«Doğrusal filtrelerin sentezi. R. G. Gareeva doğrusal frekans filtrelerinin sentezi Doğrusal frekans filtrelerinin sentez teorisinin unsurları

Elektrik filtreleri, ihmal edilebilir zayıflama ∆A ile belirli f 0 ... f 1 frekans aralıklarında (geçiş bantları) salınımları ileten ve pratik olarak diğer f 2 ... f 3 aralıklarında (durma veya) salınımları iletmeyen dört terminalli ağlardır. iletim dışı bantlar).

Pirinç. 2.1.1. Alçak geçiren filtre (LPF). Pirinç. 2.1.2. Yüksek geçiş filtresi (HPF).

Elektrik filtre uygulamalarının birçok farklı türü vardır: pasif LC filtreleri (devreler endüktif ve kapasitif elemanlar içerir), pasif RC filtreleri (devreler dirençli ve kapasitif elemanlar içerir), aktif filtreler (devreler işlemsel yükselteçler, dirençli ve kapasitif elemanlar içerir), dalga kılavuzu, dijital filtreler ve diğerleri. Tüm filtre türleri arasında LC filtreleri, telekomünikasyon ekipmanlarında çeşitli frekans aralıklarında yaygın olarak kullanıldıkları için özel bir konuma sahiptir. Bu tip filtreler için köklü bir sentez tekniği mevcuttur ve diğer filtre türlerinin sentezi büyük ölçüde bu tekniği kullanır.

metodoloji. Bu nedenle ders çalışması senteze odaklanmaktadır.

Pirinç. 2.1.3. Bant geçiren filtre (PF). pasif LC filtreleri.

Sentez görevi Bir elektrik filtresinin amacı, frekans tepkisi belirtilen teknik gereksinimleri karşılayabilecek mümkün olan en az sayıda elemana sahip bir filtre devresi tanımlamaktır. Çoğunlukla çalışma zayıflama karakteristiğine gereksinimler getirilir. Şekil 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3'te, çalışma zayıflama gereksinimleri, geçiş bandı A'da izin verilen maksimum zayıflama seviyeleri ve durdurma bandı As'de izin verilen minimum zayıflama seviyeleri ile verilmektedir. Sentezin görevi iki aşamaya ayrılır: yaklaşım problemi Fiziksel olarak uygulanan bir fonksiyon tarafından operasyonel zayıflamaya yönelik gereksinimler ve uygulama görevi bir elektrik devresi tarafından fonksiyonun yaklaşık değerini buldu.

Yaklaşım probleminin çözümü, ilk olarak filtrenin frekans tepkisi için belirtilen teknik gereksinimleri karşılayan ve ikinci olarak fiziksel fizibilite koşullarını karşılayan, mümkün olan en düşük düzeyde böyle bir fonksiyonun bulunmasından oluşur.

Uygulama probleminin çözümü, yaklaşıklık probleminin çözümü sonucunda bulunan fonksiyon ile frekans tepkisi örtüşen elektrik devresinin belirlenmesidir.

2.1. ÇALIŞMA PARAMETRELERİNE GÖRE FİLTRELERİN SENTEZİ İÇİN ESASLAR.

Bir elektrik filtresi yoluyla enerji aktarımının koşullarını karakterize eden bazı ilişkileri ele alalım. Kural olarak, cihazların giriş terminallerinin yanından bağlandığı durumlarda bir elektrik filtresi kullanılır; bu, eşdeğer devrede E(jω), R1 parametreleri ve sunulan cihazlarla aktif iki terminalli bir ağ olarak temsil edilebilir. eşdeğer devrede çıkış terminallerinin direnç direnci R2'nin yanından bağlanır. Elektrik filtresini açma devresi Şekil 2.2.1'de gösterilmektedir.

Şekil 2.2.2, bir filtre ve R2 direnci yerine, değeri jeneratörün direncine eşit olan eşdeğer bir jeneratöre (E(jω), R1 parametreleriyle) bir yük direncinin bağlandığı bir diyagramı gösterir. R1. Bildiğiniz gibi, yük direnci jeneratör R1'in iç kayıp direncine eşitse jeneratör dirençli bir yüke maksimum güç sağlar.

Bir sinyalin dört terminalli bir ağ üzerinden geçişi, çalışan bir transfer fonksiyonu T(jω) ile karakterize edilir. Çalışma transfer fonksiyonu, jeneratör tarafından R1 yüküne sağlanan S 0 (jω) gücünü (kendi parametreleriyle tutarlı olarak), filtreden geçtikten sonra R2 yüküne sağlanan S 2 (jω) gücü ile karşılaştırmanıza olanak tanır:

Çalışma transfer fonksiyonunun argümanı arg(T(jω)) emk arasındaki faz ilişkisini karakterize eder. E(jω) ve çıkış voltajı U 2 (jω). Buna çalışma aşaması transfer sabiti denir (Yunanca "beta" harfiyle gösterilir):

Enerji dört terminalli bir ağ üzerinden iletildiğinde, güç, voltaj ve akımdaki mutlak değerdeki değişiklikler, çalışma transfer fonksiyonunun modülü ile karakterize edilir. Elektrik filtrelerinin seçici özellikleri değerlendirilirken logaritmik fonksiyonla belirlenen bir ölçü kullanılır. Bu ölçü, çalışma transfer fonksiyonunun modülüyle aşağıdaki oranlarla ilişkili olan çalışma zayıflamasıdır (Yunanca "alfa" harfiyle gösterilir):

, (Np); veya (2.2)

, (dB). (2.3)

Formül (2.2) kullanıldığında çalışma zayıflaması nepers cinsinden, formül (2.3) kullanıldığında ise desibel cinsinden ifade edilir.

Değere dört kutuplunun çalışma iletim sabiti denir (Yunanca "gamma" harfiyle gösterilir). Çalışma transfer fonksiyonu, çalışma zayıflaması ve çalışma aşaması kullanılarak şu şekilde temsil edilebilir:

Jeneratörün R1 iç kayıp direncinin ve R2 yük direncinin dirençli olması durumunda S 0 (jω) ve S 2 (jω) güçleri aktiftir. Jeneratörden kendisine eşleşen bir yük tarafından alınan maksimum Pmax gücünün, R2 yüküne giren P2 gücüne oranı olarak tanımlanan güç aktarım katsayısını kullanarak gücün filtreden geçişini karakterize etmek uygundur:

Reaktif dört terminalli bir ağ, aktif güç tüketmez. Daha sonra jeneratör tarafından verilen aktif güç P1, yük tarafından tüketilen P2 gücüne eşittir:

Giriş akım modülünün değerini ifade edelim ve (2.5)'te yerine koyalım.

Cebirsel dönüşümleri kullanarak (2.5)'i şu şekilde temsil ederiz:

Denklemin sağ tarafının payını şu şekilde temsil ediyoruz:

Denklemin (2.6) sol tarafı güç aktarım oranının tersidir:

Aşağıdaki ifade, bir dört kutuplunun giriş terminallerinden gelen güç yansıma katsayısıdır:

Dört terminalli ağın giriş terminallerinden yansıma katsayısı (voltaj veya akım), şuna eşittir:

filtrenin giriş empedansının R1 direnciyle eşleşmesini karakterize eder.

Yani pasif dört terminalli bir ağ güç kazancı sağlayamaz.

Bu nedenle, bu tür devreler için aşağıdaki ifadeyle tanımlanan yardımcı fonksiyonun kullanılması tavsiye edilir:

Çalışma zayıflamasını, filtre sentezi problemini çözmek için daha uygun olan farklı bir biçimde temsil edelim:

Açıkçası, çalışma zayıflamasının frekans bağımlılığının doğası, filtreleme fonksiyonu adı verilen fonksiyonun frekans bağımlılığıyla ilişkilidir: filtreleme fonksiyonunun sıfırları ve kutupları, zayıflamanın sıfırları ve kutuplarıyla çakışır.

Formül (2.7) ve (2.9)'a dayanarak, dört kutuplu giriş terminallerinden güç yansıma katsayısını temsil etmek mümkündür:

p = jω olduğunu ve ayrıca karmaşık bir değerin modülünün karesinin örneğin , ifade edildiğini dikkate alarak Laplace'a göre operatör görüntüleri yazmaya geçelim. Operatör formundaki ifade (2.10) şu şekildedir:

, operatör ifadeleri "p" karmaşık değişkeninin rasyonel fonksiyonlarıdır ve bu nedenle şu şekilde yazılabilirler:

burada , , - polinomlardır, örneğin:

(2.12) formülünü dikkate alarak (2.11) formülünden polinomlar arasındaki ilişkiyi elde edebiliriz:

Yaklaşım probleminin çözümü aşamasında filtreleme fonksiyonunun ifadesi belirlenir, yani h(p), w(p) polinomları belirlenir; Denklem (2.13)'ten v(p) polinomu bulunabilir.

