Teorie komplexní proměnné. Funkce komplexní proměnné. Diferenciace funkcí komplexní proměnné. Cauchy-Riemannovy podmínky

Federální agentura pro vzdělávání

___________________________________

Stát Petrohrad

Elektrotechnická univerzita "LETI"

_______________________________________

Teorie funkcí komplexní proměnné

Směrnice

na praktická cvičení

ve vyšší matematice

Petrohrad

Vydavatelství Petrohradské elektrotechnické univerzity "LETI"

MDT 512,64(07)

TFKP: Směrnice pro řešení problémů / komp.: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovskij. Petrohrad: Nakladatelství sv.

Schválený

redakční a vydavatelská rada univerzity

jako vodítka

© Petrohradská elektrotechnická univerzita "LETI", 2010

Funkce komplexní proměnné ,, se v obecném případě liší od zobrazení reálné roviny
sama o sobě pouze formou záznamu. Důležitým a mimořádně užitečným objektem je třída funkce komplexní proměnné,

mající stejnou derivaci jako funkce jedné proměnné. Je známo, že funkce více proměnných mohou mít parciální a směrové derivace, ale derivace v různých směrech se zpravidla neshodují a nelze v bodě hovořit o derivaci. Pro funkce komplexní proměnné je však možné popsat podmínky, za kterých připouštějí derivaci. Studium vlastností diferencovatelných funkcí komplexní proměnné je obsahem vodítek. Návod je zaměřen na demonstraci toho, jak lze vlastnosti takových funkcí využít k řešení různých problémů. Úspěšné zvládnutí prezentované látky není možné bez elementárních dovedností v počítání s komplexními čísly a obeznámenosti s nejjednoduššími geometrickými objekty definovanými z hlediska nerovností vztahujících se k reálné a imaginární části komplexního čísla, jakož i jeho modulu a argumentu. Souhrn všech informací potřebných k tomu naleznete v pokynech.

V textu pokynů je široce používán standardní aparát matematické analýzy: limity, derivace, integrály, řady. Tam, kde mají tyto pojmy svá specifika, jsou ve srovnání s funkcemi jedné proměnné uvedena odpovídající vysvětlení, většinou však stačí oddělit reálnou a imaginární část a aplikovat na ně standardní aparát reálné analýzy.

1. Elementární funkce komplexní proměnné

Je přirozené začít diskutovat o podmínkách diferencovatelnosti funkcí komplexní proměnné tím, že si ujasníme, které elementární funkce tuto vlastnost mají. Z zřejmého vztahu

Následuje diferencovatelnost libovolného polynomu. A protože mocninnou řadu lze členit po členu uvnitř kruhu její konvergence,

pak je jakákoli funkce diferencovatelná v bodech, kolem kterých ji lze rozšířit v Taylorově řadě. To je podmínka postačující, ale jak se brzy ukáže, také nezbytná. Studium funkcí jedné proměnné je vhodné podpořit derivací řízením chování grafu funkce. U funkcí komplexní proměnné to není možné. Body grafu leží v prostoru dimenze 4, .

Nicméně určité grafické znázornění funkce lze získat uvažováním obrázků dostatečně jednoduchých množin komplexní roviny
vznikající vlivem dané funkce. Z tohoto pohledu zvažte například několik jednoduchých funkcí.

Lineární funkce

Tento jednoduchá funkce je velmi důležitá, protože jakákoli diferencovatelná funkce je lokálně podobná lineární. Zvažte akci funkce s maximálními detaily

Tady
-- modul komplexního čísla A je jeho argument. Lineární funkce tedy provádí natažení, rotaci a smyk. Proto lineární mapování mapuje jakoukoli množinu na podobnou množinu. Zejména pod vlivem lineárního mapování se čáry mění v čáry a kruhy v kružnice.

Funkce

Tato funkce je co do složitosti další po lineární. Těžko očekávat, že na úsečku vezme jakoukoli úsečku a kružnici na kružnici, jednoduché příklady ukazují, že se to neděje, nicméně lze ukázat, že tato funkce vezme množinu všech úseček a kružnic do sebe . Pro ověření je vhodné přejít na skutečný (souřadnicový) popis mapování

Důkaz vyžaduje popis inverzního zobrazení

Zvažte rovnici if
, pak dostaneme obecnou rovnici přímky. Li
, Že

Proto při
dostaneme rovnici libovolné kružnice.

