Laplace dönüşümü. Doğrusal diferansiyel denklemleri çözmek için Laplace dönüşümünü kullanacağız. Karmaşık Laplace Değişkeninin Sürekli Laplace Dönüşümü Geçmişi

Laplace dönüşümü- fonksiyonla ilgili integral dönüşüm F (s) (\displaystyle \ F(s)) karmaşık değişken ( resim) işleviyle f (x) (\displaystyle \f(x)) gerçek değişken ( orijinal). Yardımı ile dinamik sistemlerin özellikleri incelenir ve diferansiyel ve integral denklemler çözülür.

Bilimsel ve mühendislik hesaplamalarında yaygın kullanımını önceden belirleyen Laplace dönüşümünün özelliklerinden biri, orijinaller üzerindeki birçok oran ve işlemin, görüntüleri üzerindeki daha basit oranlara karşılık gelmesidir. Böylece iki fonksiyonun görüntü uzayındaki evrişimi çarpma işlemine indirgenir ve doğrusal diferansiyel denklemler cebirsel hale gelir.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Laplace dönüşümü - bezbotvy

✪ Ders 10: Laplace Dönüşümü

✪ Yüksek matematik - 4. Laplace dönüşümleri. Bölüm 1

✪ DE çözümü için Laplace yöntemi

✪ Ders 11: Laplace dönüşümünün diferansiyel denklemlerin çözümüne uygulanması

Altyazılar

Tanım

Doğrudan Laplace Dönüşümü

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e - σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

o zaman mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar ve için analitik bir fonksiyondur. σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- karmaşık değişkenin gerçek kısmı s (\displaystyle s)). Tam alt sınır σ a (\displaystyle \sigma _(a)) sayı kümeleri σ (\displaystyle \sigma) Bu koşulun sağlandığı duruma denir mutlak yakınsamanın apsisi Fonksiyon için Laplace dönüşümü.

Doğrudan Laplace dönüşümünün varoluş koşulları

Laplace dönüşümü L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\)) Aşağıdaki durumlarda mutlak yakınsama anlamında var olur:

σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): İntegral varsa Laplace dönüşümü de vardır ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): Laplace dönüşümü, eğer integral ∫ 0x1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx) her sonlu için var x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0) Ve | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))İçin x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
σ > 0 (\displaystyle \sigma >0) veya σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(sınırlardan hangisi daha büyük): fonksiyon için bir Laplace dönüşümü varsa, bir Laplace dönüşümü de vardır f ′ (x) (\displaystyle f"(x))(türevi f (x) (\displaystyle f(x))) İçin σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Not

Ters Laplace dönüşümünün varoluş koşulları

Ters Laplace dönüşümünün varlığı için aşağıdaki koşulların sağlanması yeterlidir:

Eğer görüntü F (s) (\displaystyle F(s))- için analitik fonksiyon σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a)) ve -1'den küçük bir dereceye sahipse, bunun için ters dönüşüm vardır ve argümanın tüm değerleri için süreklidir ve L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)İçin t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
İzin vermek F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), Bu yüzden φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n))) her birine göre analitiktir z k (\displaystyle z_(k)) ve sıfıra eşittir z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), Ve F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\iki nokta üst üste k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), o zaman ters dönüşüm mevcuttur ve karşılık gelen doğrudan dönüşümün mutlak yakınsaklık apsisi vardır.

Not: Bunlar varoluş için yeterli koşullardır.

Evrişim teoremi

Ana makale: Evrişim teoremi

Orijinalin farklılaşması ve entegrasyonu

Orijinalin argümana göre birinci türevinin Laplace'a göre görüntüsü, görüntünün ve ikincisinin argümanının eksi sağdaki sıfırdaki orijinalin çarpımıdır:

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) - f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+))).)

Başlangıç ve son değer teoremleri (limit teoremleri):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), eğer fonksiyonun tüm kutupları s F (s) (\displaystyle sF(s)) sol yarım düzlemdedir.

