Laplace dönüşümü. Doğrusal diferansiyel denklemleri çözmek için Laplace dönüşümünü kullanacağız. Compl Laplace değişkeninin canlanma temelleri

Laplace dönüşümü. Bir sistem diferansiyel ve integral denklemlerle tanımlandığında, bunları hesaplamak için Laplace dönüşümünü kullanmak genellikle uygundur. Bu durumda denklemler cebirsel hale gelir. Bu durumda, PL'yi sinyalin sinüzoidlere ve üstellere ayrıştırılması olarak düşünmek basitleştirilebilir. Ayrık sinyaller için PL'ye Z dönüşümü adı verilir.

Laplace dönüşümünün özü

Fourier dönüşümü

Zamanın t PL gerçek yer değiştirmelerinin çeşitli fonksiyonları, karmaşık yer değiştirme p fonksiyonlarıyla ilişkilidir ve bunun tersi de geçerlidir.

Laplace dönüşümü

р=σ+jω – farklılaşma operatörü

Laplace'a göre bir fonksiyonun görüntüsü, σ'nun gerçek değerlerin ekseni boyunca ve jω'nin sanal değerlerin ekseni boyunca çizildiği karmaşık bir düzlemdir. Ayrıca düzlemin her noktası karmaşık bir niceliktir ve cebirsel veya kutupsal gösterimle temsil edilebilir. Laplace görüntüsünü bulmak için orijinal sinyal çeşitli e -σt üsleriyle çarpılır. Eğer σ 0 ise bu bir sağ yarım düzlemdir. Bu çarpımların her biri için Fourier dönüşümü bulunur ve sanal değer eksenine yerleştirilir. Orijinal sinyal gerçek bir fonksiyonla temsil edilirse üst ve alt yarı düzlemler yansıtılacaktır.

Dikkat! Her elektronik ders notu yazarının fikri mülkiyetindedir ve web sitesinde yalnızca bilgilendirme amaçlı olarak yayınlanır.

Diferansiyel denklemleri (denklem sistemlerini) sabit katsayılarla çözmenin yollarından biri, gerçek bir değişkenin fonksiyonunun (orijinal fonksiyon), karmaşık bir değişkenin fonksiyonuyla (görüntü) değiştirilmesine izin veren integral dönüşüm yöntemidir. işlev). Sonuç olarak orijinal fonksiyonlar uzayında türev alma ve integrasyon işlemleri, görüntü fonksiyonlar uzayında cebirsel çarpma ve bölme işlemlerine dönüştürülür. İntegral dönüşüm yönteminin temsilcilerinden biri Laplace Dönüşümüdür.

Sürekli Laplace dönüşümü– karmaşık bir değişkenin fonksiyonunu (fonksiyon görüntüsü) gerçek bir değişkenin fonksiyonuna (orijinal fonksiyon) bağlayan integral dönüşüm. Bu durumda gerçek değişkenin fonksiyonu aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

Fonksiyon, gerçek değişkenin tüm pozitif yarı ekseni üzerinde tanımlanır ve türevlenebilir (fonksiyon, Dirichlet koşullarını karşılar);

Fonksiyonun başlangıç anından önceki değeri sıfıra eşittir ;

Fonksiyonun artışı üstel fonksiyonla sınırlıdır, yani. gerçek değişkenli bir fonksiyon için böyle pozitif sayılar vardır M Ve İle , Ne nerede C – mutlak yakınsamanın apsisi (bazı pozitif sayılar).

Laplace dönüşümü (doğrudan integral dönüşümü) gerçek değişkenli bir fonksiyona aşağıdaki biçimdeki bir fonksiyon denir (karmaşık bir değişkenin fonksiyonu):

Bir fonksiyona, fonksiyonun orijinali, fonksiyona ise onun görüntüsü denir. Karmaşık değişken Laplace operatörü denir ve burada açısal frekans ve bazı pozitif sabit sayılar bulunur.

İlk örnek olarak sabit bir fonksiyon için bir görüntü tanımlayalım.

İkinci bir örnek olarak kosinüs fonksiyonu için bir görüntü tanımlayalım. . Euler formülü dikkate alındığında kosinüs fonksiyonu iki üstel sayının toplamı olarak temsil edilebilir. .

Uygulamada doğrudan Laplace dönüşümünü gerçekleştirmek için standart fonksiyonların orijinallerini ve görüntülerini sunan dönüşüm tabloları kullanılır. Aşağıda bu özelliklerden bazıları yer almaktadır.

Üstel fonksiyon için orijinal ve görüntü

Kosinüs fonksiyonu için orijinal ve görüntü

Sinüs fonksiyonu için orijinal ve görüntü

Üstel olarak azalan kosinüs için orijinal ve görüntü

Üstel olarak azalan sinüs için orijinal ve görüntü

Fonksiyonun, argümanın negatif değerleri için sıfır değerini alan, argümanın pozitif değerleri için ise bire eşit değer alan bir Heaviside fonksiyonu olduğunu belirtelim.

Laplace Dönüşümünün Özellikleri

Doğrusallık teoremi

Laplace dönüşümü doğrusallık özelliğine sahiptir; fonksiyon orijinalleri arasındaki herhangi bir doğrusal ilişki bu fonksiyonların görüntüleri için geçerlidir.

