TAÜ. Laplace operatörü ve transfer fonksiyonları. Laplace denklemi Eğrisel koordinat sisteminde Laplace operatörü

Vektör analizinin üç ana işlemini ele aldık: a skaler alanı için gradtx'in hesaplanması ve a = a(x, y, z) vektör alanı için rot a'nın hesaplanması. Bu işlemler, sembolik operatör V ("nabla") kullanılarak daha basit bir biçimde yazılabilir: V operatörü (Hamilton operatörü) hem diferansiyel hem de vektör özelliklerine sahiptir. Resmi çarpma, örneğin ^'nin u(x, y) fonksiyonu ile çarpılması, kısmi türev olarak anlaşılacaktır: Vektör cebiri çerçevesinde, V operatörü üzerinde sanki bir vektörmüş gibi resmi işlemler yapacağız. Bu biçimciliği kullanarak, aşağıdaki temel formülleri elde ederiz: 1. Eğer bir skaler türevlenebilir fonksiyon ise, o zaman bir vektörün bir skalerle çarpılması kuralına göre şunu elde ederiz: Skaler ve vektör çarpımları için dağılma özelliğinden, Açıklama 1'i elde ederiz. Formül (5) ve (6) burada “nabla” operatörünün diferansiyel özelliklerinin bir tezahürü olarak yorumlanabilir (V bir lineer diferansiyel operatördür). Operatör V'nin kendisinden sonra yazılan tüm niceliklere göre hareket etmesi kararlaştırıldı. Bu anlamda, örneğin, bir skaler diferansiyel operatördür. Bazı miktarların ürününe V operatörünü uygularken, bir ürünü ayırt etmek için olağan kuralı akılda tutmak gerekir. Örnek 1. Formül (2)'ye göre, Açıklama 1'i dikkate alarak şunu elde ettiğimizi kanıtlayın veya “observa”nın karmaşık bir formülün parçası olan herhangi bir değeri etkilemediğini not etmek için, bu değer, nihai sonuçta atlanan c indeksi (“const”) ile işaretlenir. Örnek 2. u(xty,z) skaler türevlenebilir bir fonksiyon ve a(x,y,z) vektörel türevli bir fonksiyon olsun. Kanıtlayın ki 4 (8)'in sol tarafını sembolik biçimde yeniden yazarız V operatörünün diferansiyel doğasını dikkate alarak elde ederiz. e sabit bir skaler olduğundan, iç çarpım işaretinden çıkarılabilir, böylece a (son adımda e indeksini atladık). (V, Uac) ifadesinde, V operatörü yalnızca bir skaler fonksiyon üzerinde hareket eder ve bu nedenle, Açıklama 2'yi elde ederiz. V operatörü ile eylem biçimciliğini bir vektör olarak kullanarak, V'nin sıradan bir vektör olmadığını hatırlamalıyız - ne uzunluğu ne de yönü vardır, yani. örneğin vektör , Nerede İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README konusuna bakın.): H_i\ Lame katsayılarıdır.

silindirik koordinatlar

Çizginin dışındaki silindirik koordinatlarda İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \r=0 :

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Ayarlama yardımı için math/README'ye bakın.): \Delta f = (1 \over r) (\partial \over \partial r) \left(r (\partial f \over \partial r) \right) + (\partial^2f \over \partial z^2) + (1 \over r^2) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2)

küresel koordinatlar

Menşe dışındaki küresel koordinatlarda (üç boyutlu uzayda):

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Ayarlama yardımı için math/README'ye bakın.): \Delta f = (1 \over r^2) (\partial \over \partial r) \left(r^2 (\partial f \over \partial r) \right) + (1 \over r^2 \sin \theta) (\partial \over \partial \theta) \left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta) \right) + (1 \over r^2\sin^ 2 \theta) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2) İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Ayarlama yardımı için math/README'ye bakın.): \Delta f = (1 \over r) (\partial^2 \over \partial r^2) \left(rf \right) + (1 \over r^2 \sin \theta) (\partial \over \partial \theta) \left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta) \right) + (1 \over r^2 \sin ^2 \theta) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2).

