ) .

Daha sonra fonksiyon F(u, v) = f[ φ (sen, v),ψ (sen, v),χ (sen, v)] süreklidir (tarafından

(sen, v)) noktada (sen 0 ,v 0 ) .

Kanıt. Limitin işareti sürekli bir fonksiyonun karakteristiğinin işaretinin altına yerleştirilebildiğinden, o zaman

Teorem.İşlev f(x,y), noktada sürekli ( X 0 , en 0) ve bu noktada sıfıra eşit değildir, sayının işaretini korur F(X 0 , en 0) noktanın bazı mahallelerinde ( X 0 , en 0).

Tanım gereği işlev f(x) = f(x 1 , ..., x p) bir noktada sürekli X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 P), eğer noktanın kendisi de dahil olmak üzere bazı mahallelerinde tanımlanmışsa X 0 ve limiti bu noktada ise X 0, içindeki değerine eşittir:

(2)

Süreklilik koşulu F noktada X 0 eşdeğer formda yazılabilir:

(2")

onlar. işlev f(x) bir noktada sürekli X 0 eğer fonksiyon sürekli ise f(x 0 +H) itibaren H noktada H = 0.

Bir artış girebilirsiniz F noktada X 0 artışa karşılık gelir H = (H 1 , ..., hp),

Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + H) – f(x 0 )

ve onun dilinde sürekliliği tanımlayın F V X 0: işlev F sürekli X 0 ise

Teorem. Bir noktadaki süreklinin toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü X 0 fonksiyon f(x) ve φ (X) bu noktada sürekli bir fonksiyondur, tabii ki belirli bir φ durumunda (X 0 ) ≠ 0.

Yorum. Δ'yı artırın h f (x 0 ) fonksiyonun tam artışı da denir F noktada X 0 .

Boşlukta Rn puan X = (X 1 , ..., x p) bir dizi nokta belirleyelim G.

A-tarikatı X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 P) setin iç noktasıdır G Tamamen kendisine ait, merkezi açık bir top varsa G.

Bir demet G Rn tüm noktaları içte ise açık olarak adlandırılır.

Fonksiyonların olduğunu söylüyorlar

X 1 = φ 1 (T), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ b)

segmentte sürekli [ A, B], sürekli bir eğri tanımlayın Rn, noktaları birleştirmek X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 P) Ve X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 P), Nerede X 1 1 = φ 1 (A), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (B), ..., X 2 n =φ p(b). Mektup T eğri parametresi denir.

Yukarıda tartışılan iki veya üç değişkenli fonksiyon kavramları, değişkenlerin durumuna genelleştirilebilir.

Tanım.İşlev değişkenler
fonksiyon denir, tanım alanı
hangisine ait
ve değer aralığı gerçek eksendir.

Her değişken kümesi için böyle bir fonksiyon
itibaren
tekil sayıyla eşleşir .

Aşağıda kesinlik sağlamak için işlevleri ele alacağız.
değişkenler, ancak bu tür işlevler için formüle edilen tüm ifadeler, daha fazla sayıda değişkenin işlevleri için doğru kalır.

Tanım. Sayı fonksiyonun limiti denir

noktada
, eğer her biri için
böyle bir sayı var
herkesin önünde
mahalleden
, bu nokta dışında eşitsizlik geçerlidir

.

Fonksiyonun limiti ise
noktada
eşittir , o zaman bu formda gösterilir

.

Daha önce tek değişkenli fonksiyonlar için ele aldığımız limitlerin hemen hemen tüm özellikleri, çok değişkenli fonksiyonların limitleri için de geçerlidir, ancak bu tür limitlerin pratik olarak belirlenmesiyle ilgilenmeyeceğiz.

Tanım.İşlev
bir noktada sürekli denir
eğer üç koşul karşılanırsa:

1) var

2) noktada fonksiyonun bir değeri var

3) bu iki sayı birbirine eşittir, yani. .

