Sekce Fuzzy Logic Toolbox. S.D. Shtovba. Úvod do teorie fuzzy množin a fuzzy logiky

Lingvistické proměnné( LP ) jsou způsobem popisu komplexní systémy, jejichž parametry nejsou posuzovány z kvantitativních pozic, ale jako kvalitativní. Jazykové proměnné nám zároveň umožňují párování kvalitativní charakteristiky nějakou kvantitativní interpretaci s danou mírou spolehlivosti, která umožňuje zpracovávat kvalitativní data na počítači. Další oblastí použití lingvistických proměnných je fuzzy logická inference, která se od obvyklé liší tím, že pravdivost logických výroků není určena dvěma hodnotami 0 a 1, ale sadou hodnot v intervalu. .

Pojem jazykové proměnné vychází z pojmu liché proměnné.

fuzzy proměnná nazýváme kombinací tří prvků:

< X, U, µ A(u) >,

Kde X– název fuzzy proměnné; U je univerzální sada; µ A(u) je fuzzy podmnožina A univerzální sada U. Jinými slovy, fuzzy proměnná je pojmenovaná fuzzy množina.

jazyková proměnná se nazývá soubor pěti prvků:

< L, T(X), U, G, M >,

Kde L– název jazykové proměnné;

T(X) je soubor základních pojmů jazykové proměnné, který se skládá ze sady názvů hodnot jazykových proměnných ( T 1 , T 2 , …, T n), z nichž každá odpovídá fuzzy proměnné X univerzální sada U;

U je univerzální množina, na které je definována jazyková proměnná;

G- syntaktické pravidlo, které generuje jména X proměnné hodnoty;

M je sémantické pravidlo, které spojuje každou fuzzy proměnnou s X jeho význam M(X), tj. fuzzy podmnožina univerzální množiny U.

Požadavek na řazení je kladen na termíny jazykové proměnné: T 1 < T 2 < … < T n .

Funkce příslušnosti fuzzy množin, které tvoří kvantitativní význam základních pojmů lingvistické proměnné, musí splňovat následující podmínky:

2. : ;

4. : .

Tady n je počet základních pojmů jazykové proměnné; u min, umax jsou hranicemi univerzální množiny U, na kterém je definována jazyková proměnná. Li U R (R je tedy množina reálných čísel U = [u min, umax].

pravidlo syntaxe G je kombinací čtyř prvků: G = < V T, V N, T, P >,

Kde V T– sada koncových symbolů nebo slov; V N– soubor nekoncových symbolů nebo frází; T– soubor základních pojmů; R– soubor substitučních pravidel, která určují ekvivalenci frází.

Sémantické pravidlo M odpovídá každé frázi s novým

jasná množina definovaná na základě funkcí příslušnosti základních pojmů a množina operací s fuzzy množinami.

Jako příklad uvažujme číselnou lingvistickou proměnnou „lidská výška“. Nechť jsou hodnoty proměnné zadány pomocí tří základních pojmů: "nízká", "střední", "vysoká". Podmínky jsou objednány. univerzální sada čísel U PROTI tento případ je interval U = .

Členské funkce termínů jsou znázorněny na Obr. 7.6 a splňují požadavky uvedené výše.

Rýže. 7.6 Lingvistická proměnná "Lidská výška"

Jako syntaktické pravidlo definujeme, že množina neterminálních symbolů obsahuje slova „a“, „nebo“, „více či méně“, „ne“, „velmi“, která lze kombinovat se základními pojmy „nízká“. "", "střední", "vysoká" a je třeba dodržovat následující pravidla:

Symboly „a“ ​​a „nebo“ mohou spojovat pouze dvě fráze nebo základní termíny a zbývající nekoncové symboly jsou unární, tj. může předcházet frázi nebo základnímu termínu; například „není vysoká“, „velmi nízká“, „nízká nebo střední“;

Současná negace dvou základních pojmů, například „nenízká a nevysoká“, je ekvivalentní zbývajícímu základnímu pojmu, tzn. "průměrný".

Použitím těchto pravidel lze sestavit mnoho frází a pravidel pro substituci. Pokud syntaktické pravidlo nelze určit algoritmicky, jsou všechny možné fráze jednoduše uvedeny.

