Линейная фильтрация в пространственной области. Задача фильтрации изображений

Данная статья рассказывает не только о наиболее распространённых фильтрах обработки изображений, но в понятной форме описывает алгоритмы их работы. Статья ориентирована, прежде всего, на программистов, занимающихся обработкой изображений.

Матрица свёртки

Фильтров использующих матрицу свёртки много, ниже будут описаны основные из них.

Матрица свёртки – это матрица коэффициентов, которая «умножается» на значение пикселей изображения для получения требуемого результата.
Ниже представлено применение матрицы свёртки:

div – это коэффициент нормирования, для того чтобы средняя интенсивность оставалась не изменой.

В примере матрица имеет размер 3x3, хотя размер может быть и больше.

Фильтр размытия

Наиболее часто используемым фильтром, основанным на матрице свёртки, является фильтр размытия.

Обычно матрица заполняется по нормальному (гауссовому закону). Ниже приведена матрица размытия 5x5 заполненная по закону Гауссовского распределения.

Коэффициенты уже являются нормированными, так что div для этой матрицы равен одному.

От размера матрицы зависит сила размытия.

Стоит упомянуть о граничных условиях (эта проблема актуальна для всех матричных фильтров). У верхнего левого пикселя не существует «соседа» с права от него, следовательно, нам не на что умножать коэффициент матрицы.

Существует 2 решения этой проблемы:

1. Применение фильтра, только к «окну» изображения, которое имеет координаты левого верхнего угла , а для правого нижнего . kernelSize – размер матрицы; width, height – размер изображения.

Это не лучший способ, так как фильтр не применяется ко всему изображению. Качество при этом довольно сильно страдает, если размер фильтра велик.

2. Второй метод требует создания промежуточного изображения. Идея в том, чтобы создавать временное изображение с размерами (width + 2 * kernelSize / 2, height + 2 * kernelSize / 2). В центр изображения копируется входная картинка, а края заполняются крайними пикселями изображения. Размытие применяется к промежуточному буферу, а потом из него извлекается результат.

Данный метод не имеет недостатков в качестве, но необходимо производить лишние вычисления.

Фильтр размытия по Гауссу имеет сложность O(hi * wi * n *n), где hi, wi – размеры изображения, n – размер матрицы (ядра фильтра). Данный алгоритм можно оптимизировать с приемлемым качеством.

Квадратное ядро (матрицу) можно заменить двумя одномерными: горизонтальным и вертикальным. Для размера ядра 5 они будут иметь вид:

Фильтр применяется в 2 прохода: сначала горизонтальный, а потом к результату вертикальный (или на оборот).

Сложность данного алгоритма будет O(hi * wi * n) + O(hi * wi * n) = 2 * O(hi * wi * n), что для размера ядра больше двух, быстрее, чем традиционный метод с квадратной матрицей.

Фильтр улучшения чёткости

Для улучшения четкости необходимо использовать следующую матрицу:

Эта матрица увеличивает разницу значений на границах. Div для этой матрицы равен 1.

В программе GIMP есть фильтр «Матрица свёртки», который упрощает поиск необходимого Вам матричного преобразования.

Более подробную информацию о фильтрах основанных на матрице свёртки вы можете найти в статье «Графические фильтры на основе матрицы скручивания» .

Медианный фильтр

Медианный фильтр обычно используется для уменьшения шума или «сглаживания» изображения.

Фильтр работает с матрицами различного размера, но в отличие от матрицы свёртки, размер матрицы влияет только на количество рассматриваемых пикселей.

Алгоритм медианного фильтра следующий:

Для текущего пикселя, пиксели, которые «попадают» в матрицу, сортируются, и выбирается средние значение из отсортированного массива. Это значение и является выходным для текущего пикселя.

Ниже представлена работа медианного фильтра для размера ядра равного трём.

Фильтры наращивание и эрозия служат для получения морфологического расширения или сужения соответственно. Проще говоря, для изображений это значит выбор пикселя с максимальной или минимальной интенсивностью из окрестности.

В результате наращивания происходит увеличение ярких объектов, а эрозии – увеличение тёмных объектов.