Pratikte bir fonksiyonun sürekliliğini aşağıdaki teoremi kullanarak inceleyebiliriz.

Teorem. Herhangi bir temel fonksiyon
tanım alanının tüm iç (yani sınır dışı) noktalarında süreklidir.

Örnek. Fonksiyonun bulunduğu tüm noktaları bulalım

sürekli.

Yukarıda belirtildiği gibi bu fonksiyon kapalı bir daire içinde tanımlanır.

.

Bu dairenin iç noktaları, fonksiyonun sürekliliğinin arzu edilen noktalarıdır; işlev
açık bir daire içinde sürekli
.

Tanım alanının sınır noktalarında süreklilik kavramının tanımı
işlevler mümkündür, ancak bu konuyu derste tartışmayacağız.

1.3 Kısmi artışlar ve kısmi türevler

Tek değişkenli fonksiyonlardan farklı olarak, birden fazla değişkenli fonksiyonlar farklı türde artışlara sahiptir. Bunun nedeni uçaktaki hareketlerin olmasıdır.
noktadan
çeşitli yönlerde gerçekleştirilebilir.

Tanım. Kısmi artış işlevler
noktada
karşılık gelen artış
fark denir

Bu artış aslında tek değişkenli bir fonksiyonun artışıdır
fonksiyondan elde edilen
sabit değerde
.

Benzer şekilde kısmi artışla noktada
işlevler
karşılık gelen artış
fark denir

Bu artış sabit bir değerde hesaplanır
.

Örnek.İzin vermek

,
,
. Bu fonksiyonun kısmi artışlarını şu şekilde bulalım: ve tarafından

Bu örnekte, bağımsız değişken artışlarının eşit değerleri ile
Ve
fonksiyonun kısmi artışlarının farklı olduğu ortaya çıktı. Bunun nedeni, kenarları olan bir dikdörtgenin alanının
Ve
tarafı arttırırken Açık
miktar kadar artar
ve artan tarafla Açık
kadar artar
(bkz. Şekil 4).

İki değişkenli bir fonksiyonun iki tür artışı olduğu gerçeğinden, bunun için iki tür türevin tanımlanabileceği sonucu çıkar.

Tanım. göre kısmi türev işlevler
noktada
kısmi artış oranının limiti denir Bu fonksiyonun belirtilen noktada artışa
argüman onlar.

. (1)

Bu tür kısmi türevler sembollerle gösterilir ,,,. İkinci durumlarda, yuvarlak harf “ ” – “”, “özel” kelimesi anlamına gelir.

Benzer şekilde, kısmi türev noktada
limit kullanılarak belirlenir

. (2)

Bu kısmi türevin diğer gösterimleri: ,,.

Fonksiyonların kısmi türevleri, bir değişkenin fonksiyonunun türevini almak için bilinen kurallara göre bulunurken, fonksiyonun türevlendiği değişken dışındaki tüm değişkenler sabit kabul edilir. Yani bulduğunda değişken sabit olarak alınır ve bulunduğunda - devamlı .

Örnek. Fonksiyonun kısmi türevlerini bulalım
.

,
.

Örnek.Üç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulalım

.

;
;
.

Kısmi türev fonksiyonları
Değişkenlerden birinin sabit olması durumunda bu fonksiyonun değişim oranını karakterize edin.

Ekonomiden bir örnek.

Tüketim teorisinin ana konsepti fayda fonksiyonudur.
. Bu fonksiyon bir kümenin faydasını ifade eder
burada x, X ürününün miktarıdır, y, Y ürününün miktarıdır. O zaman kısmi türevler
sırasıyla x ve y'nin marjinal faydaları olarak adlandırılacaktır. Marjinal ikame oranı
bir malın diğerine marjinal faydalarının oranına eşittir:

. (8)

Problem 1. A(3,12) noktasındaki fayda fonksiyonu için h'ye göre marjinal ikame oranını bulun.