Eğer İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \ f=f(r) V N-boyutlu uzay:

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Ayarlama yardımı için math/README'ye bakın.): \Delta f = (d^2 f\over dr^2) + (n-1 \over r ) (df\over dr).

parabolik koordinatlar

Menşe dışındaki parabolik koordinatlarda (üç boyutlu uzayda):

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Ayarlama yardımı için math/README'ye bakın.): \Delta f= \frac(1)(\sigma^(2) + \tau^(2)) \left[ \frac(1)(\sigma) \frac(\partial )(\partial \sigma) \left(\sigma \frac(\partial f)(\partial \sigma) \right) + \frac(1)(\tau) \frac(\partial )(\partial \tau) \left(\tau \frac(\partial f)(\partial \tau) \right)\right] + \frac(1)(\sigma^2\tau^2)\frac(\partial^2 f)(\partial \varphi^2)

Silindirik parabolik koordinatlar

Orijin dışındaki bir parabolik silindirin koordinatlarında:

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Ayarlama yardımı için math/README'ye bakın.): \Delta F(u,v,z) = \frac(1)(c^2(u^2+v^2)) \left[ \frac(\partial^2 F )(\partial u^2)+ \frac(\partial^2 F )(\partial v^2)\right] + \frac(\partial^2 F )(\partial z^2).

Genel eğrisel koordinatlar ve Riemann uzayları

Pürüzsüz bir manifold üzerinde bırakın İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc yerel koordinat sistemi verilir ve İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): g_(ij) Riemann metrik tensörü İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README konusuna bakın.): X, yani metrik şu şekildedir:

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ds^2 =\sum^n_(i,j=1)g_(ij) dx^idx^j .

ile göster İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): g^(ij) matris elemanları İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): (g_(ij))^(-1) Ve

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): g = \operatorname(det) g_(ij) = (\operatorname(det) g^(ij))^(-1) .

Vektör alanı sapması İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için matematik/README konusuna bakın.): F, koordinatlarla verilir İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README konusuna bakın.): F^i(ve birinci dereceden diferansiyel operatörü temsil eden İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \sum_i F^i\frac(\partial)(\partial x^i)) manifold üzerinde X formül ile hesaplanır

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \operatöradı(div) F = \frac(1)(\sqrt(g))\sum^n_(i=1)\frac(\partial)(\partial x^i)(\sqrt(g)F^i) ,

ve fonksiyonun gradyan bileşenleri F- formüle göre

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Ayarlama yardımı için math/README'ye bakın.): (\nabla f)^j =\sum^n_(i=1)g^(ij) \frac(\partial f)(\partial x^i).

Laplace operatörü - Beltrami açık İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README konusuna bakın.): X :

İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum Yardımı için Matematik/ReadMe'ye bakın.): \ Delta f = \ operatorname (div) (\ nabla f) = \ frac (1) (\ sqrt (g)) \ sum^n_ (i = 1) \ frac (\ sqrt (\ i) \ frac (\ sqrt .

Anlam İfade ayrıştırılamıyor (yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README konusuna bakın.): \Delta f bir skalerdir, yani koordinatları dönüştürürken değişmez.

Başvuru

Bu operatörü kullanarak Laplace, Poisson denklemlerini ve dalga denklemini yazmak uygundur. Fizikte, Laplace operatörü elektrostatik ve elektrodinamikte, kuantum mekaniğinde, süreklilik fiziğinin birçok denkleminde ve ayrıca zarların, filmlerin veya yüzey gerilimli arayüzlerin dengesinin incelenmesinde (bkz.

Varyasyonlar ve Genellemeler

d'Alembert operatörü, hiperbolik denklemler için Laplace operatörünün bir genellemesidir. Zamana göre ikinci türevi içerir.
Vektör Laplace operatörü, bir vektör bağımsız değişkeni durumu için Laplace operatörünün bir genellemesidir.