Sonlu değer teoremi çok kullanışlıdır çünkü orijinalin sonsuzdaki davranışını basit bir ilişkiyle tanımlar. Bu, örneğin dinamik bir sistemin yörüngesinin kararlılığını analiz etmek için kullanılır.

Diğer özellikler

Doğrusallık:

L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Sayıyla çarpın:

L ( f (a x)) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)

Bazı fonksiyonların doğrudan ve ters Laplace dönüşümü

Aşağıda bazı fonksiyonlara ait Laplace dönüşüm tablosu verilmiştir.

№	İşlev	Zaman alanı x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	frekans alanı X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))	Yakınsama alanı İçin nedensel sistemler
1	ideal gecikme	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1 A	tek darbe	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	gecikme n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a	güç n (\displaystyle n)-inci sıra	t n n! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.1	güç q (\displaystyle q)-inci sıra	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gama (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.2	tek işlevli	H (t) (\displaystyle H(t)\ )	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2b	gecikmeli tek fonksiyon	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2c	"hızlı adım"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2 gün	n (\displaystyle n) frekans kayması ile -th mertebesi	t n n! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > −α (\displaystyle s>-\alpha )
2d.1	üstel bozunma	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha)))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	üstel yaklaşım	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	sinüs	günah ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	kosinüs	çünkü ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	hiperbolik sinüs	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2))))	> \| α \| (\displaystyle s>\|\alpha \|\ )
7	hiperbolik kosinüs	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2))))	> \| α \| (\displaystyle s>\|\alpha \|\ )
8	üstel olarak azalan sinüs	e − α t günah ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	üstel olarak azalan kosinüs	e − α t çünkü ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	kök n (\displaystyle n)-inci sıra	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gama \left(1+(\frac (1)(n) )\Sağ))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	doğal logaritma	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Bessel işlevi birinci tür emir n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2))+\omega ^(2) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	birinci tür emir n (\displaystyle n)	ben n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2))-\omega ^(2) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	> \| ω \| (\displaystyle s>\|\omega \|\ )
14	besel işlevi ikinci tür sıfır sipariş	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha) ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	değiştirilmiş Bessel işlevi ikinci tür, sıfır sipariş	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	hata fonksiyonu	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Tablo notları: H (t) (\displaystyle H(t)\ ) ; α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ ) Ve ω (\displaystyle \omega \ ) - Diğer dönüşümlerle ilişki Temel bağlantılar Mellin dönüşümü Mellin dönüşümü ve ters Mellin dönüşümü, değişkenlerin basit bir değişimiyle iki taraflı Laplace dönüşümüyle ilişkilidir. Mellin dönüşümünde ise G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\left\(g(\theta)\right \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) hadi koyalım θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), sonra iki taraflı Laplace dönüşümünü elde ederiz. Z dönüşümü Z (\displaystyle Z)-dönüşüm, değişkenlerin değişimi kullanılarak gerçekleştirilen bir kafes fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Borel dönüşümü Borel dönüşümünün integral formu Laplace dönüşümüyle aynıdır; ayrıca Laplace dönüşümünün kullanımının daha geniş bir fonksiyon sınıfına genişletildiği genelleştirilmiş bir Borel dönüşümü de vardır. Kaynakça Van der Pol B., Bremer H.İki taraflı Laplace dönüşümüne dayalı operasyonel hesap. - M.: Yabancı edebiyat yayınevi, 1952. - 507 s. Ditkin V.A., Prudnikov A.P.İntegral dönüşümler ve operasyonel hesap. - M .: Nauka yayınevinin fiziksel ve matematiksel literatürünün ana baskısı, 1974. - 544 s. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I. Operasyonel hesabın el kitabı: Teorinin temelleri ve formül tabloları. - M.: Teknik ve teorik literatürün devlet yayınevi, 1951. - 256 s. Carslow H., Jaeger D. Uygulamalı matematikte işlemsel yöntemler. - M.: Yabancı edebiyat yayınevi, 1948. - 294 s. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourier serileri ve integralleri. Alan teorisi. Analitik ve özel fonksiyonlar. Laplace dönüşümleri. - M. : Nauka, 1964. - 184 s. Krasnov M.L., Makarenko G.I. operasyonel hesap. Hareket kararlılığı. - M. : Nauka, 1964. - 103 s. Mikusinsky Ya. Operatör hesabı. - M.: Yabancı edebiyat yayınevi, 1956. - 367 s. Romanovsky P.I. Fourier serisi. Alan teorisi. Analitik ve özel fonksiyonlar. Laplace dönüşümleri. - M. : Nauka, 1980. - 336 s.