Çözüm: formül (8)'e göre elde ederiz

Marjinal ikame oranının ekonomik anlamı formülün kanıtlanmasında yatmaktadır.
, Nerede -X ürününün fiyatı, - malların fiyatı U.

Tanım. Eğer fonksiyon
kısmi türevler vardır, o zaman kısmi diferansiyelleri ifadelerdir

Ve

Burada
Ve
.

Kısmi diferansiyeller, iki değişkenli bir fonksiyondan elde edilen bir değişkenli fonksiyonların diferansiyelleridir.
sabit olarak veya .

Ekonomiden örnekler. Örnek olarak Cobb-Douglas fonksiyonunu ele alalım.

Büyüklük - ortalama emek verimliliği, çünkü bu, bir işçi tarafından üretilen (değer cinsinden) ürün miktarıdır.

Büyüklük
- ortalama sermaye verimliliği - makine başına ürün sayısı.

Büyüklük
- ortalama sermaye-emek oranı - emek kaynağı birimi başına fon maliyeti.

Bu nedenle kısmi türev
Emeğin marjinal verimliliği olarak adlandırılır çünkü fazladan bir işçinin ürettiği çıktının katma değerine eşittir.

Aynı şekilde,
- marjinal sermaye verimliliği.

Ekonomide sıklıkla şu sorular sorulur: İşçi sayısı %1 artarsa ​​veya fonlar %1 artarsa ​​çıktı yüzde kaç oranında değişir? Bu tür soruların cevapları, bir fonksiyonun argümana veya göreceli türete göre esnekliği kavramlarıyla verilmektedir. Emeğe göre çıktının esnekliğini bulun
. Yukarıda hesaplanan kısmi türevi payda yerine koymak , alıyoruz
. Yani parametre Açık bir ekonomik anlamı vardır; çıktının emeğe göre esnekliğidir.

Parametrenin benzer bir anlamı var fonlar arasındaki çıktının esnekliğidir.

Bölüm: Yüksek matematik

Makale

"Yüksek Matematik" disiplininde

Konu: “Çok Değişkenli Fonksiyonların Limiti ve Sürekliliği”

Tolyatti, 2008

giriiş

Tek değişkenli fonksiyon kavramı doğada var olan tüm bağımlılıkları kapsamaz. En basit problemlerde bile değerleri birkaç niceliğin değerlerinin birleşimiyle belirlenen nicelikler vardır.

Bu tür bağımlılıkları incelemek için birkaç değişkenli fonksiyon kavramı tanıtıldı.

Çok değişkenli fonksiyon kavramı

Tanım. Büyüklük sen birkaç bağımsız değişkenin fonksiyonu olarak adlandırılır ( X, sen, z, …, T), eğer bu değişkenlerin her bir değer kümesi miktarın belirli bir değeriyle ilişkilendirilirse sen.

Değişken iki değişkenin bir fonksiyonu ise X Ve en, daha sonra fonksiyonel bağımlılık gösterilir

z = F (X, sen).

Sembol F burada bir değer hesaplamak için bir dizi eylemi veya kuralı tanımlar z Belirli bir değer çifti için X Ve en.

Yani fonksiyon için z = X 2 + 3xy

en X= 1 ve en= 1 elimizde z = 4,

en X= 2 ve en= 3 elimizde z = 22,

en X= 4 ve en= 0 elimizde z= 16 vb.

Miktar benzer şekilde denir senüç değişkenli fonksiyon X, sen, z, Belirli bir değer üçlüsü için bir kural verilmişse X, sen Ve z karşılık gelen değeri hesapla sen:

sen = F (X, sen, z).

Buradaki sembol F bir değerin hesaplanmasına yönelik bir dizi eylemi veya kuralı tanımlar sen bu değerlere karşılık gelen X, sen Ve z.

