Závislost lineárního řetězce. Hodnost matice. Metoda ohraničení nezletilých. Lineární nezávislost řádků (sloupců) matice

Každý řádek matice označíme A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (např.
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) atd.). Každá z nich je řádková matice, kterou lze vynásobit číslem nebo přidat do jiného řádku hlavní pravidla akce s matrikami.

Lineární kombinaceřetězců e l , e 2 ,...e k je součet součinů těchto řetězců libovolnými reálnými čísly:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , kde l l, l 2,..., l k jsou libovolná čísla (lineární kombinační koeficienty).

Maticové řady e l , e 2 ,...e m se nazývají lineárně závislé, jestliže existují taková čísla l l , l 2 ,..., l m , která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nulovému řádku:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, kde 0 = (0 0...0).

Lineární závislost řádků matice znamená, že alespoň jeden řádek matice je lineární kombinace zbytek. Pro definitivnost nechť je poslední koeficient l m ¹ 0. Poté, když obě strany rovnosti vydělíme l m , získáme výraz pro poslední řádek jako lineární kombinaci zbývajících řádků:
e m = (l l / l m) el + ( l 2 / l m) e 2 +...+ (l m - 1 / l m) e m - 1.

Je-li lineární kombinace řádků nulová právě tehdy, jsou-li všechny koeficienty nulové, tzn. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, pak se čáry nazývají lineárně nezávislé.

Věta o hodnosti matice. Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, ve kterých lze lineárně vyjádřit všechny její ostatní řádky nebo sloupce.

Dokažme tuto větu. Nechť matice m x n A má hodnotu r (r(A) £ min (m; n)). Proto existuje nenulová moll řádu r. Každý takový nezletilý bude povolán základní. Pro jistotu budiž toto menší

Řady tohoto minoru budou také volány základní.

Dokažme, že pak jsou řádky matice e l , e 2 ,...e r lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, tj. jeden z těchto řádků, například r-tý řádek, je lineární kombinací zbytku: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Pak, pokud odečteme od r-té prvky prvky řady 1. řady násobené l l , prvky 2. řady násobené l 2 atd., konečně prvky (r-1) řady násobené l r-1 , pak rth řádek stane se nulou. Výše uvedený determinant by se přitom podle vlastností determinantu neměl měnit a zároveň by se měl rovnat nule. Je získán rozpor, je prokázána lineární nezávislost řetězců.

Dokažme nyní, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. libovolný řetězec lze vyjádřit pomocí základních řetězců.

Doplňme dříve uvažovanou mollovou ještě o jeden řádek (i-tý) a další sloupec (j-tý). Výsledkem je, že získáme minoritu (r+1)-tého řádu, která se podle definice hodnosti rovná nule.

kde jsou nějaká čísla (některá nebo dokonce všechna tato čísla mohou být rovna nule). To znamená, že mezi prvky sloupců jsou následující rovnosti:

Z (3.3.1) vyplývá, že

Pokud je rovnost (3.3.3) pravdivá tehdy a jen tehdy, pak se řádky nazývají lineárně nezávislé. Vztah (3.3.2) ukazuje, že pokud je jeden z řádků lineárně vyjádřen ostatními, pak jsou řádky lineárně závislé.

Je také snadné vidět opak: pokud jsou řádky lineárně závislé, pak existuje řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků.

Nechť například v (3.3.3) , pak .

Definice. Nechť je v matici A vybrán nějaký moll r-tého řádu a nechť moll (r + 1)-tého řádu téže matice zcela obsahuje moll uvnitř ní. Řekneme, že v tomto případě moll hraničí s nezletilým (nebo hraničí s ).

Nyní dokážeme důležité lemma.

Lemma o hranicích s nezletilými. Pokud je minorita řádu r matice A= nenulová a všechny minority, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak je libovolný řádek (sloupec) matice A lineární kombinací jejích řádků (sloupců), které tvoří .

Důkaz. Aniž bychom narušili obecnost úvahy, budeme předpokládat, že nenulová moll r-tého řádu je v levé horním rohu matice A=:

Pro prvních k řádků matice A je tvrzení lemmatu zřejmé: stačí zahrnout stejný řádek do lineární kombinace s koeficientem rovný jedné, a zbytek - s koeficienty rovnými nule.