Jako sémantické pravidlo definujeme korespondenci mezi neterminálními symboly a operacemi na fuzzy množinách:

"ne" - sčítání;

"a" - křižovatka;

"nebo" - unie;

"velmi" - koncentrace;

"více či méně" je rozšíření.

Pomocí uvažované lingvistické proměnné lze odhadnout

vypočítat výšku osob bez použití přesných měření.

Pomocí lingvistických proměnných je tedy možné popsat předměty, jejichž přesné měření vlastností je buď extrémně pracné, nebo je vůbec nemožné.

Tvorba jazykové proměnné je zpravidla realizována na základě průzkumu odborníků - specialistů v oboru, pro který je LP budována. Zvláštní pozornost je přitom věnována utváření funkcí příslušnosti fuzzy množin, které jsou základními pojmy jazykové proměnné, neboť definice syntaktických a sémantických pravidel pro většinu jazykových proměnných je standardní a v praxi se omezuje na výpis všechny možné fráze a interpretace neterminálních symbolů, jak je uvedeno výše.

Proces formování jazykové proměnné zahrnuje Další kroky:

1. Definice množiny pojmů LP a její řazení.

2. Konstrukce numerického oboru definice LP.

3. Zjištění schématu průzkumu expertů a provedení ankety.

4. Konstrukce členských funkcí pro každé období LP.

Fáze 1 zahrnuje nastavení počtu LP termínů a názvů odpovídajících fuzzy proměnných odborníkem. Počet termínů se vybírá z rozsahu n= 7±2.

Ve fázi 2 je popsána univerzální sada U, který může být číselný nebo nečíselný. Typ univerzální množiny závisí na popsaných objektech a určuje způsob utváření funkcí příslušnosti členů LP.

Fáze 3 je klíčová při tvorbě LP. Existují dva druhy

průzkum odborníků: přímý a nepřímý. Každá z těchto metod může být individuální nebo skupinová. Organizačně nejjednodušší a

implementace softwaru je individuální metoda dotazování odborníků.

V přímém průzkumu odborníků jsou všechny parametry členských funkcí přímo uvedeny. Nevýhodou je zde projev subjektivity v úsudcích a také nutnost znalce znát základy fuzzy logiky. V nepřímém průzkumu se členské funkce utvářejí na základě odpovědí experta na „hlavní“ otázky. To zvyšuje objektivitu posouzení a nevyžaduje znalost fuzzy logiky, zvyšuje se však riziko nejednotnosti v úsudcích znalců.

U skupinových metod průzkumu se výsledek tvoří na základě spojení názorů několika odborníků. V praxi se nejčastěji využívá individuální nepřímé šetření.

Přednáška. Fuzzy Computing

Koncept fuzzy čísla

Jednou z oblastí použití fuzzy logiky je provádění aritmetických operací s fuzzy množinami. Pro snížení složitosti takových operací se používá speciální typ fuzzy množin – fuzzy čísla.

fuzzy číslo(LF) je fuzzy proměnná, která má následující vlastnosti: ; .

Jinými slovy, fuzzy číslo je pojmenovaná fuzzy množina, pro kterou je univerzální množina U je interval reálné osy R.

V reálných úlohách se používají po částech lineární fuzzy čísla.Pro zjednodušení aritmetických operací se navíc po částech lineární funkce příslušnosti aproximují, aby se získal speciální druh fuzzy čísel - parametrická fuzzy čísla nebo fuzzy čísla

(L–R)-typu, které se vyznačují kompaktním zastoupením a jednoduchými

že provádění aritmetických operací.

fuzzy číslo A volal fuzzy číslo (L–R)–typ, pokud má jeho členská funkce následující tvar (obr. 7.8):

0,

kde jsou parametry fuzzy čísel; L(X), R(X) jsou některé funkce.

Fuzzy parametrické číslo se značí ( A, b, C, d)LR.

Takže fuzzy číslo ( L–R)-typ je popsán šesti parametry: čtyřmi čísly označujícími jeho hranice a dvěma funkcemi definujícími formu jeho funkce příslušnosti.

Obr.7.8 Parametrická fuzzy čísla

Zavolá se fuzzy číslo unimodální, pokud má pouze jeden bod, ve kterém je funkce příslušnosti rovna jedné, tzn. jeho parametry b A C jsou stejné, jinak se volá fuzzy číslo tolerantní(viz obrázek 7.8). Unimodální fuzzy čísla jsou označena pěti parametry ( A, b, d)LR.