Bölüm II. Matematiksel analiz

E.Yu.Anokhina

KONU OLARAK KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN (TFV) FONKSİYONU TEORİSİNİN GELİŞİM TARİHİ VE OLUŞUMU

Karmaşık matematik derslerinden biri de TFKT dersidir. Bu dersin karmaşıklığı, her şeyden önce, tarihsel olarak TFKT biliminin geniş uygulamalı yöneliminde ifade edilen, diğer matematik disiplinleriyle olan karşılıklı ilişkilerinin çeşitliliğinden kaynaklanmaktadır.

Matematik tarihi ile ilgili bilimsel literatürde TFCT'nin gelişim tarihi hakkında dağınık bilgiler bulunmaktadır, bunlar sistemleştirme ve genelleme gerektirmektedir.

Bu bakımdan bu makalenin asıl görevi, TFCT'nin gelişiminin ve bu teorinin bir eğitim konusu olarak oluşumunun kısa bir açıklamasıdır.

Çalışma sonucunda TFCT'nin bilim ve akademik bir konu olarak gelişiminde aşağıdaki üç aşama tespit edilmiştir:

Karmaşık sayıların ortaya çıkışı ve tanınması aşaması;

Hayali niceliklerin fonksiyonlarına ilişkin olgusal materyalin biriktirilme aşaması;

Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin oluşum aşaması.

TFKP'nin gelişiminin ilk aşaması (16. yüzyılın ortaları - 18. yüzyıl), Artis magnae sive de regulis algebraitis'i (Büyük Sanat veya cebir kuralları üzerine) yayınlayan G. Cardano'nun (1545) çalışmasıyla başlar. G. Cardano'nun çalışması, yakın zamanda Ferro (1465-1526), Tartaglia (1506-1559) ve Ferrari (1522-1565) tarafından keşfedilen üçüncü ve dördüncü derece denklemleri çözmek için genel cebirsel yöntemleri doğrulamak gibi ana görevi üstlendi. ). Kübik denklem forma indirgenirse

x3 + piksel + q = 0,

ve olmalı

(p^Ap V (|- 70)) olduğunda denklemin üç gerçek kökü vardır ve bunlardan ikisi

birbirine eşittir. O zaman denklemin bir gerçek ve iki ortak değeri varsa

karmaşık kökler ördü. Nihai sonuçta karmaşık sayılar göründüğü için G. Cardano kendisinden önce yaptıklarının aynısını yapabilirdi: denklemin şu şekilde olduğunu beyan edebilirdi:

bir kök. Ne zaman (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

İndirgenemez durum olarak adlandırılan durum, 16. yüzyıla kadar karşılaşılmayan bir özellikle karakterize ediliyor. x3 - 21x + 20 = 0 denkleminin 1, 4, - 5 olmak üzere üç gerçek kökü vardır ve bu kolaydır.

basit bir değişiklikle kontrol edin. Ancak ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; dolayısıyla genel formüle göre x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Karmaşık, yani "yanlış", buradaki sayı sonuç değil, söz konusu denklemin gerçek köklerine yol açan hesaplamalarda bir ara terimdir. G. Cardano bir zorlukla karşılaştı ve bu formülün genelliğini korumak için karmaşık sayıları tamamen göz ardı etmekten vazgeçmek gerektiğini fark etti. J. D'Alembert (1717-1783), G. Cardano'nun ve bu fikri takip eden matematikçilerin karmaşık sayılarla ciddi şekilde ilgilenmesine neden olan şeyin bu durum olduğuna inanıyordu.