Všimněte si, že pokud
A
, pak kružnice prochází počátkem. Li
A
, pak dostanete přímku procházející počátkem.

Působením inverze se uvažovaná rovnice přepíše do tvaru

, (
)

nebo . Je vidět, že jde také o rovnici popisující buď kružnice nebo přímky. Skutečnost, že v rovnici koeficienty A
swapped znamená, že během inverze se čáry procházející 0 změní na kružnice a kružnice procházející 0 se změní na čáry.

Výkonové funkce

Hlavní rozdíl mezi těmito funkcemi a těmi, které byly zvažovány dříve, je v tom, že nejsou individuální (
). Můžeme říci, že funkce
mapuje komplexní rovinu na dvě instance stejné roviny. Pečlivé zvážení tohoto tématu vyžaduje použití těžkopádného aparátu Riemannových ploch a přesahuje rámec zde uvažovaných otázek. Je důležité pochopit, že komplexní rovinu lze rozdělit na sektory, z nichž každý je namapován na komplexní rovinu jedna ku jedné. Toto je rozdělení funkce
vypadá takto, Například horní polorovina je mapována jedna ku jedné do komplexní roviny pomocí funkce
. Zkreslení geometrie pro takové obrázky je obtížnější popsat než v případě inverze. Jako cvičení můžete vysledovat, k čemu při zobrazení směřuje mřížka pravoúhlých souřadnic horní poloroviny

Je vidět, že mřížka pravoúhlých souřadnic se transformuje na rodinu parabol tvořících systém křivočaré souřadnice v letadle
. Rozdělení roviny popsané výše je takové, že funkce
zobrazí každý z sektory v celé rovině. Popis dopředného a zpětného mapování vypadá takto

Takže funkce
Má to různé inverzní funkce,

v různých sektorech letadla

V takových případech se o mapování říká, že je vícelistové.

Žukovského funkce

Funkce má svůj vlastní název, protože tvořila základ teorie křídla letadla, vytvořené Žukovským (popis tohoto návrhu lze nalézt v knize). Funkce má řadu zajímavých vlastností, zaměřme se na jednu z nich – zjistěte, na kterých sadách tato funkce působí jedna ku jedné. Zvažte rovnost

, kde
.

Proto je funkce Žukovského jedna ku jedné v jakékoli doméně, ve které, pro jakoukoli A jejich součin se nerovná jednotě. Jedná se například o otevřený jednotkový kruh
a doplněk uzavřeného jednotkového kruhu
.

Zvažte tedy působení Žukovského funkce na kružnici

Oddělením reálné a imaginární části získáme parametrickou rovnici elipsy

,
.

Li
, pak tyto elipsy vyplňují celou rovinu. Podobně je ověřeno, že obrazy segmentů jsou hyperboly

.

Exponenciální funkce

Funkci lze rozšířit v mocninné řadě, která konverguje absolutně v celé komplexní rovině, proto je všude diferencovatelná. Popišme množiny, na kterých je funkce jedna ku jedné. Jednoznačná rovnost
ukazuje, že rovinu lze rozdělit do rodiny pásů, z nichž každý je funkcí mapován jedna ku jedné na celou komplexní rovinu. Tento oddíl je nezbytný pro pochopení toho, jak funguje inverzní funkce, nebo spíše inverzní funkce. Na každém z pásů je přirozeně definována inverzní mapa

Inverzní funkce je v tomto případě také multivalentní a počet inverzních funkcí je nekonečný.

Geometrický popis mapování je celkem jednoduchý: rovné čáry
proměnit v trámy
, segmenty

pohybovat do kruhů
.

Kde
jsou reálná čísla a - zvláštní charakter, který se nazývá pomyslná jednotka . U imaginární jednotky se podle definice předpokládá, že
.

(4.1) – algebraický tvar komplexní číslo a
volal reálná část komplexní číslo a
-imaginární část .

Číslo
volal komplexní konjugát na číslo
.

Nechť jsou dána dvě komplexní čísla
,
.

1. součet
komplexní čísla A nazývá komplexní číslo

2. rozdíl
komplexní čísla A nazývá komplexní číslo

3. práce
komplexní čísla A nazývá komplexní číslo

4. Soukromé z dělení komplexního čísla na komplexní číslo
nazývá komplexní číslo

.

