Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama. Bir matrisin rütbesinin belirlenmesi. Tanım gereği bir matrisin rütbesini hesaplama

Tanım. Matris sıralaması vektör olarak kabul edilen doğrusal olarak bağımsız satırların maksimum sayısıdır.

Bir matrisin rütbesine ilişkin Teorem 1. Matris sıralaması bir matrisin sıfır olmayan bir minörünün maksimum derecesidir.

Belirleyiciler dersinde minör kavramını daha önce tartışmıştık ve şimdi bunu genelleştireceğiz. Matristeki bazı satır ve sütunları ele alalım ve bu "bir şey" matrisin satır ve sütun sayısından küçük olmalı ve satır ve sütunlar için bu "bir şey" aynı sayı olmalıdır. Daha sonra kaç satır ve kaç sütunun kesişiminde orijinal matrisimizden daha küçük mertebeden bir matris olacaktır. Bahsedilen "bir şey" (satır ve sütun sayısı) k ile gösterilirse, bu matrisin determinantı k'inci dereceden küçük olacaktır.

Tanım. Küçük ( R+1)-inci sıra, içinde seçilen minör yer alır R-th sırasına, verilen küçük için bordering denir.

En sık kullanılan iki yöntem bir matrisin rütbesini bulma. Bu reşit olmayanları dışlamanın yolu Ve temel dönüşümler yöntemi(Gauss yöntemiyle).

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teoremi kullanır.

Bir matrisin rütbesine ilişkin Teorem 2. Matrisin unsurlarından bir minör oluşturmak mümkünse R sıfıra eşit olmayan sıra, o zaman matrisin sırası eşittir R.

Temel dönüşümler yöntemiyle aşağıdaki özellik kullanılır:

Temel dönüşümlerle orijinaline eşdeğer bir yamuk matris elde edilirse, o zaman bu matrisin rütbesi tamamen sıfırlardan oluşan satırlar hariç, içindeki satır sayısıdır.

Küçükleri sınırlama yöntemiyle bir matrisin rütbesini bulma

Sınırdaki bir küçük, eğer daha yüksek dereceden bu minör, verilen minörü içeriyorsa, verilene göre daha yüksek dereceden bir minördür.

Örneğin, verilen matris

Haydi küçük bir tane alalım

kenarlar böyle küçükler olacak:

Bir matrisin rütbesini bulmak için algoritma Sonraki.

1. İkinci dereceden sıfıra eşit olmayan küçükleri buluyoruz. Eğer ikinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi bire eşit olacaktır ( R =1 ).

2. Sıfıra eşit olmayan en az bir ikinci dereceden küçük varsa, o zaman üçüncü dereceden sınırlayıcı minörler oluştururuz. Üçüncü dereceden sınırdaki tüm küçükler sıfırsa, matrisin sırası ikidir ( R =2 ).

3. Üçüncü dereceden sınırdaki küçüklerden en az biri sıfıra eşit değilse, onu çevreleyen küçükleri oluştururuz. Sınırdaki dördüncü dereceden küçüklerin tümü sıfırsa, matrisin sırası üçtür ( R =2 ).

4. Matrisin boyutu izin verdiği sürece devam edin.

örnek 1 Bir matrisin rütbesini bulun

.

Çözüm. İkinci dereceden küçük .

Çerçeveliyoruz. Sınırda dört küçük çocuk olacak:

,

,

Böylece, tüm sınırdaki üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle bu matrisin sırası ikidir ( R =2 ).

Örnek 2 Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin sıralaması 1'dir, çünkü bu matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri sıfıra eşittir (bunda, sonraki iki örnekte sınırdaki küçükler durumunda olduğu gibi, sevgili öğrenciler, belki de kendilerini doğrulamaya davet edilirler). determinantların hesaplanması için kuralların kullanılması) ve birinci dereceden küçükler arasında, yani matrisin elemanları arasında sıfıra eşit değildir.

Örnek 3 Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin ikinci dereceden küçükleri ve bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfırdır. Dolayısıyla bu matrisin rütbesi ikidir.

Örnek 4 Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin rütbesi 3'tür çünkü bu matrisin üçüncü dereceden tek minörü 3'tür.

Bir matrisin rütbesini temel dönüşümler yöntemiyle bulma (Gauss yöntemiyle)

Zaten Örnek 1'de, küçüklerin sınırlanması yöntemiyle bir matrisin rütbesini belirleme probleminin çok sayıda determinantın hesaplanmasını gerektirdiği görülebilir. Ancak hesaplama miktarını en aza indirmenin bir yolu vardır. Bu yöntem temel matris dönüşümlerinin kullanımına dayanır ve Gauss yöntemi olarak da adlandırılır.

Bir matrisin temel dönüşümleri aşağıdaki işlemler anlamına gelir:

1) matrisin herhangi bir satırının veya sütununun sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;

2) matrisin herhangi bir satırının veya herhangi bir sütununun elemanlarına, başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının aynı sayıyla çarpılmasıyla eklenmesi;

3) bir matrisin iki satırının veya sütununun değiştirilmesi;

4) "boş" satırların, yani tüm elemanları sıfıra eşit olanların kaldırılması;

5) Biri hariç tüm orantılı çizgilerin silinmesi.

Teorem. Temel dönüşüm matrisin sırasını değiştirmez. Başka bir deyişle, matristeki temel dönüşümleri kullanırsak A matrise git B, O .