Фильтр использует входное изображение и бинарную матрицу. Бинарная матрица определяет форму окрестности. Обычно окрестность имеет круглую форму.

Фильтр наращивание может быть использован для увеличения бликов, ярких отражений.

Заключение

В статье были описаны некоторые из фильтров обработки изображения, описаны их алгоритмы и особенности применения.

Под фильтрацией изображений понимают операцию, имеющую своим результатом изображение того же размера, полученное из исходного по некоторым правилам. Обычно интенсивность (цвет) каждого пикселя результирующего изображения обусловлен интенсивностями (цветами) пикселей, расположенных в некоторой его окрестности в исходном изображении.

Правила фильтрации могут быть самыми разнообразными. Фильтрация изображений является одной из самых фундаментальных операций компьютерного зрения, распознавания образов и обработки изображений. С той или иной фильтрации исходных изображений начинается работа подавляющего большинства методов обработки изображений.

Линейные фильтры имеют очень простое математическое описание. Будем считать, что задано исходное полутоновое изображение A, и обозначим интенсивности его пикселей A(x, y). Линейный фильтр определяется вещественнозначной функцией h (ядром фильтра), заданной на растре. Сама фильтрация производится при помощи операции дискретной свертки (взвешенного суммирования):

B(x, y) = h(i, j) ③③A(x, y) = h(i, j) A(x-i, y-j). (17.3.1)

Результатом служит изображение B. Обычно ядро фильтра отлично от нуля только в некоторой окрестности N точки (0, 0). За пределами этой окрестности h(i, j) равно нулю, или очень близко к нему и им можно пренебречь. Суммирование производится по (i, j)  N, и значение каждого пикселя B(x, y) определяется пикселями изображения A, которые лежат в окне N, центрированном в точке (x, y) (обозначение - множество N(x, y)). Ядро фильтра, заданное на прямоугольной окрестности N, может рассматриваться как матрица m на n, где длины сторон являются нечетными числами. При задании ядра матрицей ее следует центрировать. Если пиксель (x, y) находится в окрестности краев изображения, то координаты A(x-i, y-j) для определенных (i, j) могут соответствовать несуществующим пикселям A за пределами изображения. Данную проблему можно разрешить несколькими способами.

Не проводить фильтрацию для таких пикселей, обрезав изображение B по краям, или применив для их значений исходные значения изображения А.

Не включать отсутствующий пиксель в суммирование, распределив его вес h(i, j) равномерно среди других пикселей окрестности N(x, y).

Доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи экстраполяции.

Доопределить значения пикселей за границами изображения, при помощи зеркального продолжения изображения.

Выбор способа производится с учетом конкретного фильтра и особенностей изображения.

Сглаживающие фильтры. Простейший прямоугольный сглаживающий фильтр радиуса r задается при помощи матрицы размера (2r+1) × (2r+1), все значения которой равны 1/(2r+1) 2 , а сумма значений равна единице. Это двумерный аналог низкочастотного одномерного П-образного фильтра скользящего среднего. При фильтрации с таким ядром значение пикселя заменяется усредненным значением пикселей в квадрате со стороной 2r+1 вокруг него. Пример маски фильтра 3× 3:

.

Одним из применений фильтров является шумоподавление. Шум меняется независимо от пикселя к пикселю и, при условии, что математическое ожидание значения шума равно нулю, шумы соседних пикселей при суммировании будут компенсировать друг друга. Чем больше окно фильтрации, тем меньше будет усредненная интенсивность шума, однако при этом будет происходить и соответствующее размытие значащих деталей изображения. Образом белой точки на черном фоне при фильтрации (реакция на единичный импульс) будет равномерно серый квадрат.

Шумоподавление при помощи прямоугольного фильтра имеет существенный недостаток: все пиксели в маске фильтра на любом расстоянии от обрабатываемого оказывают на результат одинаковый эффект. Несколько лучший результат получается при модификации фильтра с увеличением веса центральной точки:

.

