Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом. Линейное программирование. Симплекс-метод
Если вам понадобится решить задачу линейного программирования с помощью симплекс-таблиц, то наш онлайн сервис вам окажет большую помощь. Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным. Приведем последовательность действий при решении задачи линейного программирования симплекс-методом:
Первый шаг. В составленной таблице перво-наперво необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, есле же нет, то к пятому.
Второй шаг. На втором шаге необходимо определиться, какую переменную изключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответсвующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответсвующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменая в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис.
Таблица 1.
базисные переменные | Свободные члены в ограничениях | Небазисные переменные | |||||
x 1 | x 2 | ... | x l | ... | x n | ||
x n+1 | b 1 | a 11 | a 12 | ... | a 1l | ... | a 1n |
x n+2 | b 2 | a 21 | a 22 | ... | a 2l | ... | a 2n |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
x n+r | b2 | a r1 | a r2 | ... | a rl | ... | a rn |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
x n+m | b m | a m1 | a m2 | ... | a ml | ... | a mn |
F(x) max | F 0 | -c 1 | -c 2 | ... | -c 1 | ... | -c n |
Третий шаг. На третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам, эти формулы можно увидеть, воспользовавшись .
Четвертый шаг. Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому.
Пятый шаг. Если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3.
Здесь приведено ручное (не апплетом) решение двух задач симплекс-методом (аналогичным решению апплетом) с подробными объяснениями для того, чтобы понять алгоритм решения задач симплекс-методом. Первая задача содержит знаки неравенства только " ≤ " (задача с начальным базисом), вторая может содержить знаки " ≥ ", " ≤ " или " = " (задача с искусственным базисом), они решаются по разному.
Симплекс-метод, решение задачи с начальным базисом
1)Симплекс-метод для задачи с начальным базисом (все знаки неравенств-ограничений " ≤ ").
Запишем задачу в канонической форме, т.е. ограничения-неравенства перепишем в виде равенств, добавляя балансовые переменные:
Эта система является системой с базисом (базис s 1 , s 2 , s 3 , каждая из них входит только в одно уравнение системы с коэффициентом 1), x 1 и x 2 - свободные переменные. Задачи, при решении которых применяется симплекс-метод, должны обладать следующими двумя свойствами: -система ограничений должна быть системой уравнений с базисом; -свободные члены всех уравнений в системе должны быть неотрицательны.
Полученная система - система с базисом и ее свободные члены неотрицательны, поэтому можно применить симплекс-метод . Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0) для решения задачи на симплекс-метод , т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Здесь "БП" означает столбец базисных переменных, «Решение» - столбец правых частей уравнений системы. Решение не является оптимальным, т.к. в z – строке есть отрицательные коэффициенты.
симплекс-метод итерация 0
Отношение |
|||||||
Для улучшения решения перейдем к следующей итерации симплекс-метода , получим следующую симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать разрешающий столбец , т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации симплекс-метода. Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в z-строке (в задаче на максимум) – в начальной итерации симплекс-метода это столбец x 2 (коэффициент -6).
Затем выбирается разрешающая строка , т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации симплекс-метода. Она выбирается по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца (столбец «Отношение») – в начальной итерации это строка s 3 (коэффициент 20).
Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 1. Следовательно, на следующей итерации симплекс-метода переменная x 2 заменит в базисе s 1 . Заметим, что в z-строке отношение не ищется, там ставится прочерк " - ". В случае если есть одинаковые минимальные отношения, то выбирается любое из них. Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0, то решение задачи бесконечно.
Заполним следующую таблицу «Итерация 1». Её мы получим из таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец х 2 в единичный (с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов).