Nyní dokážeme, že zbývající řádky matice A jsou lineárně vyjádřeny pomocí prvních k řádků. K tomu zkonstruujeme moll (r + 1) řádu přidáním k-tého řádku () k moll a l-tý sloupec():

Výsledný minor je nulový pro všechna k a l. Jestliže , pak se rovná nule, protože obsahuje dva stejné sloupce. Jestliže , pak výsledný moll je hraniční moll for, a proto je podle hypotézy lemmatu roven nule.

Rozšiřme moll, pokud jde o prvky druhého l-tý sloupec:

Za předpokladu, že dostaneme:

(3.3.6)

Výraz (3.3.6) to znamená k-tý řádek matice A je lineárně vyjádřena prostřednictvím prvních r řádků.

Protože se při transpozici matice nemění hodnoty jejích vedlejších hodnot (kvůli vlastnosti determinantů), vše dokázané platí i pro sloupce. Věta byla prokázána.

Důsledek I. Libovolný řádek (sloupec) matice je lineární kombinací jejích základních řádků (sloupců). Opravdu, základní moll matice je nenulová a všechny minoritní skupiny, které ji obklopují, jsou rovny nule.

Důsledek II. Determinant n-tého řádu je roven nule právě tehdy, pokud obsahuje lineárně závislé řádky (sloupce). Přiměřenost lineární závislostřádků (sloupců) pro determinant na nulu byla prokázána dříve jako vlastnost determinantů.

Pojďme dokázat nutnost. Nechť je dána čtvercová matice n-tého řádu, jejíž jediná vedlejší je rovna nule. Z toho vyplývá, že hodnost této matice je menší než n, tj. existuje alespoň jeden řádek, který je lineární kombinací základních řádků této matice.

Dokažme ještě jednu větu o hodnosti matice.

Teorém. Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců a rovná se hodnosti této matice.

Důkaz. Nechť je hodnost matice A= rovna r. Pak je kterýkoli z jeho k základních řádků lineárně nezávislý, jinak by se menší základna rovnala nule. Na druhou stranu, libovolné r+1 nebo více řádků jsou lineárně závislé. Za předpokladu opaku bychom mohli najít nenulovou moll řádu větší než r důsledkem 2 předchozího lemmatu. To je v rozporu s tím, že maximální pořadí nenulových nezletilých je r. Vše, co bylo prokázáno pro řádky, platí i pro sloupce.

Na závěr uvádíme ještě jednu metodu pro zjištění hodnosti matice. Hodnost matice může být určena nalezením minoru maximálního řádu, který je odlišný od nuly.

Na první pohled to vyžaduje výpočet konečného, ale možná velmi velkého počtu minorů této matice.

Následující věta však umožňuje provést významná zjednodušení.

Teorém. Pokud je vedlejší matice A nenulová a všechny vedlejší položky, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak je hodnost matice r.

Důkaz. Stačí ukázat, že jakýkoli podsystém řádků matice pro S>r bude za podmínek věty lineárně závislý (z toho plyne, že r je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice nebo kterýkoli z jejích menších řádů větší než k se rovná nule).

Předpokládejme opak. Nechť jsou řádky lineárně nezávislé. U lemmatu o hraničních minoritách bude každá z nich lineárně vyjádřena pomocí řádků, ve kterých se minorita nachází a které jsou vzhledem k tomu, že se liší od nuly, lineárně nezávislé:

Nyní zvažte následující lineární kombinaci:

nebo

Pomocí (3.3.7) a (3.3.8) získáme

což odporuje lineární nezávislosti strun.

V důsledku toho je náš předpoklad nepravdivý, a proto jsou všechny řádky S>r za podmínek věty lineárně závislé. Věta byla prokázána.

Zvažte pravidlo pro výpočet hodnosti matice - metodu ohraničení nezletilých, založené na této větě.

Při výpočtu úrovně matice by se mělo přejít od nezletilých nižších řádů k nezletilým vyšších řádů. Pokud již byla nalezena nenulová minoritní kategorie r-tého řádu, pak je třeba vypočítat pouze (r+1)-té položky hraničící s minoritou. Pokud jsou nulové, pak je hodnost matice r. Tato metoda se také používá, pokud nejen vypočítáme hodnost matice, ale také určíme, které sloupce (řádky) tvoří základní minor matice.

Příklad. Vypočítejte hodnost matice metodou lemování nezletilých

Řešení. Menší bod druhého řádu v levém horním rohu matice A je nenulový:

Všichni nezletilí třetího řádu, kteří ji obklopují, se však rovnají nule:

;	;
;	;
;	.

Hodnost matice A je tedy rovna dvěma: .