Более эффективное шумоподавление можно осуществить, если влияние пикселей на результат будет уменьшаться с увеличением расстояния от обрабатываемого. Этим свойством обладает гауссовский фильтр с ядром: h(i, j) = (1/2 2) exp(-(i 2 +j 2)/2   Гауссовский фильтр имеет ненулевое ядро бесконечного размера. Однако значения ядра фильтра очень быстро убывает к нулю при удалении от точки (0, 0), и потому на практике можно ограничиться сверткой с окном небольшого размера вокруг (0, 0), например, взяв радиус окна равным 3σ.

Гауссовская фильтрация также является сглаживающей. Однако, в отличие от прямоугольного фильтра, образом точки при гауссовой фильтрации будет симметричное размытое пятно, с убыванием яркости от середины к краям. Степень размытия изображений определяются параметром σ.

Контрастоповышающие фильтры . Если сглаживающие фильтры снижают локальную контрастность изображения, размывая его, то контрастоповышающие фильтры производят обратный эффект и, по существу, являются фильтрами высоких пространственных частот. Ядро контрастоповышающего фильтра в точке (0, 0) имеет значение, большее 1, при общей сумме значений, равной 1. Например, контрастоповышающими фильтрами являются фильтры с ядром, задаваемым матрицами:

. .

Разностные фильтры – это линейные фильтры, задаваемые дискретными аппроксимациями дифференциальных операторов (по методу конечных разностей). Данные фильтры играют важнейшую роль во многих приложениях, например, для задач поиска границ на изображении.

Простейшим дифференциальным оператором является взятие производной по x-координате d/dx, который определен для непрерывных функций. Распространенными вариантами аналогичных операторов для дискретных изображений являются фильтры Прюита (Prewitt) и Собеля (Sobel):

. .

Фильтры, приближающие оператор производной по y-координате d/dy, получаются путем транспонирования матриц.

Простейший алгоритм вычисления нормы градиента по трем смежным точкам:

G(x, y) =
.

Применяется также упрощенная формула вычислений:

Вычисление нормы градиента по четырем смежным точкам (оператор Робертса):

В алгоритме Собеля используется восемь отсчетов яркости в окрестностях центральной точки:

G(x, y) =
, G(x, y) 
,

Gx x , y = [ A x -1, y -1 +2 A x -1, y + A x -1, y +1 ] - [ A x +1, y -1 +2 A x +1, y + A x +1, y +1 ],

Gy x,y = - .

Наряду с более точным определением нормы градиента алгоритм Собеля позволяет определять и направление вектора градиента в плоскости анализа изображения в видеугла  между вектором градиента и направлением строк матрицы:

(x, y) = argtg(Gy x,y /Gx x,y).

В отличие от сглаживающих и контрастоповышающих фильтров, не меняющих среднюю интенсивность изображения, в результате применения разностных операторов получается, как правило, изображение со средним значением пикселя близким к нулю. Вертикальным перепадам (границам) исходного изображения соответствуют пиксели с большими по модулю значениями на результирующем изображении. Поэтому разностные фильтры называют также фильтрами выделения границы объектов.

Аналогично вышеприведенным фильтрам, по методу конечных разностей можно составить фильтры для других дифференциальных операторов. В частности, важный для многих приложений дифференциальный оператор Лапласа (лапласиан) = 𝝏 2 /𝝏x 2 + 𝝏 2 /𝝏y 2 можно приблизить для дискретных изображений фильтром с матрицей (один из вариантов):

.

Однако такой алгоритм имеет существенные недостатки. Главный из них - неопределенность в выборе величины порога. Для разных частей изображения приемлемый результат обычно получается при существенно разных пороговых значениях. Кроме того, разностные фильтры очень чувствительны к шумам изображения.

Двумерная циклическая свертка. Как и для одномерных сигналов, двумерная свертка может выполняться в области пространственных частот с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье и перемножением двумерных спектров изображения и ядра фильтра. Она также является циклической, и выполняется обычно в скользящем варианте. С учетом цикличности, для вычисления постоянного шаблона спектра ядра размеры маски фильтра ядра удваиваются по осям и дополняются нулями, и эти же размеры маски используются для выделения скользящего по изображению окна, в пределах которого и выполняется БПФ. Реализация КИХ фильтра с помощью БПФ особенно эффективна, если фильтр имеет большую опорную область.