Poznámka 4.1. To znamená, že operace s komplexními čísly jsou zavedeny podle obvyklých pravidel aritmetických operací na doslovných výrazech v algebře.

Příklad 4.1. Jsou uvedena komplexní čísla. Nalézt

.

Řešení. 1) .

4) Vynásobením čitatele a jmenovatele komplexním konjugátem jmenovatele dostaneme

trigonometrický tvar komplexní číslo:

Kde
je modul komplexního čísla,
je argument komplexního čísla. Roh definovány nejednoznačně, až do termínu
:

,
.

- hlavní hodnota argumentu, určená podmínkou

, (nebo
).

indikativní formulář komplexní číslo:

.

Vykořenit
stupeň čísla Má to různé hodnoty, které se zjistí podle vzorce

Kde
.

Body odpovídající hodnotám
, jsou vrcholy reguláru
čtverec vepsaný do kruhu o poloměru
se středem v počátku.

Příklad 4.2. Najděte všechny kořenové hodnoty
.

Řešení. Představte si komplexní číslo
v trigonometrickém tvaru:

,

, kde
.

Pak
. Proto podle vzorce (4.2)
má čtyři významy:

,
.

Za předpokladu
, shledáváme

,
,

, .

Zde jsme převedli hodnoty argumentu na jeho hlavní hodnotu.

Sady na komplexní rovinu

Komplexní číslo
vyobrazený v letadle
tečka
se souřadnicemi
. Modul
a argument
odpovídají polárním souřadnicím bodu
.

Je užitečné si tuto nerovnost pamatovat
definuje kružnici se středem v bodě poloměr . Nerovnost
definuje polorovinu umístěnou napravo od přímky
a nerovnost
- polorovina umístěná nad přímkou
. Navíc systém nerovností
nastavuje úhel mezi paprsky
A
vycházející z počátku souřadnic.

Příklad 4.3. Nakreslete oblast definovanou nerovnostmi:
.

Řešení. První nerovnost odpovídá prstenci se středem v bodě
a dva poloměry 1 a 2, kružnice se do plochy nezapočítávají (obr. 4.1).

Druhá nerovnost odpovídá úhlu mezi paprsky
(sektor 4. souřadnicového úhlu) a
(kladný směr osy
). Samotné paprsky do regionu nepronikají (obr. 4.2).

Požadovaná oblast je průsečíkem dvou získaných oblastí (obr. 4.3)

4.2. Funkce komplexní proměnné

Nechť funkci s jednou hodnotou
definované a spojité v doméně
, A je po částech hladká uzavřená nebo neuzavřená orientovaná křivka ležící v
. Nechte, jako obvykle,
,,Kde
,
- reálné funkce proměnných A .

Výpočet integrálu funkce
komplexní proměnná redukuje na výpočet obyčejných křivočarých integrálů, jmenovitě

Pokud je funkce
je analytický v jednoduše propojené doméně
obsahující body A , pak Newton-Leibnizův vzorec platí:

Kde
- nějaký primitivní prvek pro funkci
, to je
v oblasti
.

V integrálech funkcí komplexní proměnné lze měnit proměnnou a integrace po částech je podobná tomu, jak se to dělá při výpočtu integrálů funkcí reálné proměnné.

Všimněte si také, že pokud je integrační cesta součástí přímky začínající z bodu , nebo část kruhu se středem v bodě , pak je užitečné změnit proměnnou formuláře
. V prvním případě
, A - reálná integrační proměnná; v druhém případě
, A je skutečná integrační proměnná.

Příklad 4.4. Vypočítat
podél paraboly
od bodu
do té míry
(Obrázek 4.4).

Příklad 4.5. Vypočítat integrál
, Kde - oblouk kruhu
,
(obr. 4.5) .

Funkce
, jednohodnotové a analytické v kruhu
, se v tomto prstenci rozkládá na série Laurent

Ve vzorci (4.5) řada
volal hlavní část Laurentova série a série
volal pravá část Laurent řada.

Definice 4.1. Tečka volalizolovaný singulární bod funkcí
pokud existuje okolí tohoto bodu, kde funkce
je analytický všude kromě samotného bodu .