Bu aşamada (17. yüzyılda) genel olarak iki görüş kabul edildi. İlk bakış açısı, karmaşık sayıların sınırsız kullanımına olan ihtiyacın farkına varılması konusunu gündeme getiren Girard tarafından ifade edildi. İkincisi, karmaşık sayıları yorumlama olasılığını reddeden Descartes. J. Wallis'in, karmaşık sayıların gerçek bir yorumunun varlığına ilişkin bakış açısı, Descartes'ın görüşünün karşısındaydı; Descartes tarafından göz ardı edildi. Gerçel sayıların kullanımının karmaşık bir sonuca yol açtığı veya sonucun teorik olarak elde edilemediği ancak pratik bir uygulamaya sahip olduğu durumlarda, uygulamalı problemlerin çözümünde karmaşık sayılar "zorlanmaya" başlandı.

Karmaşık sayıların sezgisel kullanımı, gerçek sayıların aritmetik yasalarını ve kurallarını karmaşık sayılar kümesinde koruma ihtiyacına yol açtı, özellikle doğrudan aktarım girişimleri yapıldı. Bu bazen hatalı sonuçlara yol açıyordu. Bu bağlamda, karmaşık sayıların gerekçelendirilmesi ve aritmetiği için algoritmaların oluşturulmasıyla ilgili sorular güncel hale geldi. Bu, TFCT'nin gelişiminde yeni bir aşamanın başlangıcıydı.

TFKP'nin gelişiminin ikinci aşaması (18. yüzyılın başı - 19. yüzyıl). XVIII.Yüzyılda. L. Euler, karmaşık sayılar alanının cebirsel olarak kapatılması fikrini dile getirdi. Karmaşık sayılar C alanının cebirsel olarak kapatılması matematikçileri aşağıdaki sonuçlara götürdü:

Fonksiyonların ve genel olarak matematiksel analizin incelenmesinin, ancak karmaşık alandaki fonksiyonların davranışı dikkate alındığında uygun tamlık ve eksiksizliğe ulaşması;

Karmaşık sayıları değişken olarak düşünmek gerekir.

1748'de L. Euler (1707-1783) "Sonsuz küçüklerin analizine giriş" adlı çalışmasında, fonksiyonları doğrusal faktörlere ayırırken karmaşık sayıları kullanarak, bir değişkenin en genel kavramı olarak karmaşık bir değişkeni tanıttı. L. Euler haklı olarak TFCT'nin yaratıcılarından biri olarak kabul ediliyor. L. Euler'in çalışmalarında, karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonları ayrıntılı olarak incelenmiş (1740-1749), türevlenebilirlik koşulları (1755) ve karmaşık değişkenli fonksiyonların integral hesabının başlangıcı (1777) verilmiştir. L. Euler pratik olarak konformal haritalamayı tanıttı (1777). Bu eşlemeleri "küçük bir şekilde benzer" olarak adlandırdı ve "uyumlu" terimi görünüşe göre ilk kez St. Petersburg akademisyeni F. Schubert (1789) tarafından kullanıldı. L. Euler ayrıca karmaşık değişkenli fonksiyonların çeşitli matematik problemlerine çok sayıda uygulamasını sağladı ve bunların hidrodinamik (17551757) ve haritacılıkta (1777) uygulanmasının temelini attı. K. Gauss, karmaşık düzlemdeki bir integralin tanımını, analitik bir fonksiyonun bir güç serisine genişletilmesine ilişkin bir integral teoremini formüle eder. Laplace, zor integralleri hesaplamak için karmaşık değişkenleri kullanır ve Laplace dönüşümü olarak bilinen doğrusal, fark ve diferansiyel denklemleri çözmek için bir yöntem geliştirir.

1799'dan başlayarak, karmaşık sayıların az çok uygun yorumlarının verildiği ve bunlarla ilgili eylemlerin tanımlandığı makaleler ortaya çıktı. Oldukça genel bir teorik yorum ve geometrik yorum, K. Gauss tarafından yalnızca 1831'de yayınlandı.

