Matice je obdélníková tabulka čísel. Pojem matice
Maticové akce
1. Maticové sčítání a odčítání:
Maticové sčítání a odčítání- jedna z nejjednodušších akcí na ně, protože je nutné sečíst nebo odečíst odpovídající prvky dvou matic. Hlavní věc k zapamatování je, že můžete pouze sčítat a odečítat matice. stejné velikosti, tj. ty se stejným počtem řádků a stejným počtem sloupců.
Nechť jsou dány například dvě matice stejné velikosti 2x3, tzn. se dvěma řádky a třemi sloupci:
Součet dvou matic:
Rozdíl dvou matic:
2. Vynásobení matice číslem:
Vynásobení matice číslem - proces násobení čísla každým prvkem matice.
Například matice A:
Vynásobte číslo 3 maticí A:
3. Násobení dvou matic:
Násobení dvou matic je možné pouze za podmínky, že počet sloupců první matice se musí rovnat počtu řádků druhé matice. Nová matice, kterou získáme vynásobením matic, se bude skládat z počtu řádků rovného počtu sloupců první matice a počtu sloupců rovného počtu řádků matice druhé.
Předpokládejme, že existují dvě matice o velikosti 3x4 a 4x2, tzn. první matice má 3 řádky a 4 sloupce a druhá matice má 4 řádky a 2 sloupce. Protože počet sloupců první matice (4) je roven počtu řádků druhé matice (4), poté lze matice násobit, nová matice bude mít velikost: 3x2, tzn. 3 řádky a 2 sloupce.
To vše můžete znázornit ve formě diagramu:
Poté, co se rozhodnete pro velikost nové matice, kterou získáte vynásobením dvou matic, můžete začít tuto matici plnit prvky. Pokud potřebujete vyplnit první řádek prvního sloupce této matice, pak musíte vynásobit každý prvek prvního řádku první matice každým prvkem prvního sloupce druhé matice, pokud vyplníme druhý řádek prvního sloupce, respektive vezmeme každý prvek druhého řádku první matice a vynásobíme prvním sloupcem druhé matice atd.
Podívejme se, jak to vypadá na diagramu:
Podívejme se, jak to vypadá na příkladu:
Jsou dány dvě matice:
Najděte součin těchto matic:
4. Maticové dělení:
Maticové dělení- akce na matrice, kterou v tomto pojetí v učebnicích nenajdete. Pokud je však potřeba rozdělit matici A maticí B, pak se v tomto případě použije jedna z vlastností stupňů:
Podle této vlastnosti dělíme matici A maticí B:
V důsledku toho se problém dělení matic redukuje na násobení inverzní matice matice B na matici A.
inverzní matice
Nechť existuje čtvercová matice n-tého řádu
Je volána matice A -1 inverzní matice vzhledem k matici A, pokud A*A -1 = E, kde E je matice identity n-tého řádu.
Matice identity- taková čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky podél hlavní diagonály, procházející zleva horním rohu do pravého dolního rohu - jedničky a zbytek - nuly, například:
inverzní matice může existovat pouze pro čtvercové matice těch. pro ty matice, které mají stejný počet řádků a sloupců.
Věta o podmínkách existence inverzní matice
Aby matice měla inverzní matici, je nutné a postačující, aby byla nedegenerovaná.
Zavolá se matice A = (A1, A2,...A n). nedegenerované pokud jsou sloupcové vektory lineárně nezávislé. Počet lineárně nezávislých sloupcových vektorů matice se nazývá hodnost matice. Můžeme tedy říci, že pro existenci inverzní matice je nutné a postačující, aby hodnost matice byla rovna jejímu rozměru, tzn. r = n.
Algoritmus pro nalezení inverzní matice
Do tabulky pro řešení soustav rovnic Gaussovou metodou zapište matici A a vpravo (na místo pravých částí rovnic) k ní přiřaďte matici E.