>>Matris sıralaması

Matris sıralaması

Bir matrisin rütbesini belirleme

Dikdörtgensel bir matris düşünün. Bu matriste keyfi olarak seçim yaparsak kçizgiler ve k sütunlar seçilirse, seçilen satır ve sütunların kesişimindeki öğeler k'inci dereceden bir kare matris oluşturur. Bu matrisin determinantına denir k-inci derece küçük A matrisi. Açıkçası, A matrisinin 1'den m ve n sayılarının en küçüğüne kadar herhangi bir düzende küçükleri vardır. A matrisinin sıfır olmayan tüm küçükleri arasında mertebesi en büyük olan en az bir küçük vardır. Belirli bir matrisin küçüklerinin sıfırdan farklı derecelerinin en büyüğüne denir rütbe matrisler. A matrisinin rütbesi ise R, o zaman bu, A matrisinin sıfırdan farklı bir mertebeye sahip olduğu anlamına gelir R, ancak her küçük mertebeden büyük R, sıfıra eşittir. A matrisinin rütbesi r(A) ile gösterilir. İlişkinin olduğu açıktır

Küçükleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

Bir matrisin sıralaması ya küçüklerin sınırlanmasıyla ya da temel dönüşüm yöntemiyle bulunur. Bir matrisin sıralamasını ilk olarak hesaplarken, düşük dereceli minörlerden yüksek dereceli minörlere geçilmelidir. A matrisinin k'inci dereceden sıfır olmayan bir küçük D zaten bulunmuşsa, o zaman yalnızca küçük D'yi çevreleyen (k + 1)'inci dereceden küçüklerin hesaplanması gerekir, yani. onu reşit olmayan bir çocuk olarak içeriyor. Eğer hepsi sıfır ise matrisin rütbesi k.

örnek 1Küçükleri sınırlama yöntemiyle bir matrisin rütbesini bulun

.

Çözüm.1. dereceden küçüklerle başlıyoruz, yani. A matrisinin elemanlarından. Örneğin, ilk satırda ve ilk sütunda bulunan küçük (eleman) М 1 = 1'i seçelim. İkinci sıra ve üçüncü sütunun yardımıyla sınırlayarak sıfırdan farklı olan küçük M 2 = değerini elde ederiz. Şimdi M2 sınırındaki 3. dereceden küçüklere dönüyoruz. Bunlardan yalnızca iki tane var (ikinci veya dördüncü bir sütun ekleyebilirsiniz). Bunları hesaplıyoruz: = 0. Böylece, üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçüklerin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. A matrisinin rütbesi ikidir.

Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

İlköğretimAşağıdaki matris dönüşümleri denir:

1) herhangi iki satırın (veya sütunun) permütasyonu,

2) bir satırı (veya sütunu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,

3) bir satıra (veya sütuna) başka bir satır (veya sütun) ekleyerek bir sayıyla çarpmak.

İki matris denir eş değer, eğer bunlardan biri diğerinden sonlu bir dizi temel dönüşüm yardımıyla elde edilirse.

Eşdeğer matrisler genel olarak eşit değildir ancak rütbeleri eşittir. A ve B matrisleri eşdeğerse bu şu şekilde yazılır: A~b.

Kanonikbir matris, ana köşegenin başlangıcında arka arkaya birkaç 1'e sahip olan (sayı sıfır olabilir) ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir matristir, örneğin,

.

Satır ve sütunların temel dönüşümlerinin yardımıyla herhangi bir matris kanonik bir matrise indirgenebilir. Kanonik bir matrisin rütbesi, ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.

Örnek 2Bir matrisin rütbesini bulun

bir=

ve onu kanonik forma getirin.

Çözüm.İlk satırı ikinci sıradan çıkarın ve bu satırları yeniden düzenleyin:

.

Şimdi ikinci ve üçüncü satırlardan birinciyi sırasıyla 2 ve 5 ile çarparak çıkarın:

;

birinciyi üçüncü satırdan çıkarın; matrisi alıyoruz

B = ,

A matrisine eşdeğerdir, çünkü ondan sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde edilir. Açıkçası, B matrisinin rütbesi 2'dir ve dolayısıyla r(A)=2'dir. B matrisi kolaylıkla kanonik olana indirgenebilir. İlk sütunu uygun sayılarla çarparak sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ilk satırın ilk hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve geri kalan satırların öğeleri değişmez. Daha sonra, uygun sayılarla çarpılan ikinci sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ikinci satırın ikinci hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve kanonik matrisi elde ederiz:

.

Ayrıca konunun önemli bir pratik uygulamasını da düşünün: uyumluluk için bir doğrusal denklem sisteminin incelenmesi.

Bir matrisin rütbesi nedir?

Makalenin mizahi epigrafı büyük oranda gerçek içeriyor. "Rütbe" kelimesinin kendisi genellikle bir tür hiyerarşiyle, çoğunlukla da kariyer basamaklarıyla ilişkilendirilir. Bir kişinin sahip olduğu bilgi, deneyim, yetenek, bağlantı vb. - konumu ve fırsat yelpazesi ne kadar yüksek olursa. Gençlik açısından rütbe, genel "sertlik" derecesini ifade eder.

Ve matematik kardeşlerimiz de aynı prensiplerle yaşıyorlar. Hadi birkaç keyfi yürüyüşe çıkalım sıfır matrisler:

Matriste olup olmadığını düşünelim sadece sıfırlar peki hangi rütbeden bahsedebiliriz? Herkes resmi olmayan "toplam sıfır" ifadesine aşinadır. Matrix toplumunda her şey tamamen aynıdır:

Sıfır matris sıralamasıherhangi bir boyut sıfırdır.

Not : sıfır matrisi Yunanca "teta" harfiyle gösterilir

Matrisin sıralamasını daha iyi anlamak için bundan sonra materyallerden yararlanacağım. analitik geometri. Sıfırı düşünün vektör Belli bir yön belirlemeyen ve inşa etmek için kullanışsız olan üç boyutlu uzayımızın afin temeli. Cebirsel açıdan bakıldığında, belirli bir vektörün koordinatları şöyle yazılır: matris"bire üç" ve mantıksal (belirtilen geometrik anlamda) bu matrisin rütbesinin sıfır olduğunu varsayalım.

Şimdi birkaçına bakalım sıfır olmayan sütun vektörleri Ve satır vektörleri:


Her örneğin en az bir boş olmayan öğesi vardır ve bu da bir şeydir!

Sıfır olmayan herhangi bir satır vektörünün (sütun vektörü) sırası bire eşittir

Ve genel olarak konuşursak - matriste ise keyfi boyutlar sıfır olmayan en az bir öğeye sahipse sıralaması Az değil birimler.

