Eğitim kompleksi Salı. Sayı sistemleri. Bir sistemden diğerine aktarım

Kural. Bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek için orijinal sayıyı yeni sayı sisteminin tabanına bölmeniz gerekir. Ortaya çıkan bölümü tekrar yeni sayı sisteminin tabanına bölün ve o zamana kadar bölmeye devam edin. bölüm yeni sayı sisteminin tabanından küçük olana kadar. Ortaya çıkan bölme kalıntıları sondan başlayarak ters sırayla yazılır. Bu, yeni numara sistemindeki numaranın kaydı olacaktır.

Örnek. 135 sayısı, 10'lu SS'den 2'li, 8'li ve 16'lı sayı sistemlerine dönüştürülür.

Görev 2.

Aşağıdaki sayıları ikili, sekizli ve onaltılık SS'ye dönüştürün 1275.973, 172

Sayıların herhangi bir SS'den 10'uncuya ters dönüşümü.

1) Herhangi bir SS'den bir sayının orijinal SS'ye çevrilmesi (ters çeviri), bu sayının her basamağını orijinal SS'nin tabanıyla çarpmanız gerekir. sıfır rakamından başlayarak sağdan sola doğru çarpımları ekleyin. Ondalık kesrin çevirisini yapıyorsanız sayının tam ve kesirli kısımlarının yazılması kuralını uygulamanız gerekir.

2) Sayıların ters çevirisi aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:

burada A belirli bir sayıdır,

g, belirli bir sayının SS'sinin tabanıdır (2 basamaklı bir sayı için =2) SS, diğer SS için - benzer),

m, sayının tamsayı kısmındaki basamak sayısıdır.

n, sayının kesirli kısmındaki basamak sayısıdır,

a - verilen sayının rakamlarının değeri (sayının kesirli kısmının kaydı mavi renkle vurgulanır).

110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10

66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10

13,4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0,5=11,5 10 (bu sayı ondalık kesirdir)

Görev3.

Aşağıdaki sayıları ondalık SS'ye dönüştürün:

101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2

125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8

A19BA 16 =2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16

2'nin üssü olan sayıların çevrilmesi ve ters çevrilmesi. Bu SS'ler ikili, sekizli, onaltılık sayı sistemlerini içerir.

Kural. İkili SS'den sekizli SS'ye dönüştürün. İkili sayı sondan (sağdan sola) 3 haneli gruplara bölünür ve her grup yeni bir SS'de bir sayıya dönüştürülür.

10.000.101 2 =205 8

111.000.101.100 2 =7054 8

1.011.001.101 2 =1315 8

Kural. Ters dönüşüm için her sekizlik basamak bir üçlü olarak yazılır.

Kural. İkili SS'den onaltılı SS'ye: benzer, ancak 4 basamakla ayrılmış

0110.0110.1011 2 =66B 16

1011.1111.0111 2 = BF7 16

10.1010.0111.0001 2 =2A71 16

Kural. Ters dönüşüm için her onaltılık basamak bir tetrad olarak yazılır.

Doğru ve yanlış kesirlerin farklı SS'lerde çevirisi. Sıradan bir kesri dönüştürmeniz gerekiyorsa, önce onu ondalık kesre dönüştürmeniz ve ardından ondalık kesirleri dönüştürme kurallarını uygulamanız gerekir.

Kural. Birden küçük ondalık kesirleri (doğru kesirler) dönüştürün.

1) kesirli kısmı dikey bir çizgiyle ayırmak gerekir;

2) kesirli kısmı yeni sayı sistemine göre çarpın;

3) sonucu, en az anlamlı rakamdan başlayarak kesinlikle orijinal numaranın altına yazın; bölümün tamamına transfer alırsanız satırın soluna yazın;

4) Kesirli kısmın çarpımı, belirli bir doğrulukta bir sayı elde edilene veya çizginin sağında 0 olana kadar gerçekleştirilir.

0,728 10 =0,564 8

Görev 4. Aşağıdaki uygun kesirleri ondalık SS'den ikili, sekizli, onaltılı SS'ye dönüştürün: .

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek makine aritmetiğinin önemli bir parçasıdır. Çevirinin temel kurallarını göz önünde bulundurun.

1. İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının çarpımlarından ve 2 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken iki kuvvetler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 4. 2'nin kuvvetleri

Örnek.