Pomocí Jordanových transformací převeďte matici A na matici sestávající z jednotlivých sloupců; v tomto případě je nutné současně transformovat matici E.
V případě potřeby přeuspořádejte řádky (rovnice) poslední tabulky tak, aby matice identity E byla získána pod maticí A původní tabulky.
Napište inverzní matici A -1, která je v poslední tabulce pod maticí E původní tabulky.
Příklad 1
Pro matici A najděte inverzní matici A -1
Řešení: Zapíšeme matici A a vpravo přiřadíme matici identity E. Pomocí Jordanových transformací zredukujeme matici A na matici identity E. Výpočty jsou uvedeny v tabulce 31.1. 
Zkontrolujme si správnost výpočtů vynásobením původní matice A a inverzní matice A -1.
V důsledku násobení matice se získá matice identity. Proto jsou výpočty správné.
Odpovědět: 
Determinanty matic (determinanty) Determinanty matic (determinanty)
Maticové determinanty, metoda číslo 1:
determinant čtvercová matice (det A) je číslo, které lze vypočítat přes prvky matrice podle vzorce:
Kde M 1k - maticový determinant(determinant) získaný z originálu matrice odstraněním prvního řádku a k -tého sloupce. Je třeba poznamenat, že determinanty mají pouze čtverec matrice, tj. matice, které mají stejný počet řádků jako počet sloupců. První vzorec umožňuje vypočítat maticový determinant na prvním řádku platí i kalkulační vzorec maticový determinant v prvním sloupci: 
Obecně řečeno, maticový determinant lze vypočítat na libovolném řádku nebo sloupci matrice, tj. správný vzorec je:
Očividně jiný matrice může mít to samé determinanty. Determinant matice identity rovná se 1. Pro zadané matrice A číslo M 1k se nazývá doplňková moll prvku matrice a 1k. Lze tedy usoudit, že každý prvek matrice má svou vlastní další nezletilou. Další nezletilí existují pouze na náměstí matrice.
Doplňková moll libovolného prvku náměstí matrice a ij se rovná maticový determinant získané z originálu matrice vymazáním i-tého řádku a j-tého sloupce.
Maticové determinanty, metoda číslo 2:
maticový determinant první objednávka, popř determinant prvního řádu se prvek a 11 nazývá:
maticový determinant druhého řádu, popř determinant druhého řádu, nazývaného číslo, které se vypočítá podle vzorce:
maticový determinant třetí řád, popř determinant třetí řád, nazývaný číslo, které se vypočítá podle vzorce:
Toto číslo představuje algebraický součet sestávající ze šesti členů. Každý výraz obsahuje přesně jeden prvek z každého řádku a každého sloupce matrice. Každý člen se skládá ze součinu tří faktorů.
Znamení s jakými členy maticový determinant jsou zahrnuty ve vzorci nalézací maticový determinant třetí řád lze určit pomocí výše uvedeného schématu, které se nazývá pravidlo trojúhelníků nebo Sarrusovo pravidlo. První tři termíny jsou brány se znaménkem plus a jsou určeny z levého obrázku a další tři termíny jsou brány se znaménkem mínus a jsou určeny z pravého obrázku.
Komentář:
výpočet maticové determinantyčtvrtý a vyšší řád vede k velkým výpočtům, protože:
Pro prvního řádu najdeme jeden člen skládající se z jednoho faktoru;
Pro nalézací maticový determinant druhého řádu musíte vypočítat algebraický součet dvou členů, kde každý člen se skládá ze součinu dvou faktorů;
Pro nalézací maticový determinant třetího řádu musíte vypočítat algebraický součet šesti členů, kde každý člen se skládá ze součinu tří faktorů;
Pro nalézací maticový determinantčtvrtého řádu musíte vypočítat algebraický součet dvaceti čtyř členů, kde každý člen se skládá ze součinu čtyř faktorů atd.