Doğrusallık özelliği, bir fonksiyonun görüntüsünün basit terimlerin toplamı olarak temsil edilmesine ve ardından temsil edilen her terimin orijinallerinin bulunmasına olanak tanıdığından, karmaşık görüntülerin orijinallerinin bulunmasını kolaylaştırır.

Orijinal farklılaşma teoremi işlevler

Orijinal fonksiyonun farklılaşması şuna karşılık gelir: çarpma işlemi

Sıfır olmayan başlangıç koşulları için:

Sıfır başlangıç koşullarında (özel durum):

Böylece bir fonksiyonun türevini alma işleminin yerini, fonksiyonun görüntü uzayında bir aritmetik işlem alır.

Orijinal entegrasyon teoremi işlevler

Orijinal fonksiyonun entegrasyonu karşılık gelir bölüm Laplace operatöründeki fonksiyonların görüntüleri.

Böylece bir fonksiyonun integral alma işleminin yerini, fonksiyonun görüntü uzayında bir aritmetik işlem alır.

benzerlik teoremi

Zaman alanında bir fonksiyonun argümanının değiştirilmesi (sinyalin sıkıştırılması veya genişletilmesi), fonksiyon görüntüsünün argümanında ve ordinatında ters bir değişikliğe yol açar.

Darbe süresinin arttırılması, spektral fonksiyonunun sıkıştırılmasına ve spektrumun harmonik bileşenlerinin genliklerinde bir azalmaya neden olur.

Gecikme teoremi

Orijinal fonksiyonun argümanına göre sinyalin bir aralık kadar gecikmesi (kayması, yer değiştirmesi), modülü değiştirmeden spektrumun faz-frekans fonksiyonunda (tüm harmoniklerin faz açısı) belirli bir değerde bir değişikliğe yol açar ( spektrumun genlik fonksiyonu).

Ortaya çıkan ifade herhangi bir durum için geçerlidir.

Yer değiştirme teoremi

Fonksiyon görüntüsünün argümanıyla sinyalin gecikmesi (kayma, yer değiştirme), orijinal fonksiyonun üstel bir faktörle çarpılmasına yol açar

Pratik açıdan bakıldığında, üstel fonksiyonların görüntülerinin belirlenmesinde yer değiştirme teoremi kullanılır.

Evrişim teoremi

Evrişim, iki fonksiyona uygulanan ve üçüncü bir fonksiyon üreten matematiksel bir işlemdir. Başka bir deyişle, belirli bir doğrusal sistemin bir darbeye tepkisini alarak, sistemin tüm sinyale tepkisini hesaplamak için evrişimi kullanabilirsiniz.

Böylece, iki fonksiyonun orijinallerinin evrişimi, bu fonksiyonların görüntülerinin bir ürünü olarak temsil edilebilir. Doğrulama teoremi, transfer fonksiyonlarını göz önünde bulundururken, dört bağlantı noktalı bir ağın girişine bir darbe geçici yanıtı ile bir sinyal uygulandığında sistem yanıtı (dört bağlantı noktalı bir ağdan çıkış sinyali) belirlendiğinde kullanılır.

Doğrusal dört kutuplu

Ters Laplace dönüşümü

Laplace dönüşümü tersine çevrilebilir, yani. Gerçek bir değişkenin fonksiyonu, karmaşık bir değişkenin fonksiyonundan benzersiz bir şekilde belirlenir . Bunu yapmak için ters Laplace dönüşümü formülünü kullanın.(Mellin formülü, Bromwich integrali) aşağıdaki forma sahiptir:

Bu formülde integralin sınırları, integralin hayali eksene paralel olan ve gerçek eksenle noktasında kesişen sonsuz bir düz çizgi boyunca ilerlediği anlamına gelir. İkinci ifadenin aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceği dikkate alındığında:

Uygulamada, ters Laplace dönüşümünü gerçekleştirmek için, fonksiyonun görüntüsü, belirlenemeyen katsayılar yöntemiyle basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır ve her kesir için (doğrusallık özelliğine uygun olarak), orijinal fonksiyon belirlenir. Tipik fonksiyonlar tablosunu hesaplayın. Bu yöntem, uygun rasyonel kesir olan bir fonksiyonu tasvir etmek için geçerlidir. En basit kesirin, paydanın köklerinin türüne bağlı olarak gerçek katsayılara sahip doğrusal ve ikinci dereceden faktörlerin bir ürünü olarak temsil edilebileceğine dikkat edilmelidir:

Paydada sıfır kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre genişletilir:

Paydada sıfır n katlı bir kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre genişletilir:

Paydada gerçek bir kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre genişletilir:

Paydada gerçek bir n-katlı kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre genişletilir:

Paydada hayali bir kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre genişletilir:

Karmaşık eşlenik kökler durumunda paydada fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre genişletilir:

∙ Genel olarak Bir fonksiyonun görüntüsü uygun bir rasyonel kesir ise (payın derecesi, rasyonel kesirin paydasının derecesinden küçükse), o zaman basit kesirlerin toplamına ayrıştırılabilir.

∙ Özel bir durumda bir fonksiyonun görüntüsünün paydası denklemin yalnızca basit köklerine ayrıştırılırsa, o zaman fonksiyonun görüntüsü aşağıdaki gibi basit kesirlerin toplamına genişletilebilir:

Bilinmeyen katsayılar, bilinmeyen katsayılar yöntemiyle veya aşağıdaki formülü kullanan basitleştirilmiş bir yöntemle belirlenebilir:

Fonksiyonun o noktadaki değeri;

Fonksiyonun noktadaki türevinin değeri.