1)Вычисление строки х 2 таблицы "Итерация 1". Сначала делим все члены разрешающей строки s 3 таблицы "Итерация 0" на разрешающий элемент (он равен 1 в данном случае) этой таблицы, получим строку x 2 в таблице «Итерации 1». Т.к. разрешающий элемент в данном случае равен 1, то строка s 3 таблицы "Итерация 0" будет совпадать со строкой х 2 таблицы "Итерация 1". Строку x 2 таблицы "Итерации 1" мы получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки таблицы "Итерация 1" будут получены из этой строки и строк таблицы "Итерация 0" следующим образом:
2) Вычисление z-строки таблицы "Итерация 1". На месте -6 в первой строке (z-строке) в столбце х 2 таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в первой строке таблицы "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6 0 0 6 120 и сложим эту строку с первой строкой (z - строкой) таблицы "Итерация 0" -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0 6 120. В столбце x 2 появился ноль 0, цель достигнута. Элементы разрешающего столбца х 2 выделены красным цветом.
3) Вычисление строки s 1 таблицы "Итерация 1". На месте 1 в s 1 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1 0 0 -1 -20 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 2 1 1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 44. В столбце х 2 получен необходимый 0.
4) Вычисление строки s 2 таблицы "Итерация 1". На месте 3 в s 2 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3 0 0 -3 -60 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 1 3 0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 12. В столбце х 2 получен нужный 0. Столбец х 2 в таблице "Итерация 1" стал единичным, он содержит одну 1 и остальные 0.
Строки таблицы «Итерация 1» получаем по следующему правилу:
Новая строка = Старая строка – (Коэффициент разрешающего столбца старой строки)*(Новая разрешающая строка).
Например для z-строки имеем:
Старая z-строка (-4 -6 0 0 0 0) -(-6)*Новая разрешающая строка -(0 -6 0 0 -6 -120) =Новая z-строка (-4 0 0 0 6 120).
Для следующих таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.
симплекс-метод итерация 1
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка s 2 , s 2 выходит из базиса, х 1 входит в базис. Совершенно аналогично получим остальные симплекс-таблицы, пока не будет получена таблица со всеми положительными коэффициентами в z-строке. Это признак оптимальной таблицы.
симплекс-метод итерация 2
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец s 3 , разрешающая строка s 1 , s 1 выходит из базиса, s 3 входит в базис.
симплекс-метод итерация 3
Отношение |
|||||||
В z-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192.
- | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | = | 1 | ||||||||||
x 1 | +3 | x 2 | + | S 2 | = | 15 | |||||||||||
- | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 4 |
- | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | + | R 1 | = | 1 | |||||||||||
x 1 | +3 | x 2 | + | S 2 | = | 15 | ||||||||||||||
- | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 4 |
x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1 |
=> W = 1 |
x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | R 1 | св. член | Θ |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1: 1 = 1 |
1 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 15 | 15: 3 = 5 |
-2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 4: 1 = 4 |
1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | W - 1 | |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
4 | 0 | 3 | 1 | 0 | -3 | 12 | |
-1 | 0 | 1 | 0 | 1 | -1 | 3 | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W - 0 |
- | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | = | 1 | ||||||||||
4 | x 1 | + | 3 | S 1 | + | S 2 | = | 12 | |||||||||
- | x 1 | + | S 1 | + | S 3 | = | 3 |
x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | св. член | Θ |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
4 | 0 | 3 | 1 | 0 | 12 | 12: 4 = 3 |
-1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F - 1 | |
-1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
-1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F - 1 | |
0 | 1 | -1/4 | 1/4 | 0 | 4 | |
1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
0 | 0 | 7/4 | 1/4 | 1 | 6 | |
0 | 0 | -2 | -1 | 0 | F - 13 |
S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6 |
=> F - 13 = 0 => F = 13 |
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом
, составить двойственную задачу
линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных
прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи
, в которой производится оценка ресурсов
, затраченных на продажу товаров.
Решение задачи симплекс методом
Пусть x 1 , x 2 , x 3 - количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 - ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max
0}}}{~}" title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0}}}{~}">
Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.
Данные заносим в симплекс таблицу
Симплекс таблица № 1
![](https://i1.wp.com/1cov-edu.ru/lineynoe-programmirovanie/simpleks-metod/primer/math_895_0749e4eb2b7a27cfdbc1ebc18de366f2.png)
Целевая функция:
0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0
Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:
Вводим переменную x 2 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .
= 26.667
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса
3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2
![](https://i2.wp.com/1cov-edu.ru/lineynoe-programmirovanie/simpleks-metod/primer/math_901_8ff8d6e4831f924334e616e4fd53c97a.png)
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 2
![](https://i2.wp.com/1cov-edu.ru/lineynoe-programmirovanie/simpleks-metod/primer/math_876_0c622e7e5f5e79adf06d2f90c477d9c5.png)
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6
Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.
Вводим переменную x 1 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса
3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3
![](https://i1.wp.com/1cov-edu.ru/lineynoe-programmirovanie/simpleks-metod/primer/math_901_45b821a2fc8f3b8fcef662e1ee5cb6ea.png)
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 3
![](https://i1.wp.com/1cov-edu.ru/lineynoe-programmirovanie/simpleks-metod/primer/math_890_ee547d805bf67afd49f426345c738107.png)
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1
Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.
Решение задачи:
Ответ
x 1 = 40; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x 6 = 0; F max = 160То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.
Решение двойственной задачи
Двойственная задача имеет вид:
Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min
Title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4} {3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5} {6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4} {y_1, y_2, y_3>= 0}}}{~}">
Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:
Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:
Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;
Рассмотрим симплекс -метод
для решения задач линейного программирования (ЛП). Он основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает.
Алгоритм симплекс-метода следующий:
- Исходную задачу переводим в канонический вид путем введения дополнительных переменных. Для неравенства вида ≤ дополнительные переменные вводят со знаком (+ ), если же вида ≥ то со знаком (— ). В целевую функцию дополнительные переменные вводят с соответствующими знаками с коэффициентом, равным 0 , т.к. целевая функция не должна при этом менять свой экономический смысл.
- Выписываются вектора P i из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. Этим действием определяется количество единичных векторов. Правило – единичных векторов должно быть столько, сколько неравенств в системе ограничений.
- После этого исходные данные вводятся в симплекс-таблицу. В базис вносятся единичные вектора, и исключая их из базиса, находят оптимальное решение . Коэффициенты целевой функции записывают с противоположным знаком.
- Признак оптимальности для задачи ЛП – решение оптимально, если в f – строке все коэффициенты положительны. Правило нахождения разрешающего столбца – просматривается f – строка и среди ее отрицательных элементов выбирается наименьшее. Вектор P i его содержащий становится разрешающим. Правило выбора разрешающего элемента – составляются отношения положительных элементов разрешающего столбца к элементам вектора Р 0 и то число, которое дает наименьшее отношение становится разрешающим элементом, относительно которого будет произведен пересчет симплекс-таблицы. Строка, содержащая этот элемент называется разрешающей строкой. Если в разрешающем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет решения. После определения разрешающего элемента переходят к пересчету новой симплекс – таблицы.
- Правила заполнения новой симплекс – таблицы. На месте разрешающего элемента проставляют единицу, а другие элементы полагают равными 0 . Разрешающий вектор вносят в базис, из которого исключают соответствующий нулевой вектор, а остальные базисные вектора записывают без изменений. Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент, а остальные элементы пересчитывают по правилу прямоугольников.
- Так поступают до тех пор, пока в f – строке все элементы не станут положительными.
Рассмотрим решение задачи с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Дано:
Приводим задачу к каноническому виду:
Составляем вектора:
Заполняем симплекс – таблицу:
:
Пересчитаем первый элемент вектора Р 0
, для чего составляем прямоугольник из чисел: и получаем: .
Аналогичные расчеты выполним для всех остальных элементов симплекс – таблицы:
В полученном плане f – строка содержит один отрицательный элемент – (-5/3), вектора P 1 . Он содержит в своем столбце единственный положительный элемент, который и будет разрешающим элементом. Сделаем пересчет таблицы относительно этого элемента:
Отсутствие отрицательных элементов в f
– строке означает, что найден оптимальный план
:
F* = 36/5, Х = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).
- Ашманов С. А. Линейное программирование, М: Наука, 1998г.,
- Вентцель Е.С. Исследование операций, М: Советское радио, 2001г.,
- Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волошенко А.Б. Математическое программирование, М: Высшая школа, 1986г.
Решение линейного программирования на заказ
Заказать любые задания по этой дисциплине можно у нас на сайте. Прикрепить файлы и указать сроки можно на