Yani fonksiyon için sen = xy + 2xz – 3yz

en X = 1, en= 1 ve z= 1 elimizde sen = 0,

en X = 1, en= -2 ve z= 3 elimizde sen = 22,

en X = 2, en= -1 ve z= -2 elimizde sen = -16 vb.

Dolayısıyla, eğer her popülasyonun bazı kanunları gereği P sayılar ( X, sen, z, …, T) bazı setlerden e bir değişkene belirli bir değer atar sen, Daha sonra sen fonksiyonu denir P değişkenler X, sen, z, …, T, sette tanımlı e, ve belirtilir

sen = F(X, sen, z, …, T).

Değişkenler X, sen, z, …, T işlev argümanları denir, ayarlanır e– fonksiyonun tanım alanı.

Bir fonksiyonun kısmi değeri, fonksiyonun belirli bir noktadaki değeridir. M 0 (X 0 , sen 0 , z 0 , …, T 0) ve belirlenmiş F (M 0) = F (X 0 , sen 0 , z 0 , …, T 0).

Bir fonksiyonun alanı, fonksiyonun herhangi bir gerçek değerine karşılık gelen tüm argüman değerlerinin kümesidir.

İki değişkenli fonksiyon z = F (X, sen) uzayda bir yüzeyle temsil edilir. Yani koordinatları olan bir nokta X, en düzlemde bulunan fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca çalışır xOy karşılık gelen uzaysal nokta, genel olarak konuşursak, yüzeyi tanımlar.

Üç değişkenin işlevi sen = F (X, sen, z) üç boyutlu uzayda belirli bir nokta kümesinin bir noktasının fonksiyonu olarak kabul edilir. Benzer şekilde, fonksiyon P değişkenler sen = F(X, sen, z, …, T) bazı noktaların bir fonksiyonu olarak kabul edilir P boyutlu uzay.

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti kavramını vermek için kendimizi iki değişkenli durumla sınırlandırıyoruz. X Ve en. Tanım gereği işlev F (X, sen) noktada bir sınırı var ( X 0 , en 0), sayıya eşit A, aşağıdaki gibi gösterilir:

(onlar da yazıyor F (X, sen) →A en (X, sen) → (X 0 , en 0)), eğer noktanın bazı komşuluklarında tanımlanmışsa ( X 0 , en 0), belki bu noktanın kendisi hariç ve bir sınır varsa

ne eğiliminde olursa olsun ( X 0 , en 0) nokta dizisi ( x k, evet).

Tıpkı tek değişkenli bir fonksiyonda olduğu gibi, iki değişkenli bir fonksiyonun limitinin başka bir eşdeğer tanımı da yapılabilir: fonksiyon F noktada var ( X 0 , en 0) limit eşittir A, eğer noktanın bazı komşuluklarında tanımlanmışsa ( X 0 , en 0) belki bu noktanın kendisi hariç ve herhangi bir ε > 0 için δ > 0 öyle ki

| F (X, sen) – A| < ε(3)

hepsi için (X, sen) eşitsizliklerin giderilmesi

Bu tanım da şuna eşdeğerdir: herhangi bir ε > 0 için () noktasının bir δ-komşusu vardır: X 0 , en 0) öyle ki herkes için ( X, sen) bu mahalleden, ('den farklı) X 0 , en 0), eşitsizlik (3) sağlanır.

Rastgele bir noktanın koordinatları ( X, sen) noktanın komşuluğu ( X 0 , en 0) şu şekilde yazılabilir: x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ en ise eşitlik (1) aşağıdaki eşitliğe eşdeğerdir:

Noktanın komşuluğunda tanımlanan bazı fonksiyonları ele alalım ( X 0 , en 0), belki de bu noktanın kendisi hariç.

ω = (ω) olsun X, ω en) – uzunluğu bir olan keyfi bir vektör (|ω| 2 = ω X 2 + ω en 2 = 1) ve T> 0 – skaler. Noktaları görüntüle

(X 0 + Tω X, sen 0 + Tω en) (0 < T)

çıkan bir ışın oluşturur ( X 0 , en 0) ω vektörü yönünde. Her ω için fonksiyonu göz önünde bulundurabiliriz

F(X 0 + Tω X, sen 0 + Tω en) (0 < T< δ)

skaler bir değişkenden T burada δ oldukça küçük bir sayıdır.