Laplace dönüşümü- fonksiyonu bağlayan integral dönüşüm F(s) (\displaystyle \F(s)) karmaşık değişken ( görüntü) işlevli f (x) (\displaystyle \f(x)) gerçek değişken ( orijinal). Onun yardımıyla dinamik sistemlerin özellikleri incelenir ve diferansiyel ve integral denklemler çözülür.

Bilimsel ve mühendislik hesaplamalarındaki geniş dağılımını önceden belirleyen Laplace dönüşümünün özelliklerinden biri de orijinaller üzerindeki birçok ilişki ve işlemin, görüntüleri üzerindeki daha basit ilişkilere karşılık gelmesidir. Böylece, iki fonksiyonun evrişimi görüntü uzayında bir çarpma işlemine indirgenir ve doğrusal diferansiyel denklemler cebirsel hale gelir.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Laplace dönüşümü - bezbotvy

✪ Ders 10: Laplace dönüşümü

✪ Yüksek matematik -- 4. Laplace dönüşümleri. Bölüm 1

✪ DE'yi çözmek için Laplace yöntemi

✪ Ders 11: Laplace dönüşümünün diferansiyel denklemlerin çözümüne uygulanması

Altyazılar

Tanım

Doğrudan Laplace dönüşümü

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e - σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

o zaman mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar ve bir analitik fonksiyondur. σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- karmaşık bir değişkenin gerçek kısmı s (\displaystyle s)). Tam alt kenar σ a (\displaystyle \sigma _(a)) sayı kümeleri σ (\displaystyle \sigma) Bu koşulun sağlandığı duruma denir mutlak yakınsamanın apsisi Fonksiyon için Laplace dönüşümü.

Doğrudan Laplace dönüşümünün varoluş koşulları

Laplace dönüşümü L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\)) Aşağıdaki durumlarda mutlak yakınsama anlamında var olur:

σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): İntegral varsa Laplace dönüşümü de vardır ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): İntegral ise Laplace dönüşümü mevcuttur ∫ 0x1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx) her sonlu için var x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0) Ve | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))İçin x > x 2 ⩾ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
σ > 0 (\displaystyle \sigma >0) veya σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(hangisi daha büyük): fonksiyon için bir Laplace dönüşümü varsa, bir Laplace dönüşümü de vardır f ′ (x) (\displaystyle f"(x))(türevi f (x) (\displaystyle f(x))) İçin σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Not

Ters Laplace dönüşümünün varoluş koşulları

Ters Laplace dönüşümünün varlığı için aşağıdaki koşulların sağlanması yeterlidir:

Eğer görüntü F (s) (\displaystyle F(s))- için analitik fonksiyon σ ⩾ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a)) ve -1'den küçük bir mertebeye sahipse, bunun için ters dönüşüm vardır ve argümanın tüm değerleri için süreklidir ve L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)İçin t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
İzin vermek F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), Bu yüzden φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n))) her biri hakkında analitik z k (\displaystyle z_(k)) ve sıfıra eşittir z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), Ve F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\iki nokta üst üste k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), o zaman ters dönüşüm vardır ve karşılık gelen doğrudan dönüşüm mutlak yakınsaklığın absis'ine sahiptir.

Not: Bunlar varoluşun yeterli koşullarıdır.

Evrişim teoremi

Ana makale: Evrişim teoremi

Orijinalin farklılaşması ve entegrasyonu

Orijinalin birinci türevinin argümana göre Laplace görüntüsü, görüntünün ve ikincisinin argümanının eksi sağdaki sıfırdaki orijinalin çarpımıdır:

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) - f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+))).)

Başlangıç ve son değer teoremleri (limit teoremleri):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), eğer fonksiyonun tüm kutupları s F (s) (\displaystyle sF(s)) sol yarım düzlemdedir.

Sonlu Değer Teoremi çok kullanışlıdır çünkü orijinalin sonsuzdaki davranışını basit bir ilişki kullanarak açıklar. Bu, örneğin dinamik bir sistemin yörüngesinin kararlılığını analiz etmek için kullanılır.

Diğer özellikler

Doğrusallık:

L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s.)

Bir sayıyla çarpmak:

L ( f (a x)) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)

Bazı fonksiyonların doğrudan ve ters Laplace dönüşümü

Aşağıda bazı fonksiyonlar için Laplace dönüşüm tablosu verilmiştir.