L. Euler ve çağdaşları, TFCT'ye ilişkin birikmiş, bir yerde sistematikleştirilmiş, bir yerde olmayan, ancak yine de dağınık gerçekler biçiminde gelecek nesillere zengin bir miras bıraktılar. Hayali niceliklerin fonksiyonlarına ilişkin olgusal materyalin, bir teori biçiminde sistemleştirilmesini gerektirdiğini söyleyebiliriz. Bu teori şekillenmeye başladı.

TFKP'nin oluşumunun üçüncü aşaması (XIX yüzyıl - XX yüzyıl). Buradaki ana başarılar O. Cauchy (1789-1857), B. Riemann (1826-1866) ve K. Weierstrass'a (1815-1897) aittir. Her biri TFKP'nin gelişim yönlerinden birini temsil ediyordu.

Matematik tarihinde "monogenik veya diferansiyellenebilir fonksiyonlar teorisi" olarak adlandırılan ilk yönün temsilcisi O. Cauchy idi. Karmaşık değişkenli fonksiyonların diferansiyel ve integral hesabına ilişkin farklı gerçekleri resmileştirdi, temel kavramların ve işlemlerin anlamını hayali olanlarla açıkladı. O. Cauchy'nin çalışmalarında limitler teorisi ve buna dayalı seriler ve temel fonksiyonlar teorisi belirtilmiş, bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesini tamamen aydınlatan bir teorem formüle edilmiştir. 1826'da O. Cauchy, kesinti (kelimenin tam anlamıyla: kalan) terimini tanıttı. 1826'dan 1829'a kadar olan yazılarında kesinti teorisini yarattı. O. Cauchy integral formülünü çıkardı; karmaşık değişkenli bir fonksiyonun kuvvet serisine genişletilmesi için bir varlık teoremi elde etti (1831). O. Cauchy, çeşitli değişkenlerin analitik fonksiyonları teorisinin temellerini attı; karmaşık bir değişkenin çok değerli fonksiyonlarının ana dallarını belirledi; ilk kez düzlem kesimler kullanıldı (1831-1847). 1850'de monodromik fonksiyonlar kavramını tanıttı ve monogenik fonksiyonlar sınıfını belirledi.

O. Cauchy'nin takipçisi, TFCT'nin kendi "geometrik" (ikinci) gelişim yönünü de yaratan B. Riemann'dı. Çalışmalarında karmaşık değişkenli fonksiyonlarla ilgili fikir ayrılığını aşarak bu teorinin diğer disiplinlerle yakından ilişkili yeni bölümlerini oluşturdu. Riemann, analitik fonksiyonlar teorisinin tarihinde esasen yeni bir adım attı; karmaşık bir değişkenin her fonksiyonuyla, bir bölgeyi diğerine haritalama fikrini ilişkilendirmeyi önerdi. Bir kompleksin fonksiyonları ile gerçek bir değişkenin fonksiyonlarını birbirinden ayırdı. B. Riemann geometrik fonksiyonlar teorisinin temelini attı, Riemann yüzeyini tanıttı, konformal dönüşüm teorisini geliştirdi, analitik ve harmonik fonksiyonlar arasındaki bağlantıyı kurdu, zeta fonksiyonunu dikkate aldı.

TFKP'nin daha da gelişmesi başka bir (üçüncü) yönde gerçekleşti. Bunun temeli, fonksiyonları kuvvet serileri ile temsil etme olasılığıydı. Tarihte bu akıma “analitik” adı verilmiştir. K. Weierstrass'ın düzgün yakınsama kavramını ön plana çıkardığı çalışmalarında oluşmuştur. K. Weierstrass, benzer terimlerin bir seride azaltılmasının yasallığı üzerine bir teorem formüle etti ve kanıtladı. K. Weierstrass temel bir sonuç elde etti: Belirli bir alanda düzgün bir şekilde yakınsayan analitik fonksiyonlar dizisinin limiti analitik bir fonksiyondur. Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun kuvvet serisi açılımı üzerine Cauchy teoremini genelleştirmeyi başardı ve kuvvet serilerinin analitik devamı sürecini ve bunun bir diferansiyel denklem sisteminin çözümlerinin temsiline uygulanmasını tanımladı. K. Weierstrass, serilerin yalnızca mutlak yakınsaklığı değil, aynı zamanda tekdüze yakınsaklığı da ortaya koydu. Weierstrass teoremi, bir fonksiyonun tamamının bir çarpıma genişletilmesinde ortaya çıkar. Birçok değişkenin analitik fonksiyonları teorisinin temellerini atar, kuvvet serilerinin bölünebilirliği teorisini oluşturur.