První a druhý řádek, první a druhý sloupec v této matici jsou základní. Zbývající řádky a sloupce jsou jejich lineární kombinace. Pro řetězce skutečně platí následující rovnosti:

Na závěr si všimneme platnosti následujících vlastností:

1) pořadí součinu matic není větší než pořadí každého z faktorů;

2) hodnost součinu libovolné matice A napravo nebo nalevo u nesingulární čtvercové matice Q se rovná hodnosti matice A.

Polynomiální matice

Definice. Nazývá se polynomiální matice nebo -matice obdélníková matice, jehož prvky jsou polynomy v jedné proměnné s číselnými koeficienty.

Elementární transformace lze provádět na -maticích. Tyto zahrnují:

Permutace dvou řádků (sloupců);

Násobení řádku (sloupce) nenulovým číslem;

Přidání do jednoho řádku (sloupce) dalšího řádku (sloupce), vynásobeného libovolným polynomem.

Dvě -matice a stejné velikosti se nazývají ekvivalentní: pokud je možné přejít z matice na použití konečného počtu elementárních transformací.

Příklad. Dokažte ekvivalenci matic

1. Prohoďte první a druhý sloupec v matici:

2. Od druhého řádku odečtěte první vynásobený ():

3. Vynásobte druhý řádek číslem (-1) a poznamenejte si to

4. Odečteme od druhého sloupce první, vynásobíme , dostaneme

Množina všech -matic daných velikostí je rozdělena do nepřekrývajících se tříd ekvivalentní matice. Matice, které jsou navzájem ekvivalentní, tvoří jednu třídu, nikoli ekvivalentní - jinou.

Každá třída ekvivalentních matic je charakterizována kanonickou nebo normální maticí daných rozměrů.

Definice. Kanonická neboli normální -matice dimenzí je -matice, která má na hlavní diagonále polynomy, kde p je menší z čísel m an ( ), a polynomy, které se nerovnají nule, mají vodicí koeficienty rovné 1 a každý další polynom je dělitelný předchozím. Všechny prvky mimo hlavní diagonálu jsou 0.

Z definice vyplývá, že pokud jsou mezi polynomy polynomy nultého stupně, pak jsou na začátku hlavní diagonály. Pokud jsou nuly, pak jsou na konci hlavní diagonály.

Matice předchozího příkladu je kanonická. Matice

také kanonický.

Každá třída -matrix obsahuje jedinečnou kanonickou -matici, tzn. každá -matice je ekvivalentní jedné kanonické matici, která se nazývá kanonická forma nebo normální tvar dané matice.

Polynomy na hlavní diagonále kanonické formy dané -matice se nazývají invariantní faktory dané matice.

Jednou z metod výpočtu invariantních faktorů je redukce dané -matice na kanonickou formu.

Takže pro matici z předchozího příkladu jsou invariantní faktory

, , , .

Z toho, co bylo řečeno, vyplývá, že přítomnost stejného souboru invariantních faktorů je nezbytnou a postačující podmínkou pro ekvivalenci -matic.

Redukce -matic na kanonickou formu se redukuje na definici invariantních faktorů

, ; ,

kde r je pořadí matice; - největší společný dělitel minoritních k-tých řádů, braný s nejvyšším koeficientem rovným 1.

Příklad. Nechat -matrix

Řešení. Je zřejmé, že největší společný dělitel prvního řádu, tzn. .

Nezletilé druhého řádu definujeme:

atd.

Již tyto údaje stačí k vyvození závěru: proto .

Definujeme

Proto, .

Kanonická forma této matice je tedy následující -matice:

Maticový polynom je vyjádřením tvaru

kde je proměnná; - čtvercové matice řádu n s číselnými prvky.

Jestliže , pak S se nazývá stupeň maticového polynomu, n je řád maticového polynomu.

Jakákoli kvadratická matice může být reprezentována jako maticový polynom. Je zřejmé, že platí i obrácené tvrzení, tzn. jakýkoli maticový polynom může být reprezentován jako nějaká čtvercová matice.

Platnost těchto tvrzení jasně vyplývá z vlastností operací s maticemi. Podívejme se na následující příklady:

Příklad. Představuje polynomiální matici

ve formě maticového polynomu může být následující

Příklad. Maticový polynom

může být reprezentována jako následující polynomiální matice ( -matice)

Tato zaměnitelnost maticových polynomů a polynomických matic hraje zásadní roli v matematický aparát metody faktorové a komponentní analýzy.