№	İşlev	Zaman alanı x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	Frekans alanı X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))	Yakınsama bölgesi İçin nedensel sistemler
1	mükemmel gecikme	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1 A	tek dürtü	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	gecikme n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a	güç n (\displaystyle n)-inci sıra	tnn! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.1	güç q (\displaystyle q)-inci sıra	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gama (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.2	birim işlevi	H (t) (\displaystyle H(t)\ )	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2b	gecikmeli birim fonksiyonu	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2c	"hızlı adım"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2 gün	n (\displaystyle n) frekans kayması ile -th mertebesi	tnn! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha )
2d.1	üstel bozunma	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha)))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	üstel yaklaşım	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	sinüs	günah ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	kosinüs	çünkü ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	hiperbolik sinüs	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2))))	> \| α \| (\displaystyle s>\|\alpha \|\ )
7	hiperbolik kosinüs	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2))))	> \| α \| (\displaystyle s>\|\alpha \|\ )
8	üstel olarak azalan sinüs	e − α t günah ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	üstel olarak azalan kosinüs	e − α t çünkü ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	kök n (\displaystyle n)-inci sıra	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gama \left(1+(\frac (1)(n) )\Sağ))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	doğal logaritma	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Bessel işlevi birinci tür emir n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2))+\omega ^(2) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	birinci tür emir n (\displaystyle n)	ben n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2))-\omega ^(2) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	> \| ω \| (\displaystyle s>\|\omega \|\ )
14	Bessel işlevi ikinci tür sıfır sipariş	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha) ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	değiştirilmiş Bessel işlevi ikinci tür, sıfır sipariş	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	hata fonksiyonu	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Tabloya ilişkin notlar: H (t) (\displaystyle H(t)\ ) ; α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ ) Ve ω (\displaystyle \omega \ ) - Diğer dönüşümlerle ilişki Temel bağlantılar Mellin dönüşümü Mellin dönüşümü ve ters Mellin dönüşümü, değişkenlerin basit bir değişimiyle iki yönlü Laplace dönüşümüyle ilişkilidir. Mellin dönüşümünde ise G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\left\(g(\theta)\right \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) hadi koyalım θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), sonra iki taraflı bir Laplace dönüşümü elde ederiz. Z dönüşümü Z (\displaystyle Z)-dönüşüm, değişkenlerin değişimi kullanılarak gerçekleştirilen bir kafes fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Borel dönüşümü Borel dönüşümünün integral formu Laplace dönüşümüyle aynıdır; ayrıca Laplace dönüşümünün kullanımının daha geniş bir fonksiyon sınıfına genişletildiği genelleştirilmiş bir Borel dönüşümü de vardır. Kaynakça Van der Pol B., Bremer H.İki yönlü Laplace dönüşümüne dayanan operasyonel hesap. - M.: Yabancı Edebiyat Yayınevi, 1952. - 507 s. Ditkin V.A., Prudnikov A.P.İntegral dönüşümler ve operasyonel hesap. - M .: "Nauka" yayınevinin fiziksel ve matematiksel literatürünün ana yazı işleri ofisi, 1974. - 544 s. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I. Operasyonel hesabın el kitabı: Teorinin temelleri ve formül tabloları. - M .: Teknik ve Teorik Literatür Devlet Yayınevi, 1951. - 256 s. Carslow H., Jäger D. Uygulamalı matematikte işlemsel yöntemler. - M.: Yabancı Edebiyat Yayınevi, 1948. - 294 s. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourier serileri ve integralleri. Alan teorisi. Analitik ve özel fonksiyonlar. Laplace dönüşümleri. - M .: Nauka, 1964. - 184 s. Krasnov M.L., Makarenko G.I. Operasyonel hesap. Hareketin stabilitesi. - M .: Nauka, 1964. - 103 s. Mikusinsky Ya. Operatör hesabı. - M.: Yabancı Edebiyat Yayınevi, 1956. - 367 s. Romanovsky P.I. Fourier serisi. Alan teorisi. Analitik ve özel fonksiyonlar. Laplace dönüşümleri. - M .: Nauka, 1980. - 336 s.

Bölüm II. Matematiksel analiz

E.Yu.Anokhina

BİR EĞİTİM KONUSU OLARAK KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN (TFCV) FONKSİYONU TEORİSİNİN GELİŞİM VE KURULUŞ TARİHİ

Karmaşık matematik derslerinden biri de TFKP dersidir. Bu dersin karmaşıklığı, her şeyden önce, TFKP biliminin geniş uygulamalı odağında tarihsel olarak ifade edilen, diğer matematik disiplinleriyle olan ilişkilerinin çeşitliliğinden kaynaklanmaktadır.

Matematik tarihi ile ilgili bilimsel literatürde TFKP'nin gelişim tarihi hakkında dağınık bilgiler bulunmaktadır; bunlar sistemleştirme ve genelleme gerektirmektedir.

Bu bağlamda bu makalenin temel amacı TFKP'nin gelişiminin ve bu teorinin bir eğitim konusu olarak kurulmasının kısa bir açıklamasıdır.

Çalışma sonucunda TFKP'nin bir bilim ve eğitim konusu olarak gelişiminde aşağıdaki üç aşama tespit edilmiştir:

Karmaşık sayıların ortaya çıkışı ve tanınması aşaması;

Hayali büyüklüklerin fonksiyonlarına ilişkin olgusal materyalin biriktirilme aşaması;

Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin oluşum aşaması.

TFKP'nin gelişiminin ilk aşaması (16. yüzyıl ortası - 18. yüzyıl), G. Cardano'nun (1545) “Artis magnae sive de regulis algebraitis” (Büyük sanat veya cebir kuralları üzerine) adlı eserini yayımlayan çalışmasıyla başlar. G. Cardano'nun çalışmasının asıl görevi, yakın zamanda Ferro (1465-1526), Tartaglia (1506-1559) ve Ferrari (1522-1565) tarafından keşfedilen üçüncü ve dördüncü derece denklemleri çözmek için genel cebirsel teknikleri doğrulamaktı. Kübik denklem forma indirgenirse

x3 + piksel + d = 0,

ve öyle olmalı

(t^Ar V (|- 70) olduğunda denklemin üç gerçek kökü vardır ve bunlardan ikisi

birbirine eşittir. O zaman denklemin bir gerçek ve iki ortak değeri varsa

karmaşık kökleri birleştirir. Karmaşık sayılar nihai sonuçta görünüyor, böylece G. Cardano kendisinden önce yaptıklarını yapabilir: denklemin şu şekilde olduğunu beyan edebilir:

bir kök. Ne zaman (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

İndirgenemez durum olarak adlandırılan durum, 16. yüzyıla kadar karşılaşılmayan bir özellikle karakterize ediliyor. x3 - 21x + 20 = 0 denkleminin 1, 4, - 5 olmak üzere üç gerçek kökü vardır ve bu kolaydır.

