İki matrisin çarpımı örneği. Kare matrisin sütun matrisiyle çarpımı
Bu konu, matrislerde toplama ve çıkarma, bir matrisin bir sayı ile çarpılması, bir matrisin bir matris ile çarpılması, matris transpozisyonu gibi işlemleri kapsayacaktır. Bu sayfada kullanılan tüm semboller bir önceki konudan alınmıştır.
Matrislerin toplanması ve çıkarılması.
$A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrislerinin $A+B$ toplamı, $C_(m) matrisidir \times n) =(c_(ij))$, burada tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline( için $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ 1,n) $.
Matrislerin farkı için benzer bir tanım getirilmiştir:
$A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrislerinin $A-B$ farkı, $C_(m\times) matrisidir n)=( c_(ij)$, burada tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1) için $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$, n)$.
$i=\overline(1,m)$ girişi için açıklama: show\hide
"$i=\overline(1,m)$" girişi, $i$ parametresinin 1'den m'ye değiştiği anlamına gelir. Örneğin, $i=\overline(1,5)$ girişi, $i$ parametresinin 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini aldığını söylüyor.
Toplama ve çıkarma işlemlerinin yalnızca aynı boyuttaki matrisler için tanımlandığını belirtmekte fayda var. Genel olarak, matrislerin toplanması ve çıkarılması, sezgisel olarak açık olan işlemlerdir, çünkü aslında, karşılık gelen elemanların sadece toplamı veya çıkarılması anlamına gelirler.
Örnek 1
Üç matris verilir:
$$ A=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)\;\; B=\left(\begin(dizi) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \sağ); \;\; F=\left(\begin(dizi) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(dizi) \sağ). $$
$A+F$ matrisini bulmak mümkün müdür? $C=A+B$ ve $D=A-B$ ise $C$ ve $D$ matrislerini bulun.
$A$ matrisi 2 satır ve 3 sütun içerir (başka bir deyişle, $A$ matrisinin boyutu $2\x 3$'dir) ve $F$ matrisi 2 satır ve 2 sütun içerir. $A$ ve $F$ matrisinin boyutları eşleşmiyor, bu yüzden onları ekleyemiyoruz, yani. bu matrisler için $A+F$ işlemi tanımlanmamıştır.
$A$ ve $B$ matrislerinin boyutları aynıdır, yani matris verileri eşit sayıda satır ve sütun içerir, bu nedenle toplama işlemi bunlara uygulanabilir.
$$ C=A+B=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)+ \left(\begin(dizi) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \sağ)=\\= \left(\begin(dizi) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(dizi) \right)= \left(\begin(dizi) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(dizi) \sağ) $$
$D=A-B$ matrisini bulun:
$$ D=A-B=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)- \left(\begin(dizi) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \sağ)=\\= \left(\begin(dizi) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(dizi) \sağ)= \left(\begin(dizi) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(dizi) \sağ) $$
Cevap: $C=\left(\begin(dizi) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(dizi) \sağ)$, $D=\left(\begin(dizi) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(dizi) \sağ)$.
Bir matrisi bir sayı ile çarpmak.
$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisinin ve $\alpha$ sayısının çarpımı $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrisidir, burada $ Tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1,n)$ için b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$.
Basitçe söylemek gerekirse, bir matrisi bir sayı ile çarpmak, verilen matrisin her bir elemanını o sayı ile çarpmak anlamına gelir.
Örnek 2
Bir matris verildiğinde: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. $3\cdot A$, $-5\cdot A$ ve $-A$ matrislerini bulun.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ) =\left(\begin( dizi) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(dizi) \right)= \left(\begin(dizi) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(dizi) \sağ).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ) =\left(\begin(dizi) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(dizi) \sağ)= \left(\begin(dizi) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(dizi) \sağ). $$
$-A$ gösterimi, $-1\cdot A$ için kısa yoldur. Yani $-A$'ı bulmak için $A$ matrisinin tüm elemanlarını (-1) ile çarpmanız gerekir. Aslında bu, $A$ matrisinin tüm elemanlarının işaretinin tersine değişeceği anlamına gelir:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ)= \ left(\begin(dizi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(dizi) \sağ) $$
Cevap: $3\cdot A=\left(\begin(dizi) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(dizi) \sağ);\; -5\cdot A=\left(\begin(dizi) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(dizi) \sağ);\; -A=\left(\begin(dizi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(dizi) \sağ)$.