Funkce
v blízkosti bodu lze rozšířit v sérii Laurent. Jsou tři možné jiná příležitost když série Laurent:

1) neobsahuje termíny se zápornými stupni rozdílu
, to je

(série Laurent neobsahuje hlavní díl). V tomto případě volal odnímatelný singulární bod funkcí
;

2) obsahuje konečný počet členů se zápornými stupni rozdílu
, to je

,

a
. V tomto případě jde o pointu volal pól řádu funkcí
;

3) obsahuje nekonečné číslo termíny se zápornými stupni:

.

V tomto případě jde o pointu volal podstatný bod funkcí
.

Při určování povahy izolovaného singulárního bodu není nutné hledat rozšíření Laurentovy řady. Můžete použít různé vlastnosti izolovaných klíčových bodů.

1) je odnímatelný singulární bod funkce
pokud existuje konečná limita funkce
na místě :

.

2) je pólem funkce
, Pokud

.

3) je základním singulárním bodem funkce
, pokud v
funkce nemá limitu, ani konečnou, ani nekonečnou.

Definice 4.2. Tečka volalnula
objednat (nebo násobnosti ) funkcí
pokud jsou splněny následující podmínky:

…,

.

Poznámka 4.2. Tečka pak a teprve tehdy je nula
objednat funkcí
když v nějakém sousedství tohoto bodu rovnost

,

kde je funkce
je v podstatě analytický A

4) tečka je pólem řádu (
) funkce
pokud je tento bod nula řádu pro funkci
.

5) nech - izolovaný singulární bod funkce
, Kde
- analytické funkce v bodě . A nechte tečku je řád nula funkcí
a objednávka nula funkcí
.

Na
tečka je pólem řádu
funkcí
.

Na
tečka je odnímatelný singulární bod funkce
.

Příklad 4.6. Najděte izolované body a určete jejich typ pro funkci
.

Řešení. Funkce
A
- analytické v celé komplexní rovině. Tedy singulární body funkce
jsou nuly ve jmenovateli, tedy body, kde
. Takových bodů je nekonečně mnoho. Za prvé, o to jde
, stejně jako body splňující rovnici
. Odtud
A
.

Zvažte jednu věc
. V tomto bodě dostáváme:

,
,

,
.

Řád nula je
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Takže pointa
je pól druhého řádu (
).

. Pak

,
.

Pořadí nulového čitatele je
.

,
,
.

Pořadí nulového jmenovatele je
. Proto body
na
jsou póly prvního řádu ( jednoduché tyče ).

Věta 4.1. (Cauchyho věta o zbytku ). Pokud je funkce
je analytický na hranici oblasti
a všude uvnitř oblasti, kromě konečného počtu singulárních bodů
, Že

.

Při počítání integrálů se vyplatí pečlivě najít všechny singulární body funkce
, pak nakreslete obrys a speciální body a poté vyberte pouze body, které jsou uvnitř integračního obrysu. Udělat správnou volbu bez obrázku je často obtížné.

Způsob výpočtu srážky
závisí na typu singulárního bodu. Proto před výpočtem zbytku musíte určit typ singulárního bodu.

1) funkční zbytek v bodě se rovná koeficientu mínus první mocnina v Laurentově expanzi
v blízkosti bodu :

.

Toto tvrzení platí pro všechny typy izolovaných bodů, a proto v tomto případě není nutné určovat typ singulárního bodu.

2) zbytek v odstranitelném singulárním bodě je roven nule.

3) pokud je jednoduchý pól (pól prvního řádu) a funkce
může být reprezentován jako
, Kde
,
(všimněte si, že v tomto případě
), pak zbytek v bodě rovná se

.

Zejména pokud
, Že
.

4) pokud je tedy jednoduchý pól

5) pokud - tyč
funkce řádu
, Že

Příklad 4.7. Vypočítat integrál
.

Potom pomocí vzorce (4.7) najdeme zbytek v tomto bodě:

Na základě věty 4.1 najdeme

Funkce komplexní proměnné.
Diferenciace funkcí komplexní proměnné.

Tento článek otevírá sérii lekcí, ve kterých se budu zabývat typickými problémy souvisejícími s teorií funkcí komplexní proměnné. Pro úspěšné zvládnutí příkladů musíte mít základní znalosti o komplexních číslech. Pro upevnění a opakování materiálu stačí navštívit stránku. Budete také potřebovat dovednosti k nalezení parciální derivace druhého řádu. Tady jsou, tyhle parciální derivace ... ještě teď mě trochu překvapilo, jak často se vyskytují ...