2. Sekizli bir sayıyı ondalık sayıya çevirmek için, sayının rakamlarının çarpımlarından ve 8 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken sekizli kuvvetler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 5. 8'in kuvvetleri

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

3. Onaltılık bir sayıyı ondalık sayıya çevirmek için, sayının rakamlarının çarpımlarından ve 16 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken kullanımı uygundur 16'nın kuvvetlerinin saldırısı:

Tablo 6. 16'nın kuvvetleri

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

4. Bir ondalık sayının ikili sisteme dönüştürülmesi için, 1'den küçük veya 1'e eşit bir kalan kalana kadar art arda 2'ye bölünmesi gerekir. İkili sistemde bir sayı, bölme işleminin son sonucunun dizisi olarak yazılır ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürün.

5. Bir ondalık sayıyı sekizli sisteme dönüştürmek için, 7'den küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar art arda 8'e bölünmelidir. Sekizli sistemdeki bir sayı, bölmenin son sonucunun basamak dizisi olarak yazılır. ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

6. Ondalık sayının onaltılık sisteme dönüştürülmesi için, 15'ten küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar art arda 16'ya bölünmelidir. Onaltılık sistemde sayı, bölme işleminin son sonucunun rakam dizisi olarak yazılır. ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün.

Etiketler: Sayı sistemi, sayı sistemi çevirisi, ilgili sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemlerinin tabanını değiştirme

Q tabanına sahip konumsal bir sayı sisteminde, bir sayı bir polinom olarak temsil edilebilir

... + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + ...

burada a i katsayıları q tabanlı sayı sisteminin rakamlarıdır.

Örneğin ondalık sayı sisteminde

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Q tabanlı sayı sisteminde basamak sayısı q'ya eşitken, maksimum basamak q - 1'e eşittir. Rakam q'ya eşit olamaz çünkü bu durumda birim yeni bir bit'e aktarılacaktır.

Örneğin 7832 sayısının yazıldığı sayı sisteminin minimum tabanını bulmanız gerekiyor, maksimum rakam 8 olduğundan q = 8 + 1 = 9'un minimum değeri.

Sayı sisteminin temeli prensip olarak herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, negatif, rasyonel, irrasyonel, karmaşık vb. Yalnızca pozitif tam sayı tabanlarını ele alacağız.

Bizim için özellikle ilgi çekici olan 2 tabanı ve ikinin kuvvetleri olan 8 ve 16 tabanları olacaktır.

Temelin olması durumunda İle. ondan büyükse yeni rakamlar alfabeden sırayla alınır. Örneğin onaltılık sistem için bunlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F sayıları olacaktır.

Ondalık sayı sisteminin tam sayı kısmının çevirisi

Ondalık sayıdan n-ary'ye dönüştürmenin ilk yolu, sayıyı sırayla yeni bir tabana bölmektir.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)

Ters sırayla önce son değeri (bu 0'dır), ardından yukarıdan aşağıya tüm kalanları topluyoruz. 0A3 = A3 elde ederiz

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Geri koyarsak 10723 elde ederiz

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Bir araya getirirsek: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

01000100001 = 1000100001 toplanıyor

Kağıt üzerinde çeviri genellikle bir sütuna bölünerek gerçekleştirilir. Bölme sıfıra ulaşana kadar sonraki her cevap c tabanına bölünür. İle. Sonunda cevap bölümün geri kalanından toplanır.

Bir sayıyı başka bir sayıya çevirmek de sıklıkla mümkündür. İle. , eğer aklımızda bunu sayıyı dönüştürmek istediğimiz ilgili tabanın derecelerinin toplamı olarak temsil edersek.

Örneğin, 129 açıkça 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2'dir

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Tamsayı kısmının ondalık sayı sistemine dönüştürülmesi

Çeviri, sayının konumsal sayı sistemindeki gösterimi kullanılarak gerçekleştirilir. Çevirmek gerekirse A3 12 → X 10 A3'ün 3∙q 0 + A∙q 1 yani 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123 olduğu biliniyor.

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Kağıt üzerinde çeviri genellikle aşağıdaki şekilde yapılır. Her rakamın üstüne sırasıyla derece numarasını yazın. O zaman tüm şartlar zaten yazılmıştır.

Kesirli kısmı ondalık sistemden dönüştürme

Kesirli kısmın çevirisi sırasında, genellikle son ondalık kesirin sonsuz kesir haline geldiği bir durum ortaya çıkar. Bu nedenle, genellikle çeviri sırasında çevirinin gerekli olduğu doğruluk belirtilir. Çeviri, kesirli kısmın sayı sisteminin tabanıyla sırayla çarpılmasıyla gerçekleştirilir. Bu durumda parçanın tamamı geriye yaslanır ve kesrin parçası haline gelir.

0,625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 - daha fazla çarpma yalnızca sıfırları verecektir
Yukarıdan aşağıya doğru toplarsak 0,101 elde ederiz

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 (1 )

0,2 ... periyodik bir kesir elde ederiz
Topladığımızda 0,0100110011001… = 0,0(1001) elde ederiz.

0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,875 * 5 = 4,375 (4) 0,375 * 5 = 1,875 (1 )…

0.3111414… = 0.311(14)

Kesirli bir kısmı ondalık sisteme dönüştürme

Tamsayı kısmının çevirisine benzer şekilde, deşarjın rakamı, deşarjın sayıdaki konumuna eşit bir dereceye kadar taban ile çarpılarak gerçekleştirilir.

0,101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0,134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Keyfi sayı sisteminden keyfi sayı sistemine çeviri

Keyfi bir sayı sisteminden keyfi bir e-postaya geçiş. İle. ondalık sayı kullanılarak gerçekleştirilir. İle.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

Örneğin

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

İlgili sayı sistemleri

Tabanları aynı sayının kuvvetleri olduğunda sayı sistemlerine ilişkili denir. Örneğin 2, 4, 8, 16. Tablo kullanılarak ilgili sayı sistemleri arasında çeviri yapılabilir.

İlgili bir sayı sisteminden diğerine çeviri yapmak için önce sayıyı ikili sayıya dönüştürmeniz gerekir. İkili sayı sistemine dönüştürmek için, sayının her basamağı karşılık gelen iki (dörtlü), üç (sekizli) veya dört (onaltılık) ile değiştirilir.

123 4 için bir yerine 01, iki yerine 10, üç yerine 11 koyarsak 11011 2 elde ederiz.

5721 8 için sırasıyla 101, 111, 010, 001, toplam 101111010001 2

E12 16 için 111000010010 2 elde ederiz

İkili sistemden çeviri yapmak için, sayıyı ikili (4'üncü), üçlü (8'inci) veya dörtlü sayılara (16'ncı) bölmeniz ve ardından onu karşılık gelen değerlerle değiştirmeniz gerekir.

Çeşitli ölçeklerde ağlar kurarken ve her gün hesaplamalarla karşı karşıya kaldığınızda, o zaman bu tür hile sayfalarına başlamanıza gerek yok, zaten her şey koşulsuz bir refleksle yapılıyor. Ancak ağlarla çok nadiren ilgilendiğinizde, 21 öneki için ondalık biçimde ne tür bir maskenin bulunduğunu veya aynı önekle hangi ağ adresinin olduğunu her zaman hatırlayamazsınız. Bu bağlamda, sayıları farklı sayı sistemlerine, ağ adreslerine, maskelere vb. çevirme konusunda birkaç küçük hile sayfası yazmaya karar verdim. Bu bölümde sayıları farklı sayı sistemlerine çevirmekten bahsedeceğiz.

1. Sayı sistemleri

Bilgisayar ağları ve BT ile ilgili herhangi bir şey yaptığınızda zaten bu kavramla karşılaşacaksınız. Ve akıllı bir BT uzmanı olarak, pratikte çok nadiren kullanacak olsanız bile, bunu en azından biraz anlamalısınız.
Bir IP adresinden her rakamı çevirmeyi düşünün 98.251.16.138 aşağıdaki sayı sistemlerine:

• İkili
• sekizli
• Ondalık
• Onaltılık

1.1 Ondalık

Sayılar ondalık sistemde yazıldığı için ondalık sayıdan ondalık sayıya dönüştürme işlemini atlayacağız 🙂

1.1.1 Ondalık → İkili

Bildiğimiz gibi ikili sayı sistemi hemen hemen tüm modern bilgisayarlarda ve diğer birçok bilgi işlem cihazında kullanılmaktadır. Sistem çok basit; elimizde yalnızca 0 ve 1 var.
Ondalık bir sayıyı ikili forma dönüştürmek için modulo 2'yi kullanmanız gerekir (yani tam sayının 2'ye bölünmesi), bunun sonucunda geri kalanında her zaman 1 veya 0 olur. Bu durumda sonucu yazıyoruz sağdan sola doğru. Bir örnek her şeyi yerine koyacaktır:

Şekil 1.1 - Sayıları ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürme

Şekil 1.2 - Sayıları ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürme

98 sayısının bölünmesini anlatacağım. 98'i 2'ye bölüyoruz, sonuçta 49, kalan 0 oluyor. Sonra bölmeye devam edip 49'u 2'ye bölüyoruz, sonuçta 24 ve kalan 1 oluyor. Aynı şekilde bölünebilmede de 1 veya 0'a ulaşıyoruz. Sonuç daha sonra sağdan sola yazılır.

1.1.2 Ondalık → Sekizli

Sekizli sistem, 8 tabanlı bir tamsayı sistemidir. içindeki tüm sayılar 0 - 7 aralığıyla temsil edilir ve ondalık sistemden dönüştürmek için modulo 8'i kullanmanız gerekir.

Şekil 1.3 - Sayıları ondalık sistemden sekizli sisteme dönüştürme

Bölme işlemi 2'li sisteme benzer.

1.1.3 Ondalık → Onaltılı

Onaltılı sistem neredeyse tamamen sekizli sistemin yerini almıştır. 16 tabanına sahiptir, ancak 0'dan 9'a kadar ondalık rakamları + A'dan (10 sayısı) F'ye (15 sayısı) kadar Latin harfleri kullanır. Ağ bağdaştırıcısı ayarlarını her kontrol ettiğinizde bununla karşılaşırsınız - bu MAC adresidir. IPv6 kullanırken de aynı durum geçerlidir.

Şekil 1.4 - Sayıları ondalık sistemden onaltılı sisteme dönüştürme

1.2 İkili

Önceki örnekte, tüm ondalık sayıları, biri ikili olan diğer sayı sistemlerine dönüştürdük. Şimdi her sayıyı ikili formdan çevirelim.

1.2.1 İkili → Ondalık

Sayıları ikiliden ondalığa dönüştürmek için iki nüansı bilmeniz gerekir. Birincisi, her bir sıfır ve birin 2 üzeri n'inci kuvveti vardır ve bu noktada n sağdan sola tam olarak bir artar. İkincisi - çarpmadan sonra tüm sayılar toplanmalıdır ve sayıyı ondalık biçimde alacağız. Sonuç olarak şöyle bir formülümüz olacak:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Nerede,
D aradığımız ondalık sayıdır;
N ikili sayıdaki karakter sayısıdır;
a, n'inci konumdaki ikili formdaki sayıdır (yani birinci karakter, ikinci karakter vb.);
p, güce 2,8 veya 16'ya eşit bir katsayıdır N(sayı sistemine bağlı olarak)

Örneğin 110102 sayısını alın. Formüle bakıp şunu yazıyoruz:

• Numara 5 karakterden oluşur ( N=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (çünkü ikiliden ondalığa dönüştürüyoruz)

Sonuç olarak elimizde:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Sağdan sola yazmaya alışkın olanlar form şöyle görünecek:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Ancak bildiğimiz gibi terimlerin yeniden düzenlenmesiyle toplam değişmez. Şimdi sayılarımızı ondalık sayıya çevirelim.

Şekil 1.5 - Sayıları ikili sistemden ondalık sisteme dönüştürme

1.2.2 İkili → Sekizli

Çeviri yaparken ikili sayıyı sağdan sola doğru üç karakterlik gruplara ayırmamız gerekir. Son grup üç karakterden oluşmuyorsa, eksik bitleri sıfırlarla değiştiririz. Örneğin:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Her bit grubu sekizlik sayılardan biridir. Hangisi olduğunu bulmak için her bit grubu için yukarıda yazılan 1.2.1 formülünü kullanmanız gerekir. Sonuç olarak alacağız.

Şekil 1.6 - Sayıları ikili sistemden sekizli sisteme dönüştürme

1.2.3 İkili → Onaltılı

Burada ikili sayıyı sağdan sola dört karakterlik gruplara bölmemiz ve ardından yukarıda açıklandığı gibi sıfırlı grubun eksik bitlerini eklememiz gerekiyor. Son grup sıfırlardan oluşuyorsa bunlar göz ardı edilmelidir.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Her bit grubu onaltılık sayılardan biridir. Her bit grubu için formül 1.2.1'i kullanıyoruz.

Şekil 1.7 - Sayıları ikili sistemden onaltılı sisteme dönüştürme

1.3 Sekizli

Bu sistemde çevirinin geri kalanı sorunsuz çalıştığı için yalnızca onaltılık sayıya dönüştürürken zorluk yaşayabiliriz.

1.3.1 Sekizli → İkili

Sekizli sistemdeki her sayı, yukarıda açıklandığı gibi ikili sistemdeki üç bitlik bir gruptur. Çeviri yapmak için kopya kağıdını kullanmamız gerekiyor:

Şekil 1.8 - Sekizli sistemden sayıları çevirmek için mahmuz

Bu tabloyu kullanarak sayılarımızı ikiliye çevirelim.

Şekil 1.9 - Sayıları sekizliden ikiliye dönüştürme

Çıktıyı biraz anlatayım. Elimizdeki ilk sayı 142'dir, bu da her biri üç bitlik üç grup olacağı anlamına gelir. Spur'u kullanıyoruz ve 1 sayısının 001, 4 sayısının 100 ve 2 sayısının da 010 olduğunu görüyoruz. Sonuç olarak 001100010 sayısını elde ediyoruz.

1.3.2 Sekizli → Ondalık

Burada formül 1.2.1'i yalnızca 8 faktörüyle kullanıyoruz (yani p=8). Sonuç olarak elimizde

Şekil 1.10 - Sayıları sekizli sistemden ondalık sisteme dönüştürme

• Numara 3 karakterden oluşur ( N=3)

bir 3 = 1, bir 2 = 4, bir 1 = 2

• p = 8 (çünkü sekizliden ondalığa dönüştürüyoruz)

Sonuç olarak elimizde:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Sekizli → Onaltılık

Daha önce yazıldığı gibi, tercüme etmek için önce sayıları ikili sisteme, ardından ikiliden onaltılı sisteme dönüştürerek 4 bitlik gruplara ayırmamız gerekir. Aşağıdaki teşviki kullanabilirsiniz.

Şekil 1.11 - Onaltılık sistemden sayıları dönüştürmek için teşvik

Bu tablo ikiliden onaltılıya dönüştürmenize yardımcı olacaktır. Şimdi sayılarımızı çevirelim.

Şekil 1.12 - Sayıları sekizli sistemden onaltılık sisteme dönüştürme

1.4 Onaltılık

Bu sistemde sekizliye çevrildiğinde de aynı sorun yaşanıyor. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

1.4.1 Onaltılı → İkili

Onaltılı sistemdeki her sayı, yukarıda açıklandığı gibi ikili sistemdeki dört bitlik bir gruptur. Çeviri için yukarıda bulunan kopya sayfasını kullanabiliriz. Sonuç olarak:

Şekil 1.13 - Sayıları onaltılı sistemden ikili sisteme dönüştürme

İlk sayıyı alalım - 62. Plakayı kullanarak (Şekil 1.11) 6'nın 0110, 2'nin 0010 olduğunu görüyoruz, sonuç olarak 01100010 sayısını elde ediyoruz.

1.4.2 Onaltılı → Ondalık

Burada formül 1.2.1'i yalnızca 16 faktörüyle kullanıyoruz (yani p=16). Sonuç olarak elimizde

Şekil 1.14 - Sayıları onaltılı sistemden ondalık sisteme dönüştürme

İlk sayıyı alalım. Formül 1.2.1'e göre:

• Numara 2 karakterden oluşur ( N=2)

bir 2 = 6, bir 1 = 2

• p = 16 (çünkü onaltılık sayıyı ondalık sayıya dönüştürüyoruz)

Sonuç olarak elimizde

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Onaltılı → Sekizli

Sekizli sisteme dönüştürmek için önce ikiliye dönüştürmeniz, ardından 3 bitlik gruplara ayırmanız ve tabloyu kullanmanız gerekir (Şekil 1.8). Sonuç olarak:

Şekil 1.15 - Sayıları onaltılı sistemden sekizli sisteme dönüştürme

IP adresleri, maskeler ve ağlarla ilgili konuşmada yer alacak.

Açıklama 1

Bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek istiyorsanız, önce onu ondalık sayı sistemine dönüştürmek ve ancak daha sonra ondalık sayı sisteminden başka herhangi bir sayı sistemine aktarmak daha uygundur.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürme kuralları

Makine aritmetiğini kullanan bilgisayar teknolojisinde, sayıların bir sayı sisteminden diğerine dönüştürülmesi önemli bir rol oynar. Aşağıda bu tür dönüşümler (çeviriler) için temel kuralları sunuyoruz.

İkili bir sayıyı ondalık sayıya çevirirken, ikili sayıyı bir polinom olarak temsil etmek gerekir; bu polinomun her bir elemanı, sayının bir basamağı ile temel sayının karşılık gelen üssünün (bu durumda 2 $) çarpımı olarak temsil edilir. $ ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Şekil 1. Tablo 1

örnek 1

$11110101_2$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. Yukarıdaki $2$ tabanının derecelerinin $1$ tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Bir sayıyı sekizliden ondalığa dönüştürmek için, onu bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bu polinomun her bir öğesi, sayının bir rakamı ile taban sayının buna karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir (bu durumda $8$) ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Şekil 2. Tablo 2

Örnek 2

$75013_8$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. Yukarıdaki $2$ $8$ tabanının derece tablosunu kullanarak sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Bir sayıyı onaltılı sayıdan ondalık sayıya dönüştürmek için, onu bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bu polinomun her bir öğesi, sayının bir rakamı ile taban sayının buna karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir (bu durumda $16$) ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Şekil 3. Tablo 3

Örnek 3

$FFA2_(16)$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. Yukarıdaki $3$ $8$ temel kuvvetleri tablosunu kullanarak sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Sayıları ondalık sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürmek için, $1$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar art arda $2$'ya bölünmelidir. İkili sistemdeki bir sayı, bölmenin son sonucunun ve bölmenin geri kalanının ters sırada sıralanmasıyla temsil edilir.

Örnek 4

$22_(10)$ sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 4

$22_{10} = 10110_2$

• Bir sayıyı ondalık sayıdan sekizli sayıya dönüştürmek için, 7$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar sayının art arda $8$'a bölünmesi gerekir. Sekizli sayı sisteminde bir sayıyı, bölmenin son sonucunun ve bölmenin geri kalanının ters sırada yer aldığı basamak dizisi olarak sunun.

Örnek 5

$571_(10)$ sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 5

$571_{10} = 1073_8$

• Bir sayıyı ondalık sayıdan onaltılı sayıya dönüştürmek için, 15$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar sayının art arda $16$'ya bölünmesi gerekir. Bir sayıyı, bölmenin son sonucunu ve bölmenin geri kalanını ters sırada içeren basamak dizisi olarak onaltılık sistemde ifade edin.

Örnek 6

$7467_(10)$ sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Uygun bir kesri ondalık sayı sisteminden ondalık olmayan sayı sistemine dönüştürmek için, dönüştürülen sayının kesirli kısmını dönüştürüleceği sistemin tabanıyla çarpmak gerekir. Yeni sistemdeki fraksiyon, ilkinden başlayarak ürünlerin bütün parçaları olarak sunulacak.

Örneğin: sekizlik olarak $0.3125_((10))$ $0.24_((8))$ gibi görünecektir.

Bu durumda, ondalık olmayan bir sayı sisteminde sonlu bir ondalık kesirin sonsuz (periyodik) bir kesire karşılık gelebilmesi sorunuyla karşılaşabilirsiniz. Bu durumda yeni sistemde temsil edilen kesirdeki basamak sayısı gerekli doğruluğa bağlı olacaktır. Ayrıca herhangi bir sayı sisteminde tam sayıların tam sayı olarak kaldığı ve uygun kesirlerin de kesir olarak kaldığı unutulmamalıdır.

Sayıları ikili sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ikiliden sekizliye dönüştürmek için, en az anlamlı rakamdan başlayarak, gerekirse en yüksek üçlüye sıfırlar eklenerek ve ardından her üçlüyü Tabloya göre karşılık gelen sekizli rakamla değiştirerek üçlülere (basamak üçlüleri) bölünmelidir. 4.

Şekil 7. Tablo 4

Örnek 7

$1001011_2$ sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. Tablo 4'ü kullanarak sayıyı ikiliden sekizliye çeviriyoruz:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Bir sayıyı ikiliden onaltılı sayıya dönüştürmek için, dörtlülere (dört basamaklı) bölünmeli, en az anlamlı basamaktan başlayarak gerekiyorsa üst düzey dörtlüsü sıfırlarla tamamlamalı, ardından her dörtlü, aşağıdakilere göre karşılık gelen sekizlik basamakla değiştirilmelidir. Tablo 4.