İki matrisin ürünü.
Bu işlemin tanımı zahmetli ve ilk bakışta anlaşılmaz. Bu nedenle, önce genel bir tanım belirteceğim ve ardından bunun ne anlama geldiğini ve onunla nasıl çalışılacağını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisinin ve $B_(n\times k)=(b_(ij))$ matrisinin çarpımı, $C_(m\times k) matrisidir )=(c_( ij))$, bunun için $c_(ij)$'ın her bir elemanı, $A$ matrisinin i'inci satırının karşılık gelen elemanları ile matrisin elemanlarının çarpımlarının toplamına eşittir. $B$ matrisinin j. sütunu: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\üstçizgi(1,m), j=\üstçizgi(1,n).$$
Adım adım, bir örnek kullanarak matrislerin çarpımını analiz edeceğiz. Ancak, tüm matrislerin çarpılamayacağına hemen dikkat etmelisiniz. $A$ matrisini $B$ matrisiyle çarpmak istiyorsak, önce $A$ matrisinin sütun sayısının $B$ matrisinin satır sayısına eşit olduğundan emin olmamız gerekir (bu tür matrislere genellikle kabul). Örneğin, $A_(5\times 4)$ matrisi (matris 5 satır ve 4 sütun içerir) $F_(9\times 8)$ (9 satır ve 8 sütun) matrisiyle çarpılamaz, çünkü $A $ matrisi, $F$ matrisinin satır sayısına eşit değildir, yani $4\neq 9$. Ancak $A_(5\times 4)$ matrisini $B_(4\times 9)$ matrisiyle çarpmak mümkündür, çünkü $A$ matrisinin sütun sayısı matrisin satır sayısına eşittir. $B$ matrisi. Bu durumda, $A_(5\times 4)$ ve $B_(4\times 9)$ matrislerini çarpmanın sonucu, 5 satır ve 9 sütun içeren $C_(5\times 9)$ matrisidir:
Örnek 3
Verilen matrisler: $ A=\left(\begin(dizi) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (dizi) \sağ)$ ve $ B=\left(\begin(dizi) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(dizi) \sağ) $. $C=A\cdot B$ matrisini bulun.
Başlamak için, hemen $C$ matrisinin boyutunu belirliyoruz. $A$ matrisinin boyutu $3\time 4$ ve $B$ matrisinin boyutu $4\time 2$ olduğundan, $C$ matrisinin boyutu $3\time 2$ olur:
Yani, $A$ ve $B$ matrislerinin çarpımının bir sonucu olarak, üç satır ve iki sütundan oluşan $C$ matrisini elde etmeliyiz: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(dizi) \sağ)$. Elemanların tanımları soruları gündeme getiriyorsa, başında matris elemanlarının tanımının açıklandığı "Matrisler. Matris türleri. Temel terimler" adlı önceki konuya bakabilirsiniz. Amacımız $C$ matrisinin tüm elemanlarının değerlerini bulmaktır.
$c_(11)$ öğesiyle başlayalım. $c_(11)$ öğesini elde etmek için, $A$ matrisinin ilk satırının ve $B$ matrisinin ilk sütununun elemanlarının çarpımlarının toplamını bulmanız gerekir:
$c_(11)$ öğesinin kendisini bulmak için $A$ matrisinin ilk satırının öğelerini $B$ matrisinin ilk sütununun karşılık gelen öğeleriyle çarpmanız gerekir, yani birinci elemandan birinciye, ikinciden ikinciye, üçüncüden üçüncüye, dördüncüden dördüncüye. Elde edilen sonuçları özetliyoruz:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Çözüme devam edelim ve $c_(12)$'ı bulalım. Bunu yapmak için, $A$ matrisinin ilk satırının ve $B$ matrisinin ikinci sütununun elemanlarını çarpmanız gerekir:
Bir öncekine benzer şekilde, elimizde:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
$C$ matrisinin ilk satırının tüm elemanları bulunur. $c_(21)$ elemanı ile başlayan ikinci satıra geçiyoruz. Bunu bulmak için, $A$ matrisinin ikinci satırının ve $B$ matrisinin ilk sütununun elemanlarını çarpmanız gerekir:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Bir sonraki $c_(22)$ elemanı, $A$ matrisinin ikinci satırının elemanları ile $B$ matrisinin ikinci sütununun karşılık gelen elemanlarının çarpılmasıyla bulunur:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
$c_(31)$'ı bulmak için $A$ matrisinin üçüncü satırının elemanlarını $B$ matrisinin ilk sütununun elemanlarıyla çarparız:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
Ve son olarak, $c_(32)$ öğesini bulmak için, $A$ matrisinin üçüncü satırının elemanlarını $B$ matrisinin ikinci sütununun karşılık gelen elemanlarıyla çarpmanız gerekir:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
$C$ matrisinin tüm elemanları bulunur, geriye sadece şunu yazmak kalır: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \sağ)$ . Veya tam olarak yazmak için:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(dizi) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(dizi) \right)\cdot \left(\begin(dizi) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(dizi) \right) =\left(\begin(dizi) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(dizi) \sağ). $$
Cevap: $C=\left(\begin(dizi) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(dizi) \sağ)$.