Ayrıca bakınız

"Laplace operatörü" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Edebiyat

Bağlantılar

Bu şablonu görüntüle

Diferansiyel hesap

Ana

özel görüşler

Diferansiyel Operatörler
(çeşitli koordinatlarda)

Birinci derece

Nedense, Stellino'nun her zamanki yüksek hızlı "kendi kendini muayenesi" bu kez işe yaramadı... Görünüşe göre, kalbi için değerli olan arkadaşlarını kaybetmek çok acı vericiydi, özellikle de daha sonra onları ne kadar özlerse özlesin, onları başka hiçbir yerde ve asla görmeyeceğini bilerek... Bu, hepimizin yeniden enkarne olmak için büyük bir şansı olduğu sıradan bir bedensel ölüm değildi. Ölen onların ruhuydu ... Ve Stella, ne cesur kız Maria'nın, ne "ebedi savaşçı" Luminary'nin, ne de çirkin, nazik Dean'in ebedi hayatlarını başkaları için feda ederek, belki de çok iyi ama tamamen tanıdık olmayan insanlar için asla enkarne olmayacağını biliyordu.
Tıpkı Stella gibi, ruhum çok hastaydı, çünkü gerçekte ilk kez ne kadar cesur ve çok nazik insanların kendi özgür iradeleriyle ayrıldığını gördüm ... arkadaşlarım. Ve öyle görünüyordu ki, yaralı çocuksu kalbime sonsuza dek hüzün yerleşmişti... Ama ne kadar acı çekersem çekeyim, ne kadar çok istersem istesem de hiçbir şeyin onları geri getiremeyeceğini anladım... Stella haklıydı - böyle bir fiyata kazanmak imkansızdı... Ama bu onların kendi seçimiydi ve bizim onları bunu reddetmeye hakkımız yoktu. Ve onları ikna etmeye çalışmak - bunun için yeterli zamanımız yoktu ... Ama yaşayanlar yaşamak zorundaydı, aksi takdirde tüm bu onarılamaz fedakarlıklar boşuna olurdu. Ve bu tam olarak izin verilmemesi gereken şeydi.
- Onları ne yapacağız? Sarsılarak içini çekerek bir araya toplanmış çocukları, Stella'yı işaret etti. - Onu burada bırakamazsın.
Sakin ve çok üzgün bir ses duyulduğunda cevap verecek zamanım olmadı:
"Tabii izin verirsen onlarla kalacağım."
Birlikte zıpladık ve arkamızı döndük - bu, konuşan Mary tarafından kurtarılan adamdı ... Ve bir şekilde onu tamamen unuttuk.
- Nasıl hissediyorsun? – Mümkün olduğunca dostça sordum.
Dürüst olmak gerekirse, bu kadar yüksek bir bedel karşılığında kurtulan bu talihsiz yabancıya zarar vermek istemedim. Bu onun hatası değildi ve Stella ve ben bunu çok iyi biliyorduk. Ama kaybın korkunç acısı hala gözlerimi öfkeyle bulandırdı ve bunun ona çok, çok haksızlık olduğunu bilmeme rağmen, kendimi toparlayamadım ve bu korkunç acıyı kendimden uzaklaştıramadım, tamamen yalnız kaldığımda "sonraya" bıraktım ve "köşemde" kapanarak acı ve çok ağır gözyaşlarımı serbest bırakabilirdim ... Ve ayrıca yabancının bir şekilde "reddetmemi" hissedeceğinden ve böylece onun kaybından kurtulmasından çok korkuyordum. Kötülüğe karşı zaferin önemi ve güzelliği, adına arkadaşlarımın öldüğü ... Bu nedenle kendimi toparlamaya çalıştım ve olabildiğince içten gülümseyerek sorumun cevabını bekledim.
Adam üzgün bir şekilde etrafına baktı, görünüşe göre burada ne olduğunu ve bunca zaman ona ne olduğunu tam olarak anlamamıştı...
- Peki, ben neredeyim? .. - heyecandan kısık bir sesle sessizce sordu. Burası neresi, bu kadar korkunç? Hatırladığım gibi görünmüyor... Sen kimsin?
- Biz arkadaşız. Ve kesinlikle haklısın - burası pek hoş bir yer değil ... Ve biraz daha ileride, yerler genellikle çılgınca korkutucu. Arkadaşımız burada yaşadı, öldü...