Téma, které začínáme analyzovat, není nijak zvlášť obtížné a ve funkcích komplexní proměnné je v zásadě vše jasné a přístupné. Hlavní je dodržet základní pravidlo, které je mnou empiricky odvozeno. Číst dál!

Pojem funkce komplexní proměnné

Nejprve si obnovme znalosti o školní funkci jedné proměnné:

Funkce jedné proměnné je pravidlo, podle kterého každá hodnota nezávisle proměnné (z definičního oboru) odpovídá jedné a pouze jedné hodnotě funkce . Přirozeně, "x" a "y" jsou reálná čísla.

Ve složitém případě funkční závislost se nastavuje stejným způsobem:

Jednohodnotová funkce komplexní proměnné je pravidlem, že každý obsáhlý hodnota nezávisle proměnné (z domény) odpovídá jedné a jediné obsáhlý funkční hodnotu. Teoreticky se uvažuje i o vícehodnotových a některých dalších typech funkcí, ale pro jednoduchost se zaměřím na jednu definici.

Jaká je funkce komplexní proměnné?

Hlavní rozdíl je v tom, že čísla jsou komplexní. Nebudu ironický. Z takových otázek často upadnou do strnulosti, na konci článku řeknu skvělý příběh. Na lekci Komplexní čísla pro figuríny uvažovali jsme o komplexním čísle ve tvaru . Od této chvíle se stalo písmeno "Z". variabilní, pak to budeme označovat takto: , zatímco "x" a "y" mohou mít různé platný hodnoty. Zhruba řečeno, funkce komplexní proměnné závisí na proměnných a , které nabývají „obvyklých“ hodnot. Z tento fakt následuje logicky následující bod:

Funkci komplexní proměnné lze zapsat jako:
, kde a jsou dvě funkce dvou platný proměnné.

Funkce je volána reálná část funkce .
Funkce je volána imaginární část funkce .

To znamená, že funkce komplexní proměnné závisí na dvou reálných funkcích a . Abychom si vše konečně ujasnili, podívejme se na praktické příklady:

Příklad 1

Řešení: Nezávislá proměnná "z", jak si pamatujete, se zapisuje jako , tedy:

(1) Nahrazeno do původní funkce.

(2) Pro první člen byl použit vzorec pro redukované násobení. V termínu byly otevřeny závorky.

(3) Pečlivě zarovnané, nezapomeňte na to

(4) Přeuspořádání termínů: první přepište termíny , ve kterém není žádná pomyslná jednotka(první skupina), pak termíny, kde je (druhá skupina). Je třeba poznamenat, že není nutné přehazovat pojmy, a tuto fázi lze přeskočit (ve skutečnosti to dělá verbálně).

(5) Druhá skupina je vyjmuta z hranatých závorek.

Výsledkem bylo, že naše funkce byla zastoupena ve formě

Odpovědět:
je skutečnou součástí funkce .
je imaginární část funkce .

Jaké jsou tyto funkce? Nejobyčejnější funkce dvou proměnných, ze kterých lze najít tak populární částečné derivace. Bez milosti – najdeme. Ale o něco později.

Algoritmus řešeného problému lze ve stručnosti napsat takto: dosadíme do původní funkce, provedeme zjednodušení a rozdělíme všechny členy do dvou skupin - bez imaginární jednotky (reálná část) a s imaginární jednotkou (imaginární část).

Příklad 2

Najděte skutečnou a imaginární část funkce

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Než se vrhnete do bitvy na složitém letadle s průvany, dovolte mi, abych vám dal maximum důležitá rada na toto téma:

BUĎ OPATRNÝ! Musíte být opatrní, samozřejmě, všude, ale v komplexních číslech byste měli být opatrní více než kdy jindy! Pamatujte na to, opatrně roztáhněte závorky, nic neztratíte. Podle mého pozorování je nejčastější chybou ztráta znaménka. Nespěchej!

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Nyní kostka. Pomocí zkráceného vzorce pro násobení odvodíme:
.

Vzorce jsou v praxi velmi pohodlné, protože značně urychlují proces řešení.