Bu arada, sonuç matrisinin her bir öğesinin konumunu ayrıntılı olarak açıklamak için genellikle bir neden yoktur. Boyutu küçük olan matrisler için aşağıdakileri yapabilirsiniz:
Matris çarpımının değişmeli olmadığını da belirtmek gerekir. Bu, genel olarak $A\cdot B\neq B\cdot A$ anlamına gelir. Yalnızca bazı matris türleri için permütasyonel(veya işe gidip gelirken), $A\cdot B=B\cdot A$ eşitliği doğrudur. Çarpmanın değişmezliğine dayanarak, ifadeyi şu veya bu matrisle tam olarak nasıl çarptığımızı belirtmemiz gerekir: sağda veya solda. Örneğin, "$3E-F=Y$ eşitliğinin her iki tarafını sağdaki $A$ matrisiyle çarpın" ifadesi, aşağıdaki eşitliği elde etmek istediğiniz anlamına gelir: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Bir $.
$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisine göre devrik $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ matrisidir, $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ olan öğeler için.
Basitçe söylemek gerekirse, devrik $A^T$ matrisini elde etmek için, orijinal $A$ matrisindeki sütunları şu prensibe göre karşılık gelen satırlarla değiştirmeniz gerekir: ilk satır vardı - ilk sütun şöyle olacak; ikinci bir sıra vardı - ikinci sütun olacak; üçüncü bir sıra vardı - üçüncü bir sütun olacak vb. Örneğin, $A_(3\times 5)$ matrisine devrik matrisi bulalım:
Buna göre, orijinal matrisin boyutu $3\time 5$ ise, devrik matrisin boyutu $5\time 3$ olur.
Matrisler üzerinde işlemlerin bazı özellikleri.
Burada $\alpha$, $\beta$ bazı sayılardır ve $A$, $B$, $C$ matrislerdir. İlk dört özellik için isimleri belirttim, geri kalanlar ilk dördüne benzetilerek adlandırılabilir.
- $A+B=B+A$ (toplamanın değişmeliliği)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ek ilişkilendirilebilirlik)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (bir matris ile çarpmanın sayıların toplanmasına göre dağılımı)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (bir sayı ile çarpmanın matris toplamasına göre dağılımı)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, burada $E$ karşılık gelen sıranın kimlik matrisidir.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, burada $O$ uygun boyutta bir sıfır matrisidir.
- $\left(A^T \sağ)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$
Bir sonraki bölümde, bir matrisin negatif olmayan bir tamsayı kuvvetine yükseltilmesi işlemi ele alınacak ve matrisler üzerinde birkaç işlemin gerekli olacağı örnekler çözülecektir.
1. yıl, yüksek matematik, çalışma matrisler ve bunlarla ilgili temel eylemler. Burada matrislerle yapılabilecek ana işlemleri sistematize ediyoruz. Matrislere nasıl başlanır? Tabii ki, en basitinden - tanımlar, temel kavramlar ve en basit işlemler. Sizi temin ederiz ki matrisler, onlara en azından biraz zaman ayıran herkes tarafından anlaşılacaktır!
Matris tanımı
Matris elemanların dikdörtgen bir tablosudur. Basit bir ifadeyle - bir sayı tablosu.
Matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir. örneğin, matris A , matris B ve benzeri. Matrisler farklı boyutlarda olabilir: dikdörtgen, kare, vektör adı verilen satır matrisleri ve sütun matrisleri de vardır. Matrisin boyutu satır ve sütun sayısına göre belirlenir. Örneğin, dikdörtgen boyutlu bir matris yazalım. M Açık N , Nerede M satır sayısıdır ve N sütun sayısıdır.