Maticové polynomy stejného řádu lze sčítat, odečítat a násobit stejným způsobem jako běžné polynomy s číselnými koeficienty. Je však třeba mít na paměti, že násobení maticových polynomů obecně není komutativní, protože násobení matic není komutativní.

Dva maticové polynomy se nazývají rovné, pokud jsou jejich koeficienty stejné, tzn. odpovídající matice pro stejné mocniny proměnné .

Součet (rozdíl) dvou maticových polynomů je maticový polynom, jehož koeficient na každém stupni proměnné je roven součtu (rozdílu) koeficientů na stejném stupni v polynomech a .

Chcete-li vynásobit maticový polynom maticovým polynomem, musíte vynásobit každý člen maticového polynomu každým členem maticového polynomu, sečíst výsledné produkty a přinést podobné členy.

Stupeň maticového polynomu je součin menší nebo roven součtu stupňů faktorů.

Operace s maticovými polynomy lze provádět pomocí operací s odpovídajícími -maticemi.

Pro sečtení (odečtení) maticových polynomů stačí sečíst (odečíst) odpovídající -matice. Totéž platí pro násobení. -matice součinu maticových polynomů je rovna součinu -matic faktorů.

Na druhou stranu a může být zapsán ve formě

kde B 0 je nesingulární matice.

Při dělení existuje jednoznačně definovaný pravý podíl a pravý zbytek

kde stupeň R 1 je menší než stupeň , nebo (dělení beze zbytku), stejně jako levý kvocient a levý zbytek tehdy a jen tehdy, když, kde, pořadí

Pojem hodnosti matice úzce souvisí s pojmem lineární závislosti (nezávislosti) jejích řádků nebo sloupců. V budoucnu představíme materiál pro řádky, pro sloupce je prezentace podobná.

V matrice A Označme jeho řádky takto:

, , …. ,

Říká se, že dva řádky matice jsou stejné, jestliže jejich odpovídající prvky jsou stejné: , jestliže , .

Aritmetické operace nad řádky matice (násobení řádku číslem, sčítání řádků) jsou zavedeny operace prováděné prvek po prvku:

Čára E se nazývá lineární kombinace strun..., matice, pokud se rovná součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly:

Řádky matice se nazývají lineárně závislé, pokud existují taková čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Věta 3.3Řádky matice jsou lineárně závislé, pokud alespoň jeden řádek matice je lineární kombinací ostatních.

□ Pro jistotu nechť ve vzorci (3.3) , Pak

Řádek je tedy lineární kombinací zbývajících řad. ■

Pokud je lineární kombinace řádků (3.3) rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovné nule, pak se řádky nazývají lineárně nezávislé.

Věta 3.4.(o hodnosti matice) Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými jsou lineárně vyjádřeny všechny její ostatní řádky (sloupce).

□ Nechte matici A velikost m n má hodnost r(r min). To znamená, že existuje nenulová moll r-tý řád. Každý nenulový nezletilý rřád se bude nazývat základní moll.

Základní moll budiž pro jistotu přední nebo rohový moll. Potom jsou řádky matice lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, to znamená, že jeden z těchto řetězců, například , je lineární kombinací zbytku . Odečíst od prvků r-prvky 1. řádku vynásobené , potom prvky 2. řádku násobené , ... a prvky ( r- 1) - tý řádek, vynásobený . Na základě vlastnosti 8 se při takových maticových transformacích její determinant D nemění, ale od r- i řetězec se nyní bude skládat pouze z nul, pak D = 0 - rozpor. Proto je náš předpoklad, že řádky matice jsou lineárně závislé, nesprávný.

Zavolejme struny základní. Ukažme, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. jakýkoli řetězec je vyjádřen pomocí základních řetězců.

Uvažujme vedlejší (r + 1) -tý řád, který získáme doplněním uvažované moll o prvky jiné řady i a sloupec j. Tato vedlejší je nula, protože hodnost matice je r, takže jakákoli minoritní kategorie vyššího řádu je nula.

Jeho rozšířením o prvky posledního (přidaného) sloupce dostaneme

Kde modul posledního algebraického doplňku je stejný jako základní moll D a tedy odlišné od nuly, tzn. 0.

Pojmy lineární závislost a lineární nezávislost jsou definovány pro řádky a sloupce stejným způsobem. Proto vlastnosti spojené s těmito pojmy, formulované pro sloupce, samozřejmě platí i pro řádky.