Rusya'da analitik fonksiyonlar teorisinin gelişimini düşünün. XIX yüzyılın Rus matematikçileri. uzun süre kendilerini matematiğin yeni bir alanına adamak istemediler. Buna rağmen, ona yabancı olmayan birkaç isim verebilir ve bu Rus matematikçilerin bazı çalışmalarını ve başarılarını listeleyebiliriz.

Rus matematikçilerden biri M.V. Ostrogradsky (1801-1861). M.V. hakkında Analitik fonksiyonlar teorisi alanında Ostrogradsky hakkında çok az şey biliniyor, ancak O. Cauchy, integralleri uygulayan, formüllerin yeni kanıtlarını veren ve diğer formülleri genelleştiren bu genç Rus bilim adamından övgüyle söz etti. M.V. Ostrogradsky, bir fonksiyonun n'inci derece kutba göre çıkarılması için Cauchy formülünü türettiği "Belirli İntegraller Üzerine Açıklamalar" adlı eserini yazdı. 1858-1859'da halka açık kapsamlı bir derste, kalıntı teorisinin ve Cauchy formülünün belirli integrallerin hesaplanmasına uygulanmasının ana hatlarını çizdi.

N.I.'nin bir dizi eseri. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi için doğrudan öneme sahip olan Lobachevsky. Karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonlarının teorisi, "Cebir veya sonlunun hesaplanması" adlı eserinde yer almaktadır (Kazan, 1834). Burada cos x ve sin x başlangıçta gerçek x için gerçek olarak tanımlanır ve

ex^ fonksiyonunun sanal kısmı. Üstel fonksiyonun ve kuvvet açılımlarının önceden belirlenmiş özelliklerini kullanarak trigonometrik fonksiyonların tüm ana özellikleri türetilir. İle-

Görünüşe göre Lobaçevski, Öklid geometrisinden bağımsız, trigonometrinin tamamen analitik bir yapısına özel bir önem veriyordu.

XIX yüzyılın son on yıllarında olduğu iddia edilebilir. ve 20. yüzyılın ilk on yılı. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisindeki temel araştırma (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe), Lobaçevski'nin geometrisinin aynı zamanda bir kompleksin analitik fonksiyonlarının geometrisi olduğu gerçeğinin kademeli olarak aydınlatılmasından oluşuyordu. değişken.

1850'de St. Petersburg Üniversitesi Profesörü (daha sonra Akademisyen) I.I. Somov (1815-1876), Jacobi'nin Yeni Temellerine dayanan Analitik Fonksiyonlar Teorisinin Temelleri'ni yayınladı.

Bununla birlikte, karmaşık bir değişkenin analitik fonksiyonları teorisi alanında gerçek anlamda ilk "orijinal" Rus araştırmacı Yu.V. Sokhotsky (1842-1929). "Bazı uygulamalarla integral kalıntılar teorisi" adlı yüksek lisans tezini savundu (St. Petersburg, 1868). 1868 sonbaharından itibaren Yu.V. Sokhotsky, sanal bir değişkenin fonksiyonları teorisi ve analiz uygulamalarıyla sürekli kesirler üzerine dersler verdi. Yüksek lisans tezi Yu.V. Sokhotsky, kalıntılar teorisinin bir kuvvet serisinin ters çevrilmesine (Lagrange serisi) ve özellikle analitik fonksiyonların sürekli kesirlere genişletilmesine ve aynı zamanda Legendre polinomlarına uygulanmasına adanmıştır. Bu makalede, analitik bir fonksiyonun bir temel tekil noktanın komşuluğundaki davranışına ilişkin ünlü teorem formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır. Sokhotsky'nin doktora tezinde

(1873) ilk kez Cauchy tipi bir integral kavramı genişletilmiş biçimde tanıtıldı: *r/ ^ & _ burada

a ve b iki rastgele karmaşık sayıdır. İntegralin a ve b'yi birbirine bağlayan bir eğri ("yörünge") boyunca alınması gerekiyor. Bu çalışmada bir takım teoremler kanıtlanmıştır.

Analitik fonksiyonların tarihinde N.E.'nin çalışmaları büyük bir rol oynadı. Zhukovsky ve S.A. Aero- ve hidromekanikteki uygulamalarının sınırsız alanını açan Chaplygin.

Analitik fonksiyonlar teorisinin gelişiminden bahsederken, S.V.'nin çalışmalarından bahsetmek mümkün değildir. Kovalevskaya, asıl anlamları bu teorinin dışında olmasına rağmen. Çalışmasının başarısı, analitik fonksiyonlar teorisi açısından problemin tamamen yeni bir formülasyonundan ve t süresinin karmaşık bir değişken olarak dikkate alınmasından kaynaklanıyordu.

XX yüzyılın başında. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi alanındaki bilimsel araştırmanın doğası değişiyor. Daha önce bu alandaki araştırmaların çoğu üç yönden birinin (monogenik veya diferansiyellenebilir Cauchy fonksiyonları teorisi, Riemann'ın geometrik ve fiziksel fikirleri, Weierstrass'ın analitik yönü) geliştirilmesi açısından yürütülmüşse, şimdi farklılıklar ve bunlara bağlı ihtilafların aşılması, ortaya çıkması ve hızla artması, fikir ve yöntemlerin sentezinin yapıldığı çalışmaların sayısı. Geometrik gösterimler ile kuvvet serileri aygıtı arasındaki bağlantı ve yazışmanın açıkça ortaya konduğu temel kavramlardan biri analitik süreklilik kavramıydı.

XIX yüzyılın sonunda. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi, kapsamlı bir disiplin kompleksi içerir: konformal haritalamalar ve Riemann yüzeyleri teorisine dayanan geometrik fonksiyonlar teorisi. Çeşitli fonksiyon türlerinin teorisinin ayrılmaz bir formunu aldık: tamsayı ve meromorfik, eliptik ve modüler, otomorfik, harmonik, cebirsel. Son fonksiyon sınıfıyla yakın bağlantılı olarak Abel integralleri teorisi geliştirilmiştir. Diferansiyel denklemlerin analitik teorisi ve analitik sayılar teorisi bu komplekse bitişikti. Analitik fonksiyonlar teorisi diğer matematik disiplinleriyle bağlantılar kurdu ve güçlendirdi.

TFCT ile cebir, geometri ve diğer bilimler arasındaki ilişkilerin zenginliği, TFCT biliminin sistematik temellerinin oluşturulması, pratikteki büyük önemi TFCT'nin akademik bir konu olarak oluşmasına katkıda bulunmuştur. Bununla birlikte, temellerin oluşumunun tamamlanmasıyla eş zamanlı olarak analitik fonksiyonlar teorisine, kompozisyonunu, doğasını ve hedeflerini önemli ölçüde değiştiren yeni fikirler getirildi. Analitik fonksiyonlar teorisinin aksiyomatiğe yakın bir tarzda sistematik bir açıklamasını içeren ve aynı zamanda eğitim amaçlı monografiler ortaya çıkar. Görünüşe göre, incelenen dönemin bilim adamlarının TFCT'ye ilişkin elde ettiği sonuçların önemi, onları TFCT'yi öğretim perspektifinde ders verme ve monografik çalışmalar yayınlama şeklinde yaygınlaştırmaya sevk etmiştir. TFCT'nin bir öğrenme aracı olarak ortaya çıktığı sonucuna varılabilir.

ders. 1856'da Ch. Briot ve T. Bouquet, esasen ilk ders kitabı olan "Hayali Bir Değişkenin Fonksiyonlarının Araştırılması" adlı küçük bir anı kitabı yayınladılar. Derslerde karmaşık bir değişkenin fonksiyonu teorisindeki genel kavramlar üzerinde çalışılmaya başlandı. 1856'dan beri K. Weiersht-rass, fonksiyonların yakınsak kuvvet serileri ile temsili ve 1861'den beri genel fonksiyonlar teorisi üzerine ders veriyordu. 1876'da K. Weierstrass'ın özel bir çalışması ortaya çıktı: "Tek değerli analitik fonksiyonlar teorisi üzerine" ve 1880'de analitik fonksiyonlar teorisinin belirli bir bütünlük kazandığı "Fonksiyonlar doktrini üzerine".

Weierstrass'ın dersleri, o zamandan beri oldukça sık ortaya çıkmaya başlayan karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi üzerine ders kitaplarının prototipi olarak uzun yıllar hizmet etti. Matematiksel analizde modern titizlik standardının temel olarak oluşturulduğu ve geleneksel hale gelen yapı onun derslerinde öne çıkarıldı.

REFERANSLAR

1.Andronov I.K. Reel ve karmaşık sayıların matematiği. M.: Eğitim, 1975.

2. Klein F. XIX. yüzyılda matematiğin gelişimi üzerine dersler. M.: ONTI, 1937. Bölüm 1.

3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin yöntemleri. Moskova: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Analitik fonksiyonlar teorisi. M.: Devlet. Teknik ve teorik literatür yayınevi, 1950.

5. 19. yüzyılın matematiği. Geometri. Analitik Fonksiyonlar Teorisi / ed. A. N. Kolmogorova ve A. P. Yushkevich. Moskova: Nauka, 1981.

6. Matematik Ansiklopedisi / Bölüm. ed. I. M. Vinogradov. M.: Sovyet ansiklopedisi, 1977. T.1.

7. Matematik Ansiklopedisi / Bölüm. ed. I. M. Vinogradov. M.: Sovyet Ansiklopedisi, 1979. Cilt 2.

8. Genç V.N. 18. ve 19. yüzyılın başlarında sayı doktrininin temelleri. Moskova: Üçpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. Matematik tarihi. M .: Moskova Devlet Üniversitesi Yayınevi, 1963. Bölüm 2.

OLUMSUZ. Lyakhova DÜZLEM EĞRİLERİNE DOKUNMA

Ortak noktaların apsisinin Рп x = 0 formundaki bir denklemden bulunması durumunda, düzlem eğrilerinin teğetliği sorunu, burada Р x bir polinomdur, doğrudan soruyla ilgilidir.

Pn x polinomunun köklerinin çokluğu üzerine. Bu makalede, grafikleri eğri olan fonksiyonların açık ve örtülü atama durumları için karşılık gelen ifadeler formüle edilmiş ve bu ifadelerin problem çözmede uygulanması da gösterilmiştir.

Y \u003d f (x) ve y \u003d cp x fonksiyonlarının grafiği olan eğrilerin ortak bir noktası varsa

M()x0; v0 , yani y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 ve M () x0 noktasında çizilen belirtilen eğrilere teğettir; v0 çakışmıyorsa y = sabit) ve y - cp x eğrilerinin Mo xo noktasında kesiştiğini söyleriz;

Şekil 1'de fonksiyon grafiklerinin kesişiminin bir örneği gösterilmektedir.

Doğrusal diferansiyel denklemleri çözmek için Laplace dönüşümünü kullanacağız.

Laplace dönüşümü oran denir

fonksiyonların ayarlanması x(t) gerçek değişken T satır içi işlevi X(ler) karmaşık değişken s (s = σ+ jω). burada x(t) isminde orijinal, X(ler)- resim veya Laplace'a göre görüntü Ve S- Laplace dönüşümü değişkeni. Orijinal küçük harfle gösterilir ve görüntüsü aynı adı taşıyan büyük harfle gösterilir.