Hangi elementler için ben=j (a11, a22, .. ) matrisin ana köşegenini oluşturur ve köşegen olarak adlandırılır.
Matrislerle neler yapılabilir? Ekle/Çıkar, bir sayı ile çarpmak, kendi aralarında çoğalmak, devrik. Şimdi sırayla matrisler üzerindeki tüm bu temel işlemler hakkında.
Matris toplama ve çıkarma işlemleri
Yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebileceğiniz konusunda sizi hemen uyarıyoruz. Sonuç, aynı boyutta bir matristir. Matrisleri toplamak (veya çıkarmak) kolaydır - sadece karşılık gelen öğelerini ekleyin . Bir örnek alalım. A ve B boyutlu iki matrisin toplamını ikişer ikişer yapalım.
Çıkarma, sadece zıt işaretli, analoji ile gerçekleştirilir.
Herhangi bir matris rastgele bir sayı ile çarpılabilir. Bunu yapmak için, elemanlarının her birini bu sayı ile çarpmanız gerekir. Örneğin ilk örnekteki A matrisini 5 sayısıyla çarpalım:
Matris çarpma işlemi
Tüm matrisler birbiriyle çarpılamaz. Örneğin, iki matrisimiz var - A ve B. Sadece A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşitse birbirleriyle çarpılabilirler. Ayrıca, elde edilen matrisin i. satır ve j. sütundaki her bir elemanı, birinci faktörün i. satırı ile ikinci faktörün j. sütunundaki karşılık gelen elemanların çarpımlarının toplamına eşit olacaktır.. Bu algoritmayı anlamak için iki kare matrisin nasıl çarpıldığını yazalım:
Ve gerçek sayılarla bir örnek. Matrisleri çarpalım:
Matris devrik işlemi
Matris transpozisyonu, karşılık gelen satırların ve sütunların değiştirildiği bir işlemdir. Örneğin, A matrisini birinci örnekten transpoze ederiz:
Matris belirleyici
Determinant, oh determinant, lineer cebirin temel kavramlarından biridir. Bir zamanlar insanlar doğrusal denklemler buldular ve onlardan sonra bir determinant icat etmek zorunda kaldılar. Sonunda, tüm bunlarla başa çıkmak size kalmış, o yüzden son hamle!
Determinant, birçok problemi çözmek için gerekli olan bir kare matrisin sayısal bir özelliğidir.
En basit kare matrisin determinantını hesaplamak için, ana ve ikincil köşegenlerin elemanlarının çarpımı arasındaki farkı hesaplamanız gerekir.
Birinci dereceden, yani bir elemandan oluşan bir matrisin determinantı bu elemana eşittir.
Ya matris üçe üç ise? Bu daha zor ama yapılabilir.
Böyle bir matris için, determinantın değeri, ana köşegenin elemanlarının çarpımlarının ve yüzü ana köşegene paralel olan üçgenler üzerinde yatan elemanların çarpımlarının toplamına eşittir; İkincil köşegen ile yüzü ikincil köşegene paralel olan üçgenler üzerinde bulunan elemanların çarpımı çıkarılır.
Neyse ki, pratikte büyük matrislerin determinantlarını hesaplamak nadiren gereklidir.
Burada matrisler üzerindeki temel işlemleri ele aldık. Tabii ki, gerçek hayatta, bir matris denklem sisteminin en ufak bir ipucuna bile rastlayamazsınız ya da tam tersi, gerçekten kafa yormanız gereken çok daha karmaşık durumlarla karşılaşabilirsiniz. Bu tür durumlar için profesyonel bir öğrenci servisi vardır. Yardım isteyin, kaliteli ve detaylı bir çözüm bulun, akademik başarının ve boş zamanın tadını çıkarın.
Bu kılavuz, nasıl yapılacağını öğrenmenize yardımcı olacaktır. matris işlemleri: matrislerin toplanması (çıkarılması), bir matrisin transpozisyonu, matrislerin çarpılması, bir matrisin tersinin bulunması. Tüm materyaller basit ve erişilebilir bir biçimde sunulur, ilgili örnekler verilir, böylece hazırlıksız bir kişi bile matrislerle eylemleri nasıl gerçekleştireceğini öğrenebilir. Kendini kontrol etmek ve kendini test etmek için bir matris hesap makinesini ücretsiz olarak indirebilirsiniz >>>.