Tak jako LR– nejčastěji používané funkce lineární závislosti dáno následujícími vztahy:

LR– funkce lze také specifikovat pomocí kvadratických, exponenciálních a jiných závislostí.

V případě použití lineární funkce unimodální a tolerantní fuzzy čísla se nazývají trojúhelníková a lichoběžníková a označují se ( A, b, d) A ( A, b, C, d).

Pro fuzzy čísla je pojem znaménko a nulová hodnota definován zvláštním způsobem.

fuzzy číslo A volal pozitivní, pokud její základna leží v kladné reálné poloose, popř

fuzzy číslo A volal negativní, pokud její základna leží v záporné reálné poloose, popř

U parametrických fuzzy čísel je znaménko určeno hodnotami parametru: kladné fuzzy číslo if A> 0; negativní pokud d < 0; нечеткий ноль, если .

Koncept fuzzy a lingvistických proměnných se používá při popisu objektů a jevů pomocí fuzzy množin.

Fuzzy proměnná vyznačující se trojitým (α, X, A), Kde

α — název proměnné;

X— univerzální sada (doména α);

A je fuzzy sada zapnutá X, popisující omezení (tj. µ A(X) ) na hodnotách fuzzy proměnné α.

Lingvistické proměnná (LP) je množina ( β , T, X, G, M), kde

β — název jazykové proměnné;

T- množina jejích hodnot (term-set), což jsou názvy fuzzy proměnných, doménou definice každé z nich je množina X. hromada T nazývané základní termínová sada jazyková proměnná;

G je syntaktický postup, který umožňuje pracovat s prvky množiny termínů T, zejména generovat nové termíny (hodnoty). Množina T∪G(T), kde G(T) je množina generovaných termínů, se nazývá rozšířená množina termínů lingvistické proměnné;

M- sémantický postup, který umožňuje přeměnit každou novou hodnotu jazykové proměnné, tvořené procedurou G, na fuzzy proměnnou, tzn. tvoří odpovídající fuzzy množinu.

Komentář. Vyhnout se velký počet postavy:

1) postava β používá se jak pro název samotné proměnné, tak pro všechny její hodnoty;

2) použijte stejný symbol k označení fuzzy množiny a jejího názvu, například výraz „Mladý“, což je hodnota jazykové proměnné β = "věk", zároveň existuje fuzzy množina M("Mladá").

Přiřazení více významů symbolům naznačuje, že kontext umožňuje vyřešit možné nejednoznačnosti.

Příklad. Nechte odborníka určit tloušťku vyráběného produktu pomocí pojmů "Malá tloušťka", "Střední tloušťka" a "Velká tloušťka", přičemž minimální tloušťka je 10 mm a maximální 80 mm.

Formalizaci takového popisu lze provést pomocí následující jazykové proměnné ( β , T, X, G, M ), Kde

β - tloušťka produktu;

T— („Malá tloušťka“, „Střední tloušťka“, „Velká tloušťka“);

X— ;

G je postup pro tvoření nových termínů pomocí spojovacích výrazů „a“, „nebo“ a modifikátorů jako „velmi“, „ne“, „nepatrně“ atd. Například: "Malá nebo střední tloušťka", "Velmi tenká tloušťka" atd.;

M- postup pro nastavení X= fuzzy podmnožiny A 1 = "Malá tloušťka", A 2 = "Střední tloušťka", A 3 = "Velká tloušťka", stejně jako fuzzy množiny pro termíny z G (T) v souladu s pravidly překladu fuzzy spojovacích výrazů a modifikátorů „a“, „nebo“, „ne“, „velmi“, „mírně“ a dalších operací na fuzzy množinách tvaru: A⋂V,A∪VA, OŠIDIT A =A 2 , DIL A \u003d A 0,5 a tak dále.

Komentář. Spolu se základními hodnotami diskutovanými výše, lingvistická proměnná "Tloušťka" (T =(„Malá tloušťka“, „Střední tloušťka“, „Velká tloušťka“)), hodnoty jsou možné v závislosti na doméně definice X. V tomto případě lze definovat hodnoty lingvistické proměnné „Tloušťka produktu“ jako "asi 20 mm", "asi 50 mm", "asi 70 mm", tzn. ve formě fuzzy čísel.