Eğer ifade (2.8) operatör formunda sunulursa, filtrenin giriş empedansının fonksiyonu operatör formunda elde edilebilir:

Fiziksel gerçekleşebilirlik koşulları aşağıdaki gibidir:

1. v(p) - bir Hurwitz polinomu olmalıdır, yani kökleri karmaşık değişken p=α+j Ω düzleminin sol yarısında yer alır (zincir kararlılığı gereksinimi);

2. w(p) - ya çift ya da tek polinom olmalıdır (LPF için w(p) - ω=0'da zayıflama kutbu olmayacak şekilde bile; HPF için w(p) - tek);

3. h(p) gerçel katsayılı herhangi bir polinomdur.

2.2. DİRENÇ VE FREKANS YÖNETMELİĞİ.

L, C, R elemanlarının parametrelerinin sayısal değerleri ve gerçek filtrelerin kesme frekansları, teknik koşullara bağlı olarak çeşitli değerler alabilir. Hesaplamalarda küçük ve büyük miktarların aynı anda kullanılması önemli hesaplama hatalarına yol açmaktadır.

Filtrenin frekans bağımlılıklarının doğasının, bu bağımlılıkları tanımlayan fonksiyonların katsayılarının mutlak değerlerine bağlı olmadığı, yalnızca oranlarıyla belirlendiği bilinmektedir. Katsayıların değerleri filtrelerin L, C, R parametrelerinin değerlerine göre belirlenir. Bu nedenle, fonksiyon katsayılarının normalleştirilmesi (aynı sayıda değişiklik), filtre elemanlarının parametrelerinin değerlerinin normalleştirilmesine yol açar. Böylece, filtre elemanlarının dirençlerinin mutlak değerleri yerine, yük direnci R2 (veya R1) olarak adlandırılan göreceli değerleri alınır.

Ayrıca frekans değerleri bant genişliğinin kesme frekansına göre normalleştirilirse (bu değer en sık kullanılır), bu durum hesaplamalarda kullanılan değerlerin yayılımını daha da daraltacak ve hesaplamaların doğruluğunu artıracaktır. hesaplamalar. Normalleştirilmiş frekans değerleri formda yazılır ve boyutsuz büyüklüklerdir ve bant genişliğinin kesme frekansının normalleştirilmiş değeridir.

Örneğin seri bağlı L, C, R elemanlarının direncini düşünün:

Anma direnci: .

Normalleştirilmiş frekans değerlerini son ifadeye dahil edelim: burada normalleştirilmiş parametreler: .

Eleman parametrelerinin gerçek (normalleştirilmemiş) değerleri şu şekilde belirlenir:

f 1 ve R2 değerlerini değiştirerek orijinal devreden farklı frekans aralıklarında ve diğer yükler altında çalışan cihazların yeni devrelerini elde etmek mümkündür. Normalleştirmenin getirilmesi, çoğu durumda filtre sentezinin zor sorununu tablolarla çalışmaya indirgeyen filtre katalogları oluşturmayı mümkün kıldı.

2.3. İKİLİ ŞEMALARIN İNŞAATI.

Bilindiği gibi ikili nicelikler direnç ve iletkenliktir. Bir elektrik filtresinin her devresi için ona ikili bir devre bulunabilir. Bu durumda, birinci devrenin giriş direnci, ikincinin giriş iletkenliğinin katsayı ile çarpımına eşit olacaktır. Her iki şema için çalışma transfer fonksiyonu T(p)'nin aynı olacağına dikkat etmek önemlidir. İkili devre oluşturmanın bir örneği Şekil 2.3'te gösterilmektedir.

Bu tür dönüşümler, endüktif elemanların sayısını azaltmayı mümkün kıldıkları için çoğu zaman kullanışlı olur. Bildiğiniz gibi indüktörler, kapasitörlere kıyasla hantal ve düşük kaliteli elemanlardır.

İkili devre elemanlarının normalleştirilmiş parametreleri belirlenir (=1 olduğunda):

2.4. FREKANS ÖZELLİKLERİNİN YAKLAŞTIRILMASI.

Şekil 2.1.1 - 2.1.3 alçak geçiren filtrenin (LPF), yüksek geçiren filtrenin (HPF), bant geçiren filtrenin (BPF) çalışma zayıflama fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir. Aynı grafikler gerekli zayıflama seviyelerini göstermektedir. Geçiş bandında f 0 ... f 1 izin verilen maksimum zayıflama değeri (zayıflama eşitsizliği olarak adlandırılır) ΔА ayarlanır; f 2 …f 3 durdurma bandında izin verilen minimum zayıflama değeri A S ayarlanır; f 1 ... f 2 frekanslarının geçiş bölgesinde zayıflama gereklilikleri uygulanmaz.

Yaklaşım probleminin çözümüne geçmeden önce, örneğin alçak geçiren filtre ve yüksek geçiren filtre için frekanstaki çalışma zayıflamasının gerekli özellikleri normalleştirilir:

İstenilen yaklaşım fonksiyonu, fiziksel fizibilite koşullarını karşılamalı ve çalışma zayıflamasının gerekli frekans bağımlılığını yeterince doğru bir şekilde yeniden üretmelidir. Yaklaşım hatasını tahmin etmek için çeşitli yaklaşım türlerinin dayandığı çeşitli kriterler vardır. Genlik-frekans özelliklerinin yakınlaştırılması problemlerinde en sık Taylor ve Chebyshev'in optimallik kriterleri kullanılır.

2.4.1. Taylor kriterine göre yaklaşım.

Taylor kriterinin uygulanması durumunda, istenen yaklaşım fonksiyonu aşağıdaki forma sahiptir (normalleştirilmiş değer):

filtreleme fonksiyonunun modülünün karesi nerede;

– polinomun sırası (bir tamsayı değeri alır);

ε tekdüzelik katsayısıdır. Değeri, geçiş bandındaki zayıflama eşitsizliği olan ∆A'nın değeriyle ilgilidir (Şekil 2.4). Geçiş bandının kesme frekansında Ω 1 =1 olduğundan, bu nedenle

Zayıflamanın frekans bağımlılığına (2.16) sahip filtrelere, filtreler denir. son derece düz zayıflama özellikleri veya şununla filtreleyin: Butterworth'un özellikleri Filtre sentezi probleminin çözümünde Taylor kriterine göre yaklaşımı kullanan ilk kişi oydu.

Yaklaştırma fonksiyonunun sırası, durdurma bandı Ω 2'nin kesme frekansında çalışma zayıflamasının izin verilen minimum değeri aşması koşuluna göre belirlenir:

Nerede . (2.19)

Polinomun sırası tam sayı olması gerektiğinden elde edilen değer

Şekil 2.4. en yakın üst basamağa yuvarlanır

tamsayı değeri.

İfade (2.18), jΩ→ dönüşümü kullanılarak operatör formunda temsil edilebilir:

Polinomun köklerini bulalım: , nereden

K = 1, 2,… , Not (2,20)

Kökler karmaşık eşlenik değerler alır ve yarıçaplı bir daire üzerinde bulunur. Hurwitz polinomunu oluşturmak için yalnızca karmaşık düzlemin sol yarısında bulunan köklerin kullanılması gerekir:

Şekil 2.5, negatif gerçel bileşenli 9. dereceden bir polinomun köklerinin karmaşık düzleme yerleştirilmesine ilişkin bir örneği göstermektedir. Modül karesi

Pirinç. 2.5. (2.16)'ya göre filtreleme fonksiyonu şuna eşittir:

Gerçek katsayılı polinom; eşit düzende bir polinomdur. Böylece fiziksel gerçekleştirilebilirlik koşulları sağlanmış olur.

2.4.2. Chebyshev kriterine göre yaklaşım.

Taylor yaklaşımı için Ω 2 N B güç polinomları kullanıldığında, Ω=0 noktasına yakın ideal fonksiyona iyi bir yaklaşım elde edilir, ancak Ω>1 için yaklaşım fonksiyonunun yeterli dikliğini sağlamak için sırayı arttırmak gerekir. polinomun (ve dolayısıyla şemanın sırasının)

Geçiş frekansı bölgesindeki en iyi diklik, yaklaşık olarak monotonik bir fonksiyon değil (Şekil 2.4), geçiş bandında 0 ... ΔА değerleri aralığında salınan bir fonksiyon seçersek elde edilebilir. 0'da<Ω<1 (рис. 2.7).

Chebyshev kriterine göre en iyi yaklaşım, Chebyshev polinomları P N (x) kullanılarak sağlanır (Şekil 2.6). -1 aralığında< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

-1 aralığında< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

P N (x) = cos(N arkcos(x)) (2,21)

N=1 için P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,

N=2 için P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1,

N≥3 için polinom PN(x) yinelenen formül kullanılarak hesaplanabilir

P N +1 (x) = 2 x P N (x) - P N -1 (x).