Určete počet výrazů k nalezení maticový determinant, v algebraickém součtu můžete vypočítat faktoriál: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120...
Matice v matematice jsou jedním z nejdůležitějších objektů aplikovaného významu. Exkurze do teorie matic často začíná slovy: „Matice je obdélníková tabulka ...“. Tento exkurz začneme z trochu jiného úhlu.
Telefonní seznamy libovolné velikosti as libovolným počtem účastnických dat nejsou nic jiného než matice. Tyto matice vypadají takto:
Je jasné, že takové matice všichni používáme téměř každý den. Tyto matice jsou dodávány s různým počtem řádků (liší se jako adresář vydaný telefonní společností, který může mít tisíce, stovky tisíc nebo dokonce miliony řádků, a nový, který jste právě založili Notebook, ve kterých je méně než deset řádků) a sloupce (adresář úředníků nějaké organizace, ve kterém mohou být sloupce jako pozice a číslo kanceláře, a totéž váš notebook, kde nesmí být žádné jiné údaje než jméno, a má tedy pouze dva sloupce – jméno a telefonní číslo).
Jakékoli matice lze sčítat a násobit, stejně jako s nimi lze provádět další operace, ale není třeba sčítat a násobit telefonní seznamy, není z toho žádný užitek, kromě toho můžete pohnout svou myslí.
Ale velmi mnoho matic lze a mělo by se sčítat a násobit a takto lze řešit různé naléhavé úkoly. Níže jsou uvedeny příklady takových matic.
Matice, ve kterých jsou sloupce produkce jednotek určitého typu produktu a řádky jsou roky, ve kterých je produkce tohoto produktu zaznamenána:
Můžete přidat matice tohoto druhu, které berou v úvahu výrobu podobných produktů různými podniky, abyste získali souhrnná data pro průmysl.
Nebo matice, sestávající například z jednoho sloupce, ve kterém jsou řádky průměrné náklady na konkrétní typ produktu:
Matice posledních dvou typů lze násobit a výsledkem je řádková matice obsahující náklady na všechny typy výrobků podle let.
Matice, základní definice
Obdélníková tabulka složená z čísel uspořádaných v m linky a n se nazývá sloupce mn-matice (nebo jednoduše matice ) a napsáno takto:
(1)
V matici (1) se čísla nazývají její Prvky (stejně jako v determinantu, první index znamená číslo řádku, druhý - sloupec, na jehož průsečíku je prvek; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).
Matice se nazývá obdélníkový , Pokud .
Li m = n, pak se zavolá matice náměstí a číslo n je jeho v pořádku .
Determinant čtvercové matice A se nazývá determinant, jehož prvky jsou prvky matice A. Označuje se symbolem | A|.
Čtvercová matice se nazývá nespeciální (nebo nedegenerované , nejednotné číslo ) pokud jeho determinant není roven nule a speciální (nebo degenerovat , jednotné číslo ), je-li jeho determinant nula.
Matice se nazývají rovnat se pokud mají stejný počet řádků a sloupců a všechny odpovídající prvky jsou stejné.
Matice se nazývá nula pokud jsou všechny jeho prvky rovny nule. Nulová matice bude označeno symbolem 0 nebo .
Například,
řádková matice (nebo malá písmena ) se nazývá 1 n- matice a sloupcová matice (nebo sloupovitý ) – m 1-matice.
Matice A“, který se získá z matice A prohození řádků a sloupců v něm se nazývá transponováno vzhledem k matici A. Pro matici (1) je tedy transponovaná matice
Přechod na maticový provoz A“, transponované s ohledem na matici A, se nazývá transpozice matice A. Pro mn-matice transponovaná je nm-matice.
Matice transponovaná vzhledem k matici je A, to je
(A")" = A .