Cebirsel satır ve sütun vektörleri bir dereceye kadar soyuttur, o yüzden tekrar geometrik ilişkilendirmeye dönelim. sıfır olmayan vektör uzayda iyi tanımlanmış bir yön belirler ve inşaat için uygundur temel dolayısıyla matrisin rütbesinin bire eşit olduğu varsayılacaktır.

Teorik arka plan : Lineer cebirde bir vektör, bir vektör uzayının (8 aksiyomla tanımlanır) bir elemanıdır; bu, özellikle tanımlanan bir gerçek sayıyla toplama ve çarpma işlemleriyle gerçek sayıların sıralı bir satırı (veya sütunu) olabilir. onlar için. Vektörler hakkında daha fazla bilgi için makaleye bakın Doğrusal dönüşümler.

doğrusal bağımlı(birbirleri aracılığıyla ifade edilir). Geometrik açıdan ikinci çizgi eşdoğrusal vektörün koordinatlarını içerir. , inşaatta meseleyi ilerletmedi üç boyutlu temel, bu anlamda gereksizdir. Dolayısıyla bu matrisin rütbesi de bire eşittir.

Vektörlerin koordinatlarını sütunlara yeniden yazıyoruz ( matrisi transpoze et):

Sıralamada neler değişti? Hiç bir şey. Sütunlar orantılıdır, yani sıra bire eşittir. Bu arada, üç çizginin de orantılı olduğunu unutmayın. Koordinatlarla tanımlanabilirler üç düzlemin eşdoğrusal vektörleri, bunlardan sadece bir"düz" bir temel oluşturmak için kullanışlıdır. Ve bu bizim geometrik sıralama anlayışımızla tam bir uyum içindedir.

Yukarıdaki örnekten önemli bir açıklama geliyor:

Bir matrisin satır bazında sıralaması, bir matrisin sütun bazında sıralamasına eşittir. Etkililik dersinde bundan biraz bahsetmiştim. determinantı hesaplama yöntemleri.

Not : Satırların doğrusal bağımlılığı sütunların doğrusal bağımlılığına yol açar (ve bunun tersi). Ancak zamandan tasarruf etmek için ve alışkanlıktan dolayı neredeyse her zaman sicimlerin doğrusal bağımlılığından bahsedeceğim.

Sevgili evcil hayvanımızı eğitmeye devam edelim. Başka bir eşdoğrusal vektörün koordinatlarını üçüncü satırdaki matrise ekleyin :

Üç boyutlu bir temel oluşturmamıza yardımcı oldu mu? Tabii ki değil. Her üç vektör de aynı yol boyunca ileri geri yürür ve matrisin rütbesi birdir. İstediğiniz kadar eşdoğrusal vektörü (örneğin 100) alıp koordinatlarını 100'e 3'lük bir matrise koyabilirsiniz ve böyle bir gökdelenin rütbesi yine bir olarak kalacaktır.

Satırları olan matrisi tanıyalım. Doğrusal bağımsız. Üç boyutlu bir temel oluşturmak için bir çift doğrusal olmayan vektör uygundur. Bu matrisin rütbesi ikidir.

Matrisin rütbesi nedir? Çizgiler orantılı görünmüyor... yani teoride üç. Ancak bu matrisin rütbesi de ikiye eşittir. İlk iki satırı ekledim ve sonucu aşağıya yazdım, yani. doğrusal olarak ifade edilmiş ilk ikiden üçüncü satır. Geometrik olarak matrisin satırları üç koordinata karşılık gelir. eş düzlemli vektörler ve bu üçlü arasında aynı doğrultuda olmayan bir çift yoldaş var.

Gördüğünüz gibi doğrusal bağımlılık dikkate alınan matriste açık değil ve bugün onu "temiz suya" nasıl getireceğimizi öğreneceğiz.

Sanırım birçok kişi bir matrisin rütbesinin ne olduğunu tahmin ediyor!

Satırları olan bir matris düşünün Doğrusal bağımsız. Vektörler formu afin temeli ve bu matrisin rütbesi üçtür.

Bildiğiniz gibi üç boyutlu uzayın herhangi bir dördüncü, beşinci, onuncu vektörü temel vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilecektir. Bu nedenle matrise herhangi bir sayıda satır eklenirse sıralaması hala üç olacak.

Daha büyük boyutlardaki matrisler için de benzer bir akıl yürütme yapılabilir (açıkçası, zaten geometrik anlamı yoktur).

Tanım : matris sıralaması doğrusal olarak bağımsız satırların maksimum sayısıdır. Veya: bir matrisin sırası, doğrusal olarak bağımsız sütunların maksimum sayısıdır. Evet, her zaman eşleşirler.

Yukarıdakilerden önemli bir pratik kılavuz çıkar: bir matrisin rütbesi minimum boyutunu aşmaz. Örneğin, matriste dört satır ve beş sütun. Minimum boyut dört olduğundan bu matrisin sıralaması kesinlikle 4'ü geçmeyecektir.

Gösterim: dünya teorisinde ve pratiğinde matrisin rütbesini belirlemek için genel kabul görmüş bir standart yoktur, en yaygın olanı bulunabilir: - dedikleri gibi, bir İngiliz bir şey yazar, bir Alman başka bir şey yazar. Bu nedenle, Amerikan ve Rus cehennemiyle ilgili iyi bilinen anekdota dayanarak, matrisin rütbesini yerel bir kelimeyle belirleyelim. Örneğin: . Ve matris "isimsiz" ise, ki bunlardan çok var, o zaman basitçe yazabilirsiniz .

Küçükleri kullanarak bir matrisin rütbesini nasıl bulabilirim?

Büyükannemizin matriste beşinci bir sütunu varsa, o zaman başka bir 4. dereceden küçük ("mavi", "ahududu" + 5. sütun) hesaplanması gerekirdi.

Çözüm: sıfır olmayan bir minörün maksimum sırası üçtür, yani .