Množina termínů a rozšířená množina termínů za podmínek příkladu mohou být charakterizovány funkcemi příslušnosti znázorněnými na Obr. 1.5 a 1.6.

Rýže. 1.5. Členské funkce fuzzy množin: "Malá tloušťka" = A 1,"Střední tloušťka" = A 2 , "Větší tloušťka" = A 3

Rýže. 1.6. Členská funkce fuzzy množiny "Malá nebo střední tloušťka" = A 1 ∪ A 2

fuzzy čísla

fuzzy čísla- fuzzy proměnné definované na číselné ose, tzn. fuzzy číslo je definováno jako fuzzy množina A na množině reálných čísel ℝs funkcí členství μ A(X) ϵ , kde X je reálné číslo, tzn. X ϵ ℝ.

fuzzy číslo A je to v pořádku pokud max μ A(X) = 1; konvexní pokud pro nějaké X ≤ na ≤ z provedeno

μ A (x)≥ μ A(na) ˄ µ A(z).

hromada α - úroveň fuzzy čísel A definováno jako

Aα= {X/μ α (X) ≥ α } .

Podmnožina S A⊂ ℝ se nazývá nositel fuzzy čísla A, Li

S A= { X/μ A(X) > 0 }.

fuzzy číslo A unimodální pokud podmínka μ A(X) = 1 platí pouze pro jeden bod reálné osy.

konvexní fuzzy číslo A volal fuzzy nula, Li

μ A(0) = sup ( µ A(X)).

fuzzy číslo A pozitivně pokud ∀ Xϵ S A, X> 0 a negativní pokud ∀ X ϵ S A, X< 0.

Operace na fuzzy číslech

Rozšířená binární aritmetické operace(sčítání, násobení atd.) pro fuzzy čísla se určují pomocí odpovídajících operací pro jasná čísla pomocí principu zobecnění následovně.

Nechat A A V- fuzzy čísla a - fuzzy operace odpovídající libovolné algebraické operaci * na obyčejných číslech. Pak (s použitím sem a pod notací místo místo ) můžeme psát

Fuzzy čísla (L-R) typu

Fuzzy čísla typu (L-R) jsou druhem fuzzy čísel zvláštního druhu, tzn. nastavit podle určitých pravidel, aby se snížilo množství výpočtů během operací na nich.

Členské funkce fuzzy čísel typu (L-R) jsou specifikovány pomocí funkcí reálné proměnné L( X) a R( X) splňující vlastnosti:

a) L(- X) = L( X), R(- X) = R( X);

b) L(0) = R(0).

Je zřejmé, že třída (L-R)-funkcí zahrnuje funkce, jejichž grafy mají tvar znázorněný na Obr. 1.7.

Rýže. 1.7. Možná forma (L-R)-funkcí

Příklady analytické specifikace (L-R)-funkcí mohou být

Nechat L( na) a R( na) jsou funkce typu (L-R) (beton). Unimodální fuzzy číslo A S móda a(tj. μ A(A) = 1) pomocí L( na) a R( na) se uvádí takto:

kde a je režim; α > 0, β > 0 — levý a pravý koeficient fuzziness.

Tedy pro dané L( na) a R( na) fuzzy číslo (unimodální) je dáno trojkou A = (A, α, β ).

Tolerantní fuzzy číslo je dáno čtyřmi parametry A = (A 1 , A 2 , α, β ), kde A 1 a A 2 - meze tolerance, tzn. v mezidobí [ A 1 , A 2 ] hodnota funkce členství je rovna 1.

Příklady grafů funkcí příslušnosti typu fuzzy čísla (L-R) jsou na obr. 1.8.

Rýže. 1.8. Příklady grafů funkcí příslušnosti typu fuzzy čísel (L-R).

Všimněte si, že ve specifických situacích funkce L (y), R (y), stejně jako parametry A, β fuzzy čísla (A, α, β ) A ( A 1 , A 2 , α, β ) by měl být vybrán tak, aby výsledek operace (sčítání, odčítání, dělení atd.) byl přesně nebo přibližně roven fuzzy číslu se stejným L (y) a R (y), a parametry α" A β" výsledek nepřekročil limity těchto parametrů pro původní fuzzy čísla, zvláště pokud se výsledek bude později podílet na operacích.