Příklad 1 Najděte Matrix A“, transponované s ohledem na matici
a zjistit, zda jsou determinanty původní a transponované matice stejné.
hlavní úhlopříčka Čtvercová matice je pomyslná čára spojující její prvky, pro kterou jsou oba indexy stejné. Tyto prvky se nazývají úhlopříčka .
Říká se čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní úhlopříčku rovny nule úhlopříčka . Ne všechny diagonální prvky diagonální matice jsou nutně nenulové. Některé z nich se mohou rovnat nule.
Čtvercová matice, ve které se prvky na hlavní diagonále rovnají stejnému nenulovému číslu a všechny ostatní jsou rovny nule, se nazývá skalární matice .
matice identity se nazývá diagonální matice, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné. Například matice identity třetího řádu je matice
Příklad 2 Maticové údaje:
Řešení. Vypočítejme determinanty těchto matic. Pomocí pravidla trojúhelníků najdeme
Maticový determinant B vypočítat podle vzorce 
To snadno získáme 
Proto matrice A a jsou nesingulární (nedegenerované, nesingulární), a matice B- zvláštní (degenerovaný, singulární).
Determinant matice identity jakéhokoli řádu je zjevně rovný jedné.
Vyřešte maticový problém sami a pak se podívejte na řešení
Příklad 3 Maticová data
,
,
Určete, které z nich jsou nesingulární (nedegenerované, nesingulární).
Aplikace matic v matematickém a ekonomickém modelování
Ve formě matic se jednoduše a pohodlně zapisují strukturovaná data o konkrétním objektu. Maticové modely jsou vytvářeny nejen k ukládání těchto strukturovaných dat, ale také k řešení různých problémů s těmito daty lineární algebra.
Známým maticovým modelem ekonomiky je tedy input-output model, který zavedl americký ekonom ruského původu Wassily Leontiev. Tento model je založen na předpokladu, že celý výrobní sektor ekonomiky je rozdělen na nčistý průmysl. Každé z odvětví vyrábí pouze jeden typ produktu a různá odvětví vyrábějí různé produkty. Kvůli této dělbě práce mezi odvětvími existují meziodvětvové vztahy, jejichž smyslem je, že část produkce každého odvětví se jako výrobní zdroj převádí do jiných odvětví.
Objem výroby i- odvětví (měřeno konkrétní měrnou jednotkou), které bylo vyrobeno během vykazovaného období, označuje se a nazývá se celkový výstup i odvětví. Problémy jsou pohodlně umístěny n-řada komponent matice.
Počet jednotek produktu i- odvětví, které má být vynaloženo j-té odvětví na výrobu jednotky jeho produkce, se označuje a nazývá se koeficient přímých nákladů.
V tomto tématu se budeme zabývat pojmem matice a také typy matic. Vzhledem k tomu, že v tomto tématu je mnoho pojmů, přidám shrnutí, aby se snadněji orientovala v materiálu.
Definice matice a jejího prvku. Notový zápis.
Matice je tabulka s $m$ řádky a $n$ sloupci. Prvky matice mohou být objekty zcela rozmanitého charakteru: čísla, proměnné, nebo například jiné matice. Například matice $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ má 3 řádky a 2 sloupce; jeho prvky jsou celá čísla. Matice $\left(\begin(pole) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(pole) \right)$ obsahuje 2 řádky a 4 sloupce.
Různé způsoby zápisu matic: show\hide
Matici lze psát nejen do kulatých závorek, ale také do hranatých nebo dvojitých rovných závorek. To znamená, že níže uvedené položky znamenají stejnou matici:
$$ \left(\begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right);\;\; \left[ \begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right]; \;\; \left \Vert \begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right \Vert $$
Je volán součin $m\krát n$ velikost matice. Pokud například matice obsahuje 5 řádků a 3 sloupce, pak se mluví o matici $5\krát 3$. Matice $\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(pole)\right)$ má velikost $3 \krát 2$.