basit değiştirmeyle doğrulayın. Ancak ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; dolayısıyla genel formüle göre x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243. Karmaşık, yani "yanlış" ise sayının bir sonuç değil, söz konusu denklemin gerçek köklerine yol açan hesaplamalarda bir ara terim olduğu ortaya çıkar. J. Cardano bir zorlukla karşılaştı ve bu formülün genelliğini korumak için karmaşık sayıları tamamen göz ardı etmekten vazgeçmek gerektiğini fark etti. J. d'Alembert (1717-1783), G. Cardano ve bu fikri takip eden matematikçilerin karmaşık sayılarla ciddi şekilde ilgilenmesine neden olan şeyin tam da bu durum olduğuna inanıyordu.

Bu aşamada (17. yüzyılda) genel olarak iki görüş kabul edildi. İlk bakış açısı, karmaşık sayıların sınırsız kullanımına olan ihtiyacın farkına varılması sorununu gündeme getiren Girard tarafından ifade edildi. İkincisi ise karmaşık sayıların yorumlanması olasılığını reddeden Descartes'a aittir. J. Wallis'in karmaşık sayıların gerçek bir yorumunun varlığına ilişkin bakış açısı Descartes'ın görüşünün karşısındaydı, Descartes bunu görmezden geldi. Gerçel sayıların kullanımının karmaşık bir sonuca yol açtığı veya sonucun teorik olarak elde edilemediği ancak pratik bir uygulamaya sahip olduğu durumlarda, uygulamalı problemlerin çözümünde karmaşık sayılar "zorlanmaya" başlandı.

Karmaşık sayıların sezgisel kullanımı, karmaşık sayılar kümesi için gerçek sayıların aritmetik yasalarını ve kurallarını koruma ihtiyacını doğurdu; özellikle doğrudan transfer girişimleri vardı. Bu bazen hatalı sonuçlara yol açıyordu. Bu bağlamda, karmaşık sayıların gerekçelendirilmesi ve aritmetiği için algoritmaların oluşturulmasıyla ilgili sorular önem kazanmıştır. Bu, TFKP'nin gelişiminde yeni bir aşamanın başlangıcıydı.

TFKP'nin gelişiminin ikinci aşaması (18. yüzyılın başı - 19. yüzyıl). 18. yüzyılda L. Euler, karmaşık sayılar alanının cebirsel olarak kapalı olduğu fikrini dile getirdi. Karmaşık sayılar C alanının cebirsel kapalılığı matematikçileri aşağıdaki sonuçlara götürdü:

Fonksiyonların ve genel olarak matematiksel analizin incelenmesinin, yalnızca karmaşık bir alandaki fonksiyonların davranışı dikkate alındığında gereken tamlık ve tamlığı kazanması;

Karmaşık sayıları değişken olarak düşünmek gerekir.

1748'de L. Euler (1707-1783) “Sonsuz Küçüklerin Analizine Giriş” adlı çalışmasında, fonksiyonların doğrusal faktörlere genişletilmesinde karmaşık sayıları kullanarak, değişken bir miktarın en genel kavramı olarak karmaşık bir değişkeni tanıttı. L. Euler haklı olarak TFKP'nin yaratıcılarından biri olarak kabul ediliyor. L. Euler'in çalışmalarında karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonları ayrıntılı olarak incelendi (1740-1749), türevlenebilirlik koşulları verildi (1755) ve karmaşık değişkenli fonksiyonlar için integral hesabının başlangıcı (1777). L. Euler pratik olarak konformal haritalamayı tanıttı (1777). Bu eşleştirmeleri "küçükte benzer" olarak adlandırdı ve "uyumlu" terimi görünüşe göre ilk olarak St. Petersburg akademisyeni F. Schubert (1789) tarafından kullanıldı. L. Euler ayrıca karmaşık değişkenli fonksiyonların çeşitli matematik problemlerine çok sayıda uygulamasını getirdi ve bunların hidrodinamik (1755-1757) ve haritacılıkta (1777) kullanımının temelini attı. K. Gauss, karmaşık düzlemdeki bir integralin tanımını, analitik bir fonksiyonun bir güç serisine ayrıştırılabilirliğine ilişkin bir integral teoremini formüle eder. Laplace, zor integralleri hesaplarken karmaşık değişkenleri kullanır ve Laplace dönüşümü olarak bilinen doğrusal, fark ve diferansiyel denklemleri çözmek için bir yöntem geliştirir.

1799'dan başlayarak, karmaşık sayıların az çok uygun yorumlarının verildiği ve bunlara ilişkin eylemlerin tanımlandığı çalışmalar ortaya çıktı. Oldukça genel bir teorik yorum ve geometrik yorum, K. Gauss tarafından yalnızca 1831'de yayınlandı.