Bu fonksiyonun limiti (bir değişken) T)

eğer varsa buna limit demek doğaldır F noktada ( X 0 , en 0) ω yönünde.

Örnek 1. Fonksiyonlar

düzlemde tanımlanmış ( X, sen) nokta hariç X 0 = 0, en 0 = 0. Şunu hesaba katın:

(ε > 0 için δ = ε/2'yi ayarladık ve sonra | F (X, sen) | < ε, если

buradan farklı yönlerde (0, 0) noktasındaki φ sınırının genel olarak farklı olduğu açıktır (ışın birim vektörü) sen = kx, X> 0, şu şekle sahiptir

Örnek 2. Haydi düşünelim R 2 işlev

Bu fonksiyon herhangi bir doğrunun (0, 0) noktasında sen = kx Orijinden geçmenin sıfıra eşit bir sınırı vardır:

Ancak bu fonksiyonun (0, 0) noktalarında bir limiti yoktur, çünkü y = x 2

Yazacak

|F (X, sen) | > N,

0 olur olmaz<

Limit hakkında da konuşabiliriz F, Ne zaman X, en → ∞:

Örneğin sonlu bir sayı durumunda A eşitlik (5), her ε > 0 için böyle bir şeyin olduğu anlamında anlaşılmalıdır. N> 0, bu herkes içindir X, en, bunun için | X| > N, |sen| > N, işlev F tanımlanmış ve eşitsizlik geçerli

Uçağı ve sistemi düşünün Oksi Üzerinde kartezyen dikdörtgen koordinatlar (diğer koordinat sistemleri de düşünülebilir).

Analitik geometriden biliyoruz ki her sıralı sayı çifti için (x, y) tek bir noktayı karşılaştırabilirsiniz M düzlem ve tersi, her noktaya M Düzlem tek bir sayı çiftine karşılık gelir.

Bu nedenle gelecekte bir noktadan bahsederken genellikle karşılık gelen sayı çiftini kastedeceğiz. (x, y) ve tam tersi.

Tanım 1.2 Sayı çiftleri kümesi (x, y) Eşitsizlikleri sağlayan dikdörtgene (açık) dikdörtgen denir.

Düzlemde kenarları koordinat eksenlerine paralel ve noktada ortalanmış bir dikdörtgen (Şekil 1.2) olarak gösterilecektir. M 0 (X 0 sen 0 ) .

Bir dikdörtgen genellikle aşağıdaki sembolle gösterilir:

Daha fazla tartışma için önemli bir kavramı tanıtalım: bir noktanın komşuluğu.

Tanım 1.3 Dikdörtgen δ -çevre ( Delta mahallesi ) puan M 0 (X 0 sen 0 ) dikdörtgen denir

bir noktada merkezlenmiş M 0 ve kenarları eşit uzunlukta 2δ .

Tanım 1.4 Genelge δ - bir noktanın komşuluğu M 0 (X 0 sen 0 ) yarıçaplı daire denir δ bir noktada merkezlenmiş M 0 yani bir dizi nokta M(xy) koordinatları eşitsizliği karşılayan:

Mahalle kavramlarını ve diğer türleri tanıtabilirsiniz, ancak teknik problemlerin matematiksel analizi amacıyla esas olarak yalnızca dikdörtgen ve dairesel mahalleler kullanılır.

İki değişkenli bir fonksiyonun limitine ilişkin aşağıdaki kavramı tanıtalım.

Fonksiyona izin ver z = f(x,y) bazı bölgelerde tanımlanmış ζ Ve M 0 (X 0 sen 0 ) - bu alanın içinde veya sınırında bulunan bir nokta.