Matice se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy: $A$, $B$, $C$ atd. Například $B=\left(\begin(pole) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right)$. Číslování řádků jde shora dolů; sloupce - zleva doprava. Například první řádek matice $B$ obsahuje prvky 5 a 3 a druhý sloupec obsahuje prvky 3, -87, 0.
Prvky matic se obvykle označují malými písmeny. Například prvky matice $A$ jsou označeny $a_(ij)$. Dvojitý index $ij$ obsahuje informaci o pozici prvku v matici. Číslo $i$ je číslo řádku a číslo $j$ je číslo sloupce, v jehož průsečíku se nachází prvek $a_(ij)$. Například na průsečíku druhého řádku a pátého sloupce matice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(pole) \right)$ prvek $ a_(25)= 59 $:
Podobně na průsečíku prvního řádku a prvního sloupce máme prvek $a_(11)=51$; na průsečíku třetího řádku a druhého sloupce - prvek $a_(32)=-15$ a tak dále. Všimněte si, že $a_(32)$ se čte jako "tři dva", ale ne "třicet dva".
Pro zkrácené označení matice $A$, jejíž velikost je rovna $m\krát n$, se používá označení $A_(m\krát n)$. Můžete napsat trochu podrobněji:
$$ A_(m\krát n)=(a_(ij)) $$
kde zápis $(a_(ij))$ označuje prvky matice $A$. V plně rozšířené podobě lze matici $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ zapsat následovně:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(pole)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(pole) \right) $$
Zavedeme další termín - stejné matice.
Jsou volány dvě matice stejné velikosti $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ rovnat se pokud jsou jejich odpovídající prvky stejné, tzn. $a_(ij)=b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.
Vysvětlení položky $i=\overline(1,m)$: show\hide
Záznam "$i=\overline(1,m)$" znamená, že se parametr $i$ změní z 1 na m. Například záznam $i=\overline(1,5)$ říká, že parametr $i$ nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5.
Pro rovnost matic jsou tedy vyžadovány dvě podmínky: shoda velikostí a rovnost odpovídajících prvků. Například matice $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ není rovna matici $B=\left(\ begin(pole)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(pole)\right)$ protože matice $A$ je $3\krát 2$ a matice $B$ je $2\krát 2$. Také matice $A$ není rovna matici $C=\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(pole)\right) $ protože $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ale pro matici $F=\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(pole)\right)$ můžeme bezpečně napsat $A =F$, protože jak velikosti, tak odpovídající prvky matic $A$ a $F$ se shodují.
Příklad #1
Určete velikost matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(pole) \vpravo)$. Určete, čemu se rovnají prvky $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.
Tato matice obsahuje 5 řádků a 3 sloupce, takže její velikost je $5\krát 3$. Pro tuto matici lze také použít zápis $A_(5\krát 3)$.
Prvek $a_(12)$ je v průsečíku prvního řádku a druhého sloupce, takže $a_(12)=-2$. Prvek $a_(33)$ je na průsečíku třetího řádku a třetího sloupce, takže $a_(33)=23$. Prvek $a_(43)$ je v průsečíku čtvrtého řádku a třetího sloupce, takže $a_(43)=-5$.
Odpovědět: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Typy matic v závislosti na jejich velikosti. Hlavní a boční úhlopříčky. Maticová stopa.
Nechť je dána nějaká matice $A_(m\krát n)$. Pokud $m=1$ (matice se skládá z jednoho řádku), pak se zavolá daná matice maticová řada. Pokud $n=1$ (matice se skládá z jednoho sloupce), pak se taková matice nazývá sloupcová matice. Například $\left(\begin(pole) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(pole) \right)$ je řádková matice a $\left(\begin(pole) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(pole) \right)$ - sloupcová matice.
Pokud podmínka $m\neq n$ platí pro matici $A_(m\krát n)$ (to znamená, že počet řádků není roven počtu sloupců), pak se často říká, že $A$ je obdélníková matice. Například matice $\left(\begin(pole) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ má velikost $2\krát 4 $, ty. obsahuje 2 řádky a 4 sloupce. Protože počet řádků není roven počtu sloupců, je tato matice obdélníková.