L. Euler ve çağdaşları, TFKP'ye dair birikmiş, bazen sistemleştirilmiş, bazen değil ama yine de dağınık gerçekler şeklinde torunlarına zengin bir miras bıraktılar. Sanal niceliklerin fonksiyonlarına ilişkin olgusal materyalin, onun bir teori biçiminde sistemleştirilmesini gerektirdiğini söyleyebiliriz. Bu teori oluşmaya başladı.

TFKP'nin oluşumunun üçüncü aşaması (XIX yüzyıl - XX yüzyıl). Buradaki ana başarılar O. Cauchy (1789-1857), B. Riemann (1826-1866) ve K. Weierstrass'a (1815-1897) aittir. Her biri TFKP'nin gelişim yönlerinden birini temsil ediyordu.

Matematik tarihinde “monogenik veya diferansiyellenebilir fonksiyonlar teorisi” olarak adlandırılan ilk yönün temsilcisi O. Cauchy idi. Karmaşık değişkenli fonksiyonların diferansiyel ve integral hesabına ilişkin dağınık gerçekleri resmileştirdi, temel kavramların ve işlemlerin anlamını hayali olanlarla açıkladı. O. Cauchy'nin çalışmalarında limit teorisi ve buna dayalı seri ve temel fonksiyonlar teorisi sunulmuş ve bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini tamamen açıklığa kavuşturan bir teorem formüle edilmiştir. 1826'da O. Cauchy, kesinti (kelimenin tam anlamıyla: kalan) terimini tanıttı. 1826'dan 1829'a kadar olan çalışmalarında kalıntı teorisini oluşturdu. O. Cauchy bir integral formülü türetmiştir; Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun kuvvet serisine genişletilmesinin varlığına ilişkin bir teorem elde etti (1831). O. Cauchy, çeşitli değişkenlerin analitik fonksiyonları teorisinin temellerini attı; karmaşık bir değişkenin çok değerli fonksiyonlarının ana dallarını belirledi; ilk kez düzlem kesimler kullanıldı (1831-1847). 1850 yılında monodromik fonksiyonlar kavramını ortaya attı ve monogenik fonksiyonların sınıfını belirledi.

O. Cauchy'nin takipçisi, TFKP'nin kendi “geometrik” (ikinci) gelişim yönünü yaratan B. Riemann'dı. Çalışmalarında karmaşık değişkenlerin fonksiyonları hakkındaki fikir ayrılığını aşarak bu teorinin diğer disiplinlerle yakından ilişkili yeni bölümlerini oluşturdu. Riemann, analitik fonksiyonlar teorisinin tarihinde önemli ölçüde yeni bir adım attı; karmaşık bir değişkenin her fonksiyonuyla, bir alanı diğerine haritalama fikrini ilişkilendirmeyi önerdi. Bir kompleksin fonksiyonları ile gerçek bir değişkenin fonksiyonları arasındaki farkları belirledi. B. Riemann, geometrik fonksiyonlar teorisinin temelini attı, Riemann yüzeyini tanıttı, konformal haritalama teorisini geliştirdi, analitik ve harmonik fonksiyonlar arasındaki bağlantıyı kurdu ve zeta fonksiyonunu tanıttı.

TFKP'nin daha da gelişmesi farklı (üçüncü) bir yönde gerçekleşti. Bunun temeli, fonksiyonları kuvvet serileri ile temsil etme olasılığıydı. Tarihte bu yöne “analitik” adı verilmiştir. K. Weierstrass'ın düzgün yakınsama kavramını ön plana çıkardığı çalışmalarında oluşmuştur. K. Weierstrass, benzer terimleri bir diziye getirmenin yasallığına dair bir teorem formüle etti ve kanıtladı. K. Weierstrass temel bir sonuç elde etti: Belirli bir alanda düzgün bir şekilde yakınsayan analitik fonksiyonlar dizisinin limiti analitik bir fonksiyondur. Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun kuvvet serisi açılımı üzerine Cauchy teoremini genelleştirmeyi başardı ve kuvvet serilerinin analitik devamı sürecini ve bunun bir diferansiyel denklem sisteminin çözümlerinin temsiline uygulanmasını tanımladı. K. Weierstrass, serinin yalnızca mutlak yakınsaklığı değil, aynı zamanda tek biçimli yakınsaklığı da ortaya koydu. Weierstrass'ın bir fonksiyonun tamamının bir ürüne genişletilmesine ilişkin teoremi ortaya çıkıyor. Çok değişkenli analitik fonksiyonlar teorisinin temellerini atar ve kuvvet serilerinin bölünebilirliği teorisini oluşturur.

Analitik fonksiyonlar teorisinin Rusya'daki gelişimini ele alalım. 19. yüzyılın Rus matematikçileri. uzun süre kendilerini matematiğin yeni bir alanına adamak istemediler. Buna rağmen, ona yabancı olmayan birkaç isim verebiliriz ve bu Rus matematikçilerin bazı çalışmalarını ve başarılarını listeleyebiliriz.