Komentář. Řešení problémů matematického modelování složitých systémů pomocí aparátu fuzzy množin vyžaduje provádění velkého množství operací s různými druhy lingvistických a dalších fuzzy proměnných. Pro pohodlí provádění operací, jakož i pro vstup-výstup a ukládání dat je žádoucí pracovat s funkcemi členství standardního formuláře.

Fuzzy množiny, se kterými se musí pracovat ve většině problémů, jsou zpravidla unimodální a normální. Jeden z možné metody aproximace unimodálních fuzzy množin je aproximace pomocí funkcí typu (L-R).

Příklady (L-R) reprezentace některých lingvistických proměnných jsou uvedeny v tabulce. 1.2.

Tabulka 1.2. Možný (L- R)-reprezentace některých lingvistických proměnných

2.9.1. Definice. Metody teorie fuzzy množin popisují sémantické pojmy, například pro pojem „spolehlivost uzlu“ můžete definovat takové komponenty jako „malá hodnota spolehlivosti uzlů“, „průměrná hodnota spolehlivosti uzlů“, „velká hodnota spolehlivosti uzlů“. “, které jsou dány jako fuzzy množiny na základní množině definované všemi možnými hodnotami hodnot spolehlivosti.

Zobecněním popisu lingvistických proměnných z formálního hlediska je zavedení fuzzy a lingvistických proměnných.

H fuzzy proměnná se nazývá trojice množin, kde A- název fuzzy proměnné, X- doména definice, - fuzzy podmnožina v množině X, popisující omezení možných hodnot proměnné A.

jazyková proměnná se nazývá množina množin , Kde b- název jazykové proměnné, T(b) je množina jazykových (verbálních) hodnot proměnné b, nazývaný také termín množina lingvistické proměnné, X- doména, G- syntaktické pravidlo ve formě gramatiky, která generuje jména aОT(b) verbální významy jazykových proměnných b, M- sémantické pravidlo, které sdružuje každou fuzzy proměnnou A fuzzy množina, - význam fuzzy proměnné A.

Z definice vyplývá, že lingvistická proměnná je proměnná daná na kvantitativním (měřeném) měřítku a nabývající hodnot, kterými jsou slova nebo fráze přirozeného jazyka komunikace. Fuzzy proměnné popisují hodnoty lingvistické proměnné. Na Obr. 2.20 ukazuje vztah základních pojmů.

Lingvistické proměnné tedy mohou popisovat pojmy, které je obtížné formalizovat ve formě kvalitativního, verbálního popisu. Jazyková proměnná a všechny její hodnoty jsou v popisu spojeny se specifickou kvantitativní stupnicí, která se analogicky se základní sadou někdy nazývá základní stupnice.

Pomocí lingvistických proměnných je možné v systémech řízení formalizovat kvalitativní informace, které jsou formulovány specialisty (odborníky) verbální formou. To umožňuje vytvářet fuzzy modely řídicích systémů (fuzzy regulátory).

2.9.2. Typ členských funkcí. Zvažte požadavky, které jsou kladeny na typ funkcí příslušnosti fuzzy množin, které popisují termíny lingvistických proměnných.

Nechť lingvistickou proměnnou obsahuje základní sadu termínů T=(Ti),. Fuzzy proměnná odpovídající termínu T i, je dán množinou , kde je fuzzy množina . Definujme množinu C i jako nositel fuzzy množiny. To budeme předpokládat XÍR 1, Kde R1 je uspořádaná množina reálných čísel. Označte spodní hranici množiny X přes infX=x 1 a horní mez supX=x2.

hromada T pořadí podle výrazu

"Ti,Tj нT i>j"($xнCi)("yнCj)(x>y). (2.5)

Výraz (2.5) vyžaduje, aby výraz, který má podporu umístěnou vlevo, dostal nižší číslo. Pak musí množina termínů jakékoli jazykové proměnné splňovat následující podmínky:

("T i нT)($xнX)( ); (2.8)

("b)($x 1 ОR 1)($x 2 ОR 2)("xОX)(x 1 . (2.9)