Pokud podmínka $m=n$ platí pro matici $A_(m\krát n)$ (tj. počet řádků se rovná počtu sloupců), pak se $A$ říká čtvercová matice objednávka $n$. Například $\left(\begin(pole) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(pole) \right)$ je čtvercová matice druhého řádu; $\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(pole) \right)$ je čtvercová matice 3. řádu. V obecný pohledčtvercovou matici $A_(n\krát n)$ lze zapsat následovně:
$$ A_(n\krát n)=\left(\begin(pole)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(pole) \right) $$
Prvky $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ jsou údajně zapnuté hlavní úhlopříčka matice $A_(n\krát n)$. Tyto prvky se nazývají hlavní diagonální prvky(nebo jen diagonální prvky). Prvky $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ jsou zapnuté boční (sekundární) úhlopříčka; se nazývají sekundární diagonální prvky. Například pro matici $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( pole) \right)$ máme:
Prvky $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ jsou hlavními diagonálními prvky; prvky $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ jsou sekundární diagonální prvky.
Součet hlavních diagonálních prvků se nazývá následuje matrice a označeno $\Tr A$ (nebo $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Například pro matici $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(pole)\vpravo)$ máme:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Pojem diagonálních prvků se používá i pro nečtvercové matice. Například pro matici $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(pole) \right)$ hlavní diagonální prvky budou $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Typy matic v závislosti na hodnotách jejich prvků.
Pokud jsou všechny prvky matice $A_(m\krát n)$ rovny nule, pak se taková matice nazývá nula a obvykle se označuje písmenem $O$. Například $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(pole) \right)$ jsou nulové matice.
Nechť matice $A_(m\krát n)$ vypadá takto:
Poté se tato matice nazývá lichoběžníkový. Nemusí obsahovat nulové řádky, ale pokud ano, jsou umístěny ve spodní části matice. V obecnější formě lze lichoběžníkovou matici zapsat jako:
Koncové null řetězce jsou opět volitelné. Tito. formálně můžeme pro lichoběžníkovou matici vyčlenit následující podmínky:
- Všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou rovny nule.
- Všechny prvky od $a_(11)$ do $a_(rr)$ ležící na hlavní diagonále se nerovnají nule: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
- Buď jsou všechny prvky posledních $m-r$ řádků rovny nule, nebo $m=r$ (tj. neexistují žádné nulové řádky).
Příklady lichoběžníkových matric:
Přejděme k další definici. Zavolá se matice $A_(m\krát n)$ vykročil pokud splňuje následující podmínky:
Například matice kroků by byly:
Pro srovnání matice $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ není stupňováno, protože třetí řádek má stejnou nulovou část jako druhý řádek. To znamená, že je porušena zásada „čím nižší čára – tím větší nulová část“. Ještě dodám, že existuje lichoběžníková matrice speciální případ kroková matice.
Přejděme k další definici. Pokud jsou všechny prvky čtvercové matice umístěné pod hlavní diagonálou rovny nule, pak se taková matice nazývá horní trojúhelníková matrice. Například $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - horní trojúhelníková matice. Všimněte si, že definice horní trojúhelníkové matice neříká nic o hodnotách prvků umístěných nad hlavní diagonálou nebo na hlavní diagonále. Mohou a nemusí být nulové, na tom nezáleží. Například $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je také horní trojúhelníková matice.
Pokud jsou všechny prvky čtvercové matice umístěné nad hlavní diagonálou rovny nule, pak se taková matice nazývá spodní trojúhelníková matrice. Například $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(pole) \right)$ - spodní trojúhelníková matice. Všimněte si, že definice nižší trojúhelníkové matice neříká nic o hodnotách prvků pod nebo na hlavní diagonále. Mohou nebo nemusí být nulové, na tom nezáleží. Například $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ a $\left(\ begin (pole) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ jsou také nižší trojúhelníkové matice.