Teorik hesaplamaları en aza indirmeye çalışacağım, bazı yerlerde "parmaklarda" açıklamalar ve bilimsel olmayan terimlerin kullanılması mümkündür. Katı teori sevenler, lütfen eleştiriye girmeyin, görevimiz matrislerle nasıl çalışılacağını öğrenin.
Konuyla ilgili ("yanan") SÜPER HIZLI hazırlık için yoğun bir pdf kursu var Matris, determinant ve ofset!
Bir matris, bazılarının dikdörtgen bir tablosudur elementler. Gibi elementler sayıları, yani sayısal matrisleri ele alacağız. ÖĞE bir terimdir. Terimi hatırlamak arzu edilir, sık sık ortaya çıkar, onu vurgulamak için cesur kullanmam tesadüf değildir.
tanım: matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir
Örnek:İkiye üç bir matris düşünün:
Bu matris altı elementler:
Matrisin içindeki tüm sayılar (öğeler) kendi başına vardır, yani herhangi bir çıkarma söz konusu değildir: 
Bu sadece bir sayı tablosu (kümesi)!
biz de anlaşacağız yeniden düzenleme Açıklamada aksi belirtilmedikçe numara. Her numaranın kendi konumu vardır ve onları karıştıramazsınız!
Söz konusu matrisin iki satırı vardır: 
ve üç sütun: 
STANDART: matrisin boyutlarından bahsederken, o zaman Başta satır sayısını ve ancak o zaman - sütun sayısını belirtin. Az önce ikiye üç matrisi parçaladık.
Bir matrisin satır ve sütun sayıları aynı ise o matrise matris denir. kare, Örneğin: 
üçe üç bir matristir.
Matrisin bir sütunu veya bir satırı varsa, bu tür matrislere de denir. vektörler.
Aslında, matris kavramını okuldan beri biliyoruz, örneğin "x" ve "y" koordinatlarına sahip bir noktayı düşünün: . Temel olarak, bir noktanın koordinatları bire iki matrise yazılır. Bu arada, işte size sayıların sırasının neden önemli olduğuna dair bir örnek: ve bunlar düzlemin tamamen farklı iki noktasıdır.
Şimdi çalışmaya geçelim. matris işlemleri:
1) Eylem bir. Bir matristen eksi çıkarma (Bir matrise eksi ekleme).
Matrisimize geri dön 
. Muhtemelen fark ettiğiniz gibi, bu matriste çok fazla negatif sayı var. Bu, matris ile çeşitli eylemler gerçekleştirmek açısından çok sakıncalıdır, bu kadar çok eksi yazmak sakıncalıdır ve tasarımda sadece çirkin görünür.
Matrisin HER bir elemanının işaretini değiştirerek eksiyi matrisin dışına taşıyalım:
Sıfırda, anladığınız gibi, işaret değişmez, sıfır - Afrika'da da sıfırdır.
Ters örnek: 
. Çirkin görünüyor.
Matrisin HER bir öğesinin işaretini değiştirerek matrise bir eksi ekliyoruz:
Çok daha güzel. Ve en önemlisi, matrisle herhangi bir eylemi gerçekleştirmek DAHA KOLAY olacaktır. Çünkü böyle bir matematiksel halk işareti var: daha fazla eksi - daha fazla kafa karışıklığı ve hata.
2) Eylem iki. Bir Matrisi Bir Sayıyla Çarpmak.
Örnek:
Çok basit, bir matrisi bir sayıyla çarpmak için ihtiyacınız var Her matris elemanını verilen sayı ile çarpın. Bu durumda, üç.
Başka bir yararlı örnek:
– bir matrisin bir kesirle çarpılması
Önce ne yapacağımıza bakalım GEREK YOK:
Matrise kesir girmek GEREKLİ DEĞİLDİR, ilk olarak, yalnızca matrisle daha sonraki işlemleri zorlaştırır ve ikincisi, öğretmenin çözümü kontrol etmesini zorlaştırır (özellikle eğer 
- görevin son cevabı).
Ve özellikle, GEREK YOK matrisin her bir öğesini eksi yediye bölün:
makaleden Aptallar için matematik veya nereden başlamalı, yüksek matematikte virgüllü ondalık kesirlerden kaçınmak için mümkün olan her yolu denediğimizi hatırlıyoruz.
Sadece bir şey arzu edilen Bu örnekte yapılması gereken, matrise bir eksi eklemektir:
Ama eğer TÜM matris elemanları 7'ye bölündü iz bırakmadan, o zaman bölmek mümkün (ve gerekli!) olacaktır.