1. Pokud sloupcový systém obsahuje nulový sloupec, pak je lineárně závislý.

2. Pokud má sloupcový systém dva stejné sloupce, pak je lineárně závislý.

3. Pokud má sloupcový systém dva proporcionální sloupce, pak je lineárně závislý.

4. Systém sloupců je lineárně závislý právě tehdy, když alespoň jeden ze sloupců je lineární kombinací ostatních.

5. Jakékoli sloupce zahrnuté v lineárně nezávislém systému tvoří lineárně nezávislý subsystém.

6. Sloupový systém obsahující lineárně závislý subsystém je lineárně závislý.

7. Pokud je soustava sloupců lineárně nezávislá a po přidání sloupce se ukáže, že je lineárně závislá, lze sloupec rozložit na sloupce a navíc unikátním způsobem, tzn. expanzní koeficienty se nacházejí jednoznačně.

Dokažme např. poslední nemovitost. Protože je sloupcový systém lineárně závislý, nejsou všechna čísla rovna 0, což

v této rovnosti. Opravdu, když, tak

Netriviální lineární kombinace sloupců se tedy rovná nulovému sloupci, což je v rozporu s lineární nezávislostí systému. Proto a pak , tzn. sloupec je lineární kombinace sloupců. Zbývá ukázat jedinečnost takové reprezentace. Předpokládejme opak. Nechť existují dvě expanze a , A ne všechny expanzní koeficienty jsou si navzájem rovny (například ). Pak od rovnosti

Dostaneme (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

postupně se lineární kombinace sloupců rovná nulovému sloupci. Protože ne všechny jeho koeficienty se rovnají nule (alespoň ), je tato kombinace netriviální, což je v rozporu s podmínkou lineární nezávislosti sloupců . Výsledný rozpor potvrzuje jedinečnost rozkladu.

Příklad 3.2. Dokažte, že dva nenulové sloupce a jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou proporcionální, tzn. .

Řešení. Ve skutečnosti, pokud jsou sloupce a lineárně závislé, pak existují čísla , která se zároveň nerovnají nule, takže . A v této rovnosti. Ve skutečnosti, za předpokladu, že , dostaneme kontradikci , protože sloupec je také nenulový. Znamená, . Proto existuje číslo takové, že . Potřeba byla prokázána.

Naopak pokud , tak . Dostali jsme netriviální lineární kombinaci sloupců rovnou nulovému sloupci. Sloupce jsou tedy lineárně závislé.

Příklad 3.3. Zvažte všechny možné systémy vytvořené ze sloupců

Prozkoumejte každý systém na lineární vztah.
Řešení. Zvažte pět systémů obsahujících každý jeden sloupec. Podle odstavce 1 poznámek 3.1: systémy jsou lineárně nezávislé a systém skládající se z jednoho nulového sloupce je lineárně závislý.

Zvažte systémy obsahující každý dva sloupce:

– každý ze čtyř systémů a je lineárně závislý, protože obsahuje nulový sloupec (vlastnost 1);

– systém je lineárně závislý, protože sloupce jsou proporcionální (vlastnost 3): ;

- každý z pěti systémů a je lineárně nezávislý, protože sloupce jsou neproporcionální (viz prohlášení příkladu 3.2).

Zvažte systémy obsahující tři sloupce:

– každý ze šesti systémů a je lineárně závislý, protože obsahuje nulový sloupec (vlastnost 1);

– systémy jsou lineárně závislé, protože obsahují lineárně závislý subsystém (vlastnost 6);

jsou systémy a jsou lineárně závislé, protože poslední sloupec lineárně vyjádřeno zbytkem (vlastnost 4): resp.

Konečně systémy se čtyřmi nebo pěti sloupci jsou lineárně závislé (vlastností 6).

Hodnost matice

V této části se budeme zabývat další důležitou numerickou charakteristikou matice, která souvisí s tím, jak moc na sobě její řádky (sloupce) závisí.

Definice 14.10 Nechť existuje matice velikostí a číslo nepřesahující nejmenší z čísel a : . Zvolme libovolně řádky a sloupce matice (čísla řádků se mohou lišit od počtu sloupců). Determinant matice složené z prvků v průsečíku vybraných řádků a sloupců se nazývá maticový řád minor.

Příklad 14.9 Nechat .

Minor prvního řádu je jakýkoli prvek matice. Takže 2, , jsou nezletilí prvního řádu.

Nezletilí druhého řádu:

1. vezmeme řádky 1, 2, sloupce 1, 2, dostaneme moll ;

2. vezmeme řádky 1, 3, sloupce 2, 4, dostaneme moll ;

3. vezmeme řádky 2, 3, sloupce 1, 4, dostaneme moll

Nezletilí třetího řádu:

řádky zde lze vybrat pouze jedním způsobem,

1. vezměte si sloupce 1, 3, 4, získejte vedlejší ;

2. vezměte si sloupce 1, 2, 3, získejte vedlejší .