Rus matematikçilerden biri M.V. Ostrogradsky (1801-1861). M.V.'nin araştırması hakkında. Analitik fonksiyonlar teorisi alanında Ostrogradsky hakkında çok az şey biliniyor, ancak O. Cauchy, integralleri uygulayan, formüllerin yeni kanıtlarını veren ve diğer formülleri genelleştiren bu genç Rus bilim adamından övgüyle söz etti. M.V. Ostrogradsky, Cauchy'nin bir fonksiyonun n'inci dereceden bir kutba göre çıkarılmasına ilişkin formülünü türettiği "Belirli İntegraller Üzerine Açıklamalar" adlı eserini yazdı. 1858-1859'da verilen kapsamlı bir kamu konferansında, belirli integrallerin değerlendirilmesinde kalıntı teorisinin ve Cauchy formülünün uygulamalarını özetledi.

N.I.'nin bir dizi eseri 1930'lara kadar uzanıyor. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi için doğrudan öneme sahip olan Lobachevsky. Karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonları teorisi, “Cebir veya sonlu olanların hesaplanması” adlı eserinde yer almaktadır (Kazan, 1834). Burada cos x ve sin x başlangıçta gerçek x için gerçek olarak belirlenir ve

ex^ fonksiyonunun sanal kısmı. Üstel fonksiyonun önceden belirlenmiş özellikleri ve kuvvet açılımları kullanılarak trigonometrik fonksiyonların tüm temel özellikleri türetilir. İle-

Görünüşe göre Lobaçevski, Öklid geometrisinden bağımsız, trigonometrinin tamamen analitik bir yapısına özel bir önem veriyordu.

19. yüzyılın son on yıllarında olduğu iddia edilebilir. ve 20. yüzyılın ilk on yılı. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi üzerine temel araştırma (F. Klein, A. Poincaré, P. Koebe), Lobaçevski geometrisinin aynı zamanda tek bir karmaşık değişkenin analitik fonksiyonlarının geometrisi olduğunun kademeli olarak açıklığa kavuşturulmasından oluşuyordu.

1850'de St. Petersburg Üniversitesi'nde profesör (daha sonra akademisyen) I.I. Somov (1815-1876), Jacobi'nin "Yeni Temelleri"ni temel alan "Analitik Fonksiyonlar Teorisinin Temelleri"ni yayınladı.

Bununla birlikte, karmaşık bir değişkenin analitik fonksiyonları teorisi alanında gerçek anlamda ilk "orijinal" Rus araştırmacı Yu.V. Sokhotsky (1842-1929). “Bazı Uygulamalarla İntegral Kalıntılar Teorisi” adlı yüksek lisans tezini savundu (St. Petersburg, 1868). 1868 sonbaharından beri Yu.V. Sokhotsky, sanal bir değişkenin fonksiyonları teorisi ve analiz uygulamalarıyla sürekli kesirler üzerine dersler verdi. Yüksek lisans tezi Yu.V. Sokhotsky kendini artıklar teorisinin kuvvet serilerinin ters çevrilmesine (Lagrange serileri) ve özellikle analitik fonksiyonların sürekli kesirlere genişletilmesine ve aynı zamanda Legendre polinomlarına uygulanmasına adamıştır. Bu çalışmada, analitik bir fonksiyonun esasen tekil bir noktanın komşuluğundaki davranışına ilişkin ünlü teorem formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır. Sokhotsky'nin doktora tezinde

(1873) Cauchy tipi bir integral kavramı ilk kez genişletilmiş biçimde tanıtıldı: *r/ ^ & _ burada

a ve b iki rastgele karmaşık sayıdır. İntegralin a ve b'yi birbirine bağlayan belirli bir eğri (“yörünge”) boyunca alındığı varsayılmaktadır. Bu çalışmada bir takım teoremler kanıtlanmıştır.

N.E.'nin çalışmaları analitik fonksiyonların tarihinde büyük bir rol oynadı. Zhukovsky ve S.A. Aero- ve hidromekanikteki uygulamalarının geniş bir alanını açan Chaplygin.

Analitik fonksiyonlar teorisinin gelişiminden bahsederken, S.V. Kovalevskaya, asıl önemi bu teorinin kapsamı dışında olmasına rağmen. Çalışmasının başarısı, analitik fonksiyonlar teorisi açısından problemin tamamen yeni bir formülasyonuna ve t zamanının karmaşık bir değişken olarak dikkate alınmasına bağlıydı.

20. yüzyılın başında. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi alanındaki bilimsel araştırmanın doğası değişmektedir. Daha önce bu alandaki araştırmaların çoğu üç yönden birinin (monojenik veya diferansiyellenebilir Cauchy fonksiyonları teorisi, Riemann'ın geometrik ve fiziksel fikirleri, Weierstrass'ın analitik yönü) geliştirilmesi açısından yürütülmüşse, şimdi farklılıklar ve ilgili anlaşmazlıkların aşıldığı, fikir ve yöntemlerin sentezinin yürütüldüğü çalışmaların sayısı hızla ortaya çıkmakta ve artmaktadır. Geometrik kavramlar ile kuvvet serileri aparatının bağlantısı ve yazışmasının açıkça ortaya çıktığı ana kavramlardan biri analitik süreklilik kavramıydı.

19. yüzyılın sonunda. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi geniş bir disiplinler kümesini içerir: konformal haritalamalar ve Riemann yüzeyleri teorisine dayanan geometrik fonksiyon teorisi. Çeşitli fonksiyon türlerinin teorisinin tam bir formunu elde ettik: tam sayı ve meromorfik, eliptik ve modüler, otomorfik, harmonik, cebirsel. Son fonksiyon sınıfıyla yakın bağlantılı olarak Abel integralleri teorisi geliştirildi. Bu kompleksin yanında analitik diferansiyel denklemler teorisi ve analitik sayılar teorisi vardı. Analitik fonksiyonlar teorisi diğer matematik disiplinleriyle bağlantılar kurdu ve güçlendirdi.