Örnek:
Bu durumda şunları yapabilirsiniz: İHTİYAÇ Matristeki tüm sayılar 2 ile bölünebildiğinden, matrisin tüm elemanlarını ile çarpın iz bırakmadan.
Not: yüksek matematik teorisinde "bölme" okul kavramı yoktur. "Bu, buna bölünür" ifadesi yerine, her zaman "bu, bir kesirle çarpılır" diyebilirsiniz. Yani bölme, çarpmanın özel bir halidir.
3) Eylem üç. Matris aktarımı.
Bir matrisi devrik hale getirmek için, satırlarını devrik matrisin sütunlarına yazmanız gerekir.
Örnek:
Devrik Matrisi
Burada sadece bir satır vardır ve kurala göre bir sütuna yazılmalıdır:
devrik matristir.
Aktarılan matris genellikle sağ üstte bir üst simge veya bir vuruşla gösterilir.
Adım adım örnek:
Devrik Matrisi 
İlk olarak, ilk satırı ilk sütuna yeniden yazıyoruz:
Ardından ikinci satırı ikinci sütuna yeniden yazıyoruz: 
Ve son olarak, üçüncü satırı üçüncü sütuna yeniden yazıyoruz:
Hazır. Kabaca söylemek gerekirse, transpoze etmek, matrisi kendi tarafında döndürmek anlamına gelir.
4) Eylem dört. Matrislerin toplamı (farkı).
Matrislerin toplamı basit bir işlemdir.
TÜM MATRİSLER KATLANABİLİR DEĞİLDİR. Matrislerde toplama (çıkarma) yapabilmek için AYNI BOYUTTA olmaları gerekir.
Örneğin, ikiye iki matris verilirse, o zaman yalnızca ikiye iki matrise eklenebilir, başka hiçbir şey eklenemez! 
Örnek:
matris ekle 
Ve 
Matrisleri eklemek için karşılık gelen öğelerini eklemeniz gerekir.:
Matrislerin farkı için kural benzerdir, karşılık gelen elemanların farkını bulmak gerekir.
Örnek:
Matrislerin farkını bulun 
, 
Ve kafanızın karışmaması için bu örneği nasıl daha kolay çözebilirsiniz? Gereksiz eksilerden kurtulmanız tavsiye edilir, bunun için matrise bir eksi ekleyeceğiz:
Not: yüksek matematik teorisinde okul "çıkarma" kavramı yoktur. “Bunu bundan çıkar” ifadesi yerine her zaman “buna negatif bir sayı ekle” diyebilirsiniz. Yani çıkarma, toplamanın özel bir halidir.
5) Beşinci eylem. matris çarpımı.
Hangi matrisler çarpılabilir?
Bir matrisin bir matrisle çarpılabilmesi için, matrisin sütun sayısı matrisin satır sayısına eşit olacak şekilde.
Örnek:
Bir matrisi bir matrisle çarpmak mümkün müdür?
Böylece matrisin verilerini çarpabilirsiniz.
Ancak matrisler yeniden düzenlenirse, bu durumda çarpma artık mümkün değildir!
Bu nedenle, çarpma imkansızdır:
Bir öğrenciden çarpması açıkça imkansız olan matrisleri çarpması istendiğinde, hile içeren görevler için alışılmadık bir durum değildir.
Bazı durumlarda matrisleri her iki şekilde de çarpmanın mümkün olduğuna dikkat edilmelidir.
Örneğin, matrisler için hem çarpma hem de çarpma mümkündür.
Matrislerin ana uygulamaları, işlemle ilgilidir. çarpma işlemi.
Verilen iki matris:
A - beden mn
B - beden n 
k
Çünkü A matrisindeki satırın uzunluğu, B matrisindeki sütunun yüksekliği ile çakışıyorsa, m boyutlarına sahip olacak C=AB matrisini tanımlayabilirsiniz. 
k. eleman 
keyfi bir i'inci satırda (i=1,…,m) ve keyfi bir j'inci sütunda (j=1,…,k) bulunan matris C, tanım gereği iki vektörün skaler çarpımına eşittir. 
: A matrisinin i. satırı ve B matrisinin j. sütunu:
Özellikler:
A matrisini λ sayısıyla çarpma işlemi nasıl tanımlanır?