Tanım 1.5Sonlu sayı A isminde f fonksiyonunun limiti (x, y) en

herhangi bir pozitif sayı için ise ε böyle pozitif bir sayı bulabilir misin δ bu eşitsizlik

tüm noktalar için gerçekleştirilen M(x,y) bölgeden ζ , dan farklı M 0 (X 0 sen 0 ) koordinatları eşitsizlikleri karşılayan:

Bu tanımın anlamı, fonksiyonun değerlerinin f(x,y) Noktanın yeterince küçük bir komşuluğundaki noktalarda A sayısından istenildiği kadar az farklılık gösterir M 0 .

Burada tanım dikdörtgen mahallelere dayanmaktadır. M 0 . Noktanın dairesel komşulukları düşünülebilir M 0 ve o zaman eşitsizliği talep etmek gerekli olacaktır

her noktada M(x,y) bölge ζ , dan farklı M 0 ve koşulun sağlanması:

Noktalar arasındaki mesafe M Ve M 0 .

Aşağıdaki sınır tanımları kullanılır:

İki değişkenli bir fonksiyonun limitinin tanımı verildiğinde, tek değişkenli fonksiyonların limitlerine ilişkin temel teoremleri iki değişkenli fonksiyonlara genişletebiliriz.

Örneğin iki fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümünün limiti ile ilgili teoremler.

§3 İki değişkenli bir fonksiyonun sürekliliği

Fonksiyona izin ver z = f (x ,y) noktada tanımlanmış M 0 (X 0 sen 0 ) ve çevresi.

Tanım 1.6 Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olduğu söylenir M 0 (X 0 sen 0 ) , Eğer

Eğer fonksiyon f(x,y) bir noktada sürekli M 0 (X 0 sen 0 ) , O

Çünkü

Yani eğer fonksiyon f(x,y) bir noktada sürekli M 0 (X 0 sen 0 ) , bu durumda bu bölgedeki bağımsız değişkenlerin sonsuz küçük artışları sonsuz küçük artışlara karşılık gelir Δz işlevler z .

Bunun tersi de doğrudur: eğer argümanların sonsuz küçük artışları fonksiyonun sonsuz küçük artışlarına karşılık geliyorsa, o zaman fonksiyon süreklidir

Bir tanım kümesindeki her noktada sürekli olan bir fonksiyona tanım kümesinde sürekli denir. İki değişkenli sürekli fonksiyonlar için ve ayrıca bir aralıkta sürekli olan tek değişkenli bir fonksiyon için Weierstrass ve Bolzano-Cauchy'nin temel teoremleri geçerlidir.

Referans: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - Alman matematikçi. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - Çek matematikçi ve filozof. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - Fransız matematikçi, Fransız Bilimler Akademisi başkanı (1844 - 1857).

Örnek 1.4. Bir fonksiyonun sürekliliğini inceleyin

Bu fonksiyon değişkenlerin tüm değerleri için tanımlanmıştır X Ve sen paydanın sıfıra gittiği başlangıç ​​noktası hariç.

Polinom X 2 +y 2 her yerde süreklidir ve bu nedenle sürekli bir fonksiyonun karekökü süreklidir.

Kesir, paydanın sıfır olduğu noktalar dışında her yerde sürekli olacaktır. Yani, söz konusu fonksiyon tüm koordinat düzleminde süreklidir Ohoo , kökeni hariç.

Örnek 1.5. Bir fonksiyonun sürekliliğini inceleyin z=tg(x,y) . Teğet, miktarın tek sayısına eşit değerler hariç, argümanın tüm sonlu değerleri için tanımlanmış ve süreklidir. π/2 yani olduğu noktalar hariç

Her sabit için "k" Denklem (1.11) bir hiperbolü tanımlar. Bu nedenle, söz konusu fonksiyon sürekli bir fonksiyondur x ve y eğriler (1.11) üzerinde yer alan noktalar hariç.