Belki de herkes bu cümleyi tam olarak anlamadı: 4. dereceden küçükler sıfıra eşittir, ancak 3. dereceden küçükler arasında sıfır olmayan bir tane vardı - bu nedenle maksimum sıra sıfır olmayan küçük ve üçe eşittir.

Soru ortaya çıkıyor, neden determinantı hemen hesaplamıyorsunuz? Öncelikle, çoğu görevde matris kare değildir ve ikincisi, sıfırdan farklı bir değer alsanız bile, genellikle standart bir "aşağıdan yukarıya" ima ettiği için görev yüksek olasılıkla reddedilecektir. çözüm. Ve ele alınan örnekte, 4. derecenin sıfır determinantı, matrisin sıralamasının yalnızca dörtten az olduğunu iddia etmemize bile izin veriyor.

Küçükleri sınırlama yöntemini daha iyi açıklayabilmek için analiz edilen problemi kendim bulduğumu itiraf etmeliyim. Gerçek pratikte her şey daha basittir:

Örnek 2

Küçüklerin saçaklanması yöntemiyle bir matrisin rütbesini bulun

Dersin sonunda çözüm ve cevap.

Algoritma ne zaman en hızlı çalışıyor? Aynı 4x4 matrise geri dönelim . Açıkçası, "iyi" durumunda çözüm en kısa olacaktır. köşe küçükleri:

Ve eğer öyleyse, aksi takdirde - .

Düşünme hiç de varsayımsal değildir; her şeyin yalnızca açısal küçüklerle sınırlı olduğu birçok örnek vardır.

Ancak bazı durumlarda başka bir yöntem daha etkili ve tercih edilir:

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini nasıl bulabilirim?

Bu bölüm bu konuya zaten aşina olan okuyucular için tasarlanmıştır. Gauss yöntemi ve yavaş yavaş ellerine geçtiler.

Teknik açıdan bakıldığında yöntem yeni değil:

1) temel dönüşümleri kullanarak matrisi adımlı bir forma getiriyoruz;

2) matrisin sırası satır sayısına eşittir.

Oldukça açık ki Gauss yöntemini kullanmak matrisin sırasını değiştirmez ve buradaki öz son derece basittir: algoritmaya göre, temel dönüşümler sırasında, tüm gereksiz orantılı (doğrusal olarak bağımlı) çizgiler tanımlanır ve kaldırılır, bunun sonucunda bir "kuru kalıntı" kalır - maksimum sayı doğrusal bağımsız çizgiler.

Eski tanıdık matrisi üç eşdoğrusal vektörün koordinatlarıyla dönüştürelim:

(1) Birinci satır ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. Üçüncü satıra ilk satır eklendi.

(2) Sıfır satırlar silinir.

Yani geriye bir satır kaldı, dolayısıyla . Söylemeye gerek yok ki bu, 2. dereceden dokuz sıfır minörün hesaplanmasından ve ancak o zaman bir sonuca varılmasından çok daha hızlıdır.

Bunu sana hatırlatırım cebirsel matris hiçbir şey değiştirilemez ve dönüşümler yalnızca rütbeyi bulmak amacıyla yapılır! Bu arada soru üzerinde tekrar duralım, neden olmasın? Kaynak Matrisi Matris ve satır bilgilerinden temelde farklı olan bilgileri taşır. Bazı matematiksel modellerde (abartmadan), bir sayıdaki fark ölüm kalım meselesi olabilir. ... En ufak bir yanlışlık veya algoritmadan sapma nedeniyle notu acımasızca 1-2 puan kesen ilk ve orta sınıflardaki okul matematik öğretmenlerini hatırladım. Ve görünüşte garantili "beş" yerine "iyi" veya hatta daha kötü çıkması son derece hayal kırıklığı yarattı. Anlayış çok sonra geldi - bir kişiye uyduları, nükleer savaş başlıklarını ve enerji santrallerini başka nasıl emanet edebiliriz? Ama merak etmeyin bu alanlarda çalışmıyorum =)

Diğer şeylerin yanı sıra önemli hesaplama tekniklerini tanıyacağımız daha anlamlı görevlere geçelim. Gauss yöntemi:

Örnek 3

Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm: dörde beşlik bir matris verildiğinde, bu onun sıralamasının kesinlikle 4'ten fazla olmadığı anlamına gelir.

İlk sütunda 1 veya -1 yoktur, bu nedenle en az bir birim elde etmek için ek adımlara ihtiyaç vardır. Sitenin tüm varlığı boyunca bana defalarca şu soru soruldu: "Temel dönüşümler sırasında sütunları yeniden düzenlemek mümkün mü?". Burada - birinci veya ikinci sütunu yeniden düzenledik ve her şey yolunda! Çoğu görevde Gauss yöntemi, sütunlar gerçekten yeniden düzenlenebilir. AMA YAPMAYIN. Ve mesele, değişkenlerle olası bir karışıklık bile değil, mesele şu ki, yüksek matematik öğretiminin klasik dersinde bu eylem geleneksel olarak dikkate alınmaz, bu nedenle, böyle bir reverans ÇOK çarpık bir şekilde incelenecektir (veya hatta her şeyi yeniden yapmaya zorlanacaktır) .

İkinci nokta sayılarla ilgilidir. Karar verirken aşağıdaki genel kurala göre hareket etmek faydalıdır: temel dönüşümler mümkünse matrisin sayılarını azaltmalıdır. Gerçekten de, bir-iki-üç ile çalışmak, örneğin 23, 45 ve 97 ile çalışmak yerine çok daha kolaydır. Ve ilk eylem, yalnızca ilk sütunda bir birim elde etmeyi değil, aynı zamanda sayıları ortadan kaldırmayı da amaçlamaktadır. 7 ve 11.

Önce tam çözüm, sonra yorumlar:

(1) Birinci satır ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi. Ve yığına: 1. satır -1 ile çarpılarak 4. satıra eklendi.

(2) Son üç satır orantılıdır. 3. ve 4. satırlar silindi, ikinci satır birinci sıraya taşındı.