Diferenciace funkcí komplexní proměnné.

Mám dvě zprávy: dobrou a špatnou. Začnu dobrým. Pro funkci komplexní proměnné platí pravidla derivace a tabulka derivací elementárních funkcí. Derivace se tedy bere úplně stejně jako v případě funkce reálné proměnné.

Špatná zpráva je, že pro mnoho funkcí komplexní proměnné neexistuje vůbec žádná derivace a musíte na to přijít je diferencovatelný jednu nebo druhou funkci. A „zjištění“, jak se vaše srdce cítí, je spojeno s dalšími problémy.

Uvažujme funkci komplexní proměnné. V následujících situacích danou funkci bylo rozlišitelné nutné a dostatečné:

1) Aby existovaly parciální derivace prvního řádu. Na tyto zápisy hned zapomeňte, protože v teorii funkce komplexní proměnné se tradičně používá jiná verze zápisu: .

2) K provedení tzv Cauchy-Riemannovy podmínky:

Pouze v tomto případě bude derivace existovat!

Příklad 3

Řešení se rozloží do tří po sobě jdoucích fází:

1) Najděte reálné a imaginární části funkce. Tato úloha byla analyzována v předchozích příkladech, takže ji napíšu bez komentáře:

Od té doby:

Tím pádem:

je imaginární část funkce .

Ještě u jednoho se zastavím technický bod: v jakém pořadí psát pojmy v reálných a imaginárních částech? Ano, v podstatě je to jedno. Například skutečná část může být napsána takto: , a pomyslně - takto: .

2) Zkontrolujte splnění Cauchy-Riemannových podmínek. Jsou dva.

Začněme kontrolou stavu. Shledáváme částečné derivace:

Tím je podmínka splněna.

Dobrou zprávou bezesporu je, že parciální derivace jsou téměř vždy velmi jednoduché.

Kontrolujeme splnění druhé podmínky:

Dopadlo to stejně, ale s opačnými znaménky, tedy podmínka je také splněna.

Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny, proto je funkce diferencovatelná.

3) Najděte derivaci funkce. Derivát je také velmi jednoduchý a lze jej nalézt podle obvyklých pravidel:

Imaginární jednotka v diferenciaci je považována za konstantu.

Odpovědět: - skutečná část je pomyslná část.
Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny, .

Existují další dva způsoby, jak najít derivaci, samozřejmě se používají méně často, ale informace se budou hodit pro pochopení druhé lekce - Jak najít funkci komplexní proměnné?

Derivát lze najít pomocí vzorce:

V tento případ:

Tím pádem

Je nutné vyřešit inverzní úlohu - ve výsledném výrazu je třeba izolovat . K tomu je nutné v termínech a vyjmout ze závorek:

obrácená akce, jak si mnozí všimli, je poněkud obtížnější provést, pro ověření je vždy lepší vzít výraz a na konceptu nebo slovně otevřít závorky zpět a ujistit se, že to dopadne přesně

Zrcadlový vzorec pro nalezení derivace:

V tomto případě: , Proto:

Příklad 4

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Pokud jsou splněny Cauchy-Riemannovy podmínky, najděte derivaci funkce.

Krátké řešení a přibližná ukázka dokončení na konci lekce.

Jsou Cauchy-Riemannovy podmínky vždy splněny? Teoreticky se častěji nenaplňují, než jsou. Ale v praktických příkladech si nepamatuji případ, kdy by nebyly provedeny =) Pokud tedy vaše parciální derivace „nekonvergovaly“, pak s velmi vysokou pravděpodobností můžeme říci, že jste někde udělali chybu.

Pojďme si zkomplikovat naše funkce:

Příklad 5

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Vypočítat

Řešení: Algoritmus řešení je zcela zachován, ale na konci je přidán nový mód: nalezení derivace v bodě. Pro krychli již byl odvozen požadovaný vzorec:

Pojďme definovat skutečné a imaginární části této funkce:

Pozor a zase pozor!

Od té doby:


Tím pádem:
je skutečná část funkce;
je imaginární část funkce .

Kontrola druhé podmínky:

Dopadlo to stejně, ale s opačnými znaménky, tedy podmínka je také splněna.