TFKP ile cebir, geometri ve diğer bilimler arasındaki ilişkilerin zenginliği, TFKT biliminin sistematik temellerinin oluşturulması ve pratikteki büyük önemi, TFKT'nin bir eğitim konusu olarak oluşmasına katkıda bulunmuştur. Ancak temellerin oluşumunun tamamlanmasıyla eş zamanlı olarak analitik fonksiyonlar teorisine, kompozisyonunu, doğasını ve hedeflerini önemli ölçüde değiştiren yeni fikirler getirildi. Analitik fonksiyonlar teorisinin sistematik bir sunumunu aksiyomatiğe yakın bir tarzda içeren ve aynı zamanda eğitim amaçlı monografiler ortaya çıkıyor. Görünüşe göre, incelenen dönemin bilim adamlarının TFKP hakkında elde ettiği sonuçların önemi, onları eğitimsel bir bakış açısıyla ders verme ve monografik çalışmalar yayınlama şeklinde TFKP'yi yaygınlaştırmaya teşvik etti. TFKP'nin bir eğitim kurumu olarak ortaya çıktığı sonucuna varılabilir.

ders. 1856'da C. Briot ve T. Bouquet, esasen ilk ders kitabı olan "Hayali Bir Değişkenin Fonksiyonlarının İncelenmesi" adlı küçük bir anı kitabı yayınladılar. Derslerde karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisindeki genel kavramlar geliştirilmeye başlandı. 1856'dan beri K. Weierst-Rass, fonksiyonların yakınsak kuvvet serileri ile temsili ve 1861'den beri genel fonksiyonlar teorisi üzerine ders veriyordu. 1876'da K. Weierstrass'ın özel bir makalesi yayınlandı: "Tek Değerli Analitik Fonksiyonlar Teorisi Üzerine" ve 1880'de analitik fonksiyonlar teorisinin belirli bir bütünlük kazandığı "Fonksiyonlar Doktrini Üzerine".

Weierstrass'ın dersleri, uzun yıllar boyunca karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi üzerine ders kitaplarının prototipi olarak hizmet etti ve o zamandan beri oldukça sık ortaya çıkmaya başladı. Matematiksel analizde temel olarak modern titizlik standardı onun derslerinde oluşturuldu ve geleneksel hale gelen yapı vurgulandı.

BİBLİYOGRAFİK LİSTE

1.Andronov I.K. Reel ve karmaşık sayıların matematiği. M.: Eğitim, 1975.

2. Klein F. 19. yüzyılda matematiğin gelişimi üzerine dersler. M.: ONTI, 1937. Bölüm 1.

3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin yöntemleri. M.: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Analitik fonksiyonlar teorisi. M.: Devlet. Teknik ve teorik literatür yayınevi, 1950.

5. 19. yüzyılın matematiği. Geometri. Analitik fonksiyonlar teorisi / ed. A. N. Kolmogorov ve A. P. Yushkevich. M.: Nauka, 1981.

6. Matematik Ansiklopedisi / Böl. ed. I. M. Vinogradov. M.: Sovyet Ansiklopedisi, 1977. T.1.

7. Matematik Ansiklopedisi / Böl. ed. I. M. Vinogradov. M.: Sovyet Ansiklopedisi, 1979. T.2.

8. Genç V.N. 18. ve 19. yüzyılın başlarında sayı doktrininin temelleri. M.: Üçpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. Matematik tarihi. M .: Moskova Devlet Üniversitesi Yayınevi, 1963. Bölüm 2.

OLUMSUZ. Lyakhova DÜZ EĞRİLERE DOKUNMAK

P x'in bir polinom olduğu Pn x = 0 formundaki bir denklemden ortak noktaların apsisinin bulunması durumunda düzlem eğrilerinin teğetliği sorunu doğrudan soruyla ilgilidir.

Pn x polinomunun köklerinin çokluğu üzerine. Bu makale, grafikleri eğri olan fonksiyonların açık ve örtülü belirtilmesi durumları için karşılık gelen ifadeleri formüle etmekte ve ayrıca bu ifadelerin problem çözmede uygulanmasını göstermektedir.

y = f(x) ve y = ср x fonksiyonlarının grafiği olan eğrilerin ortak bir noktası varsa

M()x0; v0, yani y0 = f x0 =ср x0 ve M() x0 noktasında çizilen belirtilen eğrilere teğettir; v0 çakışmıyorsa, y = sabit) ve y - ср x eğrilerinin Mo xo;Uo noktasında kesiştiğini söylerler.

Şekil 1'de fonksiyon grafiklerinin kesişiminin bir örneği gösterilmektedir.

Doğrusal diferansiyel denklemleri çözmek için Laplace dönüşümünü kullanacağız.

Laplace dönüşümü oran denir

fonksiyonları koyma x(t) gerçek değişken T eşleştirme işlevi X(ler) karmaşık değişken s (s = σ+ jω). burada x(t) isminde orijinal, X(ler)- görüntü veya Laplace görseli Ve S- Laplace dönüşümü değişkeni. Orijinal, küçük harfle gösterilir ve görüntüsü, aynı adı taşıyan büyük harfle gösterilir.