(3) Birinci satır ikinci satıra -3 ile çarpılarak eklenir.

Kademeli bir forma indirgenen matrisin iki satırı vardır.

Cevap:

Şimdi 4'e 4'lük matrise işkence etme sırası sizde:

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulun

sana şunu hatırlatıyorum Gauss yöntemi kesin bir katılık anlamına gelmez ve sizin çözümünüz muhtemelen benim çözümümden farklı olacaktır. Dersin sonunda görevin kısa bir örneği.

Bir matrisin rütbesini bulmak için hangi yöntem kullanılır?

Pratikte çoğu zaman sıralamanın bulunmasında hangi yöntemin kullanılması gerektiği söylenmez. Böyle bir durumda, durumu analiz etmek gerekir - bazı matrisler için çözümü küçükler aracılığıyla gerçekleştirmek daha rasyoneldir, diğerleri için ise temel dönüşümleri uygulamak çok daha karlıdır:

Örnek 5

Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm: ilk yol bir şekilde hemen kayboluyor =)

Biraz daha yüksek, matrisin sütunlarına dokunmamayı tavsiye ettim, ancak sıfır sütun veya orantılı / eşleşen sütunlar olduğunda, yine de kesmeye değer:

(1) Beşinci sütun sıfırdır, onu matristen çıkarıyoruz. Böylece matrisin rütbesi en fazla dört olur. İlk satır -1 ile çarpılır. Bu, Gauss yönteminin bir başka imza özelliğidir ve aşağıdaki eylemi keyifli bir yürüyüş haline getirir:

(2) İkinci satırdan başlayarak tüm satırlara ilk satır eklendi.

(3) Birinci satır -1 ile çarpılır, üçüncü satır 2'ye bölünür, dördüncü satır 3'e bölünür. İkinci satır -1 ile çarpılarak beşinci satıra eklenir.

(4) Üçüncü satır beşinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi.

(5) Son iki satır orantılıdır, beşincisini siliyoruz.

Sonuç 4 satırdır.

Cevap:

Kendini keşfetmeye yönelik standart beş katlı bina:

Örnek 6

Bir matrisin rütbesini bulun

Dersin sonunda kısa çözüm ve cevap.

"Matris sıralaması" ifadesinin pratikte çok yaygın olmadığı ve çoğu problemde onsuz yapabileceğiniz unutulmamalıdır. Ancak ele alınan kavramın ana karakter olduğu bir görev var ve makalenin sonunda bu pratik uygulamayı ele alacağız:

Doğrusal denklem sisteminin uyumluluğu nasıl araştırılır?

Çoğu zaman, çözmenin yanı sıra doğrusal denklem sistemleri koşula göre öncelikle uyumluluğunun incelenmesi, yani herhangi bir çözümün var olduğunun kanıtlanması gerekir. Bu doğrulamada önemli bir rol şu kişiler tarafından oynanır: Kronecker-Capelli teoremi, bunu gerekli biçimde formüle edeceğim:

Sıralama ise sistem matrisleri rütbeye eşit artırılmış matris sistemi, o zaman sistem tutarlıdır ve verilen sayı bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşüyorsa çözüm benzersizdir.

Bu nedenle, sistemi uyumluluk açısından incelemek için eşitliği kontrol etmek gerekir. , Nerede - sistem matrisi(dersteki terminolojiyi hatırlayın Gauss yöntemi), A - artırılmış matris sistemi(yani değişkenlerdeki katsayıları içeren matris + serbest terimler sütunu).

\((m,n)\) türünde bir \(A\) matrisi düşünün. Kesinlik için \(m \leq n\) olsun. \(m\) satır alın ve \(A\) matrisinin \(m\) sütununu seçin, bu satır ve sütunların kesişiminde determinantı \(m\) düzeyinde bir kare matris elde ederiz. isminde küçük sipariş \(m\) matrisler \(A\). Bu minör 0'dan farklı ise buna denir. temel yan dal ve \(A\) matrisinin rütbesinin \(m\) olduğunu söyleyin. Bu determinant 0'a eşitse, diğer \(m\) sütunları seçilir, bunların kesişiminde \(m\) mertebesinden başka bir küçük oluşturan öğeler vardır. Eğer minör 0 ise işleme devam ediyoruz. Eğer \(m\) mertebesindeki tüm olası küçükler arasında sıfırdan farklı olanlar yoksa, \(A\) matrisinden \(m-1\) satır ve sütunları seçeriz; bunların kesişiminde \ mertebesinden bir kare matris bulunur. (m-1\) göründüğünde, bunun determinantına orijinal matrisin küçük mertebesi \(m-1\) denir. Prosedüre devam ederek sıfır olmayan bir küçük arıyoruz, olası tüm küçükleri gözden geçirerek sıralarını düşürüyoruz.

Tanım.

Belirli bir matrisin en yüksek mertebeden sıfır olmayan minörüne denir temel yan dal orijinal matrisin sırası denir rütbe Kesişme noktasında temel küçük olan matrisler \(A\), satırlar ve sütunlara temel satırlar ve sütunlar denir. Bir matrisin rütbesi \(rang(A)\) ile gösterilir.

Bir matrisin rütbesinin basit özellikleri bu tanımın sonucudur: matris bir tamsayıdır ve sıfır olmayan bir matrisin rütbesi eşitsizlikleri karşılar: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\ ).

Bir satırın üzeri çizilirse matrisin sırası nasıl değişir? Biraz satır ekle?

Cevabı kontrol et

1) Sıralama 1 birim azalabilir.

2) Sıralama 1 birim artabilir.

\(A\) \((m,n)\) tipinde bir matris olsun. \(A\) matrisinin sütunlarını düşünün; bunların her biri \(m\) sayıdan oluşan sütunlardır. Bunları \(A_1,A_2,...,A_n\) olarak gösterelim. \(c_1,c_2,...,c_n\) bazı sayılar olsun.

Tanım.

\[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] sütununa \(A_1,A_2,...,A_n\) sütunlarının doğrusal birleşimi denir, sayılar \(c_1,c_2 ,...,c_n\) bu doğrusal birleşimin katsayıları olarak adlandırılır.

Tanım.

\(p\) sütunları \(A_1, A_2, ..., A_p\) verilsin. Eğer \(c_1,c_2,...,c_p\) sayıları varsa, öyle ki

1. bu sayıların hepsi sıfır değil,

2. \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) doğrusal kombinasyonu sıfır sütununa (yani tüm öğeleri sıfır olan sütun) eşittir, o zaman \( A_1, A_2, ..., A_p\) sütunlarının doğrusal olarak bağımlı olduğunu söylüyoruz. Belirli bir sütun kümesi için böyle bir sayı \(c_1,c_2,...,c_n\) yoksa, sütunların doğrusal olarak bağımsız olduğu söylenir.

Örnek. 2 sütunu düşünün

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] o zaman herhangi bir \(c_1,c_2\) sayısı için şunu elde ederiz: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Bu doğrusal kombinasyon, ancak ve ancak her iki \(c_1,c_2\) sayısının da sıfıra eşit olması durumunda sıfır sütununa eşittir. Dolayısıyla bu sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır.

İfade. Sütunların doğrusal bağımlı olabilmesi için, bir tanesinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

\(A_1,A_2,...,A_m\) sütunlarının doğrusal bağımlı olmasına izin verin, yani. tümü 0 olmayan bazı sabitler \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\) için aşağıdakiler yürütülür: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k =0 \ ] (sağ tarafta - sıfır sütun). Örneğin \(\lambda _1 \neq 0\) olsun. Sonra \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] yani. ilk sütun geri kalanın doğrusal bir birleşimidir.

Sıfır olmayan herhangi bir matris \(A\) için aşağıdakiler doğrudur:

1. Temel sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Bir matrisin herhangi bir sütunu, temel sütunlarının doğrusal bir birleşimidir.

(Aynı şey dizeler için de geçerlidir).

Kesinlik açısından \((m,n)\) \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) matrisinin türü olsun ve küçük taban ilk \('de yer alsın. r\) satır ve sütun matrisleri \(A\). \(s\) 1 ile \(m\ arasında herhangi bir sayı olsun), \(k\) 1 ile \(n\) arasında herhangi bir sayı olsun. Aşağıdaki formun küçük bir kısmını düşünün: \[ D=\left| \begin(array)(cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] yani \(s-\)'inci sütunu ve \(k-\)'inci satırı temel minöre atadık. Matris sırasının tanımı gereği, bu determinant sıfıra eşittir (eğer \(s\leq r\) veya \(k \leq r\) seçersek, o zaman bu minör 2 özdeş sütuna veya 2 özdeş satıra sahiptir, eğer \( s>r\) ve \(k>r\) - rütbe tanımı gereği, \(r\)'den büyük olan küçük olan kaybolur). Bu determinantı son satıra genişleterek şunu elde ederiz: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks)A_ (ks)=0. \dört \dört(16) \]

Burada \(A_(kp)\) sayıları alt satırdaki \(D\) elemanların cebirsel tamamlayıcılarıdır. Değerleri \(k\)'ye bağlı değildir çünkü ilk \(r\) satırındaki elemanlar kullanılarak oluşturulur. Bu durumda, \(A_(ks)\) 0 dışında bir temel minördür. Gösterin \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks)=c_s \neq 0 \). (16)'yı yeni gösterimle yeniden yazalım: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] veya \(c_s\)'ye bölerek, \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Bu eşitlik herhangi bir \(k\ değeri için geçerlidir) dolayısıyla \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ ( 2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ..................... . .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_(m1) + \lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Yani \(s-\)'inci sütun, ilk \(r\) sütunun doğrusal birleşimidir. Teorem kanıtlandı.

Yorum.

Temel küçük teoremi, bir matrisin rütbesinin doğrusal olarak bağımsız sütunlarının sayısına (doğrusal olarak bağımsız satırların sayısına eşit) eşit olduğunu ima eder.

Sonuç 1.

Determinant sıfırsa, geri kalan sütunların doğrusal birleşimi olan bir sütunu vardır.

Sonuç 2.

Bir matrisin rütbesi sütun sayısından küçükse, matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Bir matrisin bazı dönüşümleri onun sıralamasını değiştirmez. Bu tür dönüşümlere temel denilebilir. Karşılık gelen gerçekler, determinantların özellikleri ve bir matrisin rütbesinin tanımı kullanılarak kolayca doğrulanabilir.

1. Sütunların yeniden düzenlenmesi.

2. Herhangi bir sütunun elemanlarının sıfır olmayan bir faktörle çarpımı.

3. Herhangi bir sütunun bir sütununa rastgele bir sayıyla çarpılarak ekleme.

4. Sıfır sütununun üzerini çizin.

Aynı şey dizeler için de geçerlidir.

Bu dönüşümlerin yardımıyla matris, ana köşegeninin altında yalnızca sıfırların bulunduğu bir matris olan "yamuk" formuna dönüştürülebilir. Bir "yamuk" matris için, sıra ana köşegen üzerindeki sıfır olmayan elemanların sayısıdır ve temel küçük, köşegeni dönüştürülmüş matrisin ana köşegeni üzerindeki sıfır olmayan elemanlar kümesiyle eşleşen küçük olandır.

Örnek. Matris'i düşünün

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(dizi)\sağ). \] Yukarıdaki dönüşümleri kullanarak dönüştüreceğiz. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(dizi)\sağ). \]

Burada sürekli olarak şu adımları atıyoruz: 1) ikinci sırayı yukarı doğru yeniden düzenleyin, 2) ilk sırayı uygun bir faktörle diğerlerinden çıkarın, 3) ikinci sırayı üçüncüden 4 kez çıkarın, ikinci sırayı dördüncüye ekleyin, 4) sıfır sıraların üzerini çizin - üçüncü ve dördüncü . Son matrisimiz istenilen şekli aldı: Ana köşegende sıfır olmayan sayılar, ana köşegenin altında sıfırlar var. Bundan sonra prosedür durur ve ana köşegendeki sıfırdan farklı elemanların sayısı matrisin rütbesine eşit olur. Bu durumda temel minör ilk iki satır ve ilk iki sütundur. Kesişmelerinde sıfırdan farklı bir determinantı olan 2. dereceden bir matris vardır. Aynı zamanda, dönüşüm zinciri boyunca ters yönde geri dönersek, şu veya bu satırın (bu veya bu sütunun) son matriste nereden geldiğini takip edebiliriz, yani. Orijinal matristeki temel satır ve sütunları belirler. Bu durumda ilk iki satır ve ilk iki sütun temel minörü oluşturur.

Bir matrisin rütbesi kavramıyla çalışmak için "Cebirsel tümleyenler ve küçükler. Küçüklerin türleri ve cebirsel tümleyenler" konusundan bilgiye ihtiyacımız var. Her şeyden önce, bu "matris minör" terimiyle ilgilidir, çünkü bir matrisin rütbesini tam olarak minörler aracılığıyla belirleyeceğiz.

Matris sıralaması aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane bulunan küçüklerin maksimum sırasını belirtin.

Eşdeğer matrisler rütbeleri birbirine eşit olan matrislerdir.

Daha ayrıntılı olarak açıklayalım. İkinci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olduğunu varsayalım. Ve sırası ikiden büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sırası 2'dir. Veya örneğin onuncu sıranın küçükleri arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır. Ve sırası 10'dan büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sırası 10'dur.

$A$ matrisinin sırası şu şekilde gösterilir: $\rang A$ veya $r(A)$. Sıfır matrisi $O$'ın derecesi sıfıra eşitlenir, $\rang O=0$. Bir matris minör oluşturmak için satır ve sütunların üzerini çizmeniz gerektiğini, ancak matrisin içerdiğinden daha fazla satır ve sütunun üzerini çizmenin imkansız olduğunu hatırlatmama izin verin. Örneğin, $F$ matrisinin boyutu $5\times 4$ ise (yani 5 satır ve 4 sütun içeriyorsa), bu durumda küçüklerinin maksimum sırası dörttür. Artık beşinci dereceden küçükler oluşturmak mümkün olmayacak çünkü 5 sütun gerektirecekler (ve elimizde sadece 4 tane var). Bu, $F$ matrisinin sıralamasının dörtten büyük olamayacağı anlamına gelir; $\rang F≤4$.

Daha genel bir biçimde, yukarıdaki, eğer matris $m$ satır ve $n$ sütun içeriyorsa, bu durumda sıralamasının $m$ ve $n$ sayılarından en küçüğünü geçemeyeceği anlamına gelir; $\rang A≤\min(m,n)$.

Prensip olarak, onu bulma yöntemi rütbenin tanımından kaynaklanır. Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma süreci şematik olarak aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Bu diyagramı daha detaylı açıklayayım. En baştan akıl yürütmeye başlayalım, yani. $A$ matrisinin birinci dereceden küçükleri ile.

1. Eğer birinci dereceden tüm küçükler (yani, $A$ matrisinin elemanları) sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=0$ olur. Birinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 1$ olur. İkinci dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz.
2. İkinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, $\rang A=1$ olur. İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 2$ olur. Üçüncü dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz.
3. Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=2$. Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 3$ olur. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
4. Eğer dördüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=3$. Dördüncü dereceden sıfır olmayan en az bir küçük varsa, o zaman $\rang A≥ 4$ olur. Beşinci dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz vb.

Bu sürecin sonunda bizi neler bekliyor? K'inci mertebenin küçükleri arasında sıfırdan farklı en az bir tane olması ve (k + 1)'inci mertebenin tüm küçüklerinin sıfıra eşit olması mümkündür. Bu, k'nin, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tanenin bulunduğu küçüklerin maksimum sırası olduğu anlamına gelir; rütbe k'ye eşit olacaktır. Farklı bir durum olabilir: k'inci mertebenin küçükleri arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak ve (k + 1)'inci mertebenin küçükleri oluşamayacaktır. Bu durumda matrisin rütbesi de k'ye eşittir. Kısacası, sıfır olmayan son minörün sırası ve matrisin sırasına eşit olacaktır.

Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma sürecinin net bir şekilde gösterileceği örneklere geçelim. Bu konudaki örneklerde matrislerin rütbesini sadece rütbe tanımını kullanarak bulacağımızı bir kez daha vurguluyorum. Diğer yöntemler (küçüklerin sınırlanması yöntemiyle bir matrisin sırasının hesaplanması, temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasının hesaplanması) aşağıdaki konularda ele alınmaktadır.

Bu arada, 1 ve 2 numaralı örneklerde yapıldığı gibi, en küçük sıradaki küçüklerden rütbe bulma prosedürünü başlatmak hiç de gerekli değildir. Hemen daha yüksek dereceli reşit olmayanlara gidebilirsiniz (bkz. örnek No. 3).

Örnek 1

Bir matrisin rütbesini bulun $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\right)$.

Bu matrisin boyutu $3\time 5$'dır, yani. üç satır ve beş sütun içerir. 3 ve 5 sayılarından minimum 3'tür, dolayısıyla $A$ matrisinin rütbesi en fazla 3'tür, yani. $\rank A≤ 3$. Ve bu eşitsizlik açıktır, çünkü artık dördüncü dereceden küçükleri oluşturamayız - onların 4 satıra ihtiyacı var ve bizde sadece 3 tane var. Doğrudan belirli bir matrisin rütbesini bulma sürecine geçelim.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfır olmayanlar vardır. Örneğin 5, -3, 2, 7. Genel olarak sıfır olmayan elemanların toplam sayısıyla ilgilenmiyoruz. Sıfır olmayan en az bir öğe var ve bu yeterli. Birinci dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane olduğundan, $\rang A≥ 1$ olduğu sonucuna varırız ve ikinci dereceden küçükleri kontrol etmeye devam ederiz.

İkinci dereceden küçükleri keşfetmeye başlayalım. Örneğin, satır #1, #2 ile sütun #1, #4'ün kesişiminde şu minörün elemanları vardır: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (dizi) \sağ| $. Bu determinant için ikinci sütunun tüm elemanları sıfıra eşittir, dolayısıyla determinantın kendisi de sıfıra eşittir, yani. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (determinantların özelliğindeki #3 özelliğine bakın). Veya bu determinantı, ikinci ve üçüncü dereceden determinantların hesaplanması bölümündeki 1 numaralı formülü kullanarak kolayca hesaplayabilirsiniz:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Kontrol ettiğimiz ikinci derecenin ilk minörünün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. Ne diyor? İkinci dereceden küçükleri daha fazla kontrol etme ihtiyacı hakkında. Ya hepsi sıfır çıkıyor (ve sonra sıralama 1'e eşit olacak) ya da aralarında sıfırdan farklı en az bir küçük var. Elemanları satır #1, #2 ile sütun #1 ve #5'in kesişiminde bulunan ikinci dereceden bir minör yazarak daha iyi bir seçim yapmaya çalışalım: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. İkinci dereceden bu minörün değerini bulalım:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bu minör sıfıra eşit değil. Sonuç: İkinci dereceden küçükler arasında sıfır dışında en az bir tane var. Dolayısıyla $\rank A≥ 2$. Üçüncü dereceden küçüklerin çalışmasına devam etmek gerekiyor.

Üçüncü dereceden küçüklerin oluşumu için #2 veya sütun #4'ü seçersek, bu tür küçükler sıfıra eşit olacaktır (çünkü sıfır sütunu içereceklerdir). Elemanları 1, 3, 5 numaralı sütunların ve 1, 2, 3 numaralı satırların kesişme noktasında bulunan üçüncü derecenin yalnızca bir küçükünü kontrol etmek kalır. Bu minörü yazıp değerini bulalım:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Yani üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir. Derlediğimiz sıfır olmayan son minör ikinci derecedendi. Sonuç: Aralarında sıfır dışında en az bir tane bulunan küçüklerin maksimum sırası 2'ye eşittir. Bu nedenle $\rang A=2$.

Cevap: $\rank A=2$.

Örnek #2

Bir matrisin rütbesini bulun $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Dördüncü dereceden bir kare matrisimiz var. Hemen bu matrisin sıralamasının 4'ü geçmediğini not ediyoruz, yani. $\rank A≤ 4$. Bir matrisin rütbesini bulmaya başlayalım.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 1$. İkinci dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz. Örneğin, 2 No.lu, 3 No.lu satırlar ile 1 No.lu ve 2 No.lu sütunların kesişiminde, ikinci dereceden aşağıdaki küçük değeri elde ederiz: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Hadi hesaplayalım:

$$ \sol| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 2$.

Üçüncü dereceden küçüklere geçelim. Örneğin, elemanları 1, 3, 4 numaralı satırların ve 1, 2, 4 numaralı sütunların kesişiminde bulunan bir minör bulalım:

$$ \sol | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Bu üçüncü derece minörün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktığı için başka bir üçüncü derece minörün araştırılması gerekir. Ya hepsi sıfıra eşit olacak (o zaman sıralama 2'ye eşit olacak) ya da aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak (o zaman dördüncü dereceden küçükleri incelemeye başlayacağız). Öğeleri 2, 3, 4 numaralı satırlar ile 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişiminde yer alan üçüncü dereceden bir minör düşünün:

$$ \sol| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir küçük vardır, yani $\rang A≥ 3$. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.

Dördüncü dereceden herhangi bir küçük, $A$ matrisinin dört satırının ve dört sütununun kesişiminde bulunur. Başka bir deyişle, dördüncü dereceden küçük, $A$ matrisinin determinantıdır, çünkü bu matris yalnızca 4 satır ve 4 sütun içerir. Bu matrisin determinantı, "Belirleyicinin sırasının azaltılması. Belirleyicinin bir satırda (sütun) ayrıştırılması" konusunun 2 numaralı örneğinde hesaplanmıştır, o halde hadi bitmiş sonucu alalım:

$$ \sol| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (dizi)\sağ|=86. $$

Yani dördüncü dereceden küçük sıfıra eşit değildir. Artık beşinci dereceden reşit olmayanlar oluşturamıyoruz. Sonuç: Aralarında sıfır dışında en az bir tane bulunan küçüklerin en yüksek sırası 4'tür. Sonuç: $\rang A=4$.

Cevap: $\rank A=4$.

Örnek #3

Bir matrisin rütbesini bulun $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( dizi)\sağ)$.

Bu matrisin 3 satır ve 4 sütun içerdiğine hemen dikkat edin, yani $\rang A≤ 3$. Önceki örneklerde sıralamayı bulma işlemine en küçük (birinci) mertebeden küçükleri dikkate alarak başlamıştık. Burada reşit olmayanları mümkün olan en yüksek düzende hemen kontrol etmeye çalışacağız. $A$ matrisi için bunlar üçüncü dereceden küçüklerdir. Öğeleri 1, 2, 3 numaralı satırlar ile 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişiminde bulunan üçüncü dereceden bir minör düşünün:

$$ \sol| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Yani, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane bulunan en yüksek küçükler sırası 3'tür. Bu nedenle matrisin sırası 3'tür, yani. $\rütbe A=3$.

Cevap: $\rank A=3$.

Genel olarak, bir matrisin rütbesini tanım gereği bulmak, genel durumda oldukça zaman alıcı bir iştir. Örneğin, nispeten küçük bir $5\times 4$ matrisinde 60 adet ikinci dereceden küçük öğe bulunur. Ve bunlardan 59'u sıfıra eşit olsa bile, 60. minör sıfırdan farklı olabilir. O zaman bu matrisin 40 parçasından oluşan üçüncü dereceden küçükleri keşfetmeniz gerekir. Genellikle küçüklerin sınırlanması yöntemi veya eşdeğer dönüşüm yöntemi gibi daha az hantal yöntemler kullanılmaya çalışılır.