X > 1 için Chebyshev polinomlarının değerleri monoton olarak artar ve şu ifadeyle tanımlanır:

P N (x) = ch(N Arch(x)). (2.22)

Çalışma zayıflama fonksiyonu (Şekil 2.7) şu ifadeyle tanımlanmaktadır:

burada ε formül (2.17) ile belirlenen tekdüzelik katsayısıdır;

Filtre fonksiyon modülü karesi;

P N (Ω), N dereceli bir Chebyshev polinomudur.

Durdurma bandındaki çalışma zayıflaması A S değerini aşmalıdır:

Bu eşitsizlikte durdurma bandının frekanslarının değerleri yerine ifadeyi (2.22) değiştirerek, bunu Chebyshev polinomunun sırası olan N = NЧ değerine göre çözeriz:

Polinomun sırası bir tam sayı olmalıdır, dolayısıyla elde edilen değer bir sonraki daha büyük tam sayı değerine yuvarlanmalıdır.

Çalışma transfer fonksiyonunun modülünün karesi (normalleştirilmiş değer)

Zayıflama sıfırları (aynı zamanda Hurwitz polinomunun kökleridir) geçiş bandında yer aldığından, geçiş bandı frekansları için ifade (2.21) bu ifadenin yerine konulmalıdır.

İfade (2.25), jΩ→ dönüşümü kullanılarak operatör formunda temsil edilebilir:

Polinomun kökleri aşağıdaki formülle belirlenir:

K = 1, 2, … , NЧ, (2.26)

Karmaşık düzlemdeki karmaşık eşlenik kökler bir elips üzerinde bulunur. Hurwitz polinomu yalnızca negatif gerçek bileşene sahip köklerden oluşur:

Filtre fonksiyonu modülü karesi; bu nedenle polinomu özyinelemeli formülü kullanarak buluyoruz:

Gerçek katsayılı bir polinomdur; çift ​​dereceli bir polinomdur. Fiziksel gerçekleştirilebilirlik koşulları karşılanmıştır.

2.5. ELEKTRİK DEVRESİNİN YAKLAŞIK FONKSİYONUNUN UYGULANMASI.

Uygulama problemini çözme yöntemlerinden biri, giriş direnç fonksiyonunun sürekli kesir genişlemesine dayanmaktadır.

Ayrıştırma prosedürü literatürde açıklanmaktadır: , . Devamlı kesir açılımı kısaca şu şekilde açıklanabilir.

Fonksiyon polinomların oranıdır. İlk olarak pay polinomu payda polinomuna bölünür; daha sonra bölen polinom bölünebilir hale gelir ve elde edilen kalan, bölen olur ve bu şekilde devam eder. Bölme işlemiyle elde edilen bölümler sürekli bir kesir oluşturur. Şekil 2.8'deki devre için sürekli kesir şu şekildedir (=1 için):

Gerekirse, alınanlardan yapabilirsiniz

şemalar ikiliye gidiyor.

2.6. FREKANS DEĞİŞKENİ DÖNÜŞTÜRME YÖNTEMİ.

HPF ve PF'nin sentezi için frekans değişkeni dönüştürme yöntemi kullanılır. Dönüşüm yalnızca normalleştirilmiş frekanslar Ω için geçerlidir.

2.6.1. HPF sentezi. LPF ve HPF'nin özelliklerini Şekil 2.9 ve 2.10'da karşılaştırdığınızda, bunların karşılıklı olarak ters olduğunu görebilirsiniz. Bu, eğer frekans değişkenini değiştirirsek

Alçak geçiren filtre karakteristiğinin ifadesinde yüksek geçiren filtre karakteristiği elde edilecektir. Örneğin Butterworth karakteristiğine sahip bir filtre için

Bu dönüşümü kullanmak, kapasitif elemanları endüktif olanlarla değiştirmeye eşdeğerdir ve bunun tersi de geçerlidir:

Yani

Yani .

Frekans değişkeni dönüştürme yöntemini kullanarak yüksek geçişli bir filtre sentezlemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir.

Pirinç. 2.9. Normalleştirilmiş Şekil 2'ye sahip LPF. 2.10. Normalleştirilmiş HPF

karakteristik. karakteristik.

1. Frekans değişkenini normalleştirin.

2. Frekans değişkenini dönüştürmek için formül (2.27)'yi uygulayın

Yeniden hesaplanan çalışma zayıflama gereksinimleri, prototip LPF olarak adlandırılan çalışma zayıflama gereksinimleridir.

3. LPF prototipini sentezleyin.

4. LPF prototipinden gerekli HPF'ye geçmek için formül (2.27)'yi uygulayın.

5. Sentezlenen HPF'nin elemanlarının parametrelerinin denormalizasyonunu gerçekleştirin.

2.6.2. PF sentezi. Şekil 2.1.3. bant geçiren filtrenin çalışma zayıflamasının simetrik karakteristiği gösterilmiştir. Bu, ortalama frekansa göre geometrik olarak simetrik olan özelliğin adıdır.

Frekans değişkeni dönüştürme yöntemini kullanarak PF'yi sentezlemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir.

1. PF'nin gerekli simetrik özelliğinden LPF prototipinin normalleştirilmiş karakteristiğine geçmek (ve halihazırda bilinen sentez tekniğini kullanmak) için frekans değişkenini değiştirmek gerekir (Şekil 2.11)

2.7. AKTİF FİLTRELER.

Aktif filtreler, indüktörlerin bulunmaması ile karakterize edilir, çünkü endüktif elemanların özellikleri, aktif elemanlar (op-amp'ler), dirençler ve kapasitörler içeren aktif devreler kullanılarak yeniden üretilebilir. Bu tür planlar şu şekilde belirlenmiştir: ARC şemaları. İndüktörlerin dezavantajları düşük kalite faktörü (büyük kayıplar), büyük boyutlar, yüksek üretim maliyetidir.

2.7.1. ARC filtreleri teorisinin temelleri. Doğrusal dört terminalli bir ağ için (doğrusal bir ARC filtresi dahil), giriş ve çıkış voltajı (operatör formunda) arasındaki oran, voltaj aktarım fonksiyonu ile ifade edilir:

burada w(p) çift (LPF için K p 0) veya tek (HPF için) polinomdur,

v(p), N dereceli bir Hurwitz polinomudur.

LPF için transfer fonksiyonu (normalleştirilmiş değer), faktörlerin bir ürünü olarak temsil edilebilir

burada K \u003d H U (0) \u003d K2 1 K2 2 ... ... K2 (N / 2) - sabit bir voltaj iletirken H U (p) (çift sıralı filtre için) fonksiyonunun değeri ( yani f \u003d 0'da veya operatör formunda p=0'da);

paydadaki faktörler karmaşık eşlenik köklerin çarpımından oluşur

tek sıralı filtre durumunda Hurwitz polinomunun gerçek değerli kökü kullanılarak oluşturulan bir faktör vardır.

Her transfer fonksiyonu faktörü, ikinci veya birinci dereceden aktif alçak geçiren filtre (ARC) ile uygulanabilir. Ve verilen H U (p) transfer fonksiyonunun tamamı, bu tür dört bağlantı noktalı ağların kademeli bir bağlantısıdır (Şekil 2.13).

İşlemsel amplifikatöre dayalı aktif dört terminalli bir cihazın çok kullanışlı bir özelliği vardır: giriş empedansı, çıkış empedansından çok daha yüksektir. Dört terminalli bir ağa çok büyük bir direnç yükü olarak bağlanmak (bu çalışma modu boş moda yakındır), dört terminalli ağın özelliklerini etkilemez.

H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)

Örneğin, 5. dereceden aktif alçak geçiren filtre, iki ikinci dereceden dört kutuplu ve bir birinci dereceden dört kutuplu kaskad bağlantısı olan bir devre tarafından uygulanabilir (Şekil 2.14) ve 4. dereceden bir alçak geçiren filtre oluşur iki ikinci dereceden dört kutuplu kaskad bağlantısı. Daha yüksek kalite faktörüne sahip dört kutuplular ilk önce sinyal iletim yoluna bağlanır; birinci dereceden dört terminalli cihaz (en düşük kalite faktörüne ve frekans yanıtının en düşük eğimine sahip) en son bağlanır.

2.7.2. ARC filtresinin sentezi gerilim transfer fonksiyonu (2.29) kullanılarak üretilir. Frekans normalizasyonu kesme frekansı fc'ye göre gerçekleştirilir. Kesme frekansında, voltaj transfer fonksiyonunun değeri maksimum Hmax'tan 3 kat daha azdır ve zayıflama değeri 3 dB'dir.