Cauchyho-Riemannovy podmínky jsou splněny, proto je funkce diferencovatelná:

Vypočítejte hodnotu derivace v požadovaném bodě:

Odpovědět:, , Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny,

Funkce s kostkami jsou běžné, takže příklad ke konsolidaci:

Příklad 6

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Vypočítejte .

Rozhodnutí a vzorová úprava na konci lekce.

V teorii komplexní analýzy jsou také definovány další funkce komplexního argumentu: exponenciální, sinusová, kosinusová atd. Tyto funkce mají neobvyklé a dokonce bizarní vlastnosti - a je to opravdu zajímavé! Opravdu vám to chci říct, ale tady se to právě stalo, ne referenční kniha nebo učebnice, ale řešení, takže zvážím stejný úkol s některými běžnými funkcemi.

Nejprve o tzv Eulerovy vzorce:

Pro každého platnýčísla, platí následující vzorce:

Můžete si jej také zkopírovat do svého notebooku jako referenci.

Přísně vzato, existuje pouze jeden vzorec, ale obvykle pro pohodlí také píší speciální případ s indikátorem mínus. Parametr nemusí být jedno písmeno, může to být složitý výraz, funkce, důležité je pouze to, aby pouze platné hodnoty. Ve skutečnosti to uvidíme právě teď:

Příklad 7

Najít derivaci.

Řešení: Obecná linie strany zůstává neotřesitelná – je třeba vyčlenit skutečnou a smyšlenou část funkce. přinesu detailní řešení a každý krok níže komentujte:

Od té doby:

(1) Nahraďte "z".

(2) Po dosazení je nutné oddělit reálnou a imaginární část první v exponentu vystavovatelé. Chcete-li to provést, otevřete závorky.

(3) Seskupíme imaginární část indikátoru, přičemž imaginární jednotku vyjmeme ze závorek.

(4) Použijte školní akci se schopnostmi.

(5) Pro násobitel použijeme Eulerův vzorec , zatímco .

(6) Otevřeme závorky, výsledkem je:

je skutečná část funkce;
je imaginární část funkce .

Další akce jsou standardní, kontrolujeme splnění podmínek Cauchy-Riemann:

Příklad 9

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Budiž, derivaci nenajdeme.

Řešení: Algoritmus řešení je velmi podobný předchozím dvěma příkladům, ale existuje mnoho důležité body, Proto První etapa Vyjádřím se znovu krok za krokem:

Od té doby:

1) Dosazujeme místo "z".

(2) Nejprve vyberte skutečné a imaginární části uvnitř sinusu. Za tímto účelem otevřete závorky.

(3) Používáme vzorec , while .

(4) Použití parita hyperbolického kosinusu: A hyperbolická sinusová zvláštnost: . Hyperbolika sice není z tohoto světa, ale v mnohém připomíná podobné goniometrické funkce.

Nakonec:
je skutečná část funkce;
je imaginární část funkce .

Pozornost! Znaménko mínus odkazuje na pomyslnou část a v žádném případě bychom ji neměli ztratit! Pro vizuální ilustraci lze výše získaný výsledek přepsat následovně:

Pojďme zkontrolovat splnění podmínek Cauchy-Riemann:

Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny.

Odpovědět:, , Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny.

S kosinou, dámy a pánové, rozumíme sami:

Příklad 10

Určete reálné a imaginární části funkce. Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann.

Schválně jsem vychytal složitější příklady, protože něco jako loupané arašídy zvládne každý. Zároveň trénujte svou pozornost! Louskáček na konci lekce.

No a na závěr zvážím ještě jeden zajímavý příklad když je komplexní argument ve jmenovateli. Párkrát jsme se potkali v praxi, pojďme si něco jednoduchého rozebrat. Oh, stárnu...

Příklad 11

Určete reálné a imaginární části funkce. Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann.

Řešení: Opět je nutné oddělit reálnou a imaginární část funkce.
Pokud, pak

Nabízí se otázka, co dělat, když je ve jmenovateli „Z“?

Vše je jednoduché - norma pomůže metoda násobení čitatele a jmenovatele konjugovaným výrazem, byl již použit v příkladech lekce Komplexní čísla pro figuríny. Vzpomeňme na školní vzorec. Ve jmenovateli již máme , takže sdružený výraz bude . Takže musíte vynásobit čitatele a jmenovatele: