İki gerçek değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevi. teorik malzeme. Trigonometrik fonksiyon ve üç değişkenli fonksiyon ile ilgili problemler
Örnek. Varsa, nerede bulun.
Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:
Örnek. Kısmi türevi ve toplam türevi bulun, eğer 
.
Çözüm. .
Formül (2)'ye dayanarak, elde ederiz 
.
2°. Birkaç bağımsız değişken durumu.
İzin vermek z = f(x;y) - iki değişkenin işlevi X Ve y, her biri bir fonksiyondur
bağımsız değişken t: x = x(t), y = y(t). Bu durumda fonksiyon z=f(x(t);y(t)) dır-dir
bir bağımsız değişkenin karmaşık fonksiyonu T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.
teorem. Eğer z == F(X; y) - bir noktada türevlenebilir M(x;y)D işlev
Ve x = x(t) Ve de =YT) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T,
o zaman karmaşık fonksiyonun türevi z(t) == F(x(t);y(t)) formül ile hesaplanır
 | (3) |
Özel durum: z = f(x;y), nerede y = y(x), onlar. z= f(x;y(x)) - karmaşık işlevi
bağımsız değişken X. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü
T oynar X. Formül (3)'e göre elimizde:
.
Son formül denir toplam türev için formüller.
Genel durum: z = f(x;y), Nerede x = x(u;v), y=y(u;v). O zaman z = f(x(u;v);y(u;v)) - karmaşık
bağımsız değişkenlerin işlevi Ve Ve V. Kısmi türevleri bulunabilir
aşağıdaki gibi formül (3) kullanılarak. sabitleme v, onun yerine koy
karşılık gelen kısmi türevler
Yani bileşik fonksiyonun (z) her bir bağımsız değişkene göre türevi (Ve Ve v)
ara maddesine göre bu fonksiyonun (z) kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
değişkenler (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (u ve v).
Dikkate alınan tüm durumlarda, formül
(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).
Örnek. Bul ve eğer z= F(x,y), burada x=uv, .
Karmaşık fonksiyonların farklılaşması
işlev için izin ver N- değişken bağımsız değişkenleri aynı zamanda değişkenlerin işlevleridir:
Bir bileşik fonksiyonun türevine ilişkin aşağıdaki teorem geçerlidir.
Teorem 8. Fonksiyonlar noktada türevlenebilir ise ve fonksiyon karşılık gelen noktada türevlenebilir ise, burada,. Daha sonra karmaşık fonksiyon noktasında türevlenebilir ve kısmi türevler formüllerle belirlenir.
kısmi türevler noktasında hesaplanır ve noktasında hesaplanır.
Bu teoremi iki değişkenli bir fonksiyon için ispatlayalım. , bir .
Izin verin ve bağımsız değişkenlerin keyfi artışları ve noktasında . Fonksiyonların artışlarına ve noktasında karşılık gelirler. Artışlar ve fonksiyonun noktasındaki artışa karşılık gelir. noktasında türevli olduğu için artışı şu şekilde yazılabilir:
nerede ve , ve noktasında hesaplanır. Fonksiyonların türevlenebilirliği nedeniyle ve noktada , elde ederiz
noktada nerede hesaplanır; .
(14) yerine (13) koyarız ve terimleri yeniden düzenleriz
as , beri ve sıfır olma eğiliminde olduğuna dikkat edin as . Bu, sonsuz küçük olduğu gerçeğinden kaynaklanır ve . Ancak ve fonksiyonları türevlenebilir ve bu nedenle noktasında süreklidir. Bu nedenle, eğer ve , o zaman . Sonra ve .
Kısmi türevler noktasında hesaplandığından,
belirtmek
ve bu, ve değişkenlerine göre türevlenebilir olduğu anlamına gelir ve
Sonuçlar. Eğer , ve , , yani , ardından değişkene göre türev T formül ile hesaplanır
eğer , o zaman
Son ifade denir toplam türev formülüçok değişkenli bir fonksiyon için
Örnekler. 1) Fonksiyonun toplam türevini bulun, burada , .
Çözüm.
2) , ise fonksiyonun toplam türevini bulun.
Çözüm.
Karmaşık bir fonksiyonun türev kurallarını kullanarak, çok değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelinin önemli bir özelliğini elde ederiz.
Bağımsız değişkenler fonksiyon ise, diferansiyel tanım gereği şuna eşittir:
Şimdi bağımsız değişkenler, fonksiyonun bir noktasında değişkenlere göre türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve fonksiyon, değişkenlere göre türevlenebilir olsun. Daha sonra, değişkenlerin karmaşık bir fonksiyonu olarak düşünülebilir. Önceki teoreme göre, türevlenebilir ve ilişki tutar
burada formüller (12) ile belirlenir. (12)'yi (17)'ye koyarız ve katsayıları toplayarak şunu elde ederiz:
Türevin katsayısı, fonksiyonun diferansiyeline eşit olduğundan, karmaşık fonksiyonun diferansiyeli için tekrar formül (16) elde edildi.
Bu nedenle, birinci diferansiyel formül, bağımsız değişkenlerinin işlev olup olmadığına veya bağımsız olup olmadığına bağlı değildir. Bu özellik denir birinci diferansiyelin formunun değişmezliği.
Taylor formülü (29) şu şekilde de yazılabilir:
Kanıt, iki değişkenli bir fonksiyon için yapılacaktır veya .
Önce tek değişkenli bir fonksiyonu ele alalım. Noktanın bir komşuluğunda zamanlar türevlenebilir olsun. Lagrange formülünde kalan terimli tek değişkenli bir fonksiyon için Taylor formülü,
bağımsız bir değişken olduğundan, o zaman . Bir değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelinin tanımı ile
Eğer gösterirsek, o zaman (31) şu şekilde yazılabilir:
Bir noktanın bazı komşuluklarını ve onun içinde rastgele bir noktayı düşünün ve noktaları ve bir düz çizgi parçasını birleştirin. Bu çizginin koordinatlarının ve noktalarının parametrenin doğrusal fonksiyonları olduğu açıktır.
Düz çizgi segmentinde işlev, parametrenin karmaşık bir işlevidir, çünkü . Ayrıca, ve Taylor formülüne (32) göre kez türevlenebilir, burada , yani,
Formül (32)'deki diferansiyeller, karmaşık fonksiyonun diferansiyelleridir, burada , , , yani
(33)'ü (32)'ye koyarak ve şunu dikkate alarak elde ederiz:
(34)'teki son terim, Taylor formülünün kalanı olarak adlandırılır. Lagrange formu
Kanıt olmadan, teoremin varsayımları altında fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olduğunu not ediyoruz. M kez, daha sonra kalan terim şu şekilde yazılabilir: Peano formu:
Bölüm 7
7.1. Uzay R n . Doğrusal uzayda kümeler.
Öğelerinin tümü sıralı kümeler olan bir küme N gerçek sayılar, belirtilen ve çağrılan n-boyutlu aritmetik uzay ve sayı N isminde uzayın boyutu. Kümenin elemanına denir uzayda bir nokta veya bir vektör, ve sayılar koordinatlar bu nokta. =(0, 0, …0) noktasına denir sıfır veya köken.
Uzay, gerçek sayılar kümesidir, yani. - sayı doğrusu; ve sırasıyla iki boyutlu koordinat geometrik düzlemi ve üç boyutlu koordinat geometrik alanıdır. , , … vektörlerine denir tek temel.
Bir kümenin iki elemanı için, elemanların toplamı ve bir elemanın bir gerçek sayı ile çarpımı kavramları tanımlanır:
Açıkçası, bu tanım ve gerçek sayıların özellikleri sayesinde eşitlikler doğrudur:
Bu özelliklerine göre uzaya da denir. doğrusal (vektör) uzay.
Doğrusal uzayda tanımlanır skaler çarpım elemanları ve aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir gerçek sayı olarak:
numara denir vektör uzunluğu veya norm. Vektörler ve denir dikey, Eğer . Değer
, )= │ - │ =
isminde elemanlar arasındaki boşluk Ve .
Eğer ve sıfır olmayan vektörlerse, o zaman köşe aralarında bir açı denir öyle ki
Herhangi bir eleman ve bir gerçek sayı için skaler çarpımın gerçekleştirildiğini görmek kolaydır:
İçinde formül (1) ile tanımlanan skaler çarpımı olan doğrusal bir uzaya denir. öklid uzayı.
İşaret edelim ve . Eşitsizliklerin geçerli olduğu tüm noktaların kümesi
isminde N -ölçüm küpü bir kenar ile ve noktada ortalanmış. Örneğin, iki boyutlu bir küp, bir kenarı merkezli bir karedir.
Eşitsizliği sağlayan noktalar kümesine denir. n-top olarak da adlandırılan, merkezli yarıçap
- noktanın mahallesi içinde ve belirtmek,
Böylece, tek boyutlu bir top bir uzunluk aralığıdır. 2 boyutlu top
eşitsizliğin olduğu bir daire var
tanım 1. Küme denir sınırlı, varsa
N bu seti içeren bir toptur.
Tanım 2. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve ait değerler alan bir fonksiyona denir. sekans uzayda ve ile gösterilir, burada .
Tanım 3. nokta denir dizi sınırı keyfi bir pozitif sayı için, eşitsizliğin herhangi bir sayı için geçerli olduğu bir doğal sayı varsa.
Sembolik olarak bu tanım şu şekilde yazılır:
tanım:
Tanım 3'ten, için olduğu sonucu çıkar. Böyle bir sıra denir yakınsakİle .
Dizi herhangi bir noktada yakınsamıyorsa buna denir. ıraksak.
teorem 1. Dizinin bir noktaya yakınsaması için herhangi bir sayı için gerekli ve yeterlidir, yani sıralamak Ben- yakınsayan noktaların x koordinatları Ben noktanın -inci koordinatı .
□ Kanıt eşitsizliklerden çıkar
sıra denir sınırlı, eğer değerleri kümesi sınırlıysa, yani.
Bir sayı dizisi gibi, yakınsak bir nokta dizisi sınırlıdır ve tek bir limiti vardır.
Tanım 4. sıra denir esas(Cauchy dizisi), herhangi bir pozitif sayı için, keyfi doğal sayılar için ve , 'den büyük olacak şekilde bir doğal sayı belirtilebilirse, yani
teorem 2(Cauchy kriteri). Bir dizinin yakınsaması için temel olması gerekli ve yeterlidir.
□ Gereklilik. bir noktaya yakınsayalım. Sonra yakınsayan bir dizi elde ederiz. . . , …, X denir alan V. Eğer X - alan, daha sonra kapanması denir kapalı alan.
Setler X Ve Y isminde ayrılabilir, hiçbiri diğerinin temas noktalarını içermiyorsa.
Bir demet X isminde ilgili eğer iki ayrılabilir kümenin birleşimi olarak temsil edilemiyorsa.
Bir demet X isminde dışbükey , eğer noktalarından herhangi ikisi tamamen bu kümeye ait olan bir parça ile bağlanabiliyorsa.
Örnek. Yukarıdaki tanımlara dayanarak, şu söylenebilir:
– bağlı, lineer bağlantılı, açık, konveks olmayan küme, bir bölgedir.
– bağlantılı, lineer bağlı, açık olmayan, dışbükey olmayan küme, bir etki alanı değildir.
– bağlantısız, lineer bağlı olmayan, açık, konveks olmayan küme, bölge değildir.
– bağlantısız, lineer bağlı değil, açık küme, bir etki alanı değil.
– bağlantılı, lineer bağlı, açık küme, bir tanım kümesidir.
1°. Bir bağımsız değişken durumu. z=f(x,y) bağımsız değişkenin türevlenebilir işlevleri olan x ve y bağımsız değişkenlerinin türevlenebilir bir işleviyse T: , o zaman karmaşık fonksiyonun türevi 
formülle hesaplanabilir
Örnek. Varsa, nerede bulun.
Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:
Örnek. Kısmi türevi ve toplam türevi bulun, eğer 
.
Çözüm. .
Formül (2)'ye dayanarak, elde ederiz 
.
2°. Birkaç bağımsız değişken durumu.
İzin vermek z=F(X;y) - iki değişkenin işlevi X Ve y, her biri bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur t : x =X (t ), y =sen (T). Bu durumda fonksiyon z=F(X (T);sen (T)) bir bağımsız değişkenin karmaşık bir fonksiyonudur T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.
teorem. Eğer z == F(X; y) - bir noktada türevlenebilir M(x; y)D işlev ve x =X (T) Ve de =sen (T) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T, o zaman karmaşık fonksiyonun türevi z(T) == F(X (T);sen (T)) formül ile hesaplanır
|
|
Özel durum:z = F(X; y), nerede y = y(x), onlar. z= F(X;sen (X)) - bir bağımsız değişkenin karmaşık fonksiyonu X. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü T oynar X. Formül (3)'e göre elimizde:
.
Son formül denir toplam türev için formüller.
Genel dava:z = F(X;y), Nerede x =X (sen;v),y=sen (sen;) O zaman z = F(X (sen;v);sen (sen;v)- bağımsız değişkenlerin karmaşık işlevi Ve Ve V. Kısmi türevleri ve formül (3) kullanılarak aşağıdaki gibi bulunabilir. sabitleme v, karşılık gelen kısmi türevlerle değiştiriyoruz
Yani bileşik fonksiyonun (z) her bir bağımsız değişkene göre türevi (Ve Ve v) ara değişkenlerine göre bu fonksiyonun (z) kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (u ve v).
Dikkate alınan tüm durumlarda, formül
(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).
Örnek. Bul ve eğer z = F(x ,y ), burada x =uv , .
Çözüm. (4) ve (5) formüllerini uygulayarak şunları elde ederiz:
Örnek. Fonksiyonun denklemi sağladığını gösterin 
.
Çözüm. İşlev, bir ara argüman aracılığıyla x ve y'ye bağlıdır, yani
Kısmi türevleri denklemin sol tarafında yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
Yani, z fonksiyonu verilen denklemi sağlar.
Bir fonksiyonun belirli bir yönde türevi ve gradyanı
1°. Belirli bir yöndeki bir fonksiyonun türevi. türev fonksiyonlar z= F(x,y) bu yönde isminde 
, nerede ve noktalarda fonksiyonun değerleridir ve . Z fonksiyonu türevlenebilir ise, formül
yönler arasındaki açılar nerede ben ve karşılık gelen koordinat eksenleri. Belirli bir yöndeki türev, fonksiyonun bu yöndeki değişim oranını karakterize eder.
Örnek. OX ekseni ile 120 ° açı yapan yönde P (1; 0) noktasında z \u003d 2x 2 - Zu 2 fonksiyonunun türevini bulun.
Çözüm. Bu fonksiyonun kısmi türevlerini ve P noktasındaki değerlerini bulalım.
z=ƒ(x;y), her biri bağımsız değişken t'nin bir fonksiyonu olan iki değişken x ve y'nin bir fonksiyonu olsun: x = x(t), y = y(t). Bu durumda, z = f(x(t);y(t)) fonksiyonu, bir bağımsız değişken t'nin karmaşık bir fonksiyonudur; x ve y değişkenleri ara değişkenlerdir.
Teorem 44.4. z \u003d ƒ (x; y), M (x; y) є D noktasında farklılaştırılabilen bir fonksiyonsa ve x \u003d x (t) ve y \u003d y (t), bağımsız değişken t'nin farklılaştırılabilir fonksiyonlarıdır, daha sonra z (t ) = f(x(t);y(t)) karmaşık fonksiyonunun türevi şu formülle hesaplanır:
Bağımsız değişken t'ye bir Δt artışı verelim. O zaman x = x(t) ve y = y(t) fonksiyonları sırasıyla Δx ve Δy artışlarını alacaktır. Bunlar da z fonksiyonunun Az'ı artırmasına neden olacaktır.
Koşullu olarak, z - ƒ(x; y) fonksiyonu M(x; y) noktasında türevlenebilir olduğundan, toplam artışı şu şekilde temsil edilebilir:
burada a→0, β→0, Δх→0, Δу→0 olarak (bkz. madde 44.3). Δz ifadesini Δt'ye bölüyoruz ve Δt→0 olarak limite geçiyoruz. O zaman x = x(t) ve y = y(t) fonksiyonlarının sürekliliğinden dolayı Δх→0 ve Δу→0 olur (teoremin durumuna göre diferansiyellenebilirler). Biz:
Özel durum: z=ƒ(x;y), burada y=y(x), yani z=ƒ(x;y(x)) bir bağımsız değişken x'in karmaşık bir fonksiyonudur. Bu durum, x'in t değişkeninin rolünü oynadığı bir önceki duruma indirgenir. Formül (44.8)'e göre elimizde:
Formül (44.9), toplam türev formülü olarak adlandırılır.
Genel durum: z=ƒ(x;y), burada x=x(u;v), y=y(u;v). O halde z= f(x(u;v);y(u;v)) u ve v bağımsız değişkenlerinin karmaşık bir fonksiyonudur. Kısmi türevleri aşağıdaki formül (44.8) kullanılarak bulunabilir. v'yi sabitledikten sonra, karşılık gelen kısmi türevlerle değiştiririz 
Benzer şekilde, şunu elde ederiz: 
Böylece, karmaşık bir fonksiyonun (z) her bir bağımsız değişkene (u ve v) göre türevi, bu fonksiyonun kısmi türevlerinin (z) ara değişkenlerine (x ve y) göre çarpımlarının toplamına eşittir. ) ve karşılık gelen bağımsız değişkene (u ve v) göre türevleri.
Örnek 44.5. z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v olup olmadığını bulun.
Çözüm: (44.10) formülünü kullanarak dz/du'yu (dz/dv - bağımsız olarak) bulun:
Ortaya çıkan eşitliğin sağ tarafını sadeleştirin:
40. Çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri ve toplam diferansiyeli.
z = ƒ (x; y) fonksiyonu verilsin. x ve y bağımsız değişkenler olduğundan biri değişirken diğeri değişmez. Bağımsız değişken x'e, y'nin değerini değiştirmeden bir Δx artışı verelim. O zaman z, x içindeki z'nin kısmi artışı olarak adlandırılan ve ∆ x z ile gösterilen bir artış alacaktır. Bu yüzden,
Δ x z \u003d ƒ (x + Δ x; y) -ƒ (x; y).
Benzer şekilde, z'nin y'ye göre kısmi bir artışını elde ederiz:
Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).
z fonksiyonunun toplam artışı Δz, eşitlik ile tanımlanır
Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).
eğer bir sınır varsa
o zaman x değişkenine göre M (x; y) noktasında z \u003d ƒ (x; y) fonksiyonunun kısmi türevi olarak adlandırılır ve sembollerden biri ile gösterilir:
M 0 (x 0; y 0) noktasında x'e göre kısmi türevler genellikle sembollerle gösterilir 
z \u003d ƒ (x; y)'nin y değişkenine göre kısmi türevi benzer şekilde tanımlanır ve gösterilir:
Bu nedenle, birkaç (iki, üç veya daha fazla) değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, kalan bağımsız değişkenlerin değerlerinin sabitliğine bağlı olarak, bu değişkenlerden birinin fonksiyonunun türevi olarak tanımlanır. Bu nedenle, ƒ(x; y) fonksiyonunun kısmi türevleri, tek değişkenli bir fonksiyonun türevlerini hesaplamak için formüllere ve kurallara göre bulunur (bu durumda, sırasıyla, x veya y sabit bir değer olarak kabul edilir).
Örnek 44.1. z = 2y + e x2-y +1 fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun. Çözüm:
İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı
z \u003d ƒ (x; y) fonksiyonunun grafiği belirli bir yüzeydir (bkz. paragraf 12.1). z \u003d ƒ (x; y 0) fonksiyonunun grafiği, bu yüzeyin y \u003d y o düzlemi ile kesişme çizgisidir. Tek değişkenli bir fonksiyon için türevin geometrik anlamına dayanarak (bkz. Madde 20.2), ƒ "x (x o; y o) \u003d tg a olduğu sonucuna varıyoruz, burada a, Öküz ekseni ile çizilen teğet arasındaki açıdır. Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) noktasındaki z \u003d ƒ (x; y 0) eğrisi (bkz. Şekil 208).
Benzer şekilde, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.
Bir Z=f(x,y) fonksiyonu, toplam ΔZ artışı Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy) olarak temsil edilebiliyorsa, P(x,y) noktasında türevlenebilir olarak adlandırılır, burada Δx ve Δy - P, A ve B noktasının bazı komşuluklarında karşılık gelen x ve y bağımsız değişkenlerinin herhangi bir artışı sabittir (Δx, Δy'ye bağlı değildir),
ω(Δx,Δy) mesafeden sonsuz küçük bir yüksek mertebedir:
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, o noktadaki toplam artışı iki kısımdan oluşur:
1. A∙Δx+B∙Δy fonksiyonunun artışının ana kısmı Δx,Δy'ye göre doğrusaldır
2. Ve doğrusal olmayan ω(Δx,Δy) - artışın ana kısmından sonsuz küçük bir yüksek mertebe.
Δx,Δy'ye göre doğrusal olan bir fonksiyonun artışının ana kısmına bu fonksiyonun toplam diferansiyeli denir ve şöyle gösterilir:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx ve Δy=dy veya iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli:
Ekran diferansiyeli. Tek değişkenli sayısal bir fonksiyonun diferansiyeli ve türevi. Türev tablosu. Türevlenebilirlik. ) bağımsız değişkenin bir işlevidir ve →0 kadar sonsuz küçüktür, yani,
Şimdi bir noktadaki türev ile aynı noktadaki türevin varlığı arasındaki bağlantıyı açıklığa kavuşturalım.
teorem. fonksiyon için F(X) verilen noktada türevlenebilirdi X , bu noktada sonlu bir türevi olması gerekli ve yeterlidir.
Türev tablosu.