"Üzgünüm küçükler. Arkadaşın nasıl öldü?
Onu sen öldürdün, diye fısıldadı Stella üzgün bir şekilde.
Donup kaldım, kız arkadaşıma baktım... Bu, benim çok iyi tanıdığım, "kesinlikle" herkes için üzülen ve kimseye acı çekmeyecek "güneşli" Stella tarafından söylenmedi! .. Ama görünüşe göre, benimki gibi bir kaybın acısı, onda "herkese ve her şeye" bilinçsiz bir öfke duygusuna neden oldu ve bebek bunu henüz kendi içinde kontrol edemedi.
– Ben mi?!.. – diye haykırdı yabancı. Ama bu doğru olamaz! Ben kimseyi öldürmedim!
Onun saf gerçeği söylediğini hissettik ve suçu ona atmaya hakkımız olmadığını biliyorduk. Bu nedenle tek kelime bile etmeden birlikte gülümsedik ve hemen burada gerçekte ne olduğunu hızlıca açıklamaya çalıştık.
Adam uzun süre mutlak bir şok halindeydi ... Görünüşe göre duyduğu her şey ona çılgınca geliyordu ve kesinlikle gerçekte ne olduğu ve normal insan çerçevelerine uymayan bu kadar korkunç bir kötülüğe nasıl davrandığı ile örtüşmüyordu ...
- Bütün bunları nasıl telafi edebilirim?! .. Ne de olsa bunu yapamam? Ve bununla nasıl yaşanır?!.. - Başını tuttu... - Kaç tane öldürdüm, söyle bana!.. Bunu diyen var mı? Arkadaşlarından ne haber? Neden bunun için gittiler? Ama neden?!!!..
- Böylece gerektiği gibi yaşayabilirsin ... İstediğin gibi ... Ve birinin istediği gibi değil ... Başkalarını öldüren Kötüyü öldürmek için. Çünkü, muhtemelen ... - dedi Stella üzgün bir şekilde.
"Affedin canlar... Affedin beni... Yapabilirseniz..." adam tamamen ölmüş görünüyordu ve birdenbire çok kötü bir önseziyle "iğnelendim"...
- Bilmiyorum! diye bağırdım. "Artık yaşamalısın!" Tüm fedakarlıklarını geçersiz kılmak mı istiyorsunuz?! Düşünmeye bile cesaret etme! Artık onların yerine iyilik yapacaksın! Bu doğru olacak. Ve ayrılmak en kolay şeydir. Ve artık buna hakkınız yok.
Yabancı, görünüşe göre bu kadar şiddetli bir "haklı" öfke patlaması beklemiyordu, şaşkın şaşkın bana baktı. Sonra hüzünle gülümsedi ve sessizce şöyle dedi:
-Nasıl sevdin onları!.. Sen kimsin kızım?
Boğazım çok sıkıştı ve bir süre tek kelime edemedim. Böylesine ağır bir kayıp yüzünden çok acı vericiydi ve aynı zamanda böyle bir yükle var olması çok zor olan bu "huzursuz" insan için üzüldüm...
- Ben Svetlana'yım. Bu da Stella. Burada sadece dolaşıyoruz. Yapabildiğimiz zaman arkadaşlarımızı ziyaret ederiz veya birine yardım ederiz. Doğru, artık arkadaş kalmadı ...
- Affet beni, Svetlana. Her seferinde senden af dilesem muhtemelen hiçbir şeyi değiştirmeyecek olsa da... Olan oldu ve ben hiçbir şeyi değiştiremem. Ama olacakları değiştirebilirim, değil mi? - adam gökyüzü gibi mavi gözleriyle bana baktı ve hüzünlü bir gülümsemeyle şöyle dedi: - Ve bir şey daha ... Seçimimde özgürüm mü diyorsun? Ama arkadaşların için yaşamak zorunda olmam senin seçimin. Çünkü onlar benim için canlarını verdiler.... Ama ben istemedim değil mi?.. Dolayısıyla benim seçimim değil...
Ona tamamen şaşkın bir şekilde baktım ve dudaklarımdan hemen kaçmaya hazır olan "gururlu öfke" yerine, yavaş yavaş neden bahsettiğini anlamaya başladım ... Kulağa ne kadar tuhaf veya aşağılayıcı gelse de - hepsi içten gerçekti! Her ne kadar bundan hiç hoşlanmasam da...