Pirinç. 2.14. ARC 5. derece alçak geçiş filtresi.

Frekans özelliklerinin normalizasyonu f c'ye göre yapılır. (2.16) ve (2.23) denklemlerini kesme frekansına göre çözersek, aşağıdaki ifadeleri elde ederiz:

Butterworth özelliğine sahip LPF için;

Chebyshev'in bir özelliği var.

Filtre karakteristiğinin türüne (Butterworth veya Chebyshev) bağlı olarak, yaklaşım fonksiyonunun sırası (2.19) veya (2.26) formülleriyle belirlenir.

Hurwitz polinomunun kökleri (2.20) veya (2.26) formülleriyle belirlenir. İkinci dereceden bir dört kutuplu için voltaj transfer fonksiyonu, bir çift karmaşık eşlenik kök kullanılarak oluşturulabilir ve ayrıca devre elemanlarının parametreleri cinsinden ifade edilebilir (Şekil 2.14). Devrenin analizi ve (2.31) ifadesinin türetilmesi verilmemiştir. Birinci dereceden dört kutuplu için (2.32) ifadesi de benzer şekilde yazılır.

Yük direncinin değeri aktif filtrenin özelliklerini etkilemediğinden denormalizasyon aşağıdakilere göre yapılır. Öncelikle dirençli dirençlerin kabul edilebilir değerleri (10 ... 30 kOhm) seçilir. Daha sonra kapasite parametrelerinin gerçek değerleri belirlenir; bunun için (2.15) ifadesinde f c kullanılmıştır.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Biysk Teknoloji Enstitüsü (şube)

devlet eğitim kurumu

yüksek mesleki eğitim

"Altay Devlet Teknik Üniversitesi

onlara. I.I. Polzunov"
R.G. Gareeva
doğrusal frekans filtrelerinin sentezi

Biysk

Altay Devlet Teknik Yayınevi

Üniversite. I.I. Polzunova

UDC621.372.54(076.5)

Hakem: Alexandrovich V.M., Ph.D.,

Doçent IUS BTI AltSTU

Gareeva, R.G.

İLE
G20
doğrusal frekans filtrelerinin sentezi: "Ölçüm sinyallerinin dönüşümü" disiplini üzerine laboratuvar çalışmasının uygulanmasına yönelik kılavuzlar / R.G. Gareeva; Alt. durum teknoloji. un-t, BTI. - Biysk: Alt. durum teknoloji. un-ta, 2011. - 21 s.

Metodolojik öneriler, elektrikli filtreler, türleri ve ana özellikleri hakkında teorik bilgilerin bir özetini içerir. Sürekli alçak geçişli Butterworth tipi filtrelerin ve bunlara dayanarak bant geçişli filtreler ve yüksek geçişli filtrelerin sentezlenmesi sorunu ayrıntılı olarak ele alınmaktadır.

UDC621.372.54(076.5)

İncelendi ve onaylandı

MCIA departmanının bir toplantısında.

30 Aralık 2010 Tarihli 10 Sayılı Tutanak

© Gareeva R.G., 2011

BTI AltSTU, 2011

1 TEORİK BÖLÜM

1.1 Elektrik filtreleri

Filtreleme veya filtreleme yaygın ve uygulanan bir teknolojik işlemdir.

Elektrik filtreleri Bir elektrik devresinde bulunan ve belirli frekanslardaki akımları veya gerilimleri geçirmek ve diğer frekanslardaki akımları veya gerilimleri zayıflatmak üzere tasarlanmış cihazlara denir. Elektrik filtreleri indüktörlerden, kapasitörlerden ve dirençlerden yapılır.

Filtre teorisi genellikle birbiriyle yakından ilişkili iki geniş alana ayrılır: analiz ve sentez. Analizin görevi, yapısı örneğin bir devre şeması şeklinde önceden belirlenmiş olan elektrik sisteminin dış ve iç özelliklerini bulmaktır. Sentezin görevi taban tabana zıttır - frekans voltaj aktarım katsayısı, giriş veya çıkış direnci vb. Gibi harici özelliklerin bilindiği kabul edilir. Bu özelliği uygulayan bir devre yapısının bulunması gerekmektedir.

Analizden farklı olarak zincir sentezi genellikle belirsiz bir prosedürdür. Bu nedenle aynı özelliklere sahip yapılar arasından belli bir anlamda en uygun olanı bulmak gerekir. Bu nedenle, sentezlenen devrenin mümkün olan en az sayıda öğeyi içermesi her zaman arzu edilir. Çoğu durumda devrenin, içinde yer alan elemanların değerlerinin seçimine duyarsız olması gerekir.

Elementlerin oluşturduğu doğrusal dört kutuplu frekans filtrelerini sentezlemenin en basit problemini düşünün. L, İLE Ve R. Her durumda sentez için ilk veriler genlik-frekans özellikleriyle verilecektir.

1.2 Elektrikli filtre türleri

Aşağıdaki filtre türleri vardır:

1) Düşük Geçişli Filtreler (LPF). Bu tür cihazların temel amacı, frekansları belirli bir kesme frekansını aşmayan sinyalleri minimum zayıflama ile çıkışa iletmektir. filtre kesme frekansı . Daha yüksek frekanslı sinyaller önemli ölçüde zayıflatılmalıdır.

Kesme frekansına sahip bir alçak geçiren filtre için ideal genlik frekans tepkisi (AFC), formülle tanımlanır.

Ve Şekil 1'de gösterilmektedir.

Şekil 1 - Alçak Geçiş Filtresi

2) Yüksek Geçişli Filtreler (HPF). HPF'nin temel amacı, frekansları belirlenen kesme frekansını aşmayan sinyallerin maksimum, daha yüksek frekanslara sahip sinyallerin ise minimum zayıflamasıdır (Şekil 2).

Şekil 2 - Yüksek Geçişli Filtre

3) Bant geçiren filtreler (PF). Bant geçiren filtreler, frekansa yakın belirli bir bantta bulunan frekanslara sahip sinyalleri geçirmelidir. isminde geçiş bandı merkez frekansı veya birkaç frekans
... (bu durumda filtre denir çok bantlı ) (Figür 3).

Şekil 3 - Bant geçiren filtre

4)Çentik (tuzak) filtreleri (RF). Bu tür filtrelerin temel amacı, frekansları önemli olan sinyalleri bastırmaktır. veya frekansa göre dar bir bantta yer almaktadır (Şekil 4).

Şekil 4 - Çentik filtresi

1.3 Fiziksel olarak uygulanan filtrelerin özellikleri

Sistemin frekanstan daha genel bir özelliğini, yani transfer fonksiyonunu ele alalım.
. Çoğu pratik durumda değişkenin değiştirilmesiyle elde edilir.
frekans yanıtında
bir değişkene
, burada  yakınsamanın apsisidir.

Transfer fonksiyonu frekans cevabına benzetilerek tanıtılır.
orana göre:

,

Nerede
– Fonksiyonların Laplace görüntüleri
:

,
.

Sabit parametreli doğrusal sistemler için transfer fonksiyonu şu şekildedir:

, (1)

Nerede
sabit bir değerdir;

pay polinomunun kökleridir (transfer fonksiyonunun sıfırları);

payda polinomunun kökleridir (transfer fonksiyonunun kutupları).

Bir elektrik filtresinin kararlılığı için, transfer fonksiyonunun kutuplarının negatif gerçek kısma sahip olması, yani karmaşık eşlenik çiftler oluşturacak şekilde karmaşık düzlemin sol yarı düzleminde yer almaları gerekir (Şekil 5). .

Şekil 5 - Kararlı bir sistemin kutuplarının konumu

Genellikle ek bir koşul getirilir - transfer fonksiyonunun sıfır sayısı G(P) kutup sayısını geçmemelidir (fonksiyonun payının polinomunun derecesi, paydanın polinomunun derecesinden küçük olmalıdır) M N).

Kutupların aksine fonksiyonun sıfırları G(P Kararlı bir doğrusal sistemin ) değişkeninin hem sol hem de sağ yarı düzleminde bulunabilir P. Sağ yarı düzlemde transfer fonksiyonunun sıfırları olmayan sistemlere denir. minimum faz .

Fonksiyon sıfırlarının konumu G(P) zincirin topolojik yapısıyla ilgilidir. Devre teorisinde, girişten çıkışa sinyal iletiminin tek bir dal kesilerek tamamen durdurulabildiği herhangi bir dört terminalli ağın minimum faz olacağı kanıtlanmıştır. Elektrik filtreleri için sistemin minimum fazda olması gerekmektedir.

Bir elektrik filtresinin fiziksel fizibilitesi için Paley-Wiener kriterinin karşılanması gerekir: frekans tepkisi integralin mevcut olacağı şekilde olmalıdır

(2)

İdeal filtrelerin daha önce dikkate alınan frekans özellikleri (Şekil 1-4), fonksiyonun ortadan kalkması nedeniyle açıkça gerçekleştirilemez. H(), (2) integralinin varlığını imkansız hale getirir.

İdeal özelliklere bu tür analitik bağımlılıklarla yaklaşılmalıdır. H(), sıfıra yöneliyordu ancak ona ulaşmadı.

1.4 Filtrelerin güç özellikleri

Belirli bir frekanstaki bir sinyalin filtresiyle iletim veya iletimsizlik derecesini hesaplarken, güç veya enerji özelliklerini kullanmak uygundur.

Güç aktarım oranı Frekans tepkisinin modülünün karesini çağırmak gelenekseldir:

Karmaşık frekans tepkisinin aksine, fonksiyon
gerçektir ve bu, filtreyi sentezlerken ilk verileri ayarlamak için çok daha uygundur. Formül (3)'e göre, güç aktarım katsayısı frekansın eşit bir fonksiyonudur.

Eğer fonksiyonda  değişkeni yerine değişkeni değiştirirsek P, sonra al güç aktarım fonksiyonu :

. (4)

Formül (4) aşağıdaki gerçeği ortaya koymaktadır: eğer nokta
fonksiyonun tekil noktasıdır (sıfır veya kutup) G(P), ardından fonksiyon k P (P) ile aynı tekil noktaya sahip olacaktır
Böylece

Başka bir deyişle güç aktarım fonksiyonunun tekil noktaları çeyrek simetri yani orijinde bir simetri merkezine sahip olan karmaşık düzlemde bulunurlar (Şekil 6). Bu özellik aktarım fonksiyonunun geri yüklenmesini mümkün kılar G(P) bilinen fonksiyona göre k P (P).

Şekil 6 - Çeyrek simetrideki kutuplar

1.5 Elektrik filtrelerinin sentez aşamaları

Frekans filtrelerinin sentezi genellikle güç aktarım katsayısının frekansa bağımlılığını tanımlayan bazı idealleştirilmiş fonksiyonların seçimiyle başlar. k P ().

İdealleştirilmiş frekans tepkisi kural olarak fiziksel olarak gerçekleştirilemediğinden sentezin ikinci aşaması, bunun fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir sisteme ait olabilecek böyle bir fonksiyonla yaklaştırılmasından oluşur.

Transfer fonksiyonunun türüne göre, uygulama devreler, yani gelen elemanların derecelendirmeleri de dahil olmak üzere filtrenin devre şemasını alırlar.

1.6 Sürekli alçak geçiren filtrelerin tasarımı

Tarihsel olarak, filtrelerin uygulanması, standart cihazların zaten oluşturulduğu, referans kitaplarının derlendiği vb. sürekli filtrelerle başlamıştır. Sürekli filtreler, ayrık filtreler için prototip görevi görür.

Alçak geçişli filtrelerin fiziksel olarak gerçekleştirilebilir özelliklerini dikkate alarak başlayalım, çünkü bir alçak geçişli filtre kullanarak başka türde filtreler elde edebilirsiniz.

Kesme frekansına sahip bir alçak geçiren filtre için, güç aktarım katsayısının ideal frekans bağımlılığı aşağıdaki formülle tanımlanır:

(fiziksel frekanslar >0 anlamına gelir) ve Şekil 7'de gösterilmektedir.

Şekil 7 - LPF için güç aktarım katsayısı

Böyle bir özellik, Paley-Wiener kriteriyle (2) çeliştiği için fiziksel sistemler için gerçekleştirilemez.

Kabul edilebilir bir yaklaşım fonksiyonunu seçme sorunu belirsizdir. Dik bir kesme çok sayıda fonksiyonla tahmin edilebilir, ancak her seferinde çelişkilerle yüzleşmek zorunda kalacaksınız: ya geçiş bandındaki sinyali zayıflatın
veya geçiş bandının dışında zayıf bir şekilde bastırın
veya her ikisi birlikte.

1.6.1 Butterworth filtreleri

İdeal alçak geçiş yanıtını yaklaşık olarak hesaplamanın bir yolu, aşağıdaki biçimdeki bir güç aktarım faktörünü kullanmaktır:

, (5)

Nerede
- boyutsuz normalleştirilmiş frekans ;

N adı verilen bir tam sayıdır filtre sırası .

Genel durumda, güç aktarım katsayısı (5) keyfi bir ölçeklendirme faktörü içerebilir.

Bu frekans özelliklerine sahip alçak geçiren filtreye denir. maksimum düz tepkili filtre veya Butterworth filtresi (yaklaştırma fonksiyonunu (5) öneren bilim adamının adını almıştır). Herhangi N bu tür bir filtre uygulanır.

Butterworth filtresinin geçiş bandında, yani, güç aktarım katsayısı artan frekansla birlikte düzgün bir şekilde azalır. Dikkate alınan fonksiyonun düzgünlüğü (titreşimlerin yokluğu) özellikle dikkat çekicidir.

Kesme frekansında sistemin sırası ne olursa olsun,
. Sipariş ne kadar yüksek olursa N ideal düşük frekans tepkisi ne kadar doğru tanımlanırsa (Şekil 8).

Filtrenin sırası genellikle sinyallerin frekanslarla zayıflatılmasına yönelik gereksinimlere göre seçilir.
. Sinyal zayıflamasının derecesini değerlendirmek için değer kullanılır

Desibel cinsinden ifade edilir.

Şekil 8 - Butterworth filtrelerinin güç aktarım katsayısı N= 1 ve N= 5

Şu tarihte:
yani giriş sinyali frekansında filtre tarafından sağlanan zayıflama
.

Sinyal frekansı filtre kesme frekansından çok daha yüksekse (
), daha sonra formül (5)'ten şu sonuç çıkar:
ve zayıflama

1.6.2 Butterworth filtre aktarım işlevi

Devre yapısını daha da sentezlemek için form (5)'te seçilen güç aktarım katsayısından aktarım fonksiyonuna geçmek gerekir. G(P). Bunu yapmak için normalleştirilmiş karmaşık frekansı tanıtıyoruz
ve güç aktarım fonksiyonunu şu şekilde yazın:

, (7)

Uçakta nasıl belli oluyor işlev
sıfır yok ve 2 var N denklemin kökleri olan kutuplar

, (8)

Kutupsal gösterimi kullanarak kökü şu şekilde yazıyoruz:

Denklemin (8) tüm kökleri, orijin merkezli birim yarıçaplı bir daire üzerinde yer alır, yani
. Buradan,

Sonunda elde ettik

Çift ve tek filtre sıralarını ayrı ayrı düşünün.

1) N - çift sayı.

Bu durumda

Nerede
.

Örneğin,
açılara karşılık gelen dört kök elde ederiz:

.

İçin
açılara karşılık gelen sekiz kök elde ederiz:

Verilen örnekler için köklerin karmaşık düzlemdeki konumu Şekil 9'da gösterilmiştir.

Şekil 9 - Güç aktarım oranı kutupları

Butterworth filtresi N= 2 ve N= 4

2) N - tek sayı.

Bu durumda

Nerede
.

Örneğin,
açılara karşılık gelen iki kök elde ederiz:

İçin
açılara karşılık gelen altı kök elde ederiz:

Verilen örnekler için köklerin konumu Şekil 10'da gösterilmektedir.

Şekil 10 - Güç aktarım oranı kutupları

Butterworth filtresi N= 1 ve N= 3

Herhangi bir kişi için genel kural Nşu şekildedir: tüm kutuplar birbirinden aynı uzaklıkta, eşit uzaklıkta bulunur . Tek sayılı filtreler için gerçek eksende iki kök bulunur; çift ​​sayılı filtreler için gerçek kökler yoktur.

Butterworth filtresinin transfer fonksiyonuna geçmek için fonksiyonun paydasını genişletiyoruz
faktörler için:

Şimdi güç aktarım fonksiyonunun kutuplarının çeyrek simetriye sahip olduğu, yani her iki yarım düzlemdeki sayıları ve konum konfigürasyonlarının aynı olduğu gerçeğini kullanacağız. Bu, yalnızca sol yarı düzlemde bulunan kutupların sentezlenen filtreye karşılık geldiğini düşünmemizi sağlar. Sağ yarım düzlemdeki "ayna kopyaları" işlevi ifade eder
Böylece Butterworth filtresinin transfer fonksiyonu (sol yarı düzlemdeki köklerin numaralandırılması 1'den 1'e kadar) şeklini alacaktır. N):

1. dereceden Butterworth filtresi.

Sahibiz:
;

Kararlı bir kök seçin: .

Transfer fonksiyonu şu şekilde yazılacaktır:

.

Verilen
sonunda şunu elde ediyoruz:

. (11)

Bu nedenle, 1. dereceden Butterworth yaklaşımını kullanarak belirli bir kesme frekansı ile bir alçak geçiren filtrenin ideal karakteristiğine yaklaşma sürecinde kutup
.

2. dereceden Butterworth filtresi.

Sahibiz:
.

(9)'a göre

Sabit kökleri seçip numaralandırıyoruz:

2. dereceden bağlantılar için kökler her zaman karmaşık eşlenik olacaktır.

Bağlantının aktarım işlevi şu şekilde olacaktır:

.

Hadi geçiş yapalım

(12)

2. derece bağlantıların transfer fonksiyonunun genel ifadesi şöyledir:

, (13)

Nerede sistemin doğal salınım frekansıdır;

z sistemin zayıflama katsayısıdır (
bağlantı denir salınımlı , en
– periyodik olmayan ).

(12) ve (13) fonksiyonlarının karşılaştırılmasından, 2. dereceden Butterworth filtresinin sönümleme katsayısına sahip bir salınımlı bağlantı olduğu sonucu çıkar.
ve filtrenin kesme frekansına eşit bir doğal salınım frekansı
.

3. dereceden Butterworth filtresi.

Sahibiz:
Ve

Sabit kökleri seçip numaralandırıyoruz.

İlk kök, transfer fonksiyonuyla 1. dereceden bağlantıya karşılık gelir
.

.

Bu nedenle, tek sıralı Butterworth filtreleri, 1. dereceden bir bağlantı ile farklı zayıflama katsayılarına sahip birkaç 2. dereceden bağlantının seri bağlantısıdır. Çift sıralı filtreler, farklı zayıflama katsayılarına sahip 2. derece bağlantıların seri olarak bağlanmasıyla oluşturulur.

1.7 Yüksek geçiş filtresinin sentezlenmesi

Yüksek geçiren filtre, frekansları kesme frekansını aşan salınımları düşük zayıflamayla geçirmek üzere tasarlanmıştır. . Alçak geçiren filtrenin uygulaması biliniyorsa, aynı kesme frekansına sahip bir yüksek geçiren filtre devresi oldukça basit bir şekilde elde edilebilir. Bu, devre teorisinde şu şekilde bilinen bir teknik kullanılarak yapılır: frekans dönüşümü .

Değişkenden devam edelim R LPF'yi yeni bir frekans değişkenine tanımlamak için kullanılır , öyle ki Hz, eşit bir frekansta Hz, daha kötü olmayan bir sinyal zayıflaması sağlar db.

2. Adım 1'e göre, geçiş bandının merkezi frekansı, alçak geçiş filtresinin kesme frekansından 2 kat daha yüksek olan bir Butterworth bant geçiren filtre sentezleyin.

Seçenek 2.

1. Eşit bir kesme frekansında olacak Butterworth alçak geçiş filtresinin sentezini gerçekleştirmek Hz'ye eşit bir frekansta Hz, dB'den daha kötü olmayan bir sinyal zayıflaması sağlayacaktır.

2. Adım 1'e dayanarak, kesme frekansı alçak geçiren filtrenin kesme frekansına eşit olan bir yüksek geçiren Butterworth filtresini sentezleyin.

2.2 Laboratuvar çalışmasının amacı ve hedefleri

amaç laboratuvar çalışması, belirli bir sinyal zayıflamasını sağlayan çeşitli tiplerdeki (LPF, HPF, PF) Butterworth filtrelerinin sentezidir.

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri çözmek gerekir: görevler :

1. 
   sinyalin belirli bir zayıflamasını sağlayan alçak geçişli Butterworth filtresinin en düşük derecesinin (5), (6) bağıntılarıyla hesaplanması;
2. 
   güç aktarım fonksiyonunun kutuplarına karşılık gelen açıların (9) veya (10) ifadeleriyle belirlenmesi;
3. 
   bir filtre oluşturan bağlantıların sabit kutuplarından oluşumu (sayılarının ve sıralarının belirlenmesi);
4. 
   ifadelere (11), (12) benzetilerek 1. veya 2. sıradaki bireysel bağlantıların transfer fonksiyonlarına yönelik ifadelerin türetilmesi; 2. dereceden bağlantılar için zayıflama katsayılarının ifadeye (15) göre hesaplanması;
5. 
   bireysel bağlantıların ve bir bütün olarak filtrenin frekans tepkisinin hesaplanması, grafiklerinin oluşturulması;
6. 
   LPF'yi oluşturan bağlantıların her birinin transfer fonksiyonundaki ikame (16) veya (17) kullanılarak HPF veya PF'nin transfer fonksiyonunun hesaplanması;
7. 
   yüksek geçişli filtrenin veya PF'nin frekans tepkisinin hesaplanması ve çizilmesi, alçak geçişli filtrenin benzer bir özelliğiyle karşılaştırılması.

2.3 Laboratuvar çalışmasının korunması

Laboratuvar çalışmalarının savunması yarıyıl içerisinde ders programına göre yapılır. Öğrencinin, görevin çözümünü içeren bir program bölümü ve laboratuvar çalışmasının konusunu ve amacını, teorik ve pratik bölümleri, ayrıca bir sonucu veya sonucu içermesi gereken bir raporu varsa, bireysel görüşme şeklinde yapılır. sonuçlar.
EDEBİYAT

1. 
   Sadovsky, G.A. Bilgi ölçüm ekipmanının teorik temelleri / G.A. Sadovski. - M.: Yüksekokul, 2008. - 480 s.
2. 
   Baskakov, S.I. Radyo mühendisliği devreleri ve sinyalleri / S.I. Baskakov. - M.: Yüksekokul, 2005. - 462 s.
3. 
   Sergienko, A.B. Dijital sinyal işleme / A.B. Sergienko. - M: Peter, 2002. - 604 s.

Gareeva Renata Gegelevna

doğrusal frekans filtrelerinin sentezi

"Ölçüm sinyallerinin dönüştürülmesi" disiplini

Editör Solovieva S.V.

15 Şubat 2011'de yayınlanmak üzere imzalandı. Biçim 6084 1/16

Dönüşüm p.l. - 1.2. Uch.-ed. l. - 1.3

Yazdırma - riskografi, kopyalama
aparat "RISO EZ300"

Dolaşım 65 kopya. Sipariş 2011-43

Altay Devleti Yayınevi

Teknik Üniversite

656038, Barnaul, Lenin Bulvarı, 46

Orijinal düzen IIO BTI AltSTU tarafından hazırlanmıştır.

IIO BTI AltSTU'da basılmıştır

59305, Biysk, st. Trofimova, 27

Hedef: Maksimum düz ve Chebyshev yaklaşımlarına dayalı olarak doğrusal filtrelerin (alçak geçişli, yüksek geçişli ve bant geçişli) sentezlenmesi tekniğinde uzmanlaşmak.

Kısa teorik bilgi: Bu işi gerçekleştirmek için çeşitli doğrusal devre türlerini analiz etme ve bunların ana özelliklerini bulma becerisine ihtiyacınız vardır. (frekans transfer katsayısı, transfer fonksiyonu ve kutupları); maksimum düz ve Chebyshev yaklaşımlarına dayalı doğrusal alçak geçişli filtrelerin sentezinin ilkeleri ve bilinen alçak geçişli filtre devrelerinden yüksek geçişli filtre devrelerine ve bant geçişli filtrelere geçiş ilkeleri bilgisi.

Alçak geçiren filtreler, frekansları belirli bir kesme frekansını aşmayan salınımları minimum düzeyde zayıflatarak iletmek üzere tasarlanmıştır. kesme frekansı kesme frekansından daha büyük frekanslara sahip salınımların önemli ölçüde zayıflatılması gerekir.

Bir dört kutuplunun transfer fonksiyonunun özellikleri :

Dört kutuplu transfer fonksiyonunun kutupları, karmaşık frekans p'nin sol yarı düzleminde bulunmalıdır. Gerçek olabilirler veya karmaşık eşlenik çiftler oluşturabilirler.

Transfer fonksiyonunun kutup sayısı her zaman sıfır sayısını aşmalıdır.

Kutupların aksine, transfer fonksiyonunun sıfırları herhangi bir yarım düzlemde, yani karmaşık frekans p'nin tüm düzlemi üzerinde yerleştirilebilir.

Filtre sentezinin aşamaları :

Verilen bant genişliğine bağlı olarak filtrelerin özelliklerine yönelik teknik gereksinimlerin formülasyonu. Bu durumda filtrenin yapısına herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Bu yaklaşıma denir Belirli bir frekans tepkisine göre sentez. Kural olarak ideal karakteristik pratikte gerçekleştirilemez.

Fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir devreye ait olabilecek böyle bir fonksiyonu kullanarak ideal bir karakteristiğe yaklaşım.

Seçilen yaklaşık fonksiyonun uygulanması ve kurucu elemanlarının değerleri ile bir filtre devre şemasının elde edilmesi.

En yaygın olanı iki tür yaklaşımdır: maksimum düz ve Chebyshev.

Maksimum düz yaklaşım şu şekilde verilen frekans güç aktarım katsayısı fonksiyonunun kullanımına dayanmaktadır:

Nerede
boyutsuz normalleştirilmiş frekanstır.

Frekans yanıtı böyle bir fonksiyonu karşılayan filtreye ne ad verilir? maksimum düz yanıtlı filtre veya Butterworth filtresi.

Sentez prosedürü, normalize edilmiş karmaşık frekansa gitmenin gerekli olduğu filtre transfer fonksiyonunun kutuplarının belirlenmesiyle başlar. R N ve frekans filtresi güç kazancı fonksiyonunun kutuplarını belirleyin:

;

Genel durumda, bu denklemin kökleri Moivre formülü kullanılarak belirlenebilir (köklerin hesaplanması N karmaşık bir sayının kuvveti). Bu durumda karmaşık sayının faz değerinin dikkate alınması gerekir. z= - 1 (=).

Filtrenin herhangi bir sırası için bu denklemin köklerini bulurken N aşağıdakiler yapılmalıdır genel düzenlilik: tüm kutuplar birbirine aynı açısal mesafede bulunur ve bu mesafe her zaman eşittir ; Eğer N tekse, o zaman ilk kutup her zaman 1'dir, eğer N eşitse ilk kutup
.

Frekans güç aktarım katsayısı fonksiyonunun kutuplarının konumunun çeyrek daire simetri özelliğini ve dört kutupluların kararlılık ve fiziksel fizibilite koşullarını kullanarak, filtrenin transfer fonksiyonu için yalnızca içinde bulunan kutupların seçilmesi gerekir. karmaşık frekansın sol yarı düzlemi ve onlar için yazma sıfır kutup gösterimi aktarma işlevi.

Bilim zihni geliştirir;

Öğrenme hafızayı keskinleştirir.

Kozma Prutkov

bölüm 15

DOĞRUSAL SABİT DEVRELERİN SENTEZ ELEMANLARI

15.1. İncelenmekte olan sorunlar

İLE Analog bipolar ağların sentezi. Belirli bir frekans tepkisine göre sabit dört kutupluların sentezi. Butterworth ve Chebyshev filtreleri.

Talimatlar. Sorunları incelerken, iki terminalli ağları sentezleme sorununu çözmenin belirsizliğini ve Foster ve Cauer'e göre sorunu çözmenin belirli yollarını açıkça anlamak ve aynı zamanda bir tanesini uygulama olasılığını belirleme becerisini kazanmak gerekir. veya iki terminalli bir ağın giriş empedansının başka bir işlevi. Prototip filtrelere dayalı elektrik filtrelerini sentezlerken, Chebyshev ve Butterworth'un zayıflama özelliklerine yaklaşımının avantajlarını ve dezavantajlarını anlamak önemlidir. Frekans dönüşüm formüllerini kullanarak her tür filtrenin (LPF, HPF, BPF) elemanlarının parametrelerini hızlı bir şekilde hesaplayabilmek gerekir.

15.2. Kısa teorik bilgi

Devre teorisinde yapısal ve parametrik sentezlerden bahsetmek gelenekseldir. Yapısal sentezin ana görevi, önceden belirlenmiş özellikleri karşılayan devre yapısının (topolojisinin) seçimidir. Parametrik sentezde sadece yapısı bilinen devrenin parametreleri ve elemanlarının tipi belirlenir. Aşağıda sadece parametrik sentez tartışılacaktır.

İki terminalli ağların sentezinde başlangıç ​​noktası olarak genellikle giriş direnci kullanılır.

Bir fonksiyon verilirse, aşağıdaki koşullar altında pasif bir devre tarafından uygulanabilir: 1) pay ve payda polinomlarının tüm katsayıları gerçek ve pozitiftir; 2) tüm sıfırlar ve kutuplar ya sol yarı düzlemde ya da hayali eksendedir ve sanal eksendeki kutuplar ve sıfırlar basittir; bu noktalar her zaman ya gerçektir ya da karmaşık eşlenik çiftler oluşturur; 3) pay ve paydanın polinomlarının daha yüksek ve daha düşük dereceleri birden fazla farklılık göstermez. Ayrıca sentez prosedürünün benzersiz olmadığı, yani aynı giriş fonksiyonunun çeşitli şekillerde uygulanabileceği de belirtilmelidir.

Sentezlenen iki terminalli ağların ilk yapıları olarak, genellikle birkaç karmaşık direnç ve iletkenliğin yanı sıra Cauer merdiven devrelerinin giriş terminallerine göre seri veya paralel bağlantı olan Foster devreleri kullanılır.

İki terminalli ağların sentezlenmesine yönelik yöntem, belirli bir giriş fonksiyonunun veya bir dizi ardışık basitleştirmeye tabi tutulması gerçeğine dayanmaktadır. Aynı zamanda, her aşamada sentezlenen devrenin fiziksel bir elemanıyla ilişkili bir ifade tahsis edilir. Seçilen yapının tüm bileşenleri fiziksel öğelerle özdeşleştirilirse sentez sorunu çözülmüş olur.

Dört kutupluların sentezi alçak geçiren prototip filtrelerin teorisine dayanmaktadır. LPF prototipinin olası çeşitleri şekil 2'de gösterilmektedir. 15.1.

Hesaplamada, özellikleri aynı olduğundan şemalardan herhangi biri kullanılabilir. Şekil 2'deki tanımlar. 15.1 aşağıdaki anlama gelir: - seri bobinin endüktansı veya paralel kapasitörün kapasitansı; – eğer ise jeneratör direnci veya eğer ise jeneratör iletkenliği; – eğer yük direnci veya yük iletkenliği ise.

Prototiplerin elemanlarının değerleri kesme frekansı olacak şekilde normalize edilmiştir. Normalleştirilmiş prototip filtrelerden başka bir direnç ve frekans seviyesine geçiş, devre elemanlarının aşağıdaki dönüşümleri kullanılarak gerçekleştirilir:

;

.

Konturlu değerler normalleştirilmiş prototipi, kontursuz değerler ise dönüştürülmüş zinciri ifade eder. Sentez için başlangıç ​​değeri, desibel cinsinden ifade edilen çalışma gücü zayıflamasıdır:

, dB,

jeneratörün iç dirençli ve emf'li maksimum gücü, yükteki çıkış gücüdür.

Genellikle frekans bağımlılığı en düz (Butterworth) karakteristiği ile yaklaşık olarak hesaplanır (Şekil 15.2, A)

Nerede .

Kesme frekansına karşılık gelen çalışma zayıflamasının değeri genellikle 3 dB'ye eşit seçilir. burada. Parametre N aktif devre elemanlarının sayısına eşittir ve filtrenin sırasını belirler.

Devre teorisi genellikle birbiriyle yakından ilişkili iki geniş alana ayrılır: analiz ve sentez. Analizin görevi, yapısı örneğin bir devre şeması şeklinde önceden belirlenmiş bir elektrik devresinin dış ve iç özelliklerini bulmaktır. Devre sentezinin görevi taban tabana zıttır - frekans voltaj aktarım katsayısı, giriş veya çıkış direnci vb. gibi harici özelliklerin bilindiği kabul edilir. Bu özelliği uygulayan bir devre yapısının bulunması gerekmektedir.

Analizden farklı olarak zincir sentezi genellikle belirsiz bir prosedürdür. Bu nedenle aynı özelliklere sahip yapılar arasından belli bir anlamda en uygun olanı bulmak gerekir. Bu nedenle, sentezlenen devrenin mümkün olan en az sayıda öğeyi içermesi her zaman arzu edilir. Çoğu durumda devrenin, içinde yer alan elemanların değerlerinin seçimine duyarsız olması gerekir.

Devre sentezi, modern teorik radyo mühendisliğinin gelişmiş bir alanıdır. Okuyucunun kendi başına öğrenebileceği, bazen çok karmaşık olan bir dizi sentez yöntemi geliştirilmiştir. Devre sentezi yöntemleri, radyo mühendisliği cihazları için bilgisayar destekli tasarım sistemlerinin kullanılmaya başlanmasıyla bağlantılı olarak olağanüstü büyük önem kazanmıştır.

Bu bölümde, L, C ve R elemanları tarafından oluşturulan doğrusal sabit dört kutuplu frekans filtrelerini sentezlemenin en basit problemini inceleyeceğiz. Her durumda sentez için ilk veriler genlik-frekans özellikleriyle verilecektir.

13.1. Dört kutupluların frekans özellikleri

Dört kutuplulara, iki çift kelepçeli bir "kara kutuya" benzeyen elektrik devreleri denir. Bir çift giriş, diğeri sinyalin çıkışıdır. Çalışma modunda girişe bir sinyal kaynağı bağlanır ve çıkış terminalleri yük dirençleriyle yüklenir

Okuyucunun devre teorisi dersinde sunulan dört kutuplu analiz yöntemlerine aşina olduğu varsayılmaktadır. Bu bölümün materyali, kuadripollerin sentezi için gerekli olan bazı hususlara ışık tutmaktadır.

Matris açıklaması.

Doğrusal sabit bir dört kutuplunun en önemli özelliği, herhangi bir dış etki frekansındaki dört karmaşık genliğin iki doğrusal cebirsel denklemle ilişkilendirilmesidir. Rastgele seçilen iki karmaşık genlik bağımsız büyüklükler olarak alınabilirken, diğer ikisinin bunlara göre belirlenmesi gerekir. Bu, doğrusal dört kutupluların matris tanımının temelini oluşturur. Bu nedenle, çıkıştaki gerilim ve akımın bağımsız değişkenler olduğu varsayılarak sıklıkla bir transfer matrisi (-matris) kullanılır. burada

A, B, C ve D katsayıları farklı fiziksel boyutlara sahiptir ve açık devre ve kısa devre testleriyle belirlenebilir. Transfer matrisleri, dört kutupluların kademeli bağlantısını tanımlamak için özellikle uygundur, çünkü elde edilen matris, bireysel bağlantıların matrislerinin ürünüdür.

Dört terminalli ağın matrisi ve yük direnci verilirse, örneğin aşağıdakileri içeren devre fonksiyonları hesaplanabilir:

a) giriş empedansı

b) transfer direnci

c) frekans gerilim transfer katsayısı

Devrenin fonksiyonları genel durumda frekansa bağlıdır. Devrenin herhangi bir işlevi, dört kutuplu matrisin elemanları ve yük direnci aracılığıyla ifade edilir. Böylece, denklemin (13.1) sol ve sağ taraflarını birbirine bölerek giriş empedansını buluruz.

Benzer şekilde, frekans voltaj transfer katsayısı

Fonksiyonun sistemdeki enerji transferinin yönüne bağlı olmasına dikkat edelim. Kaynak ve yük ters çevrilmişse, frekans kazancı ters yönde uygulanır (yük soldadır):

Bir dört kutuplunun transfer fonksiyonu.

Gelecekte, frekans transfer katsayısının argümanı olarak sadece değişken değil, aynı zamanda karmaşık frekans da kullanılacaktır; yani fonksiyonla birlikte daha genel bir karakteristik olan transfer fonksiyonu dikkate alınacaktır. Bir dört kutuplunun transfer fonksiyonu, Bölüm 2'de ele alınan doğrusal sabit sistemlerin transfer fonksiyonlarının tüm özelliklerine sahiptir. 8.

Böylece, sabit parametrelere sahip doğrusal bir dört kutuplu, fonksiyona karşılık gelir.

nerede sabit bir değerdir. Devre kararlıysa, kutuplar sol yarı düzlemde yer almalı ve karmaşık eşlenik çiftler oluşturmalıdır.

Genellikle ek bir koşul getirilir - fonksiyonun kutup sayısı sıfır sayısını aşmalıdır, yani sonsuz uzak bir noktada transfer fonksiyonunun bir kutbu değil sıfırı olmalıdır. Daha sonra devrenin dürtü tepkisi

sınırlı olduğu ortaya çıkıyor, çünkü C integral eğrisinin sonsuz büyük yarıçapı ile integralin üstel faktörü, yay boyunca integrali "söndürebilir".

Transfer fonksiyonunun sıfırlarının konumu.

Kutupların aksine, kararlı bir doğrusal dört kutuplu fonksiyonun sıfırları, değişkenin hem sol hem de sağ yarı düzleminde bulunabilir. Aslında bu sadece bazı durumlarda çıkış voltajı görüntüsünün kaybolduğu anlamına gelir. Bu durum kararlı sistemlerin özelliklerine aykırı değildir.

Sağ yarı düzlemde transfer fonksiyonunun sıfırları olmayan dört kutuplu devrelere minimum faz devreleri denir. Sağ yarı düzlemde sıfırlar varsa, bu tür dört kutuplulara minimum fazlı olmayan devreler denir.

Bu terminoloji aşağıdaki durumlarla ilişkilidir. Bazı noktaların sol ve sağ yarı düzlemlerde gösterildiği karmaşık frekans düzlemini düşünün. Bu noktalar dört terminalli ağın transfer fonksiyonunun sıfırları olsun. Devre harmonik dış etki altındaysa, bu noktalar karmaşık düzlemdeki iki vektöre karşılık gelir: bunlar formül (13.5) payındaki karşılık gelen faktörlere karşılık gelir. Her iki vektör de frekans değiştikçe döner ve uzunlukları değişir.Aralarındaki fark, frekansı değişen vektörün, frekans kazancının faz açısını radyan kadar arttırması, aynı koşullar altındaki vektörün ise fazı aynı miktarda azaltmasıdır. . Dört kutuplunun transfer katsayısı kesirli rasyonel bir fonksiyondur; argümandaki değişiklik

Bu nedenle, aynı sayıda sıfır ve kutupla, minimum fazlı olmayan devre, minimum fazlı devreyle karşılaştırıldığında iletim katsayısının fazındaki değişimin daha büyük bir mutlak değerini sağlar.

Fonksiyonun sıfırlarının konumu devrenin topolojik yapısıyla ilgilidir. Devre teorisinde, aşağıdaki özelliğe sahip herhangi bir dört terminalli ağın minimum fazlı olacağı gösterilmektedir: girişten çıkışa sinyal iletimi, tek bir dalın kesilmesiyle tamamen durdurulabilir. Özellikle minimum fazlı devreler merdiven yapısının herhangi bir dört kutuplusu olacaktır.

Minimum fazlı olmayan dört kutuplular, kural olarak, çıkış sinyalinin iki veya daha fazla kanaldan geçtiği köprü (çapraz) devrelerin yapısına sahiptir. Minimum fazlı olmayan en basit devre, elemanlardan oluşan simetrik bir köprü dört kutupludur. Burada görüldüğü gibi gerilim transfer fonksiyonu

Bu fonksiyonun sağ yarı düzlemde tek bir sıfırı vardır.

Ancak köprü yapısı devrenin minimum faz dışı sınıfa ait olduğunu otomatik olarak garanti etmez. Her bir durumda, sağ yarı düzlemde transfer fonksiyonunun sıfırlarının varlığı veya yokluğu kontrol edilmelidir.

Minimum fazlı dört terminalli bir ağın frekans yanıtı ile faz yanıtı arasındaki ilişki.

Değişkenin sağ yarı düzlemindeki herhangi bir kararlı dört kutuplunun transfer fonksiyonu analitik bir fonksiyondur. Ayrıca, bu dört terminalli ağ minimum faz tipindeki devrelerin sayısına aitse, sağ yarı düzlemdeki transfer fonksiyonu da sıfıra sahip değildir. Bu, fonksiyonun analitik olduğu anlamına gelir

Ch.'nin materyaline uygun olarak. Şekil 5'te, fonksiyonun sanal eksendeki gerçek ve sanal kısımlarının sınır değerleri, yani bir çift Hilbert dönüşümü ile birbirine bağlanmıştır:

Dolayısıyla, minimum faz tipi dört terminalli bir ağın verilen AFC'sini gerçekleştirerek, bu durumda herhangi bir PFC elde etmek imkansızdır.

Hilbert dönüşümlerinin özelliklerine dayanarak, örneğin, minimum fazlı iki terminalli bir ağın frekans tepkisinin belirli bir frekansta maksimuma ulaşması durumunda, bu frekansın yakınındaki PFC'nin sıfırdan geçtiği iddia edilebilir. .

Eğer kuadripol minimum olmayan faz devreleri sınıfına aitse, frekans tepkisi ve faz tepkisi birbirinden bağımsızdır. Minimum fazlı olmayan devreler arasında, iletim katsayısı modülünün sabit olduğu ve frekansa bağlı olmadığı, tüm verici dört kutuplular tarafından özellikle önemli bir rol oynanır. Bir örnek, eşitliğe (13.6) uygun olarak simetrik bir köprü-dört terminal ağıdır.

Sinyallerin faz düzeltmesi için benzer dört kutuplular kullanılır. Radyo mühendisliği cihazlarından geçen sinyallerin şeklindeki bozulmaların kısmen telafi edilmesini mümkün kılarlar.