Нелинейные фильтры . В цифровой обработке изображений широко применяются нелинейные алгоритмы на основе ранговой статистики для восстановления изображений, поврежденных различными моделями шумов. Они позволяют избежать дополнительного искажения изображения при удалении шума, а также значительно улучшить результаты работы фильтров на изображениях с высокой степенью зашумленности.

Введем понятие M-окрестности элемента изображения A(x, y), который является для этой окрестности центральным. В простейшем случае M-окрестность содержит N-пикселей – точки, попадающие в маску фильтра, включая (или не включая) центральный. Значения этих N-элементов можно расположит в вариационном ряду V(r), ранжированном по возрастанию (или убыванию), и вычислить определенные моменты этого ряда, например, среднее значение яркости m N и дисперсии d N . Вычисление выходного значения фильтра, которым заменяется центральный отсчет, выполняется по формуле:

B(x, y) = А(x, y) + (1-)m N . (17.3.2)

Значение коэффициента  связывается определенной зависимостью со статистикой отсчетов в окне фильтра, например:

d N /(d N + k d S), (17.3.3)

где d S – дисперсия шумов по изображению в целом или по S-окрестности при S > M и MS, k - константа доверия дисперсии S-окрестностей. Как следует из этой формулы, при k=1 и d N  d S имеет место   0.5, а значение B(x, y) = (А(x, y) + m N)/2, т.е. складываются в равной степени от значений центрального отсчета и среднего значения пикселей его M-окрестности. При увеличении значений d N происходит увеличение вклада в результат значения центрального отсчета, при уменьшении – значения m N . Весомость вклада средних значений по M-окрестности можно изменять значением коэффициента k.

Выбор статистической функции и характер зависимости от нее коэффициента  может быть достаточно многообразным (например, по дисперсиям разностей отсчетов в М-окрестности с центральным отсчетом), и зависит как от размеров апертуры фильтра, так и от характера изображений и шумов. По существу, значение коэффициента  должно задавать степень поврежденности центрального отсчета и, соответственно, функцию заимствования для его исправления отсчетов из М-окрестности.

Наиболее простыми и распространенными типами нелинейных фильтров для обработки изображений являются пороговые и медианные фильтры.

Пороговая фильтрация задается, например, следующим образом:

B(x, y) =

Величина p является порогом фильтрации. Если величина центральной точки фильтра превышает среднее значение отсчетов m N в ее М-окрестности на величину порога, то она заменяется средним значением. Значение порога может быть как константой, так и функционально зависимым от величины центральной точки.

Медианная фильтрация определяется следующим образом:

B(x, y) = med {M(x, y)},

т.е. результат фильтрации есть медианное значение пикселей окрестности, форма которой определяется маской фильтра. Медианная фильтрация способна эффективно удалять из изображения помехи, независимо воздействующие на отдельные пиксели. Например, такими помехами являются "битые" пиксели при цифровой съемке, "снеговой" шум, когда часть пикселей заменяется на пиксели с максимальной интенсивностью, и т.п. Преимущество медианной фильтрации заключается в том, что "горячий" пиксель на темном фоне будет заменен темным, а не "размазан" по окрестности.

Медианная фильтрация обладает выраженной избирательностью по отношению к элементам массива, представляющим собой немонотонную составляющую последовательности чисел в пределах апертуры фильтра. В то же время монотонную составляющую последовательности медианный фильтр оставляет без изменений. Благодаря этой особенности, медианные фильтры при оптимально выбранной апертуре сохраняют без искажений резкие границы объектов, подавляя некоррелированные или слабо коррелированные помехи и малоразмерные детали.

Фильтры экстремумов определяются по правилам:

B min (x, y) = min {M(x, y)},

B max (x, y) = max {M(x, y)},

т.е. результат фильтрации есть минимальное и максимальное значения пикселей в маске фильтра. Применяются такие фильтры, как правило, для бинарных изображений.