A'nın λ sayısı ile çarpımı, her elemanı A'nın ilgili elemanının λ ile çarpımına eşit olan bir matristir. Sonuç: Tüm matris elemanlarının ortak çarpanı, matris işaretinden çıkarılabilir.
13. Ters matrisin tanımı ve özellikleri.
Tanım. Koşulu sağlayan aynı mertebeden X ve A kare matrisleri varsa:
burada E, A matrisi ile aynı mertebeden birim matristir, o zaman X matrisi denir tersi A matrisine ve A-1 ile gösterilir.
ters matrislerin özellikleri
Ters matrislerin aşağıdaki özelliklerini gösterelim:
1) (A -1) -1 = A;
2) (AB) -1 = B -1 Bir -1
3) (AT) -1 = (A -1) T .
1. Bir ters matris varsa, o zaman benzersizdir.
2. Her sıfır olmayan kare matrisin tersi yoktur.
14. Determinantların temel özelliklerini veriniz.|AB|=|A|*|B| özelliğini kontrol edin matrisler için
bir= 
ve B= 
Belirleyicilerin özellikleri:
1. Determinantın herhangi bir satırı sıfırlardan oluşuyorsa, determinantın kendisi sıfıra eşittir.
2. İki dizi değiştirildiğinde, determinant -1 ile çarpılır.
3. İki özdeş diziye sahip determinant sıfıra eşittir.
4. Herhangi bir satırın elemanlarının ortak böleni determinantın işaretinden çıkarılabilir.
5. A determinantının belirli bir satırının elemanları iki terimin toplamı olarak sunulursa, determinantın kendisi iki determinant B ve D'nin toplamına eşittir. B determinantında, belirtilen dize ilk oluşur terimler, ikinci terimlerin D'sinde. Belirleyici B ve D'nin kalan satırları A'daki ile aynıdır.
6. Dizilerden birine başka bir dizi eklenir ve herhangi bir sayı ile çarpılırsa determinantın değeri değişmez.
7. Herhangi bir satırın öğelerinin ve başka bir satırın karşılık gelen öğelerine cebirsel eklemelerin toplamı 0'dır.
8. A matrisinin determinantı, devrik A m matrisinin determinantına eşittir, yani. determinant transpoze edildiğinde değişmez.
15. Bir karmaşık sayının modülünü ve bağımsız değişkenini tanımlayın. √3+ sayılarını trigonometrik biçimde yazınBen, -1+ Ben.
Her z=a+ib karmaşık sayısına bir (a,b)€R 2 vektörü atanabilir. Bu vektörün uzunluğu, √a 2 + b 2'ye eşittir. karmaşık sayı modülü z ve |z| ile gösterilir. Verilen vektör ile Öküz ekseninin pozitif yönü arasındaki φ açısına denir. karmaşık sayı bağımsız değişkeni z ve arg z ile gösterilir.
Herhangi bir karmaşık sayı z≠0, z=|z|(cosφ +isinφ) olarak temsil edilebilir.
Karmaşık bir sayının bu şekilde yazılmasına trigonometrik denir.
√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);
1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).
Her karmaşık sayı Z = a + ib'ye R^2'ye ait bir vektör (a; b) atanabilir. a^2 + b^2'nin CV'sine eşit olan bu vektörün uzunluğuna karmaşık sayının modülü denir ve Z modülü ile gösterilir. Bu vektör ile Öküz ekseninin pozitif yönü arasındaki açıya denir. karmaşık sayının bağımsız değişkeni (arg Z ile gösterilir).
Matris ilavesi:
Matris çıkarma ve toplamaöğeleri üzerinde karşılık gelen işlemlere indirgenir. Matris toplama işlemi sadece için girildi matrisler aynı boyutta, yani matrisler sırasıyla aynı sayıda satır ve sütuna sahip olan . matrislerin toplamı A ve B denir matris Elemanları karşılık gelen elemanların toplamına eşit olan C. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij matris farkı.
Bir matrisi bir sayı ile çarpmak:
Matris çarpma (bölme) işlemi herhangi bir boyutun keyfi bir sayı ile her öğenin çarpılmasına (bölülmesine) indirgenir matrisler bu numara için matris ürünü Ve k sayısı denir matris B öyle ki
b ij = k × bir ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Matris- A \u003d (-1) × A'nın tersi denir matris A.