Čtvercová matice se nazývá úhlopříčka pokud jsou všechny prvky této matice, které nejsou na hlavní diagonále, rovny nule. Příklad: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ konec(pole)\vpravo)$. Prvky na hlavní diagonále mohou být cokoli (rovné nule nebo ne) - to není podstatné.
Diagonální matice se nazývá singl pokud jsou všechny prvky této matice umístěné na hlavní diagonále rovny 1. Například $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(pole)\vpravo)$ - matice identity 4. řádu; $\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole)\right)$ je matice identity druhého řádu.
1. ročník, vyšší matematika, studium matrice a základní akce na nich. Zde systematizujeme hlavní operace, které lze s maticemi provádět. Jak začít s matrikou? Samozřejmě od toho nejjednoduššího – definice, základní pojmy a nejjednodušší operace. Ujišťujeme vás, že matrikám bude rozumět každý, kdo se jim alespoň trochu věnuje!
Definice matice
Matice je obdélníková tabulka prvků. No, kdyby prostá řeč- tabulka čísel.
Matice se obvykle označují velkými písmeny. s latinskými písmeny. Například matice A , matice B a tak dále. Matice mohou být jiná velikost: obdélníkový, čtvercový, existují také řádkové matice a sloupcové matice zvané vektory. Velikost matice je určena počtem řádků a sloupců. Zapišme si například obdélníkovou matici velikosti m na n , Kde m je počet řádků a n je počet sloupců.
Prvky pro které i=j (a11, a22, .. ) tvoří hlavní úhlopříčku matice a nazývají se diagonální.
Co lze s matricemi dělat? Přidat/Odečíst, vynásobit číslem, množit se mezi sebou, přemístit. Nyní o všech těchto základních operacích s maticemi v pořádku.
Operace sčítání a odčítání matic
Hned vás varujeme, že můžete přidat pouze matice stejné velikosti. Výsledkem je matice stejné velikosti. Sčítání (nebo odečítání) matic je snadné − stačí přidat jejich odpovídající prvky . Vezměme si příklad. Proveďme sečtení dvou matic A a B o velikosti dva po dvou.
Odečítání se provádí analogicky, pouze s opačným znaménkem.
Libovolnou matici lze vynásobit libovolným číslem. Udělat toto, musíte tímto číslem vynásobit každý jeho prvek. Vynásobme například matici A z prvního příkladu číslem 5:
Operace násobení matic
Ne všechny matice lze mezi sebou násobit. Například máme dvě matice - A a B. Lze je vzájemně násobit pouze tehdy, je-li počet sloupců matice A roven počtu řádků matice B. každý prvek výsledné matice v i-té řadě a j-tý sloupec, se bude rovnat součtu součinů odpovídajících prvků v i-tý řádek první faktor a j-tý sloupec druhého. Abychom porozuměli tomuto algoritmu, zapišme si, jak se násobí dvě čtvercové matice:
A příklad s reálnými čísly. Vynásobme matice:
Operace maticové transpozice
Maticová transpozice je operace, při které dochází k záměně odpovídajících řádků a sloupců. Například transponujeme matici A z prvního příkladu:
Maticový determinant
Determinant, ach ten determinant, je jedním ze základních pojmů lineární algebry. Jednou lidé přišli s lineární rovnice, a za nimi jsme museli vymyslet determinant. Nakonec je na vás, jak se s tím vším vypořádáte, takže poslední tlačení!
Determinant je numerická charakteristika čtvercové matice, která je potřebná k řešení mnoha problémů.
Pro výpočet determinantu nejjednodušší čtvercové matice je třeba vypočítat rozdíl mezi součiny prvků hlavní a vedlejší úhlopříčky.
Determinant matice prvního řádu, tj. skládající se z jednoho prvku, je roven tomuto prvku.
Co když je matice tři na tři? Je to náročnější, ale dá se to zvládnout.
Pro takovou matici je hodnota determinantu rovna součtu součinů prvků hlavní úhlopříčky a součinů prvků ležících na trojúhelnících s plochou rovnoběžnou s hlavní úhlopříčkou, z nichž součin prvků vedlejší úhlopříčky a součin prvků ležících na trojúhelnících s plochou rovnoběžnou s vedlejší úhlopříčkou se odečte.
Naštěstí pro výpočet determinantů matic velké velikosti se v praxi stává jen zřídka.
Zde jsme zvážili základní operace s maticemi. Samozřejmě v reálný život nikdy se nemůžete setkat ani s náznakem maticového systému rovnic, nebo naopak - čelit mnohem více těžké případy když si opravdu musíte rozbít hlavu. Právě pro takové případy je tu profesionální studentská služba. Požádejte o pomoc, získejte kvalitu a detailní řešení, užívejte si studijní úspěch a volný čas.
Matice, seznamte se s jejími základními pojmy. Určujícími prvky matice jsou její úhlopříčky – a strana. Hlavní začíná od prvku v prvním řádku, prvním sloupci a pokračuje k prvku posledního sloupce, posledního řádku (to znamená, že jde zleva doprava). Boční diagonála začíná v první řadě v opačném směru, ale poslední sloupec a pokračuje k prvku, který má souřadnice prvního sloupce a posledního řádku (jde zprava doleva).
Chcete-li jít do následující definice a algebraické operace s maticemi, studium typů matic. Nejjednodušší z nich jsou čtvercové, jednotkové, nulové a inverzní. Ve stejném počtu sloupců a řádků. Transponovaná matice, nazvěme ji B, se získá z matice A nahrazením sloupců řádky. V jednotce jsou všechny prvky hlavní úhlopříčky jedničky a ostatní nuly. A v nule jsou i prvky úhlopříček nulové. Inverzní matice je ta, na které původní matice přechází do formy identity.
Také matice může být symetrická kolem hlavní nebo boční osy. To znamená, že prvek, který má souřadnice a(1;2), kde 1 je číslo řádku a 2 je číslo sloupce, je roven a(2;1). A(3;1)=A(1;3) a tak dále. Shodné matice jsou takové, kde počet sloupců jednoho je roven počtu řádků druhého (takové matice lze násobit).
Hlavní akce, které lze s maticemi provádět, jsou sčítání, násobení a nalezení determinantu. Pokud jsou matice stejně velké, to znamená, že mají stejný počet řádků a sloupců, lze je přidat. Je nutné sečíst prvky, které jsou v maticích na stejných místech, to znamená sečíst a (m; n) s in (m; n), kde m a n jsou odpovídající souřadnice sloupce a řádku. Při sčítání matic platí hlavní pravidlo běžného aritmetického sčítání - při změně místa členů se součet nemění. Pokud tedy místo jednoduchého prvku a existuje výraz a + b, lze jej přidat k prvku z jiné srovnatelné matice podle pravidel a + (b + c) \u003d (a + c) + c.
Můžete násobit konzistentní matice, které jsou uvedeny výše. V tomto případě se získá matice, kde každý prvek je součtem párově vynásobených prvků řádku matice A a sloupce matice B. Při násobení je velmi důležité pořadí operací. m*n se nerovná n*m.
Jednou z hlavních akcí je také nalezení. Nazývá se také determinant a označuje se takto: det. Tato hodnota je určena modulo, to znamená, že nikdy není záporná. Nejjednodušší způsob, jak najít determinant, je pro čtvercovou matici 2x2. Chcete-li to provést, musíte vynásobit prvky hlavní úhlopříčky a odečíst od nich vynásobené prvky vedlejší úhlopříčky.