Nabídka 14.23 Jsou-li všechny minoritní položky matice řádu rovny nule, pak všechny minority řádu, pokud existují, jsou rovny také nule.

Důkaz. Vezměte si svévolné menší pořadí. Toto je determinant matice pořadí. Pojďme to rozšířit o první řádek. Potom v každém členu expanze bude jeden z faktorů menší než řád původní matice. Za předpokladu je řád nezletilých roven nule. Řád menší bude tedy také roven nule.

Definice 14.11 Hodnost matice je největší z nenulových řádů nezletilých matice. Hodnost nulová matice považován za nulový.

Neexistuje žádný jednotný standardní zápis pro hodnost matice. V návaznosti na tutoriál jej budeme označovat jako .

Příklad 14.10 Matice z příkladu 14.9 má hodnost 3, protože existuje nenulová minoritní skupina třetího řádu, ale neexistují žádné minority čtvrtého řádu.

Hodnost matice se rovná 1, protože existuje nenulový minoritní prvek prvního řádu (prvek matice) a všechny minority druhého řádu jsou rovny nule.

Hodnost nedegenerované čtvercové matice řádu je rovna , protože její determinant je menší než řád a nedegenerovaná matice je nenulová.

Nabídka 14.24 Při transpozici matice se její hodnost nemění, tzn. .

Důkaz. Transponovaný moll původní matice bude moll transponované matice a naopak jakýkoli moll je transponovaný moll původní matice . Při transpozici se determinant (vedlejší) nemění (Tvrzení 14.6). Pokud jsou tedy všechny minority řádu v původní matici rovné nule, pak všechny minority stejného řádu v jsou také rovny nule. Pokud je minoritní řád v původní matici nenulový, pak existuje nenulový minoritní prvek stejného řádu. Proto, .

Definice 14.12 Nechť je hodnost matice . Pak se jakýkoli nenulový řád moll nazývá základní moll.

Příklad 14.11 Nechat . Determinant matice je nula, protože třetí řádek se rovná součtu prvních dvou. Menší druh druhého řádu, umístěný v prvních dvou řádcích a prvních dvou sloupcích, je . Hodnost matice se proto rovná dvěma a uvažovaná vedlejší je základní.

Základní moll je také moll umístěný řekněme v prvním a třetím řádku, prvním a třetím sloupci: . Základem bude vedlejší ve druhém a třetím řádku, prvním a třetím sloupci: .

Vedlejší v prvním a druhém řádku, druhém a třetím sloupci se rovná nule, a proto nebude základní. Čtenář si může samostatně zkontrolovat, kteří další nezletilí druhého řádu jsou základní a kteří ne.

Vzhledem k tomu, že sloupce (řádky) matice lze sčítat, násobit čísly, tvoří lineární kombinace, je možné zavést definice lineární závislosti a lineární nezávislosti systému sloupců (řádků) matice. Tyto definice jsou podobné stejným definicím 10.14, 10.15 pro vektory.

Definice 14.13 Systém sloupců (řádků) se nazývá lineárně závislý, pokud existuje taková množina koeficientů, z nichž alespoň jeden je nenulový, že lineární kombinace sloupců (řádků) s těmito koeficienty bude rovna nule.

Definice 14.14 Systém sloupců (řádků) je lineárně nezávislý, pokud z rovnosti k nule lineární kombinace těchto sloupců (řádků) vyplývá, že všechny koeficienty této lineární kombinace jsou rovny nule.

Následující tvrzení, podobné tvrzení 10.6, je také pravdivé.

Nabídka 14.25 Systém sloupců (řádků) je lineárně závislý právě tehdy, když jeden ze sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací jiných sloupců (řádků) tohoto systému.

Formulujeme větu tzv základní vedlejší věta.

Věta 14.2 Jakýkoli sloupec matice je lineární kombinací sloupců procházejících základním moll.

Důkaz lze nalézt v učebnicích na lineární algebra, například v , .

Nabídka 14.26 Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích sloupců, které tvoří lineárně nezávislý systém.

Důkaz. Nechť je hodnost matice . Vezměme si sloupce procházející základem moll. Předpokládejme, že tyto sloupce tvoří lineárně závislý systém. Pak je jeden ze sloupců lineární kombinací ostatních. Proto v základu minor bude jeden sloupec lineární kombinací ostatních sloupců. Podle tvrzení 14.15 a 14.18 musí být tato základní moll rovna nule, což odporuje definici základní moll. Předpoklad, že sloupce procházející bází minor jsou lineárně závislé, tedy není pravdivý. Maximální počet sloupců tvořících lineárně nezávislý systém je tedy větší nebo roven .

Předpokládejme, že sloupce tvoří lineárně nezávislý systém. Udělejme z nich matrici. Všichni matriční nezletilí jsou matriční nezletilí. Základ matice má tedy řád nejvýše . Podle věty o základní minoritě je sloupec, který neprochází základní minor matice, lineární kombinací sloupců, které procházejí základní minoritou, to znamená, že sloupce matice tvoří lineárně závislý systém. To je v rozporu s výběrem sloupců, které tvoří matici. Maximální počet sloupců tvořících lineárně nezávislý systém proto nemůže být větší než . Proto se rovná , jak je uvedeno.

Nabídka 14.27 Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích řádků, které tvoří lineárně nezávislý systém.

Důkaz. Podle tvrzení 14.24 se hodnost matice při transpozici nemění. Řádky matice se stávají jejími sloupci. Maximální počet nových sloupců transponované matice (dřívějších řádků původní) tvořících lineárně nezávislý systém je roven hodnosti matice.

Nabídka 14.28 Pokud je determinant matice roven nule, pak jeden z jejích sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací zbývajících sloupců (řádků).

Důkaz. Nechť je pořadí matice . Determinant je jediná menší čtvercová matice, která má řád. Protože se rovná nule, pak . Proto je systém sloupců (řádků) lineárně závislý, to znamená, že jeden ze sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací ostatních.

Výsledky tvrzení 14.15, 14.18 a 14.28 dávají následující větu.

Věta 14.3 Determinant matice je nula právě tehdy, když jeden z jejích sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací ostatních sloupců (řádků).

Najít hodnost matice pomocí výpočtu všech jejích nezletilých vyžaduje příliš mnoho výpočetní práce. (Čtenář si to může ověřit čtvercová maticečtvrtého řádu 36 nezletilých druhého řádu.) Proto je k nalezení hodnosti použit jiný algoritmus. K jeho popisu jsou zapotřebí některé další informace.

Definice 14.15 Následující operace na nich nazýváme elementární transformace matic:

1) permutace řádků nebo sloupců;
2) násobení řádku nebo sloupce nenulovým číslem;
3) přidání do jednoho z řádků dalšího řádku, vynásobeného číslem, nebo přidání do jednoho ze sloupců jiného sloupce, vynásobeného číslem.

Nabídka 14.29 Na elementární transformace hodnost matice se nemění.

Důkaz. Nechť je hodnost matice rovna , -- matici vyplývající z elementární transformace.

Zvažte permutaci řetězců. Dovolit být menší matice , pak matice má menší , která se s ní buď shoduje, nebo se od ní liší permutací řádků. A naopak, jakákoli matice minor může být spojena s maticí minor, která se s ní buď shoduje, nebo se od ní liší v pořadí řádků. Z toho, že v matici jsou tedy všechny minority řádu rovny nule, vyplývá, že v matici jsou také všechny minority tohoto řádu rovny nule. A protože matice má nenulový řád minor, má matice také nenulový řád minor, tj.

Zvažte vynásobení řetězce nenulovým číslem. Vedlejší z matice odpovídá moll z matice, která se s ní buď shoduje, nebo se od ní liší pouze jedním řádkem, který se získá z vedlejšího řádku vynásobením nenulovým číslem. V posledním případě. Ve všech případech nebo a jsou současně rovné nule nebo současně odlišné od nuly. Proto, .

kde jsou nějaká čísla (některá nebo dokonce všechna tato čísla mohou být rovna nule). To znamená, že mezi prvky sloupců jsou následující rovnosti:

nebo , .

Z (3.3.1) vyplývá, že

(3.3.2)

kde je nulový řetězec.

Definice. Řádky matice A jsou lineárně závislé, pokud existují čísla , která se všechna nerovnají nule současně, tj.

(3.3.3)

Je také snadné vidět opak: pokud jsou řádky lineárně závislé, pak existuje řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků.

Nechť například v (3.3.3) , pak .

Definice. Nechť je v matici A vybrána nějaká vedlejší r řádu a nechat nezletilé ( r +1)-tý řád stejné matice zcela obsahuje minor . Řekneme, že v tomto případě moll hraničí s nezletilým (nebo hraničí s ).

Nyní dokážeme důležité lemma.

Lemmao hranicích s nezletilými. Pokud je objednávka nezletilá r matice A = je nenulová a všechny vedlejší matice, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak jakýkoli řádek (sloupec) matice A je lineární kombinací jejích řádků (sloupců), které tvoří .

Důkaz. Aniž bychom porušili obecnost uvažování, budeme předpokládat, že nenulový moll r pořadí je v levém horním rohu matice A=:

Za první k řádků matice A je tvrzení lemmatu zřejmé: do lineární kombinace stačí zahrnout stejný řádek s koeficientem rovným jedné a zbytek s koeficienty rovnými nule.

Dokažme nyní, že zbývající řádky matice A jsou lineárně vyjádřeny první k linky. Za tímto účelem zkonstruujeme vedlejší ( r +1) pořadí přidáním k moll k -tý řádek () a l-tý sloupec():

Výsledná vedlejší je nula pro všechny k a l . Jestliže , pak se rovná nule, protože obsahuje dva stejné sloupce. Jestliže , pak výsledný moll je hraniční moll for, a proto je podle hypotézy lemmatu roven nule.

Rozšiřme moll, pokud jde o prvky druhéhol-tý sloupec:

(3.3.4)

kde jsou algebraické doplňky prvků . Algebraické sčítání je vedlejší matice A, takže . Vydělte (3.3.4) a vyjádřete v termínech:

(3.3.5)

Kde, .

Za předpokladu, že dostaneme:

(3.3.6)

Výraz (3.3.6) to znamená k řádek matice A je lineárně vyjádřen jako první r řádky.

Protože se při transpozici matice nemění hodnoty jejích vedlejších hodnot (kvůli vlastnosti determinantů), vše dokázané platí i pro sloupce. Věta byla prokázána.

Důsledek I . Jakýkoli řádek (sloupec) matice je lineární kombinací jejích základních řádků (sloupců). Ve skutečnosti je menší základ matice odlišný od nuly a všechny minoritní položky, které s ní sousedí, jsou rovny nule.

Důsledek II. Determinant n řád je roven nule právě tehdy, pokud obsahuje lineárně závislé řádky (sloupce). Dostatečnost lineární závislosti řádků (sloupců) pro rovnost determinantu k nule byla prokázána již dříve jako vlastnost determinantů.

Pojďme dokázat nutnost. Nechť je dána čtvercová matice n řádu, jehož jediná vedlejší je rovna nule. Z toho vyplývá, že hodnost této matice je menší než n , tj. existuje alespoň jeden řádek, který je lineární kombinací základních řádků této matice.

Dokažme ještě jednu větu o hodnosti matice.

Teorém.Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců a rovná se hodnosti této matice.

Důkaz. Nechť je hodnost matice A= rovna r . Pak některý z jeho k základní řádky jsou lineárně nezávislé, jinak by základ menší byl nula. Na druhou stranu jakékoliv r +1 nebo více řádků je lineárně závislé. Za předpokladu opaku bychom mohli najít menší řád větší než r , který je nenulový podle Důsledku 2 předchozího lemmatu. To je v rozporu s tím, že maximální pořadí nenulových nezletilých se rovná r . Vše, co bylo prokázáno pro řádky, platí i pro sloupce.

Na závěr uvádíme ještě jednu metodu pro zjištění hodnosti matice. Hodnost matice může být určena nalezením minoru maximálního řádu, který je odlišný od nuly.

Na první pohled to vyžaduje výpočet konečného, ale možná velmi velkého počtu minorů této matice.

Následující věta však umožňuje provést významná zjednodušení.

Teorém.Pokud je vedlejší matice A odlišná od nuly a všechny vedlejší položky, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak se hodnost matice rovná r .

Důkaz. Stačí ukázat, že jakýkoli podsystém matice řádků pro S > r bude za podmínek věty lineárně závislá (z toho bude plynout, že r je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice nebo libovolného z jejích menších řádů větší než k je nula).

(3.3.7)

Uvažujme matici K z koeficientů lineárních výrazů (3.3.7):

Řádky této matice budou označeny . Budou lineárně závislé, jelikož hodnost matice K, tzn. nepřekračuje maximální počet jeho lineárně nezávislých řad r< S . Proto existují taková čísla, ne všechna rovna nule, že

Přejděme k rovnosti složek

(3.3.8)

Nyní zvažte následující lineární kombinaci:

nebo