Значительную часть обработки изображений можно выполнить, не повторяя для каждого нового изображения статистический анализ, описанный в предыдущем разделе. Вполне достаточным оказывается ограниченный объем априорных сведений. Допустим, нам известна матрица совместной встречаемости для «идеального» изображения и требуется улучшить качество зашумленного варианта этого изображения. Если наибольшие элементы матрицы расположены на главной диагонали или вблизи нее, то это означает, что большая часть пикселов имеет тот же цвет, что и соседние пикселы. Если мы хотим выровнять гистограмму такого изображения, то, как показано в разд. 3.2, целесообразно воспользоваться правилом 3. Если требуется устранить шум, то замена значения каждого пиксела зашумленного изображения некоторой взвешенной суммой значений соседних пикселов приведет к уменьшению изменчивости значений смежных пикселов, и мы получим изображение, более близкое к оригиналу (см. пример 3.5). Таким образом мы приходим к соотношению, характеризующему связь исходного изображения и изображения подвергнутого фильтрации:

Процесс, реализующий эту операцию, называют линейным фильтром, в частности фильтром скользящего среднего, поскольку при его использовании значение каждого пиксела заменяется разновидностью среднего от значений соседних с ним элементов. Если весовая функция в пределах изображения не изменяется и не зависит от координат х, у, то уравнение (3.2) можно переписать в следующем виде:

Этот процесс называют пространственно-инвариантным фильтром. Эти фильтры широко применяются при обработке временных сигналов, однако целесообразность их использования в обработке изображений не очевидна. Уравнение (3.3) упрощается при записи его через фурье-преобразование. Можно показать (см. разд.

Результат применения такого фильтра состоит в подавлении одних частот и усилении других в зависимости от Н(и,

Пример 3.5. Если требуется очистить изображение от высокочастотного шума, то для осуществления такого сглаживания можно воспользоваться следующей разновидностью функции

Резучьтат применения фильтра можно оценить сравнив разности значении соседних пикселов до и после фильтрации В частности простейшие выкладки показывают что

Если обозначить через максимум абсолютной разности значений смежных пикселов исходного изображения и через соответствующую разность для пикселов изображения, прошедшего фильтрацию, то из уравнения (36) следует

т.е. очевидно, что эта разность расти не может Равенство имеет место только в случаях, когда максимальная разность значений пикселов в раз больше максимальной разности значений для пары пиксетов т.е. когда есть некоторая линейная функция от своих аргументов В противном случае указанная разность будет уменьшаться и области изображения будут принимать более однородный характер Поскольку обычно применение такого простейшего фильтра оказывается недостаточным для устранения шума приходится прибегать к использованию фильтра высшего порядка Одна из возможных реализаций такого фильтра заключается в вы боре простого фильтра и многократном применении его к изображению На рис 39 и 310 приведены результаты фильтрации на рис. 3.10 а представлено исходное изображение полученное из изображения, приведенного на рис 3 9, при помощи наложения на последнее гауссовского белого шума, на рис. 3.10 б представлены результаты восьмикратного применения фильтра заданного уравнением (3 5) Не трудно видеть что этот процесс приводит не только к удалению высокочастотного шума, но вызывает и размывание краев изображения

Рис. 3.9 (см. скан) Исходное изображение использованное для...

Действительно, если применить уравнение (3.6) к четко очерченному краю изображения

то оказывается, что

Другими словами, разность значений смежных пикселов уменьшилась вдвое и это, естественно привело к понижению контрастности изображения

Результаты применения данного фильтра можно также оценивать, рассматривая фурье-преобразование функции Введем обозначение

Воспользуемся уравнением (34)

Это выражение можно упростить, воспользовавшись тождеством

и выполнив затем простейшие тригонометрические преобразования, в результате выражение (3 8) принимает следующий вид

Множество подходов к улучшению изображений распадается на две категории: методы обработки в пространственной области (пространственные методы) и методы обработки в частотной области (частотные методы). К пространственной области относится совокупность пикселей, составляющих изображение. Функция предварительной обработки в пространственной области записывается в виде

где f (x , y ) – входное изображение,

g (x , y ) – выходное (обработанное) изображение,

h – оператор функции f , определенный в некоторой области (x , y ).

Операции такого вида относятся к общему классу операций над соседними элементами . Эти операции являются основным инструментарием принизкоуровневой обработке изображений илиобработке изображений в пространственной области .

Основным подходом при определении окрестности точки (x , y ) является использование квадратной или прямоугольной области части изображения с центром в точке (x , y ). Центр этой части изображения перемещается от пикселя к пикселю начиная, например, с левого верхнего угла. При этом для получения g (x , y ) оператор применяется для каждого положения (x , y ). Хотя используются иногда и другие формы окрестности (например, круг), квадратные формы более предпочтительны из-за простоты их реализации.

Один из наиболее применяемых методов пространственной области основан на использовании фильтров (масок свертки, шаблонов, окон). Обычно маска фильтра представляет собой небольшую (например, размерность 3*3) двумерную систему, коэффициенты которой выбираются таким образом, чтобы обнаружить заданное свойство изображения (рис. 1.5, а).

Рис. 1.5: а – маска фильтра; б – коэффициенты маски фильтра

Если величины w 1 ,w 2 ,…,w 9 представляют собой коэффициенты, маски пикселя (x , y ) и его восьми соседей (рис.1.5, б), то алгоритм можно представить как выполнение следующей операции на окрестности 3*3 точки (x , y ) :

Под задачей фильтрации изображений в широком смысле понимают любые процедуры обработки изображений, при которых на вход процедуры подается растровое изображение и на выходе формируется растровое изображение. Однако чаще под «фильтрацией» понимают так называемую помеховую фильтрацию . Главная цель помеховой фильтрации заключается в такой обработке изображений, при которой результат оказывается более подходящим с точки зрения конкретного применения. В общем случае можно выделить линейные фильтры (сглаживающие фильтры, контрастоповышающие фильтры, разностные фильтры) и нелинейные фильтры (медианный фильтр).

Приведем краткое описание наиболее распространенных методов фильтрации.

Низкочастотный фильтр – ослабляет высокочастотные компоненты и усиливает роль низкочастотных. Частота в применении к изображениям отражает количество имеющихся в изображении деталей. Резкие перепады яркости, помехи и шумы являются примером высокочастотных элементов в изображении. Сглаживание изображения реализуется с помощью следующих ядер:

Высокочастотный фильтр – ослабляет низкочастотные компоненты в изображении и усиливает роль высокочастотных. Фильтры высокой частоты применяются для выделения таких деталей, как контуры, границы или для повышения резкости изображения. Каждый скачок яркости и каждый контур представляют собой интенсивные детали, связанные с повышенными частотами. Выделение высокочастотных компонент осуществляется с помощью следующих ядер:

Оператор Робертса. Оператор Робертса является примером нелинейного фильтра. Преобразование каждого пикселя перекрёстным оператором Робертса может показать производную изображения вдоль ненулевой диагонали, и комбинация этих преобразованных изображений может также рассматриваться как градиент от двух верхних пикселов к двум нижним. Оператор Робертса используется ради быстроты вычислений, но проигрывает в сравнении с альтернативами из-за значительной проблемы чувствительности к шуму. Он даёт линии тоньше, чем другие методы выделения границ.

В обработке участвуют четыре пикселя, расположенные следующим образом (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Пиксели, участвующие в обработке оператором Робертса

Отклик оператора Робертса:

Ядра свертки в данном случае будут выглядеть таким образом:

Свертка для каждого ядра вычисляется отдельно. В качестве отклика данного фильтра выступает величина

, (1.17)

где P и Q – отклик ядер H 1 и H 2 .

Иногда в качестве оператора Робертса берется величина
.

Оператор Собеля. Оператор Собеля применяют в алгоритмах выделения границ. Это дискретный дифференциальный оператор, вычисляющий приближенное значение градиента яркости изображения. Результатом применения оператора Собеля в каждой точке изображения является либо вектор градиента яркости в этой точке, либо его норма. Метод усиления края с помощью оператора Собеля рассматривает два различных ядра свертки:

Исходя из этих сверток вычисляется величина и направление краев. Свертка для каждого ядра вычисляется отдельно. В качестве отклика данного фильтра выступает величина

, (1.19)

где P и Q – отклик ядер H 1 и H 2 .

Иногда в качестве оператора Собеля берется величина
.

Оператор Превитта. Аналогично оператору Собеля действует оператор Превитта. Детектор границ Превитта является подходящим способом для оценки величины и ориентации границы. В то время как детектор с дифференциальным градиентом нуждается в трудоёмком вычислении оценки ориентации по величинам в вертикальном и горизонтальном направлениях, детектор границ Превитта даёт направление прямо из ядра с максимальным результатом. Метод усиления края с помощью оператора Превитта рассматривает два различных ядра свертки:

Результат работы оператора Превитта есть

, (1.21)

где P и Q – отклик ядер H 1 и H 2 .

Оператор Лапласа. Дискретный оператор Лапласа часто используется в обработке изображений, например в задаче выделения границ или в приложениях оценки движения. Дискретный лапласиан определяется как сумма вторых производных и вычисляется как сумма перепадов на соседях центрального пикселя. Метод усиления края по Лапласу рассматривает целый ряд различных ядер свертки. Приведем некоторые их них:

Как видно, сумма элементов матриц равна нулю, поэтому отклик фильтра может быть отрицательным. В этом случае значение отклика берется по модулю. В результате обработки области с постоянной или линейно возрастающей интенсивностью становятся черными, а области быстро изменяющихся значений интенсивности ярко высвечиваются.

Ниже приведем некоторые пространственные процессы, которые не подпадают под категорию свертки и могут применяться для устранения различного вида шума.

Фильтр «гармоническое среднее» . Гармоническое среднее ряда
вычисляется по формуле

. (1.23)

В процессе фильтрации значение текущего пикселя изображения заменяется на
множества значений девяти пикселей, включая текущий и соседние.

Min – фильтр. В процессе фильтрации значение текущего пикселя заменяется на минимальное значение соседних пикселей. Так, например, для ядра размерности 3 будем иметь:

Max – фильтр. В процессе фильтрации значение текущего пикселя заменяется на максимальное значение соседних пикселей (по аналогии с предыдущим фильтром).

Min - Max –фильтр. В процессе фильтрации значение текущего пикселя изображения сначала заменяется на минимальное значение соседних пикселей, а при повторном проходе на максимальное.

Медианный фильтр. Усредненное фильтрование использует значения элементов, содержащихся в области примыкания, для определения нового значения. Фильтр располагает элементы области примыкания в отсортированном порядке и отбирает среднее значение. Так, например, для ядра размерности 3 медианное значение будет пятым:

С помощью методов пространственной обработки изображений можно получить ряд интересных эффектов. Приведем некоторые из них.

Эффект тиснения. С помощью операции свертки можно реализовать преобразование, дающее эффект тиснения на изображении.

(1.24)

Бинарное «псевдополутоновое» изображение. Исходное изображение обрабатывается при помощи маски D2 или D4: если значение пикселя меньше пропорционального значения соответствующего ему элемента маски, то он обнуляется, иначе ему присваивается 255. Маска накладывается на изображение без перекрытия. Маски D2 и D4:

При использовании пространственных процессов могут возникнуть следующие вопросы, связанные с особенностями обработки пикселей:

Устранение краевых эффектов;

Значение отклика выходит за пределы .

Для первого вопроса возможны следующие пути решения:

Исключить из преобразования граничные пиксели изображения

в этом случае выходное изображение будет иметь меньшие размеры, либо закрасить граничные пиксели, например черным цветом;

Не включать соответствующий пиксель в суммирование, равномерно распределив его вес среди других пикселей окрестности;

Дополнить (достроить) исходное изображение, добавив необходимое количество пикселей по границе. Количество достраиваемых строки столбцов, как правило, зависит от размера ядра. Здесь возможны два варианта:

• Доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи экстраполяции. Например, считать постоянным значение интенсивности вблизи границы или считать постоянным градиент интенсивности вблизи границы;

  Доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи зеркального отражения.

Для решения проблем, связанных с выходом значения за пределы , возможны следующие действия:

Масштабировать полученные значения при положительных откликах фильтра;

При отрицательном отклике фильтра брать либо абсолютное значение (по модулю), либо приводить к нулю.

Также в данном разделе стоит привести возможную «классификацию» шума на изображении:

Шум «соль и перец» – случайные белые и черные пиксели;

Импульсный шум – случайные белые пиксели;

Гауссов шум – колебания интенсивности, распределенные по нормальному закону.

Аннотация: Введение. Линейные фильтры: определение, сглаживающие фильтры, контрастоповышающие фильтры, разностные фильтры. Нелинейные фильтры: примеры нелинейных фильтров, морфологические операторы

8.1. Введение

Представим себе, что, глядя на какую-нибудь сцену одним глазом, мы подносим к нему стеклянную пластину. Если эта пластина не была идеально прозрачной, то наблюдаемое изображение изменится. В зависимости от стекла, из которого сделана пластина, изменение может быть самым разнообразным. К примеру, если это стекло было цветным, то изображение приобретет соответствующий оттенок, а от мутного стекла - станет размытым.

Фильтрация изображений аналогична такому разглядыванию мира через стеклянную пластину, хотя и позволяет добиться гораздо большего разнообразия эффектов, чем эксперименты с разными пластинами. Под фильтрацией изображений понимают операцию, имеющую своим результатом изображение того же размера, полученное из исходного по некоторым правилам. Обычно интенсивность (цвет) каждого пикселя результирующего изображения обусловлена интенсивностями (цветами) пикселей, расположенных в некоторой его окрестности в исходном изображении.

Правила, задающие фильтрацию (их называют фильтрами ), могут быть самыми разнообразными. В этой лекции мы рассмотрим простейшие фильтры. Заметим, что, согласно предложенному определению, операция, заключающаяся в последовательном применении двух или более фильтраций, тоже является фильтрацией. Таким образом, можно говорить о составных фильтрах , соответствующих комбинациям простых. Изучив основные типы фильтров в данной лекции, мы будем иметь дело с применением фильтров, составленных из них, для решения разнообразных задач в последующих лекциях. Фильтрация изображений является одной из самых фундаментальных операций компьютерного зрения, распознавания образов и обработки изображений. Фактически, с той или иной фильтрации исходных изображений начинается работа подавляющего большинства методов. Рассматриваемые в этой лекции фильтры имеют, таким образом, чрезвычайную важность с точки зрения их применения в различных приложениях.

8.2. Линейные фильтры

Определение

Результатом служит изображение B . В определении (8.1) мы опустили пределы суммирования. Обычно ядро фильтра отлично от нуля только в некоторой окрестности N точки (0, 0) . За пределами этой окрестности F(i, j) или в точности равно нулю, или очень близко к нему, так что можно им пренебречь. Суммирование в (8.1) производится по , и значение каждого пикселя B(x, y) определяется пикселями изображения A , которые лежат в окне N , центрированном в точке (x, y) (мы будем обозначать это множество N(x, y) ). Ядро фильтра, заданное на прямоугольной окрестности N , может рассматриваться как матрица m на n , где длины сторон являются нечетными числами. При задании ядра матрицей M kl , ее следует центрировать:

Также нуждается в дополнительном прояснении ситуация, когда пиксель (x, y) находится в окрестности краев изображения. В этом случае A(x + i, y + j) в определении (8.1) может соответствовать пикселю A , лежащему за пределами изображения A . Данную проблему можно разрешить несколькими способами.

• Не проводить фильтрацию для таких пикселей, обрезав изображение B по краям или закрасив их, к примеру, черным цветом.
• Не включать соответствующий пиксель в суммирование, распределив его вес F(i, j) равномерно среди других пикселей окрестности N(x, y) .
• Доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи экстраполяции. Например, считать постоянным значение интенсивности вблизи границы (для пикселя (-2, 5) имеем A(-2, 5) = A(0, 5) ) или считать постоянным градиент интенсивности вблизи границы (A(-2, 5) = A(0, 5) + 2(A(0, 5) - A(1, 5)) ).
• Доопределить значения пикселей за границами изображения, при помощи зеркального отражения (A(-2, 5) = A(2, 5) ).

Выбор конкретного способа нужно производить с учетом конкретного фильтра и особенностей конкретного приложения.

Разобрав общее определение линейных фильтров, перейдем к примерам.