Matris toplama ve matris çarpma özellikleri:
Matris toplama işlemleri Ve matris çarpımları bir sayıda aşağıdaki özelliklere sahiptir: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1×A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , burada A, B ve C matrislerdir, α ve β sayılardır.
Matris Çarpımı (Matris Çarpımı):
İki matrisi çarpma işlemi yalnızca ilk sütun sayısının olduğu durum için girilir. matrisler ikinci satır sayısına eşittir matrisler. matris ürünü Ve m × n üzerinde matris n×p'de , denir matrisС m×p öyle ki с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , yani i -inci sıradaki elemanların çarpımlarının toplamını bulun matrisler Ve j -th sütununun karşılık gelen elemanlarında matrisler B. Eğer matrisler A ve B aynı büyüklükte kareler olduğuna göre, AB ve BA çarpımları her zaman vardır. A × E = E × A = A olduğunu göstermek kolaydır, burada A bir karedir matris, E - tek matris aynı beden.
Matris çarpma özellikleri:
matris çarpımı değişmeli değil, yani AB ≠ BA her iki çarpım da tanımlanmış olsa bile. Ancak, eğer herhangi biri için matrisler AB = BA ilişkisi karşılanır, o zaman böyle matrisler permütasyon denir. En tipik örnek, bekar matris, başka herhangi biriyle değiştirilebilen matris aynı beden. Permütasyon sadece kare olabilir matrisler aynı düzende. Bir × E = E × Bir = Bir
matris çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. Bir × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × Bir = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = AT + B T;
2. 2. ve 3. dereceden belirleyiciler. Determinantların özellikleri.
matris determinantı ikinci dereceden veya belirleyici ikinci sıra, formülle hesaplanan sayı olarak adlandırılır:
matris determinantıüçüncü dereceden veya belirleyiciüçüncü sıra, formülle hesaplanan sayı olarak adlandırılır:
Bu sayı, altı terimden oluşan cebirsel bir toplamı temsil eder. Her terim, her satırdan ve her sütundan tam olarak bir öğe içerir matrisler. Her terim üç faktörün çarpımından oluşur.
Hangi üyelerle işaretler matris determinantı formüle dahildir bulma matrisi determinantıüçüncü sıra, üçgenler kuralı veya Sarrus kuralı olarak adlandırılan yukarıdaki şema kullanılarak belirlenebilir. İlk üç terim artı işaretiyle alınır ve soldaki şekilden belirlenir, sonraki üç terim eksi işaretiyle alınır ve sağdaki şekilden belirlenir.
Bulunacak terim sayısını belirleyin matris determinantı, cebirsel bir toplamda faktöriyelini hesaplayabilirsiniz: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1x2x3 = 6
Matris Belirleyici Özellikler
Matris belirleyici özellikleri:
Mülk #1:
Matris belirleyici satırları sütunlarla, her satırı aynı numaraya sahip bir sütunla değiştirilirse ve bunun tersi de değişmez (Transposition). |A| = |A| T
Sonuçlar:
Sütunlar ve satırlar matris determinantı eşittir, bu nedenle satırlarda bulunan özellikler sütunlar için de gerçekleştirilir.
Mülk #2:
2 satırı veya sütunu değiştirirken matris determinantı mutlak değeri koruyarak işareti tersine değiştirir, yani:
Mülk #3:
Matris belirleyici iki özdeş satırı olan , sıfıra eşittir.
Mülk #4:
Herhangi bir serinin elemanlarının ortak çarpanı matris determinantı işaretten çıkarılabilir belirleyici.
3 ve 4 numaralı özelliklerin sonuçları:
Belirli bir dizinin (satır veya sütun) tüm öğeleri, paralel bir dizinin karşılık gelen öğeleriyle orantılıysa, o zaman böyle matris determinantı sıfıra eşittir.
Mülk #5:
matris determinantı sıfıra eşittir, o zaman matris determinantı sıfıra eşittir.
Mülk #6:
Herhangi bir satır veya sütunun tüm öğeleri ise belirleyici 2 terimin toplamı olarak sunulur, sonra belirleyici matrisler 2'nin toplamı olarak temsil edilebilir belirleyiciler formüle göre:
Mülk #7:
Herhangi bir satıra (veya sütuna) belirleyici başka bir satırın (veya sütunun) karşılık gelen öğelerini aynı sayı ile çarparak ekleyin, ardından matris determinantı değerini değiştirmeyecektir.
Özellikleri bir hesaplamaya uygulama örneği matris determinantı:
