Matris eşitliği, eşdeğer matrisler. Eşdeğer matrisler Matrislerin eşdeğer dönüşümleri
eşdeğer matrisler
Yukarıda bahsedildiği gibi, s mertebesinden bir matrisin minörü, seçilen herhangi bir s satır ve s sütunun kesişiminde bulunan orijinal matrisin öğelerinden oluşan matrisin determinantıdır.
Tanım. mn mertebesinden bir matriste, r mertebesinden minör sıfıra eşit değilse temel olarak adlandırılır ve r + 1 mertebesinden ve üzerindeki tüm minörler sıfıra eşittir veya hiç yoktur, yani. r, m veya n'nin en küçüğüdür.
Bir baz minör içeren bir matrisin sütun ve satırlarına da baz denir.
Bir matriste aynı düzene sahip birkaç farklı temel minör olabilir.
Tanım. Bir matrisin küçük taban mertebesine matrisin rankı denir ve Rg A ile gösterilir.
Temel matris dönüşümlerinin çok önemli bir özelliği, matrisin sırasını değiştirmemeleridir.
Tanım. Temel bir dönüşüm sonucunda elde edilen matrislere eşdeğer denir.
Unutulmamalıdır ki, eşit matrisler ve eşdeğer matrisler tamamen farklı kavramlardır.
teorem. Bir matristeki en fazla doğrusal bağımsız sütun sayısı, doğrusal bağımsız satır sayısına eşittir.
Çünkü Temel dönüşümler bir matrisin sırasını değiştirmediğinden, bir matrisin sırasını bulma sürecini önemli ölçüde basitleştirmek mümkündür.
Örnek. Matrisin rankını belirleyin.
2. Örnek: Bir matrisin rankını belirleyin.
Temel dönüşümler kullanılıyorsa, orijinaline eşdeğer ancak daha küçük boyutlu bir matris bulmak mümkün değilse, matrisin sırasını bulmak mümkün olan en yüksek mertebeden küçükleri hesaplamakla başlamalıdır. Yukarıdaki örnekte bunlar 3. mertebeden minörlerdir. Bunlardan en az biri sıfıra eşit değilse, matrisin rankı bu minörün mertebesine eşittir.
Temel minör teoremi.
teorem. Rastgele bir A matrisinde, her sütun (satır), minör tabanın bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir kombinasyonudur.
Böylece, rastgele bir A matrisinin sıralaması, matristeki maksimum doğrusal olarak bağımsız satır (sütun) sayısına eşittir.
A bir kare matris ve det A = 0 ise, o zaman sütunlardan en az biri diğer sütunların doğrusal birleşimidir. Aynı şey diziler için de geçerlidir. Bu ifade, determinant sıfıra eşit olan doğrusal bağımlılık özelliğinden gelir.
İsteğe bağlı lineer denklem sistemlerini çözme
Yukarıda bahsedildiği gibi, matris yöntemi ve Cramer yöntemi yalnızca bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu doğrusal denklem sistemlerine uygulanabilir. Daha sonra, rastgele lineer denklem sistemlerini ele alalım.
Tanım. n bilinmeyenli m denklem sistemi genellikle aşağıdaki gibi yazılır:
burada aij katsayılar ve bi sabitlerdir. Sistemin çözümleri, sistemde ikame edildiğinde denklemlerinin her birini bir özdeşliğe dönüştüren n sayıdır.
Tanım. Bir sistemin en az bir çözümü varsa buna uyumlu denir. Sistemin çözümü yoksa tutarsız olarak adlandırılır.
Tanım. Bir sistemin tek çözümü varsa belirli, birden çok çözümü varsa belirsizdir.
Tanım. Bir lineer denklem sistemi için, matris
A = sistemin matrisi olarak adlandırılır ve matris
A*= sistemin artırılmış matrisi olarak adlandırılır
Tanım. b1, b2, …,bm = 0 ise sistem homojen olarak adlandırılır. homojen bir sistem her zaman tutarlıdır, çünkü her zaman sıfır çözümü vardır.
Sistemlerin temel dönüşümleri
Temel dönüşümler şunlardır:
1) Bir denklemin her iki kısmına diğerinin karşılık gelen kısımlarının eklenmesi, sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılması.
2) Yerlerde denklemlerin permütasyonu.
3) Tüm x'ler için özdeş olan denklem sisteminden çıkarma.
Kronecker-Kapeli teoremi (sistem uyumluluk koşulu).
(Leopold Kronecker (1823-1891) Alman matematikçi)
Teorem: Sistem tutarlıdır (en az bir çözümü vardır), ancak ve ancak sistemin matrisinin rankı genişletilmiş matrisin rankına eşitse.
Açıkçası, sistem (1) şu şekilde yazılabilir:
Yeni bir temele geçiş.
(1) ve (2) aynı m-boyutlu lineer X uzayının iki tabanı olsun.
(1) bir baz olduğundan, ikinci bazın vektörlerini buna göre genişletmek mümkündür:
katsayılarından bir matris oluşturuyoruz:
(4), taban (1)'den taban (2)'ye geçişteki koordinat dönüştürme matrisidir.
Bir vektör olsun, sonra (5) ve (6).
İlişki (7) şu anlama gelir:
P matrisi dejenere değildir, çünkü aksi takdirde sütunları arasında ve ardından vektörler arasında doğrusal bir ilişki olacaktır.
Tersi de doğrudur: herhangi bir dejenere olmayan matris, formüller (8) tarafından tanımlanan bir koordinat dönüşüm matrisidir. Çünkü P, dejenere olmayan bir matristir, o halde bir tersi vardır. (8)'in her iki kısmını da çarparak şunu elde ederiz: (9).
X lineer uzayında 3 baz seçilsin: (10), (11), (12).
nerede, yani (13).
O. koordinatların sıralı dönüşümü durumunda, ortaya çıkan dönüşümün matrisi, bileşen dönüşümlerin matrislerinin çarpımına eşittir.
Lineer bir operatör olsun ve X: (I) ve (II)'de ve Y - (III) ve (IV)'de bir baz çifti seçilsin.
I - III tabanındaki A operatörü şu eşitliğe karşılık gelir: (14). II – IV taban çiftlerinde aynı operatör şu eşitliğe karşılık gelir: (15). O. belirli bir A operatörü için iki u matrisimiz var. Aralarında bir bağımlılık kurmak istiyoruz.
P, I'den III'e geçişte koordinat dönüşüm matrisi olsun.
Q, II'den IV'e geçişte koordinat dönüşüm matrisi olsun.
Sonra (16), (17). (16) ve (17) için ifadeleri (14) ile değiştiririz, şunu elde ederiz:
Bu eşitliği (15) ile karşılaştırarak şunu elde ederiz:
İlişki (19), aynı operatörün matrisini farklı tabanlarda ilişkilendirir. X ve Y boşluklarının çakışması durumunda, III temelinin rolü I ve IV - II-nd tarafından oynanır, ardından ilişki (19) şu şekli alır: .
Kaynakça:
3. Kostrikin A.I. Cebire giriş. bölüm II. Cebirin temelleri: üniversiteler için bir ders kitabı, -M. : Fiziko-matematik literatürü, 2000, 368 s.
Ders No. 16 (II dönem)
Ders: Matrislerin denkliği için gerekli ve yeterli koşul.
Aynı büyüklükteki iki matris A ve B olarak adlandırılır. eş değer, eğer (1) olacak şekilde R ve S tekil olmayan iki matris varsa.
Örnek: X ve Y lineer uzaylarında farklı baz seçimleri için aynı operatöre karşılık gelen iki matris eşdeğerdir.
Yukarıdaki tanım kullanılarak aynı boyuttaki tüm matrisler kümesinde tanımlanan ilişkinin bir denklik ilişkisi olduğu açıktır.
Teorem 8: Aynı boyuttaki iki dikdörtgen matrisin eşdeğer olması için aynı dereceden olmaları gerekli ve yeterlidir.
Kanıt:
1. A ve B mantıklı olan iki matris olsun. Çarpımın sıralaması (Matriks C), her bir faktörün sıralamasından daha yüksek değildir.
C matrisinin k'inci sütununun A matrisinin sütun vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu görüyoruz ve bu C matrisinin tüm sütunları için geçerli, yani. hepsi için. O. , yani doğrusal uzayın bir alt uzayıdır.
Alt uzayın boyutu, uzayın boyutundan küçük veya ona eşit olduğu için, C matrisinin rankı A matrisinin rankına eşit veya ondan küçüktür.
Eşitliklerde (2), i indeksini sabitleriz ve k'ye 1'den s'ye kadar tüm olası değerleri atarız. Sonra (3) sistemine benzer bir eşitlik sistemi elde ederiz:
Eşitliklerden (4) görülebilir ki, C matrisinin i'inci satırı, tüm i'ler için B matrisinin satırlarının doğrusal bir kombinasyonudur ve daha sonra C matrisinin satırları tarafından yayılan doğrusal açıklık içinde bulunur. B matrisinin satırları tarafından yayılan doğrusal yayılma ve sonra bu doğrusal yayılmanın boyutu, matris B'nin satır vektörlerinin doğrusal yayılma boyutundan küçük veya ona eşittir, bu da şu anlama gelir: C matrisi, B matrisinin rankından küçük veya ona eşittir.
2. A matrisinin soldaki ve sağdaki tekil olmayan bir kare matris Q ile çarpımının sıralaması, A matrisinin sırasına eşittir. (). Onlar. C matrisinin rankı, A matrisinin rankına eşittir.
Kanıt: Durum (1)'de kanıtlandığı gibi. Q matrisi tekil olmadığı için, o zaman var: ve önceki ifadede kanıtlanana göre.
3. Matrisler eşdeğer ise, o zaman aynı sıralara sahip olduklarını kanıtlayalım. Tanım gereği, eğer R ve S varsa A ve B eşdeğerdir. A'yı soldan R ile ve sağdan S ile çarpmak, (2)'de kanıtlandığı gibi, aynı sıradaki matrislerle sonuçlandığından, A'nın sırası B'nin sırasına eşittir.
4. A ve B matrisleri aynı dereceden olsun. Denk olduklarını kanıtlayalım. Hadi düşünelim .
X ve Y, tabanların (X temelinde) ve (Y temelinde) seçildiği iki doğrusal uzay olsun. Bilindiği gibi, formun herhangi bir matrisi, X'ten Y'ye etki eden bazı lineer operatörleri tanımlar.
r, A matrisinin rankı olduğundan, aralarında tam olarak r lineer bağımsız vektör vardır. Genelliği kaybetmeden, - ilk r vektörünün - doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayabiliriz. O zaman geri kalan her şey onlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilir ve şunu yazabiliriz:
X uzayında yeni bir tabanı şu şekilde tanımlıyoruz: . (7)
Y uzayında yeni taban aşağıdaki gibidir:
Vektörler, varsayım gereği, doğrusal olarak bağımsızdır. Bunları Y: (8) tabanına kadar bazı vektörlerle tamamlayalım. Yani (7) ve (8) X ve Y olmak üzere iki yeni tabandır. Bu tabanlarda A operatörünün matrisini bulalım:
Dolayısıyla, yeni baz çiftinde, A operatörünün matrisi J matrisidir. A matrisi başlangıçta r türünde gelişigüzel bir dikdörtgen matristi. Aynı operatörün matrisleri farklı tabanlarda eşdeğer olduğundan, bu, r biçimindeki ve rankı olan herhangi bir dikdörtgen matrisin J'ye eşdeğer olduğunu gösterir. Bir denklik bağıntısıyla uğraştığımız için, bu, J matrisine eşdeğer olan form ve rank r , birbirine eşdeğerdir.
Kaynakça:
1. Voevodin V.V. Lineer Cebir. Petersburg: Lan, 2008, 416 s.
2. D. V. Beklemişev, Analitik Geometri ve Doğrusal Cebir Kursu. Moskova: Fizmatlit, 2006, 304 s.
3. Kostrikin A.I. Cebire giriş. bölüm II. Cebirin temelleri: üniversiteler için bir ders kitabı, -M. : Fiziksel ve matematiksel literatür, 2000, 368 s.
Ders No. 17 (II dönem)
Ders: Özdeğerler ve özvektörler. kendi alt uzayları. Örnekler.
Genellikle eşitlik ve matris denkliği kavramları vardır.
tanım 1
$A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ matrisi, $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l) $ matrisine eşit olarak adlandırılır boyutları $(m=k,n=l)$ ise ve karşılaştırılan matrislerin karşılık gelen elemanları eşitse.
Genel formda yazılan 2. dereceden matrisler için matris eşitliği aşağıdaki gibi yazılabilir:
örnek 1
Matris verileri:
1) $A=\left(\begin(dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ),B=\left(\begin( dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ)$;
2) $A=\left(\begin(dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ),B=\left(\begin( dizi)(c) (-3) \\ (2) \end(dizi)\sağ)$;
3) $A=\left(\begin(dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ),B=\left(\begin( dizi)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(dizi)\sağ)$.
Matrislerin eşit olup olmadığını belirleyin.
1) $A=\left(\begin(dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ),B=\left(\begin( dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ)$
A ve B matrisleri aynı düzene sahiptir, 2$\times $2'ye eşittir. Karşılaştırılan matrislerin karşılık gelen elemanları eşittir, bu nedenle matrisler eşittir.
2) $A=\left(\begin(dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ),B=\left(\begin( dizi)(c) (-3) \\ (2) \end(dizi)\sağ)$
A ve B matrislerinin sırası farklıdır, sırasıyla 2$\times $2 ve 2$\times $1'e eşittir.
3) $A=\left(\begin(dizi)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(dizi)\sağ),B=\left(\begin( dizi)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(dizi)\sağ)$
A ve B matrisleri aynı düzene sahiptir, 2$\times $2'ye eşittir. Bununla birlikte, karşılaştırılan matrislerin karşılık gelen tüm elemanları eşit değildir, bu nedenle matrisler eşit değildir.
Tanım 2
Bir matrisin temel dönüşümü, matrislerin eşdeğerliğini koruyan bir dönüşümdür. Başka bir deyişle, bir temel dönüşüm, verilen matris tarafından temsil edilen doğrusal cebirsel denklemler sisteminin (SLAE) çözüm kümesini değiştirmez.
Temel matris satır dönüşümleri şunları içerir:
- bir matris satırının sıfıra eşit olmayan bir sayı $k$ ile çarpılması (bu durumda, matrisin determinantı $k$ kat artar);
- matrisin herhangi iki satırının permütasyonu;
- diğer satırının eleman matrisinin bir satırının elemanlarına eklenmesi.
Aynısı matris sütunları için de geçerlidir ve temel sütun dönüşümleri olarak adlandırılır.
Tanım 3
A matrisinden temel bir dönüşüm yardımıyla B matrisine geçersek, o zaman orijinal ve elde edilen matrislere eşdeğer denir. Matrislerin denkliğini belirtmek için "$ \sim$" işareti kullanılır, örneğin $A\sim B$.
Örnek 2
Bir matris verildiğinde: $A=\left(\begin(dizi)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(dizi)\sağ)$.
Matris satırlarının temel dönüşümlerini birer birer gerçekleştirin.
A matrisinin ilk satırı ile ikinci satırının yerini değiştirin:
B matrisinin ilk satırını 2 sayısı ile çarpın:
İlk satırı matrisin ikinci satırıyla ekleyelim:
Tanım 4
Bir adım matrisi, aşağıdaki koşulları sağlayan bir matristir:
- matriste sıfır satırı varsa, altındaki tüm satırlar da sıfırdır;
- Null olmayan her bir satırın null olmayan ilk öğesi, bu satırın üstündeki satırdaki önde gelen öğenin kesinlikle sağında bulunmalıdır.
Örnek 3
Matrisler $A=\left(\begin(dizi)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(dizi)\sağ)$ ve $B=\left(\begin(dizi)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$ adım matrisleridir.
Yorum
Eşdeğer dönüşümleri kullanarak matrisi bir adım formuna getirebilirsiniz.
Örnek 4
Bir matris verildiğinde: $A=\left(\begin(dizi)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(dizi)\sağ)$. Matrisi kademeli bir forma dönüştürün.
A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirin:
B matrisinin ilk satırını 2 sayısıyla çarpın ve ikinci satıra ekleyin:
C matrisinin ilk satırını -1 ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin:
D matrisinin ikinci satırını -2 ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin:
$K=\left(\begin(dizi)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(dizi)\right)$ - adım matrisi.
Acil hedefimiz, herhangi bir matrisin temel dönüşümler kullanılarak bazı standart formlara indirgenebileceğini kanıtlamaktır. Bu yolda eşdeğer matrislerin dili kullanışlıdır.
İzin vermek. Bir matrisin bir matrise n_eşdeğer (n_eşdeğer veya eşdeğer) olduğunu söyleyeceğiz ve matrisin sonlu sayıda satır (sırasıyla sütun veya satır ve sütun) temel dönüşümleri kullanılarak matristen elde edilip edilemeyeceğini belirteceğiz (veya). n_eşdeğer ve n_eşdeğer matrislerin eşdeğer olduğu açıktır.
İlk olarak, herhangi bir matrisin yalnızca indirgenmiş olarak adlandırılan satır dönüşümleriyle özel bir forma indirgenebileceğini göstereceğiz.
İzin vermek. Bu matrisin sıfır olmayan bir satırının, içinde 1'e eşit bir öğe varsa, sütunun dışındaki tüm öğeleri sıfıra eşitse, indirgenmiş bir forma sahip olduğu söylenir. Çizginin işaretli tek elemanı, bu çizginin önde gelen elemanı olarak adlandırılacak ve onu bir daire içine alacaktır. Başka bir deyişle, matrisin bir satırı, eğer bu matris formda bir sütun içeriyorsa indirgenmiş bir forma sahiptir.
Örneğin, aşağıdaki matriste
dize indirgenmiş forma sahiptir, çünkü. Bu örnekte elemanın aynı zamanda dizinin baş elemanı olma iddiasına da dikkat edelim. Gelecekte, indirgenmiş form çizgisinde liderin özelliklerine sahip birkaç öğe varsa, keyfi olarak bunlardan yalnızca birini seçeceğiz.
Bir matrisin sıfır olmayan satırlarının her biri indirgenmiş bir forma sahipse, indirgenmiş bir forma sahip olduğu söylenir. örneğin, matris
verilen forma sahiptir.
Önerme 1.3 Herhangi bir matris için, ona l_eşdeğer bir indirgenmiş form matrisi vardır.
Aslında, eğer bir matris (1.1) formuna sahipse ve o zaman içinde temel dönüşümler gerçekleştirdikten sonra
matrisi elde ederiz
dizenin indirgenmiş forma sahip olduğu.
İkinci olarak, matristeki satır azaltılırsa, temel dönüşümlerden (1.20) sonra matris satırı azaltılacaktır. Gerçekten de, indirgenmiş olduğundan, öyle bir sütun var ki
ancak sonra ve sonuç olarak dönüşümlerden (1.20) sonra sütun değişmez, yani. . Bu nedenle çizgi indirgenmiş forma sahiptir.
Şimdi, matrisin sıfır olmayan her satırını sırayla yukarıdaki yöntemle dönüştürerek, sonlu sayıda adımdan sonra indirgenmiş formda bir matris elde edeceğimiz açıktır. Matrisi elde etmek için yalnızca satır temel dönüşümleri kullanıldığından, matrise l_eşdeğerdir. >
Örnek 7. Matrise n_eşdeğer olan indirgenmiş formda bir matris oluşturun
